（计算数学专业论文）非对称不定二阶椭圆边值问题多重网格方法收敛性.pdf

电子科技大学硕士学位论文 摘要 本文研究了二阶椭圆边值问题协调有限元多重网格方法 v - 循环的收敛性。 关于对称正定椭圆边值问题已经有许多完善的研究成果， 本文研究了对称正定椭 圆边值问题的误差衰减情况。 将协调有限元空间分解成高频子空间与低频子空间 的直和， 从而将误差的衰减变化转化为考虑高、 低频子空间上的误差的高频与低 频分量的衰减变化。 进一步观察出误差在正交子空间上经光滑迭代和粗网 格校正 后的磨光效果关系式， 并估计出收敛因子是小于i 的。 第二章的内 容就是在此背 景下进行研究的， 着重研究了在网格函数空间的正交子空间上， 误差的磨光效果、 误差的衰减程度和收敛性分析。 协调有限元多重网格法近似解对称正定椭圆边值问题， 往往要对解， 光滑子 作一定的正则性、 逼近性假设， 在无正则性弱假设条件的前提下， 我们直接推导 误差减少算子的收敛关系式， 第三章主要分析了对称正定椭圆边值问题的多重网 格v - 循环收敛性。 本文主要考虑低阶项的系数不是很大的情况下的非对称不定椭圆边值问 题。 基于文献 6 中提出的对称正定算子的扰动格式的基础上， 第四章建立了类似文 献 8 2 2 的 误差 减 小 算 子， 构 造了 一 个新的 误差 减 少 算 子的 扰动关 系式， 结 合给 出的假设和引理，比较简洁地分析了非对称不定二阶椭圆边值问题的 v - 循环收 敛性。 在无正则性假设条件下， 以r i c h a r d s o n 为迭代格式， 分析了非对称不定二阶 椭圆边值问题多重网格方法收敛性。 在第五章中， 通过建立一定的弱假设， 推导 了一些重要的定理， 证明了在无正则性假设前提下非对称不定二阶椭圆型边值问 题多重网 格v - 循环是收敛性。 关键词: 多重网格方法， v 一 循环收敛性，误差迭代，非对称不定，椭圆边值问题 电子科技大学硕士学位论文 ab s t r a c t t h e t h e s i s i s d e v o t e d t o d i s c u s s t h e v - c y c l e c o n v e r g e n c e o f t h e mu l t i g r i d m e t h o d s f o r t w o o r d e r e l l i p t i c b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m . i t .i s w e l l k n o w n t h a t t h e r e a r e m a n y e f fi c i e n t m e t h o d s a v a i l a b l e f o r s o l v i n g t h e d i s c r e t e e q u a t i o n s w i t h a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s o f t h e s y m m e t r y p o s i t i v e d e fi n e e l l i p t i c b o u n d a ry v a l u e p r o b l e m . t o b e g i n w it h , t h e s m o o t h i n g e ff e c t o f e r r o r w h i c h i s d e c o m p o s e d i n t o o r t h o g o n a l v e c t o r s i n g r i d f u n c t i o n s p a c e i s a n a l y z e d . t h e e r r o r - r e d u c i n g e ff e c t i n o r t h o g o n a l s u b s p a c e w h i c h i s d e v e l o p e d fr o m h i g h fr e q u e n c i e s a n d l o w fr e q u e n c i e s c o m p o n e n t h a s b e e n a n a l y z e d . t h e c o n v e r g e n c e o p e r a t o r o f t h e m u l t i g r i d m e t h o d f o r s y m m e t r y a n d p o s i t i v e d e f in e e