（计算数学专业论文）界面追踪领域的高分辨率方法.pdf

西北工业大学硕士 学位论文 摘要 本文主要研究了界面追踪领域的高分辨率方法及其若千应用. 对中心加权基 本无振荡 ( c we n o ) 格式作了 相应地讨论; 将c w e n o重构引入半离散中心迎 风格式即得 c we n o型的半离散中心迎风格式，该格式成功地求解了多维的双 曲 守 恒律方程( 组) 、 对流一 扩散方程、 不 可压e u l e r 方 程组、 不可 压n a v i e r - s t o k e s 方程组和浅水波方程组; 给出了基于自适应最小二乘重构的三角化半离散中心迎 风格式， 求解了多维的双曲守恒律方程( 组) 、 浅水波方程组和k e l v i n - h e l m h o lt z 不稳定性;将l e v e l s e t 方法与c we n o方法相结合，很好地处理了多维标量双 曲守恒律方程的 激波追踪问 题;将l e v e l s e t 方法、 虚拟流方法与c w e n o型的 半离散中心迎风格式相结合， 成功地处理了非反应激波和多介质流中的爆轰间断 的追踪问 题: 使用l e v e l s e t 函数来隐式地追踪目 标图 像， 在保证l e v e l s e t 函数 的零等值线在目标图像附近的运动速度渐趋于零的前提下，改进了原来的 e u l e r - l a g r a n g e 方程， 加快迭代速 度. 关 键词: 双曲 守 恒 律 ， 中 心 迎 风格 式 ， e u le r 方 程 组 ， n a v i e r - s t o k e s 方 程组 ， 浅 水波方程组， k e l v i n - h e l m h o l t z 不稳定性， l e v e l s e t 方法， 图 像分割 西北工业大学硕士学位论文 ab s t r a c t s o m e h i g h - r e s o l u t i o n a l g o r i t h m s a n d a p p l i c a t i o n s f o r t r a c k i n g i n t e r f a c e s a r e d i s c u s s e d i n t h i s p a p e r . f i r s t l y , c e n t r a l w e i g h t e d e s s e n t i a l l y n o n - o s c i l l a t o r y ( c we n o ) s c h e m e s a r e b r i e f l y d e s c r i b e d . s e c o n d ly , c we n o - t y p e s e m i - d i s c r e t e c e n t r a l - u p w i n d s c h e m e s a r e o b t a i n e d勿 i m p o s i n g c we n o r e c o n s t r u c t i o n s i n s e m i - d i s c r e t e c e n t r a l - u p w i n d s c h e m e s , a n d t h e n s o - c a l l e d c we n o - t y p e s e m i - d i s c r e t e c e n t r a l - u p w i n d s c h e m e s a r e a p p l i e d t o s o l v e m u l t i - d i m e n s i o n a l h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o n l a w ( s ) , c o n v e c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n , i n c o m p r e s s i b l e e u l e r e q u a t i o n s , i n c o m p r e s s i b l e n a v i e r 一 s t o k e s e q u a t i o n s a n d s h a l l o w w a t e r e q u a t io n s . t h i r d l y , t r i a n g u l a r s e m i - d i s c r e t e c e n t r a l - u p w i n d s c h e m e s b a s e d o n a d a p t iv e l e a s t s q u a r e s a r e p r o p o s e d t o s o l v e m u l