（计算数学专业论文）非线性对流扩散方程的fdsd方法.pdf

摘要 本文对一类发展型非线| 生对流扩散方程，建立e u l e r 型的差分流线 扩散( f d s d ) 格式，并给出了该方法的误差估计。理论分析证明，当时 间步长和空间网格参数相匹配时，该格式的误差按照工。( 工( 臼) ) 模是 拟丰满的，对于时间方向上的精度为一阶。数值算例的结果表明- f d s d 方法在求解此类问题时是一种有效的方法。 关键词非线性，对流扩散，对流占优，流线扩散法 fil，ljt-、 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ef i n i t e d i f f e r e n c es t r e a m l i n e - d i f f u s i o n ( f d s d ) m e t h o d f o rak i n d o f t i m e - d e p e n d e n t n o n l i n e a rc o n v e c t i o n d i f f u s i o np r o b l e m w eg i v et h es c h e m ea n dt h ee r r o re s t i m a t e t h r o u g h t h e t h e o r ya n a l y s i sa n ds o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s ，w em a k eo u tt h e r e s u l tt h a tf d s dm e t h o di sap e r f e c tm e t h o d ，t h a ti s ，i th a sb o t hg o o d s t a b i l i t ya n dh i g h - o r d e ra c c u r a c y k e yw o r d s ：n o n l i n e a r ，c o n v e c t i o n d i f f u s i o n ，c o n v e c t i o n d o m i n a t e ，f d s d 一_ _ _ 一 ：；j f l，ii 河北大学硕士学位论文 序言 流线扩散法( 简称f d s d 方法) 是由h u g h e s 和b r o o k s 在1 9 8 0 年前 后提出的一种数值求解对流占优的扩散问题的新型有限元算法。随 后，j o h n s o n 和n i i v e r t 将s d 方法推广到发展型对流扩散问题。熟知， 对于对流扩散问题，标准有限元虽有较高阶精度但常会产生数值振 荡；古典人工粘性g a l e r k i n 方法虽具较好的稳定性，但仅具有一阶精 度。而s d 方法兼具良好的稳定性和高阶精度，因此近年来得到了越 来越多的重视。 在使用时空有限元的s d 方法时，虽可使时间和空间方向上的精度 很好的协调起来，但增大了数值计算的复杂度，为减少采用时空有限 元所带来的巨大工作量，孙澈教授在九十年代初提出了一种简化措施 一差分流线扩散法( f i n i t e - d i f f e r e n c e s t r e a m l i n ed i f f u s i o nm e t h o d ，简 称f d s d 方法) 。对时间方向采用有限差分法，而对空间方向采用s d 有限元方法，在 5 】中给出了对流项、扩散项系数为非线性的情况，本 文推广了【5 】中的结果 本文的结构如下： l 给出我们所要讨论的问题及相应的假设： 2 给出问题的向后差分离散的f d s d 格式； 3 给出此种格式可解性的证明，同时得到如下的可解性定理： 定理t ( 可解性定理) 在满足假设( h ) 的前提下，以及| f u 4 忆2 k 。 时，有格式( 2 2 ) 对应的问题是可解的。 4 对e u l e r 型的f d s d 方法的误差进行估计，得到如下的定理： 定理。