（计算数学专业论文）周期复合材料双曲型波动问题多尺度渐近展开和有限元解法.pdf

摘要 本文主要讨论一类重要的数学物理问题，即双曲型波动问题首先，我们利用均匀化 和多尺度渐近展开法求解周期复合材料振荡系数双血型波动问题在假定振荡系数具有双 尺度，且关于快尺度是周期的条件下，我们得到了一个在实际计算时更易操作的渐近展开 式，并给出了这种方法的一个详尽的收敛性分析其次，我们利用多尺度有限元法讨论了 小周期复合材料振荡系数双曲型波动方程的半离散解逼近，并给出了相应的误差估计 关键词：复合材料，双曲型波动问题。多尺度有限元法，渐近展开，均匀化 1 a b s t r a c t ac l a s so fi m p o r t a n tm a t h e m a t i c a lp h y s i c sp r o b l e m s ，i e h y p e r b o l i ct y p ew a v ep r o b - l e m sa l ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r f i r s t ，w eu s eh o m o g e n i z a t i o nt h e o r ya n dm u l t i s c a l e a s y m p t o t i ce x p a n s i o nt or e s o l v eh y p e r b o l i ct y p ew a v ep r o b l e m sw i t hr a p i d l yo s c i l l a t i n g c o e f f i c i e n t si np e r i o d i cc o m p o s i t em a t e r i a l s w ec a p t u r eam o r ee a s i l yo p e r a t e da s y m p - t o t i ce x p a n s i o nw h e nc o m p u t e di np r a c t i c eu n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h eo s c i l l a t i n gc o e l - f i c i e n t si so ft w os c a l e sa n di sp e r i o d i ci nt h ef a s ts c a l e ，a n dp r o v i d ead e t a i l e dc o n v e r g e n c e a n a l y s i so fo u rm e t h o d s e c o n d w eu s em u l t i s c a l ef i n i r ee l e m e n tm e t h o dt od i s c u s st h e a p p r o x i m a t i o no fs e m i - d i s c r e t er e s o l u t i o na b o u tt h eh y p e r b o l i ct y p ew a v ee q u a t i o nw i t h r a p i d l yo s c i l l a t i n gi ns m a l lp e r i o d i cc o m p o s i t em a t e r i a l s a n dp r o v i d ei t se r r o re s t i m a t e s k e yw o r d s ：c o m p o s i t em a t e r i a l s ，h y p e r b o l i ct y p ew a v ep r o b l e m s ，m u l t i s c a l e f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，a s y m p t o t i ce x p a n s i o n ，h o m o g e n i z a t i o n 1 引言 复合材料从物理角度上可认为是由两种或两种以上不同的材料组成的混合物从微 观上认为复合材料具有两种或两种以上的成分，它们之间或被一定界面所间隔，或相互交 错，一般不同的材料之间不发生化学反应，他们之间经由物理加工而形成对复合材料而 言，人们最关心的是该材料的等效性能增强相材料的“几何参数”对估计复合材料的等 