（课程与教学论专业论文）静电场的计算机模拟.pdf

舯 “场的汁算机模拟 巾t 帮堂 中文摘要 电磁场理论由_ r0 入r 力线的概念，从而使得非常抽象的静电场获得了形象化的 直观表达。然而，j 受理论训算和图象显示技术等因素的限制，目前的电磁学教材 小，通常只能给出平面分仃的点电荷系或具有较强对称性、忽略边界效麻的带电体的 电力线和等势线的维甲面图。而列于那些较为复杂、在有限范围内连续分m 的带电 体，它们的电力线和等势线，尤其是它们的空间三维的分布，则往往难以描述。这给 静电场分布的感傩认识带柬r 一定1 i 便。 本文利用计算机快速准确的计算能力及其强大的图形处坤功能在现有循逊法和 微分法的基础上，提出了微元叠加切线法、微分切线法、方程洼以及切片法、轴测 投影法等方法，成功地模拟了。些复杂带电体的二维平面静电场以及平面分和的点电 荷系的电场沿空间某方同的变化趋势和电场空间分布的三维立体图。 基于类比的方法，以上方法也成功地应用于稳恒磁场磁力线的模拟。对改变磁介 质几何形状、增大恒定磁场范围这一具体问题本文通过模拟，提出了可供参考的理 论方案。 关键词：计算机模拟平面静电场空问静电场电力线等势线循迹法微 分法微元替加一切线法、微分切线法方程法切片往轴测投影法 作者：周莉英 指导教师：董慎行 塑r ! 堡堕! 塞! ! 壁型 一一墨兰! i ! 兰 a b s t r a c t a p p l y i n gt h ec o n c e p t i o no ff l u xl i n e st ot h et h e o r yo fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l d m a k e sa b s t r a c te t e c t r o s t a b cf i e l dv i s i b l ea n di n t u i t i v e b u td u et ot h ed i 所c u l t i e so f t h et h e o r e t i c a lc a l c u l a t i o na n dt h el i m i t a t i o no ft h et e c h n i q u eo fi m a g ed i s p l a y ，o n l y s o m et w o d i m e n s i o n a lgr a p h so fe l e c t r o m a g n e t i cf i e l d o fap l a n a rs e t o fp o i n t c h a g e so rs y m m e l d c a l l ya n du m f o r m l yc h a r g e db o d i e s w h i c hi g n o r e st h e b o u n d a r ye f f e c t ，a r ei n t r o d u c e di nt h ep r e s e n te i e c t r o m a g n e t i c st e a c h i n gm a t e r i a l s f o rc o m p l i c a t e du n i f o r m l yc h a r g e db o d i e s ，t h ee l e c t r i cf i e l dl i n e sa n de q u i p o t e n t i a l l i n e s ，e s p e c i a l l yt h e i rt h r e e - d i m e n s i o n a ld i s t r i b u t i o n sa r eh a r dt ob ed e p i c t e d ，w h i c h b r i n g sm u c hi n c o v e n i e n c ef o rt h ea c q u a i n t a n c eo ft h ee l e c t r o s t a t i cf i e l d i nt h i sp a p e r o nt h eb a s i so fe x i s t i n gt r a c i n gm e t h o da n dd i f f e r e n t i a lc o e f f i c i e n t m e t h o d ，f i v en e wm e t h o d sa r ep u tf o r w a r d s u p e r p o s i n g o fi n f i n i t e s i m a l e l e m e n t - t a n g e n tm e t h o d ，d i f f e r e n t i a lc o e f f i c i e n t 4 a n g e n tm e t h o d e q u a t i o nm e t h o d ， s l i c i n gm e t h o da n da x o n o m e t r