（运筹学与控制论专业论文）凸体包含测度的理论研究.pdf

摘要 凸体几何是以凸体或凸性为研究对象的几何学分支，凸体的包含测度是凸体几 何的主要研究方向之一本文主要探讨了凸体的包含测度，利用凸几何中的混合体 积理论，获得了凸体包含测度的相关性质和一些不等式，同时也体现了混合体积理 论在研究凸体包含测度上的有效性 本论文由四部分组成。第一章介绍了凸体几何的发展历史、主要研究分支以及 截止到目前关于凸体包含测度的研究概况，着重介绍了凸体包含测度的主要研究成 果其次，扼要介绍了我们获得的有关凸体包含测度不等式的结果在第二章中，主要 利用m ( l k ) = k 1e t _ 1 ( ”) ( 一1 ) 眠( k ) w 么一。( l ) 建立了凸体的包含测度及其相关 i 体( 位似体、射影体、配极体) 的包含测度之问的关系等式，同时获得了凸体包含测度 的一些性质第三章主要利用闭半空间的交c ( k ，l ， ) = z r ”：x + a l k ) ，a 0 这个工具，得到了凸体包含测度的几个不等式，在最后一章，我们证明了单形的p 次径向平均体位似于其差分体，同时获得了单形的唯一性性质等 关键词：凸体，包含测度，混合体积，单形，径向平均体 a b s t r a c t c o n v e xg e o m e t r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fg e o m e t r y , a n dc o n v e xb o d yo rc o n v e x i t y i st h es t u d yo b j e c tw h a t sm o r e ，i n c l u s i o nm e a s u r e so fc o n v e xb o d i e si so n eo fm a i ns t u d y d i r e c t i o n so fc o n v e xg e o m e t r y i nt h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o n ，w ed i s c u s si n c l u s i o nm e a s u r e o fc o n v e xb o d y , a n dg e ts o m ep r o p e r t i e sa n di n e q u a l i t i e sa b o u ti n c l u s i o nm e a s u r ew i t h u f i x e dv o l u m ea n db r u n n m i n k o w s k it h e o r y , w h i c hs h o wt h ee f f i c i e n c yo fm i x e dv o l u m e t h e o r yo ns t u d y i n gi n c l u s i o nm e a s u r eo fc o n v e xb o d y t h i sd i s s e r t a t i o n i n c l u d e s f o u rc h a p t e r s ，w ef i r s ti n t r o d u c et h eh i s t o r yo fc o n v e x g e o m e t r y 、p r i m a r yb r a n c ha n ds h o w s o m er e s e a r c hi nt i l ea s p e c to fi n c l u s i o nm e a s u r e s o fc o n v e xb o d i e s ，e s p e c i a l l ym a i ns t u d yr e s u l t so fi n c l u s i o nm e a s u r e so fc o n v e xb o d i e s i nc h a p t e rt w o ，t h er e l a t i o n sb e t w e e ni n c l u s i o nm e a s u r e so fd i f f e r e n tb o d i e sr e l a t e dt o c o n v e xb o d yka n dt h ei n c l u s i o nm e a s u r eo fc o n v e xb o d yki t s e l fa r eo b t a i n e d ，a n d m ( l k ) = k ：1 坠l ( n ) ( 一1 ) w i ( k ) w 一。