（计算数学专业论文）求解右定两参数特征值问题的精化的jacobidavidson方法.pdf

中文摘要 摘要 本文讨论如下形式的所滑两参数特征值问题； a l x l = a b l x l + # c l x l ， a 2 x 2 = 入岛x 2 + p c 2 x 2 这里的a ，鼠，g 是n i x n 的矩阵 既是佻维的向量，i = 1 ，2 如果( 入，p ) ， x l ，x 2 满足e 述方程，那么就称( 入，p ) 为特征值，t e n s o r 积z lox 2 称为特征向 量两参数的特征值问题具有广泛的应用 3 】 文献 10 】提出了求解匕述问题的右定两参数特征值问题j a c o b i d a v i d s o n 类型 僦在文献【1 2 中，作者m e h o c h s t e n b a c h 和b p l e s t e n j a k 认为精化的 方法不适合两参数特征值问题，并说求解两参数特征值问题的精化方法存在着三个 问题；即精化r i t z 向量收敛性差，运算量大，不能计算多个特征值本文指出，事 实并非如此针对右定两参数特征值问题，本文提出了种有效的精化数值方法并 通过理论证明和数值实验说明了r i t z 值的收敛性，以及精化r i t z 向量具有比通常 的r i t z 向量耍哆子的收敛性 全文共分五个部分：第章简要的介绍了两参数特征值问题及其背景；第二章 介绍在文献【1 0 】中提出的求解右定两参数特征值问题的j a c o b i d a v i d s o n 类型的方 法；第三章证明了r i t z 值的收敛性( 定理4 ) ，并通过此说明了精化的r i t z 向量 具有更好的收敛性，并举具体例子加以说明；在第四章中提出本文的算法；第五章的 数值试验中验证了我们的算法的优越性三褙出结论 关键词：右定两参数特征值问题，j a c o b i d a v i d s o n 方法，校正方程， r i t z 对，精化r i t z 对，精化j a c o b i d a v i d s o n 方法 英文摘要 a b s t r c t s i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s s e st h ef o l l o w i n gf o r mo ft h es o - c a l l e dt w o - p a r a m e t e r e i g e n v a l u ep r o b l e m ： a l x l = a b l x l + p c l x l ， a 2 x 2 = a b 2 2 2 + p 岛z 2 w h e r ea i ，晟a n d 劬a r eg i v e n 豫取m a t r i c e s ，x ia r e 啦v e c t o r sf o ri = 1 ，2 。， aa n dpa r es c a l a r s ap a i r ( a ，p ) i sc a l l e da ne i g e n v a l u ei fi ts a t i s f i e st h ea b o v e e q u a t i o nf o rn o n z e r ov e c t o r sx l ，x 2 t h e nt h et e n s o rp r o d u c tx l 圆。2i sc a l l e dt h e c o r r e s p o n d i n ge i g e n v e c t o r t w o - p a r a m e t e re i g e n v a l u ep r o b l e m so ft h i s n da r i s e i nav a r i e t yo fa p p l i c a t i o n s 3 aj a c o b i - d a v i d s o nt y p em e t h o di sp r o p o s e di n 【1 0 】f o rar i g h td e f i n i t et w o - p a r a m e t e re i g e n v a l u ep r o b l e m i nt h e i rp a p e r 1 2 ，m e h o c h s t e n b a c ha n db p l e s t e n j a kc o n s i d e r e dt h a tt h er e f i n e dm e t h o di sn o ts u i t a b l ef o rt w o - p a r a m e t e r e i g e n v a l u ep r o b l e m sb e c a u s eo fh i g hc o s t sf o rc o m p u t a t i o n ，p o o rc o n v e r g e n c eo f r e f i n e dr i t zv e c t o r sa n di n c a p a c i t yf o rc o m p u t i n gm o r et h a no n ee i g e n v a l u e 。