（计算数学专业论文）有限群的两种广义正规子群与群结构.pdf

摘要 二十多年以来，研究有限群的结构及其子群的某种正规性的关系一直足有限 群论重要的课题之一群论学家们不仅给出了各种各样的广义正规性的概念，而且 获得了大量的研究成果，这为有限群理论的发展起到了强有力的推动作用。在这些 广义正规性的概念中，覆盖远离性与次正规性的研究较为活跃 利用广义正规子群的性质来刻画群g 结构的已有的结果中，好多是考虑g 的 s y l o w 子群的极大子群以及极小子群最近，s k i b a 利用群g 的s y l o w 子群p 的 所有阶为l d i ( 1 i d i 2 ) 的子群具有弱 8 一置换性来刻画g 的超可解性，得到几个有意义的结论由于覆盖远离性与弱s 一 置换性并无蕴含关系，所以本文第三章我们利用群g 的s y l o w 子群p 的所有阶为 i d i ( 1 i d i 2 ) 的子群具有覆盖远离性， 给出g 为p 幂零群以及超可解群的一些充要条件和一些充分条件，部分结果被推 广到群系 次正规子群也是群论中一种非常重要的子群，它具有良好的性质，在刻画群g 结构方面也有许多结果然而，利用次正规性试图给出类似于s k i b a 的刻画是不可 能的所以本文第四章我们只对群g 的s y l o w 子群的极大子群或2 - 极大子群满足 次正规性给出g 为p 幂零群以及超可解群的一些充分条件 关键词：覆盖远离子群；次正规子群；p - 幂零群；超可解群 i a b s t r a c t t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pa n di t ss u b g r o u p sh a y - i n gc e r t a i np r o p e r t i e so fn o r m a l i t yh a v eb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e db ym a n ya u t h o r s s i n c et h el a s tt w od e c a d e s n o to n l yn e wc o n c e p t sh a v e b e e ni n t r o d u c e db u tf r u i t f u l r e s u l t sh a v ea l s ob e e no b t a i n e d t h ea c h i e v e m e n t so ft h i st o p i ci nn o r m a l i t yh a v e i n d e e dp u s h e df o r w a r dt h ed e v e l o p m e n t so fg r o u pt h e o r y a m o n gt h em o d i f i e dc o n - c e p t so fn o r m a l i t y , t h ec o n c e p t so fc o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t ya n ds u b n o r m a l i t yh a v e a t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n so fm a n ya u t h o r s t r a d i t i o n a l l y , t h er e s e a r c ho ff i n i t eg r o u p sa r ed e v o t e do nt h es u p e r s o l v a b l i t y a n dp - n i l p o t e n t c yo fa g i v e ngw h i c ha r eb a s e do nt h em a x i m a la n dm i n i m a ls u b - g r o u p so ft h es y l o ws u b g r o u p so fgh a v i n gs o m eg e n e r a l i z e dn o r m a l i t yp r o p e r t y r e c e n t l y , s k i b aa s s u m e dt h a te v e r ys y l o ws u b g r o u pp o fgh a sa s u b g r o u pd s u c h t h a tl | d i 2 ) h a v ew e a k l ys p e r n m t a b l e p r o p e r t yi ng 。