（计算数学专业论文）对流扩散方程的间断有限元的后验误差估计.pdf

摘要 摘要 本文采用非对称罚因了和局部间断有限元方法对非定常对流扩散方程的数值 解进行后验误差估计。在参考沦文f 1 1 中，作者针对的是带混合边界条件的对流 扩散方程，本文解决的是带狄利克雷边界条件的方程。 首先，通过对偶技术和特殊的输出函数得到非对称内部罚因子间断有限元方 法的误差表达式。然后，消除对偶解得剑基于分片残差量的误差指标的研( 霹) 的 后验估计。另外本文还针对局部i 日j 断有限元方法利用前面相同的技术得到了相应 的误差表达式和露2 d 2 ，) 的后验估计。最后，基于一维标准方程利用局部阳j 断有限 元方法，使用均匀网格计算得到不同误差指标的收敛阶数，使用非均匀网格和自 适应技术进行局部加密，得剑了方程的局部间断有限元解的图形。 关键词：后验误差估计，对偶技术，非对称内部罚因子，间断有限元，局部间 断有限元，对流扩散方程 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , ap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e sa r ed e r i v e df o ru n s t e a d yc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sd i s c r e t i z e dw i t ht h en o n - s y m m e t r i ci n t e r i o r ip e n a l t ya n dt h el o c a l d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d s i nt h ep a p e r 1 w er e f e r r e dt o ，t h ea u t h o rd e r i v e d t h ep o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e sf o rt h et r a n s i e n tc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e mw i t ht h e n e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n n o ww ec h a n g e dt h en e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o na n d s o l v et h ep r o b l e mw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n f i r s t ，a l le r r o rr e p r e s e n t a t i o nf o r m u l af o rt h en o n - s y m m e t r i ci n t e r i o r ip e n a l t yd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o di nas p e c i f i e do u t p u tf u n c t i o n a li sd e r i v e du s i n gd u a l i t y t e c h n i q u e s t h e n ，a i l 碰2 d 卫2 ) ap o s t e r i o r ie s t i m a t ec o n s i s t i n go f e l e m e n t w i s er e s i d u a l b a s e de r r o ri n d i c a t o r si so b t a i n e db ye l i m i n a t i n gt h ed u a ls o l u t i o n i na d d i t i o n ，w eg e t t h ee r r o rr e p r e s e n t a t i o nf o r m u l aa n dt h e 瑶2l d z 2 ) ap o s t e r i o r ie s t i m a t e sb a s e do nt h ee l e m e n t w i s er e s i d u a l sf o rt h el o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d w ea s s e s st h ec o n v e r - g e n c er a t eo ft h ev a r i o u se r r o ri n d i c a t o r so na1d m o d e lp r o b l e mw i t ht h el d gm e t h o d u s i n g au n i f o r mp o l y n o m i a ld e g r e ep = 1a n du n i f o r mm e s h e s w ea l s os h o wt h ef i n i t e e l e m e n ts o l u t i o n so b t a i n e dw i t ht h el d gm e t h o du s i n gt h en o n u n i f o r mm e s h e sa n d t h ea d a p t i v es t r a t e g y k e yw o r d s ：ap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e s ，d u a l i t yt e c h n i q u e s ，n o n - s y m m e t r i ci n - t e r i o rp e n a l t y , t h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ，t h el o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n m e t h o d ，t h ea d a p t i v et e c h n i q u e ，c o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n s 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：q 望日f l 廊年6 月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 锄臻日a 砂留年6 月i e l c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 1 1t h et r a n s i e n tc o n v e c t i o n d i f f u s i o n p r o b l e m i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h ea p o s t e r i o r ie r r o r a n a l y s i s ，w h i c hi sb a s e do nt h eu s e o fad u a l i t ya r g u m e n ta n dg a l e r k i no r t h o g o n a l i t y w eu s et h ep a r t i c u l a r n o n s y m m e t r i c d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ( n i p g ) a n dt h el o c a ld i s c o n t i n u o u sm e t h o d ( l d g ) t o o b t a i nt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gt r a n s i e n tc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e m w i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ： c o w + v ( u c d v c ) = c f o n q ，t 0 ， c = 爹o n 锄，t20 ， c ( x ，0 ) = c ；。