( 误差估计) 设一和 u ” 分别为问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 和( 2 2 ) 的解，若问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 满足条件( h ) ，则当h 适当小时，格式 ( 2 2 1 有误差估计： o m ；n “s n i i 互“1 1 2 + m a 。n 五- i “v 巨“【f2 f + mz 占三。- i l f 卢( ( ，”) vz l t 2 f + 善兰临巨“m rs 肼，( 一2 r + l + a0 2 r + a t2 ) 其中巨一= “一u 一，定界常数m ，与u ，h - 厶t 咀及a i l 均无关。 由此可见，对非线性闯题，e u l e r 型的f d s d 格式按l 。( l 2 ) ， 具有拟丰满阶的估计，它是线性问题结果的推广。 5 给出数值计算的结果。 河北大学硕士学位论文 本文在写作过程中得到导师吴鸿禄教授的精心细致的指导， 使我受益菲浅，在此表示衷心的感谢。同时对韩彦彬教授和王培 光教授的指导，表示感谢。 仅以此篇纪念吴鸿禄教授。 河北大学硕士学位论文 1 问题的提出 考虑模型问题： 出 “) 鲁一v ，f ”弦“) + 卢巾“= 几 “) 柚x 【0 ，r 】( ) k f ) = oo n f x 0 ，t 10 2 ) ”g ，0 ) = u o ( x ) 加n ( 1 - 3 ) 其中对流项系数触 f ，”) = 以k 柚l 岛k 矿。 我们做入下的假定： ( h 1 ) 初值b ) e h ”。( n 哦，且真解“g ，r ) 存在唯一且有下面我 们所要求的光滑性。“e p p 如n 月一n 怫) ，坼e p 舻t 一) n p r + - ) 。其中 r 1 为正整数，e r 忙) ，特别地删l - 廿1 s 墨。 ( i - 1 2 ) 在区域d = o x o , r - 2 x , ，2 局】内。届k f ，p ) 0 = 1 ，2 ) 本身及其所有 二阶偏导数都有界。即： 卅鲥z ，矧s 脚蜘1 1 2 x 阱脚( f = 1 2 ) 且v p e 【_ 2 蜀，2 墨】矧5 b ( f “，2 ) 同时局o ，p ) 对p 满足l i p “i t z 条件。 ( h 3 ) 在区域d 内，0 0 t d 0 w0 。s 一i0 1 ，0 i i v w 虬sp 。l 特别的对d = 2 ，有更精确的估计： 使得v w v 有： ( 1 5 ) ( 1 6 ) 1 1 w | l 。l l o gh f l l w l l 。 ( 1 7 ) 引理3 ( 插值逼近定理) 设f i 日，+ - ( q ) nc ( 一) 畸y 。是有限元插值 算子如果geh ，+ ，( q ) nc ( - ) ，则jw = 兀g e 矿，使得： 圳g 刊。川卜w 饥。恬w i i s 胁川忙| i ，+ 塑韭查兰堡主堂垡鲨壅 一。 f _ 0 1 ( 1 8 ) 其中定界常数m 与插值函数w 均和网格参数h 无关。 注1 ，在上述逆性质的讨论中，将逆性质常数取为一仅是为方便， 至于的估计。可参见文献【l 】和【2 】，后者详细估计了一维和二维情 形下的所有，o 4 ) 次有限元空间并对d = i 时的逆性质常数一给 出了具体的估计。 2e u l e r 型的f d s d 格式 取时间步长为 a f = a + 。 ( 2 i ) 其中卫是任给正数仃( o ，1 ) 任意取定，令n = p f 】，记 西川：( w 一w “a t ，l = 0 , i ，一1 其中w 一：w g ，f ”) ，f “= n r 。 设u 一：u g ，f 一) ey 为第n 时间层的数值解置： 岍月，_ + 协景鬻阮勰嚣队)+ g ( u 一扣w ”1 ，v v ) 一p b p ”户w ”1j 即时”户v j 则求解问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的e u l e r 型f d s d 格式定义为： 对 肝：0 ，l n 一1 ，依次求u “+ 1 矿 ，使得： 口p ，；。) ：( ，0n ) v + 印0 “扣v ) vve 矿一 ( 2 2 ) 其中占 o 是适当选定的常数，其具体取值见下文，对初值u 。