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山东大学硕士学位论文 对流一扩散方程的四阶精度交替分组显式迭代方法 姜翠清 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 为研究对流扩散方程的适合于并行机上运行的高效率的计算方法，本文 构造了一维对流扩散方程的指数形式的两层三点四阶精度紧致差分格式， 然后以此差分格式为基础，设计出适合于并行计算的完全显式的迭代算法 证明了此交替分组迭代算法的收敛性给出了使达到收敛时的迭代次数最少 的最佳加速参数进一步构造了二维扩散方程的四阶精度块交替分组迭代方 法并证明了算法的收敛性对于一维对流扩散问题，给出了数值算例，数值 结果表明该并行迭代方法具有良好的实用性 本文的结构如下， 第一章为引言，主要介绍了偏微分方程差分方法及其并行算法的研究现 状及前人的研究成果，简单介绍了本文的主要工作 第二章分五节第一节中，我们利用四阶紧致差分逼近公式 ( 骞) 。= ( + 笔如2 ) 一珊删， 以及指数变换t = 口e 艟构造了扩散- 反应方程的四阶精度差分格式；第- - - 节 基于扩散反应方程的差分格式和另一个指数变换 仳= 唧洚 构造出了一维对流一扩散方程的两层三点四阶精度差分格式该差分格式的 截断误差为o ( 丁2 + 舻) ；在第三节中，我们基于第二节中的四阶精度隐式差分 方程组 a + l = b u l + r h ， 山东大学硕士学位论文 将系数矩阵a 分成两个矩阵a 1 和a 2 的和( 其中，a l 和a 2 都为( 2 2 ) 块 对角矩阵) ，则可以得到适于并行迭代的算法 ( a 1 + p j ) u 黠1 2 ) = b + r h 一( a 2 一，) 钆；罕1 ， ( a 2 + p ，) u ；特1 = b u j + r h 一( a 1 一p ，) “；翁1 甜 第四节证明了此交替分组算法的收敛性；第五节给出了最优迭代参数p = 如， 其中，a 和b 满足：0 a p jz b ，这里，p ，分别是矩阵a 1 和a 2 的特 征值 第三章为数值算例对三个具体阅题，我们给出了不同时刻数值解与精 确解的比较、绝对误差及相对误差、本文构造的交替分组迭代与超松弛迭代 ( s o r ) 法迭代次数的比较以及本文迭代算法取不同的迭代参数p 时迭代次数 的比较数值算例表明，本文算法有较高的精度，比超松弛迭代( s o r ) 法有 更好的迭代速度，且p = 、0 6 是最优的 在第四章中，利用二阶导数的四阶紧致差分逼近公式进一步讨论了二维 扩散方程的四阶精度块交替分组迭代算法，并证嘤了算法的收敛性 在第五章中，进行了一下总结，并对以后的研究做了展望 性 关键词：对流一扩散方程；四阶精度；交替分组迭代；并行计算；收敛 山东大学硕士学位论文 af o u r t ho r d e ra c c u r a t e a l t e r n a t i n gg r o u pe x p l i c i t i t e r a t i v em e t h o df o r d i f f u s i o n c o n v e c t i o n e q u a t i o n s c u i q i n gj i a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) i nt h i sp a p e r ，af o u r t ho r d e rf i n i t ee x p o n e n t i a ld i f f e r e n c em e t h o do ft w ol a y e r s a n dt h r e ep o i n t si sp r e s e n t e df o rs o l v i n gt h eo n ed i m e n s i o n a lc o n v e c t i o n - d i f f u s i o n f j ( 1 1 l a t i o 艄i no r d e rt or e d u c ec o m p u t a t i o n a le f f o r t s ，蛆e f f i c i e n tp a r a l l e li t e r a t i v ee x - p l i c i tm c t h o db a s e do nt h i sd i f f e r e n c es c h e m ci se s t a b l i s h e d t h ec o n v e r g e n c et h e o r y o ft h ei t e r a t i o na l g o r i t h mi sr e p