（计算数学专业论文）二阶预测校正间断有限元的误差分析.pdf

摘要 摘要 本文讨论二阶预测校正间断有限元方法( 简记为p c d g ) 求解守恒律方程的 l 2 误差估计。若守恒律方程的真解充分光滑，我们有如下结论：对一维非线性守 恒律和任意维数的线性守恒律，若d g 方法中使用p 1 元( 分片线性多项式) ，我们 可以在通常的c f l 条件7 - p 危下得到格式的误差分析；对其它情形( 利用高次 p 七元求解非线性守恒律) ，理论分析需要更强的时间限制条件7 - p 九4 3 ，这符合 高次p 缸元求解非线性守恒律时格式是线性不稳定的事实。对单调数值流通量，求 解守恒律方程的p c d g 方法具有拟最优阶误差估计，其误差估计为o ( h 2 + 吉+ 7 2 ) 。 这里的 是空间网格的最大长度，7 - 是时间步长。 关键字：间断有限元预测校正误差估计守恒律 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ee r r o re s t i m a t e st os u f f i c i e n t l ys m o o t hs o l u t i o n so fs e c o n d o r d e rp r e d i c t o r - c o r r e c t i o nd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ( p c d g ) m e t h o d s ，e s p e c i a l l yf o rt h e s e c o n do r d e rp r e d i c t o r - c o r r e c t i o nt i m e m a r c h i n ga l g o r i t h m w eo b t a i nt h ef o l l o w i n g c o n c l u s i o n ：f o rt h eo n ed i m e n s i o n a ln o n l i n e a rc o n v e r s i o nl a w sa n dm u l t i - d i m e n s i o n a l l i n e a rc o n v e r s i o nl a w s ，t h ed gm e t h o d ，w h i c hu s e sp 1e l e m e n t s ( p i e c e w i s el i n e a rp o l y n o n ：l i a l ) c a nb eo b t a i n e dt h es c h e m e se r r o ra n a l y s i su n d e rc f l c o n d i t i o nr p 九； f o ro t h e rs i t u a t i o n ( u s i n gh i g ho r d e rp 七e l e m e n t st os o l v en o n l i n e a rc o n v e r s i o nl a w s ) a s t r o n gt i m ec o n s t r a i n t sc o n d i t i o nr p 九4 3i sn e e d e di nt h e o r y w es h o u l de m p h a s i z e t h a tt h et i m ea n ds p a c ec o n d i t i o ni sn e c e s s a r yb e c a u s eu s i n gh i g ho r d e rp & e l e m e n t s t os o l v en o n l i n e a rc o n v e r s i o nl a w si sl i n e a ru n s t a b l e p c d gm e t h o dh a sq u s i o p t i m a l o r d e re r r o re s t i m a t i o n ，e r r o re s t i m a t e so fo ( h k + 壹+ 丁2 ) a r eo b t a i n e df o ro r d i n a r ym o n o t o n en u m e r i c a lf l u x e s ，w h e r ehi st h em a x i m u me l e m e n tl e n g t h ，7 i st i m es t e pl e n g t h k e yw o r d s ：d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n t p r e d i c t o r - c o r r e c t i o n e r r o r e s t i m a t e sc o n s e r v a t i o nl a w s 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：源肥氓 叫嚣年r 月；o 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：住纰主武 鸭r 月弓。