（计算数学专业论文）广义burgers方程的legendregalerkin+chebyshev配置方法.pdf

摘要 本文对广义b u r g e r s 方程的n e t l i n a n i l 和r o b i n 型边值问题构造了l e g e n d r e - g a l e r k i nc h e b y s h e v - 配置方 ；- 2 - 文中对于n e u m a n n 和r o b i n 型边界条件，采用 了自然边界条件的处理方法( 近似解渐近满足边界条件) ，这是实际计算中最 常用的一种方法 为了构造有效的算法，必须合理地处理高阶导数和非线性项因此我们在 时间方向上用c r a n k n i c o l s o n l e a p f r o g ( c n l f ) 格式，它对方程的线性部分隐式 处理，非线性部分显式处理，这样使得格式有好的稳定性，又便于求解在空 间方向上用l e g e n d r e g a l e r k i n 谱方法，但逼近非线性项时我们用在c h e b y s h e v + 。 g a u s s l o b a t t o 点上的插值算子进行计算，这样我们在计算时可以利用快速变 换最后，我们给出了方法的稳定性和收敛性分析，获得了按日1 一模的最佳误 差估计 从实际计算得到的数值结果，可以看到我们建立的数值解法是非常有效 的 关键词l e g e n d r e - g a l e r k i nc h e b y s h e v - 配置点方法，l e g e n d r e 谱方法 b u r g e r s 方程，c h e b y s h e v 插值算于，c h e b y s h e v - g a u s sl o b a t t o 点 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea n a l y z et h el e g e n d r e - g a l e r k i nc h e b y s h e v c o l l o c a t i o nm e t h o d f o rt h eg e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o nw i t ht h en e u m a n na n dr o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o n sw et r e a tt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n si nan a t u r a lw a y ( t h en u m e r i c a ls o l u t i o n s a t i s f i e sb o u n d a r yc o n d i t i o n sa s y m t o t i c a l l y ) w h i c hi sw i d e l yu s e di np r a c t i c a l l yc o n l l p u t i n g i no r d e rt oc o n s t r u c ta ne f f i c i e n ts c h e m e ，w ea d o p tt h ec r a n k - n i c o l s o n l e a p f r o g ( c n l f ) s c h e m e i nt h et i m ed i s c r e t i z a t i o n ，w h i c hd e a lw i t ht h el i n e a rp a r ti m p l i c i t l y a n dt h en o n l i n e a rt e r me x p l i c i t l ys ot h a tt h es c h e m ei so fg o o ds t a b i l i t ya n dc a nb e s o l v e de f f i c i e n t l y f o rt h ed i s c r e t i z a t i o ni ns p a c e ，t h es c h e m ei sb a s i c a l l yf o r m u l a t e d i nt h el e g e n d r es p e c t r a lm e t h o db u tt h en o n l i n e a rt e r mi sc o m p u t e db ) rt h ec h eb ) r s h e vc o l l o c a t i o nm e t h o da tt h ec h e b y s h e v g a l e r k i n l o b a t t op o i n t s ，w h i c hc a