（计算数学专业论文）mortar型非协调四边形元的多重网格和区域分解方法.pdf

摘要 在本文中，我们利用m o r t a r 型非协调四边形元求离散解二阶椭圆问题。我 们在第一章中，对2 0 1 中提出的m o r t a r 型非协调四边形元，研究其多重网格方 法。我们提出了一种网格转移算子，在【6 】的理论框架下，证明w 循环的多重 网格法是最优的，即收敛率与网格尺寸及层数无关。同时，证明了可变的v 循 环多重网格算子的条件数一致有界。数值结果表明w 循环的多重网格法对任 意次的光滑步都收敛。在第二章中，我们研究四边形元的区域分解方法。我 们提出 m o r t a r 型旋转q 1 元的加性s e h w m z 方法，并证明了预条件子的条件数 与( 1 + * o g ( n h ) ) 成正比，其中日和h 分别是粗网格尺寸和细网格尺寸。 关键词：多重网格法，加性s e h w a m 方法，m o r t a r 元，非协调四边形元，旋 转q 1 元，预条件子 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w eu t i l i z et h em o r t a r - t y p en o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a le b m e n t sf o rt h ed i s c r e t i z a t i o no fe l l i p t i cp r o b l e m s i nt h ec h a p t e r1 ，w ec o n s i d e r m u l t i g r i dm e t h o d sf o rt h em o r t a r - t y p en o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a le l e m e n tp r o - p o s e di nf 2 0 1 a ni n t e r g r i dt r a n s f e ro p i e r a t o ri sp r o p o s e d b a s e do nt h et h e o r y d e v e l o p e db y 6 1 i ti sp r o v e nt h a tt h ew - c y c l em u l t i g r i dm e t h o d i so p t i m a l ，i e ， t h ec o n v e r g e n c er a t ei si n d e p e n d e n to ft h em e s hs i z ea n dm e s hl e v e l m e a n - w h i l e ，i ti sp r o v e nt h a tt h ec o n d i t i o nn u m b e ro ft h ev a r i a b l ev - c y c l em u l t i g r i d p r e c o n d i t i o n e ri 8u n i f o r m l yb o u n d e d n u m e r i c a le x p e r i m e n t sd e m o n s t r a t et h a t t h eo p t i m a lc o n v e 】! g e n e ep r o p e r t yf o rt h ew - c y c l ea l g o r i t h mh o l d sw i t ha n yn u l n - h e ro fs m o o t h i n gs t e p s i nt h ec h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rd o m a i nd e c o m p o s i t i o n m e t h o d 8f o rq u a d r i l a t e r a le l e m e n t s w bp r o v i d ea d d i t i v es c h w a r zm e t h o d sf o r t h em o r t a r - t y p er o t a t e dq 1e l e m e n t ，a n dp r o v et h a tt h ec o n d i t i o nn u m b e ro f t h ea d d i t i v es c h w a r zp r e c o n d i t i o n e do p e r a t o ri 8p r o p o r t i o n a lt o ( 1 + l o g ( h h ) ) ， w h e r ehi st h ec o a l - s em e s hs i z ea n dhi st h ef i n em e s hs i z e k e yw o r d s ：m u l t i g r i dm e t h o d ，a d d i t i v es c h w a r zm e t h o d ，m o r t a re l e m e n t ，n o n - c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a le l e m e n t ，r o t a t e dq 1e l e m e n t ，p r e c o n d i t i o n e r 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 ，本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或 撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：i 全为 日 期： 鲤葚点国z 殳旦 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：i 金塑 日期：! z 毒宜宜 p r e f a c e m a n y 蜊c a lp h e n o m e n aa n dt e c h n i c a lp r o b l e m sa l em o d e l e db yp a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s t h u si t i sn a t u r a lt ot r yt of i n daw a yf o r 慨t h e s e p r o b l e m si na f a s ta