o r t e db r i e f l y t h eo p t i m u ma c e e l e r a t i o np a r a m e t e r t h a ti su s e dt oh a v ea no p t i m u mn u m b e ro fi t e r a t i o n st oa c h e i e v ec o n v e r g e n c ei s g i v e n f u r t h e rt h ef o u r t h - o r d e ra c c u r a t eb l o c ka l t e r n a t i n gg r o u pi t e r a t i v em e t h o d f o rt w o - d i m e n s i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n si sc o n s t r u c t e da n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h e m e t h o di sp r o v e d t h r e ee x a m p l e sf o r1 dp r o b l e m si sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t ep r a c - t i c a l i t ya n du s e f u l n e s so ft h i sp a r a l l e li t e r a t i o nm e t h o d t h ep a p e ri sc o m p o s e do f5c h a p t e r sa ss h o w nb e l o w ： i nc h a p t e ri ，w em a i n l yi n t r o d u c et h ep r e s e n ts i t u a t i o na n dp r e v i o u sr e s e a r c h r e s u l t sa b o u tt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n dt h ep a r a l l e la l g o r i t h m sf o rt h ep a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c h a p t e ri ii sd i v i d e di n t o5s e c t i o n s i ns e c t i o ni ，w ec o n s t r u c tt h ef o u r t ho r d e r f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o rt h ed i f f u s i o n - r e a c t i o ne q u a t i o n su s i n gt h ef o u r t h - o r d e r i i i 山东大学硕士学位论文 c o m p a c td i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o nf o r m u l a ，a 2 、 l 孬九2( + 努) 以2 v i + 0 一， a n dt h ee x p o n e n tt r a n s f o r m a t i o n = v e 配i ns e c t i o nt i w ec o n s t r u c tt h ef o u r t h o r d e rf i n i t ed i f f e r e n c em c t t l o do ft w ol a y e r sa n dt h r ( x , p o i n t sf o rt h ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sb a s e do nt h ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m eo ft h ed i f f u s i o n - r e a c t i o n e q u a t i o n sa n da n o t h e re x p o n e n tt r a n s f o r m a t i o n u = u e x p fk1 t 磊z ， t h et r u n c a t i o ne r r o ri