( z ) o n q ， ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) w h e r el2i sap o l y g o n a lb o u n d e dd o m a i ni nr a ，d = 1 ，2o r3 i n t y p i c a lp o r o u sm e d i a a p p l i c a t i o n s ，c ( z ，t ) r e p r e s e n t st h ec o n c e n t r a t i o no fs o m ec h e m i c a lc o m p o n e n t ，西f z ) i st h ee f f e c t i v ep o r o s i t yo ft h em e d i u m ，a n di sb o u n d e da b o v ea n db e l o w b yp o s i t i v e c o n s t a n t s ，u ( x ，t ) i st h ed a r c yv e l o c i t y , d ( x ，u ，t ) i sad i f f u s i o n d i s p e r s i o nt e n s o ra n d 八z ，t jl sa s o u r c et e r m i nt h i sp a p e lw ea s s u m e d d ( x ，u ，t ) i su n i f o r m l yp o s i t i v ed 萌 n i t e ( b u tn o tn e c e s s a r i l ys y m m e t r i c ) a n dt h ed a r c yv e l o c i t yf i e l dv e c t o r 让i sg i v e na n d s a t i s f i e st h ec o n t i n u i t ye q u a t i o nv 乱：0 1 2 n u m e r i c a lm e t h o d s t os o l v e ( 1 1 ) 一( 1 3 ) n u m e r i c a l l yt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d h a v eb e e na p p l i e de x t e n s i v e l y i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ec l a s s i c a lg a l e r k i nm e t h o dw i t hc o n t i n u o u sp i e c e w i s e l i n e a rf i n i t ee l e m e n tl e a d st os p u r i o u so s c i l l a t i o n sw h e nt h el o c a lp e e l & n u m b e r i sl a r g e c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n t h u s ，m a n yn o n - s t a n d a r df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r ep r o p o s e dt os o l v et h ep r o b l e m ， s u c ha sp e t r o v g a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，u p w i n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，c h a r a c t e r i s t i cf i n i t em e t h o d ，s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ，d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o da n d s oo n i nr e c e n ty e a r st h e r eh a sb e e nc o n s i d e r a b l ei n t e r e s ti nd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nf i - n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no faw i d er a n g eo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw h i c ha r i s ef r o mc o n t i n u u mm e c h a n i c s d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o di sa f i n i t ee l e m e n tm e t h o du s i n gc o m p l e t e l yd i s c o n t i n u o u sp i e c e w i s ep o l y n o m i a ls p a c ef o r t h en u m e r i c a ls o l u t i o na sw e l la st h et e s tf u n c t i o n s i tw a sf i r s td e v e l o p e di n19 7 3b y r e e da n dh i l li n 2 】t os o l v et h en e u t r o nt r a n s p o r te q u a t i o n ，w h i c hi sal i n e a rh y p e r - b o l i cp d e l e s a i n ta n dr a v i a r ti n 3 p u b l i s h e di t sf i r s tm a t h e m a t i c a la n a l y s i si n19 7 4 ， p r o v i n g t h a tt h em e t h o dc o n v e r g e sw i t har a t e ( z ) 南i nt h el 2 - n o r mf o rg e n e r a lt r i a n - g u l a t i o n su s i n gp o l y n o m i a l so fd e g r e eka n dw i t ha r a t ef r e x ) ( 七+ 1 ) f o rt e n s o rp r o d u c t s o f p o l y n o m i a l so f d e g r e e ski ne a c hv a r i a b l eo nc a r t e s i a nm e s h e s i n19 8 6 ，j o h n s o na n d p i t k a r i i n t ai n 4 p r o v e dar a t eo fc o n v e r g e n c eo f ( z ) ( 后+ 吉) f o rg e n e r a lt r i a n g u l a t i o n s a n