（运筹学与控制论专业论文）带工业约束的离散投资组合模型及其算法.pdf

2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 随着全球经济的飞速发展，金融市场日益成为整个经济体系的核心 与此同时，人们的投资理念也在发生着变化，但股票市场是一个变幻莫测 的市场，如何最小化风险最大化收益成为投资者关心的重点 1 9 5 2 年m a r k o w i t z 提出了均值一方差模型，即用随机收益率的均值衡 量预期收益的好坏，用随机收益率的方差衡量风险的大小，目的是分散投 资以获得最大的收益和最小的风险均值方差模型利用有效的数学工具 揭示了金融学的本质特征，为现代投资理论打下了坚实的基础，是金融理 论的一个里程碑 由于均值一方差模型是一个连续优化问题，而在现实中最小的交易单 位必须是一定数目的股数( 即手数) ，而且还有各种各样的约柬，因此对离散 投资组合模型的研究在理论上和实践上都有着重要的意义本文主要研究 带有工业约束和凹的交易费函数的离散单因素投资组合模型与传统的投 资组合模型不同的是，该模型中投资组合的决策变量是交易手数( 整数) ，其 最优化模型是一个非线性整数规划问题为此本文提出了一个基于拉格朗 日松弛和连续松弛的混合分枝定界算法，而且分别采用股票市场的真实数 据和随机产生的数据来测试该算法的有效性 本文共由六章组成：第一章简单介绍投资组合理论的历史背景，研究 现状和进展及一些主要的基本概念；第二章综述了文献中的主要投资组合 模型；第三章我们介绍单因素连续模型；第四章详细介绍带工业约束的离 散单因素模型及其算法；第五章我们给出了用混合分枝定界算法求解离散 单因素模型的数值结果第六章是小结和展望 关键词：金融优化，投资组合模型，离散单因素模型，拉格朗日松弛和连 续松弛，交易费，工业约束，分枝定界法 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to ft h eg l o b a le c o n o m y , t h ef i n a n c i a lm a r k e th a s b e c o m et h ec e n t e ro ft h ew h o l ee c o n o m i cs y s t e m m e a n w h i l e ，t h ea t t i t u d eo f p e o p l ea b o u ti n v e s t m e n ti sv a r y i n g a st h es t o c km a r k e ti sc h a n g i n gq u i c k l y f r o mt i m et ot i m e ，t h ep r o b l e mo fh o wt om i n i m i z et h er i s ka n dm a x i m i z et h e r e t u r nb e c o m e st h ef o c a lp o i n to fi n v e s t o r s i n1 9 5 2m a r k o w i t zp r o p o s e dt h em e a n - v a r i a n c em o d e l ，i nw h i c ht h er e t u r n a n dr i s ka r em e a s u r e db ym e a na n dv a r i a n c eo ft h er a n d o mr e t u r nr a t e t h e p u r p o s ei st oo b t a i nt h em a x i m u mr e t u r na n dt h em i n i i n u n lr i s kb yi n v e s t i n gi n t o d i f f e r e n ts t o c k s b yu t i l i z i n gt h ee f f i c i e n tm a t h e m a t i c a lt o o l s ，t h em e a n - v a r i a n c e m o d e lr e v e a l st h ei n t r i n s i cc h a r a c t e r i s t i c so ff i n a n c ea n d p r o v i d e saf u n d a m e n t a l b a s i sf o rt h em o d e r ni n v e s t m e n tt h e o r y s oi ti sam i l e s t o n ei nf i n a n c et h e o r y t h em e a n - v a r i a n c em o d e li sac o n t i n u o