s0 ( 7 - 2 + 危4 ) i ns e c t i o ni i i ，b a s e do i lo u rf o u r t h o r d e ri m p l i c i t d i f f e r e n c ee q u a t i o n s a 吩+ 1 = b 呦+ r h ， w es p l i tt h el e f th a n ds i d ec o e f f i c i e n tm a t r i xai n t oa ia n da 2s ot h a ta ta n da 2a r e b l o c kd i a g o n a lm a t r e c e sa n de a c hb l o c ki sa ( 2 2 ) m a t r i x t h e nt r a n s f u r i n ge a c h o fa 1a n da 2i nt u r nt ot h er i g h th a n ds i d eo ft h ee q u a t i o nr e s u l t si nas i n g l eb l o c k d i a g o n a lm a t r i xo nt h el e f ts i d ew h i c hi se a s i l ys o l v a b l e t h ep a r a l l e la l g o r i t h mi s ( a 1 + 棚鹳“2 = b u 3 + r h 一( a 2 一棚群l ， ( a 2 + ) 蠕”= b u j + r h 一( a 1 一棚弓翳v 2 1 i ns e c t i o ni v ，t h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l t e r n a t i n gg r o u pi t e r a t i v em e t h o di sp r o v e d i ns e c t i o nv ，t h eo p t i m a la c c e l e r a t i o np a r a m e t e ri sg i v e nt ob ep = 、n 6 ，w h e r ea a n dba r es u c ht h a t ，0 as ，上，b ，a n d ，上a n d va r ee i g e n v a l u e so ft h em a t r i c e s a 1a n da 2r e s p e c t i v e l y c h a p t e ri i ig i v e st h en u m e r i c a le x m n p l e s f o rt h r e es p e c i f i ce q u a t i o n s ，w eg i v e t h ec o m p a r i s o no fn u m e r i c a ls o l u t i o n sa n de x a c ts o l u t i o n sa td i f f e r e n tt i m e s ! t h e a b s o l u t ee r r o ra n dr e l a t i v ee r r o r ，t h ec o m p a r i s o no fi t e r a t i o nn u m b e r sw i t ho v e r - r e l a x a t i o ni t e r a t i o nm e t h o d ( s o r ) a n dt h ec o m p a r i s o no fi t e r a t i o nn u m b e r su s i n g d i f f e r e n ta c c e l e r a t i o np a r a m e t e r sp n u m e r i c a lr u s u l t ss h o wt h a tt h ea l g o r i t h m h a sh i g h e ra c c u r a c y , i tc a nc o n v e r g e n c ef a s t e rt h a nt h eo v e r r e l a x a t i o ni t e r a t i o n m e t h o d ( so r ) a n dp = 、0 6i so p t i m a l i v 山东大学硕士学位论文 i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ef u r t h e rd i s c u s st h et h ef o u r