h et h e nd e s c r i b e dt h es t r u c t u r eo ft h ef i n i t eg r o u pgu n d e rt h e a b o v ea s s u m p t i o n s i np a r t i c u l a r ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rgt ob e s u p e r s o l v a b l e h o w e v e r ，w ea w a r et h a tt h ec o v e r a v o i d i n gp r o p e r t ya n dw e a k l y8 一 p e r m u t a b l ep r o p e r t ya r en o te x p l i c i t l yr e l a t e da n dl i n k e d t h u s ，w ef u r t h e ro b t a i n s o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o raf i n i t eg r o u p gt ob ep - n i l p o t e n t 。p - s u p e r s o l v a b l eo rs u p e r s o l v a b l eb yc o n s i d e r i n gt h es a m es u b - g r o u p sh a v i n gt h ec o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t yi ngi nc h a p t e r3 m o r e o v e r ，s o m eo f t h e ma r ee x t e n d e dt of o r m a t i o n s a sac o n s e q u e n c e ，s o m ek n o w nr e s u l t si nt h e l i t e r a t u r ea x eg e n e r a l i z e d i ti sn o t e w o r t h yt h a tt h es u b n o r m a ls u b g r o u p si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n t s u b g r o u p si nf i n i t eg r o u p s t h i sk i n do fs u b g r o u p sh a sm a n yn i c ep r o p e r t i e sa n d m a n yr e s u l t sh a v eo b t a i n e db ym e a n so fs o m es u b g r o u p sh a v i n gs u b n o r m a l i t y h o w - e v e r ，i fw er e p l a c ew e a k l ys p e r m u t a b l ep r o p e r t yb ys u b n o r m a l i t yi nt h er e s u l t so f i i s k i b a ，i ti sn o tn e c e s s a r i l yt r u e s ow eo n l yg i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra f i n i t eg r o u pgt ob ep - n i l p o t e n to rs u p e r s o l v a b l eb yc o n s i d e r i n gt h em a x i m a lo r 2 一m a x i m a ls u b g r o u p sh a v i n gt h es u b n o r m a lp r