i cp r o j e c t i o nm e t h o d ，b yt a k i n ga d v a n t a g eo ff a s t c a l c u l a t i n ga b i l i t yo ft h ec o m p u t e r t w o d i m e n s i o n a lp t a n a fe l e c t r o s t a t i cf i e l do f c o m p l i c a t e dc h a r g e db o d i e sa r es i m u l a t e ds u c c e s s f u l l yw i t ht h e s em e t h o d st h e c h a n g i n gt r e n do fe i e c t d cf i e l da l o n gac e r t a i nd i r e c t i o no fas e to fp o i n tc h a r g e s a n da g r a p ho ft h r e e 、d i m e n s i o n a le l e c t r o s t a t i cf i e l da r e a l s og i v e ni nt h i sp a p e r t h e s em e t h o d sc a na l s ob ea p p l i e dt 0t h es i m u l a t i o no fu n i f o r mm a g n e t i cf i e l d at h e o r e t i cf o r m u l ao nh o wt oc h a n g et h eg e o m e t r i c a ls h a p eo fam a g n e ta n d a u g m e n tt h er a n g eo fu n i f o r mm a g n e t i cf i e l di sb r o u g h tf o r w a r di nt h i sp a p e rb y s i m u l a t i o n i f 挣i u 场的计算机模拟英生摘笙 k e y w o r d s ： c o m p u t e rs i m u l a t i o n ，p l a n a re l e c t r o s t a t i cf i e l d ，d i m e n s i o n a l e l e c t r o s t a t i cf i e l d ，e l e c t r i cf i e l dl i n e s e q u i p e t e n t i a ll i n e s ，t r a c i n gm e t h o d ，d i f f e r e n t i a c o e f f i c i e n t m e t h o d ，s u p e r p o s i n g o f i n f i n i t e s i m a le l e m e n l t a n g e n tm e t h o d d i f f e r e n t i a l c o e 仟i c i e n t - t a n g e n tm e t h o d ，e q u a t i o n m e t h o d s l i c i n g m e t h o d a x o n o m e t r i cp r o j e c t i o nm e t h o d f 儿 w r i f f e n b y ：z h o ul i y i n g s u p e r v i s e db y ：d e n gs h e n x i n g 铘1s0 26 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人邳重声明：所提交的学位硷文是本人在导师的指导r ，独立迸 行研究j 作所取得的成粜。除义中已经注胡弓1 用的内容外，本论义不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对木义的研究作出莺要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标强。奉人承担本声明的法律 责住。 研究生签名脏日期：塑兰型 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人鲠送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阋和借阅，可以公布( 包括刊髓) 论文的全部或刮分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： f ! 场叁 日期：塑垒：点! 丛 1 导师签名：盔主兰4 五h 期：i 盟业士丛 _ ：，j _ i u 场的汁斡目l 模拟 第一章引言 11 电力线在基础物理静电场教学中的应用 毫无疑i ，电磁场是电磁学谋程的主干。