（运筹学与控制论专业论文）一类经济模型的分岔分析.pdf

中文摘要 摘要：本文在全面分析和总结复杂动力系统的分岔研究现状的基础上，运用数学 理论对复杂动力系统的分岔进行了较为系统和深入的研究，取得了较为显著的研 究成果。 全文共分四章。第一章为引言，阐述了分龠和混沌研究的理论价值和工程实 际意义，分析和总结了国内外在分佾领域的发展历史和研究现状，简要介绍了本 文研究的目的、意义和主要内容。第二章分龠综述，主要是介绍了分龠的基本知 识，给出了余维1 分岔的几种基本的静态分龠的条件，同时介绍了余维2 分龠中 的几种分俞的定义。第三章详细讨论了一类经济模型的动力学行为，详细讨论了 该模型出现的各种分龠，包括余维1 分佾中的叉式分俞，倍周期分俞和 n e i m a r k s a c k e r 分翁以及余维2 分龠中的1 ：2 ，1 ：3 和1 ：4 三种强共振现象。第四章总 结了全文的研究工作。 关键词：余维1 分佾；余维2 分岔；共振；n e i m a r k s a c k e r 分俞 分类号：0 2 3 1 5 a bs t r a c t a b s t r a c t ：b a s e do i lac o m p r e h e n s i v ea n a l y s i so fc o m p l e xd y n a m i cs y s t e m sa n d e x a m i n a t i o no ft h eh i s t o r ya n dt h ea c t u a l i t yo ft h eb i f u r c a t i o na n dc h a o sr e s e a r c h ，a s y s t e m a t i ci n v e s t i g a t i o ni n t ot h e b i f u r c a t i o na n dc h a o sc o n t r o li sm a d ew i t ht h eo r d i n a r y m a t h e m a t i ct h e o r y s o m ei m p o r t a n ta c h i e v e m e n t sa r eo b t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o n t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s c h a p t e r1 i sa ni n t r o d u c t i o no ft h e d i s s e r t a t i o n t h ei m p o r t a n c eo ft h er e s e a r c ho ft h eb i f u r c a t i o n i si n t r o d u c t i o n ，t h e a d v a n c e sa n da c t u a l i t yo ft h er e s e a r c ha l es u m m a r i z e d ，a n dt h em a i nc o n t e n t so ft h e d i s s e r t a t i o na l er e p o r t e da sw e l l c h a p t e r2i st h es u m m a r yo fb i f u r c a t i o n ，f i r s t i ti s i n t r o d u c t i o nt h es u m m a r yo fb i f u r c a t i o no ft h ed i s c r e t es y s t e m ，s e c o n d l y , i td e a l sw i t h t h ec o d e m 1b i f u r c a t i o nt h e o r y , t h ec o n d i t i o n sg i v i n gr i s et o t h es t a t i cb i f u r c a t i o n ， i n c l u