o p e r t yi ng k e y w o r d s ：c o v e r - a v o i d i n gs u b g r o u p s ；s u b n o r m a ls u b g r o u p s ；p - n i l p o t e n tg r o u p s ； s u p e r s o l v a b l eg r o u p s i i i 符号表 i g l 群g 的阶 7 r ( g ) 群g 的阶的所有素因子 e x p ( g ) 群g 的方次数，即g 中所有元素的阶的最小公倍数 o ( x ) 元素x 的阶 ( z ) 元素x 生成的循环群 ( x ) 集合x 中的元素生成的群 h g 日是群g 的子群 h 4b 或bka 正规子群a 与子群b 的半直积 a b ziz a 但x 乒b ) ( m ，n ) 自然数m 和n 的最大公因子 歹表示一个群系 包含所有幂零群的饱和群系 坼包含所有p 幂零群的饱和群系 “包含所有超可解群的饱和群系 g r 群g 的f 剩余 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名： ；名呷屯 日期：。夕占易 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论文 及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名讼巾导师签名 日期：口7 6 砧 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 第一章引言 1 群足抽象代数中最基本的而且是最重要的一个代数系统，它也是现代数学中 一个极其重要的概念随着群论的不断发展完善，它不仅在数学的许多分支有广泛 的应用，而且在许多现代科学，诸如理论物理、量子力学、结晶学以及密码学、系 统科学、数理经济等领域都有很多的应用 在群论的众多分支中，由于自身的特点，有限群论无论从理论本身还是从实际 应用来说，都占据着更为突出的地位，同时，它也是近年来较为活跃的一个数学分 支，有着十分丰富的内容特别是，在二十世纪八十年代，有限单群分类定理完成以 后，人们把更多的注意力转移到有限可解群的研究上，出现了许多非常活跃的研究 课题随着k d o e r k 和t h a w k e s 的专著 f i n i t es o l u b l eg r o u p s ) ) 的问世，标志着 这一领域的研究成果已相当丰富 在有限群的研究中，利用子群的性质来刻画有限群的结构是人们感兴趣的研 究课题，特别是利用一些特殊子群的性质来刻画有限群的结构尤为重要例如：极 大子群、极小子群等在子群的诸多性质中，正规性在群论研究中起着非常关键的 作用，它在刻画群的幂零性、超可解性和可解性等，已取得了丰硕的成果 为叙述方便，以下我们所述的群均指有限群 如下两个结果是人们所熟悉的： 定理1 0 1 【3 7 ，i v ，定理2 7 】群g 为幂零群的充要条件是g 的每一极大子 群在g 中正规 定理1 o 2 3 7 ，i v ，定理2 7 】群g 为幂零群的充要条件是g 的每一s y l o w 子群在g 中正规 对于超可解群，s r i n i v a s a n 得到如下定理： 定理1 o 3 3 1 】( s r i n i v a s a n ) 若群g 的每一s y l o w 子群的极大子群是g 的 正规子群，则g 为超可解群 2有限群的两种广义正规子群与群结构 从定理1 0 1 、定理1 0 2 和定理1 0 3 ，可以看出正规性对于有限群结构的影 响之大但是，正规性也是很强的一种特征性质，人们利用这种性质还给出刻画抽 象群的许多充分条件一个自然的问题是：是否能够找到一种弱于正规性的特征性 质，使得原有的一些充分条件变为充要条件呢? 