（计算数学专业论文）基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用.pdf

本人完 即：学位论 质论文的内 信息情报中 中国学术期 文档，允许 保存和汇编 据库进行检 本学位 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用摘要 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 摘要 无网格方法作为近十年来迅速兴起的一种数值分析方法，在构造形函数时不 需要网格，因此在处理不连续、大变形、移动边界等问题时可以完全抛开网格重 构，不仅可以保证计算的精度，而且可以减少计算难度。基于移动最小二乘近似 ( m l s ) 的无网格法有：无单元伽辽金法( e f g ) 、有限点法( f p m ) 、扩散单元法 ( d e m ) 、局部边界积分法( l b i e ) 、局部彼得洛夫一伽辽金无网格法( m l p g ) 、最 d - - 乘配点无网格法( l s c ) 、加权最小二乘无网格法等。权函数的选取在m l s 近 似中具有重要的作用，对计算结果影响很大，它的选取一般应该满足4 个条件： 非负性、紧支性、单调递减性，光滑性。目前常见的权函数有：高斯型、指数型、 样条型以及径向基函数等。作为一种指数型函数，正态分布密度函数满足通常的 指数型函数所不能满足的归一性。由误差理论可知，对于正态分布数据，最d - - 乘估计具有最优一致无偏和方差最小的特性，而将正态分布密度函数作为权函数 能否适合计算，实现上述最小二乘法的特性并且提高解的精度正是本文所要探讨 的。本文中把基于正态分布密度函数的权函数称为正态权函数，首先验证了其所 对应的m l s 近似在多种无网格方法上的可行性，接着用其求解了线性、非线性 p o i s s o n 方程，悬臂梁以及平面压电结构。本文还讨论了在采用不同权函数时，最 小二乘配点无网格法的支撑域半径因子s c a l e 的最佳取值，并给出了正态权函数形 状参数仃的最佳取值，同时给出了指数型、高斯型权函数的形状参数的最佳取值。 关键词：无网格方法；m l s 近似；正态权函数；配点法；平面压电结构 作者：孙婷 指导教师：姚林泉 t os o l v et h eg e n e r a l i z e dl i n e a r , n o n - l i n e a rp o i s s o ne q u a t i o n sa n dt h ef i a tp i e z o e l e c t r i c c a n t i l e v e r - s t r u c t u r ep r o b l e m t h eo p t i m a lv a l u e so ft h es u p p o r tr a d i u sf a c t o r s c a l e w e r ed i s c u s s e d ，t h e s h a p ep a r a m e t e ro fn o r m a lw e i g h t f u n c t i o n 盯，t h es h a p e p a r a m e t e r so ft h ee x p o n e n t i a la n dt h eg a u s s i a nw e i g h tf u n c t i o n sw e r ea l s og i v e n k e yw o r d s ：m e s h l e s sm e t h o d ；m l sa p p r o x i m a t i o n ；n o r m a l w e i g h tf u n c t i o n ； c o l l o c a t i o nm e t h o d ；p l a n ep i e z o e l e c t r i cs t r u c t u r e i i w r i t t e nb ys u nt i n g s u p e r v i s e db yp r o f y a ol i n q u a n 目录 第一章引言1 1 1 前言1 1 2 无网格法的近似函数 1 3 无网格法的离散原理6 第二章基于m l s 近似的配点型无网格法8 2 1m l s 近似8 2 2 配点法离散1 3 第三章平面压电结构的无网格法分析1 5 3 1 控制方程1 5 3 2 配点法离散压电方程1 8 第四章数值算例2 0 4 1 一维杆2 0 4 2 线性泊松方程2 6 4 3 非线性泊松方程 2 8 4 4 悬臂梁3 0 4 5 平面压电结构3 7 结论与展望4 0 参考文献4 1 致谢4 4 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 第一章引言 第一章引言弟一早与ii 1 1 前言 自2 0 世纪5 0 年代提出了有限元法以来，有限元法已经成为工程分析和计算 中的不可缺少的最重要的工具之一。