（运筹学与控制论专业论文）两类重要非线性模型的动力学行为的研究.pdf

摘要 本文主要研究两类重要非线性模型的动力学行为：l i 4 n a r d 类型方程和时滞神经网 络( d n n s ) 系统在简要地介绍这个领域研究的历史背景和发展现状之后，研究的工作主 要集中在两个部分：第一部分讨论具有强迫项的l i 4 n a r d 类型方程及其相关的二维非自 治系统的定性性质，第二部分研究由连续时滞神经网络模型所组成的高维非自治动力系 统的动力学行为，这个系统包含著名的h o p f i e l d 神经网络及c n n 细胞神经网络主要工 作概括为以下三个方面： 一l i 4 n a r d 类型方程及其相关的二维非自治系统解的整体性态与周期解主要工作 是：第一，应用构造l i a p u n o v 函数以及l a s a l l e 不变性原理，给出了解的有界性与收敛性 的一些新的充分条件和充分必要条件，这些结果包含或扩展了已有文献关于同样问题的 一些重要结果第二，基于m a w h i n 重合度理论中的连续性定理和b r o s u k 定理，在更为一 般的假设条件下得到存在周期解的一系列新的充分条件，这些结果推广与扩展了o m a r i ， v i l l a r i 和z a n o l i n 等人所获结果第三，应用非线性泛函方法及指数二分型理论，获得了具 有强迫项的l i 4 n a r d 类型方程概周期解存在的条件，这些条件是由f i n k 等人对于l i 4 n a r d 方程所获条件的自然推广，并且修正了f i n k 在s i a m j a p p l m a t h ( 1 9 7 4 ，2 6 ( 1 ) 2 6 3 4 ) 一文中的计算错误 二具有时滞的周期神经网络模型( p d n n s ) 的动力学行为在不假定关联函数单调 性，可微性和有界性的条件下，给出了p d n n s 模型周期解存在和全局指数稳定性的充分 条件这里采用的主要方法仍然是m a w h i n 的重合度理论和l i a p u n o v 泛函的应用，并借 助于一些重要的不等式和矩阵代数技术，得到更为一般并且具有很少限制的一些新的充 分条件这些条件可以通过网络参数，联接矩阵和关联函数的l i p s c h i t z 常数所表示非奇 异m 矩阵来刻划一些例子和模拟表明：这些条件不仅是简单和实用的，而且相对于已 有的结果更为广泛和容易验证 三l i 6 n a r d 方程和时滞神经网络模型( d n n s ) 的混沌控制与同步主要工作是t 第 一，考虑具有周期外力激励的混沌l i 4 n a r d 方程的鲁棒同步问题，对于一个更为一般的非 线性控制系统，给出了处理这类问题的一个实用的理论结果，并将它应用到两个具有周 期外力激励的特殊混沌l i 4 n a r d 系统：混沌的v a nd e rp o l 振子及其相应的广义系统通 过非线性反馈控制技术，这些系统的全局混沌同步将达到，数值模拟的结果证明这种控 制方法的有效性第二，应用l y a p u n o v 泛函方法和h e r m i t i a n 矩阵理论，基于严格的数 学分析，对于由多个恒同时滞神经网络模型以线性扩散排列结构的形式所组成的一个高 i i 续网络爨动力系绽，给出了这一网终型系统金局同步的一个简单丽又一般的准则。所获 结果表骥：通过合理的设计粒选择网络系统的配对筑阵窭1 内部逢接簸终，将毙够确保这 一网络型的系统豹全局同步。进一步地，将这一准则应恩到一个兰维的洹沌的c n n 细胞 孝申经网终模型，计算机模拟证实所获理论结果的正确性 关镰词：非线性动力学，非自治动力系统，l i 6 n a r d 类薹 方程，时滞神经网络( d n n s ) 解的整体性态，周期解与概周期解，存在性和稳定性，漫沌控制与同步 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h ed y n a m i c sf o rt w oi m p o r t a h tn o n l i n e a rm o d e l s ： l i 6 n a r d t y p ee q u a t i o n sa n dd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s ( d n n s ) a f t e rab r i e fd e s c r i p t i o no fh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dr e s e a r c hp r o g r e s si nt h i sf i e l d ，t h er e s e a r c hw o r kf o c u sm a i n l yo nt w e p a r t s ：t h ef i r s tp a r td i s c u s s e st h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e so ff o r c e dl