( l ) i sf r e q u e n t e l yu s e da sam a t h e m a t i c 柚 i t o o l i nc h a p t e rt h r e e ，s e v e r a li n e q u a l i t i e so fi n c l u s i o nm e a s u r e so fc o n v e xb o d i e sa r e c r e a t e dt h r o u g ht h ee ( ，l ， ) = z r ”：x + a l ，a20 f i n a l l y , w ep r o v et h a t t h er a d i a lp t hm e a nb o d y 岛k ( p 0 ) i sh o m o t h e t i ct ot h ed i f f e r e n c eb o d yd kw h e nk i sas i m p l e x f u r t h e r m o r e ，t h ee q u a l i t y 嘞r k = r q ki se s t a b l i s h e dw h e np 0a n d q 0 w ea l s op r o v et h eb r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t yo fr a d i a lp t hm e a nb o d yo fs i m p l e x a n du n i q u e n e s sp r o p e r t y k e y w o r d s ：c o n v e x b o d y ，i n c l u s i o nm e a s u r e ，q u e r m a s s i n t e g r a l ，m i x e dv o l n m e ，s i m p l e x r a d i a lm e a nb o d y , i n e q u a l i t i e s 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过 的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谓 意。 签名目期：加、6 、乙 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论 文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名导师签名日期：“0 矿 肼 第一章绪论 1 1 学科综述 几何作为数学的一个分支可以称得上是最直观的，几何源于土地的测量，以图 形为研究对象几何的最大特点就是直觉性，直觉是几何得以不断向前发展的创造 源泉然而，凭借直觉得到一些”毋庸质疑”的结论并不正确早在2 3 0 0 年前， e u c l i d e a n 就建立起了几何公理系统，一本几何原本统治了几何两千多年到 1 7 世纪笛卡儿、牛顿引进了坐标系、创造了微积分后才得以研究，一条曲线的切线 与微分是同一个概念，一条封闭曲线所包含的面积理论就是积分论 l e u l e r ( 1 7 7 7 1 7 8 3 ) ，g m o n g e ( 1 7 4 6 1 8 1 8 ) 做了大量的前期工作后，由c f g a u s s ( 1 7 7 1 8 5 5 ) 以曲面 论的第一基本形式奠定了微分几何br i e m a n n ( 1 8 2 6 1 8 6 6 ) 在1 8 5 4 年把这个理论推 广到n 维空间，由此产生了黎曼几何1 8 7 0 年f e l i xk l e i n 把几何学定义为研究变换 群下的不变性质的学科视变换群的选择，我们有欧氏和非欧氏几何学、投影几何 学、仿射几何学等w b l a s e h k e 在仿射几何中作了决定性的工作e l i ec a f t a n ( 1 8 6 9 1 9 5 1 ) 在广义空间中把联络作为主要的几何概念，连同他建立的外微分和他在李群 的工作，是近代微分几何的柱石 凸体几何是以凸体为主要研究对象的一个重要分支凸体几何作为一个独立的 数学分支，起源于1 9 世纪末和2 0 世纪初，h b r u n n 和hm i n k o w s k i 是两位杰出的 奠基者b r u n n m i n k o w s k i 理论的核心部分为b r u n n - m i n k o w s k i 基本不等式和混合 体积理论，近2 0 年来由于发现了其各种新的应用以及它与许多重要数学分支的深 刻联系，这一理论已成为凸几何中最基本最重要的组成部分2 0 世纪三十年代至 五十年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 在该领域的一系列突破性的工作， 大大推动了凸体几何的发展在随后的几十年中，凸体几何理论发展迅速，一些经 典的古老问题陆续得以解决，新的富于挑战性的问题大量产生在这个过程中，它 与数学的其他学科，如泛函分析、群论、代数拓扑结合，产生了许多新的富于魅力 的数学分支，其中最引人注目的是它与泛函分析结合的产物- b a n a c h 空间的局部理 论，这被认为是现代国际数学研究的主流方向之一 j b o u r g a i n 运用几何分析的局 部研究理论，彻底解决了凸体几何的一些经典难题，并因此获得了1 