（运筹学与控制论专业论文）the+majorization+theorems+of+bicyclic+graphs.pdf

【1 4 】j a b o n d y , u s r m u r t y , g r a p ht h e o r yw i t ha p p l i c a t i o n s ，m a c m i l l a np r e s s ，l o n - d o n ，1 9 7 6 【1 5 】j l e y d o l d af a b e r k r a h n - t y p ei n e q u a l i t yf o rr e g u l a rt r e e s g a f a ，g e o m f u n c t a n a l ，7 ( 1 9 9 7 ) ，3 6 4 3 7 8 1 6 1h l i u ，m l u ，f t i a n ，o nt h es p e c t r a lr a d i u so f g r a p h sw i t hc u te d g e s ，l i n e a r a l g e b r aa p p l 3 8 9 ( 2 0 0 4 ) ，1 3 9 1 4 5 f 1 7 1a j h o f f m a n ，j h s m i t h ，i n ：f i e d l e r ( e d ) ，r e c e n ta d v a n c e si ng r a p ht h e o r y , a c a d e m i ap r a h a n e wy o r k ，1 9 7 5 ，p p 2 7 3 2 8 1 1 8 m p e r t r o v i d ，i g u t m a n ，s g g u o ，o nt h es p e c t r a lr a d i u so fb i c y c l i cg r a p h s ，b u l 4 l e t i n ：c l a s s e sd e ss c i e n c e sm a t h 色m a t i q u e se t n a t u r e l l e s s c i e n c e sm a t h m a t i q u e s ， 2 0 0 5 ，v 0 1 1 3 1 ，b r 3 0 ，s t r 9 3 9 9 f 1 9 1d m c v e t k o 、r i 6 ，m d o o b ，i g u t m a n ，a t o r g a 誊v ，r e c e n tr e s u l t si n t h et h e o r yo f g r a p hs p e c t r a ，n o r t h - h o l l a n d ，a m s e r d a m ，1 9 8 8 f 2 0 d c v e t k o v i 6 ，s k s i m i d ，t o w a r d sas p e c t r a lt h e o r yo fg r a p h sb a s e d o nt h es i g n l e s s l a p l a c i a ni ，p u b l i n s t m a t h ( b e o g r a d ) ，8 5 ( 9 9 ) ( 2 0 0 9 ) ，1 9 3 3 2 1 】m h l i u ，x z t a n ，b l l i u ，t h e ( s i g n l e s s ) l a p l a c i a ns p e c t r a lr a d i u so f u n i c y c l i c a n db i c y c l i cg r a p h sw i t h 佗v e r t i c e sa n dkp e n d a n tv e r t i c e s ，c z e c h o s l o v a km a t h ， t oa p p e a r f 2 2 1b l l i u ，c o m b i n a t o r i a lm a t r i xt h e o r y ，s c i e n c ep r e s s ，b e i j i n g ，2 0 0 5 ，1 7 - 2 3 ( i nc h i - n e s e ) 2 3 1m h l i u ，x z t a n ，b l l i u ，t h es i g n l e s sl a p l a c i a ns p e c t r a lr a d i u so fc o n n e c t e d b i c y c l i ca n dt r i c y c l i cg r a p h sw i t hw i t h 佗v e r t i c e sa n dkp e n d a n tv e r t i c e s ，a p p l m a t h 。