（计算数学专业论文）两类带形状参数的混合coons类曲面的构造与应用.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名： 查塞日期：上虹年垃月卫日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：纽导师签名垒垫塾日期：趟年堡月皇日 摘要 在自由曲线曲面造型中，c o o n s 曲面片作为一种插值曲面的生成 方法具有深远的意义其中双三次c o o n s 曲面片已经在工程上得到广 泛的应用本文针对c o o n s 曲面片的应用进行拓展研究 本文首先给出了由多项式函数与三角函数组成的两个混合空间， 接着分别在给出的两个混合空间上构造了两组带形状参数的混合函 数，并分析了这两组函数的性质及其优化问题然后在此基础上分别 构造了两类混合c o o n s 类曲面片所构造的曲面片兼具以多项式为基 函数和以三角函数为基函数所构造的插值曲面的优点此外，所构造 的曲面片不仅具有双三次c o o n s 曲面片的良好性质，而且带有自由参 数，在边界条件固定的情况下，可通过调控自由参数实现曲面片内部 形状的控制，更适合自由型曲面的设计特别地，所构造的两类曲面 片都能精确地表示圆环面、椭球面、球面等二次曲面，而传统的多项 式曲面片只能对这些二次曲面作近似逼近最后，本文以第一类混合 c o o n s 类曲面片为例研究了两片c o o n s 曲面片的g 1 光滑拼接问题，给 出了两片混合c o o n s 类曲面片三种方向光滑拼接的几何条件，并给出 了相关算法及实例因此本文所构造的曲面片是一种比较实用的曲面 造型方法 关键词c o o n s 曲面片，混合函数，形状参数，圆环面，g 1 光滑拼接 a b s t r a c t i nt h em o d e l i n gm e t h o d so ff l e ec u r v e sa n ds u r f a c e s ，c o o n ss u r f a c e p a t c h a sam e t h o do f g e n e r a t i n gf o ri n t e r p o l a t i n gs u r f a c eh a st h ep r o f o u n d m e a n i n g s p a r t i c u l a r l y , b i c u b i cc o o n ss u r f a c ep a t c h h a sb e e na p p l i e do nt h e p r o j e c tw i d e l y t h i sp a p e rs t u d i e st h ee x p a n d i n g so fc o o n ss u r f a c ep a t c h e s i na p p l i c a t i o n i nt h i sp a p e rt w ob l e n d i n gs p a c e sc o m p o s e db yp o l y n o m i a lb a s i s f u n c t i o na n dt r i g o n o m e t r i cb a s i sf u n c t i o na r eg i v e n f i r s t ，t h e nt w o c l a s s e so fb l e n d i n gf u n c t i o n sw i t hs h a p ep a r a m e t e r sa r ec o n s t r u n c t e d b u i l t e do nt h et w ob l e n d i n gs p a c e ss e p a r a t e l y , a n dt h ep r o p e r t i e sa n dt h e o p t i m a lp r o b l e mo ft h et w ob l e n d i n gf u n c t i o n sa r ea n a l y z e d ，t h e nt w o k i n d so fc o o n ss u r f a c e p a t c h e s a r ec o n s t r u c t e db a s e do nt h e m s e p a r a t e l y , t h e c o n s t r u c t e ds u r f a c e p a t c h e sc o m b i n et h em e r i t so f p o l y n o m i a li n t e r p o l a t i n g s u r f a c ea n d t r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i n g s u r f a