u so p t i m i z a t i o np r o b l e m i nt h er e a l w o r l d ，h o w e v e r ，t h em i n i m u m t r a n s a c t i o nu n i ti sr e q u i r e dt ob eac e r t a i nn u m b e r o fs h a r e so ft h es t o c k ( r o u n dl o t ) ，a n dt h e r ea r ek i n d so fc o n s t r a i n t s t h e r e f o r ei t i so fg r e a ts i g n i f i c a n c et os t u d yd i s c r e t ep o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e l sb o t hi nt h e o r y a n di np r a c t i c e i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ed i s c r e t es i n g l e - f a c t o rp o r t f o l i o s e l e c t i o nm o d e lw i t hi n d u s t r yc o n s t r a i n t sa n dc o n c a v et r a n s a c t i o nc o s t w h a ti s d i f f e r e n tf r o mt h ec o m m o np o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e l si st h a tt h ed e c i s i o nv a r i a b l e s i no u rm o d e la r et r a n s a c t i o nr o u n dl o t ( i n t e g e r ) a n dt h er e s u l t i n go p t i m i z a t i o n m o d e li san o n l i n e a ri n t e g e rp r o g r a m m i n gp r o b l e m ah y b r i db r a n c h - a n d - b o u n d m e t h o db a s e do nl a g r n n g i a nr e l a x a t i o na n dc o n t i n u o u sr e l a x a t i o ni sp r o p o s e df o r t h i sm o d e l c o m p u t a t i o n a le x p e r i m e n t sa r ec a r r i e do u tw i t hd a t af r o mr e a l - w o r l d s t o c km a r k e ta n dr a n d o m l yg e n e r a t e d t h es t r u c t u r eo ft h et h e s i si s 笛f o l l o w s i nc h a p t e r1 w eg i v es o m eb r i e f i n t r o d u c t i o nt ot h eb a c k g r o u n do ft h ep o r t f o l i os e l e c t i o nt h e o r y , t h ep r e s e n t p r o g r e s sa n ds o m eb a s i cc o n c e p t s i nc h a p t e r2 ，w es u m i n s r i z es o m ei m p o r - t a n tp o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e l si nt h el i t e r a t u r e i nc h a p t e r3 ，w ed e s c r i b et h e c o n t i n u o u ss i n g l e - f a c t o rm o d e l i nc h a p t e r4 ，t h ed i s c r e t es i n g i e - 鼬o rm o d e l w i t hi n d u s t r yc o n s t r a i n ta n di t sa l g o r i t h ma r ei n t r