效性能起着至关重要的作用，一般而言复合材料的等效物理属性是增强相材料和基体材 料的几何形状与它们的分布函数从上个世纪中叶开始，由于复合材料具有重量轻，刚度 强、寿命长、耐高温、耐腐蚀等特点，不论纤维增强还是颗粒增强材料，已在不同的行业 和部门得到广泛的应用在土木工程建设中，从混凝土、钢筋、层合板、到各种玻璃，橡 胶等新型的建筑装饰材料；在新型桥梁的设计，大型水库的建设等工程中，复合材料均起 了重要作用；在航空、航天，航海领域中，从各种航天器到飞机和船舶的设计、制造，复 合材料也都起着举足轻重的作用；在电子制造行业，新型复合材料已广泛应用于计算机的 制造、各种家电的加工、大型集成电路的设计当中；在新型体育器材和现代化农机的制造 过程中，复合材料所占的比重也在飞速增长；在地质结构、石油勘探、河流及河床有关渗 流的研究领域、大型边坡库岸的稳定、生物工程等领域当中无处不见天然复合材料随着 复合材料的研究、开发和广泛应用，研究一定条件下复合材料的数学物理模型及复合材料 的优化设计已成为一门大的科学分支对于给定条件下的复合材料及其产品结构，一般要 考虑下面两个问题： 第一，寻找对应问题的数学物理模型、数学分析方法； 第二，通过各种不同的组分、空间分布函数，决定对应材料的等效物理力学参数，即 宏观参数 近一个世纪以来，在力学、数学、工程中相继提出了众多的针对复合材料及其产品 结构的处理方法这其中，最简单、最直接的研究方法为均匀化方法 下面以平面复合材料振荡系数波传播问题为例，简单介绍一下数学中的均匀化方法 1 平面复合材料振荡系数波传播模型问题可描述为 班瓦0 ( 俐掣) _ ，砷 u 。扛，t ) = 0 啦( z ，0 ) = 护 ) 疋( z ，0 ) = u 1 ( z ) ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ( z ，t ) 锄( o ，t ) ( o 川 z q z q 其中u 。表示波传播，为能量，u o ( z ) 和u 1 ( 茹) 为初始量，0 0 ( z ) ( i j = 1 ，2 ) 为波传播系 数，是周期为2 e 的周期函数 f ( x ，) 和屹( $ ) 满足一定的条件，qcr 2 为凸区域 上式对应的弱形式为。求 w = v ；v l 2 ( o ，t ；月3 ( q ) ) ，口l 2 ( ( o ，t ) q ) ) 满足 ( 仳：( t ) ，t ，) 十上噶( z ，o u 锄, ( z , t ) o r 如( z 。, t ) 如= 上，( z ，f ) 口( z ) 如 础( q ) 。( 。，o ) ：o ( z ) 忱f t ( o 1 2 ) 趾：( z ，0 ) = “1 ( z ) 比q 对应于( o 1 1 ) 的均匀化问题可描述为 u ：一差瞄。掣h d u o ( x ，t ) = 0 u o ( x ，0 ) = “o ( z ) o t ( z ，0 ) = u 1x ) 式( o 1 3 ) 对应的弱形式为：求u o v = l 2 ( o ，t ；础( q ) ) ，满足 ( u 孙加) + 上喝( z ) 竽蠢盟掣如= 上，( 墨咖( z ) 如 硪( q ) 乱o ( z ，o ) ：u o ( z ) 忱q ( o l 4 ) 乱：( z ，0 ) = u 1 ( z ) v z q 从问题( o 1 1 ) 到问题( o 1 3 ) 的关键是均匀化方程的物理参数。易( z ) ，此时问题解决 起来仍然比较困难物理和数学上研究较多的是复合周期材料问题从数学角度，口易( 茁) 2 d 研m m蚝蚝 c ： q a ， 是通过解定义在周期单胞上的微分方程而得到，此类问题称为“单胞问题”这样求解问 题( o 1 1 ) 可以转化为求解( o 1 3 ) 的。单胞问题”从数值计算角度而言，当s 很小时， 问题( 0 1 1 ) 是一个很复杂的数值求解问题，而问题( o 1 3 ) 在数值上是很容易实现的从 b a b u s k a 3 ，b a k b a l o v 6 】的文献可以明显地看到决定吒 ) 紧紧依赖于物理问题的模型描 述数学上常用多尺度渐近展开和能量估计方法求解以( z ) 多尺度渐近展开法：假设所研究的周期复合材料问题的解具有如下的渐近展开式： + ( z ，t ) = ? 