然而，对r 初学者柬说，电磁场是个 新的研究对象，足在一定空间范围旧连续分布的客体，是特殊_ 形式的客观存在。无论 其性质、规律、描述方式，还足有关的概念和处理方法等，与传统的质点、刚体研究 相比，部育重要的区别和不劂的特点，这往往会使初学者感到陌牛、甚- 至格格不入。 凶此，电磁场的数学就成为电磁学课程面临的重大挑战，同时也成为培养锻炼学生科 学思维能力灼契机。而在整个电磁学课程，f ，片当其冲的是静电场。可以毫小夸张地 说，学好静电场是学好电磁场乃至整个电磁学的关键。 早在十九世纪，物理学家们在研究电场时，都深感到带电体周嗣的电场分布虽然 很实任，但毕竟十分抽象这点是人们认识电场的个困难。法拉第凭借其极高的 物理禀性，首先提出了电力线的概念，力图把电场分布形象化。麦克斯韦在他的“论 法拉茆的力线”论文中，对法拉第提出力线的概念，从而使非常抽象的电场获得形象 化的直观表达，给予了极高的评价。在此基础上，麦克斯韦把法拉第的力线概念数学 化，建立了关于电磁运动的统一理论，预言了电磁波的存在。整个电磁场理论由于引 进了，电力线的概念其数学表达方式更趋于完美。现今，对于静电场的讨论，人们仍 然采用电力线搞绘其空问分布情况。 自从法扎第提山用形象直观的电力线概念描述电磁现象以来，人们深感利用力线 解释许多电磁场问题的方便，尤其在普通物理教学阶段，即使一些较为业的电磁理 论，如波导和电磁辐射“】等问题，借助简单明了的力线也能说明其大部分的结论。 在定性乃垒半定量的研究中，根本离不开场的图示法，即使在定量的研究中，也常常 用场图作为拐棍和桥梁，阅读时增进理解，解题时启迪思维。为此，有必要在电磁学 教学中强化电力线的概念。 川陆jj a 壤德米脏斯特尔丁程电磁场基础科学出版社2 0 0 2 ：2 0 3 1 1 继寸束萼工程l 乜磁场基础西北工业， = = 学出版社2 0 0 2 ：2 0 2 2 0 4 静n 场的计算桃模拟 帮尊 原则上，任何电场分布问题都町以用电力线这个上具解决，仉实际在具体运作 往往足定性解；突问题蜓容易些。因为究竟应怎样剧用电力线讨 a 一些定量问越是棚当 困难的。f 面我们就从定性和半定量两个力向讨沧一些典型问题，以期说明电力线存 基础物理静电场教学阶段的应用。 1 11 定性问题 1 尤电荷字问的电势无极值州题 跬空间某一点p 的电势有极小值，则p 点电势将低于周围附近符点的电势，i i j f 乜 力线的性质( 指向电势降低的方向) 可知一定有电力线汇聚j p 点，于是p 点肯定有 负电荷存在，这与无电荷空间柑矛盾，所以p 点电势不可能有极小值。同理可证1 3 点电势也无极大值。 2 无电荷守问的导体问题 我们可以用电力线的性质首先证明：若封闭空削中所有导体的电势均相等，则导 体以外的无电荷区域内电辨处处相等。设空间中有三个导体，且u = u 产u 。= u ，则三个 导体问彼此无电力线连接，即空唰可能有的电力线要么从三个导体发出指向无限远， 要么从无限远射来终l 于这些导体上。若空间某点p 的电势与导体电势不相等，例如 弭 u 则过p 点一定会有电力线指向导体，由电力线性质可推断空削内一定会有电势 极大点存在，这与上面的结论相矛后。同理可证u ， u 。 o ，两导体均为电中性，则导体l 上f f 电荷发出的电力线一部分终止j 导体2 e 的负电荷，另一部分伸向无穷远处，导体2 上的正电荷发出的电力线只能伸向无穷 远处，而导体l 上的负电荷是要有电力线终止的，但它既币能接受自身发出的电力线 ( 因导体表面等电势) ，也不能接受导体2e 发出的( 困u 。 乩= o ) ，于是只能认定假设错误。用同样的方法可以证明 邦新是斩铁良对电力线教学的些探讨和体会大学物理1 9 9 6 丛里! ! 竺! 塑! ! 竖型一 “( ，：0 的所有情况郁是自相矛盾的。剀此导体l 和导体2 的屯势相等且均等于 夸，即u = u 。一o 3导体静电平衡问题 在静电学中导伟静电平衡问题”。- 有很重要的地位。而这类问题通常使学牛譬 纠禽糊不清，尢从 、于。解电磁学问题， 般的依据是场方程、但对于形状不规则的 导体，我们很难得到解析的结果。因而，通常的方法只址对导体的静电性质作定性的 判断。关于这一点，我们可以用电力线米解决。我们通过几个例子，只体| 兑明用电力 线分析静电平衡问题的方法。 例1 ：证明：静电感应现象中，感应电荷电量的绝对值必小于或等丁| 施感电荷电量的 绝对他。 征明，a 为旌感电荷，带电量q 中性导体b 左端感应电荷电量为( 如幽1 1 ) ， 根据电力线的性质，b 左端定有电力线终止于此。这些电力线发源地有三种可能： 1 ) a 上的正电荷；2 ) b 右端的_ f 电荷：3 ) 无限远。f 面先用反证法排除2 ) 3 ) 两种可 能。若z ) 成立，罹据电力线的性质，有u 。+ u + 这与导体是等势体矛盾，故2 ) 不成 立；若3 ) 成立，与上同理得到，u 。) u 。，另一方面，b 右端正电荷发出的电力线能终 止1 一无限远，于是u 。) u 。，显然前后矛盾，故3 ) 也不成立。 