i n t h i sp a p e r ，w es h o wt h a ti ti sn o tt h ec a s e f o raf i g h td e f i n i t et w o - p a r a m e t e r e i g e n v a l u ep r o b l e m ，w ep r o p o s ea ne f f i c i e n tr e f i n e dj a c o b i d a v i d s o nt y p em e t h o d a n ds h o wt h a tr e f i n e dr i t zv e c t o r sh a v eb e t t e rc o n v e r g e n c et h a nr i t zv e c t o r sa n d ( r e f i n e d ) r i t zv a l u e si sc o n v e r g e n t t h ep a p e rh a sb e e no r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 陀g i v eai n t r o d u c t i o n o ft w o - p a r a m e t e re i g e n v a l u ep r o b l e m sa n di t sb a c k g r o u n d i nc h a p t e r2 , w er e v i e w t h ej a c o b i d a v i d s o nm e t h o di n 1 0 i nc h a p t e r3 ，w ep r o v et h ec o n v e r g e n c eo f r i t zv a l u e s ( t h e o r e m4 ) a n di l l u s t r a t et h a tt h ec o n v e r g e n c eo fr e f i n e dr i t zv e c t o r s i sb e t t e rt h a nr i t zv e c t o r s o u ra l g o r i t h mi sp r o p o s e di nc h a p t e r4 w ec o n c l u d e w i t he x p e r i m e n t sa n dac o n c l u s i o ni ns e c t i o n5 英文摘要 k e yw o r d s ：r i g h td e f i n i t et w o - p a r a m e t e re i g e n v a l u ep r o b l e m ，j a c o b i - d a v i d s o nm e t h o d ，c o r r e c t i o ne q u a t i o n ，r i t zp a i r ，r e f i n e dr i t zp a i r ，r e f i n e d j a c o b i d a v i d s o nm e t h o d 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均 在文中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学 术活动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人( 签名) ：眙惠铣 年易月乡日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦f - j ? k 学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办 法等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交 学位论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦门大学图书 馆及其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国 博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和 摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () i 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 () 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“”或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) 穆、忠铭 伊7 年占月芗日 第一章绪论 第章绪论 l 我们称具有如下形式的问题 a l x l = a 跏+ 硒z l ， ( 1 1 ) a 2 x 2 。