n dr e l i a b l em a r i n e rb ys o m ek i n d so fd i s c r e t i z a t i o na n de f f e c - t i r es o l v e r s t h em o d e lu s u a l l yi sf i r s tf o r m e da sav a r i a t i o n a lp r o b l e m ，a n dt h e n 8n e wp r o b l e mi nad i s c r e t es p a c ei sf o r m u l a t e d t h em u l t i g r i dm e t h o dp r o v i d e sa no p t i m a lo r d e ra l g o r i t h mf o rs o l v i n ge l l i p t i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s t h ee r r o rb o u n d so f t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no b t a i n e d f r o mt h ef u l lm u l t i g r i da l g o r i t h ma r ec o m p a r a b l et ot h et h e o r e t i c a lb o u n d so ft h e e r r o ri nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，w h i l et h ea m o u n to fc o m p u t a t i o n a lw o r k i n v o l v e di sp r o p o r t i o n a lo n l yt ot h en u m b e ro fu n k n o w n si nt h ed i s c r e t i z e de q u a - t i o n s t h em u l t i g r i dm e t h o dh a st w om a i nf e a t u r e s ：s m o o t h i n go i lt h ec u r r e n t 鲥da n de r r o rc 0 1 t e c t i o no nac o a r s e rg r i d t h es m o o t h i n gs t e ph a st h ee f f e c to f d a m p i n go u tt h eo s c i l l a t o r yp a r to ft h ee r r o r t h ef l m o o t hp a r to ft h ee r r o rc a d e q u a t i o n s t h ee a r l i e s td o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o dk n o w nt ou si st h ea l t e r - n a t i n gm e t h o do fh a s c h w a r zf 3 0 1 ，f i r s tp u b l i s h e di n1 8 7 0 s c h w a r zm e t h o d s h i g h l i g h tt h er e q u i r e m e n tn e c e s s a r yt ot u r nl a r g ea n do f t e nv e r yi l l - c o n d i t i o n e d l i n e a rs y s t e m so fa l g e b r a i ce q u a t i o n si n t om u c hb e t t e rc o n d i t i o n e dp r e c o n d i t i o n e d s y s t e m s w jn o t et h a ts i l c c e 8 8i ns u c ha ne 4 1 0 r tc a nl e a dt os p e c t r a lb o u n d sw h i c h a r ei n d e p e n d e n to ft h ed i m e n s i o no ft h ep r o b l e mo rw h i c ho n l yd e t e r i o r a t ev e r y s l o w l yw i t hd e c r e a s i n gm e s hp a r a m e t e r s t h em o r t a re l e m e n tm e t h o di sa n o n c o n f o r m i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d w i t hn o n o v e r l a p p i n gs u b d o m a i u s ，w h i c hw a sf i r s tp r o p o s e di n1 5 1 0 n ec 姐c o n - s i d e ru s i n gd i f f e r e n tk i n do fd i s c r e t i z a t i o nt e c h n i q u ew h i c hu t i l i z e si ns u b d o m a i n s d i f f e r e n tm e t h d d 8o rt h es a m em e t h o db u tb u i l to ni n d e p e n d e n tm e s h e sb yt h e 1 2 m o r t a re l e m e n tm e t h o d 皿1 i 8m e t h o di sb a s e do nc o u p l i n gb e t w e e nn o n i n a t c h - i n gm e s h e so na d j a c o n ts u b d o m a i n sb yi m p o s i n ga l li n t e g r a ll 2 一t y p ec o n d i t i o n o nt r a c e so ff i n i t ee l e m e n tf r a c t i o na c r o s ss u b d o m a i ni n t e r f a c e