答案是肯定的，并且得到很多漂亮 的结果沿着这个研究方向，国内外许多群论工作者从不同角度进行了各种各样的 推广，如：拟正规性、s 一拟正规性、覆盖远离性、次正规性等其中关于子群的覆盖 远离性的研究就非常成功 设m 和都是群g 的正规子群，若n m ，则称m n 是g 的一个正规因 子设三是群g 的一个子群，m n 是g 的一个正规因子若三m = l ，则称三 覆盖( c o v e r ) m n 若lnm = l nn ，则称三远离( a v o i d ) m n 定义1 0 1 设l 是群g 的子群若l 覆盖或远离g 的每一主因子，则称l 是g 的具有覆盖远离性( c o v e r - a v o i d i n gp r o p e r t y ) 的子群，简称c a p 一子群 显然，子群的覆盖远离性足正规性的推广子群的覆盖远离性最初足由g a s e h i i t z 提出的1 9 6 2 年，g a s c h f i t z 【9 】在他的研究中，将可解群中彼此共轭的一类特殊子群 称为p r e - f r a t t i n i 子群p r e - f r a t t i n i 子群既远离可解群可补的主因子，同时覆盖其 它的主因子，因此g a s c h i i t z 所谓的p r e - f r a t t i n i 子群就是具有覆盖远离性的子群 自覆盖远离子群引入以来，许多作者致力于寻找可解群具有覆盖远离性的子群或 者研究具有覆盖远离性的子群本身的性质( 见文【1o 】、【2 4 】、【3 3 】等) 事实上，容易 证明可解群的每一极大子群具有覆盖远离性p h a l l 曾证明了如下著名的定理： 定理1 o 4 2 5 ，9 2 6 】设n 是可解群g 的系正规化子，则覆盖g 的每 个中心主因子，远离g 的每个非中心主因子 因此可解群g 的系正规化子是g 的具有覆盖远离性的子群 1 9 9 3 年，e z q u e r r o 证明了如下定理： 定理1 o 5 【3 】群g 为超可解群的充要条件是g 的每一s y l o w 子群的极大 子群具有覆盖远离性 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 3 由于正规子群具有覆盖远离性，因此定理1 0 5 不仅是定理1 0 3 的推广，而且 得到超可解群的一个充要条件e z q u e r r o 的结果激发了人们关于子群的覆盖远离 性对群结构影响的研究关于覆盖远离子群进一步的研究，郭秀云、k p s h u m 在 这方面做了很多工作例如在文 1 5 1 中他们证明了下述结论： 定理1 o 6 1 5 】群g 为可解群的充要条件是g 的每一极大子群具有覆盖 远离性 定理1 o 7 【1 5 】群g 为可解群的充要条件是g 的每一s y l o w 子群具有覆 盖远离性 定理1 o 8 【1 5 】群g 为可解群的充要条件是g 有一个可解的极大予群m ， 使得m 在g 中具有覆盖远离性 定理1 0 9 1 5 1 群g 是可解的当且仅当g 有一个可解的2 一极大子群己，使 得在g 中具有覆盖远离性 定理1 0 1 0 【1 5 】若群g 的每个2 一极大子群具有覆盖远离性，则g 可解 值得一提的是文 2 3 】证明了：拟正规子群( 见定义1 o 2 ) 必是覆盖远离子群， 这进一步说明了覆盖远离性所具有的广泛性 下面我们从子群的置换性方面来叙述其对有限群结构的影响首先介绍拟正 规子群，这个概念最先是由o r e 于1 9 3 9 年在文 2 2 】中提出的 定义1 o 2 群g 的一个子群日称为拟正规的( q u a s i n o r m a l ) ，如果日k = k 日，vk g 成立 1 9 6 2 年，k e g e l 在文【1 9 】中引入了一个较拟正规性更弱的子群概念，即8 一拟正 规子群 定义1 0 3 群g 的一个子群h 称为8 拟正规的( s - q u a s i n o r m a l ) ，若日与 g 的任意s y l o w 子群可交换 4 有限群的两种广义正规子群与群结构 较s - 拟正规性弱的一种子群是次正规子群，它是本文的一个核心概念 定义1 0 4 设g 是一个群，g o ，g 1 ，g ，是g 的一些子群，满足1 = g r 塑 g ，一1 翼塑g 1 塑g o = g ，则称此群列为g 的一个次正规群列，g ( i = 0 ，1 ，r ) 称为g 的次正规子群( s u b n o r m a ls u b g r o u p ) 虽然次正规性是正规性的一种很自然的推广，然而初始阶段并没有引起群论 工作者们的青睐直到1 9 3 9 年，群论学家w i e l a n d t 的研究成果发表后，关于次正 规子群的研究才开始被人们重视起来 作为拟正规子群，8 拟正规子群的另一方面的推广，近年来，s k i b a 【2 9 】又引入 两种广义正规子群一c - 拟正规子群、弱s 一置换子群 定义1 o 5 3 0 群g 的一个子群h 被称为c 一拟正规子群( c - q u a s i n o r m a l s u b g r