d i n gt r a n s c r i t i c a lb i f u r c a t i o n ，f o l db i f u r c a t i o n ，a n dp i t c h f o r kb i f u r c a t i o ne t c a r e d e r i v e d t h ee n di si n t r o d u c t i o nt h ec o d e m 一2b i f u r c a t i o nt h e o r y , i n c l u d i n gt h r e es t r o n g r e s o n a n c e ：l ：2r e s o n a n c e ，l ：3r e s o n a n c e ，a n d1 ：4r e s o n a n c e c h a p t e r3a n a l y z e st h e d y n a m i c a lo fae c o n o m i cm o d e li nd e t a i l ，m a i n l y a b o u tc o d e m lb i f u r c a t i o na n d c o d e m 2b i f u r c a t i o n c h a p t e r4i st h es u m m a r ya n dc o n c l u s i o no ft h ed i s s e r t a t i o n k e y w o r d s ：c o d e m 1b i f u r c a t i o n ；c o d e m - 2b i f u r c a t i o n ；r e s o n a n c e ； n e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o n c l a s s n o ：0 2 31 5 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字同期：年月同 ，y眵p 7z，年 喙占 ： 名 ：夕 签 期 一】 i 师 日 导 字 签 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字同期：年月同 4 5 致谢 本论文的工作是在我的导师彭名书副教授的悉心指导下完成的，彭名书副教 授严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两 年来彭名书老师对我的关心和指导。 彭名书副教授悉心指导我完成了毕业论文的撰写，在学习上和生活上都给予 了我很大的关心和帮助，在此向彭名书老师表示衷心的谢意。 彭名书副教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示 衷心的感谢。 在撰写论文期间，林艾静、潘凯等同学对我论文中的画图工作给予了热情帮 助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢我的家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 1 1 选题的背景与意义 第一章引言 二十世纪下半叶，非线性科学获得了前所未有的蓬勃发展，被誉为二十世纪 自然科学中的“三大革命之一 【l , 2 1 。科学界认为，非线性科学的研究不仅具有深 远的科学意义，而且具有广泛的应用前景。事实上，这门学科几乎涉及到自然科 学和社会科学的各个领域，并且涉及到现代科学的逻辑体系及其变革这样一些根 本性问题。非线性科学的研究涉及到对确定性与随机性，有序与无序，偶然与必 然，量变与质变，整体与局部等数理范畴和哲学概念的再认识，它将深刻影响人 类的思维方法。一般来说，非线性科学的主题包括混沌，分岔，分形，孤立子和 复杂性的研究。其中目i j i 混沌和分翁的研究占有极大分量。 最近二十年来，入们对非线性动力系统有了更广泛更深刻的认识，尤其是在 分岔和混沌领域。在该领域内，人们发现了非线性动力系统中的许多“奇异现 象以及隐藏在这些“奇异”现象背后有趣的规律，不断改变着人们对现实世界的 许多传统看法，吸引了遍及自然科学与社会科学各个领域的大批的研究学者。