有限元最显著的特点之一是使用预先定义好 的网格将一个无限自由度的连续体离散成有限自由度的单元集合，从而使获得一 个复杂问题的近似解成为可能，然而正是由于使用了网格使得有限元法在求解一 些工程问题时变得相对困难，这些问题主要包括：极度大变形问题，动态裂纹扩 展问题，高速冲击及几何畸变问题，材料裂变问题，金属材料成型问题，多相变 问题等等。用有限元分析这些问题时，由于巨大的网格畸变或单元分裂等造成有 限元求解的困难甚至导致求解的失败。为了解决这些问题，往往在有限元计算中 不断地进行有限网格重新划分，然而，这样不但大大地增加了计算时间，而且对 于有些问题单单重新划分网格并不能完全解决问题。仔细分析后发现，有限元的 这些缺点源自于它使用了事先定义的网格。要想彻底解决有限元所面临的这些问 题，就应避免应用固定的网格。近年来无网格法的思想被提了出来，并得到了迅 速的发展，对无网格法的研究可以追溯到2 0 世纪7 0 年代对非规则网格有限差分 法的研究【1 2 1 ，由于当时有限元法的巨大成功，这类方法的关注度不高。目前，有 关无网格法的研究已成为计算力学领域中最热点的研究方向之一【3 】。最早的无网 格方法是光滑质点流体动力学方法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p h ) ，它 是由l u c y l 4 1 和g i n g o l d 5 j 等人在1 9 7 7 年提出的，并且成功地应用于天体物理领域 中。不过直到2 0 世纪9 0 年代初，无网格法并没有突破性的发展也没有得到足够 的重视。1 9 9 4 年，美国n o r t h w e s t e mu n i v e r s i t y 的学者b e l y s c h k o 等人【6 】对扩散单 元法( d e m ) 进行了两点改进，在采用移动最d - - 乘( m o v i n gl e a s t s q u a r e ，m l s ) 函数近似计算形函数导数时保留了被忽略的所有项，并利用拉格朗日乘子法引入 本质边界条件，提出了无单元伽辽金法( t h ee l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ，e f g ) ， 掀起了无网格法的研究高潮。作为数值计算方法，无网格法和有限元法均需要对 第一章引言基于移动最小二乘近似权函数的选取及 工程问题的求解域进行离散化，从而将连续的偏微分方程的计算转化为系统 节点( 自由度) 代数方程组的求解。它们的主要计算步骤如图1 1 所示。 求解域按单元进行离散 l 南定单元插值函数或形函数 l 限据变分原理，计算每个 i单元刚度矩阵 i 求解域按节点进行离散 l 确定节点权函数或彤函数 二巫堕 图1 1 无网格法和有限元法主要步骤比较 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用第一章引言 虽然无网格法有许多优点，也获得了许多成果，但远不如有限元法成熟，仍 有许多问题需要进一步研究，主要有： 1 用m l s 和r k p m 等建立无网格近似函数时，都涉及到矩阵求逆，计算量较大。 2 与有限元方法不同，无网格的近似函数大都不是多项式，因而基于伽辽金法的 无网格方法( l j t i e f g ，r k p m 等) 需要在每个背景网格或节点子域中使用高阶 高斯积分以保证其精度，因此伽辽金型无网格法的计算量一般远大于有限元 法。 3 基于配点法的无网格法( 比如s p h ，f p m ) 等只是在节点上形成方程，计算效率 高，但是精度和稳定性都很差。 4 施加本质边界条件的时候不如有限元方便。 权函数的选取在m l s 近似中具有重要的作用，对计算结果影响很大，它的选 取一般应该满足4 个条件：非负性、紧支性、单调递减性，光滑性。目前常见的 权函数有：高斯型、指数型、样条型以及径向基函数等。作为一种指数型函数， 正态分布密度函数满足通常的指数型函数所不能满足的归一性。由误差理论可知， 对于正态分布数据，最小二乘估计具有最优一致无偏和方差最小的特性，而将正 态分布密度函数作为权函数能否适合计算，实现上述最小二乘法的特性并且提高 解的精度正是本文所要探讨的。本文中把基于正态分布密度函数的权函数称为正 态权函数，首先验证了其所对应的m l s 近似在多种无网格方法上的可行性，接 着用其求解了线性、非线性p o i s s o n 方程，悬臂梁以及平面压电结构。本文还讨 论了在采用不同权函数时，最小二乘配点无网格法的支撑域半径因子s c a l e 的最佳 取值，并给出了正态权函数形状参数盯的最佳取值，同时给出了指数型、高斯型 权函数的形状参数的最佳取值。 