t i - d i m e n s io n a l h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o n l a w ( s ) , s h a l lo w w a t e r e q u a t i o n s a n d k e l v i n - h e l m h o lt z i n s t a b i l i t y . f o u r t h l y , t o t r a c k s h o c k w a v e s e f f e c t i v e l y i n h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o n l a w s i n m u l t i - d i m e n s i o n a l c a s e s , c we n o s c h e m e s a r e u s e d t o g e t h e r w i t h t h e l e v e l s e t m e t h o d . f i ft h l y , s i n c e c we n o - t y p e s e m i - d i s c r e te c e n t r a l - u p w in d s c h e me s a r e c o m b i n e d w i t h t h e l e v e l s e t m e t h o d a n d t h e g h o s t f l u i d m e t h o d , t h e n o n - r e a c t i n g s h o c k s p r o b l e m s a n d d e t o n a t i o n d i s c o n t i n u i t i e s i n m u l t i - m a t e r i a l fl o w s a r e t r a c k e d s u c c e s s f u l l y . f i n a l l y , a l e v e l s e t f u n c t i o n i s u s e d t o d e t e c t t h e o b j e c t i m p l i c i t l y : t h e f u l e r - l a g r a n g e e q u a t i o n i s m o d i f i e d t o a c c e l e r a t e t h e c o n v e r g e n c e r a t e ; s i m u lt a n e i t y , t h e z e r o c o n t o u r o f th e l e v e l s e t f u n c t i o n w o u l d s t o p o n t h e b o u n d a r y o f t h e o b j e c t a n d d e t e c t s i t . k e y wo r d s : h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o n l a w s , c e n t r a l - u p w i n d s c h e m e s , e u l e r e q u a t i o n s , n a v i e r - s t o k e s e q u a t i o n s , s h a l l o w w a t e r e q u a t i o n s , k e l v i n - h e l m h o l t z i n s t a b i l i t y , l e v e l s e t m e t h o d , i m a g e s e g m e n t a t i o n 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 . 1 运动界面追踪领域的发展概况 1 8 8 9 年s t e f a n 提出的冰水问 题 ( 该类问 题被冠名为s t e f a n 问 题1 1 . 2 1 ) 揭开了 运动界面追踪领域的序幕.与我们的生活密切相关的这类活动边界问题还有许 多，诸如水面油层扩散问题、金属熔化等. 此后的 便相继涌现出自 由 边界问 题is , a l ，比 如 潮汐、 近岸涌浪等. 同时， 晶体生长、 固 化 和融化 等涉及固 体中 热传导的 界 面问 题15 l 也被 广泛研 究. 此外还有一类与数学、 物理、 化学和生物等学科关系密切的运动界面追踪问 题i. -12 1， 如 粘性流、 多 介 质流、 多 组分 流 及多 相 流内 部的 密 度、 速 度、 压力 等 所 产生的间断面问题等等. 