（计算数学专业论文）几类地下渗流力学模型的数值模拟和分析.pdf

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限元和迎风混合元方法多维空间中多孔介质的不可压缩两楣渗流驱动问题，通常由 两个非线性的偏微分方程耦合而成，一个是压力方程，形式为椭圆型，易于处理；另一 个是饱和度方程，形式为对流占优的扩散方程，具有很强的双曲性质此问题是油蔽 数值模拟的重要基础领域之一，著名数学家、油藏数值模拟创始人j d o u g l a sj r 等人 开副了这一重要领域 1 , 2 ，3 1 上世纪8 0 年代以来，j d o u g l a s j r 和ree 。v l n g t f r u s s e l l m fw h e e l e r 袁益让等人基本完成了两相渗流驱动问题的基础性工作f 4 1 3 1 提出了著名的特征有限差分方法和特征有限元、特征混合元等方法众所周知，对于对 流占优的方程，单纯使用一般的有限元和有限差分方法会产生过多的数值弥散和非物 理振荡，特征方法f 6 , 8 ，9 ，1 0 ，1 3 1 可以有效的处理对流占优的问题，减少和避免数值弥散 和非物理振荡，然而在实际的应用中，该方法需要对时间和空间作插值计算，尤其在 计算边界时需要特别的处理，所以增加了计算的复杂性，并且要求模型是n 周期的， 下能保持质量守恒为解7 央这些缺点，后来出现了一系列改进的有限元方法，如流线 扩散法，高阶g o f l t l l l o v 方法f1 l1 讣加投迎风格式瞄及局部伴随e u l e r i a n l a g r a n g i a n 方 j 土( e l l a m ) 1 6 1 8 1 等但g o , m vf 苦式对时间步长有一个c f l 条件限制；而加权迎 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 生数值振荡无法保持原问题的局部质量守恒d a w s o n 在文献f 3 3 1 对于一维平衡吸 收的污染运移问题尝试应用一类迎风混合元方法，得到了较好的结果，但仅局限在低 阶问题半离散的理论分析上本章提出了g o d u n o v m i x e d 方法，与以往方法相比有本 质的区别，借助混合元方法和 1 4 ，1 5 ) 的高阶迎风方法来近似乎流项，实质性地推广到 二维平衡吸收和非平衡吸收的两类污染运移方程中：迎风格式处理平流项，混合元方 法处理扩散项，这种格式反映了原问题平流占优的特性，保持了质量守恒，考虑了非 l i p s c h i t z 连续的困难，得到了收敛性结果 在2 2 中。研究了平衡吸收的情形，得到了半离散的g o d u n o v m i x e d 方法在 2 2 3 则给出了进行误差分析所需要的投影和引理；在2 2 4 分析了半离散格式并得 到它的误差估计( 参见定理21 ) 在23 中，研究了非平衡吸收的情形，得到了全离散 的g o d u n o v m i x e d 方法，考虑了非l i p s c h i t z 连续的困难，在5 2 3 3 对此方法进行了收 敛性分析，得到问题的误差估计( 参见定理2 2 ) ；最后在2 3 4 给出了数值算例，说明 了方法的特点和优越性 本文第三章，研究了基于网格变动的两种有限元方法偏微分方程解的光滑性一 般说来随着时间和空间的变化而变化，往往某一部分变化平缓，某一部分变化剧烈 在非驻定问题中，变化剧烈的部分随时间而移动，例如尖峰、冲击波、火焰的传播等 等对于这种情况，有效的计算方法通常需要时间和空间发生相应的变化，在变化剧 烈的地方采取较小的步长，当精确解光滑时则采取较大的步长针对此现象许多学者 提出了网格变动的自适应有限元方法，特别是e r i k s s o n 和j o h n s o n 的一系列文献f 3 4 3 6 b a n k 和s a n t o s 时空变化的有限元方法 3 7 1 d u p o n t 对于网格改进的早期工作f 3 8 l 以及m i l l e r 3 9 4 0 】和梁国平【4 l ，4 2 】的变网格方法 本章研究了网格随时间层发生变化的程序，时间上采用向后e u l e r 方法，空间上 则分别采用交替方向有限元法 4 3 ，4 4 】以及低阶r a v i a r t t h o m a s 混合元【4 5 1 交替方向 方法是由d o u g l a s 和d u p o n t 针对矩形区域上的抛物和双曲方程最先提出的【4 34 4 j ，实 践证明这种方法是近似多个变量的偏微分方程非常有效的数值方法交替方向方法可 以将高维问题化为一系列独立的一维问题进行求解，从而降低了计算的工作量，提高 了计算的并行性，发挥有限元法高精度的特点许多研究学者对此方法作了进一步的 研究和推广，使其具有更大的应用范围4 6 4 8 1 i 考虑到交替方向方法和网格变动的优点，把两者结合来处理多维空间的偏微分方 程，适合大范围超大规模超长时间的问题文献【4 9 1 曾利用此思想处理类特殊的线 性双曲方程，在不同的时间层使用h 1 投影，但日。投影计算量非常大，通常只是理 论分析的应用，在32 和5 3 3 分别研究了非线性抛物方程和双曲方程，克服了方程非 线性不能交替的困难，且采用比日1 投影更简单的铲- 投影，构造了交替方向变网格 方法，应用更加广泛在3 2 2 和3 33 给出了误差分析，在一定的条件下得到最优 的误差估计( 参见定理3 1 , 3 2 ) ：最后给出了数值算例 在盼4 我们考虑第一章讨论的半正定不可压缩两相渗流驱动问题针对此间题的 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 风格式和流线扩散方法都人为增加了一些扰动项；e l l a m 方法虽可以保持局部的质 量守恒，但需要进行大量的积分运算 体积有限元( f v e ) ，有些文献称为广义差分方法或b o xm e t h o d ，是由李荣华最先提 出的f 1 9 27 1 ，主要涉及两个空间，其中试探函数空间是初始剖分上的多项式函数空间， 检验函数空间是对偶剖分上的分片常数空间f v e 方法既能保持差分法的计算简单 性，又兼有有限元方法的精确性，具有网格剖分灵活、工作量小、精确度较高、可以 保持质量守恒( 这对流体及地下流体计算是很重要的) 等优点文献f 2 6 曾对混溶驱动 问题应用广义迎风格式，但只考虑了不含弥散项的情况，得到了能量模的估计本文 1 2 基于三角剖分对包含弥散项的混溶驱动问题提出了有限体积元方法，5 1 