c e f u r t h e r m o r e ，t h ec o n s t r u n c t e ds u r f a c e sn o to n l yi n h e r i tt h em o s t p r o p e r t i e so f b i c u b i cc o o n ss u r f a c ep a t c h e s ，b u ta l s oc a na d j u s tt h ei n n e r s h a p eb ym e a so fc h a n g i n gt h ev a l u eo ft h es h a p ep a r a m e t e r sw h i l e k e e p i n gt h e i rb o u n d a r yc o n d i t i o n su n c h a n g e d t h e r e f o r e ，t h e ya r ef i t e r f o rt h et e c h n o l o g ya b o u tf r e es u r f a c e sd e s i g n s p e c i a l l y , t h er e s u l t i n g s u r f a c ep a t c h e sc a l la c c u r a t e l yr e p r e s e n tt o m s ，e l l i p s o i d ，s p h e r ea n ds o o n c o n t r a r i l l y , t h e t r a d i t i o n a l p o l y n o m i a l s u r f a c e p a t c h e s c a n o n l y a p p r o a c h e t ot h e q u a d r a t i c s u r f a c e p a t c h e sa p p r o x i m l a t e l y i n a d d i t i o n ，f i r s t c l a s ss u r f a c ep a t c h ，f o re x a m p l e ，t h e g 1s m o o t hs p l i c eo f t h et w os u r f a c ep a t c h e si s s t u d y e da n dt h r e ek i n d so fg e n o m e t r i c a l c o n d i t i o nf o rg 1s m o o t hs p l i c ea r eg i v e ni nt h ep a p e r a n dt h er e l e v a n t a l g o r i t h e m sa n de x a m p l e sa r ep r o v i d e d t h e r e f o r e ，t h i sk i n d so fc o o n s s u r f a c ep a t c ha r em o r ep r a c t i c a li ns u r f a c em o d e l i n gm e t h o d s k e yw o r d sc o o n ss u r f a c ep a t c h ，b l e n d i n gf u n c t i o n ，s h a p ep a r a m e t e r s ， t o m s ，g 1s m o o t hs p l i c e i i 目录 摘要i a b s t r a c t i 】： 目录i i i 第一章绪论1 1 1 研究背景1 1 2c a g d 中参数曲线曲面造型的研究现状2 1 3 课题研究的目的和意义4 1 4 本文的主要研究内容4 第二章c o o n s 曲面6 2 1 具有给定边界的c o o n s 曲面6 2 1 1 曲面表示法与记号6 2 1 2 双线性c o o n s 曲面6 2 1 3 插值给定边界的c o o n s 曲面的一般形式7 2 2 具有给定边界和跨界切矢的c o o n s 曲面片8 2 3 具有给定边界及跨界切矢、跨界导矢的c o o n s 曲面片1 0 2 4 双三次c o o n s 曲面1 1 2 5c o o n s 曲面的形状调整1 3 2 5 1 角点信息矩阵中各个元素对曲面形状的影响1 3 2 5 2 混合函数及其形状参数对曲面形状的影响1 5 2 6 小结1 9 第三章两类带形状参数的混合c o o n s 类曲面2 0 3 1 第一类带形状参数的混合c o o n s 类曲面片的构造与性质2 0 3 1 1 带形状参数的混合函数的构造2 0 3 1 2 混合函数的优化问题2 3 3 1 3 带形状参数的混合c o o n s 类曲面片的生成2 7 3 1 4 带形状参数的混合c