1 2 无网格法的近似函数 与有限元不同，无网格的近似函数建立在一系列的离散点而不是网格上，目 前在无网格法中使用的近似函数主要有：移动最小二乘近似、核函数近似、重构 核函数、单位分解函数、点插值和径向基函数等1 1 4 - 1 6 1 。 1 2 1 移动最小二乘( m l s ) 近似 单位分解函数的基本思想是，对于求解域q 用一些相互交叉的子域q ，来覆 盖，每个子域都与一个函数， ) 相联系。函数， ) 仅在q ，内非零，并且满足 单位分解条件【5 1 心) = 1 ， ( 1 3 ) ， 函数集 ，( x ) ) 羔。称为属于开覆盖 q ， ：，的单位分解。构造单位分解 ，( x ) ) ：，的 方法有很多，m l s 的形函数、有限元形函数、s h e p a r d i 函数等都是单位分解函数。 d u a r t e 等 1 9 , 2 0 将单位分解函数与多项式或其它函数系列( 如奇异函数等) 相乘，形 成- h p 云函数( h pc l o u d s ) 。 1 2 3 核函数近似和重构核近似 4 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 第一章引言 设有一函数u ( x ) ，核函数近似使用积分变换对函数u ( x ) 进行近似，形式为 1 4 l “6 ( x ) = l 甜( 习w ( x i ，h ) d f 2 覃， ( 1 4 ) 其中，u h ( x ) 是u ( x ) 的近似函数，w ( x i ，办) 称为核函数或权函数，它具有紧支性， h 是其紧支集尺寸的一个度量，核函数必须满足以下条件： 1 ) 半正定性，即在紧支子域内满足w ( x i ，h ) 0 ； 2 ) 紧支撑性，即在紧支子域外满足w ( x i ，厅) = 0 ； 3 ) 归一性，即l w 一i ，h ) d f 2 = 1 ； 4 )w ( x i ) 是距离d = | | x 一冤| i 的单调递减函数； 5 ) 当支撑域大小h 专0 时，w ( x 一舅) 专8 ( i ix i1 1 ) ，这里8 ( d ) 是d i r a cd e l t a i 垂3 数。 其中2 ) 是关键条件，它使得近似具有局部意义，即“6 ( x ) 仅仅取决于紧支子域 包含x 的那些结点。 重构核近似法在核近似的基础上引入边界校正函数c ( x ，i ) ，将式( 1 4 ) 修改为 “6 ( x ) = 上c ( 工，i ) “( i ) w ( x i ，h ) d f 2 j ，。 ( 1 5 ) 式中，c ( x ，i ) = b r ( x ) p ( x i ) ，p 为多项式基函数向量。对于二维问题有 线性基 p7 ( x i ) = 【1 ，x i ，y 一歹】，m = 3 ， ( 1 6 ) 二次基 p 7 ( x i ) = 【1 ，x i ，y y ，( x i ) 2 ，( x i ) ( ，一歹) ，( 少一歹) 2 ，m = 6 ( 1 7 ) 1 2 4 径向基函数 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，r b f ) 是一类以点x 到节点的距离 刃= | lx - - x 1i i 为自变量的函数，以每个离散节点x 。为中心定义一组径向基函数，记 为，( | fx - x , f i ) ，则函数u ( x ) 可以近似为 第一章引言 基于移动最小二乘近似权函数的选取及 “6 ( x ) = 驯x - - , j c ii i ) ， l = 1 其中，n 为节点总数，u ，为待定系数。径向基函数具有形式简单、空间维数 各向同性等适用于数值计算的优点，受到计算数学界的关注1 2 1 1 。目前可选择的定 义在全域上的径向基函数有m q 函数、薄板样条函数、高斯分布函数等。近年提 出的正定紧支径向基函数具有系数矩阵系数、带状分布的特点，利于求解大型问 题。吴宗敏陋1 提出的正定紧支径向基函数为 c s r b f l ：，( x ) = ( 1 一r ) 4 + ( 4 + 1 6 r + 1 2 r 2 + 3 r 3 ) ( 1 9 ) c s r b f 2 ，( x ) = ( 1 一r ) 6 + ( 6 + 3 6 r + 8 2 r 2 + 7 2 r 3 + 3 0 r 4 + 5 r 5 ) ( 1 1 0 ) 式中，= 刃d r , ，d m l 是定义在节点x i 处的径向基函数的支撑域半径，( 1 - r ) + 定义 当0 ，1 时 其他 无网格方法的离散方案通常采用的是紧支试函数的加权残量法，其格式具有 和有限元相似的稀疏系数矩阵。因此，紧支试函数加权残量法的计算效率要远远 高于传统的加权残量法。 用加权残量法求微分方程的近似解时，首先假设一组试探函数( t r a i lf u n c t i o n ) 作为微分方程的近似解。这个近似解含有已确定的试函数项以及待定的系数或函 数。将试探函数代入微分方程和边界条件，一般不能完全满足，于是就产生了残 量。