o d u c e di nd e t a i l s w er e p o r t 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文i i i mc n a p t e r5o u rc o m p u t a t i o n a lr e s u l t so ft h ep r o p o s e dh y b r i db r a n c h - a n d - b o u n d m e t h o df o rt h ed i s c r e t ep o r t f o l i os e l e c t i o nm o d e l c h a p t e r6 舀v 伪t h es u m m a r y a n dt h ep r o s p e c t k e yw o r d s ：p o r t f o l i oo p t i m i z a t i o n ，t h em o d e lo fp o r t f o l i os e l e c t i o n ，d i s c r e t e s i n g l e - f a c t o rm o d e l ，l a g r a n g i a nr e l a x a t i o na n dc o n t i n u o u sr e l a x a t i o n ，t r a n s a c t i o n c o s t ，i n d u s t r yc o n s t r a i n t ，b r a n c h - a n d - b o u n dm e t h o d 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 2 盈么导师签名：盈坐：掣乏彳期：丝】：l i ： 第一章前言 1 1证券投资组合理论的历史背景 证券投资组合优化理论主要研究股票，证券等风险资产投资分配和风险定价以 及对金融市场的变化影响证券市场是一个高风险的市场，受宏观经济状况，国家 政策，企业微观运行情况，甚至投资者心理等各种因素的影响，证券价格经常出现 大幅波动所以，如何在市场难以预测的情况下，分散投资以规避风险，获得稳定 的收益，就成为现代证券投资理论首要关心的问题 如果投资者只把资金投资在一种股票或证券上，则要么是风险太大要么是收益 太小，因此在投资的过程中要对投资的资产进行组合投资组合就是使用不同的证 券和其他资产，目的是在适当的风险水平下通过多样化以获得最大预期回报，或获 得一定的预期回报而使风险最小投资组合的目的是在众多的证券中对资产进行 个合理的分配确定投资组合的关键是依据投资者的偏好，对收益和风险作以权 衡，在总投资资本中合理分配各种资产的金额( 见【1 l 】) 现代投资组合理论的起源可以追溯到1 9 5 2 年马柯维茨( h a r r ym a r k o w i t z ) ( 见 【2 6 】) 一篇名为“资产组合选择”的论文的发表在这篇论文里他展示了如何利用投 资组合，在一定的预期收益水平下，使投资组合风险最小，或者在一定的风险水平 下，使投资组合预期收益最大他以收益率的均值来衡量预期收益的好坏，以收益 率的方差衡量风险的大小在书【2 8 】和【2 9 】中m a r k o w i t z 详细阐述了均值一方差模 型在文章【2 7 】和【删中m a r k o w i t z 和m e r t o n 分别对单阶段均值方差投资组合模 型的有效前沿进行了分析此后在2 0 0 0 年m a r k o w i t z 的均值一方差模型被拓广到多 阶段投资组合问题( 见f 1 9 】) 和连续时间投资组合问题( 见【3 9 】) 均值一方差模型利用有效的数学工具揭示了金融学的本质特征，为现代投资理 论打下了坚实的基础虽然该模型被认为是金融理论的一个里程碑，但由于计算的 复杂性，在大规模的投资最优化中它并没有被广泛采用而且在现实中购买股票的 个数必须是整数，还有各种各样的工业约束，因此在随后的5 0 多年里，有许多专家 或学者都在致力于改进这一模型，他们分别采用不同的预期收益或风险衡量标准， 使得模型更符合实际，更好地为投资者作决策提供理论指导文章 3 1 】对这些模型 作了一个系统地总结 2 0 0 7 年上海大学硬士学位论文 2 1 2 证券投资组合理论的研究现状及进展 在现实生活中，实际收益可高于预期收益也可低于预期收益对投资者来说， 实际收益越高越好，这是不存在什么风险的，而当实际收益低于预期收益时就有风 险了如果用方差来衡量风险，这两种情况就没有区别对待因此构造一个合适的 风险衡量标准在投资组合中是很重要的因为方差是一个l z 模方法，所得到的优 化模型是不可分离的二次规划问题，为了解决大规模的投资组合问题，k o n n o 和 y a m a z a k i 【1 7 11 9 9 1 年提出了均值一绝对偏差模型，此为线性规划模型在文章f 