i 6 n a r d t y p ee q u a t i o n sa s w e l la ss o m eo ft h er e l a t e ds e c o n d o r d e rn o n a u t o n o m o n ss y s t e m s t h es e c o n dp a r ti n v e r s t i - g a t e st h ed y n a m i c a l b e h a v i o ro fh i g h e r - d i m e n s i o n a ln o n a u t o n o m o u ss y s t e m sc o m p o s i n go ft h e c o n t i n u o u s - t i m ed e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s ，w h i c hi n c l u d e ss o m ew e l l - k n o w nd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k ss u c ha sd e l a y e dh o p f i e dn e u r a ln e t w o r k sa n dd e l a y e dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ( c n n s ) t h ef u n d a m e n t a lc o n t r i b u t i o n so ft h e s ew o r k sa r es u m m a r i z e di nt h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ： ( 1 ) g l o b a la s y m p t o t i cb e h a v i o ro f s o l u t i o n sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n s o rf o r c e dl i d n a r d t y p e e q u a t i o n s a sw e l la ss o m eo f 亡h er e l a t e ds e c o n d o r d e rn o n a u $ o n o m o u ss y s t e m s t h em a i ni s s u e s a r ea d d r e s s e da sf o l l l o w s ：f i r s t l y , u s i n gt h el i a p u n o vf u n c t i o nm e t h o da n d t h el a s a l l ei n v a r i a n c e p r i n c i p l e ，s o m en e w s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa sw e l la st h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h e b o u n d e d n e s sa n dc o n v e r g e n c eo fs o l u t i o n sa r eg i v e n t h e s er e s u l t si n c l u d ea n di m p r o v es o m e i m p o r t a n t r e s u l t sa s s o c i a t e dw i t ht h es a l l ep r o b l e m si nt h ec u r r e n tf i t e r a t u r e s e c o n d l y , b a s e do n t h em a w h i n sc o n t i n u i t yt h e o r e mi nc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n dt h eb r o u s k st h e o r e m ，s o m e n o v e lc r i t e r o no ft h ee x i s t e n c eo np e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e du n d e rt h em o r eg e n e r a l i z e d a s s u m p t i o n st h a nb e f o r e t h e s er e s u l t sa r et h ei m p r o v e m e n ta n dg e n e r a l i z a t i o no ft h em a i n w o r k