t h - o r d e ra c c u r a t eb l o c ka l - t e r n a t i n gg r o u pi t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rt h et w od i m e n s i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n su s i n g t h ef o u r t h - o r d e rc o m p a c td i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o nf o r m u l ao ft h es e c o n dd e r i v a t i v e t h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h mi sa l s op r o v e d i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w em a k eac o n c l u s i o na n dd i s c u s st h ef u t u r ep r o s p e c t so f r e s e a r c ht od o k e y w o r d s ：c o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n s ；f o u r t h - o r d e ra c c u r a c y ；a l t e r n a t - i n gg r o u pi t e r a t i o n ；p a r a l l e lc o m p u t i n g ；c o n v e r g e n c e v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：砉翠消日期：鲨! 全：乡：净 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：耋翌盔导师签名：丝日 期：邋兰：丝 山东大学硕士学位论文 第一章引言 1 - 1 背景和研究现状 科学计算的兴起是2 0 世纪最重要的科学进步之一伴随着高性能计算机 和现代科学计算方法的发展，在各种科学和工程领域中逐步形成了各种计算 性学科分支，如计算物理、计算力学、计算化学、计算地质学等等计算在生 命科学、医学、经济学、系统科学和社会科学中所起的作用也日益增大在气 象、石油勘探、核能技术、航天航空、交通运输、机械制造、水利建筑等许多重 要的工程领域中，计算己经成为不可缺少的工具著名计算物理学家诺贝尔奖 获得者w i l s o n 教授在8 0 年代就指出当今，科学活动可分为三种t 理论、实 验和计算科学计算已经和传统的b 4 q ：方法一一理论和实验相并列，成为“第 三种科学方法”，受到当今世界上发达国家的普遍重视和关注。它关系到国家 在现代科学和高技术研究和开发中竞争能力和领先地位的问题科学计算的 主要任务是构造求解科学和工程问题的计算方法研究算法的数学机理，在计 算机上设计和进行计算实验，分析这些数值实验的误差并与相应的理论和实 验对比印证由于科学计算的重要性，世界各国都十分重视这一新领域 对流一扩散方程是一类基本的运动方程，实际应用广泛，在描述海洋、湖 泊、江河、大气及地下水中污染物质的分布，流体流动和流体传热等过程中， 我们都经常遇到，在石油气勘探、环境科学、天气预报、计算机工业等诸多方 面也都具有十分重要的意义由于物理问题本身的复杂性，其精确解往往不容 易求得，因此研究其数值求解方法无疑具有非常重要的理论意义和工程应用 价值 目前，对流扩散方程定解问题的数值解主要有有限元方法和有限差分 法两大类有限元方法的优点是求解的精度高，处理区域的边界比较灵活，但 其不足之处在于，往往需要求解大型带状稀疏矩阵，所需计算量和存储量也很 大，实现隐格式比较困难，在编制计算机程序时工作量比较大，这在一定程度 上阻碍了有限元方法的进一步应用和发展有限差分法作为求对流一扩散方 程数值解的另一种重要方法，经过八十多年的发展，已经取得了很大的成功， 尤其是最近二十多年来发展迅速，研究成果颇多， v o nn e u m a n n ，c o u r a n t ， f r i e d r i c h s ，l a x - w e n d r o f 等人为此做出了不懈的努力。