，此 处取为 u 。：兀 ”o ( 2 3 ) 记q ：a 。口。，p ：口。h 。，q = k 。口。- 取格式( 2 2 ) 中的人工扩 散参数为： 占：r a i n6 ，h ，4 2 h2 ) ( 2 4 ) 其中y ，：均为充分小的正常数。 3e u i e r 型f d s d 格式的可解性 则 引理4 i i q i i 。2 k ，怕0 。s2 k 。，q ，垂er 一且占满足条件( 2 4 ) 一3 一 翌! ! 查堂堡主兰壁垒奎 一 ( v g 乜扣w ) 印( q 弦w ) s 百1 n 。i i v w i i ! v w p “ 证明；由定义： o o 扣w ) 卵( q 弦w 】= i ，暑扣g 乜扣w ) 印( q 弦w ) r 。 利用散度定理有： 一g 扣w ) 帮妇弦w 1 = s t l p p w l 印w l l l e l , k j 。 咖( q w i d s - m 弦署幔也弦矧 ， 署v 酏，+ 署v 啦蛆 = s l + s2 - ks 最 精简略计算可得 i s i - 。船 p 。卢 弦w i 西i sl 。p a 扣w 卢国p w i 卜 5 。厄k ：i i v w t l ：，。 s 如。4 ：- k ：一 l l v w l l ：。 i = a 一筹+ 岛瓤 妯。i i v w l l 冉。也弦筹岫 弦 ：帆i l v v , 1 1 ，。i t 。 ( 3 1 ) 卢1 2 ( v 叫。, x l j2 埘( v 等 2 例肌v 岳v 等h 亍 注意到脚詈v 面o w = 岛等亲+ 崩岛毫去 s v 11 2 f 。8 引2 w 2 所博( 搿+ 曩笥 ；扑翦+ 辨面8 w ) 2 我们有 w l ，k w a ，。，l 一 河北大学硕士学位论文 刊n 忆。 j f ：户1 2 ( v 荆； v 射 州叫h 卜小新+ ( v 别玉 j ：& - k ：i i v w i i , 斛+ ( 意 + ( 别出 - 2 2 赫k ：i i v w l l 。i 1 ：。2 , t 占a t k ：u h i i v w l l ，1 w l 。，。 = 2 , , i t a a t k ：u h l l v w l l ： l 2 l ( 出扣w ，a ( 詈喁+ 薏， t 酬。卜等+ v 卢z 2 4 2 8 a s2 - & - 8 a i k ，f l y w l l ： 则( 3 1 ) s 0 s i + p ：i + i s ，1 ) i - i ej = 占h 压k 2 + 2 q 皿2 。+ 2 a i q 巨k p ) ti i v 4 ： f e ， = 8 ( a ! 压k 2 j t h - 1 + 2 a t 压k 2 t t h - 1 + 2 a i 压k a l v 叫1 2 s 去印2 引理证毕。 设有限元空间k ：印硎p ，舯，m ) ，则u “ev h 可表示为：矿“ = 掣。将该表达式代入( 2 2 ) 中，得到关于未知量a 一，a + l 一，a 瑞) r 1 1 的线性代数方程组其系数矩阵是m o ) 阶方阵，故阐明f d s d 格式( 2 2 ) 。li，卜 n i i 盟 + 心1， 盟 一一 kw甲 之解的存在唯一性，仅需证明它所对应的齐次零初边值线性方程纽的 系数矩阵是非奇异的，即仅需证明( 2 2 ) 对应的齐次线性方程组只有零 解。 为此，我们首先可以证明如下定理： 定理1 ：在满足假设( h ) 的前提下，以及p “0 。2 k - 时，有： 去妣u “p ，川一”。n u ”m 瞰u ”勋“+ 卢”扣叫2 + b 护旷”i 2 ii 如”。 s 国i ，u ”l ；n ) + m j 1 p ”9 2 + m ：妒u ”1 4 2 + 肼，归”1 2 + m 。9 巾“1 2 + 肼，忤u “1 2 v n = 0 , 1 ，一l 其中。