，c h i 佗e s e 叻z 而s e r ，s u b m i t t e d ( i nc h i n e s e ) 【2 4 】 2 5 b l l i u ，x y j i a n g ，m h l i u ，af u r t h e rr e s u l to i lm a j o r i z a t i o nt h e o r e m f o rs i g n l e s s l a p l a c i a ns p e c t r a lr a d i u so fc o n n e c t e dg r a p h s ，e l e c l i n e a ra l g e b r a ，s u b m i t t e d b l l i u ，m h l i u ，z f y o u ，t h em a j o r i z a t i o nt h e o r e mf o rs i g n l e s sl a p l a c i a ns p e c t r a lr a d i io fc o n n e c t e dg r a p h s + ，d i s c r e t em a t h ，s u b m i t t e d 2 9 jl_-， 1 、f r e f e r e n c e s r a h o r n ，c r j o h n s o n ，m a t r i xa n a l y s i s ，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 0 ， r e p r i n t e dw i t hc o r r e c t i o n s 【2 t b l y l k o 莒l u ，j l e y d o l d ，l a r g e s te i g e n v a l u e so fd e g r e es e q u e n c e s ，h t t p ：a r x i v o r g a b s m a t h ( c o 0 6 0 5 2 9 4v l1 1m a y2 0 0 6 ) 3 】d m c v e t k o v i 6 ，m d o o b ，h s a c h s ，s p e c t r ao lg r a p h s t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，v e b d e u t s c h e rv e r l a gd e rw i s s e n s c h a f t e n ，b e r l i n ，1 9 8 0 【4 r a b r u a l d i ，a j h o f f m a n ，o nt h es p e c t r a lr a d i u so f ( o ，1 ) 一m a t r i c e s ，l i n a l g e b r a a p p l ，6 5 ( 1 9 8 5 ) ，1 3 3 - 1 4 6 t b w l k o 莒l u ，j l e y d o l d ，g r a p h sw i t hg i v e nd e g r e es e q u e n c ea n d m a x i m a ls p e c t r a l r a d i u s ，e l e c t r o n ) c o m b i n 1 5 ( 1 ) 2 0 0 8 ，r 1 1 9 m h l i u ，b h l i u ，t h eg e n e r a lm a j o r i z a t i o nt h e o r e mf o rc o n n e c t e dg r a p h s ，e l e c t r o n j c o m b i n s u b m i t t e d 【7 】x y j i a n g ，y l l i u ，b l l i u ，a ，f u r t h e rr e s u l to nm a j o r i z a t i o nt h e o r e m ，l i n e a ra n d m u l t i l i n e a ra l g e b r a ，t oa p p e a r 【8 r m e r r i s ，l a p l a c i a nm a t r i c e so fg r a p h s ：as u r v e y , l i n a l g e b r aa p p l ，1 9 7 - 1 9 8 ( 1 9 9 4 ) ： 1 4 3 - 1 7 6 9 x d z h a n g ，t h el a p l a c i a ns p e c t r a lr a d i io f t r e e sw i t hd e g r e es e q u e n c e s ，d i s c m a t h 3 0 8 ( 2 0 0 8 ) ，3 1 4 3 3 1 5 0 【1 0 】x d z h a n g ，t h es i g u l e s sl a p l a c i a ns p e c t r a lr a d i u so fg r a p h sw i t hg i v e nd e g r e e 静 q u e n c e s ，d i s c a p p l m a t h 1 5 7 ( 2 0 0 9 ) ，2 9 2 8 2 9 3 7 【11 】s g g u o ，t h es p e c t r a lr a d i u so fu n i c y c l i ca n db i c y c l i cg r a p h sw i t hn v e r t i c e sa n dk p e n d a n tv e r t i c e s ，l i n e a ra l g e b r aa p p l ，4 0 8 ( 2 0 0 5 ) ，7 8 8 5 【1 2 b l l i u ，g l i ，an o t eo n t h el a r g e s te i g e n v a l u eo fn o n - r e g u l a rg r a p h s ，e l e c l i n e a r a l g