so fo m a r i ，v i l l a r i ，a n dz a n o l i ne t ，a 1 f i n a l l y , b ya p p l y i n gn o n l i n e a rf u n c t i o n a lm e t h o da n d t h ee x p o n e n t i a ld i c h o t o m yt h e o r y , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo na l m o s tp e r i o d i c s o l u t i o n sf o rf o r c e dl i 6 n a r d - t y p ee q u a t i o n sa r ep r o v e d ，w h i c ha r et h en a t u r a le x t e n s i o no ft h e r e s u l t sa l r e a d yo b t a i n e db yf i n ke t ，a l ，i np a r t i c u l a r ，ac o m p u t a t i o n a le r r o ro ff i n ki n s i a m j a p p l m a t h ( 1 9 7 4 ，2 6 ( 1 ) 2 6 - 3 4 ) h a sb e e nc o r r e c t e d ( 2 ) d y n a m i c so fp e r i o d i cd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s ( p d n n s ) t h em a i nw o r ki s t og i v e s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n s f o rf d n n sm o d e l ，w i t h o u ta s s u m i n gt h es m o o t h n e s s ，m o n o t o n i c i t ya n db o u n d e d n e s so ft h e a c t i v a t i o nf u n c t i o n s h e r et h ea p p r o a c hi sa l s ot h em a w h i nc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n dt h e l y a p u n o vf u n c t i o n a la p p l i c a t i o n ，a n dw i t hh e l po fs o m ei m p o r t a n ti n e q u a l i t i e sa n dm a t r i x - a l g e b r a i ct e c h n i q u e s s o m en e wa n dl e s sr e s t r i c t i v ey e tm o r eg e n e r a lr e s u l t sa r ec o n s e q u e n t l y i i i i v d e r i v e d t h en e wc o n d i t i o n sa r ep r e s e n t e di nt e r m so fan o u s i n g u l a rm m a t r i xd e s c r i b e db y t h en e t w o r kp a r a m e t e r s lt h ec o n n e c t i o nm a t r i xa n dt h el i p s c h i t zc o n s t a n to ft h ea c t i v a t i o n f u n c t i o n s f u r t h e r m o r e s o m ee x a m p l e sa n ds i m u l a t i o n sa r ew o r k e do u tt od e m o n s t r a t et h a t t h e s ec o n d i t i o n sa r en o to n l ys i m p l ea n dp r a c t i c a l ，b u ta l s oe a s i e rt oc h e c ka n dl e s sr e s t r i c t i v e t h a nt h o s ei m p o s e db ye a r l i e rs i m i l a rr e s u l t s ( 3 ) c h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no nl i d n a r de q u a t i o n sa n