nb e d o n ew i t ht h eh e l po ft h ef a s tl e g e n d r et r a n s f o r m a t i o nf i n a l l y , w ep r o v et h e s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo ft h em e t h o da n do b t a i nt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t ei n h 1 n o r m t h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a tt h en u m e r i c a lm e t h o ds u g g e s t e di nt h i s p a p e ri sv e r ye f f i c i e n t k e yw o r d sl e g e n d r e - g a l e i k i nc h e b y s h e v c o l l o c a t i o nm e t h o d ，l e g e n d r e s p e c t r a lm e t h o d ，b u r g e r se q u a t i o n ，c h e b y s h e vi n t e r p o l a t i o n ，c h e b y s h e v g a u s s l o b a t t op o i n t 上海大学 y 6 7 8 1 91 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大 学硕士学位论文质量要求 答辩委员会签名： 主任 委员 想十已贯夕子 芳铱 锄：垦确 答辩日期：跏4 夸硎l 7 h 原创性声明 本人声明：所星交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特剐加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：一日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有j 陂保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名：堡! 垒牟日期：2 牮7 自 第一章引言 1 1 谱方法简介 有限差分法、有限元法和谱方法是微分方程数值求解的三种基本方法 谱方法和前面两种方法的最大区别在于试探函数的选取，最常用的试探函数 有三角多项式、c h e b y s h e v 多项式、l e g e n d r e 多项武和j a c o b i 多项式等，它们 都是s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征函数 根据选取检验函数的不同谱方法可以分为：g m e r k i n 谱方法，配置谱方 法和t a u 谱方法在g a l e r k i n 谱方法中，检验函数与试探函数相同，他们都是 无限可微且满足边界条件，残量和检验函数的内积为零在配置谱方法( 拟谱 方法) 中，试探函数取法与g a l e r k i n 谱方法相同但检验函数是d i r a cd 函数即： w 。( z ) = d ( z z 。) ，n = l ，2 ，其中z 。称为配置点，方程在配置点上成立 t a u 谱方法和g a l e r k i n 谱方法很相似，只是它不要求检验函数满足边界条件 g o t t l i e b 和o r s z a g 1 4 ( 1 9 7 7 年) 对谱方法的这三种具体形式作了详细的介绍， 建立7 关于线性问题数值分析的一些基本理论，对谱方法在偏微分方程( 特别 是在流体动力学问题) 数值计算中的应用情况作了概括 由于谱方法具有“无穷阶”的收敛速度( 即：如果原微分方程的真解无限可 微，则由恰 - 3 的谱方法所得到的近似解收敛于真解的速度比- 1 的任何次幂 都快，这里n 是所取基函数的个数) 1 4 ，5 ，3 ，1 9 1 ，它被日益广泛地应用于天气 预报，流体力学等领域 1 4 ，5 ，3 ，4 3 ，1 9 】。 在用谱方法求解方程时，由于代数方程组系数矩阵的形状和基函数的选 取有关，因此选取基函数对实际计算的效率有很大的影响例如，求解边值问 题时，无论是取l e g e n d r e 多项式作为逼近空间的基函数还是取c h e b y s h e v 多 项式作为逼近空间的基函数，一般情况下都不能满足边界条件，为了使基函数 满足边界条件，我们一般取l e g e n d r e 多项式或c h e b y s h e v 多项式的组合作为 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 一一 基函数例如，对二阶微分方程齐次d i r i c h l e t 边值问题，以c h e b y s h e v 多项式 的组合作为基函数为例，可取这样的基函数 咖e ( z ) = t 靠k ( ( x 。) ) - 一五t o ( ( 。