短 短几年问，在工程、物理、化学、数学，生物，经济学，包括社会科学的各种期 刊上都有大量的论文涉及到这个领域。足见其深远的影响力。人们对其本质更深 刻的理解促进了工程应用的进一步发展，而实际应用中提出的许多新问题，也反 过来促进理论研究本身的深入发展。如何控制并应用混沌和分岔，是数学家和工 程师所共同面临的一个重要挑战。 混沌与分岔在生物，力学，化学，电子工程，信息工程，计算机工程，应用 数学和实验物理等领域中都存在广泛的应用前景。潜在应用包括：大脑神经活动 和心脏脉搏测量分析，图像数据加密，保密通讯，电力电网动念分析和保护工 程和民用电子仪器噪声消减，电子振荡发生器设计，航天和航空发动机动态分析 和保护，流体混合，信息存储和高速检索，决策预测，系统和模式识别，机械震 动故障诊断计算机图形处理，以及在医学和生物，信号处理和通讯，控制系统 和优化等越来越多的领域和方向。 大量的研究表明，非线性动力学研究的分翁和混沌是非线性动力系统最重要 而又最基本的特性 3 - 7 】，几乎在所有涉及非线性科学的领域中，都存在分岔现象和 混沌运动。因而，分龠和混沌的研究一直是近三十年来非线性科学中最活跃的研 究前沿。由于非线性系统本身的复杂性和丰富多彩的特性，人们目前对非线性动 力系统的认识仍处在初级阶段，这一领域的研究仍将是今后相当长的一段时间内 科学研究的重点和热门课题。 1 2 分岔研究的历史与现状 分龠问题的研究具有较长的历史，它起源于十八世纪对于力学失稳现象的研 究。分俞的概念首先由雅各比于1 8 3 4 年在研究天体的平衡时提出的。n - 十世纪 六十年代以前，科学家们已经发现大量的分俞现象。如1 8 8 3 年雷诺发现流体在临 界雷诺数时出现了分俞，上世纪三十年代，范德波和安德罗诺夫在研究非线性振 动时发现了大量的分俞现象。但那时对分俞的研究主要是分散在各个应用领域中 单独进行，没有形成系统的分俞理论。直到上个世纪七十年代，微分动力系统理 论，突变理论，奇异性理论等现代非线性分析数学理论的建立，电子计算机和有 效计算手段的相继出现，才形成了研究分俞现象的分支科学，有效的促进了分岔 理论及其在自然科学，社会科学和工程技术的各个领域的应用研究的发展。到目 前为止，尽管分岔理论的各个分支学科仍在发展中，但分俞理论基本上已经形成 了一门完善的学科【8 9 1 。 经过一百多年来微分方程理论的发展，特别是近二三十年来，在微分动力系 统和数值计算技术的推动下，分岔理论的研究及应用已超越原来数学学科的界限， 广泛应用于力学，物理学，化学，生物学，生态学等学科和自动控制，系统工程， 机械振动等工程技术部门，以及经济学和社会科学等领域。 分龠问题研究的内容【1 0 , 1 1 】广泛而丰富，对于其研究既需要较深厚的数学基础， 又需要较宽广的专业知识。归纳起来，其主要研究内容大致分为如下几个方面： ( 1 )分岔集的确定，即确定系统产生分岔的必要条件和充分条件，这是分 俞问题研究的基本内容。 ( 2 )分岔定性性态的研究，即研究分俞出现时系统拓扑结构随参数变化的 情况，这是分俞研究的主要内容。 2 ( 3 )分岔解的计算，即对系统平衡点和极限环的计算。由于非线性系统分 龠的直接求解往往比较困难，甚至不可能，这就需要寻求实用而有效的求解方法。 ( 4 ) 研究各种不同分龠的相互作用，以及分岔与动力系统中其它现象如混 沌的联系。 对于强共振理论的研究最早是由m e l n i k o v l l 2 1 和s a c k e r 3 】丌始的，而现代强共 振理论是由a m o l d 【1 4 , 1 5 和t a k e n s 1 6 1 奠定的，在a r n o l d 15 1 ，a r r o w s m i t h 和p i a c e 的 合著1 7 l 的著作中有介绍。对于l ：1 强共振的逼近系统的完整的分俞分析是由 b o g d a n o v i l 8 - 2 0 1 完成的，而对于l ：2 的强共振是由t a k e n s l l6 1 ，h o l m e s 和r a n d 的合 著【2 ，c a r d 2 2 1 和h o r o z o v 2 3 l 的文章完成的，而对于1 ：3 强共振的证明是由h o m n z o v f 2 3 完成的。 