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中文摘要 中山大学硕士学位论文 各向异性扩散的自适应变正则参数方法在 图像去噪中的应用 专业：计算数学 学位申请人：李小峰 导师及职称：关履泰教授 摘要 图像中的噪声对图像识别、图像缩放和图像分割等后继的图像处理影响非常 大，因此图像去噪一直是图像预处理的热点问题。现今发展出的各种理论，在图 像去噪中都有广泛的应用。其中正则化方法是图像去噪中的常用方法。 在以往的利用正则化方法进行带噪图像恢复的工作中，正则参数的选择往往 是恒定的。杨朝霞等利用带噪图像中不同类型的像素点在各种方向上的不同特 点，提出自适应双正则参数变分模型。这个模型忽略了同种类型像素点之间的差 别，同时在模型参数的构造上缺乏对正则化过程中位函数的利用。本文在该模型 基础上。提出了一种各向异性扩散的自适应变正则参数去噪方法。 这种方法的思想是基于对数字图像的平坦点、噪声点和边缘点三类像素点的 区分。对不同类型的像素点，使用不同的正则参数决定函数；而对同一种类型的 像素点，决定函数根据在不同方向上灰度值的变化率选取不同的正则参数值，因 此模型有良好的自适应性。同时参考了各向异性扩散去噪保边缘的良好性质，为 模型加入各向异性扩散系数，增强了模型的精度和效果。 本文也给出了各向异性扩散的自适应变正则参数去噪方法的离散迭代形式， 使之容易在计算机上实现。同时通过实验，说明了这种方法有迭代次数少、去噪 保边缘效果好的优点。 关键词： 图像去噪，各向异性扩散，自适应正则参数，梯度，切向，离散迭代 英文摘要 a d a p t i v er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r s a p p r o a c h w i t ha n i s o t r o p i cd i f f u s i o nf o r i m a g ed e n o i s i n g a b s t r a c t ： m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a m e ：l ix i a o f e n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rg u a nl u t a i t h ep r e s e n c eo fn o i s ei ni m a g em a k e si tm o r ed i f f i c u l tt op e r f o r mt a s k ss u c ha s s e g m e n t a t i o n ，r e c o g n i t i o n ，a n ds c a l i n g b e c a u s eo f t h ei m p o r t a n c ea n dc o m m o n a l i t y o fp r e p r o c e s s i n gi nm o s ti m a g es y s t e m s ，m a n yd i f f e r e n tm a t h e m a t i c a lt o o l sh a v eb e e n p r o p o s e dt ot h es u b j e c to fn o i s er e m o v a l t h er e g u l a r i z a t i o nm e t h o dh a sb e e nw i d e l yu s e dt os u p p r e s sn o i s e ，t r a d i t i o n a l l y w i t hag l o b a lr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r y a n gz h a o x i ap r e s e n t e dav a r i a t i o n a lm o d e l w i t ht w oa d a p t i v er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r sa c c o r d i n gt ot h ed i f i f e r e n td i r e c t i o n s t h e m o d e li g n o r e dt h ed i f f e r e n c ea m o n gt h eh o m o g e n e o u sp o i n t s ，a n dl a c k e du s i n go f a n