o o n s 类曲面片的性质2 9 3 1 5 带形状参数的混合c o o n s 类曲面片的应用实例3 2 3 2 第二类带形状参数的混合c o o n s 类曲面片的构造与性质3 5 3 2 1 带形状参数的混合函数的构造3 5 3 2 2 混合函数的优化问题3 7 3 2 3 带形状参数的混合c o o n s 类曲面片的生成3 8 3 2 4 带形状参数的混合c o o n s 类曲面片的性质3 9 3 2 5 带形状参数的混合c o o n s 类曲面片的应用实例4 0 3 3 小结4 2 第四章带形状参数的混合c o o n s 类曲面片的拼接4 3 4 1 带形状参数的混合c o o n s 类曲面片光滑拼接的条件4 3 4 2 曲面片拼接的实例4 5 4 3 小结4 6 第五章总结与展望4 7 5 1 全文总结4 7 5 2 今后的工作展望4 7 i i i 参考文献4 8 致谢5 2 攻读硕士学位期间发表的论文5 3 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1研究背景 第一章绪论 c a g d 是一门迅速发展的新兴学科，它的出现和发展既是现代工业发展的要 求，又对现代工业的发展起了巨大的促进作用，自由曲线曲面造型【l 。4 】是c a g d 的一项重要内容，其核心问题是计算机的表示，即要解决既适合计算机处理，能 有效地满足形状表示与几何设计的要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的 形状描述基于这些要求，自由曲线曲面就成了描述形状信息的主要工具它起 源于汽车、飞机、船舶、叶轮等外形放样工艺2 0 世纪6 0 年代c o o n s 、b 6 z i e r 等大师奠定了其理论基础1 9 6 3 年f e r g u s o n 5 1 首先提出将曲线曲面表示为参数 的矢函数方法，并引入参数三次曲线，构造了由四个角点的位置及两个方向切矢 定义的f e r g u s o n 双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述 的标准形式 c a g d 中的曲面大致分为两大类：( 1 ) 以b 6 z i e r ，b - s p l i n e 曲面为代表的基 于控制网格的曲面，曲面的形状逼近或插值与网格的控制顶点有关这类曲面的 变形主要依靠改变控制顶点的空间位置，如果曲面的形状比较复杂，控制顶点的 数量就会很庞大，控制顶点的操控就比较困难( 2 ) 以f e r g u s o n ，c o o n s ，g o r d o n 曲面为代表的可以插值于边界曲线或角点，以及边界上若干阶跨界导矢的曲面。 这类曲面通过改变这些边界条件来实现变形，相对于控制网格的曲面而言，基于 边界条件的曲面变形操作起来更为简单易行而且意义直观，曲面的数据量也比较 小，由于可以直接指定边界和跨界导矢，容易实现曲面之间的拼接第( 2 ) 类曲 面的变形自由度要比第( 1 ) 类小，无法直接构造出形状比较复杂的曲面但在工 业领域中，由于许多曲面的形状都比较简单，所以他仍是一种重要的造型手段 在设计和加工飞机、汽车、船舶和其它产品的自由曲面时首先遇到的问题是 以何种数学模型表示这些曲面在造船业，人们试图用数学函数表达船体的整张 曲面，虽经百年努力未果因为船体表面除规则曲面外，尚包含更为复杂的自由曲 面，欲应用单一的数学函数表达如此复杂的曲面几乎是不可能的若将整张曲面 分解为若干曲面片，每张曲面片由满足给定边界约束的方程表示，则可简化自由 曲面的构造理论上，采用这种分片技术，任何复杂曲面都可以由完善定义的曲面 中南大学硕士学位论文第一章绪论 拼合而成【l 】 c o o n s 曲面方法是2 0 世纪6 0 年代由美国麻省理工学院的c o o n s 提出的自由 型曲面设计方法，他在他的著名“小红书 ( 指技术报告a d 6 6 3 5 0 4 ) 里【6 】详细介 绍了他的这一独特的曲面构造方法c o o n s 是采用了参数方法和分片技术，其方 法理论严密、描述能力强，对自由曲面造型技术的发展具有深远的意义c o o n s 曲面的主要想法是在被逼近的曲面上通过网格截取一块块曲面片上的边界曲线， 然后用简单的参数曲面片( 即c o o n s 曲面) 来拟合，代替被逼近的曲面，并达到 适当的光滑连接这样做简化了计算机上的曲面设计工作，通过人和计算机的对 话，不断修改和增加控制曲面形状的边界曲线以达到设计所要求的曲面与其它 曲面构造方法不同的是，c o o n s 直接采用可以是任意类型参数曲线的四条边界曲 线来构造曲面即c o o n s 曲面不是插值边界曲线上有限数据信息，而是插值两组 边界上无限多个点，戈登( g o r d o n ) 称这种方法为超限插值( t r a n s f i n i t e i n t e r p o l a t o i n ) 1 7 】c o o n