（运筹学与控制论专业论文）低维空间凸体迷向常数数值分析.pdf

摘要 凸体几何是现代几何学的个重要分支凸多胞形是凸体几何的主要研究对象 之一凸体的迷向位置和迷向常数是凸体研究的一个前沿方向 本硕士论文以凸体为主要研究对象，对凸体的迷向位置、迷向常数做了一定的 研究，特别是对三维空间中所有正多面体的迷向常数作了定量分析，并且研究了关 于1 无条件体( 1 - u n c o n d i t i o n a lb o d i e s ) 两个仿射不变量的渐近性质 首先在第一章介绍了凸体几何的发展历史和研究现状在第二章中，我们介绍 了凸体迷向体的研究现状，凸体迷向位置3 个等价性条件，凸体迷向位置存在性和 唯性的相关定理和证明，以及迷向常数的定义和相关性质接下来关于迷向常数 的上确界问题，即b o u r g a i n 问题，是本论文主要涉及的核心内容国内外许多数 学家和数学工作者对b o u r g a i n 问题做了大量的研究工作，最近何斌吾和冷岗松在 寻找l k 上确界的问题上迈出了新的一步：若k 是个质心在原点，体积为1 且 r 1 目霉ckcr 2 b 爹( r l 1 2 ，r 2 v 伍2 ) 的凸体，则刁1 磊l k 去，且等号成立当 且仅当k 是个体积为1 的超立方体或它的正交变换象同时，还提出了在”中 关于对称迷向体和非对称迷向体的迷向常数上确界的两个猜想 在第三章，作者主要对三维空间中所有正多面体的迷向常数做了定量的分析 假设这些正多面体都是体积是1 ，质心在原点的凸体，通过对它们的分析，结合在 第二章中提到的迷向常数的相关知识，借助计算机，得到了它们迷向常数的具体数 值从而说明了何斌吾和冷岗松提出的猜想，在对称几何体中以超立方体的迷向常 数为最大，在非对称几何体中以单形的迷向常数为最大，对三维空间中的正多面体 是正确的 在最后一章，我们给出了关于i 无条件体( 1 - u n c o n d i t i o n a lb o d i e s ) 两个仿射 不变量的渐近性质 关键词：凸体，迷向体，迷向常数，b o u r g a i n 问题，1 - 无条件体( 1 - u n c o n d i t i o n a l b o d i e s ) a b s t r a c t i i c o n v e xg e o m e t r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r ng e o m e t r y c o n v e xp o l y t o p e sa r e o n eo fm a i ns t u d yo b j e c t so fc o n v e xg e o m e t r y i s o t r o p i cp o s i t i o na n di s o t r o p i cc o n s t a n t i sa no u t l y i n gr e s e a r c hd i r e c t i o no fc o n v e xb o d y t h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o nm a i n l yr e s e a r c h e st h ei s o t r o p i cc o n v e xb o d ya n di s o t r o p i c c o n s t a n t ，e s p e c i a l l yd o i n gs o m eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i si na l li s o t r o p i cc o n s t a n t so fr e g u l a r p o l y h e d r o ni nat h r e ed i m e n s i o n a ls p a c ea n dg e t t i n gs o m ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft w o a 伍n ei n v a r i a n t sf o r1 u n c o n d i t i o n a lc o n v e xb o d i e s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo fc o n v e xg e o m e t r y , r e s e a r c h i n gs t a t e a b o u ti tn o w i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c h i n gs t a t ea b o u ti s o t r o p i c c o n v e xb o d y , t h r e ee q u i v a l e n ts t a t e m e n t so ft h ei s o t r o p i cc o n d i t i o n ，t h ee x i s t e n c ea n d u n i p u e n e s so ft h ei s o