2 3 是进 行误差分析时的预备知识和引理；经过复杂的分析过程，应用归纳假设，在1 24 给 出了一般的三角形剖分上含弥散项时的日1 模误差估计( 参见定理11 1 ；12 5 在特殊 的对称对偶剖分下给出了不含弥散项时的一模误差估计( 参见定理1 2 ) ：最后给出了 体积有限元的数值算例 一般情况下，渗流驱动问题的数值方法均建立在饱和度方程的扩散矩阵是正定的 假设条件下，但在很多实际情况中，这类问题的扩散矩阵仅满足半正定，在此条件下 很多理论不再适用，传统的椭圆投影不再成立，因此对这种半正定问题的分析出现实 贡性困难d a w s o n 和袁益让曾提出几类特征有限元和特征差分方法 1 0 2 8 瑚】，但仍 不能克服特征方法的局限性本文i l _ 3 和5 l4 考虑了半正定的两相渗流驱动问题，从 迎风混合元的角度研究此类问题迎风混合元方法不必要求周期性条件，易于实现， 适用于多维问题，克服了对流占优所产生的数值振荡，尤其是它保留了原问题的两个 重要性质：极值原理和质量守恒原理显然，无论是在物理学或力学方面，还是在数 值分析方面，这两个性质都是十分重要的1 3 3 中证明了格式是质量守恒的，并给 出了进行收敛性分析时所需要的重要引理；在1 34 进行了收敛性分析，由于半正定 条件的存在，得到了次优的估计( 参见定理13 ) ；而在5 1 3 5 中针对传统的正定情况， 迎风混合元方法可以得到摄优的误差估计( 参见( 13 4 7 ) ) 在l4 对半正定问题考虑了 迎风混合元多步方法，提高了它的时间精度在5 1 4 3 给出收敛性分析，得到了误差 估计( 参见定理14 ) ；最后给出可以说明问题的数值算例， 本文第二章，研究了二维污染运移方程，该类问题数学模型通常表现为平流占优 的对流扩散方程组，其中包含平流项、扩散项和吸收项，根据吸收项化学反应速度的 快慢，又可以分为平衡和非平衡吸收的两种情形这绅问题的数值模拟研究，对于环 境保护，污水处理以及地下水资源评估等等具有重要的意义分析其物理模型可知该 类问题具有非l i p s c h i t z 连续的性质，这种非线性的出现降低了解的正则性，对它的分 析具有实质上的困难，尤其是全离散的格式，需要做特别的处理文献 3 0 3 1 分别对 不含平流项的简化模型考虑了g a l e r k i n 有限元方法，在那里利用一个l i p s c h i t z 近似函 数机来近似代替非l i p s c h i t z 函数妒从而得到工2 ( 0 ，了1 ：l 2 ( n ) ) 空间上的误差估计文 献f 3 2 1 对于非平衡吸收的情形研究分析了特征一g a l e r k i n 方法，但上述方法很容易产 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n 数值方法已有很多，均是建立在固定的网格和固定的基函数上f 1 - 5 7 1 0 2 8 2 9 】，当饱和 度方程相对光滑时这些方法都可以得到很好的结果，但对于激烈的前沿或者某些局部 性质，则不能得到有效的理想结果为了解决这个困难，我们研究了网格随时间变化 的有限元方法，在激烈前沿附近加细网格构造新的基函数本节所研究的方法在网格 任意变动的情况下得到几乎最优的收敛阶，在正定的情形下对网格变动的有限元方法 进行改进，即把当前时间的解的线性构造投影变换到瓤的网格，此时可以得到网格任 意变动下最优的收敛阶 5 342 对于扩散矩阵d ( “) 20 半正定时提出了两相渗流驱动 问题基于网格变动的迎风混合元方法，并分析了格式，得到任意网格变动下几乎最优 的误差估计( 参见定理3 , 3 ) ：在34 3 我们给出了d ( u ) 0 正定情形下基于网格变动的 迎风混合元方法，并得到误差估汁；接着在5 3 44 给出了改进后的格式，得到任意网 格变动下最优的误差估计( 参见定理34 j ：最后在3 4 5 给出了数值算例，从应用的角 度很好的说明了此方法的可行性 关键词：半正定，有限体积元，迎风，混合有限元，多步，自适应有限元法，收敛 性分析，数值算例 t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa n da n a i s i sf o r t h em o d e l s0 fs o m eu n d e r g r o u n df l u i d s o n gh u a i l i n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y j i n a n s h a n d o n 9 12 5 0 1 0 0 p e o p l e ：sr e p u b l i co jc h i n a a b s t r a c t t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n so ft h em o d e l sf o rt h eu n d e r g r o u n df l u i da r et h em o s ti m p o r r a n tm e m b e r so ft h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n so fe n e r g ys o u r c et h er e s e a r c ho ft h eu n d e r g r o u n d f l u i dh a sd e e p l yi n f l u e n c e do nt h ed e v e l o p m e n to fs o c i e t ya n de c o n o m i c s ，a n dh a sb e e np r o - d u c i n gg r e a tb e n e f i t st ot h ee c o n o m y al a r g en u m b e ro ft h eu n d e r g r o u n df l u i do f s i g n i f i c a n ti n t e r e s ta r em o d e l l e db yc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dd i f f u s i o ns y s t e m s e x a m p l e si n c l u d et h es i m u l a t i o no fn m l t i p h a s ea