x b 2 x 2 + i c 2 x 2 ， 为两参数的特征值问题这里的a ，鼠，g 是啦的矩阵，蕊是n i 维的向量， i = 1 ，2 如果( 入，p ) ，x l ，z 2 满足( 1 1 ) ，那么就称( 入，p ) 为( 1 1 ) 的特征值，t e n s o r 积z 10z 2 为相应的特征向量 求解两参数的特征值问题具有广泛的应用【3 】，例如两参数s t u r m - l i o u v i l l e 问 题【8 】， 一慨( 歇) 羹( 戤) ) + 依( 戤) 坎( 戤) = ( a a i l ( x i ) + 弘8 i 2 ( 苁) ) 犰( 蕊) x i f a i ，挽j 边粼 珧( 瓯) c o s o l i 一( 啦) s i n a = 0 ，0 o t i 万， 珧( 魄) c o s 屈一垂( 魄) s i n 屈= 0 ，0 屈s7 r ， 离懒化这1 个问题嘲得到( 1 1 ) 形式的两参彰洙产征值问题两参数的特征值问题还应 用于估计双层材料的电陉能【1 】，以及动力模型修正【13 】 假定在( 1 1 ) 中，a ，段，g 都是实对称矩阵，并耳刘任意的非零的向量z 7 妒1 ， y 7 砂。，行列式 恒为正，那么我f f 畴嗍丽参数的特征值问题( 1 ，1 ) 是右定的在右定的条件下，问题 ( i i ) 的特征值都是实的，特征向量也可以是实的，并且有n l n 2 个铹牲无关的特征 向量 1 0 本文章仅讨论右定的两参数的特征值问题 右定的两参数的特征值问题( 1 1 ) 可以转化为对广义特征值问题令空间 s ：= 死m 圆冗彻， z 矽 毋 岛 r 丁 芗 第一章绪论 o - - r _ b 1 岛一qqb 2 ， l = a 1o 岛一qoa 2 ， 2 = b 1oa 2 一a 1ob 2 2 因为列称矩阵韵t e n s o r 积隧黝称的，所以o ，a l ，a 2 为列称矩阵文献【4 】证 明了a 0 1 l ，a 0 1 a 2 可蛩换，问题( 1 1 ) 等价子 a x z = a a o z , ( 1 2 ) a 2 z = p o z ， 这里z s ，z = 。lo z 2 容易验证右定的条件等价于a o 是对称正定 引理1 属于以砂的不同特征值的特征向量是o 正交的即如果x l o y l ，茁2 p 耽是分别属于特征值( a 1 ，p 1 ) ，( 入2 ，p 2 ) 的特征向量，那么有 ( z 1q 可1 ) t a o ( z 2o 珑) = 0 目前 已有多种方法可用来求解右定两参韩特征值问题第碟直接法，通过 同时对角化，求解问题( 1 2 ) ，从而得到问题( 1 1 ) 的特征值和特征向量1 1 4 】但由 于问题( 1 2 ) 的维数是竹l n 2 ，所以这类方法只有在矩阵阶数较小的时候才可行 当n l ，n 2 较大的时，不太面毵耕锋问题( 1 1 ) 的所有特征对幸运的是在实际运用 中只需要部份特征对在这种情况下，文献 1 0 11 】提出了种适合于求解部分 特征值，以及所对应的特征向量方法：j a c o b i - d a v i d s o n 类型的方法在文献 1 2 】 中作者m e h o c h s t e n b a c h 和b p l e s t e n j a k 讨论了求解两翁昏特征值问题调和方 法，并指出精化方法不适合两参数特征值问题文献f 1 2 】的作者认为精化r i t z 向 量收敛性差，因为和r i t z 向量相比，它需要更多的条件才能收敛本文将说明：事 实并非如此，其实精化的r i t z 向量具有更好的收敛性 第二章j a c o b i - d a v i d s o n 方法 第二章 j a c o b i - d a v i d s o n 方法 2 1 子空间方法 3 子空间方法是求解大型矩阵特征值问题【9 】9 的主要方法，其主要思想是把大型 特征值问题投影成小型矩阵的特征值问题，在低维的空间上求解其近似特征值，随 着子空间的不断扩展，近似特征值将收敛到准确特征直a r n o d i 方法【7 】，j a c o b i - d a v i d s o n 方法【6 1 都属于子空间方法，他们主要的不同在于形成空间基的方式子 空间方法的主要实现过程是r a y l e i g h - r i t z 过程下面将r a y l e i g h - r i t z 过程应用于 两参数特征值问题 令虮，v k 分：另姨嘱于冗 t 和冗n ：的k 维子空间 巩冗n t k , v k 冗n ：妯的 列向量分别构成是空间“七，y 七的组标准正交基，有r i t z g a l e r k i n 