3 8 4 中作者用一个时期内的最小收益作为风险衡量标准随后o g r y c z a k 提出了一个多准 则线性规划投资组合模型( 见【3 2 1 ) ，而通常的投资组合模型都是在收益和风险之间 做出均衡的双准则决策问题几乎与均值一方差模型提出的同时，1 9 5 2 年r o y 发表 了安全第一原则( s a f e t yf i r s t ) ，文章c 3 4 】中他用收益低于个灾难性水平的概率作为 风险衡量标准1 9 5 9 年m a r k o w i t z 又提出了风险衡量标准一半方差，即风险只考 虑实际收益低于预期收益的情况( 见【2 s 1 ) 1 9 7 5 年b a w a 1 】提出了d o w n s i d e 风险， 以及一些最近用条件风险值( c v m ) ( 见 3 3 1 ) 发展面来的风险衡量标准文章1 1 8 1 把 安全第一原则应用到多阶段投资组合问题中1 9 9 3 年f e i n s t e i n 和t h a p a 又介绍了 半绝对偏差模型【8 】 2 0 0 3 年c h i o d i 和m a n s i n i 提出了用半偏差来衡量风险( 见【5 】) 文章2 2 1 对这些各种各样的风险标准做了一个系统的调查，包括它们的理论特点及 计算效率的比较 在实际操作中常常有一些离散的约束，比如历买股票个数的限制即c a r d i n m i t y 约束( 投资者不可能买所有的股票，而是只买一定数量的并且表现好的那些) ，每只 股票的买入限制( r o u n d - l o t s ) 约束，交易费的不连续性，不同风险资产之间的依赖关 系，不同行业之间的工业约束等但是目前关于投资组合的文献大部分考虑的都是 连续模型，所得出的连续解可能与真正的整数最优解相差甚远在为数不多的解决 具有离散约束的投资组合的求解方法中大部分在本质上都是启发式方法，例如，带有 c a r d i n a l i t y 约束的均值一方差模型的启发式算法( 见【4 d ，c r a m a 和s c h y n s 【6 】的带有 c a r d i n a l i t y 约束和附带约束的均值一方差模型的模拟退火方法，带有c a r d i n a l i t y 和 r o u n d - l o t s 约束的启发式方法( 见【1 2 】) ，m a n s i n i 和s p e r a n z a 2 3 】的带有r o u n d - l o t s 约 束的均值一绝对偏差模型的启发式算法，2 0 0 0 年k e l l e r e r 等【1 3 】又对带有r o u n d - l o t s 约束的均值半绝对偏差问题提出的启发式算法精确的求解方法有d i e n s t o c k 的带 有c a r d i n a l i t y 和附带约束的均值方差模型，在文章| 2 1 中b i e n s t o c k 对c a r d i n a l i t y 约束做了一个松弛，然后采用分枝一割方法求解该模型；1 9 9 8 年s y a m 3 7 1 考虑的 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 3 是带有依赖关系和r o u n d - l o t s 约束的均值方差模型，他假设风险资产之间是相互 独立的，从而得到的是一个对角协方差矩阵，然后利用分枝定界方法求解；在文章 【2 4 】中作者考虑的是带有r o u n d - l o t s 约束的均值一绝对偏差模型；2 0 0 6 年李等 2 l 】 考察的是带有c a r d i n a l i t y 约束离散的均值一方差模型，他们提出了一个有效的精确 求解算法即拉格朗日等值域切割方法求解该模型 为了减少计算的复杂性，1 9 6 3 年s h a r p e 3 6 】提出了一个简化的均值一方差模 型，即因素模型模型假设所有证券收益率都与一个因素有关( 一般是市场组合) ，并 且通过引入一个辅助的连续变量，模型就可化为可分离的最优化问题，计算的复杂 性也因此大大减少了虽然文章【3 1 利用因素模型把投资组合问题化为一个可分离 的二次整数规划问题，但并未考虑为了把模型化为可分离时所添加的辅助条件，并 且没有考虑交易费用，所以得到的投资组合模型与实际应用有一定距离 本文以单因素模型为基础，考虑带有工业约束和非凸的交易费函数的离散单因 素模型根据模型的特点我们设计了一个有效的算法 1 3 基本概念介绍 1 预期收益率 收益率是指投资者在持有股票期间与此相关的财富的百分比增长，它等于收益 额除以期初股票的市场价值，即： r = ( 股利+ 市场价值的变化) 初始市场价值 而预期收益率指的是我们预期下一个时期( 可以是一周，一月或一年等) 将从 股票投资中所获得的收益的大小如果我们可以观察到收益率实际的概率分布，那 么就可以通过把每个可能收益率乘以其在下一时期发生的概率，然后加总就可得到 预期收益率但是在处理现实世界中的股票数据时，事实上就无法真正看到其潜在 的概率分布因此我们只能通过抽样来进行估计通常在进行样本估计时，都必须 假定收益率的潜在概率分布是不变的，即假定该分布不会随时间的变化而变化如 果是采用月收益率的概率分布，那么就可以从该分布中逐月抽取收益率数据进行观 察，然后通过样本的收益率均值估计出潜在的总体分布的期望值 r t b 专， 其中表示样本数当然样本均值与实际预期收益率之间还存在着一定的偏差， 这主要是由。