t r o p i cp o s i t i o n ，t h ed e f i n i t i o no ft h ei s o t r o p i cc o n s t a n t s ，a n d8 0o n f i n d i n gt h el e a s tu p p e rb o u n do fi s o t r o p i cc o n s t a n t ，i nt h eo t h e rw o r d s ，b o u r g a i n sp r o b - l e m ，i sm a i n l yi n v o l v e dc o n t e n ti nt h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o n m a n ym a t h e m a t i c i a n sa n d s c h o l a r sh a v ed o n eag r e a td e a lo fr e s e a r c h i n g r e c e n t l y , h eb i n - w ua n dl e n gg a n g - s o n g h a v ep r o v e dt h a t 而1 l k 者丐w h e nr l 砑ckcr 2 b 爹( r l 1 2 ：r 2 v 伍2 ) f u r - t h e rm o r e ，t h e yb r i n gf o r w a r dt w oc o n j e c t u r e sa b o u tt h el e a s tu p p e rb o u n do fs y m m e t r y i s o t r o p i cc o n v e xb o d ya n da s y m m e t r i ci s o t r o p i cc o n v f f xb o d y i nt h et h i r dc h a p t e r ，w em a i n l yd os o m eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i si na l li s o t r o p i cc o n s t a n t s o fr e g u l a rp o l y h e d r o n si nat h r e ed i m e n s i o n a ls p a c e l e tkb eac o n v e xb o d yi n ”w i t h v o l u m ela n dc e n t e ro fm a s sa tt h eo r i g i n ，b y 出n to fc o m p u t e r ，w eh a v eg i v e na l li s o t r o p i c c o n s t a n t so fr e g u l a rp o l y h e d r o ni nat h r e ed i m e n s i o n a ls p a c e t h i ss h o w st h eg u e s so ft h e i s o t r o p i cc o n s t a n to fh y p e r c u b ei st h em a x i m u ma m o n gt h es y m m e t r yg e o m e t r i cb o d i e s ， a n do n eo fs i m p l e xi st h em a x i m u ma m o n gt h ea s y m m e t r i c a lg e o m e t r i cb o d i e si sr i g h ti n at h r e ed i m e n s i o n a ls p a c e i nt h el a s tc h a p r e r ，w eg e ts o m ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so ft w oa f f i n ei n v a r i a n t sf o r 1 u n c o n d i t i o n a lc o n v e xb o d i e s k e y w o r d s ：c o n v e xb o d y i s o t r o p i cb o d y , i s o t r o p i cc o n s t a n t b o u r g a i n sp r o b l e n ， 1 u n c o n d i t i o n a lb o d i e s 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名w 日期：细7 聚刀藩 。 本论文使用授权说明 乃。 