（运筹学与控制论专业论文）不确定离散奇异时滞系统的时滞相关保性能控制.pdf

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k r a s o v s k i i 泛函，并利用l y a - p u n o v 稳定性理论给出了时滞相关型状态反馈保性能鲁棒控制器存在的充分条件， 即文中的定理1 为了便于运用m a t l a b 软件包求解，本文将定理1 中的矩阵不等 式变换成线性矩阵不等式，并给出了控制器的设计方法和性能指标上界定理2 及 其证明叙述了这过程 第四节的数值算例指出了所给出的保性能鲁棒控制器设计方法的有效性 关键词。离散奇异时滞系统；性能指标；保性能控制；时滞相关型稳定性判据； 线性矩阵不等式( l m i ) 2 山东大学硕士学位论文 d e l a y - d e p e n d e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o r u n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m es i n g u l a rs y s t e m sw i t h t i m e - d e l a y g a o p e n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n2 5 0 1 ) 0 ) a b s t r a c t t b l sp a p e rc e n s i d e r st h ep r o b l e mo fs t a t ef e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r d e s i g nf o rd i s c r e t e - t i m es i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m sw i t hn o r m - b o u n d e dp a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e s c o n s i d e ru n c e r t a i nd i s c r e t es i n g u l a rt i m e d e l a ys y s t e m s j e x ( k + 1 ) 一( a + a a ) x ( k ) + ( 九十凡) z 一d ) + ( b + 口) u ( 詹 ( 1 ) lz ( ) = 咖( k ) ，k 【- d ，0 】 w h e r ex ( k ) r ”i st h es t a t ev e c t o r ，( 七) r mi 8t h ec o n t r o l l e di n p u t ，e ，a ，a d ，b a r eu n k n o w nr e a lc o n s t a n tm a t r i c e sw i t ha p p r o p r i a t ed i m e n s i o n s 0 r a n k e = r 礼，di sa l lu n k n o w nr e a lc e n s t a n td d a ya n ds a t i s f i e s0 d d m ，w h e r ed mi st h e u p p e rb o u n do fd 妒( ) 培ac o m p a t i b l ei n i t i a lf u n c t i o n a a ，九a n da ba r e u n k n o w nm a t r i c e sr e p r e s e n t i n gt i m e - v a r y i n gp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s ，a n da s s u m e d t ob eo f t h e f c ) r n l i a aa a aa b 】_ m f ( k ) n a dn b 】 ( 2 ) w h e r em ，帆，眦a n dn ba r ek n o w nr e a lc o n s t a n tm a t r i c e s ，f ( ) k n o w nt i m e - v a r y i n gm a t r i xf u n c t i o ns a t i s f y i n g f r ( k ) f ( k ) s ，v k 膏刈i 8a na n - ( 3 ) g i v e np o s i t i v ed e f i n i t es y m m e t r i cm a t r i c e sr i ，尼，w ec o n s i d e rt h ec o s tf u n c t i o n a l ，；( ，( 七) r l 茹( ) + u r ( k ) r 2 u ( k ) ) k = 0 t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st od e s i g nas t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r u ( k ) = k x ( k ) ，k r m “ ( 4 ) 3 山东大学硕士学位论文 ki sac o n s t a n tm a t t i x ，s u c ht h a tf o ra l la d m i e s i b l eu n c e r t a i n t i e s ，t h ed o s e d - l o o p s y s t e mi sr e g u l a r 。