i s o t r o p i cd i f f u s i o np o t e n t i a lw h e nc o n s t r u c t i n gm o d e lp a r a m e t e r si nr e g u l a r i z i n gt h e 川一p o s e dp r o b l e m b a s e d o nt h e m o d e l ，a d a p t i v er e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r s a p p r o a c hw i t ha n i s o t r o p i cd i f f u s i o ni sp r e s e n t e do n t h et h e s i s c o n s i d e r i n gt h ed i f f e r e n tf e a t u r ea m o n gt h ee d g ep o i n t ，t h en o i s yp o i n ta n dt h e s m o o t hp o i n t ，t h r e ed i f f e r e n tr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e rf u n c t i o n sa r ec h o s e n ，w h i l e e v e r yf u n c t i o nc a l c u l a t e sd i v e r s ev a l u ea c c o r d i n gt ot h ev e l o c i t yo fg r a y l e v e li n g r a d i e n td i r e c t i o na n dt a n g e n t i a ld i r e c t i o n b e c a u s eo f t h ec o n s i d e r a t i o no f e v e r yp i x e l ， t h em o d e lb e c o m e sm o r ea d a p t i v e b e s i d e s ，i no r d e rt oa c h i e v ea ne d g e p r e s e r v i n g e f f e c t ，a na n i s o t r o p i cd i f f u s i o np o t e n t i a li sa d d e dt ot h em o d e l ，w h i c he n h a n c e st h e m o d e l sp r e c i s i o na n de f f e c t m o r e o v e r ，ad i s c r e t es c h e m ei sc o n s t r u c t e df o rad i g i t a li m a g et h r o u g hp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w h i c hf a c i l i t a t e st h ec o m p u t a t i o ne f f e c t i v e l y t h ee x p e r i m e n t s t e s t i f yt h ep r o p o s e da l g o r i t h mi sf a s t ，e a s yt oi m p l e m e n t ，a n de f f i c i e n t k e yw o r d s ：i m a g ed e n o i s i n g ，a n i s o t r o p i cd i f f u s i o n ，a d a p t i v er e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r s ，g r a d i e n t ，t a n g e n t i a l ，d i s c r e t ei t e r a t i o n l 第一章绪论 第一章绪论 1 1 数字图像 视觉是人类最高级的感知器官，图像作为视觉感知的结果和表现形式，能给 人们以直观而具体的物体形象，是人类获取信息的重要来源。因此，图像已成为 多媒体技术中最为重要的数据类型，图像的处理与分析技术已经发展成为现代信 号处理技术中专门的分支学科【1 】1 。 一幅图像可定义为一个二维函数( x ，y ) ，这里x 和y 是空间坐标，而在任何 一对空间坐标( 置y ) 上的幅值厂j 承为该点图像的强度或灰度。