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，1 1 1 】, 学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 留i 毳茗施日7 7 7 行 奚j c 7 耀锅淞u 一j 第一章绪论 本硕士论文选题于导师何斌吾教授主持本人参与的国家自然科学基金项目：超 球截函数与b o u r g a j n 问题( 批准号t 1 0 6 7 1 1 1 9 ) 1 1 学科综述 凸体几何是以凸体和星体为主要研究对象的现代几何学的个重要分支，它是 以微分几何、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基础的现代几何学凸体几何作为 个独立的数学分支，起源于1 9 世纪末和2 0 世纪初，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两 位杰出的奠基者2 0 世纪三十年代至五十年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 在该领域的一系列突破性的工作，大大推动了凸体几何的发展在随后的几十年中， 凸体几何理论发展迅速，一些经典的古老问题陆续得以解决，新的富于挑战性的问 题大量产生 凸体几何与其它经典的数学分支紧密联系，相互交叉渗透，既有严密的理论基 础又具有广泛的应用前景下面简要的来叙述一下凸体几何的研究状况 经典凸性的核心在于包括m i n k o w s k i 混合体积理论的b r u n n - m i n k o w s k i 理论成 为理想的研究体系该理论起源于1 8 8 7 年h b r u n n 的论文和h m i n k o w s k i 开创性工 作的实质部分【s o ，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著名论著【1 0 】收集了当时已出版的 主要结果它作为个经典的数学分支，通常被称为凸几何( c o n v e xg e o m e t r y ) ，主要 是由s t e i n e rf 7 7 ，7 8 ，b r u n n 1 6 ，i r ，m i n k o w s k i 6 0 ，6 1 】，a l e x s a n d r o v 1 ，2 】，h a d w i g e r 【3 s ， p e t t y 【6 3 ，6 5 ，6 6 ，6 4 ，6 2 l 和s c h n e i d e r 【7 3 ，7 6 】等著名数学家逐渐发展起来的一个学 科它的主要内容包括：等周问题【7 9 ，6 6 ，6 5 ，7 2 ，7 1 】，混合体积理论1 1 6 ，1 7 ，6 0 ，6 l 】， 表面积测度【1 ，2 0 ，4 4 ，投影体理论和均质积分惮? 2 8 ，5 1 ，4 9 ，5 0 ，5 2 最核，l - 的定理 是b r u n n m i n k o w s k i 不等式l 设a 和b 是r “中的紧集，则 v ( ( 1 一a ) a + 入b ) 素( 1 一a ) y ( a ) 吉+ 入y ( b ) 吉， 姒【0 ，1 1 ， 其中等号成立当且仅当a 和b 是位似的 b r u n n m i n k o w s k i 不等式深刻的几何内涵使得它成为了b r u n n - m i n k o w s k i 理论 的基石b r u n n m i n k o w s k i 理论巧妙地把欧氏空间中的向量加( 常称为m i n k o w s k i 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 2 加) 和体积联系起来，使得它渗透到各个数学领域中，成为处理各类涉及体积，表 面积，宽度等度量关系难题的个优美而有力的工具 b r u n n m i n k o w s k i 理论是围 绕着等周问题而产生的，所以在一个很长的时期内它被认为是属于传统的几何领 域然而上世纪中叶，在l u s t e r n i k 4 7 ，h a d w i n g e r 和o h r a a n n 3 4 】以及h e n s t o e k 和 m a c b e a t h 3 8 】等人将b r u n n - m i n k o w s k i 不等式推广到l e b e s g u e 可测集并获得其等号 成立的条件后，它就进入了分析的领域，往后的二十年巩固了它作为分析工具的地 位b r u n n - m i n k o w s k i 不等式与其它解析不等式之间的关系也开始逐渐明了其中 b r u n n m i n k o w s k i 不等式的积分形式常被称为p r k o p s , - l e i n d l e r 不等式【6 8 ，6 9 ，4 5 】一 一h s l d e r 不等式的逆形式；在b r a s c a m p 和l i e b 【1 5 】的努力下，b r u n n m i n k o w s k i 不 等式又可看成卷积范数的y o u n g 不等式的加强形式的一种特殊情形；而a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式【1 8 。