n dm u l t i c o m p o n e n tf l o w si np o r o u sm e d i ac o m i n gf r o mp e t r o l e u ma n de n v i r o n m e n t a le n g i n e e r i n g ，o f c e r t a i ns e m i c o n d u c t o rd e v i c e s ，a n do fv a r i o u sa t m o s p h e r i ca n df l u i df l o w s t h en u m e r i c a l s i m u l a t i o no fc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f u s i o np r o b l e m sr e q u i r e ss p e c i a lt r e a t m e n t m a n y s c h o l a r sh a v ec a r r i e do u tag r e a td e a lo fr e s e a r c h ，a n dd e v e l o p e dav a r i e t yo fn u m e r i c a lt e c h n i q u e sw h i c hh a v eo b t a i n e db e t t e ra p p r o x i m a t i o n s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t w os o r t so ft h em o d e l sf o rt h eu n d e r g r o u n df l u i da r ec o n s i d e r e d ， f i r s t ，i n c o m p r e s s i b l et w o - p h a s em i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i aw h i c ht h ed i f f u s i o n m a t r i xi sp o s i t i v es e m i d e f i n i t eo rp o s i t i v ed e f i n i t e ；s e c o n d ，u n d e r g r o u n dw a t e rc o n t a m i n a - t i o np r o b l e m sw h i c hc o n t a i nt h en o n l i p s c h i t zd i f f i c u l t y w ep r e s e n tt h es c h e m e sw h i c ha r e s u i tf o rt h em o d e l sa n dm a i n t a i nt h em a s sc o n s e r v a t i o nl a w ，a n dg i v er i g o r o u sc o n v e r g e n c e a n a l y s i sa n de x p e r i m e n t sw h i c hv e r i f y i n gt h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa n di n d i c a t i n gt h ee f f i c i e n c y a n dv a l i d i t yo ft h e s es c h e m e s t h ew o r ki nt h i sd i s s e r t a t i o nh a v ei m p o r t a n ti m p r o v e m e n t s ， e s p e c i a l l yf o rt h ea p p l i c a t i o no ft h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d ，t h eu p w i n d m i x e df i n i t e e l e m e n ts c h e m e la n dt h em e t h o d so nd y n a m i c a l l yc h a n g i n gm e s h t h ew o r kc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n ta n dt h eu p w i n d m i x e dm e t h o d sa r ep r e s e n t e d f o rt h em u l t i d i m e n s i o n a li n c o m p r e s s i b l et w 0 _ p h a s ef l o wd i s p l a c e n m n ti np o r o u sm e d i a ，w h i c h i sg o v e r n e db yas y s t e mo ft w oe q u a t i o n o n eo fe l l i p t i cf o r mf o rt h ep r e s s u r ea n dt h eo t h e r o fp a r a b o l i cf o r mf o rt h ec o n c e n t r a t i o no t o n eo ft i l ef l u i d st h ep j o b l e mi so n eo ft h em o s t i m p o r t a n tb a s i cf i e l d so fo i lr e s e r v o i rn u m e r i c a ls i m u l a t i o n j d o u g l a s e ta 1 d e v e l o p e dt h i s r e s e a r c hf i e l df i r s t l y 【1 , 2 ，3 】t h e y l a v ei u e s e n t e dn l a n yf a m o u sn u m e r i c a lm e t h o d ss u c ha s