条件 ( a 1 一a b l 1 g ) 乱上， ( 1 2 一a b 2 一t c 2 ) v 上坛， 这里”e u d o ，秒e v k o ( 2 1 ) 式等价于下面方程 ( 2 1 ) 魄丁a 1 巩c = 盯魄t b l 巩c + 7 u k t c l u k c ， ( 2 2 ) 圪丁a 2 v k d = k t b 2 v k d + 7 - k r c 2 k 吐 这里u = 砜c 0 ，t ，= v k d 0 ，c ，de r , k ，且吼r 冗若原问题是右定的那么 ( 2 2 ) 也是右定的，这里的k 通常要比死l ，礼2 小很多 ( 仃，下) 称作问题( 1 1 ) 对应于空间甜七，y 七的r i t z 值，u o 口叫作r i t z 向量， c 圆d 为原始r i t z 向量有问题( 2 2 ) 得到七2 个r i t z 对，是问题( 1 1 ) 的近似特 征对并可以验证如果uou 是对应r i t z 值( 盯，7 - ) 的r i t z 向量，那么( 仃，7 ) 等于 o ”的t e n s o rr a y l e i g h 商即 盯= a ( - ，t ，) = 7 = 色( t | ，口) = t io t ，) t l ( t o 口 uo 口) t a o ( uou t i o ) t 2 ( t 正o t ， u o u ) 丁a o ( u o u ) ( v r c 2 v一( u r c l u ) ( v t a 2 v ) ( u t c 2 v ) v r a 2 v 一( u r c l u ) ( v r b 2 v 一( u r a l u ) ( 矿b 2 v )( u r b lu ) ( v t 岛u )一( u r c l u ) ( v t b 2 v ) 4 于是意料簪矩阵阶数较大的原问题( 1 1 ) ，转化为阶数较小的问题( 2 2 ) 可以使用文献 【1 4 】的方法来求解问题( 2 2 ) 2 2 标准j a c o b i - d a v i d s o n类型的方法 j a c o b i - d a v i d s o n 方法【6 】是种子空间方法，其通过不精确的解校正方程来扩 展空间作者在【1 0 】中将j a c o b i d a v i d s o n 方法推广到右定两参数特征值问题，具 若让。口是问题( 1 1 ) 的近f 以特征向量，那么希望找到s 上仳，t 上u ，使得 ( u + s ) o ( + t ) 嘉刭陪征值( 入，p ) 同僦的特征向量，即 令 a 1 ( t 正+ s ) = 入b 1 ( 牡+ s ) + p c l ( t 正+ s ) ， a 2 ( v + t ) = a b 2 ( + t ) + p 岛( + t ) r l = ( a 1 一a b x r c l ) ， r 2 = ( a 2 一a b 2 一r c 2 ) u ， 表示为r i t z 对( 仃，7 - ) ，钍o v 的残量( 2 3 ) 重新整理得到下式 ( 2 3 ) ( a l a b l 一r c l ) s = 一r 1 - 4 - ( a o ) b l u + ( 肛一r ) c x u + ( 入一a ) b l s + ( p r ) c x s ， ( a 2 一盯岛一r c 2 ) t = - r 2 + ( a a ) b 2 v + ( p r ) c 2 v4 - ( 入一a ) b 2 t + ( p r ) c 2 t ( 2 4 ) 引理2 ( 仉7 ) 是对应于单位r i t z 向量u o v 的r i t z 值，如果( u + s ) o ( v + t ) 是对应于特征值( a ，1 ) 的特征向量，那么有 识r 石f 玎丽= o ( 1 1 s 1 1 2 + i l t l l 2 ) 、，一、j、j、ll，一、l，、l， 一让 u a 一夙岛 矿万矿 ，i、一，f、，l = 一 ，i一，i，i、一，- 5 此引理说明了如果r i t z 向量是特征向量：关于8 ，t 的阶近似，那么r i t z 值 慨7 ) 就是艋值( 入，p ) 的关于s ，t 二除蚴所以( 入一盯) b l t + ( p a ) c l u 为 二阶项，( a a ) b ls4 - ( p a ) c l s 为三阶项如果忽略方程( 2 4 ) 中的二阶项和三 阶项，可以得到其中个校正方程为 卜幽? l ， 由于s l u ，r l l u 号( ，一t 正札r ) s = 8 ，( ，一u u r ) r 1 = r 1 ( 2 5 ) 等于 卜最：一r 1 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 可以验证由方程( j r u ) ( a l - a b l 一丁q ) ( ，一u u r ) = 一n 求得的解，那么8 = ( ，一 札t ) 为b 劫维( 2 6 ) 的解把s 与u k 黻，得到饥+ 1 = ( j 一巩昭) s = ( ，一巩昭) ( ，一u u r ) = ( ，一巩叼) 由此说明用s ，还是用来扩张空间所得到 的基槲的所以用( 2 6 ) 式和用( ，一u u r ) ( a 1 一a b l 一下a ) ( ，一“u 2 ) s = 一7 l 作为校正方民尽_ 样的子鼢到了用于扩展基玩的校正方程 ( ，一“仳r ) ( a l a b l 一下q ) ( ，一u u r ) s = 一r t ； 同理可得用于扩展基k 的校正方程 ( ，一t ，u 丁) ( 4 2 一a b 2 一丁岛) ( j v v t ) t = 一您 简要介绍下算法1 中出现的参数， a 2 kw ，2 2 = b 2 v 可圪3 = c 2 矿 = a 1 u ，2 = b 1 u ，肌3 = q 1 = h 1 1 = u 丁a l u ：何1 2 = u t b l 日1 3 = u t c l u , 吼1 = y 丁1 2 矿2 = v t b 2 k 玩3 = v t c w 算法1 求解右定两参数特征值问题的j a c o b i d a v i d s o n 类型的算法 ( 2 7 ) 6 j 开始：选择单位初始向量u ，t ，那么巩= 【- i ，h = 【v l ；w l l = a 仉，h l l = 巩t 川1 类似的得到其它初始值，如，i = 1 ，2 ；j = 1 ，2 ，3 且盯= p l ( t i ，u ) ，丁= 晚( h ， ) ，并计算残量r l ，r 2 2 糖环：| 0 rk = 2 k 眦 解方程 ( ，一u u t ) ( a l a b l 一r q ) ( ，一t i ，) s = - r 1 ， ( i v v t ) ( a 2 一盯岛一r c 2 ) ( i 一”，) t = 一r 2 将s ，t 分别与魄，k 做g r a m - s c h m i d t 正交化得到 u k + l ， u k + 1 ，巩+ l = 【巩，u k + 1 ，k + 1 = 【k ，仇+ l 】 更新其他参量w l l = a l u k + 1 ，w j l 以及其他的， = w l l ，叫l l 】，吼1 = 【h 1 1 ，u w 1 1 ；u 盈l 啊1 】 使用文献p 4 的方法，计算小型问题 h i i c = u h l 2 c + t 研3 c ， 1 t 2 l d = 仃月扔d + t 凰3 d ， 中想要的特征值( 仉7 ) ，以及所对应的特征向量c d 计算u = 巩+ 1 c ，口= y k + l d ，和残量 计算 r l = ( a 1 一a b l 一t c i ) t ， r 2 = ( a 2 一e r b 2 一下q ) u 判断是否p t o l ( 1 0 一8 ) ，若满足则停止迭代，否则继续循环 只重起? 当巩，k 的维数超过k m 凹时，使用k i n 维的正交基进行重起 第三章两参数特征值问题的r i t z 值，r i t z 向量和精化r i t z 向量的收敛性 7 第三章两参数特征值问题的r i t z 值，r i t z 向量和精化 r i t z 向量的收敛性 3 1 两参数的特征值问题的精化方法 精化的方法有【l s 第次提出对于两参数的特征值问题同样也可使用精化的 方浅在( 2 2 ) 得到r i t z 值吼r 后，计算满足以下条件的矗，矛 面= a r g m i nl i ( a 1 一o b i 一7 - q ) 面l l ， 豇0 “，t l 面l l = l 移= a r g m i n0 ( a 2 一a s 2 一r c 2 ) 雷1 1 哥v k ，i i 面l l = l ( 3 1 ) ( 3 2 ) 这里的a r g m i n 表示最小二乘问题的解用这两个最小二乘问题求得的冠，移代替 “， 作为x l ，z 2 的近似面。西称为精化r i t z 向量令 矛= p l ( 面，西) ， 于= 舰( 面，雷) 这里( 孑，于) 称为精化r i t z 值，它代替r i t z 值作岁懒值的近似而且有以下二个 性质3 1 令新的残量f 1 = ( a 1 一b b l 一亍q ) 雹，饬= ( a 2 一子岛一亍岛) 移，那 么有严1 上面，恐上矛 性质3 2 豇= 巩己，西= k j 这里的舀，i 分别是( a 1 一a b l 7 - q ) 巩和 ( a 2 一盯岛一7 - 岛) k 的最小奇异值所对应的右奇异向量 性质1 用t e n s o rr a y l e i g h 商的定义代入便可以验证得到；性质2 利用式子 面川m i 训n ：1i i ( a 1 - - o b l 7 c 1 ) 训。