dd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s ( d n n s ) t h e r ea r et w oi s s u e si n c l u d i n g ：f i r s t ，t h er o b u s ts y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo fs o m e c h a o t i cl i d n a r de q u a t i o n ss u b j e c tt od i s t u r b a n c e si sc o n s i d e r e d ta n dap r a c t i c a lt h e o r yr e s u l t d e a l i n gw i t ha n a l o g o u sp r o b l e m sf o ram o r eg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e mi se s t a b l i s h e d t h e n t h ep r e s e n tc r i t e r i ai s a p p l i e dt ot w os p e c i f i cc h a o t i cl i d n a r ds y s t e m ss u b j e c tt od i s t u r b a n c e s ：t h ec l a s s i c a lv a t 2d e rp o lo s c i l l a t o ra n dt h ec o r r e s p o n d i n gg e n e r a l i z e ds y s t e m s ，c h a o s s y n c h r o n i z a t i o no fs u c hc o u p l e ds y s t e m s d x ea c h i e v e dv i an o n l i n e a rf e e d b a c kc o n t r o lt e c h u l q u e m o r e o v e r ，s o m en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ew o r k e do u tt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h e c o n t r o la p p r o a c h s e c o n d ，u s i n gt h el y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o da n dh e r m i t i a nm a t r i c e st h e - o r y , a n db a s eo nr i g o r o u sm a t h e m a t i c a la n a l y s i s ，as i m p l e ，l e s sc o n s e r v a t i v ec r i t e r i o ni s d e r i v e d f o rg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o no fan e t w o r k ss y s t e mc o m p o s i n go fi d e n t i c a ld e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s ， c o u p l e di na r b i t r a r ya r r a yv i al i n e a rd i f f u s i v ec o u p l i n g i ti ss h o w nt h a tg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o n o fs u c hn e t w o r k ss y s t e mc a nb ee n s u r e db ys u i t a b l ed e s i g no ft h ec o u p l i n gm a t r i xa n dt h ei n n e r l i n k i n gm a t r i x i na d d i t i o n ，t h ec r i t e r i o ni sa p p l i e dt oat y p i c a lc h a o t i cc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ( c n n s ) ，a n dt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ew o r k e do u t t oi l l u s t r a t et