c a s u a la n da s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dt h ed o s e d - l o o pv a l u eo ft h e c o s tf u n c t i o n a ljs a t i s f i e sab o u n d a tf i r s t ，i ti sa s s u m e dt h a t0 r a n k e r 0 ) 表示实对称矩阵x 为半正定( 正定) 矩阵； j 是单位矩阵； 。表示矩阵的转置； r a n k a 表示矩阵a 的秩； 符号+ 用于一些矩阵描述中来表示对称结构，即若给定适维矩阵x = x 7 ，z = 汐则l ：牛ip x z y 1 ”0 指向量的e u c l i d e a n 范数或矩阵的谱范数； 6 山东大学硕士学位论文 第二节问题的描述及预备知识 2 1 问题描述 考虑不确定离散奇异时滞系统 je x ( k + 1 ) = ( a + a a ) x ( k ) + ( a d + a 山) z ( 一d ) + ( b + a b ) u ( k )，1 、 iz ( 女) = ( ) ，k 【- d ，o l 、 式中z ( 七) 酽是状态变量，u ( k ) j p 是控制输入，b ，a ，山，b 为已知适维常 矩阵，0 r a n k e = r n ，d 是未知的常整数时滞，0 0 ，使得 q + s 一- ，矿s l 】 。； 一1 乏? 。 成立，式中厶= u + t ，) ，r ，j 足适当维数的矩阵 引理3 若矩阵对( e ，a ) 是正则的，因果的，则对任一满足相容性初始条件的 函数毋( ) ，系统( 5 ) 存在唯一解 证明。类似【4 】的证明可得引理结果 2 3 问题的转换 假设1 础b 三汁r eab 注：当f ( k ) 一0 时，假设1 等价于系统( 1 ) 是因果能控的，它是系统( 1 ) 鲁棒 稳定化问题有解的必要条件脚1 8 山乐大字坝士竽伍记又 由r a n k e 0 ，口2 0 ，露以及x ，y ，满足下列不等式 其中 y x t 冲。 皿十 鸽户心户卜矿一o - co 儿o 】 di 地0- 6 i s 磁ps 孵户 o s 田一e 埘磁卅 西= c d 一，x + y 。 + 苫 + 鲁户+ 。：。，q 。 + 言； 也：，二 + ：a 2 j7 ；户o a = a 。d = m = a l l a n a 舡2 t + 历露； ，朋b = l , i n m 等2 - m l 一 2 1 | j j ，炉i 等i r 等一1 矗2 砒a 妇+ 雄( b a , - 0 五凰成【o o j 轧一见露oo ，比= o 觑。晓。+ 轧露 ， ( 3 3 ) ( 3 4 ) 飓：量k ( 3 5 ) lu lj 则系统( 2 2 ) 与控制器( 2 4 ) 构成的闭环系统是鲁棒稳定的，且指标( 3 1 ) 有如下估 山东大学硕士学位论文 计 一1 0 1 ，s ，= 护( o ) 筋( o ) + 矿o ) 国- 画a ) + 7 ( 1 ) 0 2 ( z ) ( 3 6 ) = 一d + i = 一d + 2l = j 一1 舯 弛，；o ：； 吼驴 计 令 叩( + 1 ) = 吁( ) + y ( k ) 则系统( 3 7 ) 重写为 一t 0 一( 五十屯一聊( ) 一! ，( ) 一缸荆， i = k - - d 件l 其中 屯= 也+ 尬。厶，屯= 如+ 腹，厶心 定义系统( 3 7 ) 的一个l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 函数如下 则 令 1 6 ( 3 8 ) ( 3 9 ) h - 1 0 一l y ( 膏) = r l t ( k ) p y ( k ) + 矿( i ) 国l 卵( 1 ) + 巾) 国2 y ( f ) ， ( 4 0 ) 诗i d + 1，= 一d + 2f = 十j - 1 a v ( k ) = v ( k + 1 ) 一v ( k ) = r ( 女) 岛( ) + 2 矿( 七) 而( ) + y t ( k ) e 2 - ( ) 一矿( 自+ l 一回国l y ( k + 1 一d ) k - i + ( d 一1 ) p r ( ) 国2 ( 七) 一y t ( i ) q 2 y ( i ) ， ( 4 1 ) i = k - d + i g = ； 山东大学硕士学位论文 则由( 3 9 ) 式， 屯二忙s b ) ( k h 卜美砸，) ( 4 2 ) 屯十屯一 ) 一( 自) l ；一f ，一l d 【a 甜j ”j ”。 堋= ，蚓“得 都k - i + ay ( ：i ) 北卜倒 = ( d - 1 帜舭) + 2 甜( y g t 乞k 旷似+ t 卅 i 一1 + y t ( i ) 0 2 y ( i ) i - k - 1 4 - d ( 4 3 ) 令s c 功一 。：) - 回 ，综合c t t h a s ，我们可以得到 y 卵。后譬：) _ d ， t e 。七拿：i - d ， 一s 7 c t ，。t 。e c 膏，c a t ， 其中 e= 州慨孙( c + a c ) 0 ( d + a d ) ， 皿= ( d - 1 ) x + y 。 + 苫 十 鲁户+ 。三。，国。 叫屯：， 1lii_j o 矿 l 矿 r 似，i 叩可 r l = h 伊 i|门= 舭舭 睽 砷 2 飞 i | 趼 r 砷 7 g 1j r t 一。o a 山东大学硕士学位论文 若 0 ，使得a vs - - o ll ln ( k ) 0 2 ，从而系统( 3 7 ) 渐近稳 定下证e 0 由s c h u r 补性质，知 而 其中 0 甘 0 纪 一q t c + a co d + a d f 0a t g0 一q 1 dj 0 ，w 4 0 ，w s 0 ，& t 0 ，s 扔 0 ，p ，使得下列不等式 f 肌 m w 2 1 。 ， 【胛叮j 1 9 山东大学硕士学位论文 皿 e 2 i 一 砀l 功2 - i 4 l4 2 0 e 5 i0 e 聊一脚磁- e l 0 ，q 1 0 ，0 。 