z ) ) ，, ：罢：或。( z ) = ( 1 一z 2 ) 巩一。( z ) ， 与逼近空问 、，= s p a n 舌2 ( x ) ，3 ( 。) ，西( z ) ) 上面的基函数虽然满足边界条件，但由方程导出的系数矩阵是满的，实际计算 起来的效率不高s h c n 3 4 ，3 5 1 提出了另一种基函数构造方法对于c h e b y s h e v 多项式取如下组合； c k ( z ) = 死( z ) 一t k + 2 ( z ) v n = s p a n 毋d ( z ) ，l ( z ) ，一2 ( 。) ， 为基函数和逼近空间这样得到的方程的系数矩阵是五对角的，具有良好的稀 疏性 虽然谱方法具有“无穷阶”的收敛速度，但是对解具有奇异性、解函数石 连续、区域是无界的等情形，谱方法的逼近精度就受到了很大的限制为了克 服上述困难，已经有很多人做了大量的工作如：文 1 6 ，1 5 】用g e g e n b a u e r 多 项式重构的方法解决了方程的解是不连续的问题文f 2 0 1 用j a c o b i 多项式逼 近解头了一些方程有奇异的问题。 1 2 文献综述 用谱方法对b u r g e r s 方程的研究，已经有很多学者在这方面做了很多的工 作如文【3 0 讨论了l e g e n d r e 和c h e b y s h e v 谱方法对定常问题b u r g e r s 方程的 逼近。 3 l 】用拟谱方法逼近b u r g e r s 方程文f 2 7 】用c h e b y s h e v 谱方法研究了 发展型b u r g e r s 方程，得到了如下结果： f | “? 一u “f f 。c ( r 2 + n 一) 其中r 2 十n 一“s6 n 一，c 和d 是常数，“：是第n 层的近似解，m 与n 的光 滑度有关 叫午上海大学硕士学位论文 3 众所周知c h e b y s h e v 谱方法比l e g e n d r e 谱方法容易实现，因为用c h e b y s h e v 谱方法计算时可借助于f f t 快速算法，而l e g e n d r e 谱方法没有简便有效的快 速算法但是在理论分析时c h e b y s h e v 谱方法的权函数有奇性可能使原来适定 的问题变为不适定的，因此给数值分析带来田难1 9 9 4 年，d o n 和g o t t l i e b 提出了c h e b y s h e v - l e g c n d r e ( c l ) 谱方法( 见文f 9 j ) 该方法是将l e 薛n d r c 谱方 法在c h e b y s h e v 点上实现此方法在处理边界条件时利用了惩罚法，这样使得 l 8 9 。n d r e 配置法和c h e b y s h e v 配置法等价例如，考虑抛物型方程初边值问题 l0 t u = u ，一l 1 ，且u h 1 ( o ，丁；硪( j ) n h 。( j ) ) n c ( o ，t ；c 1 【o ，t ) ，f g ”8 。 2 。( r ) ，l 2 ( o ，t ；h 。( j ) ) 则当足够大时，存在正常数c 满足： i j “( t ) 一u ( t ) l l c n 一。，t ( o ，丁 ( 1 21 3 ) 对于全离散情形令 e ( ) = t l i ( t ) l t 3 + ”r 乏：i i 巩i f f 2 ，p ( ) = i 陋( o ) l f 2 十f f i ( r ) | | 2 + r j j ，( s ) f | 2 s & 一r t & 一， 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 7 定理1 4f 2 5 j 假设r 适当小，p ( s2 8 2 e 0 7 ( n + 1 j 2 ，则有 e ( t ) sp ( t ) e 。- ，v t s t( 1 21 4 ) 定理1 5 2 5 】设u 和分别是( 1 2 8 ) 和( 1 2 1 0 ) 的解，假设o - 1 且 u h 1 ( o ，丁；嘲( ，) n 日4 ( ) ) n ( 7 2 ( o ，t ；l 2 i f ) ) n h 3 ( o ，? ；一1 ( ，) ) ，a u ( o ) h 1 ( ，) n 日2 ( n f g ”“ 2 ，。) ) ，f l 2 ( o ，丁；h 4 ( 驯则当n 充分大是，存在正常数c 满足 “( ) 一u ( t ) i jse ( 产+ n 一。) ，t 岛一( 1 2 1 5 ) 如果瑶是c h e b y s h e v g a u s s _ 1 a b a t t o ( c g l ) 点的插值算子定义如下 z c v ( 。