e b r a ，1 7 ( 2 0 0 8 ) ，5 4 _ 6 1 【1 3 m h l i u ，b l l i u ，z f y o u ，t h em a j o r i z a t i o nt h e o r e m o fc o n n e c t e dg r a p h s ，l i n e a r a l g e b r aa p p l 4 3 1 ( 2 0 0 9 ) ，5 5 3 5 5 7 a n d 死司+ + l ，f o ra l l1 i k 一1 l e tb ib et h ec o n n e c t e db i c y c l i cg r a p h sw i t hg r e a t e s t s i g n l e s sl a p l a c i a ns p e c t r a lr a d i u si nc ，2 i k 一1 s i n c e7 1 i 1 + 7 1 i + 1 ，b yl e m m a2 2 1 4 ， w eh a v ep ( b i ) p ( b i + 1 ) t h e nw ec a nc o n c l u d et h a tp ( b ) 肛( b 2 ) p ( b 七一1 ) p ( b ，) t h u s ，t h e o r e m2 2f o l l o w s b yt h e o r e m2 2a n dp r o p o s i t i o na ，i tf o l l o w st h a t c o r o l l a r y2 2 2 l e t7 ra n d7 r b et w od i f f e r e n tn o n - i n c r e a s i n gb i c y c l i cd e g r e es e q u e n c e s w i t h7 r t r l l e tba n db | b et h ec o n n e c t e db i c y c l i cg r a p h sw i t hg r e a t e s ts i g n l e s sl a p l a c i a n s p e c t r a lr a d i u si ng a n dg ，r e s p e c t i v e l y i fb 7i sb i p a r t i t e ，t h e na ( b ) a ( b ，) p r o o f s i n c eb 7i sb i p a r t i t e ，b yt h e o r e m2 2a n dp r o p o s i t i o na ，i tf o l l o w st h a ta ( b ) p ( b ) p ( b 7 ) = a ( b 7 ) t h u s ，t h er e s u l tf o l l o w s 口 2 7 l a p l a c i a ns p e c t r a lr a d i u si ng ，t h u s ，g 7 = 磁( 忌) o n c ea g a i n ，l e m m a2 2 1 0i m p l i e s t h a t 肛( g ) p ( g ，) c a s e2 i y ( r 幽) i = 3 w ed e n o t en ( v p ) nn ( v g ) = z ，y ，z ) t w os u b c a s e so c c u r s u b c a s e2 1 a tl e a s tt w ov e r t i c e so f z ，可，z ，s a yz ，y ，h a v ed ( z ) ，d ( y ) 3 n o t et h a t d ( v q ) = 3 ，w eg e t ，2 ( z ) ，2 ( 秒) 如( ) b yl e m m a s2 2 2 s i n c ec = 2 ，w e h a v ex yge ( g ) m e a n w h i l e ，n o t et h a t 止 ) ，2 ( ) ，ge ( g ) ，w eg e tt h a t 止( ) ，2 ( 可) b yc o r o l l a r y 2 2 1 l e tg 1 = g + x y + 坳一x v q y v 口t h e ng xi sc o n n e c t e da n dg 1 g ，w eh a v e 。( 尼) 一磁( 如) =( 如( z ) + 如( 可) ) 2 + ( ，2 ( ) + 厶( ) ) 2 一( 厶( z ) + 如( ) ) 2 一( ，2 ( 可) + 丘( ) ) 2 = 止( ) 2 一f 2 ( v q ) 2 + 2 f 2 ( x ) ( f 2 ( y ) 一丘( ) ) + 2 f 2 ( v 。) ( 尼( ) 一如( 秒) ) 0 i t i sn o th a r dt os e et h a tn a l ( u p ) g ( ) s ow e l e m m a2 2 1 1 h a v e 肛( g ) 0 i nt h i sc a s e ，g 。