为了利用数字计算 机来处理图像，首先必须把连续的图像变换成离散的数字图像，即实现图像的数 字化。图像在其空间坐标上的离散化称为采样，在灰度上的离散化称为量化。采 样和量化都可为均匀的或不均匀的【2 】。 设一幅图像厂( x ，y ) ，我们若对它作等间隔的采样，在x 和y 方向上都取个 采样点，总共为n x n 个图像点。这些图像点实际上是采样样本的中心点，称为 图像像元或像素。每一像素f ( x ，y ) ( f ，j = 0 ，l ，2 ，n 一1 ) 就是( 薯，y j ) 点的灰度 值。为实现数字化，灰度值必须离散，即量化例如分成足个等级。则图像f ( x ，y ) 经过采样和量化，形成离散化了的坐标和灰度值可以用一个矩阵来表示，其行和 列的交点标出图像的每个像素，该数字图像矩阵可表示为： i = f ( x ，y ) f ( o ，0 ) f ( 1 ，0 ) f ( n 一1 ，0 ) 兀。 ，1o r 【1 0 f ( 0 ，i ) f ( 1 ，1 ) f ( n l ，1 ) 五。 死 ；1 l f ( o ，n 一1 ) f ( 1 ，n 1 ) f ( n 1 ，n 一1 ) 五f _ ， l r 1 1 工- 1 ) ( 山 - - e z , ( f ，j = 0 ，1 ，一1 ) 左边为连续图像厂( 置y ) ，右边为数字图像矩阵，可见数字图像是连续图像 的一种近似表达。把图像表达成矩阵形式就有可能利用矩阵方法来处理数字图 像。而且一般地说，对图像的任何物理意义上的限制( 诸如：图像像素点的灰度 第一章绪论 值为非负且有限等约束条件) 都可以在矩阵数学上加以表达和运算。特别是用计 算机进行数学处理更为方便。 1 2 图像噪声 图像在采集、转换和传输中，常常受到成像设备与外部环境噪声干扰等影响， 产生降质。例如，使用c c d 摄像机获取图像时，光照程度和传感器温度会在生 成图像中产生大量噪声，而通过无线网络传输的图像会因为光或其他大气因素的 干扰被污染。图像中的噪声对图像分析、图像缩放和图像分割等后继的图像处理 影响非常大，因此，如何对这些受噪声污染的图像进行处理，提取有用信号抑制 噪声，提高图像信噪比以满足要求，一直是图像预处理的热点问题。 1 2 1 噪声的特征 一般噪声是不可预测的随机信号，它只能用概率统计的方法去认识，即要求 知道其分布函数和密度函数。但在许多情况下这些函数很难测出或者描述，所以 常用统计特征来描述噪声，如均值、方差、相关函数等【3 】。 噪声的均值可以用来描述噪声的总功率，方差可以描述噪声的交流功率，均 值的平方可以表示噪声的直流功率。 i 2 2 噪声来源及分类 常见的图像噪声的主要来源有以下三方面 4 ： 1 电子噪声 电子噪声是在阻性器件中由于电子随机热运动而造成的，它是三种噪声模型 中最简单的，一般常用零均值高斯白噪声作为其模型它具有一个高斯函数形状 的直方图分布以及平坦的功率谱。有时，电子器件也会产生一种强度与频翠成反 比的随机噪声然而图像处理问题很少需要对这种噪声分量进行建模。 2 光电子噪声 光电子噪声是由光的统计本质和图像传感器中光电转换过程引起的。在弱光 照的情况下，其影响更为严重，此时常用具有泊松密度分布的随机变量作为光电 噪声的模型。在光照较强时，泊松型分布趋向更易描述的高斯分布。 3 感光片颗粒噪声 颗粒噪声是由于感光片上颗粒本身大小的不同以及每一颗粒曝光所需光予 数目的不同引起的。照片上光滑细致的阴影在微观上呈现一个随机的颗粒性质， 对于多数应用，颗粒噪声可用高斯过程( 白噪声) 作为有效模型。 在这三种常见的噪声源中，后两种是与信号相关的，对于一般的图像复原来 说，这种对信号的依赖性可以忽略不计。而我们在进行图像处理的实践中，通常 都是假设图像所带的噪声是高斯白噪声。 第一章绪论 1 2 3 噪声的模型 按噪声对图像的影响可分为加法噪声模型和乘法噪声模型两大类 3 】。设l ( x ，y ) 是原始图像，n ( x ，y ) 是噪声。噪声影响图像后的输出为g ( x ，y ) 。 1 加法性噪声 g ( x ，y ) = f ( x ，y ) + n ( x ，y ) ( 1 2 ) 其输出是原始图像与噪声的叠加，特点是噪声与输入图像无关，如一般的电子线 性放大器的噪声。 2 乘法性噪声 g ( x ，y ) = f ( x ，y ) 1 + 门( x ，y ) 】= f ( x ，y ) + ( 工，y ) n ( x ，y ) r i 一，、 其输出是两部分的叠加，第二个噪声项圈像信号受原始图像的影响。l ( x ，y ) 越 大，则第二项越大，即噪声项受图像信号的调制。如光电子噪声、感光片颗粒噪 声都随图像信号的增大而增大。