将试探函数代入微分方程所得到的残量称为内部残量，而将试探函数代入边 界条件所得到的残量称为边界残量。在消除残量的方程组中引入一个权函数去乘 残量，以体现出在一定的域内按某种平均意义消除残量的意思。消除残量方程组 实际上是线性的或非线性的代数方程组，联立方程组即可解出待定系数。由于试 探函数中含有已确定的试函数项和待定的系数( 函数) ，此时，试探函数的形式便 被确定，即得到满足微分方程和边界条件的近似解。 6 一 一 0 0 ，【 口卜l j理 x 原 厂 t l 吖 散 o 离h y 白去各- 个 网无 3 为 l 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用第一章引言 设定解问题的偏微分控制方程以及其边界条件为 三 z f ( x ) ) = f ( x ) x q ， ( 1 1 2 ) b “( x ) ) 2g ( x ) x r ( 1 1 3 ) 其中，三是偏微分算子，b 是混合边界算子，q 是问题的求解区域，r 是域q 的 边界。 假设历是待定函数u 的一个近似解，即螽是试探函数，形式如下： 西= e 一， ( 1 1 4 ) j = l 式中q 为待定系数，( = 1 ，门) 是形式已确定的试函数项，z 为试探函数的项 数，当n o o 时，近似解就收敛于精确解。 将( 1 1 4 ) 代入微分方程( 1 1 2 ) 和边界条件( 1 1 3 ) ，一般不能满足，于是分别 产生内部残量蜀及边界残量， r = 三 历) - f 0 ， ( 1 1 5 ) r b2 b z t 一g u ( 1 1 6 ) 为了消除残量，引入内部权函数w 和边界权函数，并分别与蜀和r b 相乘，得 到的消除内部残量以及边界残量的方程式分别如下： r , w l d n = 0 ， ( 1 1 7 ) 工r b w b d f = 0 ( 1 1 8 ) 积分后得到求解待定系数q ( _ ，= 1 ，门) 的代数方程组，将q 代入( 1 1 4 ) 以确定试 函数历的形式，即此时的露为偏微分方程( 1 1 2 ) 及边界条件( 1 1 3 ) 的近似解。 加权残量法按照试探函数所假设的类型分类，可分为三类：内部法、边界法， 混合法。 加权残量法按照权函数的形式分类，可得到以下五类：最小二乘法、配点法、 子域法、伽辽金法，距量法。这些可称为加权残量法的基本方法1 2 3 - 2 5 。 第二章基于m l s 近似的配点型无网格法 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 第二章基于m l s 近似的配点型无网格法 移动最小二乘近似的权函数为紧支函数，具有局部近似的特点，形成的系数 矩阵是带状的。将加权移动最小二乘近似函数引入到配点法求解偏微分方程，该 方法是纯无网格法，只需要在各节点处计算形函数及其导数，不需要借助于任何 网格计算积分，易于实现且计算效率高。 2 1m l s 近似 2 1 1 移动最小二乘近似( m l s ) 设函数甜( x ) 在求解区域q 内的近似为u h ( x ) 。甜( x ) 在计算点x 的邻域q ，内可 局部近似为( 1 1 ) ，即 甜6 ( 为i ) ：兰尼( i ) q ( x ) ：p ，( 元( x ) ( 2 1 ) 基函数通常使用单项式，如 一维空间的单项式基函数为 线性基：p r ( x ) = 【1 ，x l ，m = 2 ( 2 2 ) 二次基：p r ( x ) = 卜，x 2 ，m = 3 二维空间中单项式基函数为 线性基：p r ( x ) = 【l ，x ，y 】，m = 3 ( 2 3 ) 二次基：p r ( x ) = 1 ，x ，y , x 2 , x y ，y 2 ，m = 6 近似式( 2 1 ) 中的系数q ( x ) 的选取要求使近似函数甜6 ( x ) 在计算点x 的邻域q x 内 是待求函数u ( x ) 在某种最小二乘意义下的最佳近似。计算点x 的邻域q ，称为m l s 近似函数在该计算点处的定义域，简称为计算点x 的定义域。 将求解域q 用个节点离散，在每个节点x ，( ，= l ，2 ，) 处定义一个权函数 ( x ) = w ( x - x , ) 。权函数嵋( x ) 只在节点x ，周围的一个有限区域q ，中大于零，而 在域q ，外为零，即该函数是紧支的。区域q ，称为权函数w ，( x ) 的支撑域，也称为 8 基于移动最d , - 乘近似权函数的选取及其应用第二章基于m l s 近似的配点型无网格法 节点_ 的支撑域或节点x 1 的影响域，如图2 1 所示。设计算点x 的邻域q 。包括个 节点( 由于权函数的紧支性，实际的节点要比少得多) ，近似函数u 6 ( x ) 在这些节 点处的误差的加权平方和为 令： 、，c x ，= 喜嵋c x ，- 善只c _ ，q c x ，一甜1 l 2 c 2 4 ， ，( x ) = 嵋( x ) l 只( _ ) q ( x ) 一甜1 ( 2 4 ) ，= l仁l j q 根据上式可得 式中， q f q | a ) 圆形支持域 b ) 矩形支持域 图2 1 节点的支撑域 。 