( ) 主g ( ) ，t h e np ( g ) p ( g 1 ) 肛( g 7 ) b yl e m m a2 2 1 1 口 l e m m a2 2 1 4 l e t7 r = ( d l ，d 2 ，厶) ，7 r 7 = ( 西，磁，畋) b et w on o n - i n c r e a s i n g b i c y c l i cd e g r e es e q u e n c e sw i t h7 rq 47 r 7 l e tg a n dg 7b et h eb i c y c l i cg r a p h sw i t hg r e a t e s t s i g n l e s sl a p l a c i a ns p e c t r a lr a d i u si ng a n dg ，r e s p e c t i v e l y t h e nu ( a ) u ( g ，) p r o o f b yt h ed e f i n i t i o no f7 r 司+ 7 r 7 ，w eh a v e = 彩+ 1 ，呓= 嘞一1 ，1 p q 仃 i tf o l l o w st h a td ( v p ) d ( v q ) 2 i fd q 4 ，t h e n 嘭3 b yl e m m a2 2 4 ，w e h a v ep ( g ) 肛( g ，) i fd q = 2 ，3 ，b yl e m m a s2 2 1 2 2 2 1 3 ，w eh a v ea l r e a d yg o t t e n u ( a ) ( g ，) b yc o m b i n i n gt h ea b o v ea r g u m e n t s ，t h ep r o o fi sc o m p l e t e d 口 t h ep r o o fo ft h e o r e m2 2 s i n c e7 r 司7 r 7 ，b yl e m m a2 1 3 ，t h e r ee x i s t sas e r i e so fn o n - i n c r e a s i n gb i c y c l i cd e g r e es e q u e n c e s7 2 ，7 r 七一1s u c ht h a t ( 7 r = ) 7 r l q 7 r 2 q d ( u ) ，i tf o l l o w st h a t 丘( z ) ，2 ( 让) b yl e m m a 2 2 2 i fd ( x ) = d ( u ) ，t h a ti s ，d ( x ) = d ( u ) = 2 ，t h e r em u s te x i s ts o m ev e r t e x ，s a yv ， s t ，u v e ( g ) ，vg ，v q ，z ，) ，a n dd ( v ) 2 f u r t h e r m o r e ，x vge ( g ) ( s i n c ec = 2 ) m e a n w h i l e ，s i n c ed ( v 口) d ( 口) ，u v 口ge ( g ) ，w eh a v e 止( z ) 如( u ) b yc o r o l l a r y2 2 1 n o wl e tg 1 = g + 札+ z 可一可乱一x v 口t h e ng 1i sc o n n e c t e da n dg 1 g ，w eh a v e 磁。( 尼) 一( 厶) = ( 厶( 唧) + ，2 ( u ) ) 2 + ( f 2 ( x ) + 如( 可) ) 2 一( 止( 秒) + 如( 乱) ) 2 一( 如( z ) + 止( ) ) 2 = 如( 吻) 2 一，2 ( u 。) 2 + 2 ，2 ( ) ，2 ( 札) + 2 f 2 ( x ) f 2 ( y ) 一2 厶( 可) 尼( u ) 一2 厶( z ) 止( ) 尼( ) 2 一无( ) 2 + 2 ，2 ( 可) ( 止( z ) 一止( 让) ) + 2 厶( ) ( 如( u ) 一尼( z ) ) = 厶( ) 2 一如( ) 2 + 2 ( 止( 可) 一止( ) ) ( ，2 ( z ) 一，2 ( 钆) ) 0 n o t i c et h a tn g lv q ) 垂n g ( v g ) t h i s 2 2 1 1 i m p l i e st h a t ( g ) p ( g 1 ) p ( g 7 ) b yl e m m a i f ( n ( x ) u ( 可) ) ，) = d ，t h e nd ( x ) = d ( 可) = 2 s i n c e 晖= 如+ 1 ，w eg e t d ( v p ) 4 s u p p o s et h a tgh a s 七p e n d a n tv e r t i c e s ，t h e n 丌= ( k + 3 ，3 ，2 ，2 ，1 ，1 ) f u r t h e r m o r e ，b yt h ed e f i n i t i o no f7 r 司+ 7 r 7 ，w eh a v e7 r ，= ( k + 4 ，2 ，2 ，2 ，1 ，1 ) n o t e t h a tb 差( 克) c _ ，a n d1 k n 一5 ，b yl e m m a2 2 1 0 ，三嚆( 七) h a st h eg r e a t e s ts i g n l e s s 2 5 s u b c a s e2 2 x y e ( g ) n o t et h a t 口5 ，t h e r em u s te x i s ts o m ev e r t i c e s “，秽，s u c h t h a tu ，砂g ，v q ，z ，矽) ，d ( 饥) 2 ，u v e ( g ) ，d ( v ) = 1 s i m i l a r l y , w eg e t 厶( u ) 厶( ) b