s t h i 8c o n d i t i o n c o n t r o l st h e u m po ft h et r a c eo fad i s c r e t es o l u t i o na n de n a b l e s1 1 8t oo b t a i n a no p t i m a le r r o re s t i m a t eb e t w e e nt h ed i s c r e t es o l u t i o na n dt h es o l u t i o no ft h e o r i g i n a ld i f f e r e n t i a lp r o b l e m i nf 5 1 ，a u t h o r sp r o v e dt h ec o e r c i v i t yo ft h ea s s o c i - a t e db i l i n e a rf o r mo nt h em o r t a rf i n i t ee l e m e n ts p a c e ，t h a ti m p l i e de x i s t e n c ea n d a n dr o t a t e dq 1 n o n c o n f o r m i n g q u a d r i l a t e r a le l e m e n t s t h em o r t a rm e t h o dw i t h 尸ln o n c o n f o r m i n ge l e m e n t sw a s p r o p o s e da n da n a l r z e di n 【1 7 ，2 4 ，2 5 ，2 7 ，叫t w ok i n d so ft h eq u a d r i l a t e r a l r o t a t e dq 1e l e m e n ts p a c e sw e r ed 西n e di n 【3 4 t h em o r t a rm e t h o dw i t ht h e n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n ti nc h a p t e r1w a so n l yc o n s i d e r e di n 【2 3 ，w h i l et h e a ni n t e r g r i dt r a n s f e ro p e r a t o ri sp r o p o s e d b a s e do n 6 1 ，w ep r o v et h a tt h e 、 c y c l ea l g o r i t h mc o n v e r g e sw i t has u f f i c i e n t l yl a r g en u m b e ro fs m o o t h i n gs t e p si n t h eb r o k e ne n e r g yn o r n la tar a t ew h i c hi si n d e p e n d e n to f 刚dl e v e l s ，a n dt h a t t h ec o n d i t i o nn u m b e ro ft h ev a r i a b l ev c y c l em u l t i g r i dp r e c o n d i t i o n e ri sb o u n d i n d e p e n d e n t l yo ft h en m n b e ro f 鲥dl e v e l s c h a p t e r2 ：w ec o n s i d e rad i s c r e t i z a t i o no fe l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s b yt h en e w v e r s i o no ft h em o r t a re l e m e n tm e t h o dw h i c hu s e dt h er o t a t e dq 1 e l e m e n t ( c f a 3 ) i ne a c hs u b d o m a i n f o rc o n s t r u c t i n ga na d d i t i v es c h w a r zp r e - c o n d i t i o n e r ，a ni n t e r g r i dt r a n s f e ro p e r a t o ri sp r o p o s e df o rt h em o r t a re l e m e n t s p a c e s w ep r o v et h a tt h ec o n d i t i o nn u m b e ro ft h ea d d i t i v es c h w a r zp r e c o n d i - t i o n e do p e r a t o ri sp r o p o r t i o n a lt o ( 1 + l o g ( h h ) ) ，w h e r ehi st h ec o a r s em e s h s i z ea n dhi st h ef i n em e s hs i z e t h et h r e eb a s i ci d e a so fs t a b l ed e c o m p o s i t i o n s s t r e n g t h e n e dc a u c h yi n e q u a l i t i e sa n ds t a b l el o c a ls o l v e r sc o n t a i n e di nt h r e ea s - s u m p t i o n s ( c f 1 8 1 ) i n 2 6a r ee e n t r a l c h a p t e r1 m u l t i g r i dm e t h o d sf o rm o r t a r n o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a l u a d r l l e r a l e l e m e n t s 0 n t r 。d u c t i o n h e 、盂l t i g 砌m e t h o dp 州d 鹤趾。