钓 、 一2 u 抛i 么( x ) 口( x ) = b ( x ) 甜， 彳( x ) = e w l ( x ) p ( x , ) p 丁( 一) ， b ( x ) = 【( x ) p ( _ ) w 2 ( x ) p ( x 2 ) w n ( x ) p ( x n ) 】， u ：i l l i ，】r ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 求解( 2 6 ) 可得到节点x 处的系数a ( x ) ，然后把a ( x ) 代入到式( 2 1 ) ，就得到了移动 最小二乘近似的最终形式 或者改写成 ”6 ( x ) = n7 1 ( x ) “ 9 ( 2 1 0 ) 第二章基于m l s 近似的配点型无网格法基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 “6 ( x ) = m ( x ) “， ( 2 1 1 ) 其中重复指标，表示在其取值范围内求和。形函数m ( x ) 如下 r ( x ) = p7 ( x ) 4 - 1 ( x ) b ( x ) ， ( 2 1 2 ) 与有限元不同，近似函数“6 ( x ) 在节点一处的值并不等于甜( x ) 在该节点处的值 甜( - ) 1 2 6 1 。移动最小二乘法的最大优点是应用较低阶的基函数( 如线性基函数) 通 过选取适当权函数来获得具有较高连续性和相容性的形状函数。其主要缺点是 m l s 形状函数不满足k r o n e c k e rd e l t a 函数性质，这增加了处理边界条件的困难1 3 l 。 2 1 2 权函数 如果权函数w ， ) 和它的前门阶导数是连续的，那么移动最小二乘形函数 n ( x ) 和它的形函数的前玎阶导数也是连续的，所以权函数的选取在m l s 近似中 具有重要的作用，是无网格法的关键所在。权函数在满足诸如非负、有限影响、 单调递减并且具有一定阶次连续性等前提条件下，其选择具有较大的随意性，但 使用不同的权函数对无单元法的计算结果又有不同的影响。目前应用较广的权函 数有指数型函数、圆锥型函数、样条函数等1 2 7 1 。与权函数密切相关的是影响半径， 即紧支域的范围大小。合适的影响半径将使影响域内所包含的结点数“足够多又 尽可能少“足够多 是要求有足够的采样点来满足确定待定系数精确性和 连续性的需要；“尽可能少”则是要保证和突出邻近结点间的函数相关性免受其 它暂不需要考虑结点的影响，使计算工作局部化；两者的共同作用才能使近似解 更好地逼近或拟合真实解2 8 1 。 权函数的选取一般应该满足4 个条件【2 9 】： 1 ) 权函数值非负性：在支撑域内w ( x x ，) 0 2 ) 紧支性：在支撑域外w ( x x 1 ) = 0 3 ) 权函数是单调递减函数，距离x 越近，权函数值越大，距离x 越远，权函数值 1 0 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用第二章基于m l s 近似的配点型无网格法 越小。 4 ) 足够光滑，尤其在边界上。 常用的权函数有t 1 如四次样条函数，如图2 2 所示。 州= p 2 撕3 勘4 暑g ( 2 1 3 ) 图2 2 四次样条型权函数 2 正定紧支径向基函数( c s b r f 2 ) ，如图2 3 所示。 w ( ，) ：i ( 1 - r ) 6 ( “3 6 厂+ 8 2 ，2 + 7 2 ，3 + 3 叭5 ，5 ) o ，1 ( 2 1 4 ) 0厂 1 3 高斯型，如图2 4 所示。 图2 3c s r b f 2 型权函数 第二章基于m l s 近似的配点型无网格法基于移动最小二乘近似权函数的选取及其 这里的为参数。 ，、f 掣矧 帕卜t 了三 4 指数型，如图2 5 所示。 这里的口为参数。 l 图2 4 高斯型权函数 吣，= 2 o 纠 n 时，就是一个超定线性方程组，需用最小二乘法求解。这时需 求解的线性方程组为 ( k r x ) a = ( k7 f ) 1 4 ( 2 2 5 ) 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用第三章平面压电结构的无网格分析 第三章平面压电结构的无网格法分析 自1 8 8 0 年，居里和尸居里兄弟发现压电效应以来，压电学已成为现代科学与 技术的一个重要领域。特别是近几十年来，随着物理学、材料科学与技术的发展， 压电学无论是在理论上还是在应用上都取得了重要的进展，已经形成了一整套较 为完整和系统的理论。 现代工程技术已经进入信息化和智能化时代，由于压电材料是一种优良的智 能材料，正越来越多地被应用到航空航天、微电子机械以及生物工程等领域中。 