乘法噪声模型和它的分析计算都比较复杂。通常 图像信号变化很小时，第二项近似不变。此时可用加法性噪声的模型来处理。 通常，总是假定图像信号和噪声是相互独立的。 本文所考虑的噪声，都是以加法性噪声为模型考虑。 1 3 图像去噪评价 为了对图像处理的方法进行合理评估，目前广泛应用的图像质量评价指标主 要有均方误差( m s e ) 和峰值信噪比( p s n r ) ，是用恢复图像偏离原始图像的 误差来衡量恢复图像的质量，源于数据传输过程中均方信噪比的思想。 m s e 的表达式为： ：上mnmse( 兀一五) 2 (1-。)mn ：一y y f ，：一j 1 。、 智智”， ” 其中( ， 和( ， 分别表示原始图像和恢复图像，m 和分别表示图像的高和 宽。 p s n r 本质上与m s e 相同其表达式为： ，2 p s n r = 1 0 1 0 9 1 。二m s l e ( i - 5 ) 其中是图像灰度取值的范围，对8 比特的灰度图像而言，= 2 8 _ l = 2 5 5 。 图像去噪一般采用p s n r 作为评价指标其优点是便于计算和理解，也能大 致反映图像质量。在大多数情况下，去噪后p s n r 值高的图像其图像质量相对较 高，则由此判断该种去噪算法相对较好。 在本文中，去噪算法的优劣程度，也用p s n r 值来评价。 第一章绪论 1 4 本文的研究内容及组织结构 本文所进行的研究是基于 6 6 】的工作基础上进行的。 6 6 l 提出了用自适应双 正则参数法进行图像去噪。该方法考虑了不同位置上像素点的特点，对不同像素 点进行不同的处理。这种方法比传统的选择全局恒定正则参数的正则化方法有更 好的自适应性，因而对处理不同带噪图像更具普遍性。 但 6 6 在双正则参数值的选择上，只是简单地根据像素点的三种类型，采用 通过闽值选取的方法来确定的。对不同类型的像素点取不同的值，而对于同种类 型的像素点，双正则参数的具体值都是固定不变的。 这样的取值，虽然考虑到3 种类型的像素点，但是并没有苒深入考虑到同一 类型的像素点之间也存在差别。对于同一类型的不同像素点也应该选取对应的正 则参数，才能使算法更具有自适应性。 同时，f 6 6 1 的自适应双正则参数法的模型建立稍显租糙，在模型参数的构造 上缺乏对正则化过程中位函数的利用。可以期望，对模型引入各向异性扩散系数， 能有更好的保持边缘效果。 本文正是基于上述考虑，在 6 6 】的自适应双正则参数模型基础上引入自适应 正则参数，增加了对同种类型像素点特征差异的考虑；同时为模型引入各向异性 扩散系数，加强对边缘的保护。 本文的第一章是绪论，引入了数字图像和图像噪声的概念，以及图像去噪方 法的评价标准，最后概括了本文的研究内容及组织结构。 第二章是图像去噪方法综述，对经典的空域滤波和经典的频域滤波进行概 括，并且介绍了一部分现今流行的图像去噪方法，包括正则化方法、小波分析方 法、层叠滤波( s t a c kf i l t e r i n g ) 技术、基于小波域隐马尔可夫( w d h m m ) 模型、基 于偏微分方程( p d e ) 的方法等。 第三章介绍了正则化的基本概念。从问题的适定性和不适定性着手，引出基 于变分原理的正则化方法，给出正则算子的概念、正则算子的构造和正则参数的 确定。详述了f 6 6 的有自适应正则参数的正则化模型，并补充说明了噪声模型的 不适定性。叙述了噪声模型的正则化方法和各向异性扩散法的关系。正则化方法 的构造和双正则参数法的思想。 第四章是本文的主要工作，建立了各向异性扩散的自适应变正则参数模型。 讨论了各向异性扩散系数的性质，在梯度方向上和切线方向上引入自适应变正则 参数。构造了模型的离散迭代格式，并详细给出了各向异性扩散的变正则参数模 型的算法。最后通过数值实验和结果对比，说明了本算法的优越之处。 第五章是本文的总结与展望，对本文提出的算法的优点和不足进行评述，并 展望以后的工作。 第二章图像去噪综述 第二章图像去噪综述 2 1 经典的图像去噪方法 我们所涉及的图像中，相邻像素的灰度之间大多具有很高的相关性即一幅 图像中大多数像素的灰度与其相邻像素的灰度差别不大。有人统计其相关系数可 达0 9 以上。因为这种灰度相关性的存在，一般图像的能量主要集中在低频区域 中，只有图像的细节部分的能量才处于高频区域中，同时图像在数字化和传输过 程中出现的噪声信息，也集中在高频区域。图像去噪的主要目的就是去除或衰减 图像的高频分量，增强低频分量，或称低通滤波。一般分为空域低通滤波和频域 低通滤波两类f 2 1 。 下面就对其中一些有代表性的空域滤波和频域滤波进行介绍。 所涉及的噪声以加性噪声( i 2 1 g ( x ，y ) = f ( x ，y ) + g l ( x ，夕) 为模型描述。