o u p ) ，若存在g 的一拟正规子群t ，使得日t = g 且日nt 是g 的拟正规 子群 定义1 o 6 2 9 】群g 的子群h 称为g 的弱8 一置换子群，如果存在g 的某 个次正规子群t 使得日t = g 且日nt 风g ( 其中巩g 是包含于日的g 的 所有s 一拟正规子群生成的群) s k i b a 【3 0 】的研究中得到： 定理1 o 1 1 【3 0 】设厂是一个包含所有超可解群的饱和群系，群g 有一个 正规子群e 使得g e 尸假设对于e 的每个非循环s y l o w 子群p 有一个子 群d 使得1 l d l 2 ) 的无超可解补( s u p p l e m e n t ) 的子群日是g 的c 一拟正规子群，则 g 歹 后来，s k i b a 2 9 】得到的结论是： 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 5 定理1 0 1 2 【2 9 】设厂是一个包含所有超可解群的饱和群系，群g 有一个 正规子群e 使得g e 厂假设对于e 的每个非循环s y l o w 子群p 有一个子 群d 使得1 i d l 2 ) 的无超可解补的子群h 是g 的弱8 一置换子群，则g 厂 虽然弱s - 置换子群与c a p - 子群都是子群正规性的推广，但在我们的研究过 程中发现这两者之间并没有蕴含关系一个自然的问题是：如果利用c a p - 子群或 次正规子群的性质来刻画有限群的结构，是否能得到类似于s k i b a 的结论? 在本文第三章中，我们考虑：对于群g 的每一非循环s y l o w 子群p 有一个子 群d 使得1 i d i 2 ) 的子群日是g 的c a p - 子群，那么g 的结构如何? 得到群g 为超可 解群和p 幂零群的一些充分必要条件和一些充分条件 然而，利用次正规性试图给出类似于s k i b a 的刻画足不可能的例如：设g 为 四次交错群a 4 ，它的每个非循环s y l o w 子群p 的每一个极大子群是g 的次正规 子群，但g 非p 幂零群且g 非超可解群所以本文第四章我们只对其s y l o w 子群 的极大子群或2 一极大子群满足次正规性给出群g 为p 幂零群以及超可解群的一 些充分条件 6有限群的两种广义正规子群与群结构 第二章预备知识 作为全文的准备工作，本章介绍贯穿全文要用到的基本概念以及重要结论 2 1 基本概念 定义2 1 1 若群g 存在主群列1 = g o g 1 g n = g ，使得该列的每 个主因子是交换群，则称g 是可解群 若g 是可解群，则g 的子群、商群仍是可解群反之，若群g 有正规子群 使得与g n 均可解，则g 也可解 定义2 1 2 若群g 存在主群列1 = g o g 1 g n = g ，使得该列的每 个主因子是循环群，则称g 是超可解群 超可解群的子群、商群与直积仍是超可解群 定义2 1 3 若群g 存在主群列1 = g o g l g n = g ，使得该列的每 个主因子是中心主因子，即对每个i ，i = 1 ，2 ，n ，均有c i g , 一1 z ( c c , 一1 ) ， 则称g 是幂零群 幂零群的子群、商群仍足幂零群两个正规幂零子群的乘积仍是幂零群 定义2 1 4 设g 是一个群若g 存在正规的s y l o wp - 子群，则称g 是p 闭 群若g 存在正规的h a l l 矿- 子群，则称g 是p 幂零群 p 幂零群的子群、商群仍是p 幂零群两个正规p 幂零子群的乘积仍是p 幂零群群g 是p 幂零群的一个等价定义是g 存在主群列1 = g o g 1 p k 若g 存在正规群列1 = g o g 1 g k = g ，使得g g l s y l p t ( v v , 一1 ) ， i = 1 ，2 ，k ，则称g 是超可解型的s y l o w 塔群 定义2 1 6 设7 r 是某些素数的集群g 称作是7 f 可分的，若g 存在主群列 1 = g o g 1 g n = g ，使得该列的每个主因子或是丌一群，或是7 r 7 一群 定义2 1 7 设7 r 是某些素数的集群g 称作是7 r - 可解的，若g 存在主群列 1 = g o g 1 g n = g ，使得该列的每个主因子或是一- 群，或是可解群 显然，群g 是7 r 一可解的当且仅当对任意的p 7 r ，g 是p 可解的 定义2 1 8 设歹是一个群类若厂满足下面两个条件： ( 1 ) 若g 厂，则对任意的n 塑g ，有g n 芦； ( 2 ) 