9 9 0 年的f i e l d s 奖1 9 9 9 年国际数学家大会报告者m i l m a n 运用凸渐进理论研究凸体之间的逼近 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 2 问题，成绩斐然国内，2 0 世纪五十年代，著名数学家吴文俊运用拓扑方法圆满解 决了复合形在欧氏空间嵌入的这一凸体几何的难题，成果举世瞩目 著名数学家陈省身教授在祝贺我国自然科学基金设立1 0 周年的讲话( 刊数 学进展2 5 卷5 期( 1 9 9 6 ) ) 中指出：”凸体几何是一个重要而困难的方面，c 6 0 的 研究( 1 9 9 6 年获得诺贝尔化学奖) 显示了它在化学中的应用，它当然对固态物理也 有重大作用”陈先生的话充分说明了凸体几何研究不仅具有深刻的理论价值，而 且有着广泛的应用价值 不可不提的还有现代几何学的另一重要分支t 几何断层学它作为凸几何理论 与医学c t 、体视学、几何刺探等的交叉学科，主要通过对几何对象的截面，投影 等数据的分析来获得几何对象本身的信息 “积分几何名是1 9 3 4 年德国数学家w i l h e l mb l a s c h k e 所起的它 起源于”几何概率”( g e o m e t r i cp r o b a b i l i t y ) ，其中的度量表为积分1 8 6 9 年英国 数学家w ，g r o f t o n 找到这些积分问的许多巧妙的关系法国大数学家h e n r i p o i n c a r e 高瞻远瞩，于1 8 9 6 年引进了运动密度的观念，把积分几何建立在群论 的基础上积分几何的发展b l a s c k e 的功劳很大三十年代他的学生中包括吴大 任教授及陈省生，其中最杰出者为西班牙阿根廷数学家l a s a n t a l o 五十年来 s a n t a l o 教授一直是世界积分几何的领袖凸几何所研究的内容涉及面广泛，它 既是- - f 3 基础理论，又与实际应用密切联系，极具应用价值它既可以用另外的数 学原理作为工具，又能以它的理论、方法和结果反过来服务于学科和实际凸体的 包含测度是凸几何中长期未能取得进展的重要课题，任德麟教授在8 0 年代建立了 2 维和n 维含于凸体内定长线段的运动测度的系统理论。g a o y o n gz h a n g 在9 0 年 代非常精确地找出了包含测度的上、下界和一些包含测度的不等式 关于凸体的包含测度理论，解决或者部分解决以下问题是我们研究的目标， ( 1 ) 利用凸几何中的混合体积以及对偶混合体积理论，探索积分几何中一些经典 公式的对偶形式这是一个崭新的课题，搜索关于积分几何运动公式的最新文献， 大抵都是研究不同空间上的运动公式利用对偶混合体积理论来研究积分几何非常 少见 ( 2 ) 探索与凸体包含测度有关的几何不等式，在这个研究方向我和我的导师熊 革老师已经有了一些初步结果包含测度理论研究是积分几何学中的一个重要方 面，而几何不等式是凸几何中最有吸引力的课题，最典型的不等式如经典的等周不 等式凸体的包含测度是按照如下方式定义的：设k 为一凸体工是一个能够置于 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 3 k 内的几何形体，即所谓的”试验体”设9 表示一刚体运动l 包含于k 内的包 含测度m ( c ) 定义为 r m ( lck ) = d 9 j q l c k 此积分区域由一切能使g lc k 的那些g 构成取为特定的几何形体( 即令试验 体标准化) ，则包含测度m ( lck ) 便能刻画凸体的某种性质我们目前所做的 工作是用凸体的体积、表面积、以及均质积分等表达了关于凸体包含测度的一组不 等式这方面的工作还需要进一步加强，而且是可以继续深入挖掘的 ( 3 ) 进一步推进凸体包含测度理论的研究，并利用包含测度理论研究凸体的性 质。对m ( lck ) ，一个自然的选择是令l 为具有给定长度的线段( 一种重要的退 化情形) 任德麟教授和张高勇教授已取得的进展有t 对2 维及n 维欧氏空问导出了 m ( l ) 的普遍性公式；对2 维情形，由于引进广义支持函数和限弦函数这两个 新概念，完满地解决了m ( lck ) 的计算问题；对高维情形，当为凸柱体时，导 出了计算m ( lck ) 的递推公式对于各种特定的柱体，克服使用递推公式中遇到 的技术性难点，寻求计算m ( lck ) 的有效算法；对某些类型的非柱体的凸体k ， 探索m ( lck ) 的算法；利用m ( lck ) 研究凸体的性质( 至少对于2 维隋形) ；对 l 为更一般的试验体时，对m ( lck ) 可作更多探索性的研究 1 2 研究课题和主要工作 本文以经典的混合体积理论为基础，推导出了关于包含测度一些新公式具体 的来说，关于凸体包含测度的研究，我们已经找到了一个比较具体而且行之有效的方 法，那就是相关内平行体( r e l a t i v ei n n e rp a r a l l e lb o d y ) 的方法可以扼要介绍如下： g z h a n g 