这里设厂( x ，y ) 是原始图像，n ( x ，y ) 是噪声，噪声影响图像后的输 出为g ( x ，y ) ，去噪后的图像为f ( x ，y ) 。 2 1 1 经典的空域滤波 经典的空域滤波有 5 】： o 均值滤波，如算术均值滤波、几何均值滤波、逆谐波均值滤波等。均值滤 波器输出的是滤波掩模邻域内所含像素的简单平均值主要应用是去除图像中的 不相干细节，其中“不相干”是指与滤波掩模尺寸相比，较小的像素区域； 顺序统计滤波，如中值滤波、最大值滤波和最小值滤波、中点滤波、修正 后的阿尔法均值滤波等。统计滤波器的输出基于图像滤波器包围的图像区域中像 素的排序，然后由统计排序结果决定的值代替中心像素的值。统计滤波器对处理 脉冲噪声( 也称为椒盐噪声) 比较有效。 1 、算术均值滤波 算术均值滤波是最简单的均值滤波，令5 。表示中心在( j ，) 处的该点的邻 域m 是邻域s 。内所包含的像素的总数，其过程就是计算噪声图像g ( 置y ) 在由 s x y 包含的区域中的m 个像素灰度的平均值，数学表达式可表示为 旭加万1 。墨。咖问 ( 2 _ - ) 第二章图像去噪综述 这个操作可以使用卷积模板来实现。最常用的两个模板是 m 4 = ： 0l0 l ol ol0 和m s ：1 8 ll 1o ii 将模板沿图像水平和垂直两个方向逐像素移动，与图像做卷积，则可完成整 幅图像的平滑，因此十分简单方便。但这种方法只是简单地平滑了一幅图像的局 部变化，因此在去噪的同时也模糊了图像细节。 2 、几何均值滤波 几何均值滤波与算术均值滤波相似，都是利用鼠。邻域内像素灰度的均值代 替( ，y ) 点的灰度值，所不同的是计算均值的方法不同，其数学表达式可表示为 几何均值滤波难以用卷积模板实现，所以在实现上比算术均值滤波稍微复 杂。但几何均值滤波在达到与算术均值滤波同样的光滑度的同时在滤波过程中 图像细节的丢失更少。 3 、谐波均值滤波 谐波均值滤波的数学表达式如下： 讯= 口， ( 。舞矗。g ( m ，门) 谐波均值滤波x c y - j e 脉冲噪声( 即“盐噪声”) 的去噪效果好。但是不适用 于负脉冲噪声( 即“胡椒噪声”) 。它善于处理像高斯噪声那样的其他噪声。 4 、逆谐波均值滤波 逆谐波均值滤波操作对一幅图像的去噪基于以下表达式： g ( m ，船) 叶1厶 ，“， f r ( x , y 卜专两 亿。， ( m ， j e 一 其中q 称为滤波器的阶数。这种滤波器适合减少或消除椒盐噪声的影响。当q 为 正值时，滤波器用于消除负脉冲噪声；当q 为负值时，用于消除正脉冲噪声。但 g 万 门优 g 兀邶 l l i y x 厂 第二章图像去噪综述 是不能同时消除这两种噪声。 5 、中值滤波 中值滤波是顺序统计滤波中最著名的。顾名思义中值滤波就是利用s 。邻 域内像素灰度的中值代替( x ，y ) 点的灰度值。数学表达式可以表示为： ( x ，y ) _ m e d 峨i a n g ( 肌，n ) ( 2 - 5 )i m ，月j e 3 0 。 对于多种随机噪声，中值滤波都有良好的去噪能力，且在相同尺寸下比起线 性平滑滤波器引起的模糊更少。中值滤波尤其对单极或者双极脉冲噪声非常有 效。然而，中值滤波会使图像的点状细节丢失，因此在图像含有较多点状和尖顶 角细节的时候，最好不要使用中值滤波去噪。 6 、中点滤波 对比中值滤波，中点滤波是使用邻域内像素灰度最大值和最小值的平均值作 为输出。其数学表达式是： 夕( x ，y ) = 互lj ( 。m ，。a ，；。x 。 、g ( m , n ) + 。m ，。，i 。n * ，( 、g ( m ，门) ) j ( 2 6 ) 这种滤波器结合了顺序统计和求平均，对于高斯噪声和均匀随机噪声有较好 的效果。 7 、修正后的阿尔法均值滤波 假设在s 。邻域内去掉灰度值最高的d 2 个像素和灰度值最低的d 2 个像 素，然后用g ，( m ，h ) 代表剩余的肼一d 个像素。由这些剩余的像素的平均值作为 输出的滤波称为修正后的阿尔法均值滤波。其数学表达式为： 夕( 训) 2 茄瓦毛。“m ) 北 o , m - l 】 ( 2 7 ) 修正后的阿尔法均值滤波器在多种噪声混合的图像去噪情况下非常适用。 2 1 2 经典的频域滤波 频域低通滤波器的数学表达式为 2 】 f ( u ，v ) = h ( u ，v ) g ( u ，v )( 2 8 ) 其中g ( “，v ) 是噪声污染图像g ( x ，y ) 的傅立叶变换，p ( u ，v ) 是处理后图像( 五y ) 的傅立叶变换，h ( u ，v ) 是频域低通滤波的传递函数，选择不同的h ( u ，v ) 可产生 不同的平滑效果。 