l l i p t i c b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m i s p r o v e d t o b e l e s s t h a n 1 . i n t h e g r i d f u n c t i o n s p a c e , t h e s m o o t h i n g e ff e c t , s m o o t h i n g d e g r e e a n d t h e c o n v e r g e n c e a r e d i s c u s s e d i n o r th o g o n a l s u b s p a c e w h i c h i n v o l v e h i g h fr e q u e n c i e s a n d l o w fr e q u e n c i e s r e s p e c t i v e ly ma n y p a p e r s p r e s e n t v a r i o u s a n a l y s e s f o r c o m f o r m i n g fi n i t e e l e m e n t m u l t i g r i d m e t h o d s w h i c h a r e o ft e n b ase d o n c e r t a i n r e g u l a r i ty a n d a p p r o x i m a t i o n as s u m p t i o m c o n c e rn i n g s m o o t h e r a n d t h e s o l u t i o n . i n c h a p t e r t h r e e , w e a n a l y z e t h e e r r o r c o n v e r g e n c e o p e r a t o r d i r e c t l y a n d a n a l y z e t h e v - c y c l e c o n v e r g e n c e f o r s y m m e t r y p o s i t i v e d e f i n e e l l i p t i c b o u n d a r y p r o b l e m w i t h o u t r e g u l a r i t y as s u m p t i o n . i n c h a p t e r f o u r , t h e c o e ff i c i e n t w h i c h i s n o t l a r g e f o r n o n s y m m e t r i c a n d i n d e fi n i t e e l l ip t i c b o u n d a ry v a l u e p r o b l e m s i s c o n s i d e r e d . b a s e o n t h e p e r tu r b a t i o n o f s y m m e t r i c a n d p o s it i v e d e f in it e o p e r a t o r w h i c h p r e s e n t i n p a p e r v v k e mk ( 1 .3 ) 取 一组 节点 基函 数 (d , : l = 1 ,2 , . . . n , ) ， 其中 n k = d i m mk 满 足。 a x . ) 二 s 1. ， 其 中 i x . 为 网 格 节 点 。 设 u , = 全 ,u (q) ! (x ) 于是导出p ， 满足的方程组 全 a (d l, (d . )p , 一 (f (d m ) , ( rn 一 ，,2 , *, n . ) 记系数矩阵，解向量和常向量分别为 a k 一 全 ， (。 ，。 二 )， 、 一 (a 2，二 ，、 ) ， 。 * 一 (， ，。 。 ) ，( 。 一 1,2 ，二 ，n , ) 电子科技大学硕士学位论文 若把( 1 . 3 ) 写 成向 量矩阵的 形式， a k y k = b k ，( k = 1 , 2 , . . . , j ) ( 1 .4 ) a 、 称 为刚 度 矩阵。 方程( 1 .4 ) 就是椭圆型边值问 题有限 元离散后的方程组， 求方程( 1 .4 ) 的解就是 原椭圆型边值问题的近似解。 在上述离散化过程和( 1 .4 ) 的求解过程并无相互作用，这就造成了 很大的浪 费， 离散化过程不能预测合适的解和在每个位置的适当的逼近解。 