删m i 阼n l i l l ( a 1 - - a b l 一丁q ) 巩矧 可以证得 第三章两参数特征值问题的r i t z 值，r i t z 向量和精化r i t z 向量的收墼啦l 8 3 2 收敛性分析 在说明收敛性之前，先引进个向量和空间夹角的定义令妒知l ，虮) 表示单位 向量z 1 与空间u k = s p a n u k 的夹角它可以表示成 妒( z 1 ，敞) = a r c s i nl i ( r 一7 饥) z l l i ， 这里的7 表示空间讯上的正交投影，订巩= v k 昭类似的可以定义o o ( x 2 ，v k ) 文献【1 2 l 给出了r i t z 向量和精化r i t z 向量的收敛性定理 定哩1 ( 【1 2 j 定理5 1 ) ( a i - a b i - r c l 矧i 坚型挫矬拦黢篇兰删， il(az一仃岛一r岛)西il旦l二旦且坚圣旦!竺一=_型岂男掣兰专兰每鲁篆云手喜|；二二叟望幽， 这里的豇，移如( 3 1 ) ，( 3 2 ) 所定义 文献 1 2 】的作者认为精化r i t z 向量需要更多的条件才能收敛，即除了q o ( x l ，玩) 一 0 ，妒( z 2 ：) _ 0 ，还需要r i t z 值盯_ 入，7 _ p 但事实并非如此，定理2 将说明 妒( z l ，玩) _ 0 ，妒( z 2 ，魄) _ 0 与r i t z 值收敛是样的 定理2 若z l ，z 2 为单位向量，x loz 2 是特征值( 入，p ) 所对应的特征向量 令0 = 妒( z l ，玩) ，刀= 妒( z 2 ，) ，矿= 仉，n 】，矿= f k ，h 】是正交矩阵那么存 在毋，岛 i i e l l l 蕊( o a l l l + i 入l l l s l o + i i i i c l l l ) ， 恻f 而s i n 耐7 1 恻i + i 入l l i s 2 l i + i i i i c , 1 1 ) ， 使得( 入，“) 是两参数特征值问题 ( h l l + e 1 ) c = a h l 2 c + t h l 3 c ， ( 飓l + 易) d = 盯仍2 d + r h 2 3 d ， 特征值这里的矾1 仍3 如偿矽中所定义 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 第三章两参数特征值问题的r i t z 值，r i t z 向量和精化r i t z 向量缒坚丝壁 9 证明t 我们仅证( 3 3 ) 式，( 3 4 ) 式的证明是类似由a l x l = a b l x l + p c l x t 呀制巩，以， 舞 z 1 - 入昭剐巩，巩， 葛 吼一p 昭a 陬，叽】 嚣王三2 。 令u 善k x l = y l ，u 工上x l = z l ，那么有l i z l 0 = 0 昭觇i i = 0 巩昭x l l l = l l ( 1 一 v , v ) x 。0 ：s i n 0 ，l = i i u x 1 0 = l l 巩昭z 1 0 = c o s o = 以面由( 3 5 ) 式，可以得到 - 1 l y l a h l 2 y 1 一p 凰3 y 1 = 入呀b 1 巩2 14 - p 呀c 1 u l z l u t a l u l z l 令雪1 =觑是个咩位向量，再令f 1 = h i 西1 一a h t 2 雪l p 巩3 雪1 ，再利 用性质l i 昭j i 1 ，i l 巩0 = 1 得到 志忪昭b ，u 上z l 4 - # u t c l v 上z t 一昭a - 巩z ， 了亍三1 亏盂历i 入川b ，i i l i z | i + i p 川c - i z - l l + i i a t l i l l z - 0 s i n0 ( i a l l i b l l i4 - l 肛l l i c l l i4 - l i a l l l ) 令易= 一户1 卵，则i i e l l l = i l , l l l ，并且( 研1 + 毋一a h l 2 - - p h l 3 ) y 1 = 0 ，这样( 3 3 ) 口 定理1 、定理2 对所有的两参数特征值问题都成立，并且定理1 、定理2 说明 了只要妒( z l ，4 k ) _ 0 ，o ( x 2 ，仇) _ 0 ，那么r i t z 值盯_ a ，7 - _ p 且精化r i t z 向 量收敛到特征向量但妒( z 1 ，) _ 0 ，妒( z 2 ，仇) _ 0 ，并不能保证r i t z 向量收敛到 特征向量下面将说明这个问题，r i t z 向量的收敛性定理如下 定理3 似纠定理彳j 令( ( q7 ) ，uou ) 是r i t z 对， ( ( a ，1 ) ，t 1oz 2 ) 是特 征对，w = x lox 2 ， 第三生受垒塾垫焦塑塑鱼垦丝焦：型丝鱼量塑查童坐型丝鱼量鱼些叁塾垦 1 0 _ _ _ _ _ _ ； i _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ 。一一 s p a n ( ，川) = 讯o ，匠= ，w l t x w ，w l 这里的i = 0 ，l ，2 ，并假设e o 可 逆那么 砂( s i n 妒( t i ，z 。) s i n 妒( t ，z 2 ) ) m 讯 ( 1 + 磊) ，( 1 + 毒2 ) ) 妒( s i n 妒( 轧玩) s i n 妒( z 2 ，) ) 这里 砂( n ，6 ) = a 2 + b 2 一2 6 2 ， q l = i l 丽1 1 7 。