发表在英国数学著名刊物m a t h e m a t i k a 上的文章g e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s a n di n c l u s i o nm e a s u r e so rc o n v e xb o d i e s 中证明了l 包含于k 内的包含测度 m ( lc ) 为 ， m ( l k ) = 7 * t k ( l ) = v ( c ( k ，e l ，1 ) ) d p ( e ) j s o ( t 其中s o ( n ) 表示r “中中的旋转群( r o t a t i o ng r o u p ) ，v 是s o ( n ) 上唯一不变的概 率测度，c ( k ，e l ，1 ) 是闭半子空问 r “：( z ，u ) sh ( u ) ，u s 一的交显然， 能够进一步的弄清楚集合g ( 耳，e l ，1 ) 的性质对于理解包含测度是大有裨益的。我们 已经证明了c ( k ：e l ，1 ) 就是凸体k 相关于凸体e 的内平行体，而且利用混合体积 理论得到了c ( k ，e l ，1 ) 的体积的上下界，从而得到了凸体包含测度的上下界 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 4 近期文献中，对凸体包含测度的性质和不等式的讨论和研究很少，所以开展对 包含测度的理论研究，不仅能充实积分几何的内容，而且对于更好地理解包含测度 和相关体的关系有着重要的意义 本硕士论文共分四章，以凸体的包含测度和单形的径向平均体为重点研究内 容，下面对各章内容作一简要介绍 第一章介绍本学科领域的发展概况和本文的主要工作 第二章主要工作是研究了口。中凸体包含测度的性质，以及凸体的包含测度及 其相关体( 位似体、射影体、配极体) 的包含测度之间的关系等式，并探讨了凸体为 球、椭球和单形时的等式 设 和l 分别是凡n 中的凸体和凸形，那么对任何的“ 0 ，存在 i n o ( ) = n ”m ( = ) 设岛是p 次径向平均体，d k 是欧氏空问r ”中n 维单形的差分体， p ( ) 那么， r “岛( l ) 摹m “，d n ( l ) = c 嚣，p m d ( = 兰) 设e 是r “中n 维中心椭球，那么 哪( 驴( 等半) n 7 1 1 e * ( 功 若b ；为半径为n 的球，且i = 1 ，2 ，t i 7 2 那么 噬( b ：) = ( r l r 2 ) 一”r t b - ( b 2 ) 设k 1 ，尬和k lu k 2 是凸体，l 是在r “中的凸形，那么 , t i t k l u 虬( 工) + l i t k l n k 2 ( l ) = m l f l ( l ) + h z k 2 ( l ) ( 此结果已被上海大学学报英文版录用) 第三章主要工作是建立7 闭半空间交c ( k ，l ， ) 的不等式和包含测度的不等 式，并给出j 凸体m i n k o w s k i 的和的包含测度的估计等 设心是凸体( i = l ，2 _ ) 和l 为r “中一凸形，那么对于s 1 有下式成立 5s c ( k dcg ( 垃) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 5 设k 。是凸体0 = 1 ，2 s ，8 1 ) 和l 为r “中一凸形，那么有下式成立 m k l + k 2 + + n 。( l ) 仃。k l ( l ) + k 2 ( l ) + + l y t k 。( l ) 设尬是凸体( i = l ，2 s ，s 1 ) 和l 为r ”中一凸形，那么有下式成立 m 。k l + 。2 k 2 + 。；k 。( l ) 血? m k 。( l ) + a 呈m 地( l ) + + n ；m 耳。( l ) 且n z 1 ，i = 1 ，2 ，s ( 此结果已被数学研究与评论英文版录用) 第四章i 要- r - 作是我们证明了单形的p 次径向平均体位似于其差分体，当p 0 和q o 时满足岛耳= r q k 以及单形的唯一性性质 设k 是r 4 中一凸体，当p 0 时，那么单形k 的径向平均体兄k 是差分 体d k 的伸缩 是兄”中n 维单形，p 0 ，q 0 ，那么 耳k = r q 体i f ( 唯一性) 设和l 是r ”中n 维单形，如果对于p 0 满足r = r p l 是彤中n 维单形，u s n ，那么 v c 。，曼( ：) 矿c ， 等号成立当且仅当k 是单形( 此结果已被数学杂志英文版录用) 1 3 预备知识 我们将欧几里得空间兄n 中的原点、 若u s 舻1 则“1 表示垂直于u 的( 扎一 的直线 单位球面和单位球分别记为o ，s ”1 和日 1 ) 维子空间，f 。表示过原点平行于方向 用a 表示r ”中的k 维l e b e s g u e 测度( 等同于维h a u s d o r f f 测度) ，其中 1s 吼我们通常用v 代替a 。对于r “中的单位球b ，有 n ( b ) = k 。