2 0 ( z ，y ，t ) + 乱1 ( z ，y ，t ) + e 2 2 ( z ，y ，t ) + 其中至少引入两个空间变量z 和z ，该方法首先由m a r c h e n k o 和k h r o u s l y l o v 在文献 【2 5 ( 1 0 6 4 ) 中提出，随后b a b u s k a 2 ，b e n s o u s s a n s ，b a k h v a l o v 6 ，b a k h v a l o v 和p a n a s e n k o 7 o l e i n i k 2 1 2 6 ，k a l a m k a v o v 2 2 ，y o s i f i a n 2 8 】等都相继作了很多数学、物理上的补充，并 解决了大量的数学物理问题，该方法对剧烈振荡周期结构复合材料的研究起了巨大的促 进和推广作用 能量估计方法t 由于略( z ) 剧烈振荡，一阶导数的系数为e - 1 阶，在进行不依赖于 e 的估计时非常困难，这就要求我们运用弱极限的定义，为此必须引入适当的检验函数， 并对其进行分部积分 通常情况下，我们先用多尺度渐近展开法得到均匀化解和均匀化参数，再用能量估计 方法进行误差估计但是，近年来，随着人们对周期复合材料问题的深入研究，解决此类 问题的另外一种方法，即多尺度有限元法逐渐发展起来t h o m a sy h o u 在【1 s 1 1 1 9 1 1 2 7 】 提出的多尺度有限元方法提供了获得粗糙网格上解的大尺度结构的有效方式这种方法 在计算上有很多优点，并且具有很好的推广效用，在工程界也广受欢迎 本文的写作安排如下： 第一章；预备知识列举本文中运用的记号及定理 第二章；小周期复合材料波传播问题的一个多尺度渐近展开及其收敛性分析构造了一个 新的渐近展开式，并讨论了它的收敛性 第三章：小周期复合材料振荡系数波动方程半离散多尺度有限元解收敛性分析通过多尺 度有限元基构造的协调有限元空间，给出了一个半离散逼近及其误差估计 3 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及嵌人定理 设r ，l 为n 维欧氏空间，q 为舻中的区域用扩( q ) 表示一切定义在q 上的p 次 可积函数组成的集合三”( q ) 表示一切在q 上本性有界的可测函数组成的集合按范数 l f l p ( 啊= ( 上i 乱( z ) 1 9 如) ；，1 p o o f l u l i l 一( o ) = e s s + u p l u ( x ) l ，p = o 。 可知扩( q ) 为b a n a c h 空间，而l 2 ( q ) 为h i l b e r t 空间 l 2 ( q ) 上的范数通常简记为i l u l l 。，n ，其内积定义为( ，口) 2 上珏钉如 用c m ( q ) 表示区域q 上m 次连续可微的函数组成的集合，c ”( q ) 表示区域q 上 无穷次连续可微函数组成的集合，简记c o ( n ) 为c ( q ) 记区域q 上的偏微分算子d 。= d ? 1 d 嚣“，其中现2 羞，q l ，a n 为非负整 数o = ( 0 1 ，一，) 称为礼重指标，记川= 0 1 1 + o 2 + + 定义1 1 1 设玩。( q ) 为区域q 上的l e b e s g u e 局部可积函数空间，乱l l ) 如 果存在口l l ( q ) ，使得 上“d 。妒出= ( 一1 ) 川正 妒出，即曙( q ) ， ( 1 1 1 ) 则称口是“的l n l 阶广义导数，并记为 = d o u 设m 为非负整数，1 p 0 0 ，考虑函数空间 m 9 ( q ) = u ：d o “( q ) ，川m 这个空间依范数 i l u l l 哪2 ( a l m 上i 。“i 如) 5 ，1 p o o i i u l l m ，一2 m 。a 。xl i d 。训i o ，m ，p 2 。 构成一个b a n a c h 空间，我们称之为s o b o l e v 空间( 见【1 】， 3 3 1 ) ，并定义半范数 钍护( 暑上酬9 如) ；，l p o o i u l 。，。= m a xi i d 8 u l l o ，m ，p = o 。 l a l = m 又令w 护p ( q ) 为c 铲( q ) 按范数0 乱l | 。p 在空间w m 9 ( q ) 内的完备空间，则w 。( q ) 也是一个b a n a c h 空间 简记 日( q ) = w , - , 2 ( q ) ，瑶4 ( q ) = w 矿2 ( q ) ， = i i r a , 2 ，i i m = l l 邮 于是h ”( n ) ，f 留( q ) 是h i l b e r t 空间，其内积为 ( ，t ，) 。= ( d 。