a 图】1 于是，我们可以肯定终止于b 左端的电力线全部发自a 卜的正电荷，再根据高斯定理 得到，终止于b 左端的电力线条数为鲥 s 0 发自a 的电力线条数为丛，而终止的条数 3 2 地毕丁朝华斑甩i b 山线分析导体静i 埴平锄问题内蒙古民簌师范学报( 自然科学般) 姻61 0 毯 必然小于或等j ：发卅的条数，因此，训引，命题得证 例2 ： 带f f 导体a ( 设带正电) ，附近有一中惟导体b 时，证明：无论b 的哪端接地， b 上只感应出异号电倚， 汪明，假设接抽后b 的右端还有j f 电荷，那么b 的右端就定耍发电力线。这 些电力线的去处有两种n ，能：1 ) 终止于b 上的负电荷；2 ) 终l 曰二无限远。义由f 静电 平衡时导体足等势体，所以1 ) 不能成立；若2 ) 成立，0u 。 u 。，即l ) 0 这与b 接地后= 0 的前提相矛盾，所以结沧2 ) 小成立。这样，电力线既然无处可去，8 上 就不可能有i r 电荷存在。原命题得证。 例3 ：当中性导体b 穆近带正电的导体a 时，证明：导体b 的电位升高， 导体的电 位1 5 晕低。 证明，当b 接近a 时，b 上将感应出正、负电荷( 如图12 ) ，b 上正电荷发出的 电力线延伸到无限远。由电力线的性质我们知道，u u 。，即u 。 0 。原来r 在无限 远时，其电位等于0 ， 图1 2 故移近a 后，其电位升高。由于静电感应，导体a 上电荷霞新分布，左端电荷密度变 小。空间电场强度是所有电荷激发的，因距离的远近，b 上的正电荷比其负电荷在导 体 左端空问激发的电场要弱。因而导体a 止部空间的电场强度比b 移近之前要小， 从“左端选一直线向无穷远积分，则u 。= p - 以变小，故a 的电位降低了。若a 带 负电r 同理口j 证导体b 移近时，b 的电位要降低，而a 的电位要升高。 由e 述几个例子我们可虬看到，用电力线这形象直观的t 具，确实能很方便地 定性分析导体静电平衡中许多似是而非的难题，对加深导体静电平衡问题的理解能起 到很大的作用。 静i u 场的计算机模拟 第一章0j 4 对运用高斯定理求电场强度的启示 球解电场强度的方法之是利用高斯定理“。用该方法求电场强度的先决条件是 导体的电荷分布具有对称性。具体有三种情况：点对称线对称( 轴对称) 面刘称。 由：电场足电荷激发的，电荷分布的对称性导致了i u 场的对称性，这种电场的对称性 就可以用电力线形蒙地表示出来。并且由电力线的对称特点，可以启发我们选择适当 的高斯而。以上三种别称情形小同的带电件，所对应的高斯面分别为：同心球面，同 轴圆柱面，轴与平面垂直、两底与平面平行且等距的圆柱面。 5 出电力线的引入方法类比给出磁感应线( 磁力线) 的概念 娄比是研究物理学的重要方法之一，很多物理概念、规律都是运用类比得出的。 由j 。磁场跟电场一样，是一种看小见、摸不着的真实物质电场可以用电力线米描绘， 为r 形象描绘磁场，人们也引入了“磁力线”的概念，然后以磁力线为工具分析研究 磁场的性质。冈此，从教学角度讲，强化力线教学不仅形象直观，易于理解和掌握， 还可以启发学生将所有关于场的抽象理论( 如引力场) 的思维形象化，在基础物理教 学阶段显得尤为重要。 112 半定量问题 1 电通量的求解 由高斯定理我们知道通过某一面积的电通量的大小近似等j 穿过该面积的电力 线条数。从一正电荷g 发出的电力线条数为g ，则不论任何形状的包面，只要包面 内有净电荷口，其穿出包面的电力线条数总是g 岛。如一点电荷q 放在某立方体的一 个顶点上，则穿过该立方体的电力线条数为其发出总条数的1 8 ( 将电荷所在点看成 原点，立方体仪占一个象限) ，于是该立方体的电通量为q s c o ，进一步分析可知， 穿过其对顶角三个相邻侧面每个侧面的电力线条数又是穿出立方体总条数的l 3 ，故 此三个侧面每个侧面的电通量为q 2 4 e o “1 。 i 豢霞 浅议电磁学里的功臣电力线濮阳教身学院学报1 9 9 95 部新灵靳铁良对电力线教学的一蝗探讨和体会大学物理1 9 9 6i 静l n 场的计斡机模拟 2 孤p 带电导体电场能量的求解 已知孤立导体的电容为c ，带电量为q ，出孤立导体与无穷远导体叫构成电容器 可知，电场的总能量应为嬖。下面我们用电力线的性质求解此削题”， z t ， 如图1 3 ，设g 0 ，首先讨论自孤立导体a 发出的一束细电力线管i ，它最后 延伸到无穷远处。 倒1 3 已知空问电场的能餐密度为= 2 2 ，对整个t 管取的体积分就得到这束电力 线管内部电场的能量 d w = l 锄y ；i o 驴钾= s 鲁矿d s 蕊 t i 。t 1 rr 。r 其中d s ，为，i 箭的横截而积( 并非常量，与其到a 的距离有关) ，d l 为沿管长方向的 线元。由于电力线管t 内的电力线条数到处都一样，即fd s ，= 常量，两此可蛆提刨 积分号外，并且场强的线积分f e d l = u 。一u 。= u 。，于是有 a w = 9 2 oe 豳，! e 翻。鼍e 如t u at 1 再对空间电场的所有电力线管求和，则空问电场的总能量为 郑帮炭靳铁良对l u 力线教学的一些探讨和体会大学物理1 9 9 6 6 静t u 场的汁算机挺拟第一常0 i 一 = 导“。峨= u 。