样本误差”所导致的故为了获得个更好的估计量e ( r ) ( 即该股票的 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 4 预期收益率) ，在确信分布的形态不会有显著改变的前提下，所选择的观察期间应该 更长一些在本文中我们就采用这种方法来估计每只股票的预期收益率 2 风险 证券的风险是证券未来收益的可能变动幅度，也即证券未来收益的可能背离程 度，它可分为系统风险和非系统风险两类 系统风险是指那些由于某种全局性的因素而引起的投资收益的可能变动，它不 能通过多样化投资而分散例如市场风险，利率风险，通货膨胀风险，金融政策风 险等等 非系统风险是指对某个行业或个别企业的证券产生影响的风险，它可以通过多 样化投资而分散例如信用风险，经营风险等 既然风险是证券预期收益率的可能变动幅度，因此我们可以用收益率的方差来 表示实际收益率偏离其期望值的可能性大小即风险的大小方差越大，表示实际收 益率偏离预期值的倾向越大，风险也就越大如果能够观察到收益率的实际概率分 布，则可以通过把每个可能收益率与预期收益率的差的平方再乘以其在下个时期可 能出现的概率，然后加总得到收益率的方差与预期收益率一样，由于无法直接观 察到实际的概率分布，因此方差的计算也要依赖于抽样样本方差的计算公式为t n ( n f ) 2 砰2 弓f 广 为了使所得到的样本方差是总体方差的无偏估计量，分母是n 一1 而不是文中 就是采用这种方法来计算方差的 3 协方差 上面所介绍的预期收益率和方差只是关于某只股票或某一个投资组合的概率分 布性质的，它们无法告诉我们不同证券之间的收益率是怎样相关联的比如当一只 股票的收益率高于其预期收益率时，其他股票的预期收益率是否也高于其预期收益 率呢? 两只股票之间的协方差就可以用来回答这一问题假设有两只股票a 和b ， 由于无法直接观察到这两只股票收益率的潜在概率分布，我们利用样本来估计其总 体协方差样本协方差的计算公式为： 【( r a ，t 一“) ( r 占，t 一话) 】 c o v ( r a ，功) = 塑矿t 一 当然协方差仅仅是一个数，它所告诉我们的信息也是有限的当协方差为正数时， 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 5 则表示当一只股票的收益率高于其期望值时，另一只股票的收益率也倾向于高于其 期望值但是协方差的数值大小是决定股票投资组合方差大小的一个关键量 4 特征线及其描述变量 我们知道。当整个股票市场看好时，大部分股票的收益率也将增大也就是说 每一只股票与所谓的“市场组合”是有联系的因为市场组合中包含了国际经济体 系中所有的风险资产，其中每一风险资产的持有量都按该种资产的总市值占所有资 产总市值的比例来确定，所以可以将市场组合作为最终市场指数 特征线可以用来描述单一股票与市场组合( 或市场) 之间的关系，它表示的是在 某一市场收益率下某只股票i 的预期收益率特征线是一条最优拟合直线，它的斜 率通常被称为股票的。贝塔因子”，记为晟它的截距记为a ，贝塔因子和截距可以 通过下面的公式计算求得； 市场组合收益率的样本方差为： 角= 掣 a = f i 一屈f j i f n ( r m ，一嘞) 2 吒= 堕可= t 一 股票的贝塔因子是体现该股票收益率对市场收益率变化的反应程度的指标，截距表 示的是在任一月份中市场收益率恰好为零时股票的预期收益率 在现实中，股票收益率与市场收益率既有一致的一面，也有偏离的一面描述 股票收益率偏离特征线倾向性大小的统计量称为。残差的方差残差项是指实际 收益率数对到特征线的垂直距离，可用下面公式计算： 矗。t = n ，t 一( a + 屈r m ，t ) 残差的方差为： e 乳 畦= 扬 在这里除以n 一2 是因为在计算中用了两个估计量即特征线的截距和斜率由上述 可以看出与市场完全相关的股票，其残差的方差为零 5 投资组合的均值与方差 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 6 投资组合的预期收益 假设n 项证券的随机收益率为r h ，它们具有期望值e ( r 1 ) = ，e ( r 2 ) = 吃，e ( ) = 磊我们使用这”种证券来构成一个投资组合，其中每项资产的权 重为咄，i = 1 ，2 ，n ，则资产组合的收益率为： r = u l r l + w 2 r 2 + + r n 对等式两边同时取均值，并利用均值的线性性质，我们可得 e ( r ) = w l e ( r 1 ) + w 2 e ( r 2 ) + + u 。