在非线性动力学中，对分佾问题的研究十分广泛，这些研究表明，分岔不仅 与系统中不同运动状态之问的联系和转化有关，还与混沌运动密切相关。分翁是 研究混沌产生机理的重要途径。 1 3 研究目的和主要内容 1 3 1 研究目的 综上所述，对非线性系统分岔现象的研究具有重要的理论价值和实际意义， 进一步深化分俞理论及其应用的研究仍然是非线性科学所面临的重要任务。同时， 由于非线性系统本身的复杂性，分岔和混沌所涉及到的数学工具深奥而抽象，这 就为数学工作者从事分岔、混沌领域的研究带来了很大的困难。因此，本文研究 目的是揭示分岔的一些基本特征，研究常见非线性系统的分岔现象。 1 3 2 主要内容 论文一共分为四个部分，第一部分是绪论，主要是介绍选题的背景和意义， 同时介绍了分分的发展历史和现状。第二章首先是离散系统的分岔综述，接着介 绍了余维1 分岔的基本概念。而后给出了发生几种典型的余维1 分岔的条件，最后 阐述了余维2 分岔的基本概念。第三章着重研究了一类经济模型的动力行为，包 括平衡点的稳定性，以及出现的各种分岔现象，包括余维1 分俞中的叉式分翁， 倍周期分岔以及n e i m a r k - s a c k e r 分岔和余维2 分贫中的l ：2 共振，1 ：3 共振和l ：4 共振，第四章总结了全文的工作。 4 第二章分岔综述 自然界从本质上讲都是非线性的，实践中人们总是尝试用线性来近似非线性。 但是，被忽略的非线性因素常常会在分析和计算中引起无法接受的误差，特别是 对于系统长时问罩程的动力学问题，有时即使略去微弱的非线性因素，都会在分 析和计算中出现本质性的错误。随着人们对非线性系统动力学问题的关注，使得 人们意识到要解决源于系统非线性的许多难题，关键在于对非线性导致的分佾、 混沌、分形、孤立子等复杂的非线性动力学现象的认识和理解。对一个系统的描 述包括微分方程为代表的连续系统和差分方程为代表的离散系统。本文主要关注 用差分方程( 映射) 描述的离散系统的分龠问题。下面我们分别介绍离散系统的分龠 问题、研究方法。 2 1 离散系统分岔综述 对于含参数的系统，当参数变动并经过某些临界值时，系统的定性性态( 例如 平衡状态或周期运动的数目和稳定性等) 会发生突然变化这种变化称为分岔 ( b i f u r c a t i o n ) ，也叫分叉、分支、分歧。分俞是一类常见的重要的非线性现象，并 与其他非线性现象( 如混沌、突变、分形、拟序结构等) 密切相关。因此在非线性科 学中分俞研究占有非常重要的地位。 一直以来，对以常微分方程( o d e ) 为代表的连续系统的分俞研究很多，而对以 差分方程( d d e ) 描述的离散系统的分岔研究却相对较少。关于分岔的研究已有专著 较多，如j g u c k e n h e i m e r 与p h o l m e s 的合著【2 4 1 ，y k u z n e t s o v l t 2 5 1 ，以及其它国外 专著【2 6 4 1 1 ，国内专著【4 2 4 8 1 。但其中大多数是针对连续系统作的讨论，关于离散系 统的分翁研究主要有专割3 4 4 。事实上，现实世界中的大量问题可以用以差分方 程( 由于它通常由一个对应的映射决定，有时也称为映射) 表示的离散动力系统来描 述，比如种群系统中不少相继世代几乎没有重叠的种群其动态描述就是由差分方 程给出的即使对于连续动力系统描述的问题，有时也需要作适当的离散化处理( 比 如利用h p o i n c a r e 映射方法) ，转化为离散系统来研究，比如与连续系统的周期轨 相关的分岔问题、周期性的连续系统的分岔问题都需要作这种转化。 从形式上而言，差分方程的表示是初等的，易于被人们理解和接受。但是， 离散系统的研究并不比连续系统简单。比如，o d e 中定常自治系统大于二维才可 能呈现出复杂的混沌行为，而一个简单的一维非线性差分方程所描述的离散系统， 比如l o g i s t i c 模型则可能在一定区域内表现出持续不断的混沌行为。而有关混沌的 研究和分佾的研究也是密不可分的，我们知道，离散系统的一系列倍周期分俞可 能最终会导致混沌的出现，横截同宿轨分佾或异宿轨分俞亦会导致混沌发生，如 果能对发生混沌之前的暂态行为( 比如分俞) 分析清楚，那么对于理解混沌发生的机 制也是很有帮助的。