0 ，适维 矩阵露，x ， ，和标量 o 使得( 3 3 ) 和( 3 4 ) 成立，掣系统( 1 ) 和状态反馈( 5 4 ) 构成的闭环系统是容许的，且性能指标有如( 3 6 ) 所示的上界令 s= 胍= 矾= 死= ( 5 6 ) 分别用死和可左乘和右乘不等式( 3 3 ) ，就得到了( 5 1 ) 式再用乃和可分别 左乘和右乘不等式( 3 4 ) ，即可得到如下的不等式 ( 如回7 一呼( a 锎r 一孵 册o1 lj m 雪o 】 卜磁户e 孵户 d sf n 融s 0 0 鹎一e 鸩豫一e l 0 ( 5 7 ) 为了得至个线性矩阵不等式，需取雪为如下形式的对角矩阵。令 s = d i a g s u ，研l ， ( 5 8 ) 2 1 p q p j j p 圪 1。j r 圪 | | 吖 y 一 ， h q o 尸 p p 0，、二 4 j p d = p _ 1iljp 一 剐 d q f l p j r ，l 丁 x h o p p ， l p 户 ：f r，【；8 $ 掌 $ f 牛 奉 山东大学硕士学位论文 并令 即可得到( 5 2 ) 式再由引理5 证毕 u ( k ) y k s x l = 【q 矗露一q 矗q 。t 】q - i x ( k ) = 【q 玉矿靠1 一q 玉q 。- q - i x ( k ) ( 5 9 ) ( 6 0 ) 山东大学硕士学位论文 第四节数值算例 考虑形如( 1 ) 的不确定离散奇异时滞系统，其性能指标为( 3 ) ，其中。 e = ： ，a = 二；三：主 ，山= 呈：未； ， b = m = 心= o 0 3o 0 7 】，舭= o 0 6o ，0 4 ，n b = 0 0 1 ， 如= 3 ，f ( k ) = 最6 2 s 1 ， 取( 7 ) 中的p ，q 为 p = - 1 斟q = 旧 并用m a t l a b 中的l m i 工具箱求解( 5 1 ) 和( 5 2 ) ，解得 叶6 6s 圳，珏 爱慕斟 【0 0 7 4 5 o2 1 8 02 3 2 9 7 j 山东大学硕士学位论文 第五节结语 本文研究了不确定离散奇异时滞系统的时滞相关状态反馈保性能控制器设计 问题通过对系统和性能指标作一系列的等价变换，将此问题转化为正常的不确定 线性离散时滞系统的保性能控制器设计问题利用l y a p u n o v 稳定性理论，以l m i 的形式给出了时滞相关保性能控制器的设计方法此状态反馈控制器使得闭环系统 是正则的，因果的，渐近稳定的且性能指标满足一个上界最后给出了一个数值例 子，说明本文算法的有效性 山东大学硕士学位论文 参考文献 | 1 】1 m a n um a l e k - z a v a r e ia n dm o h a m m a dj a m s h i d i ，t i m e - d e l a ys y s t e m sa n a i y s 自s ，o p - t i m i z a t i e na n da p p l i c a t i o n s ，1 9 8 7 【2 | 秦元勋，刘永清，王联，郑祖庥，带有时滞的动力系统的运动稳定性，北京， 科学出版社，1 9 8 9 【3 jh ，h r e s e n b r o c k ，s t m c t u r a lp r o p e r t i e so fl i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s ，i n t ，j c o n t r o l ， 2 0 ( 2 ) ：1 9 1 - 2 0 2 ，1 9 7 4 1 4 】s x u ，p v d o o r e n ，r s t e f a na n dj l a v a r o b u s ts t a b f l i t ya n d s t a b i l i z a t i o nf o r 咖g l l l a r s y s t e m sw i t hs t a t ed e l a ya n dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t y , i e e et r a n s ，a u t o m a t c o n t r 4 7 ：1 1 2 2 1 1 2 8 ，2 0 0 2 【5 ly s m o o n ，p g p a r k ，w h k w o na n dy ，s l e e ，d e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i z a t i o n o fu n c e r t a i ns t a t e - d e l a y e ds y s t e m s ，i n t e r n a t i o n a ij o u r n a lo fc o n t r o t ，7 4 ：1 4 4 1 4 5 5 ， 2 0 0 1 1 6 】e f r i d m a na n du s h a k e d ，d e l a y - d e p e n d e n ts t a b i l i t ya n d 日。c o n t r o l ：c o n s t a n ta n d t i m e - v a z y i n gd e l a y s ，i n t ，j 。