h ec o r r e c t n e s so ft h e o r e t i c a l r e s u l t s k e y w o r d s ：n o n l i n e a rd y n a m i c s ，u o n a u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m s ，l i d n a r d t y p ee q u a - t i o n s ，d e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s ( d n n s ) ，g l o b a la s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n s ，p e r i o d i cs o l u t i o n sa n da l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s ，e x i s t e n c ea n ds t a b i l i t y , c h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o n 第一章绪论 综观二十世纪下半叶，非线性科学的研究得到了蓬勃发展，它不仅具有重大的科学 意义，而且具有广泛的应用前景，非线性与复杂性已成为当代越来越受到人们关注的具 有挑战性的前沿课题特别是近二十年来，受应用科学，尤其是迅猛发展起来的计算机 科学的促进以及数学科学本身的发展和工程的实际需要，非线性动力系统已成为数学学 科中发展最迅速，成果最丰富的领域之一，它广迂地应用于自然科学，社会科学，工程 技术，经济学，管理科学乃至人文艺术等诸多领域，并且对这些领域的科学研究和发展 产生了深远的影响、 动力系统的渊源可以追溯到p o i n c a r 6 的微分方程定性理论，甚至n e w t o n 迭代求根 法它是一门有关系统演化规律的数学学科首先是系统内部空间状态随时间的演化， 进一步是系统之间的演化这里所说的时间一般是连续的，也可以是离散的如果时间为 离散，这时动力系统又称为迭代或离散动力系统这类演化问题都有很强的实际背景， 因而动力系统与自然科学乃至工程技术的许多领域息息相关同时，动力系统的理论和 方法十分丰富，几何，拓扑，分析等许多数学分支在这里融汇，交织上世纪六十年代以 来，动力系统进入了一个蓬勃发展的时期，以s m a l e ，a r n o l d ，m o r s e ，g u c k e n h i n e r 和h o l e m s 等 1 - s 】为代表的杰出数学家在这一领域作出了基本性的贡献，尤其是始于二十世纪七十 年代非线性动力学混沌理论的研究，揭开了物理学、数学乃至整个现代科学的新篇章，被 认为是当代基础科学的重大成就之一近年来非线性动力系统一个明显的趋势是向各个 应用方面迅速发展，一些非线性动力系统的复杂的动力学现象和概念，诸如混沌( c h a o s ) ， 分支( b i f u r c a t i o n ) ，分形( f r a c t a l ) ，斑图( p a t t e r n ) ，孤立子( s o l i t o n ) 等，在许多有关学科乃至 整个社会层面引起了广泛的注意，有的甚至改变人们对自然，社会的某些基本看法同 时这些现象和概念又对非线性动力系统本身的发展提出了更高的要求，形成了更强的促 进力层出不穷的科学问题和丰富深刻的数学内容，使非线性动力系统充满了活力 本文讨论两类具有重要理论意义及应用背景的非线性动力学模型：具有强迫项的 l i 6 n a r d 类型方程和神经网络动力学模型主要研究成果由如下两部分组成； 一 具有强迫项的l i 6 n a r d 类型方程及其相关的二维非自治动力系统的定性研究 二 连续h o p f i e l d 神经网络及c n n 细胞神经网络系统模型的非线性动力学行为 2 1 2 研究的背景及意义 第一章绪论 一l i d n a r d 方程作为微分方程与动力系统领域中具有重要理论意义及实际应用价 值的一类非线性微分方程，其渊源可以追溯到三极管振荡器的著名的v a nd e rp o l 方程， 它在物理学，力学，化学，生物学，生态学，医学和经济学等众多学科以及自动控制，航 天技术，机械制造，生物技术等诸多工程领域具有相当重要的作甩，如用于描述耗散系 统的b r u s s e l a t o r 三分子模型，生态学中两种群l o t k a - v o l t e r r a 模型等都可以归结为该方程 的研究同时，对该方程的研究涉及到著名的h i b e r t 的第1 6 问题，又与非线性分析，几 何与拓扑，群论，动力系统的分支理论，奇异性理论和计算数学等众多学科相联系几 十年来一直是国内外众多数学家关注的热点，如s m e l e ，a r n o l d ，s a n s o n e ，c o n t i ，y o s h i z w a ， h a l e ，c h o w ，张芷芬和叶彦谦等 9 - 2 s 微分方程的定性理论长期以来以研究解的轨道的几何和拓扑性质的整体结构为核心 展开各种数学问题的研究，已达到相当的深度尤其是对于二维自治系统，其基于p o i a c a r 6 - b e n d i x o n 极限集理论的平面动力系统定性理论比较完备如果知道奇点的个数及其附近 轨线的拓扑结构，再知道周期解( 闭轨线) 的个数及它们的相对位置，还有奇点分界线的 走向( 同宿或异宿) ，一般来说这一系统的全局结构就可以勾画出来然而对于二维非自治 系统，由于在相平面上的向量场依赖于时间，从而它过相平面各点的轨线可以不是唯一 的，这使得对非驻定方程无法建立类似于驻定方程的p o i n c a r 6 - b e n d i x o n 定理因此。