s 曲面从而成为曲面造型的主要工具 1 2 c a g d 中参数曲线曲面造型的研究现状 长期以来，自由曲线曲面是整个c a g d 的基础1 9 6 4 年，s c h o e n b e r g 提出了 样的概念【8 l ，用来形状描述的样条方法是样条函数的参数形式，参数样条方法可 以处理斜率为无穷大的情况，具有几何不变性，便于坐标变换和易于处理多值曲 线用其构造插值曲线或插值曲面具有良好的效果样条方法在构造整体达到某种 参数连续阶的曲线曲面非常方便，但是它没有局部形状调整的自由度，其形状难 以预测1 9 7 1 年法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的b 6 z i e r 提出了一种由控制多 边形定义曲线的新方法【9 1 只要移动控制顶点就可以方便地修改曲线的形状，而 且形状的变化完全在预料之中b 6 z i e r 方法简单易行，出色地解决了整体形状 控制问题b 6 z i e r 方法在c a g d 学科中占有重要的地位，它把曲线曲面的设计向 前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础，但b 6 z i e r 方法 仍存在连接问题，还有局部修改问题，而且当特征多边形边数较多时，多边形对 曲线的控制减弱1 9 7 2 年，d eb o o r 给出了关于b 样条的一套标准算法【l o l ，1 9 7 4 年g o r d o n 和r i e s e n f e l d 又把b 样条理论应用于形状描述，最终提出了b 样条方 法它几乎继承了b 6 z i e r 方法的一切优点，克服了b 6 z i e r 方法存在的缺点，较 成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问 题，从而使自由型曲线曲面问题形状的描述问题得到较好的解决 然而在飞机外形设计与绝大多数机械零件加工中经常遇到许多由二次曲线 表示的形状，机械零件、塑料制品中圆柱面、圆锥面、圆环面等二次曲面及平面 构成的形状比比皆是b 样条方法在表示与设计自由曲线曲面形状时显示了强大 2 中南大学硕士学位论文第一章 绪论 的威力，然而在表示和设计这些由二次曲线曲面构成的形状时却遇到了麻 烦1 9 7 5 年，年美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 在他的博士论文中1 1 1 首次提 出n u r b s 方法后来主要由t i l l e r t l 2 】、p i e g l l l 3 - 1 9 1 、c h o 2 0 1 、g r a b o w s k i 2 1 1 和f a r i n 等人的工作，使n u r b s 方法成为用于益线曲面描述的最广为流传的数学方 法n u r b s 方法不仅具有b 样条曲线形状局部可调及连续阶数可调的优点，而且 具有有理b 6 z i e r 曲线可精确表示二次规则曲线曲面的优点，它可以用统一的数 学形式表示规则曲面与自由曲面，而其他非有理方法无法做到这一点；它还具有 可影响曲线曲面局部或整体形状的形状控制参数，即权因子，使形状更适宜于控 制和表现；在权因子或节点向量取某些特殊值时，可退化为b 6 z i e r 曲线曲面、 有理b 6 z i e r 曲线曲面和b 样条曲线曲面。由于n u r b s 方法具有这些突出优点， 1 9 9 1 年国际标准化组织( i s o ) 颁布了工业产品数据交换的s t e p 国际标准，将 n u r b s 方法作为工业产品几何形状的唯一数学定义，从而使n u r b s 方法成为参数 曲面造型技术发展趋势中最重要的基础，而国际上著名的c a d 软件公司也把曲线 曲面造型系统首先建立在n u r b s 的数学模型上 在c a g d 中，为了更好的提高曲线曲面形状、位置调整的灵活性、交互性和 自由度，各种曲线曲面造型方法的扩展问题成为近来c a g d 研究中的热点问题， 提出了很多带形状控制因子的曲线曲面构造方法1 2 2 - 2 7 1 如b 6 z i e r 曲线曲面的扩 展 2 8 - 3 1 1 、b 样条曲线曲面的扩展1 2 2 - 2 3 i 、三角b - b 曲面的扩展【3 2 1 等此外，这种 带形状控制因子的曲线曲面还可以在多项式与三角多项式的混合空间中生 成1 2 5 - 2 6 1 通过形状参数的不同取值可对曲线曲面作整体调控刘值则将其推广 成1 3 次b 6 z i e r 曲线的扩剧”1 ；韩旭里等提出带一个形状参数的三次均匀b 样条 曲线的扩展p 4 1 ；王文涛等则将其推广成1 1 次b 样条曲线的扩剧”1 ；所有这些扩 展的共同特点是它们比普通b 6 z i e r 曲线或b 样条曲线的次数升高一次，并且都 带一个形状参数此外，这种带一个形状参数的曲线曲面还可以在三角多项式空 耐2 2 - 2 3 1 ，以及多项式与三角多项式混合空间p 6 】中生成 在文献 2 5 中以 1 ，f ，s i n t ，c o s t 为基底构造了低阶c - b 6 z i e r 曲线和c b 样条 曲线，文献 2 9 将c - b 6 z i e r 曲线和c b 样条曲线推广到了n 阶，分别在空间 瓦= s p a n 1 ，t ，t n - 2 s i n t ，c o s t 和乙- 1 = s p a n 1 ，f ，t n - 3 , s i n t ，c o s t ) 上定义了c b6 z i e r 基和c - b 样条基( n u a t b 样条基) c - b 6 z i e r 曲线和c b 样条曲线继承了b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线的许多良好性质，如端点插值、导矢、凸包、离散、变 差缩减性等，更重要的是它们还实现了用统一的方式来表示自由曲线、圆锥曲线 与超越曲线，极大地方便了工程设计，可应用于c a d c a m 领域 综上所述，自由曲线曲面技术是c a g d 的核心前人在自由曲线曲面造型中 的研究为曲线曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 3 课题研究的目的和意义 c o o n s 曲面自诞生以来主要是以曲面片的形式应用于车船飞机的外形设计， 双三次c o o n s 曲面片是其最普遍的应用形式，但变形自由度小，一旦边界曲线确 定了，就只能通过改变角点扭矢作有限的变形迄今为止，有关c o o n s 曲面的研 究主要围绕在曲面片的应用上，而把它作为自由曲面来研究其变形方法的还很 少事实上，在应用c o o n s 曲面进行自由曲面造型时还有很多问题需要解决， c o o n s 曲面片应用的关键是曲面内部形状的控制，除了边角条件之外，控制函数 是影响c o o n s 曲面形状的另一因素如何构造控制函数，控制函数对曲面会有怎 样的影响是值得研究的课题到目前为止，c o o n s 曲面的控制函数大多采用的是 多项式基，传统的多项式曲面片虽然在表示与设计曲面时显示出强大的表现形 式，但在精确表示圆环面、椭球面、球面等二次曲面时却无能为力，只能作近似 逼近这样在高阶的情况下曲面次数就会很高，需要用特殊的算、法【3 7 】来计算， 而选用其他形式的基函数 3 6 , 3 8 - 4 5 1 往往能避免这些缺陷本文给出了c o o n s 曲面的 扩展，构造了两组混合函数，在此基础上分别构造了两类带形状参数的混合 c o o n s 类曲面片所构造的曲面片不仅具有双三次c o o n s 曲面片的性质，而且可 通过调控形状参数得到不同的曲面片另外所得曲面片还能精确表示圆环面、椭 球面、球面等二次曲面片，这样的曲面片也易于光滑拼合构造复杂曲面，满足不 同的需求 1 4 本文的主要研究内容 本文针对c o o n s 曲面在进行自由曲面造型时遇到的问题进行研究，在前人研 究的基础上，着重研究了在多项式函数与三角函数的混合函数空间中c o o n s 类曲 面的构造、性质及应用全文共分五章，第一章是对本文的研究背景，c a g d 中 参数曲线曲面造型的研究现状和发展及本课题研究的目的和意义进行了综述第 二章依次阐述了第一类、第二类、第三类c o o n s 曲面以及双三次c o o n s 曲面的构 造过程及特点，讨论了影响双三次c o o n s 曲面形状调整的因素第三章给出了两 组混合函数，并分析了这两组函数的性质在此基础上分别构造了两类带形状参 数的混合c o o n s 类曲面片所构造的曲面片不仅具有双三次c o o n s 曲面片的性质， 而且带有形状参数，可通过调整形状参数得到不同的曲面片另外，所得曲面还 能精确表示圆环面、椭球面等二次曲面第四章以第一类带形状参数的混合 c o o n s 类曲面片为例研究了c o o n s 类曲面片的光滑拼接问题，建立了具有公共边 界曲线的两张c o o n s 类曲面片g 1 光滑拼接条件，并给出了相关算法及实例第 4 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 五章是对全文的工作、创新点和理论、实际意义做一个总结，并展望今后的研究 工作 5 中南大学硕士学位论文第二章c o o n s 曲面 第二章c o o n s 曲面 本章对c o o n s 曲面作以系统的介绍依次阐述第一类、第二类、第三类c o o n s 曲面以及双三次c o o n s 曲面，着重说明其构造原理最后介绍了影响双三次c o o n s 曲面形状调整的因素 2 1 具有给定边界的c o o n s 曲面片 2 1 1 曲面表示法与记号 为了便于介绍c o o n s 曲面的构造原理，我们先扼要归纳曲面的表示法与记 号 1 ) 曲面上的点o ，y ，z ) 可表示为双参数“和1 ，的函数p ( u ，1 ，) ： p ( u ，1 ，) = 【x ( u ，d ，y ( u ，v ) ，z ( u ，v ) 】，”， o ，1 】 2 ) 令1 ，= ，则p ( u ，v o ) 是曲面上一条以材为参数的曲线，称为u 向线或甜线 的值由0 变化至1 ，可得一组u 向线，由此构成整张曲面片类似地，参数u 由 0 变化至1 ，可得到一组v 向线，同样构成了整张曲面片 3 ) 曲面片的四条边界曲线为p ( u ，o ) ，p ( u ，1 ) ，p ( o ，1 ，) 和p ( 1 ，1 ，) ，见图2 1 p 瓤 p o 0 i 图2 1 曲面的表示法与记号 4 ) 曲面片的四个角点为p ( o ，0 ) ，p ( o ，1 ) ，p ( 1 ，o ) 和p ( 1 ，1 ) 见图2 1 2 1 2 双线性c o o n s 曲面 这是c o o n s 曲面片中最简单的曲面片给定由四条参数曲线围成的封闭空间 曲边四边形，使两对边分别定义在”【o ，1 】与v 【0 ，1 】上如图2 1 ，要求找到一 6 中南大学硕士学位论文 第二章c o o n s 曲面 张以这四条参数曲线为边界曲线的曲面p ( u ，) ，“，v 【0 ，1 】 先对一对1 ，边界之间由线性插值构作直纹面 q ( u ，v ) = ( 1 - u ) p ( o ，1 ，) + u p ( 1 ，d ，“，1 ， 0 ，1 】 ( 2 1 1 ) 它插值于一对，边界，但不插值于另一对“边界 类似地，在一对”边界之间可构作另一直纹面 r ( u ，1 ，) = ( 1 - v ) p ( u ，0 ) + w ( u ，1 ) ，“，1 ，【o ，1 】 ( 2 1 2 ) 它插值于一对“边界，但不插值于另一对v 边界 为得到要求的插值曲面，两直纹面迭加必须减去由曲面片四角点决定的一张双线 性张量积曲面 咖_ 1 】 嚣昌嚣批v 卜吲叭，亿) 于是我们得到所要求的双线性c o o n s 曲面片 p ( u ，1 ，) = q ( u ，v ) + ，( “，1 ，) - s ( u ，v ) ( 2 1 4 ) 我们将( 2 1 4 ) 改写为矩阵形式： m 朋邛，嘲h 则m 蚶，忙 - 【1 _ 叫 嚣品烈p ( o ，1 , 1 1 ) ) 忙j l f 1 p ( u ，0 ) p ( u ，i ) i 卜1 = 一卜l1 一“甜】fp ( o ，v ) p ( o ，o ) p ( o ，1 ) i i1 一vi ，甜，1 ， o ，1 】 ( 2 1 5 ) i p ( 1 ，v ) p ( 1 ，o ) p ( 1 ，1 ) 儿，j 中南大学硕士学位论文 第二章c o o n s 曲面 2 ：( 歹) = ： ：i 二 f ，j f = = o ，1 ( 2 1 6 ) i 1 p ( u ，o ) p ( u ，1 ) | i 一1l p ( u ，v ) = - - 1 f o ( u ) 巧( 扰) 】| p ( o ，) p ( o ，o ) p ( o ，1 ) i | f o ( v ) l ，则 o ，l 】( 2 1 7 ) l p ( 1 ，1 ，) p ( 1 ，0 ) p ( 1 ，1 ) j l f , ( v ) j 2 2 具有给定边界和跨界切矢的c o o n s 曲面片 在各种应用领域中，斜率连续是一个非常重要的条件，但前述简单曲面片只 能保证四条边界处的位置连续，其跨界切矢是曲面片所固有的若要求满足斜率 连续，则除了给定边界外，还必须给定跨界切矢具体地说，曲面片必须满足具 有给定的四条边界p ( u ，) 和p ( i ，v ) 及其跨界切矢p ，( ”，j f ) 和见( f ，v ) ，其中 f ，j = o ，1 ，如图2 2 所示 v ) 图2 2 曲面片的边界及其跨界切矢 因此，我们必须采用二对c 1 连续的混合函数：磊，互；g o ，g l ，它们要满足条件： je ( j ) = g ：( ) = ：i 二 l 歹：。，。 ( 2 2 ，) 【互( 歹) = q ( 歹) = 0 ， 由此可知，我们只要采用三次多项式便可构造上述的二对混合函数，其中一种形 式如( 2 2 2 ) 所示： 8 中南大学硕士学位论文 第二章c o o n s 曲面 f o ( u ) = 2 u 3 - 3 u 2 + 1 ， e ( z ，) _ - 2 ，u 3 + 挈2 ， ( 2 2 2 ) g o ( 甜) = u 5 2 u 2 + 甜， g l ( 掰) = 甜3 1 , 4 2 ， 下面进行具体的构造： 首先，根据边界曲线p ( o ，d 和p ( 1 ，1 ，) 及其跨界切矢见( o ，) 和见( 1 ，1 ，) 构造沿 参数u 方向的直纹面： q ( u ，v ) = 【磊( “) 互( “) g o ( u ) g 1 ( “) 】 p ( 0 ，1 ，) p ( 1 ，们 见( 0 ，1 ，) 见( 1 ，v ) ( 2 2 3 ) 类似地，可根据边界曲线p ( 甜，0 ) 和p ( 甜，1 ) 及其跨界切矢风( 甜，0 ) 和p ，( 甜，1 ) 构造沿 参数v 方向的直纹面： r ( u ，1 ，) = p f u ，o ) p ( u ，1 ) p v ( u ，o ) p v ( u ，1 ) 】 f o ( 1 ，) 巧( ，) g o ( ，) g l ( ，) ( 2 2 4 ) 为得到所要求的插值曲面，两直纹面迭加必须减去由角点数据插值的张量积曲 面： s ( u ，力= 【r ( 材) 巧( “) g o ( u ) g l ) 】 p ( o ，o ) p ( 1 ，0 ) 成( 0 ，0 ) 见( 1 ，0 ) p ( o ，1 ) p ( 1 ，1 ) 见( 0 ，1 ) 见( 1 ，1 ) p 。