另外，在实际的工程应用中以及理论研究的数值模拟中，我 们无一例外地要用到数字式计算机，这时我们实际操作中所采用的是离散系统。 因此，对离散系统的分龠研究无论从实际应用还是从理论研究的角度来看都是很 重要的、很有意义的。 为方便讨论，先简单介绍离散系统不动点的分岔及常用的分析方法。考虑一 个从r ”到r ”的p 一参数族映射： y g ( y ，五) ， y r ”，2 r p ，( 2 。1 ) 它决定了一个差分方程： y ( ，z + 1 ) = g ( y ( 以) ，五) ， y r ”，a r p ，( 2 2 ) 或者记为：以+ 。= g ( 只，允) ，其中，g 在r “r 9 的足够大的丌集上是c 7 的( 通常假 设，5 就足够了) 。假定该系统( 2 1 ) ( 或者( 2 2 ) ) 有一个不动点( 少，五) = ( 蜘，厶) 即 g ( y o ，厶) = y o ( 2 3 ) 系统( 2 1 ) 在不动点( j ，力) = ( 蜘，矗) 附近的线性化映射为， 孝q g ( y o ，厶) 孝， 孝r ”( 2 4 ) 如果不动点是双曲的，即d y g ( y o ，磊) 的特征值模都不等于1 ，那么线性化系统 ( 2 4 ) 的稳定性( 不稳定性) 蕴含着原非线性系统( 2 1 ) 的不动点的稳定性( 不稳定性) 。 如果不动点是非双曲的，这时线性化近似系统不能够决定非线性系统在不动点的 稳定性，变动参数兄会产生新的轨道，即分岔发生了。非线性映射在不动点发生的 最简单的分岔有三种方式： 1 d ，g ( y o ，气) 有一个简单特征值为1 ，其余n - 1 个特征值模都不等于1 。 2 d y g ( y o ，凡) 有一个简单特征值为一l ，其余n 一1 个特征值模都不等于l 。 6 3 d y g ( y o ，磊) 有两个复共扼特征值模为l ，且不是i 次单位根( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，其 余n 2 个特征值模都不等于l 。 利用中心流型理论，上述情况的分析可以分别约化为对p 参数族的l 维或者 2 维映射的分析。其中第一种情形具体又分三种分岔：鞍结分岔、跨临界分岔、叉 式分岔，第二种情形的分岔称作倍周期分龠，第三种情形的分岔称为 n e i m a r k s a c k e r 分俞( 通常也叫映射的h o p f 分龠) 。 2 2 余维1 分岔基础知识 下面我们给出余维1 分岔中的鞍结分龠，跨临界分岔，叉式分佾和倍周期分 贫的定义和例子【2 4 , 4 1 , 4 9 】。 2 2 1 鞍结分岔 考虑一维含单参数非线性微分动力系统 a x a t = f ( x ，) = 一x 2 ， 工r 1 ，r ( 2 5 ) 显然，当 0 时，系统有两个平衡点： 玉= 扛，如= 一万。平衡点而= 石的雅各比矩阵2 ，( 而，) = _ 2 扛 0 ，即x 2 为不稳 定平衡点。因而，= o ，x = 0 是系统( 2 5 ) 的分俞点。这种分岔称为折叠分俞， 或极限点分岔，也称鞍结分岔。这是因为系统( 2 5 ) 可以扩充为一个二维平面系统 如， 一a r t 。一x ， 譬：一j ，( 2 一0 ) 二= 一yi 1 利用中心流型理论可以证明系统( 2 5 ) 就是系统( 2 6 ) 在中心流型上的约化系统， 因此，在平面系统的分岔特性与一维系统( 2 5 ) 分岔特性完全一样。此系统在点 ( x , y ，) = ( o ，0 ，0 ) 处分岔出一个稳定结点和一个鞍点，因而称之为鞍结分俞。因为 非线性系统( 2 5 ) 在分岔点( 五) - - ( o ，0 ) 有以下特点： 厂( 训) = 厂( o ，o ) = 0 ，d x f ( o ，o ) 5 糊2 0 ， o f 删；鳓艘, g x 2i 蝴护鳓。 按照这一思路我们可以推得一般一维含单参数非线性微分动力系统发生鞍结分岔 的充要条件为： 7 厂( 而，风) = o ， 煎型k；：o，ox u 2 而5 # x o a s ( 一x 。, x ) i ，：一舶o ， 刁u ”n 舻蜘j 。 