若产生的网格 较粗，所求的解误差很大; 若产生的网格太细， 造成所得到的方程组的阶数不必 要地大， 而精度常仍旧很低，因为解的局部光滑性未被适当地利用。同时，采用 经典的线性迭代法求解近似解无法彻底消除 低频误差， 基于这种现象， 我们采用的 多重网格方法将很好的克服了这些缺陷。 多重网 格方法由 细网 格光滑和粗网 格校正组成的， 在细网 格上对误差的高频 分量进行磨光， 然后将亏量限制到粗网格上对误差的低频分量进行校正。 多重网 格方法的基本思想是把嵌套网格方法i l l 和亏量校正方法相结合， 首先从区 域网 格 剖 分中 ， 选 定 有限 元网 格函 数 空 间m * 和m k _ , 之 间 的限 制 算子， 插 值算 子。 其次 由 细网 格 有限 元空间m 。 上 任给的 近 似解， 作为 细网 格 有限 元空间m * 光 滑 迭 代 的 初 始 值， 进 行 光 滑 迭 代。 再 次 将 光 滑 迭 代 后 的 解限 制 到 下 一 层 粗网 格空 间 m k _ , 进行亏量校正， 最后将校正后的解再次光滑迭代。 将此过程在一系列有限元空间 上进行循环迭代就构成了多重网格方法，具体步骤如下: 下面给出一般意义下的多重网格算法。 设尽= 有， ， 设 线 性 映 射凡 一 ， 己 经 定 义 ， 现由 下 式 定 义凡 b k : m k - 4 m k 若k = 1 时， 定 义y ) = b (b ( 为 方 程 ( 1 .4 ) 的 解 若k 1 时， 则b k b k 定 义 如下: ( 1 ) 前光滑: - .11 ， 一. + ( b ,x + r 一 a x k, ) ，i = 1 , 2 , . . . ， 二 : ( k ) ( 2 ) 粗网格校正: x . ,(k )+ 3k 二 才( k )+ ) + 4 , 其 中 粗网 格 校 正 公 式 4 ) = q ,- + b , (理 , (b k - a k 甲 (k )+ l) 一 a , - ,q ) ) , i = 1 ,2 ， . .p， 其 中9 o = 0 。 ( 3 ) 后光滑: )+ ,x k= 城 + r , ( b k 一 人 城 ) 1 = m , ( k ) + 2 , m , ( k ) + 3 , . . . , m , ( k ) + m z ( k ) + 2 (4 ) b k b ， 一 ,(k)- y (k)+ 1 其 中 城为 第k 层 迭 代初 值， 限 制 算 子p ko - ) 峡- ), m k _ , ，投 影 算 子尺: 此 - k m k 电子科技大学硕士学位论文 光 滑 算 子r k : m k - a m , , k = 1 , 2 , . . . , j , ( 尺为r * 之 转 置) 。 以 上 格 式 是 所 谓 的 标准对称多 重网 格算法， 当p = 1 时， 算 法为v循环， 当p = 2 时， 算法为w循环。 用以下示意图表示几种基本的多重网格迭代。 j/j，一 ，尹/2。 1击丫0 、丫。 )、 .气。 、卫;、t 、- c y c le 声- c y c lew - c y c l e 、 限 制 算 子 产 插 值 算 子 v - c y c l e 0 前光渭化哺 光滑化0 0 粗网格校正 m , = m , p= l , m z = 0 m , = o , p= 1 , m 2 = m 称为、 -c y c l e 称为/ -c y c l e m l = 、 。 = m , p = 1 ， 称为v -c y c l e m , = m , = m , p = 2 ， 称为w - c y c l e 1)2)3)勺 下面， 我们分析多重网 格算法误差减少因子 ( e r r o r r e d u c t i o n o p e r a t o r )的 重要递 推关系式，先证明粗网格校正公式的递推解。 证明 粗网 格校正公式的递推解 q v = ( i 一 ( i 一 b,-,a,_, ) ) a k -i, p k , a , ( u 一 u k m ,(k )+ ) j 事实上 设么 u = 久，u * 为 其 近 似 解， 由 粗网 格 校 正公 式 。 = q - + b k - 1 ( 珍( b k 一 a k u km (k )+ 1 ) 一 a ,- ,q 一 ， ) 其 中 i = 1 ,2 , . . . p， 扩= 0 e 由 p 泉 i a k = a k _ ,尺 _ ， ( 此 证明 在后 ) ， 我 们可 直 接验 证 q + 二 宁 + bk _ ， ( 0q + b k - 1 ( p k - 1 ( b k 一 凡 : .,(k)+a k u k ) 一 a - , q ,) = ( i 一 b k - la k - 0 1 ( i 一 b k - 1a k - 1 ) q 一 ， + b k - 1 ( p k 1 ( b , 一 a k u (k ) i ) ) + b * 一 、 ( 理 1 ( b * 一 a 、 “ 犷 , (k)+ lk u 一 ( i 一 b , - , a , - , ) q - + ( i 一 b k - 1 a k - i ) b k - 1碟i a k ( u 一 u m ,(k )+ i )k+ b i - i (pi-1a a k ( u 一 。 . , (k)+ ) )k 一 ( i 一 b k - 1 a k - i ) 2 q - + ( i 一 b ; 一 a k - 1 ) b k - , p k i a k ( u 一 。 . ,(k ) 1k ) + b k - 1p k0- 1 ai k 。 一 u m , (k )+ l )k 一 ( i 一 b , - , a 、 一 、 ) q 1 + ( ( i 一 b ; 一 ，a k - 1 ) 一 ， b k - 1p k , a k ( u 一 u k “ + ， ) + 电子科技大学硕士学位论文 ， 二 + ( i 一 b k - 1 a k - 1 ) b k - 1赚1 a k ( u 一 u , “ )“ ) + b k - l p k , a k ( 。 一 。 m ,( k )+ l )k = ( i 一 b k - , a k - , ) q l + ( ( i 一 b k - 1 a k - 1 ) 一 b k - 1 a k - 1 p k - , ( 。 一 。 m , (k )+ l )k+二 一 + ( i 一 b , - ,a 、 一 ， ) b k - 1 a * 一 : p k - , ( u 一 u m , (k )+ l )k+ b k - , a k - , p k - , ( u 一 u m ,(k )+ i )k 把 9 一 b k - 1 人 - 1 凡 - 1 ( “ 一 u m ,(k )+ 1k ) 代 入 q + = ( i 一 ( i 一 b , - , a k - 1 ) 1+ l ) p k - 1 ( u 一 u m (k )+ i )k q 1+ 1 = ( i 一 ( 1 一 凡 一 ， 人 _ 1 ) t+ 1 ) a - i- 1 ) ) k - 1瞪.-4 k ( u 一 m ,( kk，十 ， ) ) 即 q p = ( i 一 ( i 一 b k - i a k - 1 ) p ) 军, k0- 1a k ( u 一 u k ，+ ， ) 接下来， 我 们证明 下面几个重要的 误差减少 算子 ( e r r o r r e d u c t i o n o p e r a t o r ) 的 递推 关系式。 因为 u 一 u m ,(k )+ lu k = k kn (k ) ( uk一 u )k u 一 u kk， 二 砰( ， ( 。 一 u 户 (k )+ 2 )u kk 其中 k 穿 “ ， ， = ( i 一 r , a , ) (k ) , k 厂 “ “ ， = ( i - r k a k ) a ， 分 别 是 前 光 滑 和 后 光 滑 迭 代 算子。 我们不妨设误差 e - u - u k e k = u 一 。 .t(k)+.i(k)+2k 8 )k = e , e , 其中e k 表示第k 层上的 误差 减少算子。 同理第k - 1 层上误差减少因子为 1 。 = 凡 一 0e k - 1 = e k - le k - i 设9 是 粗 网 格 校 正 公 式 误 差的 近 似 解， 由 弓 _ : = ek _ 0- 1 = e x - 1e k - 1 得 4 - 4 = e k - 1 4 ( 9 - 4 ) 0 = e k 1 4 p 由 粗网 格 校正 公 式4 = 4 一 ， + b k - 1 (i k - 10- 1 叭一 凡 户 (k )+ 1) 一 凡 _ 澎 一 ， ) 得 ( 4 - 9 ) 0 = ( i 一 b k - , a , - 1 ) d 4 p 所以 e k - 1 = i 一 b k - , a k - , 又因为 k k 1 (k ) = ( i 一 r k a k ) m , (k ) ， k ; , (k ) = ( i 一 r k 4 k ) . : (k ) u 一 u m , ( k )+ 2k u 一 u p (k)+m2(k)+2= = “ 一 “ . ,(k )+k ， 一 ( i 一 ( i 一 b k - l a k - , ) p b , - , i k - , a k ( u 一 y,k m ,(k )+ 1 ) 衅 ( ) (。 