有限差分法虽然比有限 元方法误差大，但我们可以通过不断改进差分格式来降低误差，使精度得到提 l 山东大学硕士学位论文 高文献 1 - f 8 】研究并给出了偏微分方程的各类高精度差分方法 现代科学技术对大规模科学与工程计算的需求日益突出，在科学与工程 计算领域内提出了许多大规模和超大规模的科学计算问题然而，这些问题的 解决需要在高性能并行计算机上进行并行计算机系统的研制与应用推动了 微分方程的数值解与并行算法的研究和发展，进而推动和发展了大规模科学 计算同时随着高性能并行计算机系统的问世与发展，研究适合于并行计算机 系统上运行的高效率的计算方法已经为当务之急 众所周知，古典显式差分格式具有理想的并行性，非常适合于并行计算， 但它多为条件稳定而一般隐式格式是绝对稳定的，但须求解线性方程组 为建立具有良好稳定性、并行性和计算精度的新的差分方法，在1 9 8 3 年， d j e v e n s 和a r b a b d u l l a h 9 1 发表了他们的重要工作，首次建立了求解抛 物型方程的交替分组显式( a g e ：a l t e r n a t i n gg r o u pe x p l i c i t ) 方法，此方法既 可显式求解又具绝对稳定性质从此这个领域的可查文献不断增加，许多有趣 的重要工作不断发表文献f 1 0 】中，x f f e n g 和z f t i a n 给出了对流扩 散方程的指数型交替分组显式方法； d j e v a n s ，n i k a d h u m 在【1 1 中给出 了二维问题的样条交替分组显式方法；等等 交替分组显式( a g e ) 计算的思想可以用来设计迭代求解隐式差分方程 组，这就是a g e 迭代法文【1 2 】中e v a n s 提出了求解大型线性方程组的交 替分组迭代算法；在文献| 1 3 1 中m s s a h i m i 等人研究了二阶抛物型方程的一 种交替分组迭代算法； 1 4 f 1 7 】给出了两点边值问题的几类a g e 迭代法； 文【1 8 】中d j e v a n s 和n i k a d h u m 使用三次样条方法得到了一维扩散方程 的样条交替分组迭代方法；文 1 9 】中r k m o h a n t y 给出了二维椭圆型方程的 三步交替分组迭代方法上述文献中的算法由于应用了交替分组迭代方法， 因而具有很好的并行性但是，对于对流一扩散方程的高精度交替分组迭代算 法目前研究并不太多鉴于以上的启发，我们将a g e 迭代法应用于对流一扩 散方程的高精度隐式差分方程组。以期得到对流一扩散方程的新的高精度并 行算法 1 2 本文的主要工作 本文借鉴【2 0 中二阶导数的四阶紧致差分逼近思想，构造了含源汇项对 流一扩散方程的四阶精度两层三点隐式差分格式在此基础上，借鉴交替分组 2 山东大学硕士学位论文 迭代思想，将差分方程组划分为若干个子方程组来分别同时进行显式迭代求 解，得到了四阶精度交替分组迭代格式，并证明了算法的收敛性，给出了使算 法达到收敛时迭代次数最少的加速参数p 随后针对具体例子给出了数值实验 结果这种新的并行迭代方法获得了并行性、稳定性及精度兼顾的优点，数值 算例显示它们具有较高的精确度然后我们对此方法进行了推广，进一步构造 了二维扩散问题的四阶交替分组迭代方法，并证明了迭代算法的收敛性 3 山东大学硕士学位论文 第二章一维含源汇项对流扩散方程的四阶精度 交替分组迭代方法 在描述海洋、湖泊、江河、大气及地下水中污染物质的分布、流体流动和 流体传热等过程时，我们经常遇到求解对流一扩散方程的问题对这些问题进 行数值模拟和预测，最终都归结为对该方程的数值求解，这方面的工作已有不 少本章我们旨在研究它的新的高阶精度交替分组迭代算法 考虑一维含源汇项对流一扩散方程的一般形式 百o u + 是瓦o u ：笔+ ， z o ，(2010f 0t ) 瓦+ 是瓦2 丽+ ， z o ，( 2 1 ) 初始条件为 仳( z ，0 ) = d ( z ) ，0 0 为扩散系数，k 0 为对流系数，( z ，t ) 为非齐次项，物理上也称为源汇项，g o ( t ) ，9 1 ( ) ，d ( x ) 均为已知函数 2 1 含源汇项扩散一反应方程的四阶精度差分格式 为建立对流一扩散方程( 2 0 1 ) 的四阶精度差分格式，我们首先介绍扩散 反应方程的四阶精度差分格式扩散一反应方程是一类描述物理量的扩散和 衰减规律的热传导型方程自然环境、工程设备乃至生物机体中的许多物理现 象，诸如地下水流、充分发展的通道流动等均归结为扩散一反应方程，因此研 究扩散一反应方程的数值求解方法具有非常重要的应用和理论价值 含源汇项扩散一反应方程的一般形式为 害地+ 筹“ ( 2 1 1 ) 其中，b 可以看出经过指数变换后得到的方程( 2 2 2 ) 与扩散一反应方程( 2 1 1 ) 具 有完全相同的形式，因此具有完全相同的差分方程( 2 1 7 ) 将( 2 1 7 ) 中的仳 6 山东大学硕士学位论文 用v 置换，并利用( 2 2 1 ) 的逆变换，就可以推导出方程( 2 