p t i m a l0 r d e ra l g 埘t h mf o r8 0 l 恤gt h e a l g e b r a i ce q u a t i o n sd i s c r e t i z e db yt h ef i n i t ee l e m e n to rf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ， a n dt h ea m o u n to fc o m p u t a t i o n a lw o r ki sp r o p o r t i o n a lo n l yt ot h en u m b e ro f u n k n o w n s i tw o r k sw i t has e q u e n c eo fl e v e l so fi n c r e a s i n gf i n e n e s s ，e a c ho f p l i n g o f n o n m a t c h i n g t r i a n g u l a t i o n s a l o n g i n t e r i o r i n t e r f a c e s b e t w e e ns u b d o m a i n s t h u saw e a kc o n t i n u i t yc o n d i t i o no ft h ef i n i t ee l e m e n ts p a c e s ，c a l l e dt h em o r t a r c o n d i t i o n o i li n t e r f a c e sc a nh er e q u i r e di n s t e a do fag e n e r a lo n e t h e s eo f f e r m u c hm o r ef l e x i b i l i t yi nt h ed e s i g no ff i n i t ee l e m e n t st h a ns t a n d a r dd o m a i nd e - c o m p o s i t i o nm e t h o d s ，h o w e v e r ，m o s to ft h ew o r k sm a k eu s eo fc o n f o r m i n gf i n i t e e l e m e n ts p a c e si ne a c hs u b d o m a i n f 2 4 ，i n s p i r e db yf 2 9 ，f i r s tc o n s t r u c t e da n da n - l a t e r a le l e m e n t a n di ti sp r o v e nt h a tt h ew c y c l ea n dv a r i a b l ev - c y c l em u l t i g r i d m e t h o d sa r eb o t ho p t i m a l t h er e m i n d e ro ft h ec h a p t e ri sa sf o l l o w s 1 2i n t r o - d u e e st h em o r t a rn o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a lf i n i t ee l e m e n t8 d a c e n u m e r i c a l e x p e r i m e n t sd e m o n s t r a t et h a tt h eo p t i m a lc o n v e r g e n c ep r o p e r t yf o rt h ew - c y c l e a l g o r i t h mh o l d sw i t ha n yn u m b e ro fs m o o t h i n gs t e p s i n 1 3 ，w ec o n s t r u c ta l l i n t e r g r i dt r a n s f e ro p e r a t o rf o rt h em o r t a re l e m e n ts p a c ea n dp r e s e n to u rm u l t i - g r i da l g o r i t h m s t h ec o n v e r g e n c e 衄由豳i sg i v e ni n 1 4 1 5p r e s e n t st h e n u m e r i c a lr e s u l t s f o rc o n v e n i e n c e ，w ed e n o t eb ycau n i v e r s a lc o n s t a n tw h i c hi s i n d e p e n d e n to ft h em e s hs i z ea n dl e v e lb u tw h o s ev a l u e sc a nd i f f e rf t o mp l a c et o p l a c et h r o u g h o u tt h i sc h a p t e r 。 1 2m o r t a rn o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a le l e m e n t i nt h i sc h a p t e r w ed e 蛆w i t ht h ef o l l o w i n gm o d e lp r o b l e m ： f a t = f ，i n q ， 【口= 0 ， 砌， w h e r eq r 2i sab o u n d e dr e c t a n g l eo rl - s h a p e dd o m a i n ，l 2 ( q ) t h ev a r i a t i o n a lf o r mo f ( 1 2 1 ) i st of i n dq 瑶( q ) s u c ht h a t ( 1 2 1 ) n 扣， ) = ( ，t ，) ，砩( q ) ， ( 1 2 2 ) w h e r e t h eb i l i n e a r f o r m 口( 钍，口) = 矗硼v v d x ，讹，秽h 1 ) w ea s s u m et h ef o l l o w i n gr e g u l a r i t yf o rt h es o l u t i o no f ( 1 2 1 ) ：f o ra n y ， l 2 ( a ) ，i th o l d st h a t 1 2 o l l f o o ( 1 2 3 ) w ea 8 s l u n et h a tqi sd e c o m p o s e di n t on o n o v e r l a p p i n go p e nr e c t a n g u l a