s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n t h ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ed i f i e f e n c em e t h o d t h ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n ta n dt h ec h a r a c t e r i s t i cm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o de t c ，a n dh a v ec o m p l e t e dt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a l e x p e r i n m n t sw h i c hh a v eb e c o m et h eb a s i ct h e o r i e sa n de x p e r i m e n t so no i ir e s e r v o i rn u m e r i c a l s i m u l a t i o nf 4 - 1 3 1 i np h y s i c a lo i le n g i n e e r i n g t h ec o n c e n t r a t i o ni sc o n v e c t i o n d o m i n a t e d i i sw e l lk n o w n t h a tf o rt h ec o n v e c t i o n - d o m i n a t e dp r o b l e m st h es t a n d a r dm e t h o d s ，s u c ha sf i n i t ed i f f e r e n c e o rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，p r o d u c ee x c e s s i v en u m e r i c a ld i f f u s i o n ，o rt h e yi n t r o d u c en o n p h y s i c a lo s c i l l a t i o n si n t ot h en u m e r i c a ls o l u t i o n t h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s 6 , 8 ，9 ，l o ，1 3 h a s p r o v e de f f e c t i v ei nt r e a t i n gc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dd i f f u s i o np r o b l e m s e r r o re s t i m a t e sa n d n u m e r i c a le x p e r i m e n t sh a v es h o w nt h a tt h i sm e t h o dp e r m i t st h eu s eo fl a r g et i m es t e p s ，a n d a v o i d so rs h a r p l yr e d u c e st h eu s u a ln u m e r i c a ld i f f i c u l t i e s ：n u m e r i c a ld i f f u s i o na n dn o n p h y s i - c a lo s c i l l a t i o n s u n f o r t u n a t e l y ，i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，t h ec h a r a c t e r i s t i c ss c h e m ea r eq u i t e c o m p l i c a t e d ，b e c a u s et e m p o r a la n ds p a t i a li n t e r p o l a t i o na r en e e d e de s p e c i a l l yf o rc o m p u t i n g b o u n d a r y f h l r t h e r m o r e i tc a nf a i lt op r e s e r v en a t u r a lc o n s e r v a t i o n ，a n db e c a u s eo fu s i n gt h e c h a r a c t e r i s t i cd i r e c t i o n i tr e q u i r e st h a tt h em o d e lb en - p e r i o d i c b e s i d e st h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s ，av a r i e t yo fn u m e r i c a lt e c h n i q u e sh a v eb e e ni n - t r o d u c e dt oo b t a i nb e t t e ra p p r o x i m a t i o n s ，s u c ha st h es t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ，h i g h e r o r d e rg o d u n o vs c h e m e 1 4 ，1 5 ，u p s t r e a m w e i g h t e df i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e s ，a n dt h ee u l e r i a n l a g r a n g i a nl o c a l i z e da d j o i n tm e t h o d ( e l l a m ) 1 6 一l s l e a c hm e t h o dh a si t sa d v a n t a g e sa n d d i s a d v a n t a g e s e