（运筹学与控制论专业论文）关于非线性系统吸引域估计的研究.pdf

at h e s i sf o rt h ed e g r e eo fm a s t e ri no p e r a t o rr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s o nt h es t u d yf o re s t i m a t i n gd o m a i no f a t t r a c t i o no fn o n l i n e a rs y s t e m s b y w e is u q i n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl ic h u n j i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 9 一 9 一 肼4 一 鹋m 1 舢7iii-删y 独创性：声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示诚挚 的谢意。 学位论文作者签名： 签字 日期： 俎隶苛 删、1 孓 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名：否则视为不同意) 学位论文作者签名：巍袁尊 导师签名： 乃妇 签字日期 ： 研似 签字日期： n 7 7 ， 一j 东北大学硕士学位论文摘要 关于非线性系统吸引域估计的研究 摘要 吸引域估计问题是非线性系统理论研究中非常重要的一部分，在工程和科学领域中 有着广泛的应用。因此，研究非线性系统的吸引域估计问题就上升到了重要的位置。鉴 于此，本论文研究非线性系统的吸引域估计问题。在前人研究的基础上，本文主要讨论 用网格法估计非线性系统的吸引域。 所谓网格法就是求一个多项式函数在一个区间上的值，转化为把这个区间划分为有 限个网格点，求该多项式函数在这些网格点上的值。在用网格法估计非线性自治系统吸 引域理论的前提下，本论文给出了e h l i c h 和z e l l e r 不等式定理的证明，同时也给出了网 格法估计非线性自治系统吸引域算法的编程。进一步，用数值实例来说明此算法的有效 性。 简单介绍了一种较好的估计非线性自治系统吸引域的方法，即基于矩量理论 ( m o m e n t ) 的l m i 方法估计吸引域。并且本部分分别用这两种方法估计同一系统的吸引 域。通过比较知道，用多维网格法估计系统的吸引域与用基于矩量理论的l m i 方法估 计系统的吸引域，无论是在运行时间还是在运算方面都是非常相似的。这就说明，用网 格法估计系统的吸引域这种方法也是比较好的。 接着讨论了用网格法估计一般非线性系统的吸引域。首先，给出了含有非线性不确 定项线性系统的稳定性分析，并且证明了非线性自治系统的非线性项满足什么条件时系 统在原点是渐近稳定的定理。在此基础上，给出了怎样找到合适的线性反馈增益使系统 在原点渐近稳定的算法。然后，本文再用前面所讲的多维网格法估计该系统在原点的吸 引域，并且用仿真实例来说明此算法的有效性。 关键词：吸引域；多维网格法；矩量理论；l m i 方法；l y a p u n o v 稳定性；稳定性理论 i i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t _ _ - _ - - _ - _ - i - _ - i _ _ _ _ _ _ - _ _ _ 一 o nt h es t u d yf o r e s t i m a t i n gd o m a i no f a t t r a c t i o no fn o n l i n e a r s y s t e m s a bs t r a c t e s t i m a t i n gt h ed o m a i no fa t t r a c t i o n ( d o a ) o fas y s t e mi sa ne s s e n t i a lp a r to fn o n l i n e a r s y s t e mt h e o r ya n dh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o ni nm a n ye n g i n e e r i n ga n ds c i e n t i f i cf i