u ，d 。口) ， l a l 0 ) ( 1 1 5 ) h s l d e r 不等式设l 弘q 0 ，使 l a ( v ， ) i p 1 1 i | 2 ，v v h 则对任意的，h 7 ，存在唯一的札h ，使 a ( u ，口) = ，( 口) ，帕h 这里日7 是日的共轭空间 下面考虑抽象的变分形式( 1 2 1 ) 的离散问题，对于协调元空间，有限元方法求解变 分问题( 2 7 ) 的离散形式为；求u ，使得 a ( u h ，v h ) = f ( v h ) ，v v h 关于其解的存在唯一性及误差估计有如下引理 5 ( 1 3 1 ) c d a 引理如果n ( 珏，口) ，f ( v ) 满足l a x - m i l g r a m 引理的条件，则离散问题( 1 3 1 ) 有 唯解，且 i l u u h l l esc i n f hi l u z 饥i l e ，( 1 3 2 ) 其中怯为能量模，即1 1 w l l f = ( o ，叫) ) 1 4 泛函分析中的一些基本定义 在这一节，e 是一个( 实) b a n a c h 空间( 见 3 7 0 ，其对应的模为怯 定义1 4 1 z 。) e 芦e 称( z 。) 弱收敛于z ，记作z 。一x ，是指 e ，, e - - - - e ， v x 定义1 4 2 设f 是一个( 实) b a n a c h 空间，且e = ， z 。) e ，茁e 称 ) 弱收敛于z ，记作z 。一z ，是指 ，f ，f ， v f 注1 假设 乱n 护( i2 ) ，1 p o o ，若在护( 5 2 ) 中， “n ，弱收敛于u ，则按定义 ( 1 4 1 ) 可知 互让。妒如一上“妒如， v 妒胪( q ) 其中三+ 1 1 ：1 pp 注2 假设 札。 l 1 ( q ) ，若在l 1 ( q ) 中， u 。 弱收敛于仳，则按定义( 1 4 1 ) 可知 可知 五“。妒出一上札妒出， v 妒l 。( q ) 注3 假设 u 。) l 。( q ) ，若在l 。o ( q ) 中， u 。 弱收敛于u ，则按定义( 1 4 1 ) l 1 ( n ) ，l ( n ) 工1 ( o ) ，l ( o ) ，v 妒l 1 ( q ) 6 第二章小周期复合材料波传播问题的一个多尺度渐近展开及 其收敛性分析 2 1 引言 随着计算机软硬件的发展，产生了许多涉及具体物理问题的算法与理论对于小周 期型复合材料的计算，当0 e 1 非常小时，玉( z ) 变化非常频繁，利用差分法或有限 元法进行数值求解时，网格剖分要求非常细，这导致求解线性方程组的计算量非常大针 对这类问题，逐渐发展起来了均匀化和多尺度渐近展开方法，即在宏观尺度上求解均匀化 解，在微观尺度上增加调整项，均匀化解和调整项构成原始解的渐近展开形式，以此降低 计算量【a s ，f 1 9 】，1 2 0 】利用混合多尺度有限元法讨论了周期复合材料快速振荡二阶椭圆问 题，给出了多尺度解与有限元解之间的误差分析【1 4 】对周期复合材料快速振荡二阶椭 圆问题进行了均匀化和渐近展开，并给出了误差分析结果，对周期复合材料快速振荡双曲 型波动方程给出了均匀化结果和正则性估计 1 3 1 ，1 1 0 ， 1 2 1 ， 1 6 1 ，【17 】，【3 4 】， 3 5 】各自从不同 方面对【1 4 】中的周期复合材料快速振荡椭圆型方程进行了改进，但是都没有涉及周期复 合材料快速振荡双曲型问题的多尺度渐近展开作者参阅了【1 1 ， 2 3 1 ，【2 4 】， 3 2 1 ， 3 6 1 中抛物 和双曲问题的误差分析方法，加入调整量进行修正，得到了较为理想的收敛阶 2 2 数学模型与算法描述 平面复合材料的波传播问题可描述为 一矗( 吃( z j 百0 u t ( x , t ) 。忙，t ) = 0 ， 啦扣，0 ) = u 0 ( z ) ， 疋( z ，0 ) = 乱1 ( z ) ， ) = f ( x ，t ) ，( z ，t ) qx ( 0 ，t ) ( z ，) 锄( o ，t ) ( 2 驯 z q g q 其中“：表示豢悲表示波的传播，为能量，扩( z ) 和1 ( z ) 为初始量，吻( 布( i j = 1 2 ) 为波传播系数，它是周期为2 的周期函数在任意2 e x 2 e 的单胞k 上，有吃( $ ) = n 玎( ) = 略( z ) ，其中f q = f 一1 ，1 】【一1 ，1 】，q 为参考单胞k = z = e + z 备，f q ) ，z k 为k 的中心，考虑到不同材料间的粘结比较紧密，可以认为吃( z ) c 1 ( q ) ，在数学上理 7 解为函数的光滑化另外，假设( ( ) ) 。