x p l i c i tc h a r a c t e r i s t i ca n dg o d u n o vs c h e m e sr e q u i r et h a tac f lt i m es t e p c o n s t r a i n tb ei m p o s e d u p s t r e a mw e i g h t i n gt e n d st oi n t r o d u c ei n t ot h es o l u t i o na ne x c e s s i v e a m o u n to fn u m e r i c a ld i f f u s i o nn e a rt h es h a r pf r o n t s c o m p a r e dw i t hu p s t r e a mw e i g h t i n g ，t h e s t r e a m l i n ed i f l u s i o nm e t h o dr e d u c e st h ea m o u n to fn u m e r i c a ld i f f u s i o n i ta d d sau s e r - d e f i n e d a m o u n tb i a s e di nt h ed i r e c t i o no ft h es t r e a m l i n e i ne l l a m i tc a hb ed i f f i c u l tt oe v a l u a t e t h er e s u l t i n gi n t e g r a l s t h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tf t h eb o xm e t h o do rg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o da b b ra s g d m ) w a sc r e a t e db yl ir o n g h u af i r s t l y 1 9 2 7 】_ f v em e t h o d su s et w os p a c e s ：t h et r i a l s p a c eo fp i e c e w i s ep o l y n o m i a lf u n c t i o n so v e rt h ep r i m a lp a r t i t i o na n dt h et e s ts p a c eo fp i e c e w i s ec o n s t a n tf u n c t i o n so v e rt h ed u a lp a r t i t i o n a n ds i m i l a ra st h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s t h eu n k n o w n sa r ea p p r o x i m a t e db yag a l e r k i ne x p a n s i o nr e a l i s t i cc o m p u t a t i o n ss h o wt h a t f v en o to n l yk e e pt h ec o m p u t a t i o n a ls i m p l i c i t yo fd i f f e r e n c em e t h o d s ，b u ta l s oe n j o yt h e a c c u r a c yo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d s i na d d i t i o nt o ，t h e ym a i n t a i nt h em a s sc o n s e r v a t i o n l a w ，w h i c hi sv e r yi m p o r t a n tf o rf l u i da n du n d e r g r o u n df l u i dc o m p l l t a t i o n si n 2 6 ，t h eu p w i n dg e n e r a l i z e dd i 髓r e n c es c h e m e sw e r ea n a l y z e df o rn f i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e m a n d o b t a i n e dt h ee n e r g y n o r mw h e nd i s p e r s i o nw d sn o ti n c l u d e da tf i r s t i n 12af i n i t ev o l u l u e m e t h o do nt r i a n g u l a rs u b d i v i s i o n si s1 ) r e s e n t e da n da n a l y z e d t h ea m o u n to fc o m p u t i n gw o r k s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o n i ss m a l l e rt h a nt h a to ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d s o p t i m a lo r d e rh 1 e r r o re s t i m a t ei sd e r i v e d w h e nd i s p e r s i o ni si n c l u d e d ( s e et h e o r e m1 1 ) i n 1 2 4u n d e rs t r o n gc o n d i t i o n ，w ed e r i v e 工2 一e r r o re s t i m a t e ( s e et h e o r e m1 2 ) i n 1 2 5an u m e r i c a le x p e r i m e n ti sp r e s e n t e d ， i ng e n e r a l ，a s s u m et h a tt h et e n s o rm