di n1 9 9 1 ，p e t e r s o ni n 5 n u m e r i c a l l yc o n f i r m e dt h i sr a t et ob eo p t i m a l t h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o df o rs o l v i n gn o n l i n e a rh y p e r b o l i cp r o b l e m s s t a r t e dw i t has e r i e so fp a p e r sb yc o c k b u m ，s h ua n dt h e i rc o l l a b o r a t o r ss t a r t i n gi nt h e l a t e8 0 s ，w h i c hi n c o r p o r a t e di m p o r t a n ti d e a so fh i g hr e s o l u t i o nf i n i t ed i f f e r e n c ea n d f i n i t ev o l u m em e t h o d ss u c ha sm o n o t o n ef l u x e so ra p p r o x i m a t er i e m a n ns o l v e r s ，h i 。g h o r d e rt v d r u n g e k u t t at i m ed i s c r e r i z a t i o n s ，a n dn o n l i n e a rl i m i t e r sf o rd i s c o n t i n u i t i e s i nt h es o l u t i o n s ，i n t ot h ef r a m e w o r ko fd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d s t h eo r i g i n a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o di sd e s i g n e ds o l e l yf o rs o l v i n gh y p e r b o l i cp r o b l e m s n o w a d a y s ，t h em e t h o da r ew i d e l yu s e dt os o l v eo t h e rt y p e so fp d e ss u c ha s t h ep a r a b o l i ca n de l l i p t i cp r o b l e m s d gm e t h o d sm a yb ev i e w e da sh i g h o r d e re x t e n - s i o n so ft h ec l a s s i cf i n i t ev o l u m em e t h o d i th a ss e v e r a la d v a n t a g e so v e ro t h e rt y p e s o ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d s s i n c en oi n t e r - e l e m e n tc o n t i n u i t yi si m p o s e d ，t h et r i a la n d t e s ts p a c e sa r ev e r ye a s yt oc o n s t r u c t ，t h e yc a nn a t u r a l l yh a n d l ei n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dc u r v e db o u n d a r i e s ，a n dt h e ya l l o wt h eu s eo fh i g h l yn o n u n i f o r m a n du n s t r u c t u r e dm e s h e s m o v e o v e r ，p o l y n o m i a l so fa r b i t r a r yd e g r e ec a i lb eu s e do n e a c he l e m e n t ，m a k i n gt h e s em e t h o d ss u i t a b l ef o rh p - a d a p t i v i t y i na d d i t i o n ，t h ef a c t 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h a tt h em a s sm a t r i c e sa r eb l o c kd i a g o n a li sa na t t r a c t i v ef e a t u r emt h ec o n t e x to ft i m e - d e p e n d e n tp r o b l e m s ，e s p e c i a l l yi fe x p l i c i tt i m ed i s c r e t i z a t i o n sa r eu s e d i nt h i sp a p e rw ea l s oc o n s i d e rt h es oc a l l e dl o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ( l d g ) m e t h o dw h i c hw a si n 仃o d u c e db yc o c k b o r na n ds h ui n 6 a sa ne x t e n s i o nt og e n e r a l c o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m so ft h en u m e r i c a ls c h e m ef o rt h ec o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n sp r o p o s e db yb a s s ia n dr e b a yi n 【7 t h es c h e m ew a si nt u ma l l e x t e n s i o no ft h er u n g e k u t t ad i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ( r k d g ) m e t h o dd e v e l o p e db y c o c k b o ma n ds h ui n 【8 f o rn o n l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m s ，t h el d gm e t h o di so n e o fs e v e r a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d sw h i c ha r eb e i n gv i g o r o u s l ys t u d i e d ，e s p e - c i a l l ya sa p p l i e dt oc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e m s ，b e c a u s eo ft h e i ra p p l i c a b i l i t yt oa w i d er a n g eo fp r o b l e m sa n dt h e i rp r o p e r t i e so fl o c a lc o n s e r v a t i v i t ya n dh i g hd e g r e eo f l o c a l i t y t h