相应地， 运动界面追踪问 题的数值模拟便成为最直接、 最现实地分析和把握 许多微观未知过程的途径. 模拟运动界面的数值方法有两个层次: 一是捕捉类的方法， 一是追踪类的方 法. 捕捉类的方法简单、 计算区域整体化且效率高， 但不容易实现精细和高分辨 率. 追踪类的方法复杂、 局部且技巧性强， 界面追踪的效果明显优于捕捉类方法. 目 前发展的比较好的捕捉类的高分辨率格式大体上可分为两类: 迎风格式、 中心格式.迎风格式的原型是一阶的基于分片常数重构的 g o d u n o v格式.为了 提高空间方向的精度， 一种很自 然的方法就是用分片的高阶多项式重构来代替分 片常数重构， 但这样做势必导致数值解在某些情况下产生伪振荡. 为了解决这一 问 题，1 1 3 . 1 4 1 , 1 5 . 1 6 , 1 7 分别给出了高阶的 基本无振荡 ( 简记为e n o ) 格式 和加权基本无振荡 ( 简记为 we n o )格式.但是迎风格式有一个共同的问题就 是在网格单元的边界上需要求解 r i e m a n n问题，一般的处理方法就是使用近似 r i e m a n n 解算器或进行通量分解. 当空间维数增大时， 求解r i e m a n n 问题的过程 变得极为繁琐. 中心格式便是基于迎风格式的这一不足提出的. 最早的中心格式 是一阶的l a x - f r i e d r i c h s 格式. 随后， n e s s y a h u 和t a d iu o r 提出了基于分片线性 重构和非线性限制器的二阶方法.发展到现在己有了相应的中心 e n o( 简记为 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 . 1 运动界面追踪领域的发展概况 1 8 8 9 年s t e f a n 提出的冰水问 题 ( 该类问 题被冠名为s t e f a n 问 题1 1 . 2 1 ) 揭开了 运动界面追踪领域的序幕.与我们的生活密切相关的这类活动边界问题还有许 多，诸如水面油层扩散问题、金属熔化等. 此后的 便相继涌现出自 由 边界问 题is , a l ，比 如 潮汐、 近岸涌浪等. 同时， 晶体生长、 固 化 和融化 等涉及固 体中 热传导的 界 面问 题15 l 也被 广泛研 究. 此外还有一类与数学、 物理、 化学和生物等学科关系密切的运动界面追踪问 题i. 0 ) ，.胜.1.，.esesj 日 2 u 口 2 u 勿护 ax e 十 t3 v 2 ( 1 . 2 一5 ) 十 歹 v-2 日-日 -一 助一欲印一即 十 加-即函-勿 vv 十十 加一击加一叙 uu + 探v 日-次 其中p 是 压强， 速度 场( u r v ) t 、 “ 、 ， ， 二 二 _，、， .i日 u v v_， _ y 两足 靓及 目田余1 十丁 +了 =u， v=1 / x e，ke 刀 d x d y r e y n o l d s 数. 其五， 两组分流的可压的k e l v i n - h e l m h o l t z 不稳定性可用下述模型进行描述 n -一 一一1.二.eswe.ee1.j + ，leseseseeeeeeeeesesesleslt pu p u t + p pu v ( 1 . 2 一6 ) r.几百.1.1 u ( e + p ) p u o 旦 d y pv 户j v p v 2 + p v ( e + p ) p v o 。一叙 十 尸111.esl.esj 日一次 其中户、p , e ,u 和， 的 含义同 前， 而沪 则是 下文将说明的l e v e l s e t 函 数. 西北工业大学硕士学位论文 第二章 c we n o格式 为了本文的完整性，本章将简短地回顾一维、二维的中心加权基本无振荡 ( c we n o ) 格式， 详细的说明 请见文献! 1 9 , 2 0 1 . 2 . 1 一维c we n o格式 不失一般性，考虑一维双曲守恒律标量方程 a u + aj 一( u ) = 0 a t a x ( 2 . 1 一 1 ) 现将计算区域 x c , x j作n ， 等分， 步长为a x ， 则空间网格点 可记为 x i = x , + j tl x 同 时 ， 记 时 间 步 长 为 t , t 二 n tl t 便 为 相 应 的 时 间 网 格点 而t 时 刻 单 元 i ; :_ fx _。， ，:, ! 上 的 数 值 平 均 记 为 、 汀 二 牛fuu (x ,t ) d x 1 . - 一， l a x x j-u z少 假 定 ， ， 时 刻 的 单 元 平 均 甸 珍 。 己 知 ， 则 如 何 近 似 ij+1 时 刻 的 单 元 平 均 长 1,2，便 是 我 们 所 要 解 决 的 问 题 ， 见 图 : 1 一 1 . 谓 2 r j ( x ) 一一一一一一一一一一今 x j x j i u 2 x j . , x 图2 . 