e l d s t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c ho nt h ed o ah a sb e e nb r o u g h ti n t ol i m e l i g h t b a s e do np r e v i o u s s t u d i e s ，t h i sp a p e re s t i m a t e st h ed o ao fn o n l i n e a ra u t o n o m o u s s y s t e m s ，u s i n g m u l t i d i m e n s i o n a lg r i d s m u l t i d i m e n s i o n a lg r i d sw a yi sam e t h o dw h i c hb o u n d st h ev a l u e so fap o l y n o m i a lo v e r a ni n t e r v a lu s i n gt h ev a l u e so ft h ep o l y n o m i a lo n af i n i t eg r i di nt h ei n t e r v a l i nt h ep r e m i s eo f e s t i m a t i n gt h ed o af o rn o n l i n e a ra u t o n o m o u ss y s t e m su s i n gm u l t i d i m e n s i o n a lg r i d s ，t h i s p a p e rg i v e s ap r o o fo fe h l i c ha n dz e l l e r i n e q u a l i t yt h e o r e ma n dt h ea l g o r i t h ma n d p r o g r a m m i n gr e l a t e dt oi t ，a n du l t i m a t e l yp r o v i d i n ge x a m p l e st os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h e p r e s e n t e dm e t h o d a n o t h e rb e t t e rs c h e m ei s p r e s e n t e d ：t h el m im e t h o d sb a s e do nm o m e n tt h e o r y m o r e o v e r , t h ep a p e re s t i m a t e st h ed o ao fas y s t e mu t i l i z i n gt w om e t h o d sw h i c ha r eq u i t e s i m i l a ri nb o t hr u n n i n gt i m ea n dc a l c u l a t i o nb y c o m p a r i s o n c o n s e q u e n t l y , t h ef o r m e rm e t h o d i ss u p e r i o ra sw e l l f i n a l l y , t h ed o a o fg e n e r a ln o n l i n e a rs y s t e m su s i n gm u l t i d i m e n s i o n a lg r i d si se s t i m a t e d b yt h ep a p e r i n i t i a l l y , t h es t a b i l i t ya n a l y s i so fa nu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e mi sp r e s e n t e d ，a n d s u b s e q u e n t l yat h e o r e m ，w h i c hd e a l sw i 【t ht h ec o n d i t i o no nt h en o n l i n e a rt e r mo fan o n l i