7 5 】是b r u n n m i n k o w s k i 不等式的一种最强的形式，它与代数几何 紧密联系，k h o v a n s k i i 和t e i s s i e r 独立地发现了a l e k s a u c k o v f e n c h e l 不等式可由代数 几何中的h o d g e 指标定理推出；b o r e l l 容积不等式 1 1 】也包含在b r u n n m i n k o w s k i 型不等式之中，它被j e r i s o n 3 9 】用来解决容积的m i n k o w s k i 问题；m i l m a n 的逆向 b r u n n - m i n k o w s k i 不等式【5 8 】是b a n a c h 空间局部理论中的个重要结果；g a r d n e r 和g r o n c h i 的离散b r u n n - m i n k o w s l d 不等式【2 6 1 与离散数学、组合理论和涉及离散 等周不等式的图论联系紧密另外，似b r u n n - m i n k o w s k i 不等式为核心，联系着一 系列与之有关的仿射等周不等式，如p e t t y 投影不等式【6 5 】和z h a n g 的仿射s o b o l e v 不等式与邵仿射s o b o l e v 不等式( 见【8 5 ，5 5 】) b r u n n - m i n k o w s k i 不等式在球面、双 曲空间、m i n k o w s k i 空间、g u a s s 空间等均有不同的形式 b r u n n - m i n k o w s k i 理论在不断的丰富和演进的同时，衍生出许多新的学科，如 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 它作为凸几何理论与医学c t 、体视学、几何 刺探等的交叉学科，主要通过对几何对象的截面，投影等数据的分析来获得几何对 象本身的信息a r i s t o t l e 的论断：在月食时因为地球在月球的阴影是圆形的，所以 地球一定是椭球形的，是几何断层学的精神所在几何断层学覆盖了凸性问题，吸 收了凸体的支撑函数、常宽度和亮度集、投影体和带体、投影函数等概念，吸收了 a l e k s a n d r o v 投影理论和s h e p h a r d 问题解决方法等结果，更是吸收了a l e k s a n d r o v 面 积测度、a l e k s a n d r o v f e n c h e l 不等式、余弦变换等工具在分析有关过固定点的截面 数据时，研究对象突破了凸体，变为更为恰当的星体集几何断层学还吸收了星体的 径向函数、常截面集、相交体、截面函数等概念，吸收了f u n l 【截面理论、b u s e m a n n - p e t t y 问题的解决方法等结论，还吸收了扛弦函数、对偶a l e k s a n d r o v f e n c h e l 不等 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 3 式、球形r 蒯o n 变换等工具，以便更好地重构几何对象或对几何对象的性质作出 判断在1 9 6 3 年，p c h a m m e r 教授在美国数学会上提出了这样一个问题：平面 上的个凸体最少能被几张x - 射线图片确定? 大约2 0 年后，r j g a r d n e r ，k j f a l c o n e r ，p c m c m u l l e n ，a v o l c i c 等一大批数学家积极投入到这个问题的研究，并 且获得了确切的答案，平面上的一个凸体能被不是某个仿射正多边形边的方向集的 子集的4 个方向上的x 射线完全确定当今世界上对几何断层学的研究可分为两 大群体，其一是以r j g a r d n e r ，a v o l c i c 等为代表的完全理论研究者，他们获得了 一大批令人羡慕的成果 1 9 9 5 年，r j g a r d n e r 教授综合了这方面的所有成果， 撰写了专著( ( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ”【2 3 1 ，其二是由于几何断层学有很强的实际应用 背景，以m i t 大学计算机与电子工程系的a l a nw m s k y 为代表的应用研究者，自8 0 年代以来，一直致力于计算机图形与模式识别研究，实现了几何断层学在计算机上 的应用 此外，还有对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论1 9 7 5 年著名数学家l u 佃v a k 引入星体 ， 的对偶混合体积【4 8 】的概念以来，便开创了对偶的b m n n - m i n k o w s k i 理论，它与由 m i n k o w s k i 、b l s s c h k e 、a l e k s a n d r o v 等开创的经典的凸体理论有着惊人的相似，其 基本想法是“星体”对应“凸体”、“m i n k o w s k i 和”对应。m i n k o w s k i 径向和”、 “混合体积”对应“对偶混合体积”、“支撑函数”对应。