c o n t r o l , 7 6 ( i ) ：4 s 一6 0 ，2 0 0 3 吲s x ua n dj l a m ，c y a n g ，r o b u s t 如c o n t r o lf o rd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m sw i t h s t a t ed e l a ya n dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t y , d y n & c o n t i n u n o t m ，d i s c r e t e ，i m p u l s y s t ， 1 1 ( 3 ) ：4 9 7 - 5 0 6 ，2 0 6 2 i s l 马树萍，程兆林，时滞相关型离散时变时滞奇异系统的鲁棒镇定，控制与决策， 2 1 ( 5 ) ：5 3 6 - 5 4 0 ，2 0 0 6 1 9 】s s l c h a n ga n dt k c p e n g ，a d a p t i v eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo fs y s t e m sw i t hu n - c e l t a i np a r a m e t e r s i e e en a n s a e t i o n s0 1 1a u t o m a t i cc o n t r 0 1 1 7 ：4 7 4 4 8 3 1 9 7 2 【1 0 ls o ，r m o h e i m a n ia n di r p e t e r s e n ，o p t i m a lq u a d r a t i cg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo fa c l a s so f u n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m s ，i e e ep r o c e e d i n g s - c o m r o l ，t h e o r ya n da p p l i - c a t i o n s ，1 4 4 ：1 8 3 - 1 8 8 ，1 9 9 7 【1 1 ls h e g a h ma n ds o r m o h e i m a n i ，l m ia p p r o a c ht os u b o p t i m a lg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o lf o ru n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m s 。i e e ep r o c e e d i n g - c o n t r 0 1 t h e o r ya n d a p p l i c a t i o n s 1 4 5 ：4 9 1 4 9 8 ，1 0 0 8 f 1 2 】l y ua n dj c h u ，a nl m ia p p r o a c ht og u a r a n t e e dc o e tc o n t r o lo fal i n e a ru n c e r t a i n t i m e - d e l a ys y s t e m s ，a u t o m a t i c a ，3 5 ：1 1 5 5 - 1 1 5 9 ，1 9 9 9 【1 3 ls h e s f a h a n ia n di r p e t e r n ，a nl m ia p p r o a c ht ot h eo n t p n t f e e d b a c kg u s x a n - t e e dc o s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nt i m e - d e l a ys y s t e m s p r o c e e d i n s so ft h e3 7 t hi e e e c o n f e r e n c eo i ld e c i s i o na n dc o n t r o l ，t a m p a ，u s a ，1 3 5 8 - 1 3 6 3 ，1 9 9 8 【1 4 】y s l e e ，y s m o o na n dw h k o w o n ，d e l a y - d e p e n d e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o r u n c e r t a i ns y s t e m ss t a t e - d e l a y e ds y s t e m s ，p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a nc o n t r o lc o i l - f e r e n e e ，a r l i n g t o n ，u s a ，3 3 7 6 - 3 3 8 1 ，2 0 0 1 山东大学硕士学位论文 【1 5 1w h c h e na n dj x x u ，g u a r a n t e e dc e s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nm a r k o v i n aj u m pe y e - t e r n sm o d e - d e p e n d e n td e l a y s ，i e e et r a n s a u t o m a t c o n t r 4 8 ：2 2 7 0 - 2 2 7 7 ，2 0 0 3 f 1 6 】j f e i l g ，s z h ua n dz c h e n g ，g u a r a n t e e dc 0 6 tc o n t r o lo f l i n e a r u n c e r t a i ns i n g u l a rt i m e - d e l a ys y s t e m s ，p r o c 4 1 s ti e e ec o n f d e c i s i o nc o n t r o l ，l a sv 豫，n e r a s a , u s a 1 8 0 2 - 1 8 0 7 ，2 0 0 2 1 7 1w h c h e n z h g u a na n dx l u d e l a