( 0 ，0 ) 仇( 1 ，0 ) ( 0 ，o ) ( 1 ，o ) p 。( o ，1 ) p a l ，1 ) ( 0 ，1 ) ( 1 ，1 ) e ( v ) 互( v ) g 0 ( v ) g l ( ，) 我们得到插值于给定边界和跨界切矢的曲面片p ( 材，： p ( u ，) = q ( u ，v ) + ，( “，v ) 一s ( u ，1 ，) ( 2 2 6 ) 式( 2 2 6 ) 可以用矩阵形式表示为： p ( u ，) = 一【一1f o ( “) f i t ( u ) g o ( ”) g l ( u ) j l 0 p ( u ，o ) p ( u ，1 ) p v ( u ，o ) ip ( o ，dp ( o ，o ) p ( o ，1 ) 风( o ，o ) lp ( 1 ，v )p ( 1 ，o ) p 0 ，1 ) p a l ，o ) l 见( o ，v ) 见( o ，o ) 成( o ，1 ) p o ( o ，0 ) 【- p 0 ， ，) 见( 1 ，o ) 见( 1 ，1 ) ( 1 ，o ) 9 p 。( “，1 ) 仇( 0 ，1 ) p a l ，1 ) 见，( 0 ，1 ) ( 1 ，1 ) 一1 只( ，) 互( 1 ，) g o ( ，) g l ( 1 ，) ，u ，1 ，【o ，1 】 ( 2 2 7 ) 中南大学硕士学位论文 第二章c o o n s 曲面 式( 2 2 7 ) 右端的五阶方阵中，第一行和第一列为两对边界及相应的跨界切矢； 右下角的四阶方阵由四个角点的有关信息组成，其中包括角点的点矢、“向切矢、 1 ，向切矢和混合偏导矢角点的所有信息都可由第一行或第- n 相应位置上的矢 函数求得该五阶方阵为具有给定边界和跨界切矢c o o n s 曲面片的边界信息矩 阵这一类曲面片也称作第二类c o o n s 曲面片 2 3 具有给定边界及跨界切矢、跨界导矢的c o o n s 曲面片 假定要使相邻两块曲面达到c 2 连续，光靠( 2 2 7 ) 表达式是不够的，因为除 了曲面的边界曲线和边界斜率外，还需要指定四个边界曲率 ( “，0 ) ，( 甜，1 ) ，( 0 ，) 和p 删( 1 ， ，) 因此，我们必须采用三对c 2 连续的混合函 数：磊，曩；g 0 ，g l ；风，q ，它们要满足条件： 巧( 歹) = g ：( ，) = 巧( ，) 2 ：i 二 j ，：。，1 ( 2 3 1 ) l f 。( j ) = f ( 歹) = q ( 歹) = q ( j f ) = e ( j ) = 1 - i , ( j f j = 0 ， 由此可知，我们只要采用五次多项式便可构造上述的三对混合函数，其中一种形 式如( 2 3 2 ) 式所示： y o ( u ) = 一6 u 5 + 1 5 u 4 1 0 u 3 + l ， f ( 甜) = 6 u 5 1 5 u 4 + 1 0 u 3 ， g j ( “) = 一3 u 5 + 8 u 4 6 u 3 + 甜， g l ( 甜) = 一3 u 5 + 7 u 4 4 u 3 ， ( 2 3 2 ) 风( z ，) = 去( 材5 + 3 u 4 3 u 3 + 甜2 ) ， 二 q ( “) = i 1 ( 甜5 - 2 u 4 + 甜2 ) ， 参照式( 2 1 7 ) 和式( 2 2 7 ) ，可直接写出此类c o o n s 曲面片的表达式： p ( u ，1 ，) = 一【_ 1v o ( u ) 石( “) g o ( 甜) g l ( 甜) h o ( u ) q ( 甜) 】 0 p ( u ，0 ) p ( u ，1 )凤 ，o )p v ，1 ) 善k ，0 ) p 。 ，1 ) p ( o ，1 ，) p ( o ，o ) p ( o ，1 ) 风( o ，0 ) p ，( 0 ，1 )p w ( o ，0 ) p ，( 0 ，1 ) p ( 1 ，力p 0 ，o ) p 0 ，1 ) p v 0 ，0 ) p ，( 1 ，1 ) p o ( 1 ，o ) p a l ，1 ) 见( o ，d岛( 0 ，o )见( o ，1 ) p 0 ( o ，o ) p 0 ( o ，1 )( o ，o ) p ( o ，1 ) 见( 1 ，力p 0 ，0 ) p 0 ，1 ) ( 1 ，o ) ( 1 ，1 ) ( 1 ，0 ) ( 1 ，1 ) ( 0 ，v ) ( 0 ，0 ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，o ) 见。