0 1 ) 的指数型四阶 精度隐式差分格式 吼一l u i 一1 j + 1 + 啦t i j + l + 吼+ l u i + l d + l = b i l u i l j + 玩乱坩+ 玩+ 1 毗+ 1 j + c ，( 2 2 3 ) 这里 啦一l 口 啦+ l 玩一l 机 魄+ l c ( 1 - 6 e r 蛔 譬+ 卦 2 ( 5 + 6 e r ，) 唧，l 丝4 ：l j ， ( 1 - 6 e r ) e x pf 譬一卦 ( 1 + 6 e r 蛔 豁 ( 1 + 6 e r ) e x p _ 卦 三lk 2 t + 警卜川+ 加e x p 4 一ej “ + e x p 警4 一k h 加m ) + ( 唧抽j 删f t , j - i - e x p 潍k j ) 由格式的推导过程可知该两层三点差分格式的截断误差为o ( t 2 + ) 在格式( 2 2 3 ) 中，令空间下标i = 1 ，2 ，便可得到差分方程组的矩 阵形式 a + l = b u j + r h ，( 2 2 4 ) 其中 a = ab c口 ab ca n x n 7 山东大学硕士学位论文 这里 这里 n = 2 ( 5 + 6 e r ) e x p l 【k 4 2 tj ， 6 = ( 1 - 6 e r ，唧 譬k h ， c = ( i - 6 0 r 蛔 譬+ k h ； b= ab 石a b 百 五 6 cn 瓦= 2 ( 5 6 e r ) ， b = ( 1 + 6 e r ) e x p 百= ( 1 + 6 e r ) e x p 吻表示j 丁时刻的解向量，为 嘶。 u l d u 2 ，j ： u n , j r h 表示与初边值条件有关的维向量，为 8 r h = r h l r h 2 r h n e l c g o ( ( j + 1 ) 丁) + 吞g o ( j t ) c 2 c 一b g l ( ( j + 1 ) 7 + b 9 1 ( j t ) ) 丝豁玎 壳。觥一拈 ，l，l 山东大学硕士学位论文 2 3 交替分组迭代算法的构造 基于上一节中我们构造的对流扩散方程的四阶精度隐式差分方程组，我 们来构造可以用于并行计算的交替分组迭代算法 我们将矩阵方程组( 2 2 。4 ) 的左端系数矩阵分解成两个矩阵a 1 和以2 的 和，其中，a ，和a z 均为块对角矩阵，并且每个小块都为( 2 2 ) 的矩阵然 后将a t 和a 2 依次移到方程的右端便可以得到左端仅为块对角矩阵的可解方 程组 不失一般性，我们设矩阵a 的阶数为奇数，则有 其中 这里 a 12 a 2 = 0 , 1 6 c 口1 a = a 1 + a 2 ， o , i b c g 1 a 2 b c 8 2 c t l b c g l a 2 6 c n 2 0 , i + a 2 。o 0 2 b c c t 2 ( 2 3 1 ) 9 山东大学硕士学位论文 。t = n 。= ( 5 + 6 e r ) e x p 堕4 el j ， 6 = ( 1 - 6 e r 蛔 譬一尝 ， c = ( 1 - 6 e r ) e 冲 0 ，因此 i i ( a ：一p i ) ( a ；+ p z ) _ 11 1 2 1 ，( 2 4 1 5 ) 同理， i i ( a ；一) ( a ；+ p 1 ) 一1 1 1 2s1 ，( 2 4 1 6 ) 因此。 s ( 乃) = s ( 巧) = s ( 巧+ ) 1 ， ( 2 4 1 7 ) 收敛性得证 2 5 迭代参数的选取 我们要进一步研究如何选取迭代参数p 才能使算法达到收敛时的迭代次 数最佳 在只使用一个加速参数时，由y o u n g 【2 1 的研究可知。 p = 五 是最佳参数其中。a 和b 满足， 0 a 弘，b ， ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) 这里，肛，分别是矩阵a l 和a 2 的特征值 由于a 1 和a 2 分别与a i 和生相似，所以a 1 与a i ，a 2 与书有相同 的特征值，为： 6e x p 譬) 和( 4 + 1 2 e r ) e ) ( p ( 譬) ( 这两个特征值的个数为 ( 2 2 ) 矩阵块的个数) 和单独的一个特征值( 5 + 6 e r ) e x p 譬) 1 6 山东大学硕士学位论文 事实上，迭代矩阵乃的谱半径为： s ( 耳) s ( ( a 1 = ( 鼢i 群 = ( 西l l l a 拈x 1 - p p恻黜 1 ) s ( ( a 2 一p 1 ) ( a 2 一p 1 ) 一1 ) ( 2 5 3 ) 由于( 7 一p ) n + p ) 为关于7 的增函数，我们有 哟m a 纠x7 7 圳- p = 一( 1 而a - p l ，l 高i ) ， 驰， 当p = 俪时，有 如果0 1 1 z z o o 0 t 貉归卜 i | 一 ： z 0 盟挑“ ，lllljll一， 山东大学硕士学位论文 表1 ：例1 中。