，a 。1 ( b ) = k 。 ( 1 3 1 ) 2 0 0 6 上海大学项士学位沧文6 我们定义有界闭的集合是紧致凸子集，含有非空内点的紧致凸子集为凸体凸 形为n 维欧氏空间r ”中的紧致凸子集，而且规定凸体内凸形非空，s o ( n 1 是r n 中旋转群令是r ”中的一个凸形若k 是包含原点的凸体，那么我们定义在 球面上s ”1 凸体的径向函数p k 为 p k ( u ) = m a x a 0 ：a u k j 凸体k 的配极体耳+ 定义为 ( 132 ) k 4 = 忙r “：( z ，y ) 1 ，ye k ， ( 1 3 3 ) 很明显，若8 0 - o ) 是个圆心在原点且半径r 0 的闭球，那么 旧( 叩) r = 口( ；，。) ( 134 ) 定义在r ”上的关于的支持函数h k 为 h k ( z ) = m “z 扛，y ) ：y ( 1 3 5 ) 其中( z ，目) 是在r ”内z 和y 的内积函数h k 是正线性齐次的我们以后主要考 虑单位球面s ”1 上的支持函数 两个凸形k 和l 的m i n k o w s k i 和定义为 + l = 如+ y ：x k ，y 工 凸体k 的差分体表示为 d k = k k 凸形的数乘a k n 0 j 定义为 a = a z ：z ) 对于凸形a 耳+ “l ，支持函数是 + n l = a h k + l x h l 凸形a k + “l 的体积是关于a 和“的齐次多项式 ( 1 3 6 ) ( 1 37 ) ( 1 38 ) ( 1 3 ，9 ) y ( a 矗+ l ) = 壹( n ) k ( k ，l ) a “( 1 3 1 0 ) i = oi 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文7 系数k ( ，l ) 被称作k 和l 的混合积如果b 是单位球，那么称碓( ，b ) 为k 的均质积分，也记作w i ( ) 一般地，对于r “中紧凸子集皿，的混合积v ( k i ，昧) 定义为 叫虬剐2 者著卜”州。，曼。h l + 。+ 剐( 1 3 1 1 1 ) j 21 1 ( ” 0 ，那么 v ( a k l 十 吒k 风) = a v ( k 1 ，k 2 ，) + b v ( k i ，尬，) ( 13 1 2 ) ( i i ) ( 线性变换下的变化) 对于线性变换，有 、 v ( 1 k j ，k n ) = j d e t v ( k , ，k 2 ，k 。)( 1 3 1 3 ) ( h i ) ( 单调性) 如果lck ：，那么 v ( i q ，畅，) sv ( k i ，尥，) ( 1 31 4 ) ( i v ) ( 非负性) v ( k t ，k 2 ，心) 0 ( v ) ( 个体平移不变性) ，若z r n 那么 矿( 确+ z ，惋，) = v ( h ，t ( 2 ，)( 13 1 5 ) ( v ) ( 连续性) 混合积y ( l ，i 彳2 ，) 是k l ，尥，髓。的连续函数 在文章【1 】中，l u t w a k 引进了相交体的概念设k 是r n 中一星形体，n 2 ， p k c ( s ”- 1 ) 我们称i k 若满足下式，那么i k 为k 的相交体 眦( “) = - l ( kn u 1 ) = 击f s n _ l v l u p k ( ”) n - l d a n _ 2 ( 毗u s ”1 ( 1 3 1 6 ) 我们应当注意到星形的截面体是指具有连续径向函数的星体的截面体 设是r n 中凸体，的射影体i i k 是中心对称的凸体，使得对所有“s 一1 ， i 小) = k 一，( k i “1 ) = ；z l “w l d 晶- l ( m ) ( 1 3 1 7 ) 注意一个非常有用的结论( 一) = i i k 换句话说，射影体i i k 在任何方向的宽度 两倍于k 在垂直方向的投影体积， 设是冗”中凸体，对非负实数p 一1 ，凸体k 的p 次径向平均体的径向函 数满足 p 啷水) = ( 志厶p k ( 叩) 汽u 凹1 ( 1 3 1 8 ) 2 0 叩上海大学硕士学位论文 8 由f 2 18 ) 式可知差分体为d k ，满足 户。n ( u ) = 爱凳p k 扛，u ) = g m a 。x 。( n ( 。n + ) ) ，u s “ ( 1 3 1 9 ) 如果是非奇异线性变换，那么对于咒“中每一个 ，。可测集e ，有 当a20 ，有 y ( 毋e ) = l d e t l v ( e )( 1 3 2 0 ) y ( a e ) = a ”y ( e ) ( 132 1 ) 众所周知，对r ”中凸体k 和上有经典的b r u n n m i n k o w s 航不等式 v ( + l ) 去y ( ) 击+ y ( l ) 击 等号成立当且仅当和l 是同位相似( h o m o t h e t i c ) b r u n n m i n k o w s k i 不等式一个等价的形式是对r “中凸体和l ，那么 ( k ，工) “v ( ) 俨1 v ( l ) ( 132 2 ) ( 1 3 2 3 ) 寻号成立当且仅当k 和l 是同位相似( h o m o t h e t i c ) k 的平均宽度为 m ( ) 2 意s 7 t k ( u ) 4 s ( u ) ( 13 2 4 ) 混合积( k ，l ) 的积分表示形式为 ( k ，l ) = ：上一。