( 0 ，1 ) p m 。( 0 ，0 ) 见卿( 0 ，1 ) ( 1 ，1 ，) ( 1 ，0 ) ( 1 ，1 ) ( 1 ，0 ) 见。( 1 ，1 ) ( 1 ，0 ) ( 1 ，1 ) 1 0 1 届( v ) 互( 1 ，) g o ( 力 g l ( ，) h o ( v ) 且( 1 ，) 甜，1 ，【o ，1 】( 2 3 3 ) 冀 系统的考察式( 2 1 8 ) ，( 2 2 7 ) 和式( 2 3 3 ) ，我们得出下述结论： 1 ) 对曲面片的边界约束提高一阶，边界信息方阵扩大二阶，混合函数增加一对 2 ) 边界信息方阵中的第一行和第一列包含了全部的边界信息，余下的子方阵为 角点的各种信息 3 ) 边界信息方阵中各分块内的元素具有明显的分布规律 4 ) 由c o o n s 曲面片的生成规则可知，理论上，可以用c o o n s 曲面构造具有任意 高阶边界约束的曲面片，这是c o o n s 曲面对自由曲面造型理论最为重要的贡献 2 4 双三次c o o n s 曲面 在构造c o o n s 曲面时碰到的一个困难是如何选择合适的四条边界曲线及相应 的跨界切矢在信息矩阵中，边界上的信息必须与角点处的信息相匹配因此在 实际上，往往用角点信息来构造边界曲线和跨界切矢，这样构造出来的边界曲线 中南大学硕士学位论文第二章c o o n s 曲面 p ( u ，1 ) = p o ( ”) p ( o ，1 ) + 互( 甜) p ( 1 ，1 ) + g o ( 甜) p ( 0 ，1 ) + g l ( “) p ( 1 ，1 ) ， 见( 0 ，v ) = f o ( v ) 见( 0 ，o ) + 互( ，) 见( 0 ，1 ) + g o ( 1 ，) p 0 ( 0 ，0 ) + g l o ) j k ( o ，1 ) ， 见( 1 ，v ) = f o ( v ) p 。( 1 ，0 ) + 气( v ) 见( 1 ，1 ) + g o ( ，) ( 1 ，0 ) + g l ( v ) ( 1 ，1 ) ，( 2 4 i ) p a u ，0 ) = f o ( u ) p a o ，0 ) + 曩 ) 仇( 1 ，o ) + g 0 ( u ) p , a o ，0 ) + g l ) ( 1 ，o ) ， p ，( z ，i ) = f o ( u ) p ，( 0 ，1 ) + 最( “) p ，( 1 ，1 ) + g 0 ( 甜) 见，( 0 ，1 ) + g l ( “) p o ( 1 ，1 ) ， 将式( 2 4 1 ) 带a ( 2 2 7 ) 并加以整理，我们就得到了简化的曲面方程p ( u ，v ) ： p ( u ， ，) = 【( 甜) 互( 2 ，) g o ( u ) g l ( “) 】 p ( o ，o ) p ( 1 ，0 ) 见( 0 ，o ) p a l ，0 ) p ( o ，1 ) p ( 1 ，1 ) 见( 0 ，1 ) p 。( 1 ，1 ) p ，( 0 ，0 ) p ，( 1 ，0 ) ( 0 ，0 ) p 。( 1 ，o ) p a o ，1 ) p v ( 1 ，1 ) ( 0 ，1 ) ( 1 ，1 ) 最( v ) 厩( 1 ，) g o ( v ) g l ( v ) 甜， ，【0 ，1 】( 2 4 2 ) 其中，磊，互，g o 和g l 可取( 2 2 2 ) 式这就是说用这样的方法构造出来的双三次 c o o n s 曲面就是双三次h e r m i t e 插值多项式曲面，根据每个分量函数所具有的性 质，保证了参数形式的c o o n s 曲面通过边界曲线，甚至具有给定的跨界切矢，保 证了参数形式的分片c o o n s 曲面具有不同的光滑连接性以及被插曲面的逼近阶 仍应用三次混合函数，则式( 2 4 2 ) 可改写为： p ( u ，d = u m c m r v r ， ( 2 4 3 ) 式中： u = 甜3 材2 甜1 ，v = i v 3 1 ，2 v 1 ，z , v e o ，1 】， m = 2_2 33 00 lo l1 21 1 0 00 ，c = p ( o ，o ) p ( 1 ，0 ) 仇( 0 ，0 ) 见( 1 ，0 ) p ( o ，1 ) p ( 1 ，1 ) 仇( 0 ，1 ) 见( 1 ，1 ) 仇( 0 ，o ) a ( 1 ，0 ) ( 0 ，o ) ( 1 ，0 ) 仇( 0 ，1 ) p ，( 1 ，1 ) ( 0 ，1 ) ( 1 ，1 ) 曲面的参数方程为： lx ( “，v ) = u m c x m l v l ， y ( z ，1 ，) = u m