j = ( 巧) ( 巧是c h e b y s h e v - g a u s s - l a b a t t o 点) 且，= 0 别有如下结果 定理1 , 6 3 9 】设e ，和“分别是( 1 2 8 ) 和( 12l o ) 的解假设22 且u c ( o ，丁；明( ，) n 日9 ( ，) ) nh 1 ( o ，丁；硎( ，) nh 4 1 ( ，) ) nh 3 ( o ，丁；l 2 ( ，) ) n h 2 ( o ，丁ih 1 ( d ) ，鼠u ( o ) h 9 7 2 ( ，) ，f ( 。) e f 3 - 4 ( 瓞) 如果丁、万sc 0 适当小， 则存在常数e ( 依赖于v - 1 和矿，f 的正则性) 满足 “( t ) 一u ( t ) l l e ( t 2 + n 一。) ，v t s t f 1 2 1 6 ) 1 3 我们的方法 练上所述，把l e g e n d r e 谱方法和c h e b y s h e v 谱方法祸合在一起确实对数 值分析和实际计算起到了改善的作用但是文 9 】中的c l 方法只讨论了线性 问题，文 2 5 中的l g c c 方法和文 3 9 】中的l g c c 方法讨论了b u r g e r s 方程的 d i r i c h l e t 边界条件问题，并且得到了口最优误差估计我们要构造l g c c 方 法来求解b u r g e r s 方程的r o b i n 型和n e t t n l a n n 型边界条件问题。我们得到了 h 1 最优误差估计的结果，通过实际计算这种方法是可行的 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 8 第二章s o b o l e v 空间、c h e b y s h e v 多项 式和l e g e n d r e 多项式介绍 2 1 索伯列夫空间简介 2 1 1 s o b o l e v 空间 定义2 1 设n 是舻中的一个区域，又设p 1 是正实数我们用l p f q ) 表示定义在f t 上，所有满足 f 怕( 2 ( 上m 圳喇锄， ( 2 1 1 ) 的可测函数u 构成的函数类在( n ) 中，我们把在q 上几乎处处相等的函数 看成是一样的因此l p ( q ) 中的元素实际上是满足( 2 11 ) 的可测函数的等价 类当1 ( p 。时，我们用p = 占表示p 的共扼指数，所以1 ( p 7 o o ，且 11 一+ 一= 1 pp 定义2 2 设r f t 为非负整数，l p s + 。，记 w 7 ”9 ( n ) = u 三9 ( a ) l o 。“l p ( q ) ，i a f m ) ，( 2 1 ，2 ) 并赋于范数 f f 一( n ) ：= e s ss u p f ( z ) f ， ( 2 1 3 ) o n f l a i l m 扩( i i o l l ：啦】) ；，1s p + 。 f o l 茎m m ，。2 芒龄t l o 。“怯 这样得到的线性赋范空间w w ( q ) 称为是一个s o b o i e v 空间 ( 2 14 ) ( 2 15 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 9 利用l 一( q ) 空问的完备性可推得w m , p ( n ) 是完备的线性赋范空问一b a n a c h 空 间当p = 2 时，还可以引进内积 ( ，9 ) 。= ( 沪，护9 ) ， ( 2 16 ) i a l 竹1 易知它构成一个内积空问，从而也是一个h i l b e r t 空间，这时一般记为h “( n ) 当m = 0 时，o ，( n ) = l 9 ( r 2 ) ，所以w ”- 一( n ) 是l p ( d ) 的一个子空问 在w “( q ) 中还可以引进半范数 = ( i i o 1 1 ，) i 1 ( 2 17 ) i a l 4 m 2 2 c h e b y s h e v 多项式 由于c h e b y s h e v 多项式与三角多项式存在着密切的关系，常常通过变换化 为三角多项武且具有良好的逼近性质，其展开式的牧敛性与函数的边界值无 关，而只依赖于函数本身的光滑性，并且能借助快速f o u r i e r 变换送行计算， 所以c h e b y s h e v 多项式的逼近在谱方法中具有特殊地位，尤其是它可运用于求 解非周期边值问题 第一类k 次c h e b y s h e v 多项式通常用珏扛) 表示，可定义为 靠( z ) = c o s ( k c o s 一1 z ) ，一1 茎z 1 c h e b y s h e v 多项式? k ( 叫是下面s t u r m - l i o u v i l l e 问题的特征函数 墨( 廊掣) + 志驰， 特征值为2 ，有如下一些性质： j 疋( z ) j51 ，一1s z 1 ；疋( 士1 ) = ( 土1 ) 。