n e a r a n o n y m o u ss y s t e mt os a t i s f ys t a b i l i t yi nt h en e i g h b o r h o o do fz e r o ，i sg i v e na n dp r o v e d c o n s e q u e n t l y , t h ep a p e rp r o v i d e sa na l g o r i t h mo nf i n d i n gal i n e a rf e e d b a c kg a i nt og u a r a n t e e t h a tt h eo r i g i ni sl o c a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e u l t i m a t e l y , i te s t i m a t e st h ed o a o fn o n l i n e a r s y s t e m su s i n gm u l t i d i m e n s i o n a lg r i d s ，g i v i n ga ne x a m p l et os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h e m e t h o d k e yw o r d s ：d o m a i no fa t t r a c t i o n ( d o a ) ；m u l t i d i m e n s i o n a lg d d s ；m o m e n tt h e o r y ；l y a p u n o v s t a b i l i t y ；s t a b i l i t yt h e o r y v 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要i i i a b s t r a c t v 第1 章绪论1 1 1 研究背景及其现状_ 1 1 2 研究内容3 1 3 论文整体的组织结构4 第2 章基于网格法估计非线性自治系统的吸引域5 2 1 引言5 2 2 基本知识5 2 3 e h l i c h 和z e l l e r 定理的介绍。6 2 4 网格法估计吸引域的思想及其算法9 2 4 1 网格法估计吸引域的思想9 2 4 2 网格法估计吸引域的算法1 2 2 5 数值例子1 3 2 6 本章小结15 第3 章基于矩问题的吸引域估计1 7 3 1 预备知识17 3 1 1 有关矩问题理论1 7 3 1 2 有关l m i 凸最优化问题1 8 3 1 3 相关的主要结论2 0 3 1 4 吸引域估计转化为最优化问题2 2 3 2 有关最优化问题2 3 3 2 1 无约束的最优化问题。2 4 3 2 2 含有约束的最优化问题2 6 3 3 基于矩问题估计吸引域的算法2 8 v i i 东北大学硕士学位论文目录 3 4 网格法与矩问题仿真实例的比较2 8 3 5 本章小结2 9 第4 章稳定性分析及吸引域估计2 9 4 1 引言。2 9 4 2 预备知识2 9 4 2 1 l y a p u n o v 意义下稳定2 9 4 2 2 局部渐近稳定性2 9 4 3 非线性系统的稳定性分析2 9 4 4 网格法估计非线性系统吸引域的算法2 9 4 5 仿真结果及分析2 9 4 6 本章小结2 9 第5 章总结与展望2 9 5 1 论文总结2 9 5 2 未来工作展望2 9 参考文献2 9 致谢2 9 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 稳定性是系统的一个基本结构特性。稳定问题是非线性系统的一个基本问题，也是 系统控制理论研究的一个重要课题，分析起来有相当大的困难。常用的分析非线性系统 稳定性的方法是l y a p u n o v 函数法，针对不同类型的非线性系统，如何寻找合适的 l y a p u n o v 函数，目前已有相当多的研究，这里不予讨论，有兴趣者可参阅相关的著作， 例如文献【1 3 】。 对大多数情形，稳定是控制系统能够正常运行的前提，也是表征系统运行行为的一 类重要结构特征。如果系统是稳定的，那么随着时间的推移，系统的各物理量就会恢复 到原来的工作状态。如果系统不稳定，即使扰动很微弱，也会使系统的各物理量随着时 间的推移而发散。