若g n 厂，g m 芦，则g ( nnm ) 厂， 则称歹是群系一个群系厂称作是饱和群系若由c 圣( g ) ，可推出g 厂 幂零群类、超可解群类、超可解型的s y l o w 塔群类以及p 幂零群类均是饱和 群系 2 2 常用的结论 本文中我们将自由地使用下列定理或引理有时候在推理过程中用到了它们， 却可能未提及它们的名字 定理2 2 1 【2 5 ，定理1 3 1 4 ( d e d e k i n d 模律) 设h ，k ，l 是一个群g 的子 群若k l ，则日knl = ( hnl ) k 定理2 2 2 2 5 ，定理5 2 1 4 】( f r a t t i n i 推理) 设u 是群g 的正规子群，h 是u 的一个h a l l7 r 一子群若u 的所有h a l l7 r 子群在u 中彼此共轭，则g = u g v ( 日) 特别地，若p s y b ( u ) ，则g = u u c ( p ) 8 有限群的两种广义正规子群与群结构 定理2 2 3 5 】( f e i t t h o m p s o n ) 奇数阶群可解 定理2 2 4 2 5 ，定理9 1 2 】( s c h u r - z a s s e n h a u s ) 若n 是群g 的正规的h a l l 一 子群，则n 在g 中存在补群，且任二补群在g 中共轭 将s c h u r - z a s s e n h a u s 定理与f r a t t i n i 推理结合起来，可得如下常用的结论： 引理2 2 1 设是群g 的一个正规7 r 子群，日是g 的一个7 r 7 一子群，则 n g ( h n ) = n a ( 日) 定理2 2 5 【2 5 ，定理1 0 1 8 】( b u r n s i d e ) 设p 是群g 的一个s y l o wp - 子群 若g ( p ) = c g ( p ) ，则g 是p - 幂零 定理2 2 6 3 8 ，v i i i ，定理5 1 】( g l a u b e r m a n - t h o m p s o n ) 设g 为群，p 是奇 素数，p s y l p ( a ) 若g ( z ( j ( p ) ) ) 有正规p 一补，则g 也有正规p 一补 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 第三章c a p 一子群与有限群结构的关系 9 本章我们考虑：若群g 的每个非循环s y l o w 子群p 有一个子群d 使得1 l d l 2 ) 的子 群日是g 的c a p - 子群，则g 的结构如何? 进而给出群g 为p 幂零群以及超可 解群的一些充分必要条件和一些充分条件 3 1 基本知识 设m 和都是群g 的正规子群，若n m ，则称m n 是g 的一个正规因 子设己是群g 的一个子群，m n 是g 的一个正规因子若三m = l ，则称l 覆盖m n 若lnm = l nn ，则称三远离m n 定义3 1 1 设己是群g 的子群若l 覆盖或远离g 的每一主因子，则称l 是g 的具有覆盖远离性的子群，简称c a p 子群 定义3 1 2 【2 9 】群g 的子群h 称为g 的弱8 - 置换子群，如果存在g 的某 个次正规子群t 使得日t = g 且日nt h g ( 其中h e 是包含于日的g 的所 有8 一拟正规子群生成的群) 定义3 1 3 4 】设日是群g 的子群若g 存在一个主群列1 = g o g a g n = g ，使得日覆盖或远离该列的每一主因子，则称日是g 的具有半覆盖 远离性的子群，也称日是g 的半覆盖远离子群 显然，具有覆盖远离性的子群必然具有半覆盖远离性由文 4 】可知半覆盖远 离性是覆盖远离性的真推广弱s - 置换子群与c a p - 子群都是子群正规性的推广， 反之未必成立三次对称群岛就可以说明这一点进一步，弱s - 置换性与覆盖远 离性之间也没有蕴含关系 1 0 有限群的两种广义正规子群与群结构 例3 1 1 设& 是4 次对称群，h = ( c ) 是由c 生成的3 阶循环群显然，h 是g 的c a p 一子群，但非g 的弱s 一置换子群 下面给出一个满足弱s - 置换性但不满足覆盖远离性的例子 例3 1 2 设也是4 次交代群，c 2 = ( c ) 是由c 生成的2 阶循环群又设 g = q a 4 ，其中a 4 = k 4 ( 亡) ，k 4 = ( a ，b ) 是由两个二阶元a 和b 生成的k l e i n 四元群，t 