压电结构的压电效应是一种机电耦合效应，是机械能和电能之间的转换，给问题 的求解带来了一定的困难。本章通过m l s 近似，利用配点法对平面压电结构控 制方程进行离散，得到无网格离散的线性控制方程组。 3 1 控制方程 考虑一弹性平面压电材料的应力问题。设坐标面x z 在其中面上，其极化方 向沿z 轴，则x z 平面下二维压电材料的连续性方程为 3 0 - 3 3 1 几何方程 ：i 8 u ，t ：娑，比：豢+ 罢， ( 3 1 ) 2i ，t2 i ，比2 _ + _ ， l j l j 呶 a z a ) co z 式中，“，w 分别表示x 、z 方向的位移，t ，比为应变分量。 力学平衡方程 式中，吒，吒，表示应力分量，( 正，z ) 表示域内的体力分量。 压电本构方程 动 lg 0 q = = 六 正 + + 监如堡瑟 + + 堡苏堡缸 第三章平面压电结构的无网格分析 即 巨h 寻 阱巴 q i q 3 q 3e 3 3 o0 o0 e 3 1e 3 3 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 删 + 瞄 e 3 1 e 3 3 0 0 强 圈 北 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 式中，巨( f = x ，z ) 表示电场分量，c o ( i ，= 1 ，2 ，3 ) 表示平面弹性刚度系数， ( 岛。，e 3 。，q ，) 表示平面压电应力常数，( 磊，爵) 表示常应变介电常数。 本构方程也可写成 30 ：0吃l s 3 3 00 吃3 0 c 5 5l 生0 0 4 ，；昴0 蟊。0 ；0毵 ( 3 5 ) 式中，而( f ，歹= 1 ，2 ，3 ) 表示平面柔顺度系数，( 吃。，a 3 ，磊，) 表示平面压电应变常数， ( 嚣，器) 表示常应力介电常数。 电场与电势的关系 式中，矽为电势。 电学平衡方程 力边界条件 巨：一娑， 戗 1 6 。a 丘z2 一i l ， d 2 ( 3 6 ) ( 3 7 ) l 3 巳岛0 o o 。l 钆o 1j q 乞比 1，j 5q 0 3 o 吃 毛巳一e e 0 0 0 o 协一 ! 懿0奠o 吒吒k q 见 q 吒k e eo 0 以巳乞比皿见 o i l 堡如 + 堡缸 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 第三章平面压电结构的无网格分析 舷：吼o 二茹8，znz 0 【气攸+一= f ：= 式中，( t ，z ) 表示力边界上已知面力分量，( n x ，n ：) 表示边界法向量。 u = “o ，w = w o ，矽= 九，o 矽o x = 磊， ( 3 9 ) 式中，( ，w o ) ，唬和办分别表示已知边界的位移，电势和电场值。 融s13帅：言c130$55 0l 埘 墨3 岛3o | iq 3 q 3o | ， 1 0 ) l o j 【 o c 5 j z 。曼台 = 曼曼。 若曾s 1 3 曼 ， c 3 - ， 髻曼 = 髻曼 + z 。台 曼曼苫 r c 3 2 ， 位移 w ) 和电势的控制微分方程组f 3 4 1 c l l u ，。+ 岛5 甜，荔+ ( q 3 + 岛5 ) v 。+ ( 乞l + 巳5 ) 矽。= 0 ， ( 3 1 3 ) ( c 1 3 + c 5 5 ) “，。+ c 3 3 w ，。+ c 5 5 w ，。+ e 3 3 矽。+ e 1 5 矽崩= 0 ， ( 3 1 4 ) ( e 3 l + p 1 5 ) + q 5 v z + p 3 3 一鬣哆搬一毵哆盘= ( 3 1 5 ) j c 1 1 3 , x + c l sw ：+ e 3 - 哆：) f x + ( c 5 s w , x + c 5 s 够z + e l s 矽z ) 他。t ， ( 3 1 6 ) 【( c 5 5 w j + c 5 5 u ，：+ e 1 5 矽j j 十l c l 3 甜。j + 巳3 w 。= + e 3 3 矽, ：) n x = t 1 7 第三章平面压电结构的无网格分析基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 方程( 3 1 3 ) ( 3 1 5 ) 在边界条件( 3 1 6 ) 及( 3 9 ) 下就构成了平面压电结构的定解 问题。 3 2 配点法离散压电方程 假设压电控制方程的求解域q 被节点x ，= ( x l ，z 1 ) ( ，= 1 ，) 离散，其中， 根据配点法的基本思想，域内各节点满足力学和电学平衡方程( 3 1 3 ) ( 3 1 5 ) ， 边界r ，上节点满足应力边界条件( 3 1 6 ) ，边界r 。上的节点满足位移、电势和电场 边界条件( 3 9 ) 。 