e t 第一章引言 第一章引言 本文将考虑预测校正间断有限元( p r e d i c t o r - c o r r e c t i o nd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n f i n i t ee l e m e n t ，简称p c d g ) 方法求解单个守恒律方程 d o t u + 屯五( 缸) = o ， ( z ，) q ( o ，r ) ，( 1 o 1 a ) i = 1 u ( t = 0 ) = u o ，z q ，( 1 0 1 b ) 的l 2 误差估计，其中z = ( z 1 ，x d ) 和f ( u ) = ( ( 札) ，厶( 礼) ) 假定流通量函数 f ( u ) 关于变量u 充分光滑，如f c 3 足以；在大多数情形下，仅仅需要f c 2 。 为突显p c d g 方法的本质特性，本文不注重问题的边界条件，而简单假定讨论的 问题具有周期或紧支集的真解。在大多数情形下，我们将仅给出一维的具体分析 过程，即q = j = ( 0 ，1 ) 为单位区间；本文误差分析主要针对问题( 1 0 1 ) 的光滑 解，间断解( 激波) 未作考虑。 本章将简要介绍间断有限元的发展历史和相关的误差估计结果，以及时间离 散方式，最后给出本文的主要工作。 1 1间断有限元及其误差分析回顾 间断有限元方法( d g ) 是利用完全间断的分片多项式空间作为近似解和试验 函数空间的一种有限元方法( 在 1 ，2 ，3 ，4 】中做了详细介绍) d g 的出现最早可 以追溯到1 9 7 3 年r e e d 和h i l l 关于中子运输方程问题的论文【5 】，1 9 7 4 年l e s a i n t 和r a v i a r t 在【6 】中第一次对其进行了理论分析。随后8 0 年代出现了丰富多样的 间断有限元方法，如b a s s y r e b a y 方法，b a u m a n n o d e n 方法，b a b u s k a z l a m a l 方法 等。直到8 0 年代后期和9 0 年代，c o c k b u m 和s h u 结合r u n g e k u t t a 方法将d g 推 广到非线性一维守恒律方程和方程组，高维守恒律方程和方程组，d g 才真正在许 多方面的计算应用上显示了前所未有的效能，特别在解决含有间断现象的问题中 发挥着越来越大的作用，目前已经被广泛地应用到水动力学，气动力学等问题上。 在数学上，它不仅在求解椭圆【7 】和双曲守恒律方程【8 ，9 ，1 0 ，1 l ，1 2 ，对流占优 【1 3 】，以及对流扩散方程 1 4 】中相当成功，而且对不可压缩流体方程等问题也卓有 第一章引言 成效其中，c o c k b u r n 和s h u 等人自8 0 年后期提出并发展的r u n g e k u t t a 间断 g a l e r k i n 方法 1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 】尤其引人注目。 从总体上讲，间断有限元方法既保持了普通有限元( f e m ) 和有限体积法 ( f v m ) 2 3 】的优点，又克服了上述方法的不足。具体来讲，它具有如下特点： 1 d g 方法延续了f e m 易于处理复杂边界和边值问题的优势，并且可以灵活处 理各种间断，克服了一般f e m 不适于处理间断问题的缺点； 2 d g 方法精度的提高可以通过适当选取基函数，即提高单元插值多项式的次 数来实现，这克服了f v m 中通过扩大节点模板计算剖分单元交界面处的流 通量的方法来提高精度的不足； 3 d g 方法中，由于近似解的间断性假设，对网格正则性要求不高，不需要考虑 像一般有限元方法中连续性的限制条件就可以对网格进行加密或减疏处理， 而且不同的剖分单元可以采用不同形式、不同次数的逼近多项式，有利于自 适应网格的形成； 4 尤其是r u n g e k u t t ad g 中，由于单元基函数在单元交界处允许出现间断，可 以通过适当地选取基函数，使得质量矩阵是分块对角的，而且每一块的阶数 和相应单元的自由度相同，并且在每一步r u n g e k u t t a 计算中，为了求解给定 单元内部的自由度，只需要相邻单元的自由度，从而处理器之间的信息传递 量保持最小，有利于并行算法的实现。 