第二章图像去噪综述 经典的频域滤波器一般有：理想低通滤波器( i l p f ) 、巴特沃思滤波器 ( b l p f ) 、指数低通滤波器( e l p f ) 和梯形低通滤波器( t l p f ) 。这些滤波器 消除或衰减了图像傅里叶变换后噪声能量所处的高频区域，它们主要应用之一是 在频率域噪声分量的一般位置近似已知的应用中消除噪声。 1 、理想低通滤波器 理想低通滤波器的传递函数为 脚，v ) = 佬 式中d o 为截止频率，可根据需要选定；d ( “，v ) = “2 + v 2 是频率平面上点“v ) 到 原点的距离。 因为实际的元器件无法实现h ( u ，v ) 从i 到0 的突变，所以这种理想滤波器 不能用硬件实现。但是在数字计算机上可以非常方便地模拟这种理想滤波器。另 外，理想滤波器在去噪的同时，随所选截止频率d o 的不同会发生不同程度的 “振铃”现象。同时。理想低通滤波器作用的不良后果是图像变模糊了。口、越 小，滤f 埭噪声越彻底，但高频分量损失越严重，因而图像就越模糊。 图2 - 1 给出了理想低通滤波器的传递函数的特性。 1 o 2 、巴特沃思滤波器 巴特沃思低通滤波器的传递函数为 ( ) 2 可而1 瓣 它在截止频率处的值为其最大值的1 2 。 常用的另外一种巴特沃思低通滤波器的传递函数为 9 伫 胁玩 u u 似 d d 第二章图像去噪综述 ，、 l 小“2 i 瓦而西而汗 口 l + ( 2 一1 ) i d ( 甜，v ) d nr “ ”7 它在截止频率处的值为其最大值的l 2 。 不同于理想低通滤波器，巴特沃恿低通滤波器的传递函数在通过频率与滤去 频率之间没有明显的不连续性。同时。低阶的巴特沃思低通滤波器振铃现象不太 明显，但是随着阶数增加，振铃现象就比较明显。二阶的巴特沃思低通滤波器是 在有效的低通滤波和可接受的振铃现象之间的平衡点。 图2 - 2 给出了巴特沃思低通滤波器的传递函数的特性。 i o d ( u ，v ) 哦 图2 - 2 巴特沃思低通滤波器的h ( u ，v ) 的径向截面图 h ( 叩) = e x p _ d ( 叩) d o ”) ( 2 _ 1 2 ) 脚，v ) - e x p i n ( 1 压) 【d ( ) d o 1 仕 ( “”) 0 1 i 5 脚，州哦 圄2 - 3 指数低通滤波器的( “，v ) 的径向截面图 第二章图像去噪综述 4 、梯形低通滤波器 梯形低通滤波器的传递函数为 l d ( u ，v ) d t 其中d o o ( 2 - 3 0 这等价于一个高斯去卷积过程当其作用于边缘附近时具有锐化边缘的效 果。这一方程由于其数值不稳定性而被认为是病态的，但是g i l b o a ，z e e v i ，s o c h e n 认为在局部范围内使用逆扩散过程不会破坏其稳定性。因此提出了一种前向后 向扩散方程【4 7 】。即取扩散系数g ( s ) 满足 1 一( j 七r ) ”0 s k i g ( s ) = 口 ( ( j 一) w ) 2 一l 】 k b w s + w ( 2 3 2 ) l o “卵 前向后向扩散方程模型的特点是扩散系数在平坦区域取正值以抑制噪声 而在边缘区域取负值以锐化边缘，因而不但可以抑制图像中存在的噪声- 还可以 提高边缘的清晰度。 s 、复扩散方程模型 此外还有复扩散方程 4 5 1 。其表达式为 它的特点是扩散系数取复值，能在获得去噪后图像的同时，通过其虚部获得 图像的边缘。 除了这些主流的模型外，还有约束曲面面积扩散方程、拐点增强扩散方程、 基于特殊边缘增强的耦合模型，稳健扩散、自适应扩散、多重网格等等模型【4 8 5 0 1 ，从多个角度考虑了偏微分方程模型应用于图像处理时的特点，取得了较好 的效果。 c y0唧圳舢 扛 第三章应用正则化方法进行图像去噪 第三章应用正则化方法进行图像去噪 3 1 适定性和不适定性 3 1 1 定义 在介绍正则化方法前，先要引入“适定( w e l t p o s e d n e s s ) ”和“不适定 ( 川一p o s e d n e s s ) ”的概念。这两个概念是h a d a m a r d 为了描述数学物理问题与定解 荣件的合理搭配。于2 0 世纪初引入的5 4 1 。 设所和岛分别是空间f 和u 的度量，a ：f u 是线性或非线性映射。对 于求解以下方程( 已知a 和反求：) a z = 甜， z f ，“uf 3 ，1 1 给出下述定义 定义3 i 称问题或方程( 3 1 ) 为适定的，如果它同时满足下述三个条件： v “u ，都存在z f 满足方程( 3 1 ) ( 解的存在性) ： 设“。