h m ) d s k ( u ) ( 1 3 2 5 ) 其中s 是的面积测度 b e t a 函数通常定义为 为了方便引入记号 b ( p ，q ) ：，1t p - l ( 1 , t o ，p = ( p b ( p ，n + 1 ) ) 一； ( 1 32 6 ) ( 13 2 7 ) 第二章凸体与其相关体的包含测度之间的关系 凸体的包含测度在凸体几何中有着非常重要的作用，2 d 世纪九十年代，任德 麟教授和张高勇教授已取得的进展有c 对2 维及n 维欧氏空间导出了m ( lck ) 的普遍性公式；对2 维情形，由于引进广义支持函数和限弦函数这两个新概念，完 满地解决7m ( lck ) 的计算问题；对高维情形，当k 为凸柱体时，导出了计算 m ( lck ) 的递推公式本章主要工作是从包含测度的定义和性质，包含测度的一 些恒等式和凸体与相关体的测度之l 司的关系等方面介绍了包含测度的发展状况 2 1 包含测度的预备知识 在本章内，积分几何的k i n e m a t i c 公式给出了同余凸体相交于固定凸体的集合 的测度特别地，令k ，l 是r “中两个凸体，g ( n ) 是r ”中刚性运动群每个g ( n ) 中的元素口：r n r ”可以表示为 ( 2 1 1 ) 其中ber n 和是行列式为的正交矩阵令上是a ( n ) 上h a a r 测度t# ： r ”s o ( n ) 一g ( n ) 定义为妒( ，e ) z = e z + ，z r “如果一是s o m ) 上不变概率测 度，q 是口上勒贝格测度那么p 就是妒一1 下的拉回测度q o v 我们定义含于凸体k 的凸形l 的包含测度为 m k ( l ) = q ( le ) = 上g g ( 。) ：9 l d p o 卜 ( 2l 2 ) 相对于l 的凸形的内径r ( k ，l ) 定义为 ，( ，l ) = s u p a ：x r “z + a l k )( 2 13 ) 同理，相对于l 的凸形的外径n ( k ，l ) 定义为 r ( k ，l ) = i n f a ：z r ”x + a l 三) ( 2 1 4 ) 如果l 是r “中单位球，那么称r ( 耳，l ) 和r ( ，l ) 分别为的最大内切球和最小 外接球的半径 0 2 0 0 6 上海大学硕学位论文 1 0 设k 和，圮是和l 的支持函数首先，我们假设工是个凸体对一固定的 f 0 ，r ，考虑在单位球上的函数h x = 一a h l ，其中r = r ( 耳，l ) 是相对于l 的 凸形k 的内径r ( k 工) 总之，u 不是- - + 1 5 体的支持函数定义c ( k ，l ， ) 为半 空间 x 兄”：( z ，u ) h ) ) ，s ”“的交e ( k ，l ，a ) 的边界o c ( k ，l ，a ) 两两不 相交且 l j o c ( k ，l ，a ) = k ( 2 1 5 ) o 兰r ( k ，叫 我们知道下面的公式( 见 4 3 1 ) d v ( c ( k ，l ， ) ) = 一n ( k ，l ， ) ，) ，( 21 6 ) 对( 2 16 ) 式两边积分，我们可得 v ( k ) 一y ( c ( k ，l a ) ) = n j ( 1h ( c ( k ，l ，盯) ，l ) d 吒 ( 217 ) 印 f r ( k ，l ) v ( c ( k ，l ：a ) ) = n h ( e ( ，l ，口) ，l ) 打，( 2 1 8 ) 2 2包含测度的定义和性质 本节的主要任务是给出混合相交体的积分形式的定义和它的基本的性质在混 合相交体的性质和极值问题的讨论中，球面r a d o n 变换是重要而不可或缺的工具。 引理e 2 1 1 4 j 闭半空问扛r ”：( z ，“) 兰b ( “) ，u s ”1 的吏c ( k ，l ，a ) 等同 于集合扛册：x + a l k ，即 c ( kl ， ) = z r n ：z + a l k ) ， 0 ( 2 2 1 ) 证明令z c ( k ，l ，a ) 假设x + a l g k ，那么存在一个t 1 l 使得x + a x l 掣k ， 所以存在s 一1 使得扣+ 。l ，1 i ) h k ( t ) i 即 ( x ，u ) k ( u ) 一 ( z i ，u ) h u ( u ) 一a l ( u ) ， 得出矛盾所以c ( k ，l ， ) z r “：z + a l k ，令z z 兄”：z + a l ) 对 fs 一，选取z l l 使得，。