即使在扰动因素消失后，系统也不可能再恢复到原来的工作状态，显 然不稳定的控制系统是无法正常工作的。所以稳定性是保证控制系统能够正常工作的先 决条件。 现代控制系统的自动化程度以及复杂程度不断提高，极大地促进了社会生产和科学 技术的不断发展。然而这些系统只有在稳定区间内运行，传感器、执行机构以及系统的 内部元件才能不会发生故障，一旦超越了其区域就会发生故障。这样就可能导致巨大的 经济损失，甚至危及人身安全。关于吸引域的研究就是在这样背景下诞生的，并得到了 更多的关注和研究方向。估计吸引域的主要目标是能够预计系统的运行区间致使系统不 发生故障。 1 1 研究背景及其现状 系统的吸引域，即系统的局部渐近稳定区域，这个区域表示其内的所有状态点都可 能被“吸引”到平衡状态的属性。显然，用解析法很难求出准确的吸引域，甚至根本不 可能。但是l y a p u n o v 函数可用于估计吸引域，即找出包含于吸引域的集合。如果在包 含原点的定义域d 上存在一个满足渐近稳定性条件的l y a p u n o v 函数，并且，如果 q 。= 引y ( 功c ，c 0 有界，且包含于_ d 内，那么每一条始于q 内的轨线都保持在q 内，且当t c o 时，趋近于原点。因此，q 就是吸引域的一个估计区间。显然，对于局 部渐近稳定区间将面临确定最大吸引域的问题。目前已经提出了很多求解动态系统平衡 点吸引域的方法。比如早期，z u b o v 4 1 提出了l y a p u n o v 第二方法的一些问题，并给出了 系统渐近稳定的区域求解方法，即系统吸引域估计的一种方法之后，很多学者对此产生 - 1 - 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 了兴趣，并且开始关注这个问题。七十年代早期，d a v i s o n 和k u r a k 【5 】给出了另一种方法， 即考虑吸引域内的一个超平面，对吸引域进行估计。七十年代末，l o p a r o 和b l a n k e n s h i p 【6 】 考虑系统多项式是解析的情况下，利用c a r l e m a n n 线性化方法给出了系统吸引域一系列 的子集。八十年代，t h o r p 7 】提出了非线性系统吸引域建设性的算法，可以估计大系统的 吸引域。九十年代，k h a l i l 提出了吸引域的概念。于是，系统吸引域的估计已经有很清 晰的轮廓。随着计算机技术性能的发展，进行大型和复杂的计算成为了可能，吸引域的 估计算法的发展也朝着大规模的计算方向发展，并为理论的发展提供了支持。我们的目 的是如何更准确地、更有效地估计系统的吸引域，在原有算法的基础上扩大对吸引域的 估计。 迄今为止，很多学者对系统吸引域的估计给出了建设性的方法，见文献 8 1 2 。比 如像，h a h n 把吸引域估计问题转化为最优化问题，从此开创了吸引域估计的新纪元。 基此之后，很多学者围绕这个最优化问题进行了研究。v a n n e l l i 提出了最大l y a p u n o v 函数的概念，选取有理l y a p u n o v 函数，进行t a y l o r 展开，给吸引域估计的最优化问题 增加更多的约束条件，从而实现吸引域扩大。l a s s e r r e 根据矩量理论，把含约束的最优 化问题转化为l m i 最优化问题。随后，h a c h i c h o 给出了系统吸引域估计的l m i 算法， 节省了大量的计算时间。a t e s i 提出了多项式的参数化方法，利用基本的数学理论知识 进行计算。系统吸引域的估计已有很多方法，但是大多数方法还是不能准确地给出系统 完整的吸引域，而且不适于高阶系统，而是转化为低阶的多项式系统【”。1 4 1 。 不像线性系统，自然界中的非线性系统是非常庞大的，非线性系统和线性系统相比 较有本质的差别。在参数空间中代表线性系统的只是一个点，而对于非线性系统，参数 空间的概念已不能适用，影响系统动态特性的是一些非线性函数，这些函数千差万别， 且一般说来很难整体确切的描述。因为在广泛的非线性函数中能用初等函数正确描述的 非线性函数只是少数的，这给非线性控制系统的吸引域的估计带来了极大的困难，因此 所取得的成果远没有线性系统的吸引域估计那样丰富和成熟。 非线性系统虽然在本质上和线性系统不同，但作为动态系统仍有某些相似的特性， 例如可有相同阶次的动态框架。一个非线性系统中的非线性特性如果退化为不变的参 数，那么原系统和线性情况一样，因此一个“弱”非线性系统的动态特性不至于脱离其 一次线性近似太远。