一 。 m l (k )+k ， 一 (i 一 ( ， 一 b k - 1,4 k - ,) p b k - ,i , .a k (u 一 a k - i(k)+ 1 ) ) 电子科技大学硕士学位论文 所以 。 一 : m , (kk，一 “ ) ， 一 k 7 (k )k (。 一 u j (k)u k 一 (， 一 (i 一 b , -,a k-, )p b k-1 p ,- ,a k (u 一 u k m (k )a1) = k a z (k ) ( ， 一 ( ， 一 ( i 一 8 k - 1a k - 1) p b k - 1赚 ,a , ) ( 。 一 。 k m , (k )+ 1) = k k a (k ) (， 一 ( ， 一 ( ， 一 b k - ,a k - 1) p b k - ,p k_ ,a k ) ) k k (k ) ( u 一 u 1 )k : 一 。 m ilkk)一 ( )+ ， 一 片“ ) (， 一 (， 一 “ 一 b k-1a k- 1) p b k- 1p k- 1a k ) ) k k (k )( u 一 u 二 )lk e k =k (k ) ( ik一 p k - 1 ) + e k - , p , - , k k (k ) 所以具有前后光滑迭代的误差减少算子得递推关系是 i 一 b , a , = k % (k ) ( ik一 p _ ) + ( i 一 b k - , a k - , ) p p k _ , k k i( ) 同 理， 只有前光滑或后光滑迭代的误差减少算子得递推关系式分别是 i 一 b , a , = ( i 一 p k - , ) + ( i 一 凡 一 1人 _ ， ) 尸 尺 _ 1 即(k )k _ , k i 一 b k a * 二 k2 (k ) ( ik一 p k - 1 ) + ( i 一 b k - 1 a k - 1) p p k - 1 至于收敛性分析， 有几种经典的完全多重网格方法的证明， 其中比 较典型的是利 用椭圆正则性证明二阶椭圆边值问题多重网格方法v - 循环和w一 循。 还有通过对 子空间分解和构造预处理器来证明多重网 格收敛性， 近些年来， 一些文献分析了 在无正则性、 弱正则性和不完全椭圆正则性前提下的多重网 格方法收敛性， 读者 可 参 考b r a m b l e , x u j in g c h a o , w a n g 7 u n p in g 的 有 关 文献。 电子科技大学硕士学位论文 1 .3 作者的工作 对协调有限 元多重网格方法， 已 经有许多完善的研究成果。 m c c o r m i c k 1 1 1 将协调有限 元空间分解成高频子空间与低频子空间的直和， 从而将误差的衰减变 化转化为考虑高、 低频子空间上的误差衰减变化。 为了进一步观察出误差在不同 子空间上经光滑迭代和粗网格校正后的变化关系式， 本文将进一步对误差的磨光 效果和收敛性性质作粗浅的探讨。 第二章的内容就是在此背景下进行研究的， 着 重研究了 在网格函数空间的正交子空间上， 解的磨光效果、 解的误差衰减程度和 收敛性分析。 到目 前为止， 关于对称正定的椭圆型边值问题的多重网 格法有许多方面的研 究 工作， 对 对称正定 椭圆 型边值问 题的 求 解已 经比 较成 熟。由 于f o u r i e r a n a l y s i s 应用范围有限往往只应用特殊区域 ( 如矩形区域) . 所以 更多的求解方法都是经 变分或有限元多重网格法格式获得的，在这些方法当中， 一些文献 1 4 2 2 先通过 求得二重网格收敛性估计结果然后去推导出多重网 格法的收敛估计; 另一些文献 直接推导误差减少算子的 递推关系式， 然后证明 误差减少算子的某种范数是小于 1 的不等式。 协调有限元多重网 格法解对称正定椭圆边值问题， 往往要对求解边 界， 光 滑 子作 一定的 正 则 性、 逼 近性 假设， 读 者 可 参 文 献 1 3 (1 8 ) 2 0 1 (2 2 1 2 3 1 2 5 1 。 在 第三章前一部分， 我们对有关算法和算子的 选择作了浅要的介绍， 3 .4 节在无椭圆 正 则性的前提下， 分析了 对称正定椭圆 边值问 题的收敛性。 通常对称正定椭圆边值问题的各种假设往往不能直接照搬到非对称不定椭 圆型边值问 题上求解。 在工程和物理问题中， 大量的问题模型是非对称不定椭圆 型边值问题。 我们主要考虑低阶项的系数不是很大的情况下的非对称不定椭圆边 值问 题。 