l ( u ) = ( z l ，u ) 既然存在一个z o k 使得z + z 1 = z o ， 且( z ，u ) = ( x o ，u ) 一 ( t 1 ，u ) 我们有 ( z ，u ) 一( x o ，u ) 一 h l ( u ) 5h k ( u ) 一a h r ( u ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文1 l 因此 z r n ：z + a lc kc c ( k ，l ， ) ) 口 对e s o ( n ) ，我们有 c ( k ，e l ，a ) = z r “：( z ，i t ) h k ( u ) 一a h 。l ( u ) ) 含于k 的a l 的包含测度能以c ( k ，e l ，a ) 的体积的形式表示 引理2 2 2 1 5 4 1 在r ”中，如果k 是一凸体和l 是个凸彤，那么对a 0 ，合于 k 的a l 的包含测度是 m ( a l ) = ”。k ( a 三) = v ( c ( k ，e l ， ) ) d ( e j( 2 22 )j s o ( n ) 其中p 是在s o ( n ) 上的唯一不变概率洲度特别地 m ( ) = m k ( l ) = l v ( c ( k ，e l ，1 ) ) d ( e ) (223)j s o ( n ) 引理2 2 3 5 4 】在r ”中，如果是一凸体和l 是个凸形，那么对a 0 ，含于 k 的a l 的包含测度是 m ( a l k ) = v ( k ) 一”、d v ( e ) u ( g ( 片，l ，口) ，l ) d a r拈酬啦 如 ( 2 24 ) 3 ”上d 咖( 。) 上k ( e ( k ，l ，a ) ，l ) 曲 定理22 4 1 5 4 】设l 和k 分别是f 1 中凸形和凸体对任何的e s o ( n ) ，如果 支持函数的差，一。l 是另一个凸体的支持函数，那么含于k 的a 工的包含测度 是 m ( l ) ：k 二1 n ( “) ( 一1 ) w i ( k ) w n 一；( 工) ( 22 5 ) t = 1 i 证明既然坛一 e l 是o ( e ) = c ( k ，一己，1 ) ，我们有c i ( e ) + e l = k 那么由 m y ( 。( 。) ) ：壹( “) ( 一1 ) t k ( k ，。) 对上式两边积分并使用下面公式 上。k ( e e ) “v ( e ) 2k 1m ( ) 一t ( l ) 我们易得( 2 25 ) 口 定理2 24 在下面任何一种情形都是成立的 1 ) l 乏一个 、 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 2 r 纠l 有恒定的宽度，k 是外平行集且k 的距离大干凸形l 的宽度 r 圳a l 的最大曲率半径小于o k 的最小曲率半径 定理225 1 1 4 1 仿射等价凸体的投影体迹是仿射等价的( 实际上是线性的) 特 别地，如果g l 。，那么 ( 咖) = 恤酬“( ) ( 22 6 ) 证明既然平移凸体后的投影体保持不变让西g l 。，如果k 是一凸体， u s “一1 和西叫= u 那么 m 州u ) = ；t 。d 晶- l ( 抛”) = 昙y ( ，n l ；【_ 虬1 t 】) ：昙v ( ，n 一1 ；【一 ， 】) = 罢i d e t o v ( k ，n 一1 ；【一w ，】) = i d e t l h r l k ( w ) = i d e t 咖l h r l k ( - 1 u 1 这里我们已经用了c a u c h y 投影公式和保体积线性变换下混合体积的不变性我们 现在运用( 1 3 1 3 ) ，在线性变换下 h h k ( 1 1u ) = h e 一1 ( n k ) ( u ) 同上面的等式一起，我们得到了需要证明的结论 定理22 6 【4 0 设啊，物是r “中的两个凸体，而且满足k lu k 2 是凸体，那么 慨( k lu k 2 ) + m ( ln 恐) = m ( k 1 ) + 暇( 尬) ，i = 0 ，1 ，2 ( 2 2 7 ) 由于凸体的相交体不一定是凸体，我们现在考虑是中心凸体的情形不管 怎样，若是冗n 中心凸体，那么，也是中心体 定理227 1 4 5 设k 是r ”中的凸体，体积和表面积分别为v 和f 假设是 长度为z 的线段，那么含于耳的的包含测度 ，州f ) _ ；圳z 吣- v 一方南w o w ! w n - 2 l f + 产1 - 厶咄。( z 刊把 ( 2 2 8 ) 其中g 是直线，盯曼1 且口= a 1 ( g n ) 定理228 4 5 】设k 是r ”中的关于z 。轴旋转的中心星形体，那么它的径向函 数可以看作是和z 。轴夹角为# 的函数那么 蔫仁，州圹l ( 1瓮) 孚s i n 螂 ( 2 圳 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 3 其中u s ”，妒是k 和z 。轴的夹角( o 0 ，存在 r ， f ，( ) = n ”m ( ；) ( 2 31 ) 左 证明根据定理2 2 4 ，我们可以得到 m 。