rs u b d o - m a i n s q k ，1 岛n ， 砭= u 瓢w i t h 嘎n = o ，歹 1 2m o r t a rn o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a le l e m e n t 5 l e t 矸b et h ec o a l s e s tq u a s i - u a i f o r mt r i a n g u l a t i o no ft h ed o m a i nq im a d e o fe l e m e n t st h a ta l er e c t a n g l e sw h o s ee d g e sa r ep a r a l l e lt ox - a x i so r p - a x i s t h e m e s hp a r a m e t e rh i ，女i st h ed i a m e t e ro ft h el a r g e s te l e m e n ti n 砰，a n dl e th i2 l m 蜓a x ，d 蛐h e g l o b a l m 础些矸b y 五w e r 血et h e r i a n g u l a t i o n 五t op r o d u c e 正b ys p l i t t i n ge a c hr e c t a n g l eo f 五i n t of o u rr e c t a n g l e sb yj o i n i n g t h eo p p o s i t em i d p o i n t so ft h ee d g e so ft h er e c t a n g l e t h et r i a n g u l a t i o n 五i s q u a s i - t m i f o r mo fs i z e = h l 2 r e p e a t i n gt h i sp r o c e s s ，w eg e tt h el - t i m er e l i n e d t r i a n g u l a t i o n 五w i t hm e s hs i z eh i = h 1 2 1 一，z = 1 ，工 硫酵b et h e8 e to f t h ee d g e so f 斧d e n o t et h eg 1 0 1 ) a 1e d g e su 辞b y 舀 m o r e o v e r ，阮i st h em i d p o i n to fe 局 f o re a c ht r i m g u l a t i o n 带( q k ) ，w ei n t r o d u c et h en o n c o n f o r m i n gn i t ee l e m e n t e m p l o y e di n 【2 0 l e tk = 卜- 1 ，1 】2b et h er e f e r e n c es q u a r ei nr 2a n d 龟= 跏 1 ，z ，可，( 矿一；) 一( 矿一：矿) ) b et h er e f e r e n c e 丘n i t ee l e m e n ts p岔 aaee o nd e f i n ef i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c eb y 时) = 管驴( q t ) i 口i e = 秽。嵫1 ，艿乏，钺才， 讹咖t 劬。璐a t t h ee d g e m i d p o i n t 必，v e 岛( q ) 如d 口i 耳( ) = o ，v e e , ( 0 n n 勰) ) 詹_ ki b 缸i t 伍l n em a p p i n gf o ra l lk 带n o t et h a tf o r 移 ”( q 女) ， 砌z = h 口( 必) ，v e 舀( 瓢) ( 1 2 4 ) ，e l 酏 n ， 霸= 1 1 时= 铆it ，f = 铆i 吼时( q - ) 七= 1 o b v i 0 i i s l y , w e h a ：l 陀茌k 仁仁圪 w er e s t r i c to u r s e l v 圈t ot h eg e o m e t r i c a l l yc o n f o r m i n gs i t u a t i o nw h e r et h ei n - t e r s e e t i o nb e t w e e nt h eb o u n d a r yo fa n yt w od i f f e r e n t8 u b d o m a i n 8q n ，i j ， i se i t h e re m p t ys e t ，av e r t e x ，o rao i l l i l l o n e d g e l e ti od e n o t et h eo p e n e d g et h a ti sc o l n l l l o nt ot w os u b d o m o i qa n d f u r t h e r w i l lb ea 】8 0 c a l l e di n t e r f a c ea n dd e n o t e db y1 h ( 1 m m ) w ea l s on e e dt oi u t r o d u e e ag l o b a li n t e r f a c er 嬲t h eu n i o no fa l li n t e r f a c e sb e t w e e nt h es u b d o m a i m ，i e ， r ：u 瓣：u “k ：c j n o t e t h a t e a c he d g e i n h e r i t 8 t w 0 t r i a n - g u l a t i o mm a d eo fs e g m e n t 甚t h ta r ee d g e so fe l e m e n t so ft h et r i a n g u l a t i o no f 哦 ! ：竺! 些竺竺里! 堕竺迪墨竺型! 些! ! ! 坐堂! ! ! ! 