将无网格近似函数( 2 1 0 ) 代入平衡方程和边界条件可得 式中， 马魄，缸) = - 1 ( x k ，缸) 刃= 以，瓴，z k ) q ，k = 1 ，2 ， ( 3 1 7 ) i = 1 瓴，z k ) r ，k = 1 ，2 ，f ， ( 3 1 8 ) ， m ( ，z k ) d ，= g k ，魄，缸) r 。，k = 1 ，2 ，玑， ( 3 1 9 ) 1 = 1 q - 玄+ c 5 5 玄 ( 9 3 + c 5 5 ) - a z n z l ( 6 t + e 5 5 ) 婴 ( c 。3 + c 5 5 ) 婴 铲n ?铲n ， 玄+ 岛3 玄 乎n ，铲n ， q 5 紊+ 巳3 才 ( e 3 1 - t - e 5 5 ) 婺 乎n ?分n ， q 5 虿+ 白s 孛 曾s 孑n l 昏s 孑n l f 祧跳 u 氚i v 7 蕊7m 7 瓤7iu i v iu l v iu l v i q c 豫，反，：i 龟蔫健+ 岛荔侈龟磊佴十焉侈岛虿卞焉侈 iq 3 n x + c 5 5 嚏c 5 5 堤+ 龟 唿q 5 传+ 岛 n x l 亿优弦优 劣 ，( 毪，z k ) = 1 8 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 气 = d 、， 乙吆 q h o o m毗一知 0 m o o m 0 0 o 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用第三章平面压电结构的无网格分析 m 咖阱 以= 隰斟厶罚 g k2 “o ( 以 w o ( x 唬( 吒 破( 以 缸) 缸) 缸) 气) ( 3 2 3 ) 将式( 3 1 7 ) ( 3 1 9 ) 可组合成矩阵的形式 k d = f ， ( 3 2 4 ) 其中， ” d = u 1w 1 ，办，u 2 ，w 2 ，织，u n ，w u ，九】7 ， ( 3 2 5 ) f = 旧g ，z j , - ，铲，z n ) ，谚“，z j , ，氐) ，舻瓴，z j , ，) ， ( 3 2 6 ) f 7 = 【石7 ，氏r ，“，t n f , 订，g t j 】， ( 3 2 7 ) 日( 誓，刁) = 【日l ( 薯，z ，) ，哎( t ，弓) ，h v ( 薯，乞) 】， ( 3 2 8 ) q ( ，刁) = q l ( 薯，互) ，q 2 ( ，乙) ，q n ( t ，乙) 】， ( 3 2 9 ) ( ，z 。) = n l ( x i ，乙) ，n 2 ( ，) ，n n ( x i ，z ，) 】 ( 3 3 0 ) 求解此线性方程组就可得到节点位移及电势。 1 9 第四章数值算例 基于移动最小二乘近似权函数的选取及 第四章数值算例 为了验证基于正态权函数的m l s 配点法的可行性和精确度，本章对下列 问题进行了数值计算。 1 1 一维杆 方法一：最小二乘配点法( l s c ) ； 方法二：伽辽金法( e f g ) ； 方法三：最小二乘型无网格法( w l s m ) 。 2 ) 线性p o s s i o n 方程 方法：最小二乘配点法( l s c ) 。 3 1 非线性p o s s i o n 方程 方法：最小二乘配点法( l s c ) 。 4 ) 悬臂梁 方法：最小二乘配点法( l s c ) 。 5 ) 受电压和载荷作用的平面压电材料 方法：最小二乘配点法( l s c ) 。 4 1 一维杆 设有一细杆，左端固定，沿x 方向受线性分布载荷f ( x ) = x 作用( 如图4 - 1 所示) 。 e 窘一弛) ( 4 。) 【“l ，；o = 0 孽问题的精确解批如一爿，吒= 孚c “为懒吒为蚓【2 6 】。 图4 1 受线性分布载荷作用的单位长度一维杆 2 0 基于移动虽小二乘近似权函数的选取及其应用第四章数值算例 对此算例分别用最小二乘配点型、伽辽金型以及最小二乘型无网格方法求解。 在上述无网格方法中又分别用四次样条型、c s r b f 2 型、高斯型、正态型以 及指数型权函数代入计算，计算节点的个数以1 0 1 个为例。 四次样条型、c s r b f 2 型权函数需要考虑的参数只有一个支撑域半径因子 s c a l e ，而高斯型、正态型以及指数型权函数需要讨论的参数除s c a l e 外，还有权 函数形状参数。 根据张雄等人【2 6 】之前对于这方面的大量研究，支撑域半径因子s c a l e 在取 2 ，3 】 之间或附近的数值时，得到的结果是比较精确的，本文通过大量的计算证实了这 一观点。这里的相对误差通过公式p = 得到， 其中行为参加计算的节点个数，u ，为精确解，u s 为数值解。 方法一：最小二乘配点无网格法( l s c ) 首先，通过观察四次样条型、c s r b f 2 型权函数对应的数值解与精确解之间 的相对误差随参数s c a l e 的变化情况，来确定一个合适的s c a l e 的取值，而后讨论 形状参数的选取。