人们常常参照线性系统的概念来研究非线性系统。例如，自从微分 几何、微分代数等数学方法被引入非线性动态系统分析后，人们参照线性系统理论研究 了可控可观性、系统的相对阶、非最小相位问题等取得了相对应的结果。虽然这些结果 2 - 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 并不都和线性系统的情况等价，但它们都是很有价值的，具有基础意义的成果。但也应 看到各种数学工具都有其自身的局限性，举例来说，利用微分几何方法对反馈线性化的 系统只能是极少数。这正是非线性系统分析设计的难处所在。另一方面也应看到，在工 业控制中经常采用的p i d 控制在系统呈现弱非线性时仍然能工作的很不错，这说明非线 性和线性系统的控制并非都是泾渭分明的。但是研究所有可能的非线性系统的吸引域是 一个很有实用价值且有很强挑战性的课题。尽管如此，前人在估计非线性系统吸引域方 面也取得了很大的成果。上述成果主要集中在研究非线性自治系统 贾= 厂( x ) ，x r ”，x ( o ) = x o 本质上，许多科学现象和工程可以准确地描述为非线性自治系统，一些控制设计方法可 以转化为状态变量的多项式控制，而且一些大系统利用t a y l o r 展开，可以转化为低阶的 多项式系统【1 5 】。所以，研究非线性自治系统是有实际意义的。本文是在用网格法估计 非线性自治系统吸引域的前提下，研究含有控制项的非线性系统的吸引域。 1 2 研究内容 ， 系统的稳定是研究系统吸引域的前提，因此我们在用网格法估计非线性系统的吸引 域时，也是在系统稳定的前提下研究的。本论文都是在假设原点是系统的平衡点下研究 的。如果平衡点不在原点，可以经过变量代换使平衡点变为原点的。对于吸引域的估计 有很多方法，例如，基于矩量理论的l m i 最优化算法，基于s o s 方法，有理l y a p u n o v 函数的递归算法，多项式系统的参数化方法等。而对网格法估计系统吸引域的研究是本 文的重点。本文的研究内容主要体现在以下几点： ( 1 ) 着重介绍了与网格法有关的内容，并且给出了e h l i c h 和z e l l e r 定理的证明，以 及网格法估计非线性自治系统吸引域算法的编程，然后，用数值实例来说明此算法的有 效性； ( 2 ) 简单介绍了一种较好的方法，即基于矩量理论的l m i 方法估计吸引域的相关内 容，且在此基础上分别用网格法和矩问题对同一系统进行仿真，通过比较知道用网格法 估计系统的吸引域也是非常好的； ( 3 ) 考虑非线性系统戈= 厂( x ) + g ( x ) 甜，本文给出了，怎样选择合适的线性反馈增益， 使系统在原点渐近稳定及得到的原点的吸引域是最大的，并且在此反馈下，用网格法估 计了原点的吸引域。 3 - 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 3 论文整体的组织结构 全文一共分为五章，各章节内容安排如下t 第1 章为绪论，简单介绍了非线性自治系统吸引域估计的产生背景及国内外研究现 状； 第2 章系统地介绍了多维网格法估计非线性自治系统吸引域的问题。在研究了多维 网格法估计非线性自治系统量= 厂( x ) 的吸引域理论的前提下，本论文给出了e h l i c h 和 z e l l e r 不等式定理的证明。同时，也给出了网格法估计非线性自治系统吸引域算法的编 程。最后，用数值实例来说明此算法的有效性； 第3 章简单介绍了另一种较好的估计非线性自治系统的方法，即基于矩问题的l m i 方法估计吸引域。并且本文分别用这两种方法对同一系统的吸引域进行了估计。通过比 较知道用网格法估计系统的吸引域也是非常好的； 第4 章讨论了非线性系统戈= 厂( 力+ g ( x ) “的吸引域估计。首先讨论了含有非线性扰 动项的线性系统碧= 出+ g ( x ) 的稳定性分析，在此前提下，本论文讨论了非线性系统的 稳定性分析，给出了使系统在原点渐近稳定的非线性项取值范围的定理及证明，在此基 础上，讨论了怎样选择合适的线性反馈增益，使系统在原点渐近稳定，并且得到的原点 的吸引域最大。最后在此反馈下，用网格法估计了原点的吸引域； 第5 章对全文的研究和工作进行了概括性的总结，并阐述了未来的研究方向。 4 东北大学硕士学位论文第2 章基于网格法估计非线性自治系统的吸引域 第2 章基于网格法估计非线性自治系统的吸引 域 2 1 引言 在现代控制工程中，对于非线性动态系统，知道要研究其稳定性是不容易的。