下面我们回顾有关d g 方法的一些收敛性分析( 或误差分析) 的已知结论。 若线性守恒律方程的真解充分光滑，已有如下的最优阶误差估计：对一维有限元 或高维张量型有限元，误差为o ( h 七+ 1 ) 阶；而对其它的一般情形，误差为o ( h 七+ 壶) 阶。【6 ，2 4 】和【1 2 】讨论了关于定常问题或采用时空有限元( 时间和空间均间断) d g 方法的误差分析，一般网格剖分的最优误差估计见【11 1 ；【2 0 给出半离散的( 时间 连续) d g 方法的误差分析。对于具有非光滑解的非线性守恒律方程，j i a n g s h u 【2 5 】证明在每个单元内半离散d g 方法依旧保持关于平方熵的熵不等式成立，这 意味着若数值解收敛到某个解，则将收敛到守恒律方程的熵解；此外，c o c k b u r n e t a 1 在l i ( q ) 模度量下，证明p o ( 分片常数) 有限元具有0 ( 专) 阶误差估计，此 时的间断有限元方法与单调有限体积法等价。对于分片高次p 有限元，【2 6 】给 出附加额外的“s h o c kc a p t u r i n g ”项时d g 方法的误差分析。 2 第一章引言 1 2 时间离散方式 本节简要介绍一下常用的几种时间离散方式，以简单方程饥= f ( u ) 为例说 明。设铲为时刻t n 时的值，丁为相应的时间步长。欲求n + 1 时刻的近似值“n “， 我们可以考虑如下方法： ( 1 ) e u l e r 法：包括e u l e r 向前和e u l e r 向后两种方法，具体形式分别是 乱n + 1 一u 竹= t f ( u n ) ，u n + 1 一u n = 7 - ，( 让 + 1 ) ( 2 ) c r a n k n i c o l s o n 格式 扩卅叫( 竿) 若f ( u 1 为线性函数，则上述格式可看作向前和向后e u l e r 法的算术平均。但通常 ，( u ) 是非线性函数，这对应一个非线性问题，数值求解比较困难。 ( 3 ) 预测校正( p r e d i c t o r - c o r r e c t i o n ) 格式 此格式可看作c n 格式的线性化处理，其表达形式为： u ( p ) = 让n + 7 - ，( u n ) 乱( c ) 卅州( 掣) ( 4 ) r u n g e k u t t a 法 本文仅列出r u n g e k u t t a 法的二阶格式 w n = 矿+ 7 - ，( u n ) 乱州卅+ 丁掣 不难发现：当厂为线性函数时，预测校正格式与c r a n k n i c o l s o n 格式、二阶r u n g e k u t t a 格式是一致的 1 3 本文工作 本文主要关心预测校正间断有限元( p c d g ) 方法在求解单个守恒律方程光滑 解时的误差分析，即其在空间上采取间断有限元( d g ) 离散，时间方向上采取二阶 3 第一章引言 t v d ( t o t a lv a r i a t i o nd i m i n i s h i n g ) 预测校正格式。本文主要工作是建立在z h a n g 2 7 】 的基础上的，但是我们由之前的时间离散方式( 4 ) 可以知道，当，为线性函数时，预 测校正格式降化为二阶r u n g e k u t t a 格式，所以我们的分析过程相对r u n g e k u t t a d g 2 7 】的分析过程将更加繁琐，另外由于流通量的限制，使得我们在某些项的处 理上变得更加小心，特别是在2 伊一i c n 的分析过程中，与此同时，我们在误差分 析结果上也能得到拟最优阶误差估计 本文内容安排如下：在第二章，我们给出问题( 1 0 1 ) 的p c d g 方法和其收敛 定理。具体的证明将在后面章节具体给出。在第三章，我们导出p c d g 方法的误 差方程，并引出收敛定理证明过程中一关键引理在第四章，我们将分高次元和 线性元两种情况对单调数值流通量分别进行误差分析。 在本文的讨论中，我们将采用符号c ( 可带有下标) 表示某个与h 和7 无关 的正常数，其依赖于问题( 1 0 1 ) 的真解。此外，用符号g 表示仅依赖通量，二 阶( 或三阶) 导数最大绝对值的某个常数。注意，线性情形f = 优时g = 0 。我 们还用符号e 表示与h ，7 - 和问题( 1 0 1 ) 的真解均无关的某个小正数，同时以符号 m ，m ( g ) 表示仅仅依赖e 的某个正数，用于确定具体的c f l 数。不同的符号在不 同位置可具有不同的值。 4 第二章预测校正间断有限元 第二章预测校正间断有限元 本章中我们将给出预测校正间断有限元格式及其收敛定理，并且从定理得知， 本文中的预测校正格式对单调数值流通量同样具有拟最优阶误差估计 2 1 预测校正格式 在本节中我们定义一维单个守恒律方程( 1 0 1 ) 的预测校正间断有限元( p c d g ) 格式。