2 m ( n ，p ，q ) ，即存在常数0 o p ，使得 22 o 贸a u ( x ) o i , l j 卢碡，v ( 琅，仍) ( o ，0 ) i = 1i = 1 文中采用e i n s t e i n 求和记号，即带相同下标量的乘积表示从1 到2 求和下面为了 行文方便，记g o 。o ( q ) 为c ”( ) 的子空间，其中的函数是以q 为周期，即每个分量是 以2 为周期的， 艰，( q ) 为c 昌( q ) 在空间h 1 ( q ) 中的完备化我们定义空间 矸k ( q ) = v 丑量，( q ) ； 幻( 口) = o 其中蛳( ) 2 南厶”如文中不同地方出现的常数c 大小可能不相等，但均与s 无关 我们假定f ( x ，t ) l 2 ( ( o ，t ) q ) ，i t o ( z ) 嘲( q ) 和u 1 ( z ) l 2 ( q ) 问题( 2 2 1 ) 的均匀化问题( 见【1 4 】) 为： 钍”一差掣) - ，巩 u ( x ，t ) = 0 ， u ( x ，0 ) = 乱o ( z ) ， 仙( z ，0 ) = u 1 ( z ) ， 其中。0 巧= 丽1 厶由一面1 厶8 幻篆咖为均匀化波传播系数 ，( 以巩乱。( z ) 1 ( z ) 的 假设同上 为了求解问题( 2 2 1 ) ，我们首先考虑它的弱形式；即求。w ，满足 卜巩卅上舭) 掣掣出= 加一心，渊锄 钍。( 墨o ) ：珏o ( 茹) ， 比q ( 2 删 l 越( z ，0 ) = u 1 ( z ) ， v x q 其中w = 和i 口l 2 ( o ，t ；h o ( q ) ) ，口。l 2 ( ( o ，t ) q ) ) ，依范数 i i v l l w = i i v l i l 2 ( o ，t ；础( o ) ) + l m l 2 ( ( o ，t ) n ) ) w 构成一个b a n a c h 空间 首先假设( z ，t ) 的渐近展开式为 0 ，t ) = u o ( z ，y ，t ) + e 珏1 ( z ，y ，t ) + 6 2 u 2 ( z ，y ，t ) ( 2 2 4 ) 叨d m m蚝蚝 q q a ) 一 其中= ； 引入；子a = 嘉一矗( 吃( z ) 南) 和记号吲叫) = 抛幽巩则有 鼍= ；鬟+ 差 仁z 脚 一一十一 i z t ，i o z tc 憎to z j 因此a 对虬作用可得 a 。 ，) = o 一2 a 。+ 曹一1 a l + a 2 ) 妒】( z ，y ，t ) ( 2 2 6 ) 这里 伽一杀( 啪) 去) ( 2 2 7 ) a - 一鑫( a 础) 南) _ 杀( ( 们南) ( z 删 a z = 嘉一矗( ( 可) 去) ( z 驯 把( 2 2 4 ) ，( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 代入( 2 2 1 ) ，比较g 的同幂系数可得 咖_ 0卸( o ( 2 2 1 0 ) 【 咖关于y 是周期函数 a 。1 2 一a l 乱。 在q ( o ，t ( 2 2 1 1 ) 【 “l关于y 是周期函数 a 。u 2 = ，一a 1 t 正l a 2 。 在q ( 0 ，t ) ( 2 2 1 2 ) 【 2关于y 是周期函数 考虑到( 2 2 1 0 ) 的解在空间l 2 ( o ，t ；v k ，) 中的唯性，其中= 扣i 口艰，( q ) r 可知 u o ( z ，y ，t ) = u o ( x ，t ) ( 2 2 1 3 ) 对于( 2 2 1 1 ) ，它等价于 卜2 掣( 豢) 鳓( o t ) ( 2 2 “) i 钍-关于y 是周期函数 由a o 的线住性，j 职 u 。( 删瑚= 一眦) 掣在q x ( 0 ，t )( 2 2 1 5 ) 这里 k ( ) f ( q ) 且满足 山帆( f ) 一娄鬻在q x ( 。，t ) ( 2 2 1 6 ) 再由( 2 2 1 2 ) 可得 f - - a l u l - a 2 咖= ，一丽0 2 u o + 去( 噶( z 面o u l ) + 瓦0 ( 。