特别 是系统的稳定区间或鲁棒全局稳定。本章研究的就是非线性系统的渐近稳定区间，所谓 渐近稳定区间就是无限趋向于平衡点的状态集合，也就是吸引域。吸引域估计问题是非 线性系统理论研究中非常重要的一部分，在工程和科学领域中有着广泛的应用。因此， 研究非线性系统的吸引域估计问题就上升到了重要的位置。估计非线性系统的吸引域有 很多方法，但是有的方法精确度不够好，有的方法运行时间比较长。鉴于此，需要找到 一种精确度高，且运行时间短的方法。本章是运用l y a p u n o v 稳定定理及e h l i c h 和z e l l e r 定理来估计多项式系统的吸引域的子集。e h l i c h 和z e l l e r 定理是一种方法，这种方法是 求一个多项式函数在一个区间上的值，转化为把这个区间划分为有限个网格点，求该多 项式函数在这些网格点上的值。 2 2 基本知识 由于许多科学现象和工程可以准确地描述为非线性自治系统，一些控制设计方法可 以转化为状态变量的多项式控制，而且一些大系统利用t a y l o r 展开，可以转化为低阶 的多项式系统【1 5 】，因此，研究非线性自治系统是有实际意义的。本章主要研究非线性 自治系统 戈= 厂( x ) ，z ( o ) = x o ( 2 1 ) 其中，x r 疗为系统的状态，f ( x ) 是关于状态向量的多项式函数。在此，我们做两个假 设： ( 1 ) f ( o ) = 0 ，即状态x = 0 是系统的平衡点； ( 2 ) 彳一o ，f ( o ) 是h u r w i t z 矩阵，即它的特征值位于复平面的左半开平面。 a x 因此，平衡点x = 0 是渐近稳定的，本文的工作就是估计平衡点x = 0 的吸引域。为了估 计其吸引域，首先选择一个适当的l y a p u n o v 函数。下面将选用二次l y a p u n o v 函数 v ( x ) = x t q x ，q 是n x n 正定对称阵，假设尸= a t q + 剑是负定的。从而，l y a p u n o v 函 5 - 东北大学硕士学位论文 第2 章基于网格法估计非线性自治系统的吸引域 数是可行的，令 q 。= xly ( x ) c ，c o ( 2 2 ) 如果对所有x q 。，x 0 ，都有 矿( x ) = 厂( x ) tq x + x t q f ( x ) = 2 x t o f ( x ) 0 ( 2 3 ) 则q 。就是吸引域的一个子集【1 6 郴1 。对于给定的l y a p u n o v 函数，相应的集合q 就是稳 定点x = 0 的吸引域的最大子集。在很多文献中，都提出了不同的估计吸引域子集的方 法 1 9 - 2 4 】。本章用的是多维网格法估计非线性自治系统的吸引域。 2 3e h l i c h 和z e l l e r 定理的介绍 上节简单介绍了和本章相关的基础知识，现在看一下本章的重点，即e h l i c h 和 z e l l e r 定理。 首先定义区间，上的c h e b y c h e v 点集，参见文献【2 5 】。设区间 ，= 口，b 】( ，cr ) 是一个非空实紧集，对于任意一个给定的正自然数，令 葺= 竺笋+ 字c 。s ( 垦篙产) ，其中，= 1 ，2 ，。则定义x ( ，刀= 而，而，h 为 c h e b y c h e v 点集。令l l h l l = 警陋( x ) l 为区间，上函数厅的最大范数。下面看一下e h l i c h 和z e l l e r 定理。 定理2 1 设是关于次数小于等于”的一元多项式的集合，对于任意一个函数p ， 这里尸，和任意一个区间j = ，b 】，则下面不等式成立 m j - ”，且对于o m a x x e x ( n ，d ，阢) i ，) 。 叫 时，有 j i p i i j l l p i i 州w 由实数的阿基米德性，总会找到一个，使得 刀，有 i i p i i ， c 睁“ 综上所述，有0 p 0 ， ( 2 6 ) 式( 2 5 ) 和( 2 6 ) 对任意一个一元多项式函数p 都是成立的。其中，p ，n 玎，并且， 盛，分别是函数p 在区间，上的最小值和最大值。显然上面几个不等式对于任意 一个一元多项式函数都是成立的，再看一下对于任意多元多项式上面几个不等式是否会 成立，通过文献 2 6 1 矢1 1 道成立。