对高维的问题，格式的构造是类似的。空间离散我们仍旧采取之前方法： 对区间i = ( 0 ，1 ) 的每个小单元 + ) 拦o ，记易= ( 巧一；，巧+ ；) ；对任意的 j = 1 ，定义= z 件丢一巧一丢；记h = m a x l g 给定时间步长 7 ( 实际上时间步长在每个时间层可以不同，本章取为常数为讨论便捷) 格式的数 值解让嚣( z ) = u h ( z ，礼丁) 属于有限元空间 v h = v 斧= v l 1 ( o ，1 ) ：可i 乃胪( 乃) ，j = 1 ，) ， ( 2 1 1 ) 其中舻( 易) 是定义在单元易上所有次数不超过k 的多项式全体。注意空间中 的函数在穿越每个单元边界时可以发生间断。此外，任意函数p l 2 ( 0 ，1 ) 到有 限元空间的标准l 2 投影峨p ，是满足如下定义 ，1 ( p h p ( x ) 一p ( z ) ) ( z ) d x = 0 ，v v h y h ( 2 1 2 ) ，0 的有限元空间k 中唯一元素。 为行文方便，引进一些符号。对任意的函数p 和q ，定义算子 o ，g ) = rf ( p ) o z q ( x ) d x 一 ) j + 口( 嘻) + 白) j 一g ( 嘻) ， ( 2 1 3 ) ， 其中盂0 ) j + ；是单调数值流通量，依赖函数p 在间断点( x j + ，t ) 左右两侧的值。 换言之，h ( p b + ( 亡) 兰磊0 ( 嘻，t ) ，p ( 唬 ，t ) ) 。称走( 。，6 ) 是单调数值流通量，若 其满足 ( a ) 局部l i p s c h i t z 连续，故而在任意有界区间有界； ( b ) 与流通量函数f ( p ) 相容，即h ( p ，p ) = ，) ； s 第二章预测校正间断有限元 ( c ) 关于第一个变量不减，关于第二个变量不增。 常用的单调数值流通量有g o d u n o v 、e n g q u i s t - - o s h e r ，和l a x - f r i e d r i c h s 数值流通 量等，对任意的函数p ，记 纠= 矿一p 一，矽= + + p 一) 1 2 ，喀2p ( 嘻；) ( 2 1 4 ) 从时间n 7 - 推进到( 佗+ 1 ) 7 - 时，带有二阶t v d 时间离散的p c d g 方法定义 如下：求解数值解叫嚣三叫嚣( z ) v h 和“嚣+ 1 三皖+ 1 ( z ) v h ，使得对任意的 v h 三v h ( x ) p 七( 乃) 和1 j n ， f i jw z v h d x = 乱z 出+ 丁( 乱：，嘲， f i jn + 1 3 h 出= 么咖 如地c 华胁l 其中格式的初始值定义为u o = 巩乱o ( z ) 。 2 2p c d g 的收敛定理 在给出收敛定理之前，我们先给出两点必要的说明： ( 2 1 5 a ) ( 2 1 5 b ) 1 为得到p c d g 方法的整体误差估计，我们延拓通量f ( u ) 到整个实数轴设 初值满足m o u o ( x ) m o ，由最大值原理可知问题的真解也满足m o u ( x ，t ) m o 因此我们可以修改通量，在r 【m o ，m o 】上的定义，而问题 ( 1 0 1 ) 的真解保持不变。令新的通量函数属于c 3 ( r ) ，在【m o ，m o 】上与，相 等，对ug 【m o 一1 ，m o + 1 有，7 ( 乱) = f u ) = 0 。为符号简单，我们仍记新的 通量函数为，。因此，我们假定函数，和它直到三阶的导数在r 上均有界。 2 在后面章节中我们将对单调数值流通量的情况进行误差分析证明为此，我们 引入一个单调数值流通量的重要性质， 引理2 1 设数值流通量h 与通量f 相容。在每个单元边界上定义 q ( 左，p ) 兰q ( 走；p 一，p + ) 全 l l ，o ，- p ) ( y l ，一左莩曷兰吕： ( 2 2 6 ) 6 第二章预测校正间断有限元 那么口( 左，p ) 非负，且关于任意的p = 白一，矿) r 2 均有界。此外，我们有 抄圳q ( 无，p ) + g 例， ( 2 2 7 a ) ， 一百1 ，p ) 纠q ( 亢，p ) + c 嘲2 ， 一 ( 2 2 7 b ) 其中界定常数g 仅仅依赖，和( 或) f 肌的最大绝对值 证明：因为单调数值流通量的性质，或更一般的e 流通量 2 8 1 的性质： 对任意的属于p 一和矿之间的q ，有 ( f ( q ) 一h ( p - , 矿) ) 0 + 一p 一) o ， ( 2 2 8 ) 显然第一个结论口( ，p ) 0 成立。又由单调数值流通量五的性质( a ) 、( b ) 以 及通量函数，的延拓，可知q ( 五，p ) 是有界性的。若纠= o ，由定义( 2 2 6 ) 可 知，不等式( 2 2 7 a ) 和( 2 2 7 b ) 显然成立。 