弘础 ( i 川 显然闭合曲而s 小仅将导体a 包围在内，而且面上各处的e 和该处面元d s 均正交 由高斯定理可知，凌积分部分等于旦。所以 s 0 = 詈= 抄。= 鬈 n ， 与酊而用市辑器求得的结果竞牟一獭。 1 2 利用电力线分析静电场的几种常用方法及其不足 1 2t 理论计算 分析具体问题中的静电场我们一般首先构造出它的数学模型。以静电场的基本 方程为基础，通过标量位函数或向量位函数的应用均匀媒质内静电场的分析都可归 结为求解相应的拉普拉斯方程或泊松方程，也即把物理问题根据其固有的规律数学化 为数学模型的过程”。研究该数学模型得知，满足给定边值的拉普拉斯或泊松形式的 微分方程将有唯一解，而这唯一解也就是我们一般常见的势函数的表达式。根据这一 势函数，通常我们可以定性地分析静电场的分布情况。 常用的理论计算方法有：直接求解法( 分离变量法、格林函数法、直接积分法等) ， 问接求解法( 复位函数法、保角变换法、镜象法等) 和数值计算法( 有限差分法、有 限元法等) 。对此类方法的研究，一般的电磁学教材”3 中都给予了详细的介绍在此 就不冉赞述了。 此类方法主要是把具有对称性的实际三维问题化为二维问题予以处理，对于静电 场的描述仅给出了电势的表达式，然后根据该表达式定性地描述静电场，并且仅限于 对二维场( 平行平面场) 和轴对称场( 子午平面场) 的捕述。 1 1 冯巷璋也磁场( 第二版)高等教育出版社1 9 8 4 ：1 9 3 2 蔡年善等电动力学( 荔一版) 高等教育出版礼2 0 0 27 ：8 7 - 1 0 7 ”1 郸坝鸿电动力学( 第二版)高等教育出版社1 9 9 77 ：6 3 、7 5 静i u 场的汁算机横拟 1 2 2 实验研究 柳嚣，i 。 在静电场的分析研究r f ，与理论训算方法同样具有再人实用意义的是静电场的。爻 骑研究方法。在分析解决实际l 扎题时，它们常常是相互补充的两个方而。静电场的实 验研究力法，是利用儿何形状和物理规律在形式上相似的原理，把小便于直接测量的 实验在相似条件下间接实现。主要包括实测法和电模型法( 义称电模拟法) 。前者是 在真实的电磁设备中进行育关量的直接测量，后者是通过实验装胃( 模型) 复制出真 实装黄巾电场分市的方法。 在实验上，t nj 标量在计算和测量上要比矢量简单得多，所以常用电位e ，的分粕 来描述静电场分布。用实测法直接测量静电场的分布往往很困难。首先，由】：静电场 足指对于跏察者静j e 的电场，不能有电荷运动，所以不能用电压表直接莉量电位；其 次，因为探刳放入静电场时，探针上会产生感应电荷，这些电荷的电场l j 原电场迭加， 使原电场产生很人的畸变，因此，实测法发展较缓慢。一般情况下，通常采用电模 拟法间接地测量静电场的分布。电模拟法e 要分为物理模拟和数学模拟两大类。前者 是。种原型按相似理论予以缩小或放大的实体电模拟，后者是一种在微分方程相似性 和类比概念的基础上确立的电模拟。对于实际问题，通常数学模拟比物理模拟来得简 1 1 ) 经济。而在各种数学模拟方法中，一般采用均匀导电电介质中稳恒电流场来模拟真 卒中的静电场，因为它们有相同的物理规律，且它们都遵守高斯定理和拉普拉斯方程， 当边界条件相同时，方程的解足唯一的。在这方面，人们已经取得了较为显著的成绩 q 12 3 图解法 图解法l “是一种近似的分析计算方法。在不少实际问题中，由于场域几何特征的 复杂性，有时难以应用解析法作精确的计算。这时，如果所研究的电场足二维场或轴 对称场，则可以先测绘出等位线，然后根据电力线与等位线的正交关系，以适当的密 r 惠棣等物理宴验天津大学出版社1 9 8 9 9 ：1 4 4 乔f 陈新雷用模拟泣研究静也场静电场的等势线电力线的描绘物理实验1 4 ( 4 冯慈璋电磁场( 第二版)高等教育出敝社1 9 8 4 ：2 5 4 - 2 5 8 郇电i 女的o 择机横批 母 度，应用图解法，通过连续的曲线“疗块”作图，捕绘相应的电力线分布陌。府。1 指 m ，h 根掘电力线与等位线的正交关系所作山的电力线，其密度并小定能全面地描 绘该电场。要想由等位线绘制出合理密度分布的电力线，使得它既能反映出电场中各 处场强的方向，又能体现电场的强弱分布，除了要根据正变关系作电力线外，还必须 考虑到电场中一点处的电力线密度j t 比于该点的电场强度，面逮。点处的电场强度的 数1 _ | 【i 又等于改点处的电位梯度的大小这一隋况。静电场的理论是完美的，内存是1 ：高 的，十h 比之f 仪仅凭徒手画电力线误差较大，也使内容过r 偏狭，且此方法的运用熟 练度与精度直接和作图者的经验有关，纯粹的手工操作比较烦琐，难以推j 1 应用。 1 24 计算机模拟法 计算机足信息时代最重要的标志之一。计算机及计算方法的高速发展使得计算机 模拟成为物理研究i | - 除理论分析、实验研究之外的第三种研究手段。目前计算机已经 深入到各个行业中，随着计算机技术的不断完善以及它在教学领域中的广泛应用，人 们利用训算机强大的图形显示功能和快速准确的计算能力，已经能够通过简单的编 程，描绘电力线和等势线，从而把静电场形象地演示出来。利用训算机模拟静电场的 分布情况，一方面，其计算效率高而准确，可以省去烦琐的人工推导；另一方面，计 算机模拟的电力线图和等势线图，线条清晰而光滑，误芹小。