通过大量的计算以及比较，最终确定最佳参数s c a l e = 3 1 ，高斯 参数= 3 1 ，正态参数盯= 0 4 1 3 3 ，指数参数口= 0 2 8 18 。 图4 2 给出了由五种权函数对应的最小二乘配点法之计算结果与解析解之间 的比较。正态型和指数型的权函数的数值解与精确解最吻合，高斯型权函数次于 两者。 ( a ) 四次样条型权函数 2 l 第四章数值算例基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 嘉 鏊 秘 趔 ( b ) c s r b f 2 型权函数 茕 键 ( c ) 正态权函数 ( d ) 高斯型权函数 茕 翘 ( e ) 指数型权函数 图4 - 2c l s 方法的数值解与精确解比较 方法- - ：伽辽金法( e f g ) 在本方法中确定最佳参数s c a l e = 1 9 ，高斯参数= 3 8 ，正态参数仃= 0 4 2 2 2 ， 指数参数口= 0 2 9 2 3 。 计算时采用了单点高斯积分，且积分网格取为相邻节点间的区间。图4 - 3 给 出了由五种权函数对应的伽辽金法之计算结果与精确解之间的比较。五种权函数 的数值解与精确解都非常吻合。 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 第【马章数值算例 甓 糍 ( a ) 四次样条型权函数 ( b ) c s r b f 2 型权函数 ( c ) 正态型权函数 ( d ) 高斯型权函数 ( e ) 指数型权函数 图4 3e f g 方法的数值解与精确解比较 箍搿 甓辅 黪勰 裔 簪搿 锭遵擘彩 第四章数值算例基于移动最d , - 乘近似权函数的选取及其应用 方法三：最d - 乘型无网格法( w l s m ) 在本方法中确定最佳参数s c a l e = 2 2 ，高斯参数= 4 4 ，正态参数 盯= 0 4 0 0 0 ，指数参数口= 0 2 7 5 0 图4 4 给出了由五种权函数对应的最小二乘型无网格法之计算结果与解析解 之间的比较。数值结果都具有很好的精度，但指数型、正态型权函数的计算结果 最为理想。 辅 趔 长 矗 ( a ) 四次样条型权函数 采 甥 ( b ) c s r b f 2 型权函数 采 逍 ( c ) 正态型权函数 采 氆 ( d ) 高斯型权函数 2 4 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用第四章数值算例 e s 0 5 0 器0 3 埘0 2 0 o - o ( e ) 指数型权函数 图4 - 4w l s m 方法的数值解与精确解比较 从图4 - 2 图4 4 中可看到，e f g 方法最佳，算法中虽然采用了不同的无网 格方法对问题进行求解，由正态权函数( 指数函数) 计算得到的结果与解析解的 吻合度都很好，相对于其他权函数，拥有一定的优势。 以上验证了正态权函数的精确性，下面来分析在多种方法中的稳定性，从而 选择一种稳定高效的无网格方法对接下来的算例进行计算。图4 - 5 - - 图4 7 给出了 位移和应力数值误差随场节点数目的变化。图中显示最小二乘配点无网格法( l s c ) 关于节点数值的稳定性是最好的，所以在接下来的算例中，都采用l s c 方法进行 计算。 ( a ) 位移的相对误差( b ) 应力的相对误差 图4 5l s c 方法的相对误差 a u ( x ，y ) = 一2 ( x + y - - x 2 - - y 2 ) ，( x ，少) 【o ，1 】【o ，1 】= q( 4 2 ) i u ( x ，y ) = 0 0 ，( x ，y ) 孢 它的解析解为：u ( x ，y ) = 一x 2 ) ( 少一y 2 ) 。 在本算例中确定最佳参数s c a l e = 2 8 ，高斯参数= 2 8 ，正态参数盯= o 3 11 1 ， 指数参数口= 0 4 3 0 8 。 取1 6 x 1 6 = 2 5 6 个节点，如图4 - 9 所示。图4 - 9 给出了由五种权函数对应的最 小二乘配点法之计算结果与解析解之间的比较 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用 第四章数值算例 00 ( a ) 解析解 00 ( d ) 正态型 o o ， 0 ，0 4 a o 旬，a 2 节点分布 。 0a ( b ) 四次样条型 00 ( e ) 高斯型 e0 ( c ) c s r b f 2 型 ， ，。 i 一 00 ( f ) 指数型 图4 - 9 线性泊松方程的数值解与精确解的比较 图4 1 0 给出了随着计算节点数目的增加，数值解与精确解之间的相对误差。 结果表明，收敛性最好的是指数型和正态型权函数，高斯型权函数的收敛性最差。 钳 o 豫， 口 口 o o o 第四章数值算例 基于移动最小二乘近似权函数的选取及其应用