若i v 0 ，为得到不等式( 2 2 7 a ) ，考虑如下两个情形：( i ) 若，7 p ) o ， 利用简单的直n - - 阶导数的t a y l o r 展开，由( 2 2 8 ) 可得 砸，p ) = 亩( 阍一f ( p - ) ) + 亩( ，一蚴) 互1 m ) 一- 譬l h o l ； 类似地，( i i ) 若，7 伤) 0 ，有 。( 左，p ) = 两1f 一y ( p + ) ) + 亩( ，矿) 一无p ) ) 一互1 ，7 ) 一譬i 纠i ， 其中正常数g 是，在p 一和p + 之间的最大绝对值。因此不等式( 2 2 7 a ) 得 证。同理，利用直到三阶导数的t a y l o r 展开，由( 2 2 8 ) 可证不等式( 2 2 7 b ) 成 立。引理得证。 本章最后我们给出p c d g 格式( 2 1 5 ) 的收敛结果，然后在接下来的章节中 给出具体的证明过程。我们将使用如下符号。对任意函数p 和g ，在不引起歧义 时，简记 q ( 矗，g ) 嘲2 = q ( 盂，q ) j + ；嘲知， l g d ( h ，g ) 纠2 = q 2 ( j + j 略 1 j 这里，函数g 可能是问题( 1 0 1 ) 的真解乱，w 或格式( 2 1 5 ) 的数值解z t h ，w h 。需 强调指出，若p 是问题( 1 0 1 ) 在每个时间层的真解u n 或w n ，我们有口( 矗，q ) = l ，( 口) l 。 7 第二章预测校正间断有限元 定理2 2 设守恒律方程限d j 7 ) 中的通量，c 3 ，真解u 有界且充分光滑；而 u ，l 是二阶时间离散的p r e d i c t o r - c o r r e c t i o n 间断有限元方法f 2 _ 7 刃的数值解，其 中有限元空间对应网格是区间i = ( 0 ，1 ) 的拟一致剖分记相应的数值误差为 e 2 = u ( t n ) 一皖。若有限元空间是分片高次多项式佧2 j ，当h 充分小时，在 时空关系7 - p 九4 3 下，有误差估计 e 邪+ 口( 无，昭) 旧2 7 c ( h 2 + 7 - 4 ) ，v n r ， ( 2 2 9 ) o m n 其中p 是某个给定的正常数。若有限元空间是分片线性多项式仳= 1 j ，当h 充分小时，在通常的c f l 条件7 - 肋下，有误差估计 蚓1 2 + 口( 元，u ，l m ) 【e u m 】2 7 c h 3 ， v n r ，( 2 2 1 0 ) 0 m 0 是某个适当选取的c f l 数。这里，界定正常数c 与n ，h ，丁和数值解 u 均无关，”li 为l 2 ( o ，1 ) 范数，此结论对单调数值流通量成立。 本定理的结论可适当推广到高维问题，详见第四章第二节的注释。 在本节最后，我们列出一些后面分析要经常用到的有限元空间的逆性质。 对任意的v h ，存在与和h 均无关的正常数c ，使得 ( i ) lj 以u f i c h 一1 i i u h i f ，( i i ) i i v i i n c h 一1 胆i l v h l l ，( i i i ) i i v h l l 。c h 一1 2 i i v , 。1 1 有关逆性质的具体讨论，请参见【2 1 。 8 第三章误差方程及其关键引理 _ 一一一 第三章误差方程及其关键引理 为得到p c d g 格式( 2 1 5 ) 对守恒律方程光滑解的误差估计，我们继续借鉴 【2 9 】和【2 7 】的思想，给出格式的误差方程，以及在误差估计分析过程中常用到的 一个关键引理。 3 1p c d g 的误差方程 设问题( 1 0 1 ) 的真解u 有界且充分光滑，令 w ( z ，t ) = 钍( z ，t ) + a 钍( z ，t ) 7 - ， ( 3 1 1 ) 我们有如下引理： 引理3 1 对任意的v ( x ) l 2 ( 易) 和1 j n ，有 咖( 卅巾) 出 “( x , t n + l m 帕 = 厶u ( 卅巾) d x + t 惭纠州瑚( 3 1 2 a ) = u ( 卅巾) 如 + 下于岛( 兰量兰i 竺学，秽( 茁) ) + e “( z ) u ( z ) 如( 3 1 2 b ) 其中对任意的n m = 【p 卅均有e n ( z ) = 0 ( 7 3 ) 证明：利用时间方向的t a y l o r 展开，我们有 乱( z ，t + 7 - ) 一u ( z ，) 一a 仳( z ，亡+ 互t ) 7 - = 0 ( 7 3 ) 。 由守恒律( 1 0 1 ) 和t a y l o r 展开式，可得 a u ( z ，+ 三) = 一0 j ( u ( z ，亡+ 三) ) = 一以弛( z ，) + 魏u ( z ，亡互t + d ( 鳓 = 一o x f ( 扎 ，) + a “ ，) 三) + o ( 丁2 ) ：一允，( 兰鱼掣) + d ( 丁2 ) 9 第三章误差方程及其关键引理 将其代入前面的等式，有 巾，抖忙乱( 州) 一训迎掣) 什。) 