弘) 砑0 u l + 箬) ) = 毋 ( 2 2 1 7 ) 方程( 2 2 1 7 ) 的弱形式为；求“2 l 2 ( 0 ，t ；，赫) 满足 其中 a ( u 2 ，口) = ( n ，口) 协( q ) ( 2 2 1 8 ) 出m = q a i j ( 们掣掣匆 ( 2 2 1 9 ) n m = f q f c d y 一厶警妒匆一q a q ( v ) 筹鬈咖+ 厶差( n 幽) ( 豢+ 誉) 妒由 ( 2 2 2 0 ) 考虑到上面方程的适定性，我们利用( 日，1 ) = 0 可得 一厶差( 吲州嚣+ 券) ) 咖= 厶( ，一万c 0 2 u o ) 匆( 2 2 2 1 ) 因为f ( x ，t ) 和u o ( x ，t ) 均与y 无关，所以 一厶差( ( 趴一盟o y ，垫o z k + 两o u o 肭= i q l ( f 一豢) ( 2 2 2 e ) 又由( 2 2 1 3 ) 知 一a i k - - a i j 髻) 甸袅= i q l ( f 一万0 2 u 0 ) ( 2 2 2 3 ) 定义嘎0 为 0 ：= 高胁t 一等) 妇 ( 2 z ) 一面0 ( n o 0 = ，一万0 2 u o ( 2 肠) 从而可知 钍o ( 茁，) = u ( x ，) 为均匀化解 ( 2 2 2 6 ) 把( 2 2 1 5 ) 代入( 2 2 1 2 ) 中并由( 2 2 2 6 ) 可得 卜地一，一掣咱等裂一粕删鬻均筹 【 牡2关于可是周期函数 ( 2 2 2 7 ) 由( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 5 ) 和( 2 2 2 7 ) 可得 j 知。一2 。丽0 2 u ( x , t ) 咱, 面o n k 砺0 2 u ( x , t ) 一杀眦) 硒0 2 u ( z , t ) 均鬻 【 扎。关于可是周期函数 ( 2 2 2 8 ) 仍利用a o 的线性性，可取 驴州们黜 ( 2 2 2 9 ) 这里肌f 艰，旧) 且满足 a 。n k l = - - 弘；奏。半一j 壹= l 。幻掣。s o ， 我们最后得到仳。( z ，t ) 的渐近解为 州州问旷e 帆掣+ e 2 肌t 错 ( 2 2 3 1 ) 2 3 误差分析结果 为了得到误差估计，首先要引进入和，分别称为一阶修正项和二阶修正项，它 们分别满足如下方程； 一岳( 舭) 掣) _ 0 ，在叫咿) 靠( z ，t ) 2 1 ( z ，y , t ) ，在御( o ，t ) ( 2 叫 已( z ，0 ) = u l ( x ，y ，o ) ，在q 内 ( z ，0 ) = 0 ，在q 内 1 l 和 一矗( 舭) 掣) o ， 啦( z ，t ) = u 2 ( x ，y ，t ) ， 班( z ，0 ) = u 2 ( x ，y ，o ) ， 磋( z ，0 ) = 0 ， 在qx ( 0 ，t ) 在砌( o ，t ) ( 2 删 在q 内 在q 内 注方程( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 的解的存在性和唯一性在【1 4 ， 2 3 1 ，【2 4 】，【3 2 】，【3 6 】中已给出了 证明，在实际计算时利用均匀化方法求出它们的均匀化解即可 为了得到所要的结论，我们首先给出一个引理 引理2 3 1 设q 是r 2 中的光滑凸区域，f l 2 ( ( o ，t ) q ) ，n 易( z ) l ”( ( o ，t ) x q ) ，( ，j = 1 ，2 ) 且略( z ) m ( a ，卢，q ) ，考虑如下带有修正项的渐近展开式； u 弋州) 叫州) 叫帆掣倒+ e 2 ( 地嬲刊 ( 2 3 3 ) 其中，骓分别是( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 的解并且，如果u ( x ，t ) c 2 ( o ，t ；h 4 ( q ) ) ，肌( 鲈) 和 帆l ( 掣) w 茹( q ) ( 七，f _ 1 ，2 ) ，则有下面的误差估计式t i l 乱s u ”l i l m ( o ，t 础( o ) ) = j i 钍s 扛，t ) 一( “ ，t ) + e ( u l 一靠) + e 2 ( u 2 一啦) ) i i l * ( o ，t ；础( n ) ) c e + c e 2 ( 2 3 4 ) 这里g 与e 无关 证明首先引入一个记号 瞄瓣豢： a 。乱。= 一帆( ) 翌竺墓竽+ 。( ) 肌( 掣，) 如0 3 。u a 。( z ，如, t ) ： ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 舢z = 吲们掣寒差一杀酬) 裂差 ( 2 s _ 9 ) ，a z “。