同时，计算机模拟可以 突破纸和墨水的限制，除了模拟静电场三维曲线簇的二维截面图外，还可以通过并不 太复杂的投影变换，从而实现空间立体的静电场在二维平面上的投影显示。并且利用 现代化教育技术手段之一计算机屏幕图象显示，是一种很好的直观性教学方法。既可 激发学牛的学习兴趣，又町使学生的思维发展产牛质的飞跃，取得较好的教学效果。 作为自然或社会的人，如果从信息处理的角度观察，经由视觉系统处理的信息量 达百分之八十以上。科学已证明，人脑对于图形信息的把握能力，包括获取信息的速 度和容量远胜于对抽象的文字符号的处理。并且由于一幅图能容纳大量信息，更为人 们所理解和记忆，又具有直观明了的效果，比数据、文字方式的输出具有更大的优越 性。研究静电场的分布情况不管是用理论计算、实验研究、图解法还是计算机模拟， 人们晶终都是想通过某种方式把抽象的静电场用一组形象的电力线或等势线形象地 静f u 场的汁算w l 模拟 描绘m 来，从而便于分析和理解静电场。计算# 【模拟以其它方法无法比拟的优越性， 越来越得到人们的重视，出得到了很好的发腰。目酊在计算机模拟静电场方而，人 们已经取得了不小的成绩。人们尝试用不同的计算机语苦，很好地模拟了一部分简单 的点电1 岢系组和j 有对称性的带电体的电力线和等势线的_ 二维甲面图。而对_ r 那些比 较复杂的带电体，例如，有限k 直线带电体、有限长曲线带r u 体等，通常的教材中只 对其所在乎面上某些特殊点、特殊线求出了电场强度的表达成，根据这些复杂的表达 式，我们很难想象整个电场的分布情况。而且，般说米，某一平而的电力线圈难以 描绘整个电场的空间分布。为此，我们有必要对静电场作立体的描绘。 既然计算机在模拟静电场- f 唷其它方法无法比拟的优越性，在前人用计算机模拟 静电场的基础上，针对几种不同的带电体，本文提出几种新的计算机模拟方法，一方 面，使得静电场的计算机模拟方法更趋于完善；另一方而，通过模拟一些常见的带电 体的静电场，使学生更好地了解电场的分布。 静l u 场的计算机模拟辩一靠 中由静f u 场的计算机模拟 2 1 循迹法 第二章平面静电场的计算机模拟 循迹法是一种具有普遍性的曲线绘制方法。世曲线满足的二一无方程为 f ( x y ) = 0 。假如己知曲线上某一点( ，y 。) ，由曲线的连续性可知，该点周围的邻近 点中必然至少有。点位于曲线之上，将这点找出来，井视其为新的( ，y 。) 点，其周 围的邻近点中又必然至少有一点位于该曲线之上，再找山此点，并再次以此点为新的 ( 如，y 。) 点，币复上述操作，如此继续下去，便可以不断地从已知点找到下个未知 点，沿着已经得到的部分轨迹寻出全部轨迹来。这就是循迹法的基本思想。用通俗的 语言来比喻，即像蚂蚁一样，走一步看一步以至走出全部路径柬。 在具体确定某点更靠近或“位于”曲线上时，我们需要比较这些点的f f ( x ，力j 值， 选取其值最小的点。当然，本应取j ，( x ，y ) 的值为零的点，但是由于计算机屏幕r 甩 现的离散点并不一定满足这个条件，因此，选取其值为最小的那些点。设一点周围的 邻近点的数日为w ( 称为方位数) ，从该点到邻近点的距离为r n ( 称为找点半径) ， 如图2 1 所示。 _。 w = 4 r n = l 3 i i 削21 障海平杨再￥i 物理过程微机演示的基本方法( 一) 大学物理1 9 8 78 0 辟f u 场的计算机模拟 第争r 咖静i u 场的计算机授拟 w 越人，r n 越小，作图的速度越慢。但在一般情况下，根据曲线斜率的连续性，我 们a ，以沿着轨迹只往那些不太偏离原来的行进方同的邻近点巾找新的点而不必比较 所有的w 个邻近点。这种考虑了曲线斜率( 函数导数) 的连续性的循逊作幽法，我 们称为前方循逊法：而只考虑了曲线木身的连续性的循迹作图法，我们称为全方位循 迹法。硅然，仝方位循迹法只需要个柄始点，而前方循迹法不仅需要一个初始点 而h 坯需要一个初始方向。用循迹法作图时，可以先用全方位循迹法产生少许系列点， 把嘶笔( 当前点) 移到曲线上，然后，再用效砗i 高的前方循迹法继续作图( 其初始 点坐标和初始方向的数据已从前者继承下来) 。这时可以提高作图效率。 循迹法的特点在于其譬适性和直接性。循逊法的直接性是指函数v ( x ，y ) = 0 可以 阿接地定义在程序语句中砸无需做任何其它的推演。循迹法还有一个优点；用陔法生 成的系列点是婀两等问隔的，因而沿曲线是均匀的。有些问题，如多电荷系统的等势 线可用此方法来绘制。但是，循迹法绘制曲线的速度不是最快的，因为每生成一个新 点，需要运算和比较不同点的例许多次。 2 2 微分法 微分法的基本思路也是由n 点推演出_ v + 1 点，及至其余。小过其推演方法不 是循迹选点r 而是计算增量血，妙。一般来讲，新点( x ，y ) 与已知点( ，。) 的关系可 表示为x = = x y o 。+ + d 缈x x ，如果微分量缸，每可由f ( r ，) 的函数形式和( x 。，虬) 坐标推算i 由 来，问题就解决了。