， 墨n ( 刮扩一1 s z 川乏噩( 土1 ) f = ( 士1 ) 懈， 冗+ l ( z ) = 2 z 死( z ) 一疋一1 ( z ) ，女= l ，2 ，f 22 1 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 0 其中t o ( z ) = 1 ，正( z ) = z 当k 为偶数时，死( z ) 为偶函数，当七为奇数时， 孔仕) 为奇函数 记，= ( 一1 ，1 ) ，爿了( ，) 为以u 扛) = ( 1 一x 2 ) 一j 1 为权的m 阶s o b o l e v 空间，其 内积和范数分别定义为 ( u ，u ) m ，“2k = oo k “( z ) 礞 ( z ) “，( z ) 出， ( 2 2 2 ) l i u l i m 。= ( 札，“) 景，。 记l v 。( i ) 的范数为 h 此= ( | “( z ) ( z ) 咖) ；，l p 。( 2 2 3 ) 当p = 时 皑= e s ss u pf “( z ) l = l uh l u ) ( 2 24 ) z 1 c h e b 3 r s h e v 多项式满足下面的正交关系式 m 周k 2 2 c k , k 赳= ( 2 。s ) 其中c o = c n = 2 ，c k = 1 ，1 n 一1 。 考虑配置逼近，最常用的配置点是c h e b y s h e v g a u s s l o b a t t o 积分节点z ，： c o s o j ，乃2 哥，j = 0 ，1 ，一，= 奇，lsjs n 一1 ，u o = u v = 朵，则有 ，( 。灿扛) d z jz 引进离散内积和范数 “( ) ”( 巧，f l a i l m 。= ( ) 暑1 。 j = o 于是有离散形式正交关系 c 疋，正，m 。= f 主靠乏i 2 m 土m 。7 e z 2 z ， 62 但 一 ， v 屿巧 ， 。：豆 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 l 其中西= = 2 ，矗一】，1sk 茎n 1 定义插值算子s z ：e ( ) 一1 哺为 s z u ( q ) = u ( q ) ，j = 0 ，1 ， 2 3 l e g e n d r e 多项式 l e g e n d r e 多项式展开的收敛性也与函数本身的边界值无关，而只依赖 于函数的光滑性，目而可用于求解非周期边界条件问题其缺点是计算不如 c h e b y s h e v 多项式展开快捷，但因为权函数为1 ，在数值分析时较方便 l e g e n d r e 多项式可定义为 岛( 。) = 1 ，k ( z ) 2 赤泰伊一1 ) j ，= l ，2 ， 1 也可以表示为 圳扣等量( 叫t 碟碳# z ， 递推关系式如下 1 譬攀卜击“。b ) 131)l 【o ( x ) = 1 ，l l 扛) = z ， 易知k 为偶数时， l ( ) 为偶函数， k 为奇数时，厶( 。) 为奇函数上k ( z ) 是 下面问题的特征函数 昙f ( 1 z 2 ) d l 如) ) + k ( k + 1 ) l 如) = o ( 2 32 ) l e g e n d r e 多项式还有如下一些性质 i l ( z ) l l ，一1 z 1 ；l ( 土1 ) = ( 士1 ) ， j 丢叫圳s 知十1 ) ，一l z l ，丢叫1 ) = ( 1 ) 一扣+ 1 ) 记，2 ( 一l ，1 ) ，定义( ，) 和t i i i 为三2 ( ) 的内积和范数，l e g e n d r e 多项式满 足正交关系 ( 乓，厶) 3 焘瓤 ( 233 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 2 现在考虑配置点逼近，最常用的配置点是l e g e n d r e g a u s s l o b a t t o 求积节点 z 1 ，相直的双数为u i ， 当( x ) p ，v l 时，积分公式 。1巧(1?；n-1)i 为l 零点， ( 2 删 瓣，0 sj n 。 精确成立易知离散的正交关系如下 ( 工女，l t ) n = 饥以i ，0sk ，fsn ，f 235 1 其中弧邓啦! 