k ( l ) = k 二1 坠1 ( n ) ( 一1 ) t ( n k ) w 名一；( l ) i 一，- 。1 譬。( n ) ( 一1 ) t 。n w ( ) 1 1 名一。( 。鲁) i i 1 坠l ( 儿) ( 1 ) i 。n - i ( k ) 。z w o 一。( 鲁) i “n i 1 ：1 1 ( “) ( 一1 ) t ( ，f ) ( 鲁) i = n “m n ( 告) 熊革和李德宜博士在 5 3 】证明了l 是线段时上式成立 定理23 2 设e 和l 分别是础中的中心对称的椭球和凸形，则对 0 ，存 m r 舢) = a n m s ( ：) ( 2 3 2 ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 4 证明根据定理2 3j 和，我们可以得到定理 0 那么， 耳( 工) = m 。d k ( l ) = ，p m d k ( ) ， ( 233 ) 其中一= ( p b ( p ，忆+ 1 ) ) 一i 1 ，b ( p ，札+ 1 ) = 詹t v 一1 ( 1 一) ”d t 证明根据定理4 2 z 我们有 锱= ( 锵p d k ( 。r ，”订。矿( ) 、 ) 一“。“ 这里 g x ( r u ) = v ( k n ( k + r t t ) ) 所以 帆小) = ( 志厶州训) ) ； = ( 赤“时咖川州； = 丽p9 厶f , v k ( u ) ( 坐寒字) 川缈) ； ：( p1 p 一1 ( 1 一) n d 。) ；p 。k ( 。) = ( p b ( p ，礼+ 1 ) ) ；p d k ( u ) = c n ，p p d k ( u ) 因止 岛k = a n ，p d k ，r n p v k ( l ) = i c 、。d k ( l ) 2 0 0 6 上海大学项士学位论文 根据t h e o r c m 2 3j ，我们有 m ，d k ( l ) = 扩z d ( ) m 耳k ( l ) = m c 。d k ( l ) = c ：，m d k ( ) - p 定理2 3 4 设e 是肜中n 维中心椭球，那么 。1 1 e ( l ) ：( 鱼尝趔) n m e ( l )( 23d ) 证明既然e 是r “中n 维中心椭球，则有e = c b ，其中自g l 。由定理 225 得 既然 而且 则 因此 h e = ( 曲b ) = ) d e t l 一( 1 i b ) = j d e t cj 一( e 。一1 b ) = i d e t l k 。一1 一( b ) “( b ) = 西。( b + ) = ( b ) + = e + a 。( e ) = k ( b ) = l d a $ l 一。 e = 竺! 二! 苎! ! 兰! e + r n 。e ( l ) ：。一。、。【日( 三) ：( 兰! = ! 塑) n i n e ( l ) “n n 定理23 5 若b 为半径为，的球，工为凸形，那么有以下结论成立 m p ( 工) = r - n m b ( r l ) ( 2 3 5 ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 6 证明掘据( 2 2 5 ) 和( 2 3 1 ) 。b ( l ) ：。：15 2 7 _ - 1 ( ” i = k 二1 坠l ( n ) ( 一1 ) ( b ) 名一。( l ) z = 一i 1 l ( n ) ( 一1 ) i r - - n + i u ( 口) 击w ，n l ( r 三) t = ，一n k 二1 坠1 ( n ) ( 一1 r 。n 一w ( 日) 口z i 一。( ，l ) 特别地，当r = 1 时，即b 为单位球时，日。( l ) = m 日) 定理2 ，6 若且为半径为r i 的球，且i = 1 ，2 ，7 1 r 2 那么 “磁( 聊) = ( t i t 2 ) m b - ( b 2 ) 证明根据凸体的对偶性，存在 b 2cb 1 # 隧d 哦 这意味着m b ，( b 2 ) 存在时，包含测度m 彤( 研) 存在 根据定理2 2 4 ，我们有 所以 吃( b ；) ：u i l 鍪1 ( “ ：。i 1 e t = l ( ” ：u i l 坠】( “ ) ( 一1 ) l n ( b j ) w j 卜；( b ：) ) ( 一1 ) ( 去) ”( 击) 2 = ( r l r 2 ) 一“再1 饕l () ( 一l r ( b 1 ) u 一 ( b 2 ) “鹾( b i ) = ( r l r 2 ) 一“m b 。( b 2 ) ( 2 36 ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 7 定理2 3 7 设k l ，k 2 和髓u k 2 是凸体，l 是在r “中的凸形，那么 r r t k l o k ：( l ) + m k l n k 。( l ) = m k l ( l ) + m k 。( l )( 2 37 ) 证明根