一般地，对于f ( x ，y ) = o ， 8 f a x = 陈海、r 杨再石物刊- 过程微机滴示的摹率方 土( 一) _ 夫学物理1 9 8 78 一槲一厨 静 e 场的计算机模拟 塑兰兰! 堕壁! 塑塑堡兰! 竖墨 0 f v ：丝叫 t i l l + i 雾l ( 2 2 ) 这里，为常数，表示曲线推进的步长。在f ( x ，y ) = 0 化为参数式的情况下， c ：虫婴。出；蜘：d y ( j a f 这里f 为常数，表示参数f 变化的步长。应当指出 d td t 如果原函数f ( x ，y ) ( 或j ( ，) ，y o ) ) 的表达式足合法的( 所谓合法是指符合计算机语言 规定的表达式) ，那么其导函数的表达式必然是合法的：反之，导函数的表达式是合 法的，相应的原函数却不一定能有合法的表达式。因此，微分法是一种间接的超普适 方法。特别是对那些原函数形式无法写为合法的表达式，而导函数可写为合法的表达 式的问题，大体上则非用微分法不可。此外，微分法与循迹法不同，它不是算值选 点，而是算值定点；不是算原函数，而是算导函数；不用算三次，只用算一次( 并可 省去选择步骤) 。因而，它的作罔效率一般是前方循迹法作图效率的三倍。微分法的 另一个优点是，生成的系列点是严格地沿曲线均匀分布的。但微分法豹麻烦之处是， 要靠人工导出原函数的导函数，并且还要给出初始点。 咀上两类方法对于一维点电荷系的平面电场作了比较完整的模拟。但对于其它形 式的平面静电场的模拟，此类方法却并未涉及。为此，在前面两种方法的基础上，我 们提出以下一些其它的方法，目的在于使得静电场的计算机模拟方法更趋于完善。 2 3 微元迭加一切线法 针对一些电荷连续均匀分布。形状规则的有限长带电体，我们提出用此方法模拟 其= 维平面电场。平面静电场中的等势线和电力线都属于二维曲线。对于计算机来说， 这样的曲线就是满足+ 定数学条件的有限个分立的坐标点( 及其属性，如颜色) 的系 列和集合。因此，要绘制这样的曲线，关键是要技出生成这些坐标点的系列和集合的 方法。切线法和扫描法就是其中最基本的两种方法。 切线法用于绘制电力线之类具有方向特征的曲线。具体原理是：把带电量为q 的 静电场的计算机模拟 第一章 中面静屯场的计算机模捌 连续带电体分成个电荷微元，第f 个电荷微元的带电量为吼= 号，坐标为( ，虬j 。 该微元在空间某点尸( ，y ，) 产生的电场强度人小为 。= 面1 a t ， ( 2 3 ) 其中l = 撕i = i f i 瓦f 。方向与x 轴夹角为口( 如图2 ，2 ) ，且 0 辔目：丛尘( 2 4 ) t 一0 x 圈22 把该电场强度向x 、y 方向分别投影，得到电场强度在x 、y 方向的分量 瓦2 e c o s o ，丘= e s i n o 。利用同样的方法，其它电荷微元在只处产生的电场 强度依次沿着r 、y 方向分解，并且把两个方向的各个分量依次迭加，分别得到 t = 瓦，e ，= ，则整个带电体在平面上任一点p ( 一，儿) 处产生的电场 强度大，j 、e = 厅可，方向与x 轴夹角且耻等， 此方向即为整个带 电体在该点电力线的切线方向。在此切线的前方向上截取，可以得到下一个点 静电场的o f 算机模拟 第辛甲皿静电场的计算机模拟 f + ( x 。y ，) ( 如图2 3 ) 其中 t “= x j + a c o s t z ( 2 5 ) y = y 。+ a s i n a ( 2 6 ) 然后以# 。为起点，重复上述操作，确定下一个点只+ ：。由此，由一个已知点不断地 得到下一个未知点，逐步可以得到画一条电力线所需点的坐标。然后再重新选取起 始点，重复上述操作，得到所画另一条电力线所需的点。直至描绘出所有的电力线。 用该方法描绘电力线的精度由和脚决定，所选的越大，时越小。误差越小，精 度越高。 扫描法用于等值线的绘制：把绘制区域按一定比例划分成网格，对所有的网格点 逐点计算所需的物理量，按物理量的数值决定该点的取舍或着色，曲线便由屏幕上的 点密度分布或色彩分布表现出来。扫描法也称网格法，描绘电势线即采用此方法。 在绘制有限线状连续带电体的电力线和等势线时，因为电荷是连续分布的所以 在计算平面上任一点处的电场强度和电势时，原则上要采用积分的方法在这晕我们 用求和迭代方法近似地代替积分。并且考虑到带电体的轴对称性，我们只需描绘某个 截面的电场情况，然后绕轴旋转即得带电体的整个电场情况。 下面分别以常见的有限长线状和曲线( 面) 状连续带电体为例，分别介绍此方法。 静电场的计算机模拟 第一章 1 r 血静| l ! 场的计算机横拟 ( 1 ) 有限长线状连续带电体二维平面电场 我们以有限长直带电棒为例，介绍用此方法画电力线和等势线的一般步骤。设棒 长为，带电量为g ，则单位长度带电量为竿，以棒的一个端点为原点，建立直角坐 l 标系( 如图2 。4 ) 。 0 图24 把7 分成n 等份( n 为正整数) ，则长度为出= 专的电荷元带电量为吼= 等出= 号， 设平面上任一点坐标为只( 一，y ，) ，距离原点为z 的电荷元在该点产生的电场强度大小 为e2 去幸地= 瓜而瑚与x 轴夹角飙且班兰， 此方向即电荷元在该点电力线的切线方向，然后把e 沿水平和竖直方向分解，得到 最。