鼍掣i x = x 0 , m = j 1 0 地 玉2 。1( 2 7 ) 鞍结分岔图如图l 所示。两个平衡点在x - - i x 平面上分布在抛物线上( 实线代表 平衡点稳定，虚线代表平衡点不稳定) ，可见= o 是分俞点。 2 2 2 跨临界分岔 考虑一维笛早参数非线性微分动力糸统 d 衍= f ( x ，) = x 一石2 ， x r ，r ( 2 8 ) 当0 时，系统有两个平衡点：z = 0 和石= 。当 0 时，平衡点工= 0 是不稳定的，而平衡 点工= 是稳定的( 见图2 ) 。所以两个平衡念的稳定性在= 0 处发生突变：原来稳 定的变为不稳定，原来不稳定的变为稳定的。我们称这种分分为跨临界分岔。在 这一特例中，分岔函数f ( x ，i x ) = j x - - x 2 在分俞点( 五) = ( o ，0 ) 除了满足分龠的必 要条件： 厂( j c 0 ，x o ) = s ( o ，o ) = o ，d ，f ( o ，o ) = a 苏i 锄胪鳓- - - 0 ( 2 9 ) 外，还必须满足以下条件： 瓢删矿。，鼍l 删一。，飘观 ( 2 1 0 ) 所以我们得到一般的非线性微分动力系统发生跨临界分俞应满足的充要条件是： f ( x o ，x o ) = o ， 掣l 删矿0 ， 掣l 删私 掣l i 删矿。， 掣k w 。 ( 2 1 1 ) 2 2 3 叉式分岔 考虑一维笛卑参数非线性微分动力糸统 d 出= 厂( ) = 工l x - - x 3 ，x r 1 ，r ( 2 1 2 ) 当1 0 时，系统有三个平衡 点：不稳定平衡点工= o 和稳定平衡点z = 万。画出平衡点与的关系图，由于 其形状如音叉( 见图3 ) ，故称系统( 2 1 2 ) 在( ) = ( o ，0 ) 处出现的分俞是叉式分岔。 在这一特例中，f ( x ，f 1 ) = i x - - x 3 在分俞点( ) = ( o ，0 ) 除了满足静态分佾的必要 条件 f ( x o ，t o ) = f ( 0 ，0 ) = o ，d ，f ( o ，0 ) = a f a l 脚护。= o ( 2 1 3 ) 外，还满足以下条件： 掣g 3 fi x = 0 , a = 0 = 0 , 删0 2 fl 吣。，警l x = o , u = o ：g ：no 蹦3 fl 哪= o = 。 ( 2 1 4 ) 所以一般的非线性微分动力系统在平衡点( 而，硒) 产生叉式分岔的充要条件 是： 厂( ，肌) = o ， 掣l 舻矿。， 掣l w 矿。， 掣l 删铂0 掣l 训矿o 掣l 删一。 ( 2 1 5 ) 2 2 4 倍周期分岔 考虑一维含单参数非线性差分动力系统 xh f ( x ，) = - x - i x + x 3 ，x r 1 ，t r 1 ( 2 1 6 ) 显然，( 2 1 6 ) 存在一个非双曲不动点( j ，t ) = ( o ，0 ) ，特征算子为1 ，即： ( ，心) = 厂( o ，o ) = o , d f f ( o ，o ) 一a - f 譬u ) i 栅脚：一1 ( 2 1 7 ) 考察( 2 1 6 ) 的二次迭代函数 x 卜f 2 ( 工，) = x + , u ( a + 2 ) x - 2 x 3 + d ( 4 ) ，x r 1 ，a r 1( 2 18 ) 容易验证，( 2 1 8 ) 满足下面的条件： 9 掣l = o ：o ， ! 旦：! 掣i ，；。，一：。：2 。， ! 皇：二! ! 三掣l 。：。，：。= ：。， ! 旦：! ! 三笋l ，：。：。= 一l 2 。 ( 2 19 ) 因此，结合( 2 1 7 ) 和( 2 1 9 ) ，我们就可以得到( 2 1 6 ) 在不动点( 工，) = ( o ，0 ) 产生 倍周期分龠( 见图4 ) 的充要条件是： 厂( 而，t o ) = y ( o ，0 ) = 0 ， 州o ，o ) = 掣l 岫= o = _ 1 ， 掣l 蛳= o = 。， 笔掣l 啪= o = 2 地 ! 旦：二! ；掣f ，：。，一；。= 。， 艺笋l 啪一m 。 亿2 。， “ 图1 鞍结分岔 1 0 图2 叉式分岔 pp 图3 跨l l 台i 界分岔幽4 倍周期分岔 定的不动点( 或者周期点) ，虚线部分表示不稳定的不动点，x 是一维状态变量，是 分岔参数。 