径向函数”、“投影体” 对应“截面体”2 0 世纪8 0 年代，该理论空前繁荣，并解决了一系列长期未能取得 进展的重要课题【2 1 ，2 2 ，2 5 ，4 1 ，4 2 ，4 3 ，8 3 ，8 4 】 值得一提的是p r g o o d e y 3 0 ，e l c r i n b e r g 3 1 ，h g r o e m e r 3 2 ，p m g r u b e r 3 3 】 等也在该领域作出了重要贡献由于国际上众多数学家的重要贡献，惊人的发展仍 在继续 凸体几何与泛函分析的结合产生了b a n a c h 空间的局部理论，该理论被认为是现 代国际数学研究的主流方向之一此研究方向源于2 0 世纪a d o l fh u r w i t z 的工作， h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e r 级数的证法，并在后 继的论文中运用球面调和分析对孓维工件的凸体证明了类似的不等式，随后，h m i n k o w s k i 球面调和分析的方法证明了3 维常宽凸体的有趣特征，由此开辟了运用 分析和球面调和研究几何的方法，此方法具有很强的生命力，j e a nb o u r g a i n 和v i t a l i m i l m a n 是该方向的代表人物，他们开创了凸渐近理论的研究，在凸体逼近研究中获 得了大量深刻的结果【5 7 ，5 6 】，他们合作的篇关于凸体的逆b l a s c h k e s a n t a l o 不等式 的著名论文1 1 2 】是b o u r g a i n 接受f i e l d s 奖引用的第一论文p i s i e r 6 7 ，l i n d e n s t r a u s s 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 4 等在该领域也作出了创见性的贡献 值得一提的是，我国数学家在凸体几何领域贡献卓越二十世纪五十年代，著 名数学家吴文俊运用拓扑方法圆满解决了复合形在欧氏空间嵌入的这一凸体几何的 难题，成果举世瞩目；二十世纪八十年代，杨路教授、张景中院士借用距离几何方 法和计算机辅助证明，在凸体几何的高维几何不等式与几何极值、初等图形的嵌入 等方面作了许多开创性的工作( 见【8 0 】，【8 1 】， 8 2 】等) ，获得了国际数学界的广泛好评 凸体几何随着数学的应用领域的拓展，逐渐从传统数学延伸到其他自然学科， 从而对凸性以及凸体研究和应用最近重新成为热门的话题例如，对于凸多胞形的 在动态经济规划( 【1 9 】) 中的应用，计算两个三维空间的凸体的距离在航空航天科学 中的运用( 【2 9 】) 等等，都体现了b r u n n - m i n k o w s k i 理论作为基础学科的强大生命力 随着我国经济发展的开展和深入，基础数学的价值正逐渐被人们得以认识可以确 信，在不久的将来，凸体几何乃至整个数学学科的研究，在中国会迎来它又个春 天 1 2研究的主要问题与取得的创新成果 本硕士论文首先简述了其所属学科的发展历程和研究现状，接着描述了关于迷 向体、迷向常数以及b o u r g a i n 问题等相关知识。然后重点研究了三维空间中所有正 多面体的迷向常数，验证了在对称几何体中以超立方体的迷向常数为最大，在非对 称几何体中以单形的迷向常数为最大的猜想，对三维空间中的正多面体是正确的 最后，得到了关于1 无条件体两个仿射不变量的渐近性质 作者取得的主要创新成果是： ( 1 ) 得到了三维空间中所有正多面体迷向常数的具体数值，并验证了在三维空 间中，对称几何体中以超立方体的迷向常数为最大，在非对称几何体中以单形的迷 向常数为最大的猜想是正确的具体的结论为t l b t 锄 l p l 2 如 l j l ，_ 这里l 磷，l 最分别表示三维球和正i 面多面体的迷向常数，具体数值为： 0 2 7 7 4 2 9 1 7 0 2 7 8 9 5 9 5 8 0 2 7 9 5 1 4 6 8 0 2 8 7 3 1 1 9 9 0 ，k b l ，l a g ( 2 1 6 ) 两赋范空间x k 与x l 间的b a n a c h m a z u r 距离定义为 d b m ( x k ，托) = i n f d ( k ，t l ) it g l c n ) ( 2 1 7 ) 每当我们写( 1 a ) l = i l i = i i k b l x i 时，总意味着a 与b 是对于每一个z r ”都成立 的最小正实数特别地，我们有d b m ( k 毋) = a b 根据 4 6 】b a a a c h - m a z u r 距离确定对称凸体类之间的距离，两个体k 1 与配属 于同一等价类当且仅当存在一个t g l ( n ) 使得t k l = 1 0 ，对于 任意的y ，有 厶( 础) 2 d x _ = c t 2 l y l 2 ， ( 2 2 1 ) 则k 称为迷向的 如下三个条件和( 2 2 1 ) 是等价的。 1 对于任意的t ，j = l ，2 ，3 ，他，z = ( x l ，x 2 ，z n ) r ”，有 厶x d x j d x = a 2 6 0 ( 2 2 2 ) 2 对于任意的t l ( r n ) 有 厶( z ，t z ) d x 2 a 2 ( t r r ) ( 2 2 3 ) 3 上汗d x = 撇2 ( 2 2 4 ) 定理2 2 1 设k 是r “中质心在原点的凸体，存在着一个t g l ( n ) ，使得t ( k ) 是迷向的 证明一算子m l ( r “) 定义为m ( y ) = f k ( z ，y ) x d x ：有正的对称平方根s 考 虑线性影像露= s 一1 ( k ) ，对任意的y 舻，有 厶( 钏) 2 d x = i d e t s l q 厶( s 。