0 0 ) 的范数和半范分别记为_ 怙和i 1 一设n 为正整数，记p 为次数不超过n 的代数多项式集合定义塌：g ( j ) 一呀为c h e b y s h e v 插值 算子，满足 瑶( 巧) = “( 巧) ，0 j n ， 其中z j = c o s 哥( o 茎j 曼) 是c g l 点 为了建立逼近格式，我们先考虑问题( 3 1 1 ) 的弱形式5 = 卢= 0 的情况 已在文 3 9 1 中讨论，这里我们只讨论卢 o ，j n , 卅m + 霉n 方程在每个时间层有如下形式 a x ( u ( t + r ) ， ) = 9 ( u ) ，v 口住d ，( 31 6 ) 、， nm r l nm i i 后 数偈为 他 + 它 m 其 l + 尼 ，l ， 七0 ，j(，【 = ，m l ，n l 有算计 经 2 0 0 4 午上海大学硕士学位论文 1 6 其中 a j v ( n ， ) 三( “， ) + t ( 也乱，良口) + p r ( a 卢一1 乱( 1 ) u ( 1 ) + 7 | 占l 一1 乱( 一1 j u ( 一1 ) ) g x ( v ) 三( u ( t r ) ，u ) 一r p ( 良u ( t r ) ，兜 ) + 丁( 乜卢一1 u ( i ，t - w ) v ( 1 ) + t i s i 一1 u ( 一1 ，t - 丁) w ( 一1 ) ) + 2 p r ( 卢一1 + ( t ) ( 1 ) + fdi - i9 一( t ) 口( 一1 ) ) + 2 r ( 焉f ( “( t ) ) ，以u ) + 2 r 聆f ( 一1 ，t ) k 一1 ) 一2 r 瑶f ( 1 ，t ) v ( 1 ) 易知用l e g e n d r e 多项式作为基函数，方程组系数矩阵是满的，实际计算时效 率较低，因此我们构造如下基函数见文【34 ： 咖( z ) = l f ( z ) 一三 + 2 ( z ) ， ze 【一1 ，1 1 ，0 fsn 一2 妒( z ) = ( 己。( 。) 一l ( 。) ) 2 ，。f 1 ，1 j 1 ( 。) ：( 三o ( 。) 十l x ( 。) ) 2 ，ze - i ，i j 待求函数似( z ) ：= 趾( z ，t + r ) p v 写成如下形式 其中w o = w ( o ) ，w 1 = w ( 1 ) 令”( z ) = 答2 c z 西z ( z ) = ” ) 一蛳妒( z ) 一w l 西- ( z ) ，我们有 ( 3 17 ) a n ( v ，e l ) = 9 _ v ( 咖) 一训o a ( 曲o ，咖) 一w i a ( 1 ，也) ，0 f s n 一2f 3 1 8 1 我们把( 3 1 8 ) 分解为如下三个方程：令。= 拦j 2 q 。焱( 。) ( m ：0 ，i ，2 ) 满足 a n ( v o ，咖) = 9 ( 咖) ，0s fs n 一2 ， ( 3 1 9 ) a n ( y h 幽) = 一a v ( 庐o ，也) ，0 1 n 一2 ，f 3 11 0 ) a n ( v 2 ，西z ) = 一a ( 1 ，咖) ，0 1 n 一2 f 31 1 1 ) 所以( 31 8 ) 的解可以表示为如下形式 u = v o 十w o u i + w 1 ， z +z +z 曲 c f z叫 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 7 易知( 3 1 9 ) ，( 3 ，11 0 ) ，( 3 1 1 1 ) 可以分别单独求解这些方程的系数矩阵可以分 解成三对角的( 见文 3 4 j ) 由于( 3 1 l o ) ，( 3 11 1 ) 与时间无关，所以只g - 要g 一 次。因此，我们把( 3 1 7 ) 写成如下形式 鲫( 。) = ( z ) + w o v l ( 2 ：) + w l v 2 ( x ) + 叫。咖。十 1 砂2 = v o x ) + ( 吡( t ) 4 - o 知) ) 叫0 4 - ( 砚( 习4 - 妒1 p ) ) 甜i 最后我们按照( 31 6 ) 式，取 = 扩，扩，由以下方程央定毗( i ：0 ，1 ) ： a ( 口l + 扩，妒。) 让垃+ a ( 您+ 多1 ，矿) 删i = 夕，v ( 2 ) a ( ，扩) ，j = 0 ，1 实, g , l f g 中，我们用快速l e g e n d r c 变换( f l t ) f 】计算非线性项如下 。n 骂 u ( 巧) ) 一 f ( u ( q ) ) 骂f ( 面雨) ) ：， 其中q 是c o l 点， ( 丽五) ) ：是瑶f ( “) 按l e g e n d ，。多项式展开的轰g o 3 2 预备知识 其中嘴：驴( ，) 一p 是l e g e n d r e 正交投影算子由p 1 ，1 的定义可知只“一“ 弼( ) ，并且 ( 岛只，n l t ，晚u ) = ( 良乱，以 ) ，v v p 引理3 - 1f 5 j 如果“抒，( dp 1 ) 曩叮 最，“一“m g a 一一。f f 札f f 。，一1 f 1 引理3 2f 2 8 】如果n 1 f n 则 焉“一“8 + f 焉“f ，s e “f f ， 如果2 妒( 叫口1 ) 则 f 巧“一“f l e 。一4 u f ，0 ，s l 蚶 岛砖 z + u u 为 卜 啦 一 rhr更定 n 弛 兰主 阻 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 8 我们指出( 3 2 3 ) 和( 3 2 4 ) 是关于c h e b y s h e v 擂值算子的稳定性和误差估计 但其中的范数是l e g e n d r e 形式的，而不是通常带权的c h e b y s h e v 形式 l 理3 3j 。