el d gi so b t a i n e db yu s i n gas p a c ed i s c r e t i z a t i o nt h a tw a so r i g i n a l l ya p p l i e dt o f i r s t - o r d e rh y p e r b o l i cs y s t e m s i tc a nb ec o n s i d e r e da sam i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ， t h ea u x i l i a r yv a r i a b l ec a nb ee l i m i n a t e df r o mt h ee q u a t i o n ，w h i c hi su s u a l l yn o tt h ec a s e f o rc l a s s i c a lm i x e dm e t h o d s i nt h el d gm e t h o d ，l o c a lc o n s e r v a t i v i t yh o l d sb e c a u s et h ec o n s e r v a t i o nl a w sa r e w e a k l ye n f o r c e de l e m e n tb ye l e m e n t i no r d e rt od ot h a t ，s u i t a b l ed i s c r e t ea p p r o x i - m a t i o n so ft h et i a c e so ft h ef l u x e so nt h eb o u n d a r yo ft h ee l e m e n t sa r en e e d e dw h i c h a r ep r o v i d e db yt h es o c a l l e dn u m e r i c a lf l u x e s ，t h e s ea r ew i d e l yu s e di nt h en u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o no fn o n l i n e a rh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w sa n da r en o t h i n gb u tt h es o - c a l l e da p p r o x i m a t er i e m a n ns o l v e r s ，t h e s en u m e r i c a lf l u x e se n h a n c et h es t a b i l i t yo f t h e m e t h o d ，a n dh e n c e ，t h eq u a l i t yo fi t sa p p r o x i m a t i o n t h i si sw h yt h el d gm e t h o di s s t r o n g l yr e l a t e dt os t a b i l i z e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，i n d e e d ，t h es t a b i l i z a t i o ni s a s s o c i a t e dw i t ht h ej u m p so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o na c r o s st h ee l e m e n tb o u n d a r i e s i nt h el d gm e t h o d ，t h e r ea r en ol a g r a n g em u l t i p l i e r sa s s o c i a t e dw i t ht h ec o n t i - n u i t yc o n s t r a i n t ，i n s t e a d ，t h el a g r a n g em u l t i p l i e r si sr e p l a c e db yf i x e df u n c t i o n so f t h e u n k n o w n sw h i c ha r en o t h i n gb u tt h ea b o v em e n t i o n e dn u m e r i c a lf l u x e s t h i sr e n d e r s t h el d gm e t h o dp a r t i c u l a r l yw e l ls u i t e df o rh p - a d a p t i v i t y t h el o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o dh a sb e e nf r e q u e n t l yu s e di nr e c e n ty e a r s t os o l v ed i f f u s i o nd o m i n a t e da n dp u r e l ye l l i p t i cl i n e a rp r o b l e m s m o r e o v e r , t h ea n a l 一 3 y s i sw a se x t e n d e dt oac l a s so fn o n l i n e a r c o n d i t i o n s a si ti sw e l lk n o w n ，t h em a i n d i f f u s i o np r o b l e m sw i t hm i x e db o u n d a r y a d v a n t a g e so ft h el d g a r et h eh i g ho r d e r o fa p p r o x i m a t i o np r o v i d e d ，t h eh i g hd e g r e eo fp a r a l l e l i s mi n v o l v e d ，a n di t sg r e a ts u i t - a b i l i t yf o rh , p ，a n dh pr e f i n e m e n t s i np a r t i c u l a r , t h el a t t e ra d v a n t a g em a k e st h el d g v e r ya t t r a c t i v et ob eu s e di nc o m b i n a t i o n w i t ha d a p t i v ea l g o r i t h m s ，a n dh e n c et h en e e d o fc o r r e s p o n d i n gap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o r sp r o v i d i n gl o c a li n f o r m a t i o no nw h e r e t o r e f i n eb e c o m e se v i d e n t a d a p t i v et e c h n i q u e sb a s e d o na p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e s h a v eb e c o m eac o l n l t l o n p r o c e d u r ef o ro b t a i n i n gm o r ea c c u r a t en u m e r i c a ls o l u t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s s u c ht e c h n i q u e sr e l yo i lt h ee f f i c i e n tp r e d i c t i o no f l o c a le r r o r s t y p i c a l l ya l le r r o r e s t i m a t o r sc a nb ed e r i v e de x p l i c i t l yb yd i r e c tc o m p u t a t i o n su s i n gt h ef i n i t ee l e m e n ts o 。 