= m ( ”) ! ! ；芝：学一巧( ，) k z ( 可) 石：； ：；i 丢；：3 i ( z 。- 。) 对于式 饥卜吼) 掣薹差一杀酬) 豢瓮 ( 2 s m ) 中的第二项进行简单计算可得 杀酬) 券差= s 珈知眦) ) 豢差h ( 啪眦”蔷塞 考虑到( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 的边界条件，以及钍。和珏在边界上为零，利用( 2 3 7 ) 可得误差方 程l 以忍( z ，t ) = e f 5 ( x ，f ) ，在q ( 0 ，t ) 磊( z ，t ) = o ，在a q ( o ，t ) 1 2 ) 磊( z ，0 ) = 0 ，在q 内 乏( 茹，o ) = 日5 ( z ) ，在q 内 州= 眦) 掣一毗帮， 归眦) 掣一龇鬻仆。洲卅掣】糕 托差缸s ) 肌舡e ) ，锄0 3 u 如( 2 。, 冼t ) 。1 因为噶( z ) l o o ( ( o ，t ) x n ) ，n k ，肌z w 赫( q ) ( 七，z = 1 ，2 ) ，并考虑到c 2 ( o ，置h 4 ) ) ， 经过简单计算可得 i l f 。0 伊( ( o ，即。2 ) c + c e ( 2 3 1 3 ) 同理可得 1 1 日怯( ( o ，t ) q ) c ( 2 3 1 4 ) 再利用【14 】中定理1 2 2 可得 由此可知 l i z + l l * ( o ，t ；础( o ) ) + l l z ；l l l 一( 。，贮。( n ) ) + l | zi l l 。( o ，t ；日一- ( n ) ) c ( i i c f 5 0 弘( ( 0 ，r ) o ) + 舱h 8 l j z ) e s + g s 2 “一札+ + l i l ( o ，t ；喇( n ) ) c e 十c e 2 ( 2 3 1 5 ) 至此，我们可以给出本文的主要结论，即定理2 3 2 定理2 3 2 假设条件同引理2 3 1 ，则可得我们所要的渐近展开式和误差估计式； 龅归蝴) 叫胍掣杉( 肌z 矬刊 ( 2 3 1 6 ) 0 ( z ，幻一( 。，) + s ( 钍l 一岛) + 2 ( u 2 一叼0 ) ) 0 p ( 0 ，t ；哦( n ) ) 曼c e + c e 2 ( 2 3 1 7 ) 其中岛和啪分别是( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 的均匀化解 证明因为在空间三o 。( o ，t ；瑶( q ) ) 中，毛和氇分别弱收敛到岛和伽( 详细证明 见 1 4 】) ，所以 再利用引理2 3 1 可得 靠一岛i f 泸( o ，t ；础( o ) ) c ( 2 3 - t s ) 佻一u o l l l 。o ( o ，t ；喇( n ) ) c ( 2 3 1 9 ) 札e 一5 i l l ( o ，t ；h 0 1 ( 1 2 ) ) 0 t k 一乱料l i l ( o ，t ；啡( n ) ) + i i 一让5 i i l ( o ，r ；础( o ) ) c e + c i i 已一如i l l 一( o ，t ；啄( o ) ) + ( 冶2 l l , 7 + 一, 7 0 1 1 l 一( o ，r ；刚( n ) ) 曼c + c 2 定理证毕由此可知新的渐近展开式( 2 3 1 6 ) 是合理的 第三章周期复合材料振荡系数波动方程半离散多尺度有限元解 收敛性分析 3 1 引言 许多科学和工程中的实际问题都有多尺度解其中最典型的例子是具有细小微结构 复合材料问题由于需要巨大的计算存储空间和c p u 工作时间，我( f g i l 难直接得到带有 多尺度解问题的数值模型另一方面，在实际应用当中，预测多尺度解时常常很难达到较 高的精度因此，各种升尺度方法和均匀化方法( 即用可在粗糙尺度网格上求解的均匀化 方程代替含有多尺度解的控制方程) 逐渐发展起来 近年来，t h o m a sy h o u 在【1 8 ，【1 9 】， 2 7 1 提出的多尺度有限元方法提供了获得粗糙 网格上解的大尺度结构的有效方式这种方法的中心思想是把首项微分算子局部小尺度信 息蕴涵到标准有限元基中，通过这些多尺度有限元基构造的有限元空间，准确得到了大尺 度上各个小尺度的性质这种方法在计算上有很多优点，由于解决粗糙网格问题的特殊效 果，我们更强调它的实用性其他相关的构造特殊有限元基的研究成果，可以参看【4 