吨( 1 一a x o ) ( t 一7 。) l i 竹= l i 面1 l l i l 。砍( 2 一u a o ) ( t 一7 。h ) 0 n = e 矗n ( g l h i ) sr a i ，n 盯，矿 如= e 矗n ( g 2 一弘j ) sr a i ，n 吩产7 。 i 乃一入l i 勺一p i ( 以，兀) 是那七2 1 个不同于( 盯，7 - ) 的r i t z 值，( m i 。( a l a i ) 表示g 1 一a i 的 最小奇异值g 1 ，g 2 参见文献口彩的定义 定理3 中的6 l ，6 l 可能会很小，以至于于出现伪特征向量具体例子如下 例子1 考虑右定两参数问题 作子空间方_ ，空间取巩= ( 兰兰) ，圪= ( 兰三) 想要计算的特征值是 、lil， ， 3 、， 4 4 ； 州 们 4 j 坍 班 2 x v 弘 ， + 肛、一、 + 6 、l， 1 2 6 2 2 ，j-ill-l-l、，f-llli-l 一 一 l i = 、lii，、lli-、 3 3 2 1 3 3 2 2 ， ，j-llil-iil，iii-_lilli、 第三章两参数特征值问题的r i t z 值，r i t z 向量和精化r i t z 向量鳗些叁咝 l l 解，它是一个单特征值，所对应的特征向量为e l 圆e l ，这里e l 是3 3 单位矩阵的 第一列此时e l 与印o n 仇】，s v a n v k 的夹角已经为0 用子空间作投影后，得 到小一阶的两参数的特征值问题为t + p + p d = m 两种骈，或( 0 ) 算枇后 者的可能性很大，若c 取后者，那么u = 魄( 三) = ( 兰) ， = e ，这就 1 3 2 ，3 ( 3 2 1 2 ) 面一1 1 ( 1 2 l 4 3 ，4 ) 而 达到最小的雹为e 1 、ll一、lll， 2 3 ， 1 噎 2 2 ， 1 3 、l一、l一、 2 6 3 1 2 2 ， 3 1 入 入 、li-、ll-、 2 3 ， l 1 2 2 ，j，f一 第四章精化j a c o b i - d a v i d s o n 方法 4 1 精化j a c o b i d a v i d s o n 方法的校正方程 1 2 精化j a c o b i - d a v i d s o n 方法的校正方程的推导过程与算法l 的校正方程推导过 程类似，由匕步算出的精化r i t z 对( 孑，亍) ，矗。矛和精化残量于l ，而，希望能够找 到季上面，f 上云，使得 + ) o ( 矛+ d 是对应特征值( 入，p ) 的特征向量，即满足 a l ( 云+ ) = a b l ( 矗+ ) + p c l ( 面+ 季) ， a d o + d = a b 2 ( 0 + 习+ 肛q ( 云+ 幻 ( a 1 一矛b 1 一亍c 1 ) 季= 一f 1 + ( 入一矛) b l 冠+ ( p 一亍) c 1 矗+ ( 入一子) b 1 + ( 肛一于) g ， ( a 2 一孑岛一于= g ) f = 一恐+ ( a 一孑) 岛舀+ ( 弘一亍) q 西+ ( a 一厅) 易# + ( p 一亍) c ! t 下面定理将说明，精化r i t z 对p ， ：) ，五 移也满足引理2 的结论 ( 4 1 ) ( 4 2 ) 定理4 ( 矛，于) 是对应于单位精化r i t z 向量露圆矛的精化r i t z 值，如果( 五+ 5 ) o ( 移+ 幻是对应于特征值( 入，p ) 的特征向量，那么有 识f 了f 瓦研= o ( 1 1 否1 1 2 + 1 1 手1 1 2 ) 证明：有精化残量的定义， f 1 = ( a 1 一矛b l 一于q ) 面 = ( a l a b l 一p q ) 面+ ( 入一孑) b 1 面+ ( p 一 = ) q 五 = 一( a 1 一a b l p g ) 亏+ ( 入一子) b l u + ( p 一亍) g 面， 对上面的方程两边同乘以矿，再利用性质1 ，即产l 上矗得到 ( 入一子) 矿b 1 豇+ ( p 一亍) 面r c l 五= 一t ( a 1 一a b l p g l ) 5 茎里主堑垡：塑坠坐堕垡竺查盗 1 3 同样的，有式子 ( a 一厅) 矿岛矛+ 一亍) 矿岛面= 一尹( a 2 一入岛一，l 岛) f 即 对两边取范数，便得到 抓r 万两百i 万= o ( 1 l g l l 2 + 2 ) 口 这个定理同样说明了( 入一孑) b l 缸+ ( 肛一亍) c l 五是二阶项，( 入一孑) b 1 季+ ( p 一亍) q 是三阶项；并且因为豆，矛比u ，口更精确，所以可以希望( 子，亍) 比( 盯，7 - ) 更接近于特 若忽略( 4 1 ) 式中的二阶项和更高阶项，得到个如下的校正方程 卜碱? 