p ，y ；一) = g 0 一e u 一，+ ，0 一扣u 一，c 移“声y ) 。 证明： ( 2 2 ) 左= ( = ( u 一声n + lv + 妒( u 一 v ) + 0 0n 扣un + l , p + 印( u “v ) + 0 pn 扣u ”，vv ) p ( 口0 一扣u ”，) 妒p ”pv ) 取v = u ”1 ，则 ( 2 2 ) 左= ( c d 一勋川，u 川) + ( c d 一：勋”+ 芦d “扣u ”，帮0 ”扣u ”) + 0 0 一扣u ”t ，u ”t ) + ( 口( u 1 扣u ”1 ，v u ”1 ) ( v g 0 “扣u ”t ) 妒( u “pu ”。) = ， 铲渺庙) = ( c “掣 = 击盼p “) 一u ”1 ) 】 = 七阶p “) 一一。”c ，”) 】 + 上2 a t “”u ”) 告队u ” 旷1 ) + 击，u “p “) 注意到 古u ”n 川s 剖厕侧所万川| s 劫瓜砷”l 瓜砷“ 2 击( ( c 6 ”，u ”p “，u “) + g 6 “，u ”p ”l ，u ”1 我们有 z 丢i 畦6 “。c ，“- ，un + 1 ) 一g 6 “，u - ”。c ，”) 】 七) 一c 旷恤“) - 七) 一c u ”加“ u 一) z 七阶，u ”b n + l ，旷1 ) 一g 6 n - l , un - i ”u “) 】 七抛) 一c n - 1 “舻制川l 一七如) 一c ，旷1 1 。川1 2 z 七陆6 n u n n + l ，u一+ t ) 一( ? 6 一一u 一- 一，u 一) 】 一面12 一旷l | i | i u ”卜面1 ，川1 2 ：七阶p ， ) 一g 6 一一，u 一一 村。| | 和“i i i u ”i i - 肘： 1 1 2 - n ，u 一) 】 z 七盼，u “p 1 “) 一1 “”u ”) 】 m 。0 劢”n 吖：i i u “0 2 ，：= ( c p “e u ”，+ 卢0n p u ”- ，印0 一p u 一- ) = 占i j c p “e u ”+ p 0 “p u ”n 国缸，u “；一) 河北大学硕士学位论文 ，i = 1 扫c ，“扣u ”1 ，u ”】ml i v “”1l l t l - ”“l i 蔓m ，i i v u ”+n m ： 18 2 ，。= g ( u “扣u ，v u ) = a 。i i v u 1 1 2 由引理4 ，立即可得 l ，l = | ( v ( 0 ”扣c ，”1) 印( u p u 一 】s 百1 。舭”卜扣1 l v u + 1 1 1 2 ( 2 2 ) 右= ( ，( u 一) v + 帮0 ”p v ) 埘1 i ，0 ”】1 2 + m ：忖”1 1 2 综合上述，我们有： 丽1 盼，u “p ，) 一( c ( i t - 1 , u n - i p n , un ) 】 + s l l c ( u “f _ u “+ l + 卢( u “扣u ”1 1 1 2 + a 。9 vu + 1 1 1 2 国( u ，u ”；”) + m p “1 2 + m ：1 i v u “+ 1 1 1 2 + 埘，0 u ”9 2 + m 。，0 ”】| 2 + ms 1 i 劢”1 1 2 定理证毕。 注意到在定理1 中仍有项国( u ，u ；一) 和1 i 和“0 2 无法估计。为估计 它们，我们需要做如下两个引理： 引理5 i 若我们定义v ，e b ，0 ) ， u ( 薯一0 ， “ ix ，f ) = 扩，x ，0 ) 记为 其中 “( x ，d = u 0 ( x ，f ) ，u ( x ，f ) = u o = n u o ，将 u 一则，对v h = 一i ，0 ，1 ，n 一1 有： i p 怦m0 ，0 ” 一i l = 吆k 2 + 2 q 口。u h 一、l k 。 定界常数m 与u ，n ，h ，f 和n 一无关。 证明： 依次估计丑0 ，c d 一勋一；一) 的各项，我们有：v 一= 0 , l ，n 一1 。