因此 硼( z ，t 亿) = u ( x ，t n ) 一o f ( u ( x ，t n ) ) 7 - ， 让( z ，亡n + 1 ) = 缸( z ，亡n ) 一以，( 竺垦兰掣) 丁+ o ( 丁3 ) 上面的分析与 2 9 】中的推导类似。我们在上面的两个等式两端乘上任意的函数 v ( x ) ，并在每个单元厶上积分，经简单的分部积分可得相应的弱形式，它们恰好 是引理中的两个结论。这里，我们使用了数值流通量的相容性和真解的连续性所 蕴涵的h ( u ，让) = f ( u ) 。引理得证。 下面我们推导p c d g 格式的误差方程，记p c d g 格式在每个时间层相续两 步的误差分别为e 2 = 乱( 护) 一让嚣和e ：= w ( t n ) 一嵋，其中简便起见省略变量 z 。利用引理3 1 和格式( 2 1 5 ) ，可以易得关于e 2 和e 0 的误差方程：对任意的 v h p 2 ( 易) ，1 j n 和扎 坼，有 e ：如= z e ：出+ r ( 矿，) 一丁( 喀) ， f l je ：+ l v h 如= 胎坩h 出硎，( t u n + w n 鳓h ( 华鳓) ， 其中让n = u ( t n ) 和w n = w ( t n ) 是问题的真解。 如通常的有限元误差分析，我们记关于真解钍和w 的插值逼近误差分别为 r i o = p h w 一伽和吼= p h u u ，其中l 2 投影巩己在( 2 1 2 ) 中定义。下面我们讨 论有关的插值逼近不等式。对任意的死坼，有 够l i + h l l r i ；l l o 。+ j 1i i j ，p i t , l l r c h 知+ 1 ， = u ，叫) ，( 3 1 3 ) 其界定正常数c 依赖l i p l i l * ( 日* + - ) ，而与扎，h 和7 均无关；r h 表示所有网格剖分 单元i j 的边界点全体。注意到投影算子耽的线性性质，利用叫的定义( 3 1 1 ) ， 有 f i 磁+ 1 一砣i i + i i 镌一磁l | c h 七+ 1 丁，n 0 依赖a 让，而与礼，h 和7 均无关。 1 0 第三章误差方程及其关键引理 记& = p h u u h 和毛= i p h w w h ，则p c d g 格式( 2 1 5 ) 在每个时间层相 续两步的误差为e 0 = 船一皖和四= 船一皖。从而，前面的误差方程亦可重写 为 器如= 器如+ 碍( ) ， ( z ) 胪( 易) ，( 3 1 5 a ) f jc , + l v h 如_ z 器如+ 留( ) ， ( z ) 胪( 易) ，( 3 1 5 b ) 其中 碍( ) = f ( 镌一r ：) v hd x + 7 - ( 矿，v h ) 一7 ( 乱z ，v h ) ， ( 3 1 5 c ) ，j z 2 ( v h ) = ( 矿1 一磁+ e n ( x ) ) v h d x jl + 丁( 半胁) 一丁( 华川 ( 3 1 5 d ) 为行文简便，记瓦n ( 饥) = 1 9 v 碍( ) 和( ) = 1 9 留( ) 。 我们使用能量模估计分析二阶时间离散的p c d g 格式之误差。在( 3 1 5 a ) 中 取检验函数v h = 器，器，和在( 3 1 5 b ) 中取v h = 器，经简单的演算，有 瓦n ( 器) + 2 胪( 器) 一瓦n ( 器) = l l 嚣+ 1 1 1 2 一i i 器1 1 2 一f l 器+ 1 一嚣忾 ( 3 1 6 ) 在接下两节中我们将致力于估计等式( 3 1 6 ) 的左右两端各项，对不同次数的有限 元空间和单调数值流通量，得到相应情形下格式( 2 1 5 ) 的误差估计。 3 2 关于时间离散的关键引理 上节中由( 3 1 5 ) 我们知道，我们的一个重要工作就是估计( 3 1 5 ) 中右端最后 一项，我们接下来将在本节中给出此项估计的一个极其关键的引理在整个误差 分析过程中，相比【2 7 ，我们的讨论更加繁琐。虽然最后结论和【2 7 】相同，但是中 间某些项不尽相同，为了行文清楚明了，在此把整个过程一并列出 首先我们考虑算子和咒n 之间的差距，然后由此来讨论因时间离散而引 起的误差船+ 1 一器。通过在各个单元边界的仔细估计，可得估计il 器+ 1 一器i l 的 关键引理。此不等式对于高次元和线性元的误差分析均起重要作用。下面的分析 中，主要的工具是t a y l o r 展开技巧。 1 1 第三章误差方程及其关键引理 在单元乃内部，记( 礼) = ，( 坚笋) 一，( 监笋) 一f ( u n ) + ，( u 嚣) ；而在单元 易的边界处，记n ( 佗) = 厂( 丁u n - l - w n ) 一五( 篮笋) 一，( 矿) + 元( 札嚣) 。