1 一1中汀 格式的重构图 在考虑了 数值解的守恒性、 无振荡特性和精度要求之后， 可以构造出t 时刻 的分片重构多项式 p ( x , t ) = n厂 艺r j ( x ,t ) x , ( 2 . 1 一2 ) 西北工业大学硕士学位论文 第二章 c we n o格式 为了本文的完整性，本章将简短地回顾一维、二维的中心加权基本无振荡 ( c we n o ) 格式， 详细的说明 请见文献! 1 9 , 2 0 1 . 2 . 1 一维c we n o格式 不失一般性，考虑一维双曲守恒律标量方程 a u + aj 一( u ) = 0 a t a x ( 2 . 1 一 1 ) 现将计算区域 x c , x j作n ， 等分， 步长为a x ， 则空间网格点 可记为 x i = x , + j tl x 同 时 ， 记 时 间 步 长 为 t , t 二 n tl t 便 为 相 应 的 时 间 网 格点 而t 时 刻 单 元 i ; :_ fx _。， ，:, ! 上 的 数 值 平 均 记 为 、 汀 二 牛fuu (x ,t ) d x 1 . - 一， l a x x j-u z少 假 定 ， ， 时 刻 的 单 元 平 均 甸 珍 。 己 知 ， 则 如 何 近 似 ij+1 时 刻 的 单 元 平 均 长 1,2，便 是 我 们 所 要 解 决 的 问 题 ， 见 图 : 1 一 1 . 谓 2 r j ( x ) 一一一一一一一一一一今 x j x j i u 2 x j . , x 图2 . 1 一1中汀 格式的重构图 在考虑了 数值解的守恒性、 无振荡特性和精度要求之后， 可以构造出t 时刻 的分片重构多项式 p ( x , t ) = n厂 艺r j ( x ,t ) x , ( 2 . 1 一2 ) 西北工业大学硕士学位论文 其 中r , ( x ) 为 单 元i i 上 的 多 项 式 ，x ， 为 单元1 ， 上 的 示 性函 数 尸 + t 勺 + t 将( 2 .1 - 2 代 入( “ 一 ， 再 将 时 空 积 分 算 子丁 (* ) 产 ， 一1 )式两端可得如下积分形式 d x d r 作用于 ( 2 . 1 u j+ ij z u+vz + -1 , j.f (p (一 ，)一 f (p 一 . , , r ) )d r ( 2 . 1 一3 ) 其中 u , . 1/ 2 = 工认 x ,t ) d 二 a尤 w 生服, ( x , t w ) d x + 14 x ( x , 1 ) d x . ( 2 . 1 -4 ) 再根据格式的精度要求， 可以 选择相应的求积公式来近似 ( 2 . 1 -3 ) 右端的时间 积分项.这样便得到了如下的中心格式 端z 一 喘z 十 “ 艺 7 1if (u (x ; ,t + a o t) ) 一 f (u (x ,+ t0 + a 0 1 ) , ( 2 .卜5 ) 其中 网 格比几 = a t / a x ,: ， 为 求 积公式 的 系 数，i6 1 为 求 积节点 的 系数， 为、 在 时 间 卜 ,t + 1 上 的 预 估 值 . 可以看出， 采用不同的分片重构多项式 ( 2 . 1 -2 ) 将得到具有不同性质的中 心格式( 2 . 1 - 5 ) . 本文将 采用文献 1 9 中 的c w e n o重构多 项式， 由 此得到的中 心格式便是c we n o格式. 而c we n o重构多项式应满足如下条件: 精度条件 交 错 单 元 平 均u , + v z 应 满 足 如 下 精 度 要 求 1 =,.,ax ju(x,t)二 o (ax). ( 2 . 1 一6 ) 利用 ( 2 . 1 -4 )可得 1 u i . u 2 = 毛. v , a x / 2 i p (x ,t ) d x叼 2-j,q,!u (x ,t)d 一 。 (11 1 ( 2 . 1 一7 ) 阿 2 丁 p ( x ,( ) d xa x / 2f u ( x , t ) d 十 o (fi r ) . ( 2 . 1 -8 ) 由此可得 西北工业大学硕士学位论文 p ( x l ， t ) 一 。 (x j ,t ) + o ( , t ) = f ,( u ( x , , i ) ) + o ( a x 一 ， ) ( 2 . 1 一1 0 ) 守恒性条件 丁 r , ( x ) d x 一 u 1 ( 2 . 1 一1 1 ) 在 每 个 单 元i ， 上 重 构 三 个2 阶 多 项 式凡。 ， 乃 和弓 + : ， 而 对 于 每 个 多 项 式 均 满足如下插值条件 f p t (x ) d x 二 u k- , , 执(x ) d x = u , , 一 j 一 1, j , j 十 ， ( 2 . 1 一1 2 ) 上 p ( x ) d x a x ， y = u k . , 可 令 。 (x ) _ 、 十 : (一 、 ) 合 u ,(x - .r,)2 (k = j - 1, j ,， 十 1) , 贝 “ 由 上 述 ， 值 条 件 ( 2 . 1 一1 2 )可得 瓦_ 、 一 2 风十 瓦 +i 2 4 u k + , 一u 卜 2 dx k = j 一 1 , j , j + 1 ( 2 . 1 一1 3 ) i i i - ， 一 2 u , + u , + , 公i 阵户户际巴 最 终 的c w e n o 重 构 多 项 式r ; ( x ) 便 是以 上 三 个多 项 式的 凸 组 合 r j ( x ) = w i - , p , - , ( x ) + x ; p , ( x ) + w ; + , p i , ( x ) ， 其中w k _ 0 ,艺w k = 1 此时， 守 恒性条件自 然满足. p , ( k = j 一 1 , j , j 十 1 ) 代入上式化简得 h l + l ) : ( 2 . 1 一 1 7 ) 叫一川 ti v f = a 一 ， + + “ 介 1 其中c z k= 一 c , ， ( s + i s ; ) 0 ( 2 . 1 一 1 8 ) 在 一般 条件 下 e = 1 0 - 6 ,p=2 ，光 滑 指 标 i s k一 之 r 其 他情 况时 :c , - , = 3 / 1 6 ,c ， 二 5 / 8 , c ; , , = 3 / 1 6 . 同理可得数值通量导数的近似 f l, “ 其 中 元二 人二 f ( u k ) , ( fjf-: + 片j) + w j j f ), + w j j + 1 ( f j +( f j - i + f j,、 一 f j + 1 ax) , ( 2 . 1 一2 0 ) = f k + l - f k - i ， 2 公 ( 2 . 1 一4 ) f k 一 f ,+1 - 2 f , + 鱼(k 一 1 一 1 , j , j + 1 ) . j厂厂 w 将 ( 2 . 1 一1 5 )回代入便 得 交 错 的 单 元 平 均万 :+v 2 ; 利用 ( 2 . 1 - 2 0 ) 和 四 阶n c e r u n g e - k u tt a 方 法 ( 10 , 2 0 . 2 7 来 近 似 ( x , , l ” 十 八 0 至 此 便 得 到 了 一 维 西北工业大学硕士学位论文 的四阶c we n o格式 2 .2 二维 c we n o格式 考虑二维双曲守恒律标量方程 a u 十 af ( u ) + a g (一丝 一 。 a r a x御 ( 2 2一1 ) 为了公式推导的简单， 假定空间步长为 ， a x = 细，时间步长为 t . t ( = n o t ) 时刻单元i j ,k :一 x ， 一 、 2 , x j + 112 x 沙 k _ ij 2 i y k + i/ 2 上的数值平均记为 叫 牛fu (x ,y , ， 二 澎 了沙匡.、 吼 与一维情况类似， 在考虑了数值解的守恒性、无振荡特性和精度要求之后， 可以构造出1 ” 时刻的分片重构多项式 p ( x , y ,t ) = 艺r j ,k ( x , y ) x , ,k j ,k ( 2 .2 一2 ) 其 中 r, ( x , y ) 为 单 元 i l k 上 的 多 项 式 ， x , ,* 为 单 元i , ,k 上 的 示 性 函 数 将 、2 .2 - 2 。 代 、 (2 .2 - 1 )， 再 将 时 空 积 分 算 子 了 丫 拍 d x d y d : 作 用 于 _ , y , ( 2 .2 -1 )的两端可得如下中心格式 u 瓜 2 ,k + 11 2 = 弓il 2 ,k + 11 2 公 d 、|卜leej y .o 一 1 r02 1 l tcf ( p ( x , + i , y , t ) ) 一 f ( p ( x , , y , t ) ) )一 (一 )dxd一 。归勺 树.!产 上夕 其中 月 j + 1 / 2 , w / 2 f p ( x , y ,t ) d x d y 毛 . v x .4 . u x 西北工业大学硕士学位论文 的四阶c w e n o 格式 2 2 二维c w e n o 格式 考虑二维双曲守恒律标量方程 0 u + 盟盟+ 塑盟：0 ( 2 2 1 ) o t缸 缈 为了公式推导的简单，假定空间步长为a 车血= 妙，时间步长为f f ” ( = a t ) 时刻单元，似；= x j _ l 2 ，x 1 + 1 2 y k - j 2 y p + v 2 上的数值平均记为 略b ，( x , y , t ) d x d y 与一维情况类似，在考虑了数值解的守恒性、无振荡特性和精度要求之后 可以构造出t ”时刻的分片重构多项式 p ( x ，y ，t ”) = r 肚( e y ) z 肚， ( 2 2 2 ) 其中r 球( x ，力为单元j ， 上的多项式，z ，t 为单元，j 上的示性函数 将( 2 2 2 ) 代入( 2 2 一1 ) ，再将时空积分算子且+ ) d x d y d r 作用于 l h lx “h “ ( 2 2 1 ) 的两端可得如下中心格式 其中 “一，7 1 + + 1 1 ，2 j + l f 22 “- - n + l ，2 j + i ，2 一划即h 朋， ，c p c x ，y ，r ， d y l d f 一划即训。