在这种前提下， 基于文献 6 中提出的 对称正定算子的扰动格式的 基础 上， 本章建立了 类似文献【 8 2 2 的 误 差减小 算子， 构造了 一 个新的 误 差减少 算子 的扰动关系式， 结合新的假设和引理， 比较简洁地分析了非对称不定二阶椭圆边 值问 题的收敛性， 第四章主要分析了非对称不定椭圆边值问题的收敛性。 在无正则性假设条件下的 收敛性证明， 读者 可参阅 文献 1 4 1 1 5 1 。 第五章研究 了 在无正则性假设条件下，以r i c h a r d s o n 为光滑迭代的非对称不定椭圆边值问 题的多重网格方法的收敛性。 电子科技大学硕士学位论文 1 4 内 容安排 全文分五章，第一章是引言。 第二章叙述了在正交的网格函数空间上，求解二阶椭圆型边值问 题的协调有 限 元的多重网格方法， 并主要分析了误差在光滑迭代和粗网格校正下的变化情况 和收敛性。 在第三章中， 介绍了多重网格法常见的算法和算子选择， 分析了 无正则假设 前提下的对称正定椭圆边值问 题多重网 格方法的收敛性。 在第四 章中， 我们详细介绍了非对称不定椭圆型的 协调有限元多重网格方法 的收敛性。 在第五章中， 对目 前求解对称正定椭圆型方程的有关方法、 思路和假设给予 适当的推广到非对称不定椭圆型问 题的求解上去， 主要分析了 在非正则前提下的 非对称不定椭圆 边值问 题多重网 格方法的收敛性。 电子 科技大学硕士学位论文 第二章 多重网格法误差迭代分析 多重网格方法是一种求解椭圆边值问题离散所得的大型线性或非线性方程 组的 “ 最优”解法。对于对称正定的椭圆边值问题的求解方法已经有多种方法， 文献 1 8 2 7 2 8 提出了 各种问 题的多重网 格方法。 m c c o n n i c 3 2 1 巧妙地将网 格函 数向 量空间分解成高频子空间与低频子空间的 直和， 把误差分解到高频子空间和低频子空间去讨论。 二重网格方法， 它由 光滑 迭代与粗网格校正两个过程组成的， 光滑迭代与粗网 格校正分别用来消除高频与 低频误差。 由于高频与低频误差在粗细网格上不断变化， 误差磨光的作用效果不 容易直观表达， 用波谱法(3 3 1 分析又不能 很好地解释误差中间分量的 变化。 本章在 其引 理的基础上， 结合文献1 3 4 的 有关结论， 推导出高频误差与低频误差在光滑 迭代与粗网 格校正过程中 误差变化的关系式， 从结果容易看出 光滑迭代与粗网 格 校正误差磨光的效果和收敛性。 首先，我们给出一维椭圆边值问题误差迭代变化情况，特别是误差的高低、 频分量在误差磨光和粗网格校正过程中的变化情况。 2 . 1 迭代法的误差衰减与光滑作用 考虑如下最简单的一维椭圆边值问 题 - u = f x 。 ( 0 ,1 ) u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 我们用差分法离散上述方程， 对任意给定的正整数n ， 考虑区间 ( 0 , 1 ) 上的均 匀网 格: ; ， 如下图所示: x p x ( x 2 ， x n _ , x n x m . ( i 一 一_一 j一 一 二 一 一 一- 上一 一 一 曰 其中 。 = x 0 x ( ， ， 二 ， 18 x ) 1 p ， 由 下式决 定 h f ( x i ) ， 有限 差分 格式 汀, d ; ) 有限元离散格式 iij、est 一一 呀奋 刀 电 子科技大学硕士学位论文 接下来使用迭代法 ( 高频误差磨光) 分析总体误差的磨光效果，采用迭代格式。 产 = p 一 ， + r ( q 一 a u 一 ， )( 2 .3 ) 即对j = 1 : n 月= 片， 十 r ( 几一 a 片， ) 又因为u 是式( 2 .2 ) 的 准确解，即 有 f l 二 ,u + r ( 刀一 a 川( 2 . 4 ) 式( 2 .4 ) 一 式( 2 . 3 ) 得 u 一 产 = ( i 一 r a ) ( u 一 尸 一 ， ) 9 一 a l 二 ( i 一 r a ) ( # 一 u 0 ) 当a 是对称正定时，川收敛的 充要条件是 0 r 里 采用最简单的r i c h a r d s o n 迭代格式，取r 声二 对 一 十 r 叨一 a 尸 与 我 们 用 上 述 迭 代 格 式 ， 为 了 方 便 取 r = 互 ， 3 作出1 1 个节点前六次迭代的误差变化图形 依次为第一次到第六 次迭代。 对迭代法的 光滑性作如下分析， 首先 ( 图2 . 1 ) 。 误差的变化曲线从上到下 0 . 1 4 0_ 1 2 0 . 0 6 0 . 0 6 0 . 0 4 0 . 0 2 1 二 一 2寸一嘴一 5一 6 寸一信一 9亩一 1 1 图 2 . 