，“2 u ，若z ，和：2 分别是方程( 3 一1 ) 对应于m l “：的解，则! l z 2 ( 解 的唯一性) ： o 解相对于空间偶( ，u ) 而言是稳定的( 解的稳定性) ，即：v s 0 ， 8 ( e ) 0 ，只要 既( “l ，“2 ) j ( 占)( “l ，“2 u ) ( 3 - 2 ) 便有 p f ( ：l ，z 2 ) 0 ，使得算子r ( u ，占) 对于所有的口 0 和满足辟，( “，) j 4 的 任意u u 都有定义； o 存在这样的函数口= 口p ) ，对于任给的6 0 ，存在占( ) s 艿l ，若 p u ( ，“，) s 占0 ) ( v u ) ，便有p ，( 毛，：，) s ，其中毛= r ( ，口( 占) ) 。 按照上述定义，若d ，( ，“，) 0 都有定义的关于“连续的算子。若 l 。i 。m 。百( 彳z ，口) = z ，v z f ( 3 - 8 ) 则算子瓦( 以口) 就是方程( 3 一1 ) 的正则算子e 显然，每个这样的正则算子r ( “，口p ) ) ，连同决定正则参数的不同原则和方 法，都定义了构造原问题的近似解的一个稳定算法。于是寻求问题的稳定解的过 程可归结为： o 构造正则算子r ( “，口) ； 选择正则参数口= 口p ) ，使之与原始数据的误差水平引匹配- 3 2 2 正则算子的构造 t i k h o n o v 在【5 7 中讨论了基于变分原理的构造正则算子的方法。 假设方程a z = “，存在精确解z ，。对于任何口 0 ，称下述具有单参数口的泛 函为展平泛函( s m o o t h i n gf u n c t i o n a l ) ： m 4 圳】= 露( a z ，“) + 窿q h ，u u ，z e f ( 3 - 9 ) 其中，e 是f 中的稠子集。q 【z 】是定义在( 上的非负连续泛函，称为稳定泛函 f s t a b i l i z i n gf u n c t i o n a l s ) ，满足以下条件： o = r e ： o 对于任意d 0 ，集合 z 一l q 【z 】d 是f 的紧子集a 正则算子的构造主要通过下面两个定理完成。 定理3 2 设4 是度量空间f 到度量空间u 的连续算子对任意的“u 和任意的 口 0 ，都存在毛f ，使得泛函( 3 9 ) 达到其下确界，即 m 8 z 。，甜】= i ：n 。，fm 。【z ，“】( 3 - 1 0 ) 根据定理3 2 ，对于任意的“u 和任意的口 0 ，在空间f 中有元素毛与之 对应；换言之，定义了一个由u f 的算子曷( “，口) ，而= r i ( “，口) 就是 m 4 k ”1 的极小值点。 由于算子墨( “，口) 对于任意的“u 和任意的口 0 均有定义，因此r t ( 址口) 满足正则算子定义3 2 的第0 个条件。 第三章应用正则化方浩进行图像去噪 当4 为线性算子，f 是h i l b e r t 空间，n z 】是二次泛函时- 算子r l ( “，口) 是 唯一的。事实上，若泛函m 4k “】在两个不同元素毒和者达到其下确界，则可 讨论位于连接翘和老的“直线段”上的空间c ，的元素= = 掣+ 卢( 毒一之) 上泛函m 。( 五“】的极值问题：它是的非负二次函数，因而不可能在两个不同的 卢值上达到极小值。 以下定理，证明了8 ( “，g ) 满足正则算予定义3 2 的第。个条件，因而是方 程( 3 一1 ) 的正则算予。 定理3 3 设。是相应于方程( 3 一i ) 的准确右端项的准确解：a z ，= “，。对于任意的 s o 及满足下列条件的、在【o ，西】上定义的非负、非减函数届忙) 和屈忙) ： 雨8 2 厦( 口) ，厦( 。) = 。 均存在瓯( f ，矗，屈) 4 ，使得只要所( i ，“。) s 艿 u ，占皖) ，且口p ) 满足 南口( j ) 履( 口) ，j 氏 便有 p ，( 哥，乞) s 其中气= r 、( i ，口) 。 通过定理3 2 和定理3 3 ，保证了算子r ( h ，口) 的正则性，因而可把 毛= r i ( “，口) 定义为( 3 1 ) 的近似解a 这就是t i k h o n o v 首创的，求解不适定问题的正则化方法的原始思想。在实 施正则化方法的过程中，关键之一是通过选择一个合适的展平泛函( 3 9 ) 来构造正 则算子。t i k h o n o v 选择这个展平泛函的主要想法 6 】是： 首先，对准确的右端项叶及相应的准确解来说，显然有n ，( a z ，“，) = 0 。 在“，不能准确给出时，代之以它的近似( 这时可能不属于避( 爿) ) ：这时 自然希望。当cu 时某种相应的广义解应当存在，故可取变分问题 一 ，、 1 n jj 1 9 i 【以：，“dj( 3 1 1 ) i 的极小值解( 总是存在但不一定唯一) 作为这样的解；0 为了保证解的唯一性， 可在上述极小值的解集中取一个按某种度量为最小，从而解决唯一性问题。