一心似朔十一旺z 刊 w 矿石1 “。，黔y 灿d y 耍! ! 三些查兰堕主兰竺笙苎 = 乩。r i c , ( x , y ) d x d y + 廖n - c 圳删y + j 只j “i “( x ，y ) d x d y + j 月j “( x ，y ) d x d y ( 2 24 ) n 一 曩m j 有关积分区域如图22 - - 4 所示 一，”+ l 图2 2 一l 中，心格式的重构图 在给出二维的c w e n o 重构多项式r “( x ，) 之前，先讨论一下定义在单元 i ，。上的双二次插值多项式 只，t ( x ，y ) = 6 c + 6 i ( x x ) + 6 2 ( y y t ) + 6 ，( x z ，) ( y y * ) + 以( x x ) 2 + 6 5 ( y y ) 2 + 6 6 ( x o ) 2 ( y - y ) ( 22 5 ) + b t ( x - x j ) ( y - y ) 2 + “0 一z ) 2 ( y 一虬) 2 利用守恒性条件 可确定( 22 - - 5 ) 中的待定系数6 。，b 8 ( f ，= 一1 , 0 ，1 ) ( 2 2 - - 6 ) 钆= 玎一丢o 。+ ) + 瓦a z “ 。，。、= 屯一丢。 咖旷象， 1 6 3 i ”“丽“w 9 如= “j y ，1 a 2 岛2 互一面“一 m 一“ i | y d“ o 心 蛳 帅 m ，m n 一岔 西北工业大学硕士学位论文 其中 “w 2 u x = 等 小盟挚 u x y2 “m i “一“j + l ，i l 一“j t ，k + 驴知 1 , 1 1 ，k + 1 一“，k 一1 2 栌坠竽 l l x y y 2 4 叠 ( 一扎。一2 乃“女+ “) 一( 万，二i , k + l 二! ! 五t ! 夏，二i 蔓 2 3 驴坠型亟等坠苎芷型 ( 乃扎“一2 乃+ l i + 乃扎“) 二! ! 里，! ! t二! 互：! 互! 二! ! ! 互二! ：! ：! 二! 坚! 二! ：! 至二! ：! 二! ! 4 由此得二维的四阶c w e n o 重构多项式 尺m ( x ，y ) = 咄一( x ，y ) ， ( 2 2 7 ，月阻一l d j ；= 而c i , m 1 1 6 1 1 1 6l ，s = 1 0 “，p = 2 1 1 6j 将( 2 2 7 ) 回代入( 2 2 4 ) 便得“- - 川n 亿，2 ；利用s i m p s o n 求解公式和四 阶n c er u n g e k u t t a 方法来近似( 2 2 3 ) 中的第2 、3 项积分至此便z i 一- - 维的四阶的c w e n o 格式 1 0 砷 聊 “ “ 一2一4 = i i 风 嘶抛 6 6 6i；i ，、 i i c # 嬲 = 抽似 w 扣其 y dx 、h r 2 m+ 弓w a舒 2 m“+ 弓 a舒+ 2 月 “p0 y a+ 2 m“ 一 + 0 ， 以 n | i m i 巧 西北工业大学硕十学位论文 第三章 结构网格上的半离散中心迎风格式 本文将以 第二章中的c we n o重构为基础， 利用类似l 2 2 , 2 3 中的重构过程 分别得到了求解一维、二维的四阶半离散中心迎风格式. 3 . 1 3 . 1 . 1 一维半离散中心迎风格式 双曲守恒律 仍然考虑一维双曲守恒律标量方程 a u + a t of 一( u ) = 0 . a x ( 2 . 1 一 1 ) 为了避免网格的交错，在 r i e m a n n扇内进行积分时应充分考虑到波传播的 局部速度.在单元边界处，间断面的运动速度的上界为a 二 v 2 = _ m ax 、 p ( of (u ) l 份 任 l t 二y , w , v z r u u ，其中p ( a ) 是矩阵a 的 谱半径，u 二 1/2 = r i + i ( x , * v 2 i t ) u 1 , 1/2 二 r i ( x i + 1/ 2 , t n )r ， 为四阶 c w e n o的重构多项式 ( 2 . 1 -1 5 ) . c ( u j- . v 2 , 岭1/ 2 ) 是 相 空 间 中 通 过r i e m a n n 扇 连 接 。 ,+v2和 u i + 1/ 2 的 曲 线 ， 砖 、。 ， 认 比 、。 丫 _ 。