下面把以上两个不等式扩展到关于n 个变量的多项式上， 则相应的区间变为区间，其中，o r = 口i ，6 l 】 吒，如】【，吃】，表示一个超矩形。 此处令函数p 的第i 个变量t 的次数为绣，则相应的c h e b y c h e v 点集为 x ( 对，夕) = x ( l ，【口。，6 l 】) x x ( g ， 吃，6 2 】) - 7 - 东北大学硕士学位论文 第2 章基于网格法估计非线性自治系统的吸引域 其中，r 是第f 个区间陋，6 】的c h e b y c h e v 点数。则对应于( 2 5 ) 和( 2 6 ) 的不等式为 瑶。圭+ 1 ) 础拍郴1 ) 掣1 盛三孵+ 1 ) 掣加唯一1 ) p s i x ：肋 其中，k = i ：i c ( 势p 哆序1 ，一m 以缈为变量的次数为，z 的三角函数多项式定义如下 ( 2 7 ) ( 2 8 ) p ( 妒) = 口+ ( s i n ( k c p ) + f l kc o s ( k c p ) ) ( 2 9 ) x - ! | ：( 2 9 ) 仅仅是一个有限的三角函数多项式。设尸是次数小于等于刀的三角函数多项式， 那么对应于式( 2 3 ) 的三角函数多项式，有 n 2 石】c ( 铷尸 其中删咖 华m 2 ，) ， 疗。 同样有不等式 硪2 ，r l 去 ( k + 1 ) 群一( k 一1 ) 只掣) ( 2 1 1 ) 尝纠去 ( k + 1 ) 掣一( k 一1 ) 磷，) ( 2 1 2 ) 其中，足= c 畴n ) ， 刀。 把上面不等式扩展到含有刀个变量的三角函数多项式上，则 歹= 【o ，2 x ” x ( 力，了) = 伊( 1 ) 缈( m ) = 缈( 力) 其中，k = 孛c ( 熹) ，m 巧，i = 1 ，聆。 如果研究的函数关于某些变量是多项式，而关于其他变量是三角函数多项式，严格 来说，上面的结论也是正确的。也就是，如果p ( 五，吻，毛) 是一个关于变量五，x 2 ， 的三角函数然而关于变量x r 巾x r 彬，毛是多项式函数，设相应于变量的次数分别为 啊，当区间夕和c h e b y c h e v 点集x ( 对，歹) 分别是 _ 8 - 东北大学硕士学位论文 第2 章基于网格法估计非线性自治系统的吸引域 j = 0 ，2 x 7 【口，+ l i + l 】【q ，吮】 x ( n ，j ) = 伊( 1 ) 妒( ，) x ( ，+ l ， 口，+ l 以+ 。】) x ( 虬， ，吃】) 时，其中，k = f i ，c 畴) ，m 吩，f = l ，刀。同样，上面几个不等式也成立。 本节主要介绍了e h l i c h 和z c l l e r 定理的相关理论，这些理论是用网格法估计非线性 自治系统吸引域的主要思想。所以，在介绍了这些相关内容后下一节将用这种思想来估 计系统吸引域的大小。 2 4 网格法估计吸引域的思想及其算法 上节简单介绍了有关e h l i c h 和z e l l e r 定理的相关内容，e h l i c h 和z e l l e r 定理是网格 法的精髓。所谓网格法就是求一个多项式函数在一个区间上的值，转化为把这个区间划 分为有限个网格点，求该多项式函数在这些网格点上的值。下面看一下用网格法估计系 统吸引域的思想。 2 4 1 网格法估计吸引域的思想 对于非线性自治系统 戈= 厂( x ) ，x ( o ) = x o 如前面给定的假设，原点是渐近稳定的。本章目的就是估计原点吸引域的大小，也就是 求出c 的最大估值。首先求c 的初始值，即q 。= xiy ( 功c ，c 0 ，是此系统的初始 吸引域估值。下面给出了怎样计算初始值，使得i j r ( x ) 在区间q 白内是负定的。设矿( x ) 的次数是刀，则多项式p ( x ) 写成如下形式 矿( x ) = x t a + 儿 ( 2 1 3 ) 3 s p 悟” 其中，岛是次数大于等于3 的多项式的系数，把多项式函数矿( 石) 中的所有次数等于二 的项写成具有对称负定矩阵尸的二次项形式。现在把矿( x ) 限定到集合 xi 矿o ) = ，2 上， 选取l y a p u n o v 函数v ( x ) = x t q x ，由下面的式子计算最优问题： 驶a x ，x 1 p x = 一p r 2 ， 0( 2 1 4 ) 一( h = 一 似m a 矿x x ，2 ，( q 一1 哆) j ，f = 1 ，栉( 2 1 5 ) 此处，一是广义特征问题力 = p v 的最大广义特征值，e ；是单位向量，即第i 个为1 其 9 东北大学硕士学位论文 第2 章基于网格法估计非线 生自治系统的吸引域 他全为0 的聆维列向量。