e ( r n ) 即投资组合的期望收益率可以通过个别资产期望收益率加权平均得到 投资组合收益的方差 记一2 为投资组合中证券i 的方差，为证券i 与j 收益率之间的协方差，则 有 沪= e t p 一动2 ，= e ( 砉峨n 一喜岣乃) 2 = e 陋，) 偿毗吲) rn1 = e 【i , j = l 峨吩n 一吒h 勺一乃j ll 2 乙“和i 。钮 6 卖空收益 在个成熟的市场上是允许卖空的所谓卖空是指投资者从他人( 一般是经纪 人) 那里借来证券，以供最初交易之用，然后在规定的时间内购回等数量的同种证 券归还借出者，即。先卖后买”此时，在投资组合中卖空证券的投资金额为负数 卖空一只股票，实际上投资者相当于充当了发行公司的角色投资者通过出售股票 筹集资本，如果股票在投资者借入期间支付股利，则投资者也必须向股票借出人支 付同等数量的股利 有时可能通过卖空将一项不属于投资者的资产出售，为做到这一点，投资者需 要向资产的所有者借入该项资产，然后投资者将这项资产出售给他人并获得收益 将来某日投资者以x 1 购买同等数量的该项资产偿还给出借人如果x 1 知， 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 7 即当资产价格下跌时进行卖空操作投资者才会获利许多投资者认为卖空具有很大 的风险一甚至危险，原因在于潜在的损失是无限的如果资产价格上升，则损失为 噩一知，又x 1 可以任意上升，因此损失也能够无限增加基于这一原因( 以及其 他原因) ，大多数金融机构禁止卖空，而且大部分个人投资者及机构投资者也都避免 使用卖空策略但是任何事物都是一分为二的卖空交易对市场还是有很大的影响 的，它能够增加市场的流动性，在客观上能产生一种“价格发现”机制，促使股票的 市场价格接近实际价值，实现股票市场价格的有效性，它还有助于改变市场上股价 高估的现象，并且卖空交易建立起了现货与期货市场之间的对冲机制所以卖空交 易并非被广泛禁止，在发达的股票市场上就存在大量的卖空交易毕竟它是证券市 场的个有机组成部分，有利于抑制市场泡沫，给投资者提供了一个良好的投资工 具和规避风险工具随着我国证券市场的日趋成熟，股票做空机制是可以引入的 1 4 约束条件介绍 1 买人限制( b u y - i nt h r e s h o l d s ) 在购买股票( 或其他证券) 时，对不同的股票有不同的数量限制，不能太少也不 能太多记矗为购买股票i 的数量( 连续时为权重，离散时为手数) ，讹，岛分别为瓤 的上下界，最为二进翩变量，只能取值0 和1 ，则买入限制约束条件可表示为 f t 魂m 魂，& = 0 ，1 ，i = 1 ，2 ，一，n ， 当魂= 0 时，x i = 0 ，当氐= 1 时，如s 啦 2 基数( c a r d i n m i t y ) 约束 由于资金限制，买入限制及交易手续费等原因，投资者不可能买很多种股票， 而只能买其中一部分表现好的一定量的股票，使所得到投资组合的收益最大，风险 最小如果我们限制最多只能买k 种股票，则约束条件可表示为 n f 魂= k = 1 即决策变量而a = 1 ，2 ，n ) 中非零的个数，其中最的定义与上面相同 3 工业约束 投资时对不同的行业考虑一些不同的约束通常是很有必要的这些约束可能是 对某个行业投资资金的限制，或是风险预测标准，甚至是政治方面的影响( 见 3 】) 工业约束可以是线性的，也可以是非线性的 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 8 ( i ) 假设可以把所有的证券个) 分属于k 个行业，用鼠，k = 1 ，2 ，k 表示 每个行业证券的集合，它们是互不相交的则对每个行业投资资金的限制约束为； f qs v k ，k = 1 2 一， 讵s k 其中毛表示投资权重，巩表示投资于行业k 的最大限制 ( i i ) 行业对角约束可表示其它因素对某个行业的影响： f ( x 1 ) c k ，k = 1 h 2 ， l s 其中，k = 1 ，2 ，k 是正常数 4 股票间的依赖关系 股票之间的依赖关系大致可以分为三类： ( 1 ) 相依投资约束，即只有买了股票k 才能考虑是否买股票虫 ( 2 ) 联立投资约束，即如果买了股票k ，则必须买股票幺 ( 3 ) 相斥投资约束，即股票k 与股票j 不能同时购买 我们用l ，3 ，5 分别表示这三类关系中股票j 所属的集合，2 ，4 ，6 分别 表示对应关系中股票k 的集合用数学表达式可表示如下； 厶肌x i q 虮， = 1 ，2 ，n ， 协y k ，j 1 ，k n 2 ， 协y a ，j n 3 ，k n 4 ， 协1 一弧，j n 5 ，k n 