( u ，c ( u 一勋”_ ) = e 0 一声v ”t + 卢( u ”扣u t ，c i ，一e u ”+ 妒c ，”p ( c i ，一f u 一) ) + g 0 一扣u t ，v ( c 0 ”e u ”1 ) ) 一g 0 一p u 一) 卵0 一p g 0n e _ u 一，) ) = 。p ，u 一- ；n ) + g o ”e u ”- + 卢0 一扣u 一- ，印0 “p g 0 ”e - u ”1 ) ) + g ( un 扣u 一，甲( ：0 “声”。舅 p g 0 ”p u ”一) 筇( u “扣( ：d “声- u ”) ) e 0 ，u “；n ) = g ( u e o 一- + 卢( u “p u ”，c d “e u ”。) 2 l i c ( u 一声”，1 1 2 + 0 0 “ u ”一，c 0 ”e u ”) z 肛0 ”勋叫1 2 - 压k ：i i v u ( u “如i l 陋p “e o ”1 ，妒p ”扣g p “e o 1 ) s 占胪0 “声”。0 肛( u “扣( c ( u ”声”1 l s 压x ：占p i l c ( u ”：勋2 i p ( u ” u ”1 ，印( u “扣( c 0 “声”1 s 2 k ；占1 i v u 忡( c o “勋l s 2 五；占f - 1 1 1 v u 叫1 1 i o ( u ”勘叫i 肛0 ”扣u ”1 ，v ( c ( u “声”1 ) ) - ( c 0 “声“+ 1 ) 】 s 2 压占足：忙。+ q 脚。) 1 i v u “。v g ( u “勋“1 l g 0 一勋一) 】 s l i ，0 “1 1 ( 1 1 c 0 ”e u “+ 1 i i + j 置：j 一一一1i i 。( u “e u 一+ 1 1 ) s m i i ，o ”排0 “勋0 综合( 1 ) 和( 2 ) ，有： 扎d “勋i i ( ；即扣冲旷 0s 吖l l ，d “】| 注意到i c i k , t 0 ，如令 = 孵足：+ 2 q n 。一 k ，则有： i p 叫卜埘i ，( u “1 1 + i v v l i 。 下面我们证明，当一= ，时此式也成立。 ( + 2 ) 当一2 一j 时，i i 劢。0 = 击咿。一u - 1 l l ，而u 一- 一u 。= 。u 。，故i | 劢。| | = o 。 又注意到m 0 ，o 一1 】l o ，护u 。i i o 故 i | _ u 。i ls 叫l ，0 “眇。0 也显然成立。 综合上述，引理得证。 引理6 l 对v n = 0 , 1 ，n 一1 ，有。 国( u 一) + 鲁【( 卢 ) v 矿1 ，声( v ( c ) ) 旷i ) ) 一 ( 芦( f ”，u ”。) v u ”，( f ”，u ”。) 审c ( t ”，u ”) u “) ) s m l | | u l l 2 十肘2 l | vu 1 i l2 + m 3 u ”l l2 + 。| i vu “i i2 + m 5 | | f ( u ”) | j2 + 肘6 f i f ( u 川) l 2 河北大学硕士学位论文 证明：我1 r 】1 古汁db ( u ，c ( u ”) o 。u ”l ；月) - 5o ( u ，u ”；”) = 6 ( c ( u “) 瓦u ”。，d 卢( u ”) v ( c ( u ”) 瓦u ”1 ) ) + 占( 卢( u “) vu ”，占卢( u ”) v ( c ( u “) 瓦u “1 ) ) + j ( 口( u “) vu ”1 ，v ( c ( u ”) iu ”) ) + 占( v ( 口( u “) 甲u “。) ，占，( u ”) v ( c ( u “) 瓦u “) ) = ，i + 2 + 3 + ，4 i ，l i = d l ( c ( u n ) - f i , u ”“，d 卢( u 一) v ( c ( u n ) 瓦u 一“) ) i = , f i 占2k 2 ( u ”) 瓦u ”1 i i i i v ( c ( u ”) 瓦u ”1 ) ) 1 1 s 压占2k 2 i t i ic ( u ”) 瓦u ”1 l l 2 g 压占2k 2 卢h 一。