a t r i xo ft h ec o n c e n t r a t i o ne q u a t i o ni sp o s i t i v ed e f - i n i t e b u ti nm a n ya c t u a lp r o b l e m s ，t h em a t r i xi so n l yp o s i t i v es e m i - d e f i n i t e i ti s v e r y d 赫c u l tt oa n a l y z et h es e m i d e f i n i t ep r o b l e m s s o m ec h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s 加，2 8 】o rc h a r a c t e r i s t i cf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d s 【2 9 h a v eb e e nc o n s t r u c t e db yd a w s o na n d y u a ny i r a n gt os o l v es u c hc u e b u tt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d sc a n tk e e pt h el o c a lc o n s e r v a - t i o np r o p e r t i e so ft h eo r i g i n a lp r o b l e m s ，i n 13a n d5l4 t h ep o s i t i v es e m i - d e f i n i t ep r o b l e m d ( ) 0 ) i sc o n s i d e r e d ，w ep r o p o s et h eu p w i n d m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di n 1 3 ，a n d t h eu p w i n d m i x e dm u l t i s t e pm e t h o di n 1 4t h eu p w i n d m i x e dm e t h o di sb e t t e rs u i t e df o r t h ec o n v e c t i o n d o m i n a t e dp r o b l e m s ，w h i c hc a nc o n q u e rn u m e r i c a ld i f f u s i o na n dn o n p h y s i c a l o s c i l l a t i o n s i np a r t i c u l a r i tk e e pt h et w oi m p o r t a n tp r o p e r t i e so fo r i g i n a lp r o b l e m s ：t h e e x t r e m u mp r i n c i p l ea n dt h ep r i n c i p l eo fr u a z sc o n s e r v a t i o n t h ec o n s e r v a t i o no fm a s sf o rt h i s s c h e m ec a nb ep r o v e di n5 13 3 ，a n dg i v et h ei m p o r t a n tl e m m a st h a te r r o re s t i m a t e sr e q u i r e w eo b t a i nap r i o r ie r c o re s t i m a t e s ( s e et h e o r e m1 3 ) i n 1 ，34a n do b t a i nt h eo p t i m a le r r o r e s t i m a t ef o rp o s i t i v ed e f i n i t ep r o b l e mi n 1 3 5 i n 14t h eu p w i n d m i x e dm u l t i s t e pm e t h o d i sp r e s e n t e df o rt h es e n t i - d e f i n i t ep r o b l e m ，a n di m p r o v et h ep r e c i s i o ni nt i m e i n 1 4 3 ，w e a n a l y z et h i sm e t h o da n ds t a t ea l le r r o re s t i m a t e ( s e et h e o r e m1 4 ) f i n a l l y , i n 1 4 4w e p r e s e n ts o m en u m e r i c a lr e s u l t sw h i c hc a nc l a i mt h ec h a r a c t e ra n ds u p e r i o r i t yo ft h ea p p r o x - i m a r i o n i nc h a p t e r2 ，t h eg o d u n o v m i x e dm e t h o df o rt h ec o n t a m i n a n tt r a n s p o r te q u a t i o n sa r e c o n s i d e r e d t h ep r o b l e m so fc o n t a m i n a n tt r a n s p o r ta r ed i v i d e di n t oe q u i l i b r i u ma n dn o n e q u i 1 i b r i u ma d s o r p t i o nk i n e t i c s ，w h i c hd e p e n do nt h er a t eo fr e a c t i o nw i t hr e s p e c tt ot h er a t e o ff l o w t h em o d e 】j t s e l fi sa d v e c t i o n d o m i n a t e d a n dt