6 ， y i o ，l 其中u i ，k 分别为以的上下界 5 交易费函数 交易费是指投资者在证券投资中需要交纳的一定的费用证券交易费包括交给 国家的印花税和交给券商的佣金等交易费是经济理论的本质特征，如果在模型中 不考虑交易费，则得到的投资组合就不是有效的文献中提到了几种不同形式的交 易费函数，下面做一总结 ( 1 ) 在书【2 8 1 中，m a r k o w i t z 考虑的交易费函数是弘形状的假设在时间t 时 的投资组合是已知的，则在时间t + 1 时的交易费函数是个n 形的函数一新的投 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 9 图i iv - 形交易费函数 资组合与原来的投资组合的差值，就是说对某只股票，不管你是买进还是卖出，都 要支付交易费，不买不卖就没有交易费( 见图1 1 ) 设g t 为证券i 在时间t 时的交易费，。“为在时间t 时所持有的证券i 的数 量，则证券 在时间+ 1 时的交易费可表示为 g ，t & l = ，蚪1i 以t l 一毛。t 其中1 是证券i 在时间t + 1 时的交易费比例，是常数 ( 2 ) 投资者需要支付他目前资金的一个固定部分，这就是所谓的投资管理费用 方法m o r t o n 和p l i s k a ( 1 9 9 5 ) ，c a d e n i u a s 和p l i s k a ( 1 9 9 6 ) 等就研究了带有此种交易 费结构的模型。 ( 3 ) 交易费与风险资产的交易量成比例，比例为常数且小于1 ，这种交易费形式 是比较常见的 ( 4 ) 交易费函数是一个非减的凹函数在一定的范围时，当交易量小时，交易 费就相对的高，随着交易量的增多，交易费的平均值就会变小，这与日常生活中的 。i - k 从优”的道理一样，所以交易费函数是凹的( 见f 1 5 】) 但是当交易量超过这个 范围时，由于没有足够的供求，所以单位价格又会上涨，即“物以稀为贵”，交易费 函数又变为凸的( 见【7 】和【1 6 】) 记这个点为a ，用图形可表示为。 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 图1 2 先凹后凸交易费函数 ( 5 ) 另一个典型的交易费函数是一个分段线性凹函数，即交易量在不同的范围 时交易费比例是不同的，呈递减趋势图形如下。 图1 3 分段线性凹的交易费函数 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 5 本文工作 本文以单因素模型为基础，考虑带有工业约束的离散投资组合模型在金融交 易市场中，一般要求最小交易单位是一定数目的股数( 即手数) ，而且交易中不允许 卖空，因此我们的决策变量是非负整数，通过引入辅助变量可使该模型化为可分离 最优化问题在金融交易中交易费会影响投资组合的实际收益，并且交易费函数有 不同的形式，本文考虑的是非凸的交易费函数更重要的是，投资时对不同的行业 考虑一些不同的约束通常是很有必要的这些约束可能是行业之间的依赖关系，或 是风险预测标准，甚至是政治方面的影响本文研究带有工业约束和非凸交易费函 数的离散单因素模型，这个最优化模型是一个非线性混合整数规划问题由于该模 型是离散的，而且交易费函数是非凸的，所得到的目标函数是非凸的，故对这个模 型设计有效的算法具有挑战性众所周知，当原始问题是可分离的时，拉格朗日松 弛是个比较有效的方法但由于对偶间隙的存在，拉格朗日松弛法不能够找到原 始问题的精确最优解( 见【9 】【1 0 】【3 5 】) 为求解这个混合整数规划问题，我们提出了一 个基于拉格朗日松弛和连续松弛的混合分枝定界算法算法的详细步骤我们将在第 四章中介绍 为测试算法的有效性，我们把本文提出的混合分枝定界算法与传统的分枝定界 算法( 即只用连续松弛估计原始问题的下界) 作了比较，并给出了两类问题的数值试 验结果第一类测试问题的数据是来自美国股票市场上的真实数据，第二类测试问 题的数据都是随机产生的从数值结果可以看出，当问题的维数较小( 5 0 ) 时传统 的分枝定界算法比本文提出的算法快当维数大于5 0 时本文算法优于传统的分枝 定界算法，这主要是因为维数较大时拉格朗日下界能比连续界更有效的计算出来 第二章投资组合模型介绍 自从1 9 5 2 年m a r k o w i t z 提出均值方差模型以来，许多学者和专家都在研究并 改进此模型。有均值一半方差模型，均值一绝对偏差模型，对角模型，带有交易费 的模型等因此在这一章我们将重点介绍几种常见的投资组合模型 2 1 均值方差模型 假设市场上有n 种风险资产设以“= 1 ，2 ，n ) 为第i 个风险资产的收益 率，是个随机变量，辫= e ( r t ) 为期望收益率记r = ( r 1 ，仡，) ? ，p = e ( 动= n ( e ( r 1 ) ，e 忆) ，e h ) ) 丁，设以为投资在资产i 上的比例，并满足条件戤= 1 ，且 i = l 对任意的i ，毛0 ，记x = ( z 1 ，x 2 ，) r 则投资组合的收益率为： 期望收益率为： n e ( r r x ) = e ( n ) 粕 i = 1 设y 为随机向量r 的协方差矩阵，即v = ( ) 。