l u t i o na n ds o m ed a t as u c ha ss o u r c et e r m s ，b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，e t c ；o r , i m p l i c i t l yb y s o l v i n gl o c a lp r o b l e m s s u c hap o s t e r i o r ie s t i m a t e sg i v eu p p e rb o u n d s o nt h ee r r o re x 。 p r e s s e di nt e r m so fc o n t r i b u t i o n sf r o mi n d i v i d u a lt r i a n g l e sa n d i n t e r f a c e s t h i sm a k e s i tp o s s i b l et oc a l c u l a t ean e wm e s hb ym e a n so fr e f i n e m e n ta n dc o a r s e n i n g a na d a p 。 t i v ep r o c e d u r eu s e st h e s ei n d i c a t o r st oa s s e s st h eq u a l i t yo f t h ea p p r o x i m a t i o ng l o b a l l y a n d o rl o c a l l y as e to fc e l l s ，t h o s ew i t hh i g hi n d i c a t o rv a l u e ，i sl o c a l l yr e f i n e da n dt h e w h o l ep r o c e s si sr e p e a t e du n t i lt h ed e s i r e da c c u r a c yi sa c h i e v e d i nt h i sp a p e rw ea n a l y z ea nap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e sw i t ht h en o n 。s y m m e t r i c d i s c o i n t i n u o u sg a l e r k i n ( n i p g ) m e t h o da n dt h el o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ( l d g ) m e t h o dt os o l v et h et r a n s i e n tc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e m w ea p p l yt h es t a n d a r d d u a l i t ya r g u m e n ta n d g a l e r k i no r t h o g o n a l i t yt od e r i v ea nl t 2 ( 鹾) ap o s t e r i o r ie r r o re s t i 。 m a t e s a nu p p e rb o u n do ft h el 2 - e r r o ri nt h ep r i m a lv a r i a b l ei so b t a i n e du s i n ge x p l i c i t c o m p u t a t i o n so fl o c a lr e s i d u a l s s i m i l a rt e c h n i q u e sa l s oe x t e n d st oh y p e r b o l i cp r o b - l e m st od e r i v ee s t i m a t e so ff u n c t i o n a lq u a n t i t i e so fi n t e r e s t ，l e a d i n gt oa d a p t i v i t yb a s e d o nm o r ep h y s i c a l l ym e a n i n g f u lq u a n t i t i e st h a nt h ee n e r g yo rl 2n o r m i no r d e rt o g a u g et h ee f f i c i e n c yo ft h eap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e st h a tw eh a v ed e r i v e d ，w e u s e t h eh - a d a p t i v em e t h o df o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o no ft h ep r o b l e m ( 1 1 ) 一( 1 3 ) ， t h ea d a p t i v es t r a t e g ym o d i f i e st h em e s hb yr e f i n e m e n to fs o m em a r k e de l e m e n t sw h i l e k e e p i n gt h ed e g r e eo f t h ep o l y n o m i a l sc o n s t a n t t h eg o a li st og e n e r a t eam e s hi na f i n i t en u m b e ro fs t e p ss u c ht h a tag i v e nt o l e r a n c ei sm e tb yt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no n 4 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h i sm e s h 1 3t h eo u t l i n eo ft h ep a p e r t h eo u t l i n eo ft h ep a p e ri sa sf o l l o w s i nc h a p t e r2 ，w ed e s c r i b et h ef o r m u l a t i o no f t h en i p gm e t h o da p p l i e dt ot h et r a n s i e n tc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m sw i t hd i r i c h l e t b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，u s i n gd u a l i t ya r g u m e n ta n dg a l e r k i no r t h o g o n a l i t y t h e nw es t a t e o u re x p l i c i te r r o re s t i m a t o ra n dg i x ；eab r i e fs k e t c ho ft h ep r o o f si no r d e rt od i s p l a yt h e i d e a so