_ _ . ， _(of ， _ 一、 、 _ ( a f ， ，、 、 iy a g-11)4 土 “ w ，月 v l ， ， “ ， 一 “ 飞 p i a u lu i+ v 2 1 少 l ( a u 1 u ,+ 1/2 j ) 丁 在真正非线 记x , + 11 2 ,1 = x , + 1/ 2 一 a , + v 2 0 t . 在 控 制 体i x , + v 2 .1 , x , . 11 2 ,. 可得 ， x j + v 2 , = x i + v , + a + 1/ 2 0 t ， 满足 m a x a % v 2i卜 a t 八z x t n ， t-1, 和i x , - 11 2 , x , + 1/ 2 ,1 i x 1 1 ， t 0 + 1 内 积分( 2 . 1 一 社-2 畔1n r+ u 2 二 u j + u j , , 2 + a x - a ,+ , a t 4 ( u : 一 “ ; + 、 ) ax 2 a j+u i a td r 十 ! 一 又 1 6 x 十 (a j+u 2a t)2 1 2 1 2 a j + 1/ 2 a tu (u (xj+q2,t) 一 .f (u (xj+112.1,t)i d t , (， . 1 一 i ) j口月. 。ij 矛1沙、es 西北工业大学硕十学位论文 第三章 结构网格上的半离散中心迎风格式 本文将以 第二章中的c we n o重构为基础， 利用类似l 2 2 , 2 3 中的重构过程 分别得到了求解一维、二维的四阶半离散中心迎风格式. 3 . 1 3 . 1 . 1 一维半离散中心迎风格式 双曲守恒律 仍然考虑一维双曲守恒律标量方程 a u + a t of 一( u ) = 0 . a x ( 2 . 1 一 1 ) 为了避免网格的交错，在 r i e m a n n扇内进行积分时应充分考虑到波传播的 局部速度.在单元边界处，间断面的运动速度的上界为a 二 v 2 = _ m ax 、 p ( of (u ) l 份 任 l t 二y , w , v z r u u ，其中p ( a ) 是矩阵a 的 谱半径，u 二 1/2 = r i + i ( x , * v 2 i t ) u 1 , 1/2 二 r i ( x i + 1/ 2 , t n )r ， 为四阶 c w e n o的重构多项式 ( 2 . 1 -1 5 ) . c ( u j- . v 2 , 岭1/ 2 ) 是 相 空 间 中 通 过r i e m a n n 扇 连 接 。 ,+v2和 u i + 1/ 2 的 曲 线 ， 砖 、。 ， 认 比 、。 丫 _ 。_ _ . ， _(of ， _ 一、 、 _ ( a f ， ，、 、 iy a g-11)4 土 “ w ，月 v l ， ， “ ， 一 “ 飞 p i a u lu i+ v 2 1 少 l ( a u 1 u ,+ 1/2 j ) 丁 在真正非线 记x , + 11 2 ,1 = x , + 1/ 2 一 a , + v 2 0 t . 在 控 制 体i x , + v 2 .1 , x , . 11 2 ,. 可得 ， x j + v 2 , = x i + v , + a + 1/ 2 0 t ， 满足 m a x a % v 2i卜 a t 八z x t n ， t-1, 和i x , - 11 2 , x , + 1/ 2 ,1 i x 1 1 ， t 0 + 1 内 积分( 2 . 1 一 社-2 畔1n r+ u 2 二 u j + u j , , 2 + a x - a ,+ , a t 4 ( u : 一 “ ; + 、 ) ax 2 a j+u i a td r 十 ! 一 又 1 6 x 十 (a j+u 2a t)2 1 2 1 2 a j + 1/ 2 a tu (u (xj+q2,t) 一 .f (u (xj+112.1,t)i d t , (， . 1 一 i ) j口月. 。ij 矛1沙、es 西北工业大学硕士学位论文 u , + a t ( a 二 v z 一 a ; + y z ) u i 2 a x z ( a 失 v z + a 几 , 2 ) a / a x 2 4 1 2 尸月.几l + 尸.山 r月jleel 1 a x 一 1 ( ; - v 2 + a 二 v z ) + at(; v2)一 ;,2a,/, + (ai.yz)z)ui :” f ; 、2/，一 i (u (x ;-1)2一 )d t , ， “ 。， 一 ， ， 其 中 w 局 z 和w )的 几 何 意 义 见 图3 . 1 . 1 一 1 . ( 3 . 1 . 1 一 1 ) 和( 3 . 1 . 1 - 2 ) 中 通 量 函 数 的 积 分 可 用s im p s o n 求 积 公 式 近 似. 