相 对来说，对于二维非自治系统，其研究的理论和方法更为困难，所获得的结果也少得多 与此同时，我们知道根据p o i n c a r - b e n d e x s o n 极限集理论，对于平面二维自治系统， 将不会产生混沌现象而对于二维非自治的动力系统，将具有更为丰富复杂的动力学现 象，一些特殊的具有强迫项的l i d n a r d 方程，比如下面的著名的v a nd e rp o l 振子 叠+ p ( z 2 一1 ) 士+ p t 茁= q c o s ( w t ) ， 这里p 是阻力系数，p 1 是弹性系数，q 和u 是外部激励的振幅和频率自上世纪4 0 年代 以来，这个方程就引起人们的关注，随后发现这个方程当其参数在一定的区域连续的变 化时，它的解经历一系列倍周期分叉过程而通向混沌，在相空间出现具有奇怪吸引子的 复杂动力学现象事实上，正是在l e v i n s o n 对这个方程研究结果的启迪下。s m a l e 给出 了著名的马蹄映射的例子，从而为混沌理论的研究和发展奠定了可靠的数学基础1 2 一划 至今为止，关于l i d n a r d 类型方程的研究，其解的整体性态及周期解问题仍是定性研 究的中心问题之一，已有工作所获得的结果主要集中在自治的情形及其相应二维的自治 系统，对于具有强迫项的l i d n a r d 类型方程及其相应二维的非自治系统研究相对结果不 多，尤其是涉及到分支，混沌和奇异性现象等复杂动力学性质的研究结果更少， j 2 研究的背景及意义 3 二。 鹳毽纪鞠年誉：穰辩，美疆鸯曩潍技术学爨转优秀擞浆糖理学家h o p f i e l d 提出了 一种舔予全联接静神经鬻绦豹；线性饕力学模蘩- h o p f i e l d 择经阙终，势摇集成电路硬绛 实魏 这个动力学戆系缓，又遴过广义貔墓及l 8 s a j j e 不变性爨理绘出了十分蘩要躯动 力学势衔豹结摹，被经耀终戆状态群凄力学模型孛瓣滚最终收敛予平餮熹纂这就势联 想记忆及优铯豹性熊与功效提供了强有力的理论基础，又势实鼯的应熙提供了霹靠姆最 据，扶繇捷人工掉缀弱终熬理论研究进入了一个毅弱离潮时期，形艘远代裂学发展趣一 个热点f 3 4 一矧， 反动力系绞寒纛，艇甥螅摊经系统是一令巍大爨豹嚣线性瑟转遵过广泛佟嬲所梭残 翡多级聚绞，羹是凑于备级层次上系统黪 # 线燃，技其上一层次具有下一屡次系统艇没 有的一些”濑理性琰”( e m e r g e n tp r o p e r t y ) ，从露使拿孛经系统的功毙表现出极大的复杂性 可以毫不夸张域说，没毒非线投也裁没骞生命，也驻毽热如此，在季申经系统的镑令层次 上都有麓大量的 # 线性动力学问题人工享申经隧终系统是果熙物理可实现的系统来模仿 生物秘缝细胞的结搦和功能熬系统，如皋这秘模仿徽褥好，它必然接近予生物神经网络 系统所舆有的动力学性质。人王毒孛终网络模型对于糖经生物学性质模傍的越好，就越能 体现出发杂的动力学性质。一般她说，人工祧经网络的动力学班究经学是紧跟蓑生物专申 经网络的动力学研究丽进符的。因此，无论是生物李申经阕终还是人工耩经网络，当对予 它们的动力学模型以及其中的j # 线性动力学阅题研究获褥瓤的进展时，这些神经网络系 统的性质，功能及戍用也就有了强有力的理论支撑，也就熊被广泛孽l 用及采用 近年来，神经网络中j # 线性动力学理论及其应用的研究褥到了飞速的发展，劳与其 它谗多学科领域楣蕊渗透数学中许多公支已被用乎神经网终系统的分析，如短阵论， 群论，泛函分析，组合数学，计算数学，运筹学，概率论以及数理统计，微分几何乃至范 畴理论和符号构造等人们正在通过将这种网络系统的动力学性质的理论分析翻生物实 验，计算机模拟结赍起来研究这种网络，这些研究不仅有助于理解 申经网络系统理论的 依据与背景，而且撼供应用的基本思想及可能的途径这些研究对于推动计算机科学，人 工错能与模式识别领域的发展以及计算机，人工生命的研究具有十分重要的科学意义， 对涉及复杂的智能计算与检索，图像识别，景物理解，智能检测和控制的工业生产，国 防，医学等领域具有重要的应用价值 神经网络的非线性动力学模型有许多种，每个模型有它特有的动力学行为和特征其 中最典越最富有代表性的几种连续模型是具有时滞或非时滞的h o p f i e l d 辛申经网络，c n n 细胞神经网络和w i n n e r - t a k e - a l l 神经网络等，已有的研究结果表明这些模型可能具有如 