y d e p e n d e n tg u a r a n t e e dc 0 6 tc o n t r o lf o rr n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m es y s t e m sw i t hd e l a y , e e ep r o c e e d i n g s - c o n t r o lt h e o r ya n da p p l i c g t i o n s ，1 5 0 ：4 1 2 4 1 6 ，2 0 0 3 ( 1 8 】l d a i ，s i n g u h rc o n t r o ls y s t e m s ，l e c t u r en o t e si nc o n t r o la n di n f o r m a t i o ns c i e n c e s ， s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，v 0 1 1 1 8 ，1 9 8 9 1 1 9 ll i x i e o u t p u tf e e d b a c k kc o n t r o l o fs y s t e m sw i t h p a r a m e t e ru n c e r t a i n t y , i n t j c o n t r 6 3 f 4 ) ：7 4 1 7 5 0 ，1 9 9 6 ( 2 0 l 马树萍，程兆林，一类不确定离散奇异系统的鲁棒稳定化，控制理论与应用， 2 1 ( 5 ) ：7 6 5 - 7 7 5 ，2 0 0 4 2 1 1e f r i d m a na n du s h a k e d ，ad e s c r i p t o rs y s t e ma p p r o a c ht o 凹c o n t r o lo fl i n e a r t i m e - d e l a ys y s t e m s ，i e e et r a n s a c t i o n so na u t o m a t i cc o m r o l ，4 7 ( 2 ) ：2 5 3 - 2 7 0 ，2 0 0 2 【2 2 le ，f r i d m a n ，s t a b i l i t yo fl i n e a rd e s c r i p t o rs y s t e m sw i t hd e l a y ：al y a p u n o v - b a e e d a p p r o a c h ，j m a t h a n a l a p p l 2 7 3 ：2 4 4 4 ，2 0 0 2 【2 3 】j o h nc d o y l e ，k e i t hg l o v e r ，p r a m o dp k h a r g o n e k a ra n db r u c ea f r a n c i s ，s t a t e - s p a c es o l u t i o n st o 阮a n d 如c o n t r o lp r o b l e m s ，i e e et r a n s a c t i o n so na u t o m a t i c c o m r d ，3 4 ( 8 ) ：8 3 1 8 4 7 ，1 9 8 9 阻1p r a m o dp k h a r g u n e k a r ， a nr p e t e r s e na n dk e m i nz h o u ，r o b o ts t a b i l i z a t i o no f u n - c e r t a i nl i n e a rs y s t e m s ：q u a d r a t i cs t a b i l i z a b i l i t ya n d 日c o n t r o lt h e o r y , i e e et r a n s - a c t i o n so ha u t o m a t i cc o n t r o l ，3 5 ( 3 ) ：3 5 6 3 6 1 ，1 9 9 0 2 5 1i z u m im a s u b u e h i ，y 0 6 h i y u k ik a m i t a n e ，a t s u m io h a x aa n dn o b u h i d es u d a ，日c o n - t r o lf o rd e s c r i p t o rs y s t e m s ：am a t r i xi n e q u a l i t i e sa p p r o a c h ，a u t o m a t i e a ，3 3 ( 4 ) ：6 6 9 - 6 7 3 ，1 9 9 7 陋7y s l e e , y s m o o na n dw h k o w o n ，d e l a y - d e p e n d e n tg u a r a n t e e do o 酣c o n t r o lf o r u n c e r t a i ns y s t e m ss t a t e - d e l a y e ds y s t e m s ，p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a nc o n t r o lc o n o f e r e n c e ，a r l i n g t o n ，u s a ，3 3 7 6 - 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4 5 1 ，2 0 0 3 【3 1 1w h ，c h e n ，z h g u n na n dx l u ，d e l a y - d e p e n d e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o ru n