总之， 按照l a g r a n g e 乘子法或优化理论中构造泛函数的思想，相应的泛函就是( 3 9 ) 。 第三章应用正则化方法进行图像去噪 如定理3 3 所示当适当地选取参数1 2 时，问题( 3 9 ) 的求解总是适定的，而 且它与问题( 3 11 ) 是相邻近的。因此从另一角度看，所谓正则化就是用一族相邻 近的适定问题的解去逼近原问题的解。在这里，泛函n = 1 起着恢复原问题的解 的稳定性的作用，因而称作稳定泛函。对于同一个求解问题，它的选取不是唯一 的，随着对待求解所附加的限制而定，故确定正则解的正则算子r ( u ，口】也将不 同。 在解( 3 i ) 方程时，无论是方程的右端项“，还是算子a 都可以引入“原始数 据”的概念。如果右端项“近似已知，而算子a 是精确的，那么方程( 3 i ) 对于原 始数据微小改变的稳定近似解可以用正则化方法构造。当右端项j ，和算子a 都是 近似已知( 其近似分别为和a h ) 时，t i k h o n o v 在1 9 6 5 年证明了用上述变分方 法( 即用展平泛函m 吖z 爿。1 = 西( 以= ，) + ( 口一h 2 ) q 【z 】极小化的方法) 可以 构造对原始数据f “，a ) 微小改变的稳定近似解。 3 2 3 正则参数的确定 在实施正则化方法过程中，确定正则参数是核心问题之一，同时也是难题， 这是由问题本身的不适定性造成的 6 。从逼近的角度看，正则参数口太大，则 使( 3 9 ) 与( 3 11 ) 相差太远，达不到求近似解的目的；然而从数值稳定性的角度看， 正则参数t 2 太小。又会令问题的不适定性消除不够而难于处理。因此，正则参数 t 2 的选择原则一直是正则化方法研究的热门。 设m 4 【= ，】在：= 之达到最小值于是m 。 ， m 4 z t , u a ，即 露( 4 ，) + 口q 乏 露( 爿z t , ) + 口q 【勺】 艿2 + 口q b 1 2 1 = 口争q k 】 不难看出。盘的选取应该与j 有关可记作口= 口( 万) 。当d 斗。时应该有 呻“，相应地有毛斗z ，所以为了保证正则解的收敛性，下述极限关系应当 成立： 0 ；品m 婶) 乙( ， = m 。k ，“，1 = 力( 彳如蜥) = o ( 3 _ 1 3 ) 或 l i m m 气， = 露( 爿z ，“r ) = 0 ( 3 1 4 ) 因此，应有 第三章应用正则化方法进行圈像去噪 口= 口( 占) 寸0 ( 占专0 ) ( 3 - 1 5 ) 并且当万- + 。时，量 高+ n _ 1 至少保持有界。 综上可知，算子尺口) 成为正则算子的必要条件是 p 2 l 洲i r a 0 都是数值稳定的，故应当使相应的残差极小 化：而从数值稳定的角度看，贝l j 参数窿越大越好。于是，选择上述误差上界为极 小的参数，即决定这样的口，使得 庐( 口) ：峰型 b ：。， 取极小。这就同时兼顾了“好的逼近”与“好的数值稳定性”的要求。 3 3 有自适应正则参数的图像去噪模型 杨朝霞等在 6 6 1 q 6 提出了自适应双正则参数法( v a r i a t i o n a lm e t h o d w i t h a d a p t i v et w or e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r s 。以后简称a t r p 方法) 处理图像去噪问 题，本文基于其思想改进了这种算法。下面详细论述这种思想的理论依据。 3 3 1 噪声模型的不适定性 如i 2 3 所提及，本文所考虑的图像噪声模型是加法性噪声。这里再具体定 第三章应用正则化方法进行图像去噪 义该噪声模型。 设五( x ，) 是原始图像- ( z ，y ) 是图像中加入的噪声，噪声影响图像后的输 出为g ( x ，y ) 。本文建立如下噪声模型： g ( x ，y ) = 厶( x ，y ) + n ( x ，y ) ( x ，y ) q c r 2 ( 3 - 3 0 ) 其中，n ( y ) 服从均值为0 ，标准差为占的高斯分布，且不同点的噪声是互相独 立的。 为了后面理论叙述方便，把( 3 3 0 ) 改写成如下形式： g ( z ) = 厶( = ) + 疗( z ) 三q c 碾2 ( 3 - 3 1 ) 对于服从均值为0 标准差为占的高斯分布的噪声n ( z ) 来说有如下估计： ( ( z ) ) 2 d z o 时，通过解由p e r o n a 和m a l i k 提出的各向异性扩散方程， 就可以得到s ( x ，y ；t 1 。各向异性扩散方程有两种形式： p e r o n a - m a l i k 方程d i v 形式 j = d i v m ) (