一1 ， 使用推导算法1 校正方程的相同方法，便可得到扩展基皈的校正方程 ( ，一f i , f i r ) ( a 1 一b b l 一亍a ) ( ，一面五丁) ；= 一f 1 同理，由( 4 2 ) 可得到用于扩展基k 的校正方程 ( ，一西移t ) ( a 2 一子b 2 亍岛) ( ，一移移t ) = 一吒 、ll一、 _ s _ l 2 g 岛 n “ 一 一 陵 晚 入 入 一 一 a a 矿 p 一 一 ，l、 i i 、llij， _ 矿 _ r 一 一 入 p 、lii， _ 牡 - ” d 仍 t r 弘 驴 _ 钍 秒 尻 岛 r r _ 牡 一 ，l一， 、ll-、 _ s t 、，、j l 2 q 伤 p p 一 一 目 岛 入 ， 一 一 l 2 a a t 下 矿 矿 一 一 ， 一、 ， 一 、liij， 一u 口 1 2 q 倪 沁 淞 _ 钍 _ 钞 历 晚 驴 淞 l i 、iil， _ 盯 _ r 一 一 入 p 第四章精化j a c o b i - d a v i d s o n 方法 1 4 有了这两个扩展方程，就可以得到求解右定的两参数的特征值问题精化的j a c o b i - d a v i d s o n 的方法因为计算精化硒t z 向量的缸，西时，要计算矩阵( a l a b , 一 t e l ) 仇，( a 2 一a b 2 一r c 2 ) k 的奇异值分解，这是n lx 七和n 2 k 的矩阵，而他 们的奇异值撇算量i 匝常是嵫大的，应獭由于为( a l o 了1 1 a ) 魄 最小奇异值所对应的右奇异向量，所以它也等于五= f 似- 一a b l 一7 g ) 巩】丁( a l a b l 一丁g ) 玩的最小持征值所对应的特征向量，磊是个七七的矩阵同样， i 为z 2 亍【( a 2 一a b 2 一丁q ) 皈】t ( a 2 一a b 2 一r c 2 ) y 七的最小特征值所对应的特征 向量在算法中，我另外定义了l = 昭肌l ，2 = 昭m 2 ，3 = 瞻1 h s ，4 = 嵋鹏2 ，5 = 瞩m 3 ，6 = 峭肌3 ；尬= 瞩l ，= 嵋2 ，地= 瞩3 ，地= 瞩，地= 瞩3 ，地= 瞩3 这样互，历可以表示为 z l = n l a n 2 一下n 3 一o n 乏七0 2 n + a r n 5 一t 峨+ a r n t 5 + t 2 n 6 1 = m i o m 2 一t m 3 一。哦七0 2 m + o t m 5 一r h 砖j ra r m t s 七t 2 m 6 1 并耳每步的m ，必，i = 1 6 可以通过扩展得到下面给出具体的算法 算法2 求解右定两参数特征值问题的精化j a c o b i - d a v i d s o n 类型的算法 1 开始：选择单位初始向量面，o ，那么仉= ，= 吲：w n = a 仉，1 1 = t m l ，1 = 瞻嘶1 类似的得到2 飓3 ，2 m 6 的初始值且5 = p l ( 磊，移) ，于：= 出( 豇，矛) ，并计算残量f 1 ，恐 2 循环jf o rk = 2 忌赫 ( q ) 解方程 得到j ，t ( 一面面丁) ( 月1 5 b l g - c 1 ) ( ，一矗面r ) = 一再， ( ，一舀矛r ) ( a 2 一a b 2 一亍q ) ( ，一舀面r ) f = 一危， 第四章精化j a c o b i - d a v i d s o n 方法 1 5 例，f 分别与巩，k 做正交化得t i 七+ l 讯+ 1 巩+ l = 【仇，牡七+ l 】，k + i = 陬，仇+ l 】 似更新其他参量 1 0 1 1 = a 1 锨+ l l = 【1 ，瞩t l ，1 1 】，啊1 = 【m l ，t l j l l 】，l = 【m ；崛肌l 】， i - i l l = f i - i l l ，昭伽1 l ；乱玉1 i h l 】类似的，可更新其它的i h 2 计算小型问题 胁1 c = a i l l 2 c + 7 玩3 c 玩l d = a h 2 2 d + 7 玩3 d ， 中我们想要的r i t z 值( 盯，丁) ( e ) 计算 磊= 1 一a n 2 一r 9 3 一口多+ a 2 n 4 + a t n s 一丁多+ a t n t 5 + 7 1 2 6 ， z 2 = a 矗一盯舰一下 毛一盯j 7 l 巧+ 仃2 舰+ 盯7 - 坛一7 五蜚+ 盯7 - a 譬+ 7 - 2 五磊， 最小特征值所对应的特征向量互z 御计算面= 巩+ l 舌矛= k + l 五精化r i t z 值 盯2p 1 【u ，口) 2 一，爿 一、 亍= 如( 面，西) = 和精化残量 ( g ) 计算 ( 矿阢。习( 护2 。面一( 矿风。) ( 护仍。面 ( 矿日1 2 e ) ( 矿胁a d ) ( 矿h 1 2 己) ( 护凰。面 一( c - t h l 3 6 ) ( a t 巩2 面 一( c - t h l l o ) ( 汐2 2 面 = 7 一( f 凰3 弓) ( 矿埸2 d )( 矿皿2 弓) ( 扩巩3 d ) 于1 = ( a l