yl e m m a2 2 3 ，厶( z ) 止( 口) a n d 尼( y ) 丘( 钉) b yl e m m a 2 2 2 a n dt h e r em u s te x i s t a tl e a s to n ev e r t e xo f x ，可) ，s a yz ，s u c ht h a t 让z e ( g ) ( i fn o t ，u x e ( g ) ，u y e ( g ) ， ac o n t r a d i c t i o nt ot h ef a c tc = 2 ) f u r t h e r m o r e ，w eg e tf 2 ( 吻) f 2 ( u ) b yc o r o l l a r y2 2 1 l e tg 1 = g + v p v + u x u 钉一x v a t h e ng 1i sc o n n e c t e da n dg 1 g ，w eh a v e r g ，( ，2 ) 一r g ( 止) = ( 止( 吻) + 龙( u ) ) 2 + ( 如( u ) + 尼( z ) ) 2 一( 止( 乱) + ，2 ( u ) ) 2 一( 止( z ) + 尼( ) ) 2 0 n o t i c et h a tn g 。v g ) 至n c ( v g ) s ob yl e m m a2 2 1 1 ，p ( g ) p ( g 1 ) u ( a ，) 口 l e m m a2 2 1 3 l e t7 r = ( d l ，d 2 ，厶) ，7 r 7 = ( d l ，必，敏) b et w on o n - i n c r e a s i n g b i c y c l i cd e g r e es e q u e n c e sw i t h 丌司47 r 7 ，w h e r e 嘭= 彩+ 1 ，嘭= d q 一1 ，1 p q n ， 也= ，i p ，q l e tg a n dg 7b et h eb i c y c l i cg r a p h sw i t hg r e a t e s ts i g n l e s sl a p l a c i a n s p e c t r a lr a d i u si ng a n dq ，r e s p e c t i v e l y i fd q = 3 ，t h e np ( g ) 肛( g ，) p r o o f f o rt h eg r a p hg ，s i n c e1sp g 佗，w eh a v e 厶( u p ) 2 尼( ) b yl e m m a2 2 2 l e t t i qb eas h o r t e s tp a t hf r o m t ou q i ft h e r e e x i s t sav e r t e xw y ( v g ) ( ) a n d wgr p ”口，l e tg 1 = g + w v p w v g ，t h e ng 1i sc o n n e c t e da n dg 1 ( ，b yl e m m a 2 2 1 ， 肛( g ) d ( u ) ，b yc o r o l l a r y2 2 1 ，i t f o l l o w st h a t 厶( ) 厶( “) l e tg 1 = g + 乱+ 坳口一一u u t h e ng ii sc o n n e c t e d a n dg 】g ，w eh a v e 。( f 2 ) 一磁( 如) = ( q ( g 1 ) f 2 ，尼) 一( q ( g ) 厶，正) = ( 止( z ) + 如( y ) ) 2 一( 先( z ) + ，2 ( 可) ) 2 xy6e(g1)xy6e(g) = ( 五( ) + 止( 札) ) 2 + ( 止( ) + 丘( u ) ) 2 一( 止( ) + 止( ) ) 2 一( 厶( 乱) + ，2 ( u ) ) 2 0 i t i se a s yt os e et h a tn a l ( u q ) 曼n g ( v 口) t h i si m p l i e st h a tu ( a ) ，2 ( s ) a n d ，2 ( 亡) f 2 ( v q ) b yl e m m a 2 2 3 i tf o l l o w st h a tu ( a ) p ( g 7 ) b yl e m m a2 2 6 ，w h i c hi sac o n t r a d i c t i o nt ot h a t m a x i m u mo fg h e n c et h e r ee x i s ts o m ev e r t i c e sya n du ( y ，乱g 【，v 口，z ) ) ，s u c ht h a ty 和，y 一乱， d ( y ) 2a n dd ( u ) = 2 i fu z ，s i n c e 乱必( gi sb i c y c l i c ) ，l e tg 1 = g + 可+ u 一 乱一可口t h e ng 1i sc o n n e c t e da n dg t ( _ ，。r e c a l l i n gt h a td ( v p ) d ( 札) = d ( v q ) ，w e g e tf 2 ( ) 止( 让) 尼( u 口) b yl e m m a2 2 3 h e n c e r g 。( 2 ) - 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