利用( 3 1 5 c ) 与 ( 3 1 5 d ) 两式相减，对任意的v h ，我们有 pr ( ? 一碍) ( ) = 2 ( 砣+ 1 一花+ e ”( x ) ) v hd z + ：r n ( n ) o ：h d x ，i，j 一下( 他) j + u ( 嘻言) 4 - r ( 礼) j 一v h ( 巧_ + ) 全p 1 j ( ) + 0 2 j ( u ) + 口3 , j ( v h ) + 以j ( ) ， ( 3 2 7 ) 记每个o i , j ( ) 在所有单元易的和为e i ( ) = 1 9 以j ( ) 。我们分别估计等 式( 3 2 7 ) 中每一项。 首先，利用y o u n g 不等式，以及e n ( z ) = o f f 3 ) 和插值逼近性质( 3 1 4 ) ，我 们有 1 0 1v h ) l c ( h 2 k + 2 t 2 + t 6 ) + s i i i i 瓷， 其中是某个比较小的正数，具体的选择以后说明。 下面我们估计第二项0 2 ( ) 。注意到定义( 3 1 1 ) ，利用t a y l o r 展开，可得 ( 佗) ：7 咒，u ( 亡) ( 鱼去堡) 一丢咒( 华) 。+ 丢兑( 器一砣) 。( 佗) = 7 咒，u ( 亡) ( 半) 一言咒( 二兰 羔) 2 + 专咒( 器一砣) 2 一，伽n ) ( 雩掣) + ，伽n ) ( 霉警) 全r 1 + 磁+ 磁+ r 4 + r 5 ，( 3 2 8 ) 其中彤，咒和咒，u 是积分中值，如鬈= ，( 桫+ ( 1 一如) 赡) ，0 观1 ，p = u ，w 和尼= ，( o w ，u 仳n + ( 1 一钆，札) 硼n ) ，0 钆芦1 。因此，第二项0 2 , j ( v h ) 对应在 每个单元易的分量可以分解为 5 5 如j ( ) = 厂丁r 七如如= & j ( ) ， i = 1 。1 ，i = 1 记每个& jv ) 在所有单元易的和为& ( ) ，则0 2 ( v h ) = 5 i ：。& ( ) 。利用 y o u n g 不等式和有限元的逆性质( i ) ，容易得到 n 一4 i s l ( ) 1 - “h - 1 1 r ：l l e 2 + e ：1 1 2 + 4 1 v h l t 2 ， 1 4 ( h ) l 专( i i e ：i i 蝥+ i e 圳蝥) ( i i 嚣一砣1 1 2 + i i 器一磁+ e i 悒 i & ( ) i 等e u 2 n 一硎2 + 4 1 v , , 1 1 2 ， i & ( v p i 鲁慨一训2 + e l l v h l l 2 1 2 第三章误差方程及其关键引理 这里，我们留下最后一项( ) ，后面将与其他项组合起来估计。岛( ) 对应每 个单元易的分量为民j ( ) = 舌厶，7 ( “n ) ( 器一嚣) o x v h d x 。 我们转而讨论( 3 2 7 ) 中与数值流通量有关的最后两项，e 3 ( v h ) 和e 4v ) 。为 此，我们考虑它们在每个单元易的对应分量，即分别估计9 3 j ( ) 和以，j ( ) 。因 为对此的讨论十分相似，我们仅以项8 3 , j ( 讥) = 一下f i ( n ) j + 0 + ；) 为例，阐述 分析的过程和结论。注意到 n ( 垆墨兰型笙攀业型 了一一 a 2 掣：垒兰2 ：竺兰2 2 d a 3 、，_ _ ，。 儿 如前面对9 2 ，j ( ) 的处理，我们对a l 和a 2 做t a y l o r 展开 a 。+ a 2 ：丁兜，。缸他) ( 翌去墨) 一昙咒( 堡去堡) 2 + 昙i 凡i i l - 专 - n 钍一税) 。a 1 + a 2 = 7 - 咒，。缸7 ) ( 兰l 边) 一言咒( 二! - 丝) 2 + 百凡l 专钍一税) 2 ) ( 华) + ，铷叫牮) 垒q l + q 24 - q 3 + q 4 + q 5 ， ( 3 2 1 0 ) 其中咒，咒和兜u 是相应的积分中值( 为简便起见，使用与( 3 2 8 ) 相同的符号) 。 因此，对0 3 , j ( v h ) 和以j ( v h ) 可建立如下的分解 如j = 一7 - ( q 1 + + q 5 + a 3 + a 4 ) j + v h j + 吉 全( 五j + + 死j + 死j + 乃j ) ( ) ， 以j = r ( q 1 + + q 5 + a 3 - 1 - a 4 ) j 一1 v h , j 一； 垒( 矗j + + 元j + 磊j + 岛j ) ( ) 1 3 第三章误差方程及其关键引理 记五j ( ) ( 或磊j ( ) ) 在所有单元乃之和为正( ) ( 或雹( ) ) 。我们可以很容易 地估计上述各项。