是一个三阶元令h = ( n c ) 容易验证sh a 4 = g 且日na 4 = 1 ， 所以日是g 的弱8 置换子群但是，日q = ( a ，c ) h ( k 4 岛) = 凰岛，且 日n 甄c 2 = h hnq = 1 因此日不是g 的c a p 一子群 引理3 1 1 【2 6 ，l e m m a1 4 】设a 是群g 的覆盖远离子群，是g 的正规 子群，则a n 是g 的覆盖远离子群 引理3 1 2 4 ，引理2 1 】设日是群g 的一个子群，1 n m 2 ) 是g 的c a p 一子群，则g 是p 一幂零群 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 1 证明假设命题不真且设g 为极小阶反例 若p = 2 ，由于覆盖远离性蕴含半覆盖远离性，所以由【1 3 ，t h e o r e m3 8 】直接 可以推出g 是矿幂零群 若p 3 ，由f e i t t h o m p s o n 定理【3 7 ，i i ，定理3 8 】及( i g i ，p 一1 ) = 1 ，容易得 出g 是可解群 若o 夕( g ) 1 ，我们考虑商群a o p ，( a ) 据引理3 1 3 ( 1 ) 容易证明g d p ，( g ) 满足命题的假设由g 的极小性，v o v ( a ) 是p 幂零群进而，g 是p 幂零群，矛 盾因此0 p ，( g ) = 1 由于g 是可解群，所以d p ( g ) 1 下证g ，so p ( g ) 由引理3 1 3 ( 2 ) ，易知g 满足命题假设由g 的极小性，g 是p 幂零群令 k 是g 的正规p 补且k 1 由kc h a rg ，翼g 推出k 塑g ，这与( g ) = 1 矛盾，因此g 是一个p 群，从而g ，q ( g ) 令q 0 p ( g ) o p ( g ) 是g d p ( g ) 的一个s y l o w 口- 子群，其中q p 容易证明 q o p ( g ) 是g 的正规子群应用引理3 1 3 ( 2 ) ，我们可以证明q o p ( g ) 满足命题假 设由g 的极小性，q q ( g ) 是p 幂零群这时q 塑g ，这与q ，( g ) = 1 矛盾 极小阶反例不存在，故g 是p 幂零群 引理3 1 5 2 1 ，l e m m a2 6 】设是群g 的可解正规子群若g 的含于 的极小正规子群不含于圣( g ) ，则的f i t t i n g 子群f ( ) 为g 的含于的极小正 规子群的直积 由于覆盖远离性蕴含半覆盖远离性，故下面这个结论可以由【1 3 ，t h e o r e m3 1 2 】 直接推出 引理3 1 6 设厂是一个包含超可解群类甜的饱和群系，是g 的一个正 规子群使得g n 歹假设对于i i 的每个素因子p ，存在的一个s y l o wp 一子 群p 使得p 的每个极小子群在g 中具有覆盖远离性，并且当p = 2 时，p 的每个 4 阶循环群在g 中也具有覆盖远离性则g 厂 1 2有限群的两种广义正规子群与群结构 引理3 1 7 【2 9 ，l e m m a2 1 6 设厂是一个包含超可解群类“的饱和群系， g 有一个正规子群e 使得g e 厂若e 是循环群，则g 厂 3 2 主要结果 定理3 2 1 设群g 的阶的一个素因子p 满足( 1 g l ，p 一1 ) = 1 假设g 的每 个非循环s y l o w 子群p 有一个子群d 使得1 2 ) 使得风nn 1 显然日日即 皿不是g 的覆盖远离子群，与假设矛盾，所以或者为歹一群或者为矿群若 为p 一群，考虑商群g n 取p 的任一阶为i d i 和2 1 d i ( 若p 是非交换2 - 群且 i p ：d i 2 ) 的子群日由引理3 1 3 ( 1 ) ，h n 是g n 的c a p - 子群，故g n 满足定理的条件群g 的极小性隐含着g n 是少幂零群，所以g 是p 幂零群， 与假设矛盾，故为p 群 ( 2 ) i n i i d i ，由于日是g 的覆盖远离子群，故存在d a n 使得i d l i = i d i ， 那么功n 1 且d i n d 1 ，与d 1 是g 的覆盖远离子群矛盾 2 ) 若l n i = l d l p 2 ，则g 存在子群r ，冗1 使得l r ：n i = p ，i r l l = l d l 且 r = n r a 由假设及n r , r 1 ，我们可以得到i nj = j l j nr a i = p ，与假设矛 