1 同 时， 我们给出了 单点x = 0 .4 的 误差与迭 代次 数变化关系的图 形( 图2 .2 ) 0 电 子科技大学硕士学位论文 x 1 o 一0 -6 0 一5 0 一习 0 卜-2 曰64no q口00 图 2 . 2 从图形2 .2 我们发现，r i c h a r d s o n 格式在刚迭代几次时误差迅速减小，之后变化 得较慢。 为什么会出现这样一种情况呢?接下来， 我们将进一步从频率方面来分 析误差在迭代后高频与低频分量的光滑情况。 先给出命题 命题 1 . 设a , b 为任意实数， 给出， 凡 并且对应的特阵向量 s k 其中 n 阶三对角矩阵a = d i a g ( b , a , b ) e i r的特阵值由 下式 一 。 + 2 b c o s kir ， 1 : 、 、 n n +1 = ( s k ,1 i k ,2 i . . . , s k ,n ) ( 1 k n ) 。 ， - sin (n + 1)1 ， 、 、 证明: 假 设x = ( x l i x z , . . . ， x n ) e i r 是 对 应 特征 值a 的 特阵向 量，即 a x=众 于是有方程组 b x j _ 1 + a x , + b x j + , = 众尸 1 j n 令x 0 = x n + l = 0 由 于 舜 、 一 sin ( jktu r n 1),1 5 j ! n 可 以 自 然 延 拓 使 得 y k,o = 氛 .n + l = 0 。 实际 上 上 述方 程组 存 在形 如咨 ; 的 解， 把7 k 代入 上 述 方 程组 得 ( i 一 1 ) k i r ,. i b r 、 ，. ， ( j + 1 ) k g , ，. ， j k , r 、 b s i n ( 一 . . ， 了 一 ) +a s m( 二 几 ， 二 ) +o s l n ( =下- = a s l n k 七- 1 刀 十1刀 +1八 十1 i v十1 相应得到 兄= a + 2 b c o s 由于a至多有n个不同的特征值，结 一， n +1 论证毕。 1 _k5n 电子科技大学硕士学位论文 考虑特殊情形a = 2 , b = - i ，特征值和特征向量分别为 k n.，k i r 瓜 =2一2 c o s -=4 s l n - ( . ) n+ l 2 ( n+ l ) k = ( k ,l 1 4 1 1 . . . r k ,n ) ( l k n ) 其 中 sk,l - sin (n 1 )1 - j n 。 每一 个特征向 量氛( 1 _ k _ n) ， 对应一个给定的 频率， k 越大， 对应的频率 越高， 我 们 规 定 “ 1 - k n2 为 低 频 部 分 ， n _ k - n 为 高 频 部 分 。 接下来，我们考虑误差在迭代后的高低频变化情况。 由 于 k ( 1 _ k _ n) 构成了i r n 由基线性表示。 设 p 一 拜 0 = 艺a k k ， 则 的一组正交基，任意向量 ( 或误差向量)均可以 、 一 1 一 ni a , (ik=1一 晋 “ 我们注意到对任意多项式p ( a ) 都有 p ( a ) 氛二 p ( 人) 氛 于是经 令几 ,. m次迭代后 h、 ，。 .l =( 1 一一a l- ) “ ; ，a lli 4 u 一 lu m “ a. k 于 是风,m一 。 一 晋 “ 走，“ 。 含 把- k 代入得 k 7 r 、 二 八 _ .二u一s i n 二 丁 东 厂 . . ) a k l ( n + 1 ) 所以 ，、 ， 1= .( 一 揣 ，二 一 ，一 ，一 in z ( n - k + l yra k sin m n + 1 2 ) ， 】 a k i ( n 一k十i n +1 与2 - 2 电子科技大学硕士学位论文 我们发现 当 1 _ k 丝 2 特别 是k 很小 时八二 收 敛到。 的 速度 就 变 得非常 慢， 也 就是低频分量随迭代次数得增加收敛到 0 的速度就非常慢。 同理当 丝、 k : n 2 特别是当k 接近n时， 八二 收敛到0 的速度就变得非常快， 也就是高频分量会迅 速 衰 减， 当 m 今00 时 ， )6 k ,. 今0 e 结 论 说 明 ， 误 差 经 迭 代 后， 只 需 几 次 迭 代， 收敛到0 的 速度很快， 之后收敛速度变得较慢。 由于r ic h a r d s o 、 迭代较容易地消除误差中的高频 非光滑) 部分， 而对误差 中的 低频( 光滑) 部分不容易消除， 我们知道r i c h a r d s o 。 