上述分俞从本质上而言，只与一个主分岔参数有关，用数学上较严格的术语 来讲，这些基本的分龠都属于余维1 情形的分岔。 事实上，对n 维离散映射的分岔分析也不一定要约化到低维系统再分析，比 如第一种情形的分岔可以直接利用文【2 4 】中对n 维离散映射给出的充分性结果。但 在其它情形下，如果将系统约化到低维系统分析，才能得到较全面的分析，利用 中心流型理论进行约化是较一般的方法，也是很有用的方法，而我们分析一个映 射在不动点发生的分佾时，通常分三步：第一，利用中心流型或者其它方法约化 到低维系统；第二，约化的系统通常还要利用范式( n o r m a lf o r m ) 方法将其进行简 化，即借助于一定的变换去得到较简单的形式；第三，利用已有的熟知的分龠定 理分析问题得出结论。因此有必要介绍分翁分析所需的常用工具，下面我们将简 要地叙述j g u c k e n h e i m e r 与p h o l m e s 的合著【2 4 】、y k u z n e t s o v t 2 5 】、s w i g g i n s 4 1 】等 书中给出的结果。 一、中心流型理论 首先来介绍有关映射的中心流型理论。假设我们有下述的映射( 离散系统) ： x i - - - a x + f ( x ，y ) ， j ，hb y + g ( x , y ) ，( x , y ) r 。腿“( 2 2 1 ) 或者 + 。= 以+ f ( x n ，y 。) ， 只+ l = b y 。+ g ( ，y 。) ， 冥中 f ( o ，0 ) = 0 ，( o ，0 ) = 0 ，g ( o ，0 ) = 0 ，d g ( 0 ，0 ) = o 且f 和g 在原点的某邻域内是c 7 ( 厂2 ) 的，a 是c xc 的矩阵，其特征值的模都为l ， b 是- - s s 的矩阵，它的所有特征值的模小于l 。由上述假设可知：( x ，y ) = ( o ，o ) 是 映射( 2 2 1 ) 的不动点，其近似线性化并不能决定其稳定性，但是我们由以下定理可 以给出( 2 2 1 ) 的中心流型。 定理1 1 ( 存在性) 映射( 2 2 1 ) 满足上述假设的条件下，存在一个c 维的c 7 的中心流型，它在局部 可表示为如下的一个图： w 。( o ) = ( x ，y ) r 。r ”ly = j i z ( x ) ，i x l 0 ，o f l l 时则出现两个非平凡的平衡 点：( ，) ( 恐，y 2 ) = ( 1 一l ，1 - 1 u ) 和( 厶) ( - x 2 ，- y ：) 。 当t j 继续变大，且越过临界值t a = 2 时，存在四个非平凡的平衡点，即： ( i i ，) ，c ，z ，c 一_ ，一y ，c 以，c 乃，b ，c 以，c y ，一毛， 可以看到这些不动点只依赖于参数。接下来我们来分析方程在上述的不动点附 近的局部稳定性，由于对称性，我们只考虑非负的不动点( n a s h 平衡点) 。对于 每一个不动点，我们计算对应的特征值a 和五，并且应用r o u t h h u r v i t z 的稳定性 条件。满足这些条件的区域我们称为稳定性区域。 下面我们分成四种情形来分析局部稳定性。 一、平凡不动点零解。方程的线性化部分在( o ，0 ) 点附近的雅各比矩阵是 ：f 卜p p l t 1 fp i tl - p ) 对应的两个特征值为： i = l 一尸+ p t 【五= 1 一p p t 当j 丑i 1 且i 五j l ，我们得到o p 矗，所以稳定区域是由直线 = o ，= l ，p = 0 和曲线p = j l 围成的( 见图3 1 ) 。 l 十 当= lf l _ p o ，则出现叉式分 u 图3 1 稳定区域 岔。 当0 1 ，且对应的不动点将失去它的稳定性，也可能出现新的 平衡点，通过直接计算我们得到下面的稳定区域： 肛) i o p 巧l 八剩( 舢) lo p 万1 三 。和l 如叫= 一p 。， 将会出现余维2 ( f o l d p e r i o d i c d o u b l i n g ) 分岔。 