下三种动力学行为f 3 6 j ： ( 1 ) 收敛：始时间越来越长时，轨道收敛于某个平衡点或稳定状态，一部分戏全部的 第一章绪论 轨道趋于平衡点集 ( 2 ) 振荡：部分或全部轨道渐近地趋向于一个周期( 或极限环) 的轨道 ( 3 ) 混沌：通常比较粗略地规定其轨道在有界的范围内长期演化后趋于一些对初值 极端敏感依赖的不变集上( 通常称为奇怪吸引子) 游荡运动 从人工神经网络现有的多种动力学模型数值模拟和理论分析，也从人们的心理状态 及部分的实际应用需要出发，第一种收敛的动力学行为研究得比较多且较深入人们总 认为动力学行为最终应当是得到信息或者可能是产生信息，很自然希望这一信息是抓得 住的形式，即稳定状态的平衡点，并且这种稳定状态的获取可以很有用，例如模式识别、 组合优化、把打印文件转化为口头语言等等但是如果从生物神经网络的现有结果来看， 第一种动力学行为，恰愉是相当不可信的，甚至将引起不少矛盾近年来从神经生物学 的研究来看，发现人们的大脑处理信息以及人们的大脑之所以有这么多的功能，主要因 为神经网络动力学系统具有第二及第三类的动力学行为但是神经网络的动力系统理论 与应用的研究只是对第一种动力学行为的研究比较完善，对后两种动力学行为的研究由 于其复杂性和数学上处理技术与方法的困难，发展缓慢 1 3 本文主要的工作介绍 无论是对l 颤”d 方程还是对神经网络非线性动力学模型的研究，目前大多数的研 究结果主要集中在相应的自治动力系统本文主要由两部分组成：第一部分研究由具有 强迫项的l i n a r d 类型方程及其相关的二维菲自治系统的动力学性质，第二部分研究由 连续h o p f i e l d 神经网络及c n n 细胞神经网络所组成的高维非自治动力系统的动力学行 为具体的内容概括为以下几个方面： 一l i 6 n a r d 类型方程及其相关的非自治系统解的整体性态与周期解 关于l i 6 n a r d 方程及其相关的二维自治系统，自五十年代以来，解的整体性态及周期 解问题的研究仍是定性研究的中心问题之一，一直成为人们关注的焦点，并且已有许多 重要的研究结果，但多数的结果都是在自治情形下碍到1 9 - 2 1 】我们主要研究一类具有强 迫项的l i 6 n a r d 类型方程及其相关的二维非自治系统，这个方程在五十年代最初由c o n t i 和a n t o s i e w i c z 所研究 9 , 3 7 l ，但实际背景来源于九十年代初f r e e d m a n 和k u a n g 3 9 】对生态 学中的一类g a u s e 类型捕食一被捕食模型问题的讨论，我们主要工作是；第一，应用构 造l i a p u n o v 函数以及l a s a l l e 不变性原理，给出解的有界性与收敛性的一些新的充分条 件和充分必要条件，利用泛函微分方程理论和r a z u m i k h i n 类型定理，获得相应的l i 6 n a r d 类型方程解的有界性、稳定性的充分条件，这些结果包含或扩展了已有文献关于同样问 题的一些重要结果第二，基于m a w h i n 重合度理论中的连续性定理和b r o s u k 定理及一 1 3 本文主要的工作介绍 5 些重要的不等式分析技巧，在更为一般的假设条件下，得到存在周期解的一系列新的充 分条件，推广与扩展了o m a r i ，v i l l a r i 和z a n o l i n 等人的结果注意到在这里我们并未使用 两种通常讨论平面二维非自治动力系统周期解的经典方法，即构造相对于p o i n c a r e 映射 不变区域或选取合适l i a p u n o v 函数，我们采用的方法往往需要较强的分析技巧第三， 应用非线性泛函方法及指数二分型理论，给出了具有强迫项l i 4 n a r d 类型方程概周期解 存在的条件，并证明了这些条件是至今为止的较好结果，修正了美国数学家f i n k 在国际 数学核心杂志s i a m j a p p l m a t h ( 1 9 7 4 ，2 6 ( 1 ) 2 6 - 3 4 ) 一文中的计算错误上述主要内 容归纳在第二，三，四章 4 9 - - 5 0 , 7 9 , 8 6 】 二 具有时滞的周期神经网络模型( p d n n s ) 的全局动力学行为 由于具有时滞的人工神经陬络模型在组合优化，联想记忆，模式识别，信号处理， 自动控制等工程技术领域方面的独特优越性，近十年来围绕具有时滞的人工神经网络模 型的结构和特性的研究越来越受到重视，其中一类连续的时滞神经网络模型( d n n s ) 是 非常重要的网络，它包含著名的连续h o p f i e l d 神经网络模型和c n n 细胞神经网络模型 至今为止，关于这类模型绝大多数研究结果都集中在网络的静态吸引子( 平衡点类型) 存 在性，收敛性和稳定性问题 1 0 5 - - 1 1 5 l ，而对于这类模型动态吸引子，如极限环( 周期轨道) ， 奇怪吸引子等复杂性动力学行为的研究则相对较少另外，已有的大多数文献主要是集 中在具有一致的网络参数和外部输入模拟，涉及到随时间变化的网络参数或者外部输入 模拟的研究结果是比较少的为了更实践地模拟生物系统的演化过程和人工智能系统规 