盾，故i n i = i d i = p ( 3 ) i d l p 若i n i = l d i = p ，应用引理3 1 4 ，g 是p 幂零群，与假设矛盾，故i d l p 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 3 ( 4 ) g 有唯一极小正规子群，使得g n 是p 幂零群且n 菇m ( g ) 由于i n i p ，由引理3 1 3 ( 2 ) 可知，尬满足定理 条件由g 的极小性，m 1 是p 幂零群设k 是舰的正规p 补，由kc h a r 尬塑g ，k 塑g 这与的唯一极小正规性矛盾一 推论3 2 1 设g 是一个群假设对于g 的阶的每一个素因子p 来说，g 的 每个s y l o w 子群p 有一个子群d 使得1 i d l 2 ) 的子群日是g 的c a p 一子群，则g 是 超可解型s y l o w 塔群 证明设p 是g 的阶的最小素因子，则显然有“g i ，p 一1 ) = 1 若p 是循环群， 由n g ( p ) c c ( p ) sa u t ( p ) 及( 1 g i ，p 一1 ) = 1 ，g ( p ) = c g ( p ) 利用b u r n s i d 争定 理 3 7 ，i i ，定理5 4 】，g 是p 幂零群若p 非循环群，由定理3 2 1 及引理3 1 3 ( 2 ) ， 再由归纳，递推可知g 是超可解型s y l o w 塔群 定理3 2 2 设厂是一个包含所有超可解群的饱和群系，群g 有一个正规子 群e 使得g e 厂假设对于e 的每个非循环s y l o w 子群尸有一个子群d 使得 1 i d l 2 ) 的子群日是g 的c a p 一子群，更l lg 厂 证明假设定理不真，考虑极小阶反例( g ，e ) ，设( g ，e ) 的i g j e i 是极小的 ( 1 ) 对于e 的每个正规h a l l 子群k ，( k ，k ) 满足定理条件；对于e 的每个正 规h a u 子群x ，( v x ，e x ) 满足定理条件 1 4 有限群的两种广义正规子群与群结构 设k 是e 的任一正规h a l l 子群且p 是k 的任一非循环s y l o w 子群 由引理3 1 3 ( 2 ) ，( k ，k ) 满足定理条件设x 是e 的一个正规h a l l 子群，则 ( g x ) ( e x ) 竺g e 厂取e x 的某一非循环s y l o wp - 子群尸+ x ( 其中 pii e x i 且p 是x 的某一s y l o wp - 子群使得p = p x ) ，则p 是e 的一个非循 环s y l o w 子群取p + x 的某个子群h + x 使得i h + x i = i d i ，则h + = h x ( 其 中日是日+ 的某一s y l o wp - 子群) 显然i h l = i d i 由假设及引理3 1 3 ( 1 ) ， h + x = h x x 是a x 的c a p - 子群因此，( g x ，e x ) 满足定理条件 ( 2 ) e = p 应用推论3 2 1 及引理3 1 3 ( 2 ) 易知，e 存在超可解型s y l o w 塔设x 是e 的 非平凡正规h a l l 子群，由xc h a re 翼g 知，x 翼g 由( 1 ) ，( a x ，e x ) 满足定理 条件由i g i e i 的极小性，a x 歹若i g i i x i p ( 5 ) 设是含于e 的g 极小正规子群，则g n 厂 由( 3 ) ，( 4 ) 可知，l n l l d i ，从而1 i d + i 2 时，令h + = h n 且i h + i = i d + l ，则i h i = i d i 由引理3 1 3 ( 1 ) ， 日+ 是a g 的c a p - 子群同理可证当p = 2 时，c g 满足定理条件由( g ，e ) 的选择，a y 厂 ( 6 ) 是g 的含于e 的唯一极小正规子群且n 茹圣( g ) 由( 5 ) 及厂是饱和群系可知 ( 7 ) 导出矛盾 2 0 0 9 年上海大学硕士学位论文 1 5 由( 6 ) 及引理3 1 5 可知，n = 0 刍( g ) = p 若i n i = i o a a ) i = i p i p 2 ，与 ( 3 ) 矛盾；若i n l = i d 刍( g ) i = i p i = p ，由( 5 ) 及引理3 1 7 ，g 厂，与假设矛盾_ 下面这个结论可以由定理3