时| i 瓦u “l i 2 ，2 。= 8 ( p ( u 一) vu “，5p ( u 一) v ( c ( u 一) - f i , u n + 1 ) ) = 鲁( 卢( ) 则，卢( ) 甲( c ( ) 旷1 ) ) 一鲁( 卢( 删“，卢( ) v ( c ( ) ) ) 2 笔 ( 芦( t n , u n ) v u n + l 卢，矿) v ( c ( ) + 1 ) ) 一( 卢( t ”1 ，u ”1 ) vu “，( r ”，u ”。) v ( c ( t ”。，u ”1 ) u “) ) 】 + 鲁( p ( t n - i ，u n - i ) v ”l ，( t - i , u - m ) 乳，- 1 ) 矿) 鲁( 肌“，) ，卢( ，扩) 乳( t ，扩) 扩) + 笔( 卢( ，) v u n + l 芦，vc ) 旷1 ) ) + 鲁( 卢( t n - t ，u n - i ) v 叭l ，( t - i , u n 4 ) c ( t n - i ，u n - 1 ) 则”) 譬( 脚“，旷) v u n + l , ，( t n 扩) m “，矿) 则”) + 笔( 卢( ，v 旷1 ，肌”，”，v 旷f ) ) 。笔眇，) v ”，卢) 审( c ) 扩) ( 卢( r “，u “) vu “，卢( f “，u ”1 ) v ( c ( ，”1 ，u ”) u ”) ) 】 d 1 - p ， 河北大学硕士学位论文 注意到鲁( 肌“ 旷1 ，肌”，) v m “) = 2 暑( 芦f ，v 旷1 ，肌“，审m ”) g i 2 ( 卢( t “，u “) vu ”1 ，卢( t ”，u ”) vc ( ，u “) u ”) - 等( 卢。1 v 叭f l ( 1 n - lu n - i ) v c ( t n - i ，u n - i ) 鲁( 声，州v u n + l , 肌”) vc ，u ”) u n + 1 ) ) = ( 笔( 卢，v u n + l , 巾“) vc ， 一甚( 肌“_ i ) v 叭y ( t - l , u n - | ) vc ( t n - 1 , u n - i ) + 鲁( 肌“) v u n + l 肌“) v 出”) 鲁( 卢) v 1 洲 v m “，w o ) u n + 1 ) 2 口1 1 + q 1 2 口i 】= 瓦8 2 ( 芦( ，u “) vu n + l , 卢( ，u “) vc ( ，u ”) u “) 西8 2 ( 卢( t n - i , u n - 1 ) vu ”，卢( 一) vc ( f # - | ，u n - 1 ) u “) ) = ( 鲁( ，州v 旷1 ，巾“，v m “，w n ) 鲁( 肌“，v 叭卢) v c ) ) + 鲁( 肌“，v n 肌“，vc ， 鲁( 肌”，v 叽巾“，v c ( t # - i , u n ) + 笔( 卢) v 叭肌”，u 月) v c ( t n - i , u n ) l 3 一 塑! ! 查堂婴主堂垡堡塞 鲁( 卢( ，v 叭肌”) v 出”i ，旷 + 芸( 肌“，v 叭，f ，v c ( 广。，旷1 ) - 笔( 肌“，v 叭肌“) v c ( t n - i ，u - i ) + 鲁( 卢) v 叭肌) v c ( f “，旷加”) 一鲁( 卢，旷1 ) v 叽巾“。) v c ( r ，旷i ) u = q 1 1 1 + 口1 1 2 + q 1 1 3 + 。1 1 4 + 口1 1 5 “= 鲁( 卢) v ( 旷1 - ，肌“，u ”) v c ( ， s 鲁帅，v ( 矿。) i i i i , 8 ( v c ( f ”，u “ s 鲁忆i i v ( 旷。- u ”) i i i i p l l 。i i 甲c i i 。i i u “ s2 压置孤鲁 _ l l l u + - 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