利用y o u n g 不等式和有限元逆性质( i i ) ，有 ，1，4，1，4 i t l ( v h ) l 鑫一( j i 艺j 1 2 - 4 - i i 艺1 1 2 ) + = 鲁一( i i n l i r 2 + j 1 nj i r 2 ) + l l v h l l 2 ， i t 2 ( v h ) l u 2 7 - ( 、1 1 e 缸n i i 2 l l - i - l i e n l l 。2i i ) ( 嚣1 1 2 + 器j 1 2 ) - i - ! 鲁一( i i e i i l i i - i - l i e 叫n1 1 2 0 0 i i ) ( 7 尤i i 鼓+ n i l h 2 ) + e l l v h l l 2 ， ，1f2，f2 i t 3 ( v 1 ) i 等悯ni 2 恻1 2 + 等l l e ：i 2 n 2 k + e 蚓1 2 ， i 丑( 钉h ) l = 1 1 7 7 嚣一皖l 晟+ i i 郇h l l 2 这里，我们再留下死( ) = 1 9 死j ( ) ，后面再一起估计。死( ) 在每个单 元易上的对应分量为死，j ( v h ) = 一三，7 ( 嗡丢) ( 包一盛) 升( z 再吾) 。至于( 3 2 9 ) 中 最后两项人3 和a 4 ，利用引理2 1 中关于乜( 元，u 嚣) 的定义，我们有 a 3 i = q ( 元，钆嚣) i u 嚣】i = q ( 毳，钆z ) l 【u n u 嚣】i q ( 元，醒) ( i 睡：】l - 4 - i 【叩：】i ) ，( 3 2 1 1 ) 怕( 允华) j 【华允华) f 华+ 竿】i q ( 盂，丝 盟) ( i 娩】i + i 【吃】i + l 雠 l + l 硼1 ) ( 3 2 1 2 ) 从而利用y o u n g 不等式，我们可如下估计珏( ) 和乃( ) ： 孙驯竿q 2 ( 讪n 眯牙n + 丁c t 2 m 仳剐n 】2 + l l 州i i ， 聊圳竿q 2 ( 茏华) ( 钎+ 脚) + 譬a 2 ( 允华) ( 【群。m i i v h l l 。 至此，我们可得到e 3 ( v h ) 的估计。同理，可得e 4 ( v h ) = ；五( ) 基本相同的 估计，其中的t 5 ( v h ) = 。 f 死，j ( ) 我们也暂且保留，后将与前面两个待估 计z a - - 起考虑。t 5 ( v h ) 在每个单元乃上的对应分量为r 5 d ( v h ) = 三，7 ( 乱翌三) ( 包一 露) j 一州嘻 ) 。 除了被留下待估计的三项之外，现在我们已经得到( c ? 一瓦? ) ( ) 中其它项 的估计，待估计三项是& ( v h ) ，死( ) 和死( v h ) 。考虑它们对应在每个单元厶的 1 4 第三章误差方程及其关键引理 分量之和，利用简单的分部积分，有 2 ( s 5 j ( v h ) + t 5 j ( ) + 磊j ) ) = 一r z ，( 叼) 包( 器一器) 出一下z 厂7 ( 矿) 一，( 哆) ) 包( 艺一嚣) 如 一下z 允，( 矿) ( 器一c ) v hd x 一互t 厂( 略 ) 雠一嚣】升( 嘻) + 互t ，7 ( 喙 ) 【船一器】卜( z 二) 全g 1 j ( v h ) + g 2 j ( v h ) + g 3 j ( v h ) + g 4 , j ( v h ) + g 5 j ( u ) ， ( 3 2 1 3 ) 其中哆= 饥( ( + + 吻一) ，t n ) 在每个单元易上为常数。记g j ( ) 在所有单元 易之和为g i ( ) 。于是，我们有 & ( 移 ) + 死( u ) + 死( v h ) = g l ( v h ) + c ，( v h ) + g a ( v h ) + g 4 ( v h ) + g 5 ( 秒_ 1 ) ( 3 2 1 4 ) 我们将逐项估计( 3 2 1 4 ) 中每项。由真解u 和通量，的光滑性可知，在每个单元 乃上有i 厂7 ( 钆n ) 一，7 ( 哆) l = d ( 九) 。利用有限元逆性质( i ) ，有 i g 2 ( ) l c v 2 | i 器一嚣1 1 2 + 5 | i 旷 利用y o u n g 不等式，我们有 1 g 3 ( ) i c t 2 i i 器一器1 1 2 + | i 魄1 1 2 需仔细估计( 3 2 1 3 ) 中与数值流通量有关的最后两项，即g 4 ( ) 和g 5 ( ) 。我们 的目标是利用q ( 五，u 2 ) 或q ( 元，叫嚣) 乘以嚣或器穿越单元边界时的跳跃来界定 这两项。 考虑它们在每个单元易的对应分量。由于可类似地估计g 4 j ( ) 和g 5 j ( ) ， 我们以g 4 , j ( v h ) 为例来阐述分析思路。省略下标j + 互1 ，在单元边界巧+ l 2 处有如 下分解 ，7 ( 让n )