苎 曼 a n d ，r e s p e c t i v e l y i nt h i sw a y , e a c h i sp r o v i d e dw i t ht w oi n d e p e n d e n ta n d d i f f e r e n t1 dm e s h e sw h i c ha r ed e n o t e db y 万( ) a n d 刀( 如) b e c a u s eo n rs o l u t i o ns p a c ei sn o tc o n t a i n e di n 础( q ) ，i nw h a tf o l l o w sw e h a v et oi n t r o d u c es o m em a t c h i n gc o n d i t i o n so v e ra l li n t e r f a c e sr “crw h i c ha r e s u f f i c i e n tt oe n s u r et h eo p t i m a l i t yo ft h eg l o b a la p p r o x i m a t i o n o n eo ft h es i d e so fp oi sd e f i n e da 8am o r t a r ( m a s t e r ) o n e ，d e n o t e db y7 , n ( o ， a n dt h eo t h e ra sa n o n m o r t a r ( s l a v e ) o n ed e n o t e db yk u ) l e tt h em o r t a rs i d e o f b ec h o s e nb yt h ec o n d i t i o n ：h i # h f j a na u x i l i a r yt e s ts p a c e 脑( 如( j ) ) i sd e f i n e db y 蚴( j ) ) = 口工2 ( 疋吣) ) i 口i sp i e c e w i s e c o n s t a n to ne l e m e n t so ft h e 、 n o n m o r t a rt r i a n g u l a t i o n 五( 乱) ：= 零( ) t h ed i m e n s i o no f ( k u ) ) i se q u a lt ot h en u m b e ro fe l e m e n t so n 如o ) f o re a c hn o n m o r t a re d g e 靠o ) = cr ，w ei n t r o d u c et h el 2 - o r t h o g o n a l p r o j e c t i o no p e r a t o r 吼“：l 2 ( ) _ 尬( 稚) b y ( q l ，k ，删) 弘( 靠u ) ) = ( ，w ) l 2 ( k u ) ) ，y w 蚴( “) ， w h e r e ( ，) 伊( 如a ) ) d e n o t e st h el 2i n n e rp r o d u c t o v e rt h es p a c el 2 ( 如u ) ) - w en o wd e f i n et h ef o l l o w i n gm o r t a rf i n i t ed e m e n ts p a c ef o rn o n c o n f o r m i n g q u a d r i l a t e r a le l e m e n t s ： = 口访【v = 靠cr ，q l 。) i ) = q 1 k 扣i 如) t h ec o n d i t i o no f t h ee q u a l i t yo f t h el 2 - o r t h o g o n a lp r o j e c t i o no f t h et r a c e so n t ot h e t e s ts p a c ef o re a c hi n t e r f a c ei sc a l l e dt h em o r t a rc o n d i t i o na n dc a l lb ee q u i v a l e n t l y r e w r i t t e na s ： ( 叫枷) 一移) ) w a s = 0 ，v w 蚴( 如o ) ) ( 1 2 5 ) 。o m o i t i s w o r t h t o n o t e t h a t v z 仁嘲( q ) s i n c ef u n c t i o n si no u rd i s c r e t es p a c e a r en o tc o n t i n u o u s ，w em u s tu s ea m o d i f i e dv a r i a t i o n a lf o r ma l ( ，一) i nt h ed i s c r e t i z e dp r o b l e m l e tm ( ，) b ea l o c a lb i l i n e a rf o r m ，i e t h a ti sd e f i n e d0 1 1e l e m e n t sf r o m 斧a n d 啦( ，) ag l o b a l f o r md e f i n e do v e rf l ： 0 l ，一( 舒，谛) = v 前v 谛d z ，呲，砖时， 等“ ( 1 2 6 ) r 、_， c $ 1 ( r l ，协) = 1 0 l ( 铆，仇) ，v 啦，铆玩 1 3i u l t i g r i da l g o r i t h m 7 t h ef o r ma l ( ，) i sp o s i t i v e - d e f i n i t eo i lm b yas i m p l ea r g u m e n tt h a ti fm 扣，口) = 0 f o rt j ，t h e n 矿= i n ki sc o n s t a n to v e re a c he l e m e n to f 才，n e x tt h ec o n t i n u i t y o fi n t e g r a lo f 矿o ne d g e so fe l e m e n t sy i e l d st h a t 矿i sc o n s t a n ti nq a n df i n a l l y t h em o r t a rc o n d i t i o ny i e l d s 口= 0i nq f o ra n y 秽m ，w ei n t r o d u c et h es o - c a l l e db r o k e ne n e r g yn o r m ： n 、1 ，2 l l v z l l l = ( l l q l l h 】， ( 1 - 2 7 ) 知兰l w h e r e1 l 仇0 扎= a l ， ( 让，研) t h em o r t a rt y p er o t a t e dn o n c o n f o r m i n gq u a d r i l a t e