果“h 1 ( ，) 月1 有 u t i l = ( r ) 兰 2 i i “l h ( 3 25 ) 证明 易知“在区问i 上存在最大值和最小值，不妨设u 在z 1 ，z 2 扛。sz 2 ) 分别达到最小值和最大值，则有 ，。岛。如s2 删m o 易知 “2 ( z ，) ：i i u l l 。，2 t 1 , , 。i ， l 。l l 。+ 。j ； 利用以上3 式既知引理成立 - 引理3 4 如果u c ( o ，丁；h 1 ( 川，tes t 则有 i i u ( t ) l l 剑( o ) l l + m r ) 忡2 以t i i “i ( s ) 1 1 。 ( 32 6 ) ”s 聂一， 证明啦为奇数时易知 小) + 2 r 塑宅竽型 k = 3 5 ，“t 一 由上式我们有 i f “( t ) l l 愀r ) 1 1 + 2 州i t i ( s ) 1 1 2 ( 327 ) vs s t 一7 m 为偶数时类似可以证明 3 3 l e g e n d r e g a l e r k i nc h e b y s h e v 一配置 方法的稳定性和收敛性 在这一节我们首先考虑格式( 3 1 4 ) 的稳定性，接着证明其收敛性假设i 和，是( 3 1 4 ) 式中和右端项的误差，g + ( 印和g - ( 幻不产生误差。我们有 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 9 ( 西，u ) + ( 岛瑶户， ) + v ( 以磊，如”) + 卢一1 0 矗( 1 ，t ) ”( 1 ) + l 占i 一1 7 盂( 一l ，t ) ”( 一1 ) 】= ( ，”) ， ( 3 3 1 ) v 口p ，t 曼。 其中 p = f + “) 一f ( i ) 取u = 啦代入( 3 31 ) 得 l l 啦l f 2 十i 1 ， 1 i i ；+ 卢一。l i ( 1 ，t ) 2 + l a l - l y l 口( - 1 , t ) f 2 】f 一( ，啦) 一( a j 膏p ，。i ) ( 3 3 2 ) 易知 ( ，i f ) 5 2 十扣f 忆 ( 包焉户，i ) i 焉户曙+ ；l l 啦俨 所以由以上2 个不等式以及( 3 32 ) 式得 扣| | 2 + 知f ；+ 卢 1 6 ( ) 1 2 + j 圳- 1 7 1 i ( - i , t ) 1 2 f 茎2 + i 瞄c 一2 ( 3 3 3 ) 上式对s s 一，求和，并利用引理2 3 和引理24 易知存在常数g 使得 其中 p ( a ，t ) = c ( 1 i k o ) l l ；+ 慨r ) + 昕2 s s t ， 下面估计i 瑶户限对任意的te 岛假设 记 腑( s ) i i p ( ，) g ， v8e s t 一 ( 3 34 ) “”2 点糌m ( s ) 怯( ，) 圳跏0 ) 1 1 c 一( 村， ( 3 3 5 ) o f ( z 1 , z 。) 2 艘f 叭z ) l + ( i z lj + 幽1 t 洲l & x ；。l 愀z ) j ( 3 36 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文2 0 一一 我们有 | | f ( s ) | f | 后f 7 心( s ) + 臼矗( s ) ) 五( s ) d 曰i l c f ( u ，c b ) j f 缸( s ) ij ， l o a f ( s ) 1 i i 詹f ”( “( s ) + 钆( s ) ) ( 岛“( s ) + 口岛面( s ) ) 豇( s ) + ，7 ( n ( s ) + 能( s ) ) 盈自( s ) 搠 si i j ； f ”扣( s ) + 日面( s ) ) 日面( s ) 十f 7 ( u ( s ) + 日面( s ) ) 岛面0 ) d 臼| | 4 - 1 1 石f ”( u ( s ) 4 - 眈( s ) ) 良“( s ) 矗( s ) d o i f c h u m ，c o ) 州岛i ( s ) j j 十忙( s ) 胁 由( 323 ) 式和以上几式可知 瑶户i - s 岛j j f 惦c o c h u 。，c o ) i l a ( s ) 幅 i n 此我t f 有 i l a ( t ) 1 ：sp ( d ，t ) + c + r 愀s ) 眶 ( 337 ) 其中c + 与c ( u m ，c o ) 和 - - 1 有关于是可得到下面的稳定性结果 定理3 1 如果p ( 6 ，r ) 墨；诺e p r ，我们有 l l a ( t ) l l ：p ( ，) e 。“， v t s t