】中 层状微结构和 5 】中对流扩散问题的多尺度有限元基构造方法 本章在半离散格式下，利用多尺有限元法求解下面的周期复合材料振荡系数波动方 程( 这里的各种记号满足的条件均同前一章的假设) ： f 警一v 制妒u 扣，i ( 叫) q ( o ，t ) j 札s ( z ，t ) = o ， ( z ，。) a q ( o ，t ) ( 3 1 1 ) 、1 ， 【警( 圳) 甜( 畹 z q 其相应的变分形式为：求w = 扣； l 2 ( o ，t ；嘲( q ) ) ，l 2 ( ( o ，t ) xq ) ，使得 f ( 等m + ( a e v u , e ，v 归( m 坳u o x ( a ) 【鲁( 啪) = 钍1 ( 巩 协q 设五是q 的一个正贝i i 矩形剖分f 船，4 ，是网格内节点。f 皿，4 - ，是通常的双线性有限元 1 5 基。令s h ：s p a n 皿i ：i = 1 ，4 ；k 五) 是由圣 构成的一般的有限元空间我们又引 入多尺度有限元空问v h = s p a n 中l ：i = 1 ，4 ；k 磊 ，其中多尺度有限元基 蛾) 冬 定义如下， 繁一v ( 坍一o ( 州) k ( 0 ，丁) 圣 ( z ，t ) = 皿 ( z ) ， ( z ，。) a k ( o ，丁) ( 3 1 3 ) 西l ( z ，0 ) = 皿i ( z ) ， z k 鲁0 ) o ， z 其中k 磊，由文献【1 9 】可知cw 则( 3 1 2 ) 的多尺度有限元半离散变分问题为：求越y hcw ，使得 ( 警胁) 巾肌。h ，v v h ) 州， 乱；( z ，0 ) = 铲( z ) ， 警0 ) _ ， 3 2 半离散解的收敛性分析 首先给出两个映射的定义，记 ：c ( _ ) 一w icw ，是通常意义下的双线性插值算 4 h u ( z ，t ) = u ( ，t ) 皿t ( z ，t ) ， v u c ( _ ) ( 3 2 1 ) i = i 类似地，记厶：g ( 功一，是以 蛾) 2 。为基底的插值算子： 4 厶札( 。，t ) = u ( x i ，) 蛾 ，) ，v c ( 豆) ( 3 2 2 ) i = 1 我们记 4 i = i h t t ；( z ，t ) = u 。( 甄，t ) 蛾( 茹，t ) ( 3 2 3 ) = 1 令岛= u e 一蜓h ，则由( 3 1 2 ) ，( 3 1 4 ) 相减得 ( 鲁川+ ( a v e e , w 讥) = o 特别取蜥= 掣1 h ，由( 3 ，2 ，1 ) ( 3 , 2 , 2 ) 可知，则 ( 象，塑塑) + ( a v e r , v 坌幽iuhot0 t 、疣2 7 7 1 6 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 4l pk k 咖 罄妻考。翠h 鲁掣 饕攀淼掣h 鲁，掣， 注1 上式中的模i i i i 是指零模i i i i 。，n ，以下没有特殊说明时均同 考虑到e e 的初边值条件和( ，) 的强制性，对上式关于t 积5 1 ，并利用带s 的c a u 咖 扣铷2 + 扣e 。1 2 i o 吧e 5 川拿毪罄 f + 哪酬v 塑掣慨 + 巾孰圳钨n 一加班 “ l i 铷z + i i v 叫i 。 e 训璺丝麦竺a 胪十o f i v 亟学胪疵+ o f f 掣忙。，。出， 嵫忡i iv e 。l l c o ( , 万- 厂u dl j + z j j v i 堕兰；i 盟 i 疵+ z 2 | i ! ! ；i 塑。，n 以， 。2 屉 望j 掣v 创的误差估计需要对”笺掣i | 和瓮慨和厢氇忆椭疵 进行估计，下面我们对它们分别进行讨论 。 弓i 理3 2 1 设啦是( 3 1 1 ) 的解，满足( 3 2 3 ) ，则我们有 n 钨8 _ 一, a d t _ c f o 帅。删雌阱c 候 ( 3 z 7 ) 1 7 u 坞笋忆坍= 一s u p n 。，堡篙挚 = ，。飘。，继禚掣妒碥( n ) o 妒忆o c l l v ( ”。一) 0 c h + g 候 定理3 2 2 设u e 是( 3 1 1 ) 的解，“：满足( 3 2 3 ) ，则我们有 篓意尝就舡。州n m 瑚州川孰州加巩 首先注意到“：满足 豢可k ) v u 扣。， 札：( z ，t ) = h h u o ， 扎：( 。，0 ) = 0 ， 警。) - o ， 由前二章引理2 3 1 知 其中“f o 满足： ( 茁，) k ( 0 ，t )