1 钏) 2 d xj kj k 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 0 = i d e t s i 1 ( z ，s _ 1 y ) 2 咖 j k = i d e 坶i _ ( - ( z ，s _ 1 耖) z 如，s 一1 y ) j k = i d e t s i 一1 ( m s y ，s - l y ) = i 如给i - 1 川2 标准化体积，我们就等到结果 定理2 2 2 设k 是r n 中体积为1 ，质心在原点的凸体我们定义 烈k ) = i , f f f - ，i x l 2 如：t s l ( n ) ， ( 2 2 5 ) j t k 则当且叙当 厶，i x l 2 如= b ( k ) ， ( 2 2 6 ) 我们称甄是k 的一个位置如果所，尥是的迷向位置，则存在着一个u d ( n ) ，使得k 2 = u ( k 1 ) 证明t ( 1 ) 设硷是k 的迷向位置，根据定理2 2 1 ，存在口 0 ，对于任意的 t l ( r n ) ，有 厶( ，t z ) 出= 口2 ( 打r ) 对任意的t s l ( n ) ，和算术几何不等式 t r ( t + t ) n 【如t ( r t ) 1 n ，( 2 2 7 ) f k , i t z l 2 出= 上。( 印饥) 出 a 2 t r ( t t ) 舱2 = i x l 2 d x ，k l 因此，虬满足( 2 2 6 ) 特别的，( 2 2 5 ) 的下确界是它的一个最小值 ( 2 ) 如果( 2 2 7 ) 式中取到等号，则有p t = j r ，所以t d ( n ) 由此可得，对于 满足( 2 2 6 ) 的k 的其它任意位置霞是硒的个垂直影像，因此它是迷向的 ( 3 ) 最后，如果鲍足k 的另个迷向位置，那么由( 1 ) 中的证明可知鲍满足 ( 2 2 6 ) 根据( 2 ) ，存在一个u o ( n ) ，有r 2 = u ( k 1 ) 如果k 是上式最小值问题的解，则k 是迷向的证明如下；设t l ( r ) ， 任给e 0 ，+ c t 是可逆的，因此( j + e t ) d e t ( i - 4 - 丁) 】是保体积的，从而 加2 d x 厶器d x = = 如 忙 n二 有 2 0 07 ，上海大学硕士学竺兰奎兰 - - - _ _ - _ - _ _ _ - 一一一 注意到i x + e t z l 2 ：i x l 2 + 2 e ( z ，t z ) + d ( e 2 ) 、 d e t ( i + e t ) 1 2 i n = 1 + 2 e 簪+ d ( e 2 ) 和 e 。o + ，我们有 。 t - - t - r nf ki z l 2 出厶( z ，t z ) 出 既然t 是任意的，适用于一t 的相似不等式，因此对任意的t l c r n ) ，有 t r n t - ， 汗i 如= 厶( 印z ) 如 根据迷向条件的三个等价性条件可知，k 是迷向的 2 3 迷向常数 r n 中任意质心在原点的凸体k ，我们定义常数 工莨= l m i n 面1 碍二k 2 如, t eg l ( 枷 如果k 是迷向的，对任意的0 铲- 1 有 ( z ，口) 2 d x = l 女 常数l k 称为k 的迷向常数 猜想2 3 1 对任意的质心在原点的凸体k ，存在个固定的常数c 0 ，使得 l ks c 如果k 是时中的迷向体，则对于任意的0 铲，有 ( z ，口) 2 d x c 2 命题2 3 1 对舻中的任意一个迷向体k ， l k l 叼c ， 其中c 0 是个固定的常数 证明：假设：u 二1 n ，则1 7 n 明l = 1 ，r n 聊是迷向的设k 是一个迷向体 注意到在k r n b 2 上 h ，h 研k 上蚓r n ，有 n l k 2 上l z l 2 妇 2 上m 。叼2 如+ 厶h 霹i 砰i 出 厶_ 。剧2 如+ z 。叼怛i 砰i 如 = 口。i z l 2 d x = n 三刍； _ ，r n b ： 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 2 l 动= 元1 “印出1 舢nr n + 2 鬻撼 所以l k l 砑c 命题2 3 2 设k 是r n 中的对称凸体，则l k c 、，佤 证明：存在r 0 和t g l ( n ) ，使得r 毋是t k 并且i t k i = 1 中体积最大的 椭圆体既然r b 譬t k 有r c 、伍，再根据定理2 2 2 ，有 n l 莨t k i z l 2 d zsr 2 ， 其中r = r ( k ) 是t k 的外接圆半径因此， l k 一r r 芦c r 最后，由于r 廊，所以l k c 何 命题2 3 3 设k 是r n 中的对称凸体，则有 l 2 l 2 k 。c 佗西( k ) ， 其中 妒( k ) = 两厶厶。