当h = o 1 ，r = o 0 1 ，t = o 2 5 时的误差 x 精确解绝对误差( 1 o e - 4 )相对误差 x l0 0 0 6 5 5 1 5 40 0 9 7 2 8 0 4 20 0 0 1 4 8 4 8 5 x 20 0 1 2 4 6 1 7 80 1 8 5 0 3 8 3 3o 0 01 4 8 4 8 5 x 30 0 1 7 1 5 2 1 70 2 5 4 6 8 3 4 6 0 0 0 1 4 8 4 8 5 x 40 0 2 0 1 6 3 5 80 2 9 9 3 9 8 3 60 0 01 4 8 4 8 5 x 50 0 2 1 2 0 1 2 40 3 1 4 8 0 6 0 80 0 01 4 8 4 8 5 x 60 0 2 0 1 6 3 5 80 2 9 9 3 9 8 3 80 0 0 1 4 8 4 8 5 x 70 0 1 7 1 5 2 1 70 2 5 4 6 8 3 4 50 0 0 1 4 8 4 8 5 x 80 0 1 2 4 6 17 80 1 8 5 0 3 8 3 70 0 0 1 4 8 4 8 5 x 90 0 0 6 5 5 1 5 4 0 0 9 7 2 8 0 4 10 0 0 1 4 8 4 8 5 表2 ：例1 中：当h = o 1 ，7 r = 0 1 ，t = 0 5 时的误差 x 精确解 绝对误差( 1 0 e - 3 ) 相对误差 x l0 0 0 1 1 1 1 2 1 0 0 3 3 6 1 3 5 70 0 3 0 2 4 9 6 0 x 20 0 0 2 11 3 6 40 0 6 3 9 3 6 9 20 。0 3 0 2 4 9 6 5 x 30 0 0 2 9 0 9 1 80 0 8 8 0 0 1 5 50 0 3 0 2 4 9 6 3 x 40 0 0 3 4 1 9 9 40 1 0 3 4 5 2 0 70 0 3 0 2 4 9 6 4 x 50 0 0 3 5 9 5 9 40 1 0 8 7 7 5 9 2 0 0 3 0 2 4 9 6 4 x 60 0 0 3 4 1 9 9 40 1 0 3 4 5 2 0 4 0 0 3 0 2 4 9 6 4 x 70 0 0 2 9 0 9 1 80 0 8 8 0 0 1 6 00 0 3 0 2 4 9 6 4 x 80 0 0 2 1 1 3 6 40 0 6 3 9 3 6 8 6 0 0 3 0 2 4 9 6 2 x 90 0 0 1 1 1 1 2 10 0 3 3 6 1 3 6 30 0 3 0 2 4 9 6 5 山东大学硕士学位论文 表3 ：例1 ：交替分组迭代( a g e ) 法与超松弛( s o r ) 法迭代次数比较 ns o ra g er m se r r o r s wl t e r p i t e r 91 0 5 1 76 69 7 9 8 03 11 5 3 4 5 c - 0 0 4 1 11 0 8 6 38 71 1 2 9 9 64 01 6 7 7 1 c - 0 0 4 1 31 1 2 3 7l l l1 2 8 4 9 94 51 8 0 9 7 0 - 0 0 4 1 5 1 1 6 1 3 1 3 7 1 4 4 3 3 35 1 1 9 3 3 7 e 一0 0 4 1 7 1 1 9 8 1 1 6 61 6 0 4 0 0 5 9 2 。0 5 0 4 e 0 0 4 1 91 2 3 3 41 9 91 7 6 6 3 56 52 1 6 1 0 e - 0 0 4 表4 ：例1 ：取不同的加速参数p 时迭代次数比较 n p t迭代次数p 2迭代次数p 最佳迭代次数伪迭代次数 97 7 9 8 03 58 7 9 8 03 19 7 9 8 03 11 0 7 9 8 03 5 1 18 2 9 9 64 59 2 9 9 64 01 1 2 9 9 64 01 3 2 9 9 64 5 1 39 8 4 9 9 5 0 1 0 8 4 9 9 4 5 1 2 8 4 9 9 4 5 1 4 8 4 9 9 5 0 1 51 1 4 3 3 35 51 2 4 3 3 35 01 4 。