令 ( p ：r q 一1 q ) 2 ( p j q - l e 2 ) “2 ( t ，q e n 一，) 2 ( q 一1 ) 2 ( 2 1 6 ) 由此可得 m ，a x ，矿，口( 2 1 7 ) 一q x = r 从而得不等式 嬲：m ) _ - p r 2 + ，嚣川叫， - r 2 ( - z + ( i 儿i z 口) ，七) ( 2 1 8 ) k = l i o l = k 由( 2 1 8 ) 易知矿( x ) 在集合q ：内对所有的，是负定的。，是比多项式 办( ，) = 一+ ( i 儿k 口) ， ( 2 1 9 ) k = l i 口l = k 的唯一的一个正实根，+ 小的一个值。当， ，+ 时，矿( x ) 在集合q 。：内是负定的。在求得 ，+ 后，只要取，心即可，这样就得到了初始值c o 的估计。从而，求出了本文所需要 的初始值。 接着用前面的结果来求最优解c 的上界与下界，这样就确保了所求吸引域就是最大 吸引域的子集。这种方法必须是在给定的l y a p u n o v 函数下求得。 设满足矿( x ) = ) t q x + x t q f ( x ) 0 ，再重复以上过程。 通过上面的介绍简单了解了用网格法估计吸引域的思想。为下面本文给出网格法估 计吸引域的算法奠定了坚实的基础。 2 4 2 网格法估计吸引域的算法 步骤l ：由计算吸引域初始值估计的步骤求出原点吸引域的初始值。把赋给 巧，0 0 赋给，转到第2 步； o 步骤2 ：如果吒减小于一个给定的数s ，则转到第6 步，否则转到第3 步； 步骤3 ：如果屹：o d ，则把2 _ 赋给变量，否则把生善赋给变量，。转到第4 步； 1 2 - 东北大学硕士学位论文第2 章基于网格法估计非线性自治系统的吸引域 步骤4 ：把区间，】 o ，2 x x - - , x 【o ，万】划分为对= 兀m 个网格点，计算多项式函 数p ( y ) 在各个网格点的值，转到第5 步； 步骤5 - 如果在所有网格点中有一个网格点使得多项式函数尸( y ) 大于0 ，整个计算 过程中止，把相应的半径赋给屹( 如果有多个网格点使得p ( y ) 大于0 ，则取这些点所对 应的最小的半径给吒) ，转到第2 步。如果在所有的网格点中p ( y ) 都是小于0 的，则把， r 赋给吒，转到第2 步。如果p ( 力的上界大于零，但是p ( y ) 在所有的网格点都小于零， 则增加网格点数，重复第4 步； 步骤6 ：终止循环。 这样就得到了网格法估计吸引域的算法。为了验证此算法的有效性，下面给出了两 个二维系统的数值仿真。 2 5 数值例子 例2 1 考虑非线性自治系统 一 f 毫= 一而 【岛= - x 2 + 彳恐 选取l y a p u n o v i 丞1 数 y ( x ) = 彳+ = ， ，叱恐) 1 ( 吃x 用c h o l e s k y 分解法把q 分为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积，易知 = 令新向量 y = 厶m x 、 则l y a p 吼o v 函数的微分为 矿i = y ) = 尸( y ) = 2 y t 夕( y ) = 一2 y 2 2 以+ 2 订以 得到厅( ，) = - 2 + 2 r 2 ，从而得初值估计= 1 。 对于多项式p ( y ) ，进行下面的极坐标转化 东北大学硕士学位论文 第2 章基于网格法估计非线性自治系统的吸引域 乃= r c o s o 【y 2 = r s i n 0 其中，【l ，】，o e o ，2 万】。则多项式函数尸( j ，) 变为 p ( r ，0 ) = 一2 r 2c o s 20 2 r 2s i n 2o + 2 r 4c o s 20 s i n 20 = 2 r 4c o s 20 s i n 20 2 r 2 运用阿格方法的迭代算法，求得 r t = 2 0 0 0 0 。， 屹= 2 0 0 1 3 则吸引域的估计是 c l = 4 0 0 0 0 巳= 4 0 0 2 6 那么系统的最优估计为 c d = 三( q + 巳) = 4 o o l 3 例2 2 考虑非线性自治系统 f 毫- - - - x i + x 2 2 【x z = - 2 而 选取l y a p u