巨c o s 8 ， = e s i n 8，利用同样的方法，我们把棒的其它电荷元在尸 处产生的电场强度依次沿着水平和竖直方向分解，并且把两个方向的各个分量依次迭 加，分别得到 e x = 瓯 i x l = 岛 ，则棒在平面上任一点c ( 葺，m ) 处产 i = l 生的电场强度划、为肚厅可，方向与x 轴夹角且咖卺， 此方向 即为棒在该点电力线的切线方向。在此切线的前方向上截取，运用公式( 2 5 ) 、 塑! ! 垫塑生墨皇! 壁型 堡二。兰! 堂壁皇堑塑堕兰垫壁塑 ( 2 6 ) 可以得到下一个点尸。重复上述操作，就可以得到画一条电力线所需点的举 标。然后再重新选取另一条曲线的起始点只，重复卜述操作，最终画出电力线图。 用扫捕法绘制等势线时，采用梯形迭代法计算电势值。图2 5 为梯形迭代法的图 例。线性插优函数9 0 ) 下方区域面积为梯形求积公式所计算出的积分值。y = ，( x ) 下的面积为积分精确值。 图2 5 本文计算电势时，迭代公式为 u = ；u c a ，+ ；u c 。，+ 薯c ，c n + ，占) 占 c z ， 其中、6 分别是积分上下限，u 函数是电势关于距离r 的函数，1 1 1 1 u = _ l 生， z 1 1 l r s 。r 占为小线元，占= b - j = 专 ，n 取得越大，则迭代精度就越高。 在绘制其它线状的带电体的电力线和等势线时，可眺采用分段求和的方法训算平 面上任一点处的电场强度和电势。例如，对于l 型带电体，可以分成水平和竖直方向 的两条直线型带电体，然后分别计算各自在空间某点的电势值，再迭如得到总的电势 值；对于点电荷与直线型带电体的组合，可以分别计算点电荷和直线型带电体在空问 某点的电势值再迭加得到总的电势值。因为电场强度是矢量，所以不能直接相加， 而应该把它在x 和y 方向先投影，然后再分别迭加。 i 羹| s h o i c h h - on 棚u 仡科学计算引论电了下业出版 上，2 0 0 2 ：1 5 0 - 1 5 静j u 场的计算机模拟 第二帝半面静 n 场的计算机槿越 图26 至图2 1 0 是应用上述方法描绘的几种典型的带电体的电力线发等势面。 图2 ，6 直线型带电体的电力线及等势面 图27l 型带电体的电力线及等势面 图2 8t 型带电体的电力线及等势面 竖一! 些些生蔓塑璺垫 苎= 兰! 堕堂里塑堕旦里垫苎坠 婺鬻爹爹 ： i、 j 、 ，、 。 ， 。 二 、 图2 9 正电荷与等量带正电直线带电体组合的电力线 i?jj ? j ，f 、j i j f ii j ，一 一， ! ：j、 h 1 、一、。、 j ? ! j 、 ( 2 ) 有限长曲线( 面) 状连续带电体二维平面场 对于有限长曲线( 面) 状连续带电体二维平面电场的模拟，我们同样可以采用上 述方法，所不同的是点电荷元的取法。下面我们以模拟一带电量为q 的绝缘圆盘的电 x 圉2 1 i 1 9 y 静电场的计算机模 f f第二审平面静电场的计算机模拟 有一绝缘圆盘，半径为r ，均匀带电量为q ，建立如图2 1 1 直角坐标系，国盘 在x o y 平面内。由于圆盘的对称性t 其电力线具有轴对称性质。我们只需研究y o z 平 面内的电场分布。在y o z 甲面内任取一点p ( o ，儿z ) ，在圆盘上取半径为，宽为咖的 细圆环，细圆环的电量由= 妥2 m d r ，在谈细圆环上取一点“p c o s 吼，s i n 口，o ) ， 棚2 、 该处电荷元的电量 国= 砉一出= 景一如毋 它在p 点产生的电场强度大小 鱼 4 x s o ( r c o s c e ) 2 + ( rs i n g y ) 2 + ：2 】 整个圆盘在p 点产生的电场强度大小为 葩= 肝一4 k a o q r d a d r 斌2 ( r e o s a ) 2 + ( r s i n y ) 2 十z2 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 在具体计算时，我们利用数值计算求和的方法得到的结果代替该积分得到的结果。把 每个点电荷元在p 点产生的电场强度积分别向，、y 、z 方向投影，如图2 1 2 所示， 图2 1 2 电场强度扭与= 轴的央角 口：a r c 胁黑：a r c t a n 、 ( r c 。s a ) 2 + ( r s i n a _ y ) 2 一 ( 2 l 即i |： 与x 轴的夹角 塑塑塑生塑堡垫竺生塑塑燮堂竖塑 ：a r c t a n 坚磐二上 ( 21 2 ) 则该电场强度在x 、y 、z 方向的投影分量分别为 姐，：d e c o s 0 ，d e ，= d e s i n 0c o s 矿，d e ，2 d es i n o 。s i nr p 再把荐个分量依次迭加，让口从。变化到2 z ，间隔为孟，让r 从。变化到“，间隔 为一个象素，利崩数值计算迭代得到的结果代替积分的结果，求得整个圆柱在尸点产 生的电场强度的在x 、y ，z 方向的投影，即e = 峨，f ，= d e y ，e ：2 崛。 因此，整个圆盘在p 点产生的电场强度的方向如图2 1 3 所示。由图2 ，1 3 町知， = 扛珥，t a i l 卢=