4 3 3 35 11 6 8 4 9 95 5 1 71 3 0 4 0 06 01 5 0 4 0 05 81 6 0 4 0 05 91 8 5 4 0 05 8 山东大学硕士学位论文 图l ：例1 不同时刻的数值解与精确解比较 f 鬻= 铬，0 z 0 u ( z ，0 ) = s i n ( r z ) ，0 z 0 u ( z ，亡) = e - ，r 2 ts i i l ( 7 r z ) ( 3 0 4 ) 我们应用本文中构造的四阶并行迭代算法来进行数值实验，取n = 1 1 ，r = 0 0 1 首先分别给出了了t = 0 2 ，t = 0 3 ，t = 0 4 时数值解与精确解的比较( 见 图2 ) ；然后又给出了t = 0 5 时数值解的绝对误差和相对误差( 见表5 ) 仍取n = l l ，取丁= 0 1 ，则在大网格r = 矗= 1 4 4 时，给出t = 0 5 时 数值解的绝对误差和相对误差( 见表6 ) 我们可以看出在大网格下算法仍然是 稳定的 当丁= o 0 1 时，求t = 0 0 5 时例2 的解我们将我们构造的并行迭代算 法与逐次超松弛迭代法( s o r ) 的迭代次数进行比较( 见表7 ) ，可见交替分组 迭代算法有比超松弛迭代算法更好的收敛速度 2 1 山东大学硕士学位论文 2 2 表5 ：例2 中：当，l = 1 1 2 ：7 - = 0 0 1 ，t = 0 5 时的误差 x 精确解 绝对误差( 1 o e _ 4 ) 相对误差 x l0 0 0 1 8 6 1 4 ( )0 0 7 2 7 2 3 4 70 0 0 3 9 0 6 9 3 x 20 0 0 3 5 9 5 9 40 1 4 0 4 9 0 9 80 0 0 3 9 0 6 9 3 x 30 0 0 5 0 8 5 4 30 1 9 8 6 8 4 2 00 0 0 3 9 0 6 9 3 x 40 0 0 6 2 2 8 3 50 2 4 3 3 3 7 4 70 0 0 3 9 0 6 9 3 x 50 0 0 6 9 4 6 8 30 2 7 1 4 0 7 6 60 0 0 3 9 0 6 9 3 x 60 0 0 7 1 9 1 8 80 2 8 0 9 8 18 80 0 0 3 9 0 6 9 3 x 70 0 0 6 9 4 6 8 30 2 7 1 4 0 7 6 60 0 0 3 9 0 6 9 3 x 80 0 0 6 2 2 8 3 50 2 4 3 3 3 7 4 40 0 0 3 9 0 6 9 3 x 90 0 0 5 0 8 5 4 30 1 9 8 6 8 4 2 20 0 0 3 9 0 6 9 3 x l o0 0 0 3 5 9 5 9 40 1 4 0 4 9 0 9 40 0 0 3 9 0 6 9 3 x 1 10 0 0 1 8 6 1 4 00 0 7 2 7 2 3 4 80 0 0 3 9 0 6 9 3 表6 ：例2 中：当h = 1 1 2 ，r = 0 1 ，t = 0 5 时的误差 x 精确解 绝对误差( 1 o e - 3 ) 相对误差 x l0 0 0 1 8 6 1 4 00 6 9 9 8 5 0 1 20 3 7 5 9 8 1 2 4 x 20 0 0 3 5 9 5 9 41 3 5 2 0 0 6 6 60 3 7 5 9 8 1 2 5 x 30 0 0 5 0 8 5 4 31 9 1 2 0 2 6 1 30 3 7 5 9 8 1 2 5 x 40 0 0 6 2 2 8 3 52 3 4 1 7 4 4 2 20 3 7 5 9 8 1 2 5 x 5 0 0 0 6 9 4 6 8 3 2 6 1 1 8 7 6 2 80 3 7 5 9 8 1 2 5 x 60 0 0 7 1 9 1 8 82 7 0 4 0 1 3 3 10 3 7 5 9 8 1 2 5 x 70 0 0 6 9 4 6 8 32 6 11 8 7 6 2 90 3 7 5 9 8 12 5 x 80 0 0 6 2 2 8 3 52 3 4 1 7 4 4 2 00 3 7 5 9 8 1 2 5 x 90 0 0 5 0 8 5 4 31 9 1 2 0 2 6 1 50 3 7 5 9 8 1 2 5 x l o0 0 0 3 5 9 5 9 41 3 5 2 0 0 6 6 30 3 7 5 9 8 1 2 5 x 1 10 0 0 1 8 6 1 4 00 6 9 9 8 5 0 1 4 0 3 7 5 9 8 1 2 5 山东大学硕士学位论文 表7 ：例2 ：交替分组迭代算法( a g e ) 与超松弛迭代算法( s o r ) 迭代次数比 较 n s o ra g er m se r r o r s wi t e r p i t e r 91 0 5 1 77 59 7 9 8 0 3 55 2 0 0 2 e - 0 0 4 1 11 0 8 6 39 81 1 2 9 9 64 55 8 5 2 7 争0 0 4 1 3 1 1 2 3 71 2 51 2 8 4 9 95 06 3 9 3 9 e _ 0 0 4 1 51 1 6 1 31 5 51 4