迭代具有一定的光滑( 磨 光) 作用， 但与g a u s s - s e i d e l 迭代相比， 磨光性能要差的多， 读者可参考文献 1 8 0 2 .2 网格函数空间正交分解 设椭圆型边值问题的变分形式: 求u e v a ( u , v ) 二 ( f , v ) , v 。 v * 任 给， e v , f e v * ， v 为s o b o l e v 空 间，v * 为v 的 对 偶空间， 存 在有限 元嵌 套 子 空 间 列称 c v i c 二 二 珠( j = 1 ,2 ， 二 ， n ) ， 那 么 第 层 上 的 离 散问 题 ; 寻 找 到“ e v i ，使 得 a ( u , 协= ( j , v ) ( 2 .2 . 1 ) 其 中 ， 。 v i , f c v i ( v i 为v i 对 偶 ) 。 作 辅 助 向 量 空 间 户 一 ， 记 为 s - , h 一 气 标 _ 。 . . . . . 气 : 是 典 型的，那么有 a i _ , = r a i p 引 入 线 性 算 子 刀 一 ， : 尹- s i - 尽， : 护 一 ， ”护 ， 由 定 义1 和 引 理1 知 a i _ 、 一 i ji - a j i jj_ , 同 时 假 设 变 分 条 件i ii - = c i 尽 : ) ， 沙 是 依 赖 于 愁 的 常 数 电子科技大学硕士学位论文 记m ( j ,u ,f) ， 求 解 ( 2 ) 式的 多 重网 格 算法 如 下 1 ) 若j = 0 ， 直接求解a o u = f 2 ) 若j 0 ， 完成以 下步骤: ( 1 ) 前 光 滑u = 弓( u , f ) ( 2 ) 粗网 格 校正 迭 代i f - 刃 一 ， ( f - 凡 u ) i i v = 0 作声 次j - 1 重网 格迭 代 ， fm( j 一 1 , v , f ) i i i 作校 正 解 u - u + i l _ , v ( 3 ) 后光 滑u = 可( u , f ) 设 光滑 算子乓 ( u , f ) 和乓 ( - i f ) 是 线性 算子，弓( u , f ) 一 弓 。 + 凡 .f 群 (u , f ) 二 e a u + f ; f ， ii c , ii_ 1 ， 11 e ; iii i 满 足 相 容 性 条 件 : “ = 乓( u , f ) “再 “ = .f ， “ = 乓( u , f ) 凡 “ 二 .f 由 文献 3 2 有以 下结果: 引 理 2网 格函 数 空间s i 可 分 解 成高 频 子 空 间n (ij- a j ) 与 低 频 子 空间 r ( i j _ 1) 的 直 和， 即 s l 一 n ( i j - a ; ) . r ( i j , ) 由文献仁 3 5 有引理3 引 理3 设 孔 和 气 分 别 为 s hl 到 n (i jj -a j ) 和 r (尽 i 的 a ; 一 正 交 投 影 ， 记 几气 分 别 为 t ; , j ， 则 邓一 t ,. , 盯一 ; ， 记 。 !、 一 ( a h u , u j ， 其 中 ( ， .) 为e u c lid 范数。 由文献 3 叼有引理4 引 理4 光 滑 算 子 吼为 非 亏 损 矩 阵 时 ， 则 n ( i j - 再 ) 和 r ( 耳 :) 为 吼的 不 变 子 空间。 2 .3 误差迭代分析 本节讨论误差经光滑迭代和粗网格校正后的变化情况。 误差的高频与低频分 量会出 现不同 程度的 衰减， 我们不但可以 直观分析误差的分量的 变化， 而且还可 以 分析光滑迭代和粗网格校正的效果。 由m c c o r m i c k 5 引理2 . 1 有 il e lh , = t e ll几 + 1l ; e 1l, 其中。 为迭代初始误差， 不妨称上式为初始误差的高、 低频的平方分解，以 下定 理的高低频误差分析均与此初始误差平方分解作比 较。 电子科技大学硕士学 位论文 引 理5 设 g j , 乓 为 都 为 非 亏 损 矩 阵 ， 军 为 s i 到 n ( i j - 凡 ) 的 再 一 正 交 投 影 算 子 ， 夺 为 s 到 r ( 尽 ， ) 的 再一 正 交 投 影 算 子 ， 则乓界 一 写 吼且民每 一 古 ， 气， e j t j = t , e j , e j j = j e j o 证明: 前一结论见， 4 1 ， 现证明 第二部分， 其余类推。 对 任 意 误 差向 量u e s i ， 作 正 交 分 解。界 u + 易 u , g j t j u e n ( i - a j ) , g , j u e r ( i j - , ) , 由引理 4 i ( g j j u ) = g j j u , j ( g j