幽3 2 稳定区域 当= 三且p = 2 时，存在一个二重的i 临界特征值 = 疋= 1 ，因为 1 9 石d 2l ；也叫= 一1 ，可能出现余维2 分岔1 ：2 共振。 三、方程在不动点c 毛，乃，= 矩阵为： = 对应的特征矩阵的行列式为： 2 五一( 1 一p ) p ( 3 万一) 2 附近的线性化的雅各比 p ( j + 3 j 万- 4 ) 2 1 一p = 0 ( 3 3 ) 则当2 _ 3 4 - 2 时，( 3 3 ) 式有一对共轭的复特征值， l = 1 - p + i p 4 2 1 2 - 9 l 五= l - p - f p 4 2 , 2 - 9 于是我们可以得到对应的稳定区域为：( 图3 3 ) 所示 肛巾哪丽2 小钟h 加哪南斟 当2 等且p2 丽2 时，存在一个单重的临界特征值如叫。 因为_ d 2i 厶酬：一l 一 万 。 ( 或者掣l 学= 4 彤0 ) 婀能出现余维2 分龠：l = 4 ( 强) 共振。 四、对于不动点c ，朋，= ( “ 图3 3 稳定区域 的情形，经过分析可知， 它与第三种情形是一样，具有相同的稳定区域和分岔现象。 3 3 余维1 的分岔分析 3 3 1 又式分岔分析 小( 1 - p 。绒心爿 做一可逆变换( 三 = 丁( ；)其中丁= ( 二。： 则( 3 4 ) 式化为下面的形式： hp - 2 蒯倒 2 l ( 3 4 ) ( 3 5 ) g 。= p ( 1 一) 五+ 硝( # + 3 五毫) = p ( 一1 ) 恐+ 俐( # + 3 屯彳) 令口= - 1 作为一个新的独立变量，则在口= 一1 ，0 p 1 的的条件下原式 兰 寸 1 一蚕p 三 争 兰 + ； c 3 6 ， e 。( 一，t ，倪) = 一p 睇+ 尸( 1 + 口) ( x ? + 3 一) ， 乞( 玉，乇，口) = p a x 2 + p ( 1 + 口) ( 霉+ 3 x 2 x ； ) 为了研究不动点( 五，x 2 ) = ( o ，o ) 在口= 0 附近的动力行为，我们应用中心流型定 理，显然，存在( 3 6 ) 式的一个中心流型，可以表示如下形式： w f ( o ) = ( ，x 2 ，口) r 3i = ( 屯，口) ，h ( o ，o ) = d h ( o ，o ) = o ，i j c 2 i 万，j 5 i 占 其中万，占充分小。不妨设 ( ，口) 具有如下形式 = 矗( 乇，口) = q x 2 2 + 口2 x 2 5 + a 3 5 2 + d ( 3 ) ( 3 7 ) ( 厅( 恐，口) ) 三j | l ( 砚+ 蜀( ( 屯，口) ，屯，, o ) - a h ( x , ，5 ) - g ：( j 1 2 ( ，口) ，屯，口) = o 所以得到映射( 3 6 ) 限制在中心流型上的映射为： j c 2 一厂( 而，口) = 而+ p s x 2 + p ( a + 1 ) x 2 3 + o ( 4 ) 恐一屯+ 肌3 + d ( 4 ) 因为厂( t ，口) 满足下面的条件： ( o ，0 ) = 0 ， 妻 ( 0 0 ) - 1 + 胆却( 川) 乇2 乩 亳| ( 0 0 ，= 鹏+ 胱3 = o ， 五c 3 2 f ，= 6 p ( 口+ 1 ) 屯= 。， 岔。 器| ( 0 0 一+ 3 鹧2 爷o ， 习0 3 = 6 p ( 口+ 1 ) = 6 p 。 所以由分岔理论可知，当j = l ，0 夕 1 时，映射在不动点( o ，0 ) 处发生叉式分 3 3 2 倍周期分岔分析 构造一可逆矩阵r = ( ：1 ) ，利用变换f ，y 1 = 丁g ) 将c 2 q 式化为下列形式： 州3 j p 删+ 暇端篇篇 b 9 ， 引入变量夕= 2 一( 倒+ p ) ，其中0 1 ，把看作新的独立变量，则上式可写成 三 = 3 一喜p 号 三 + 昙 c 3 ，。， g 。= - f l s + ( 2 - p - p ) ( s 3 + 3 s t 2 ) ， 9 2 = # s + ( 2 - p - f 1 ) ( t 3 + 3 t s 2 ) 由中心流型定理可知，在= o 的邻域内，平衡点( s ，t ) = ( o ，o ) 的稳定性可以通 ( o ) = ( s ，t ，) r 3l s =