( 础) 2 咖如 特别地，l k l k 。c l 、，佤 证明：对任意的t g l ( n ) 有西( k ) = 砂( t k ) 假设k 。是迷向的，根据定理 2 2 2 ，有 面f 研帚厶厶。( z 2 咖如= l 奄。面击丽厶川2 出之n 工莨l 女。 因此。 n l 灸l 女。s ( i k i i k 。i ) 一2 n ( k ) ， n l 莨f r ki = 1 2 如r 2 根据反向s a n t a l o 不等式得出 ( i k i i k 。i ) 1 n c 2 卅n c 3 n ， 其中c 3 0 是个固定常数既然l 西( k ) l l ，命题证毕 最后，我们给出根据迷向常数l k 来估计迷向体k 的直径 命题2 3 4 设k 是舯中的迷向体，则有r ( k ) + 1 ) l k 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 3 证明：设z k ，定义h ：酽一1 一r n ， h ( u ) = m a x t 0 ：z + t u k ) 我们可以根据如下公式来计算k 的体积 - = 吲= 上。一。f o h ( u ) t n - 1 出矿( d o = u n 上。一。扩( u ) 仃( 如) 既然k 是迷向的，对任意的0 伊，我们有 l 炙2 厶( 秒，o ) d u = l o 州训t n _ 1 ( x + t u , 0 ) 2 拗( 删 = l o 似训_ l ( z ，0 ) 2 + 2 t n ( 硎u + 1 ( 2 ) d t a ( d u ) = l ( 掣伍口) 2 + 2 帮亿州t t 朋+ 可h n + 2 ( u ) ( u 2 ) 口( d o l 老告瓴妒他) = 器厶，批) = 器 和，口) i ( n + 1 ) l k 因此， i z i = m a x l i m i n fi ( z ，口) l ( n + 1 ) l k 既然z k 是任意的，命题证毕 2 4 迷向体与b o u r g a i n 问题 设k 是r n 中个体积为1 质心在原点( 即b ( k ) = 7 出= 0 ) 的凸体( 具 有非空内点的紧子集) 一个熟知的事实是( 见【5 9 1 ) ：存在唯一的线性变换具有 d e t ( 西) = 1 ，使得对任意的单位向量1 , s 铲1 ，有 ( z ，u ) 2 如= l 灸 j 西k 通常把数l k 称为k 的迷向常数，若变换是恒同映射，则称k 为迷向体，或者称 k 处于迷向位置 l k 的f 界早在1 9 1 8 年被b l a s c h e 找到( 见【6 ，5 】也看【4 0 】) 更 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文1 4 精确地，l k 的下确界， l k 而w - 1 n 暑，也已经被e l a t u a k ，d y a n g 和g z h a n g 在 文【5 3 】中找到 一个关于迷向体的被称为b o u r g a i n 问题的未被解决的重要问题是t 是否存在 通用常数c ，使得l k c 对任意有限维任意凸体都成立? 对此问题的肯定回答有许 多有趣的推论( 见【5 9 】) 此问题目前最好的估计是最近由j b o u r g a i n 证明的l i r c n l o gn ( 见【1 3 ，1 9 】) 对一些类，诸如无条件体( u n c o d i t i o n a lb o d i e s ) ，( 被b o u r g a i n 证明，见【5 9 1 ) 带体( z o u o i d s ) ，带体的极体( 见【3 ，7 4 】) 或具有有限体积比率的极体 等，答案是肯定的( 见【1 4 ，5 9 1 ) 在这篇文章中，我们利用球截面函数的方法，证明 了若k 是个质心在原点体积为1 ，且r 1 毋ck cr 2 s 多( r l 1 2 ，r 2 、，例2 ) 的凸 体，则l 去，且等号成立当且仅当k 是一个体积为1 的超立方体或它的正交 变换象结合e l a t u a k ，d y a n g g z h a n g 的结果，即l k 布- 1 暑n ，这里是r n 中欧氏单位球的体积我们有 定理2 4 1 假设k 是瞅中个质心在原点体积为1 ，且r l 研ckcr 2 毋( r l 1 2 ，r 2 、，佤2 ) 的凸体，l 耳是它的迷向常数，则 。箱弛砖去， 左边的等号成立当且仅当k 是个质心在原点体积为1 的椭球，右边的等号成立 当且仅当k 是一个质心在原点体积为1 的超立方体或它的正交变换象 注意到当n 充分大时，根据s t i f l i n g 公式，我们有 r ( 鸶+ 1 ) 一瓜“7 2 ( 扩蝴， 这蕴涵 垢i 、朵 因此，当几充分大时，我们得到 去鲰去、2 丌e 一“- 2 3 令t r 假如我们记凰是超平面 o r n ，i ( z ? “) = ) ， 则关于迷向体的几何特征，我们有 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 5 定理2 4 2 个质心在原点且体积为1 的凸体k 是迷向体当且仅当由它所产 生的分布函数族 丘“d 2 础) ：