现 分 别 以 非 均 匀 的 单 元 平 均畔)可+1 为 基 础， 利 用 第 二 章 中 的 四 阶c w e n d的 重 构 思 想 可 得 到 新 的 四 阶 重 构创 井 ， 、 17v - 1r: h+1ni+v2 (x ) 一 “ ，+y2 + u ).yz(一，+1/2) + 告 “:一 ，2一、2)z,z 河 + , ( x ) = 可+ 1 ( x ) . 利用以上公式可得t ; + ， 时刻的单元平均为 、 一 a x l e l_井 -vz二 -i+n . w j+ (x) d 二 sj.uz r w j+112 (x) d 刁 = a - v z u i - y z + 1 一 兄 ( a 丁 一 。 2 + 可 。 11 2 ) n+ - v , + a + v z ) w ; + r a ,+ v z u . y z ( 3 . 1 . 1 一4 ) 越 t ， ， 、 十l l a, - , , ) 2-. _， u , - 1 )z 一 ( a 失 1/ 2 ) z - ra + y z ) o f + y z ) + 7a,2 6 ( ( a - ,i, ) 3 u )一 、 2 + ( a:+v z ) s - .z + a , . u z ) u 1 + u z ) x m z i ) (j . e z r 一 一 一 一 一 一 一 r 一 一 一 ， 一 一“ 一 一 尸 - 占 一 ， 一 一 一 一 - x _ i x 1 - 1/ z x 1 x i . 3i z x i + i 图3 . 1 . 1 一l重构图 半离散格式可直接由全离散重构导出，即 西北工 业大学硕士 学位论 文 d 一， .u +l - u d t u i r t = u rnm - .; 一 a t ( 3 . 1 . 1 一5 ) 现将 ( 3 . 1. 1 - 4 ) 代入上式， 可简化成如下的守恒形式 h;.112 ( i ) 一 h;_112 ( t ) ax ( 3 . 1 . 1 -6 ) 其 中 数 值 通 量 h j+y2(t) = 钟 婴型 一 掣 u ,.,/2 (t) - u ,.,n (t)1 , u ,.ux 一 * ，十.(x f+t/2,r卜 ， 一 警 ;+。 等 u,+, ， u;.112一 * ，( ，二。211) = ， a x+ 2 u 二 + 8 u ， u,.1/2 (t ) = m ax p i a (u.qz) i. p au (u,+1/2) 最 后 只 需 再 用 文 献 2 8 1 中 的s s p ( s t r o n g s ta b i lit y p r e s e r v in g ) r u n g e - k u t t a 方 法求解 ( 3 . 1 . 1 一6 )即可 方程组的 情况可以 用c o m p o n e n t w i s e 技术直接处理. 下面将给出相应的数值算例: 算例1一维线性对流方程 为了检验本文的四阶半离散格式 ( 简记为 s d 4格式，即 f o u r t h - o r d e r , s e m i- d is c r e te s c h e m e ) 的 精 度， 现 取 初 值为u , ( x ) = s i n ( x ) ， 且 满 足周 期 性 边界 条 件，表3 . 1 . 1 -1 给出了t = 2 7r 时刻的数值误差与数值精度.显见本文的s d 4 格 式的数值精度近似达到四阶.现给出两种衡量误差的范数: : :误 差 :ii e rro , il , = i lu (x j ,t ) 一 u ld x 。 l m 误 差 :ii e rr a , il. 一 吧iu (x l ,t ) 一 u 1 卜 表3 . 1 . 1 一1求解一维线性时流方程的s d 4 格式的 数值精度 误 差收敛率l m 误差 收数率 1 . 2 9 3 0 e - 4 1 . 9 2 2 6 e - 5 1 . 0 0 3 2 e - 6 2 . 7 4 9 6 4 . 2 6 0 4 4 . 3 9 0 1 e - 5 3 . 1 0 9 0 e - 6 2 . 3 0 8 4 e - 7 3 . 8 1 9 7 3 . 7 5 1 5 n一4080 算例2一维b u r g e r s 方程 满 足周期 性边界 条件， 初值u . ( x ) = 0 . 5 + s i n x . 表3 . 1 . 1 - 2 给出了 前 激波时 西北工业大学硕士学位论文 刻t 二 0 .5( 激波 还未 形 成， 解 仍 然 光 滑) 处 的l 。 误 差 和l 。 误差， 再 一 次 说明 了 本文的 s d 4格式的数值精度可以达到四阶.图 3 . 1 . 1 -2给出了t= 2 时刻的由 s d 4 格式和四阶中心加权基本无振荡格式( 简记 为c w e n 0 4 格式， 即f o u r t h - o r d e r , c e n t r a l w e ig h t e d e s s e n t i a ll y n o n o s c il l a t o r y s c h e m e