律，应该考虑到外部干扰和控制的影响，尤其是在周期变化的环境中的影响，因而我们主 要集中研究具有周期变化的网络参数和外部输入的时滞网络模型，并称这个模型为具有 时滞的周期神经网络模型( p d n n s ) 1 2 2 _ 12 3 1 我们采用主要的方法仍然是m a w h i n 的重合 度的连续性定理和l y a p u n o v 泛函方法，并结合应用些重要的不等式和矩阵代数技术， 在不假定关联函数单调性，可微性和有界性的条件下，给出了周期吸引子存在及其全局 指数吸引的充分条件这些条件可以通过网络参数，联接矩阵和关联函数的l i p s c h i t z 常 数所表示的非奇异m 矩阵来刻划进一步地，一些例子和模拟表明：这些条件不仅是简 单和实用的，而且相对于已有的结果更为广泛和容易验证，第六章详细讨论了上述结果 1 4 s 三l i 4 n a r d 方程和时滞神经阿络模型( d n n s ) 的混沌控制与同步 混沌作为一种普遍存在而又极其复杂的现象，在非线性动力系统的研究中占有及其 重要的地位由于混沌内在的奇异特性，特别是对初始条件的高度敏感性，使得混沌曾经 被认为是既不能控制又不可预测，因而是无法应用的然而二十世纪九十年代以来，基 于动力系统理论和传统的反馈控制方法，各种各样的混沌控制方法和不同的混沌同步原 6第一章绪论 理都已经提出，使混沌的可能应用出现了契机在过去十年，由于在诸如电子学，保密通 讯，密码学，化学反应，生物系统，信息科学，脑科学及系统工程等众多领域中巨大的应 用前景，动力系统的混沌控制与同步的研究已成为非线性科学中相当活跃的领域之一， 已有的大多数研究结果主要集中在一些著名的混沌系统例如，l o r e n z 系统，r s s s l e r 系 统，c h u a 电路系统和c h e n 系统等 3 0 - 3 2 , s 7 - 9 2 1 我们主要工作是：第一，我们考虑具有 混沌特征l i n a r d 方程的鲁棒同步( r o b u s ts y n c h r o n i z a t i o n ) 问题，主要目的是通过非线性 反馈控制技术来达到l i n a r d 方程的全局同步对于一个更为一般的非线性控制系统， 给出了处理这类系统同步问题的一个实用的理论结果，并将它应用到两个特殊的具有混 沌特性l i 6 a a r d 系统；混沌的v a nd e rp o l 振子及其相应的广义系统数值模拟的结果证 明这种控制方法的有效性第二，我们的兴趣主要集中在由多个恒同时滞神经网络模型 ( d n n s ) 以线性扩散排列结构 1 3 8 - - 1 4 4 j 的形式所组成的一个高维网络型动力系统的同步现 象应用l y a p u n o v 泛函方法和h e r m i t i a n 矩阵理论，基于严格的理论分析和数学证明， 我们给出这类高维网络型时滞动力系统全局同步的一个简单丽又一般的准则所获结果 表明t 通过合理的设计和选择网络系统的配对矩阵和内部连接矩阵，将能够确保这一网 络型系统的全局同步我们将这一准则应用到讨论由三个三维的混沌的c n n 细胞神经 网络模型1 3 0 】组成的网络型系统全局同步问题，得到这一网络型系统全局同步的一些 充分条件。最后，计算机模拟进一步证实所获理论结果的正确性上述的结果分别在第 五，七章介绍 1 4 7 1 第二章二阶非自治微分系统解的有界性与整体渐近性态 2 1 引盲 考虑具有强迫项的l i 6 n a r d 类型方程 茧+ ( ) 士+ ，2 ( z ) 2 + g ( x ) = e ( t )( e ) 这里，1 ( z ) ，2 ( 。) 和g ( x ) 是定义在r = ( 一0 0 ，+ 。) 上连续的实函数，e ( t ) 是定义在r + = i o ，+ 。) 上连续的实函数对汪) 引入变换f = o ( 2 弦+ f ( z ) 卧1 一洲，则( e ) 化为如下的等 价系统 r 丽1 旷可甸 ( s ) l 寸= 一凸( z ) b ( z ) e 0 ) 】， 其中 o ( 2 ) = e x p ( ，2 ( u ) 如) ，f ( x ) _ n ( ) ，l ( “) d u 。 j 0j 0 关于( e ) 的来源及早期的研究结果请参见文献【9 ，3 7 - s 8 及它们的参考文献自九十 年代初f r e e d m a n 和k u a n g 3 9 1 将生态学中的一类g a u s e 类型捕食一被捕食模型问题的研 究转化为方程( e ) 的研究以来，方程( e ) 已经引起不少学者的关注，例如g u i d o r i z z i ，q i a n c h u a n x i ，j i a n gj i f a ，p a p i n i 和v i l l a r i 等【4 0 5 饼，尤其是在自治情形，有关解的振动性，稳定 性及周期解的存在性等定性性质的研究已有相当多的结果 当，1 ( z ) ，( z ) ，f 2 ( x ) i0 时，( e ) 就是众所周知的广义l i 6 n a r d 方程 矛+ ，( z ) 圣+ 9 ( 。) = e ( t )(