一其中= c o v ( r ，r j ) 为资产i ， j 之阍的协方差，并假定协方差矩阵为非退化阵，则投资组合的方差为t n i f 2 = x t v x = a j x i z j j = 1 当给定投资者所能承受的风险水平1 后，模型为 m a xe ( r t x ，= p t x s t c r 2 = x r v x 1 ， 而= 1 ， t = 1 翰0 ，i = 1 ，2 ，- ，n 1 2 吼心 。：l =x r r 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 3 当给定投资者所能接受的最小收益率。后，模型可写为 m i n ，：x t v x s t e ( n r x ) = # t x o ， n 如= 1 ， i = l 戤0 ，i = 1 ，2 ，n 风险资产的收益越大其风险也越大，即风险与收益足成正比的，所以这两个模 型中的不等号可换为等号，而且容易证明这两个模型是等价的( 见 2 s d 当然我们 也可以用效用函数来建立模型： m i n 从r v x 一( 1 一a ) p t x s t 矗= 1 ， l = 1 矗0 ， = l ，2 ，”， 其中a ( o a 1 ) 为投资者的风险厌恶系数，a 越大投资者越厌恶风险，反之投资 者越偏好收益 2 2 均值一下半方差模型( e - s ) m a r k o w i t z 【2 8 】和m a o 【2 5 】等讨论了下半方差模型，即风险只考虑实际收益低 于预期收益的情况 股票i 的半方差 瓯= e ( m i n r l 埘，o ) ) 2 】 则均值一半方差模型为： m i n 最 t = l s t e ( r r x ) = p r x = 1 ， i = 1 甄0 ，i = 1 ，2 ，一，n 尽管此模型比均值一方差模型更符合实际，但它并没有得到广泛应用，原因是 人们比较熟悉方差的分析方法，当收益率的分布是对称的时，半方差恰好是方差的 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 4 一半，均值下半方差有效前沿与均值一方差的有效前沿完全一致而且半方差在 计算上存在很多困难对于一给定的投资组合，计算半方差时仅考虑那些具有负偏 差的观测值，如果稍微改变投资组合的权重，得到新组合，则在原组合中的负偏差 可能变成正的，反之亦然另外这个模型还假设投资者有一个递增的绝对风险厌恶 效用函数，这也限制了它的普及 2 3 均值一绝对偏差模型( m a d ) k o n n o 1 4 1 提出了一个用分段线性函数表示风险的投资组合最优化模型当假 设收益率服从联合( m u l t i v a r i a t e ) 正态分布时，m a d 模型与均值一方差模型是等价 的因为此时有 nn 石 w ( x ) = e r r i x i 一p 4 x 翎= ；一( x ) ， t = = 1t = i 此结论的证明可参考文献【1 7 】 令m t = e 【| 一m ) x d 】表示绝对偏差，m = r i t ，则m a d 模型为 嘶n ；t 砚 = 1 s t - 雎) z i sr n t ，t = 1 ，t ， - m ) = i - r n t ，t = 1 ，正 雎n ， = 1 ， 砚0 ，t = 1 ，2 ，正 0 ， = 1 ，2 ，一，n 2 4 对角模型 众所周知，凸二次规划问题可以通过变换转化成变量可分离形式，再进行分段 线性逼近就可化为线性规划问题基于此，部分学者利用c h o l e s k y 分解或因素模型 把均值方差模型化为对角模型j o b s t 等对这些模型做了详细描述( 见【12 】) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 5 模型1 协方差矩阵y 根据c h o l e s k y 分解可表示成 v = l r l 其中厶。是一个下三角矩阵所以有 x t v x = x t l t l x = ( l x ) r ( l x ) 令y = l x ，弘= l l j x j ， = 1 ，2 ，m 则可得到如下模型 r a i n 撕2 i = 1 t s t 玑= b ，i = 1 ， j = l n m = a i = 1 n 甄= 1 ， i = l q 0 ，i = 1 ，2 ，一，n ， 鳄玑s 碍 其中硝，辞分别为玑的上下界 在以上所介绍的模型中，决策变量z 为连续的如果令甄= w o ( 初始资金) ， l s 啦且为整数，o t = p w o ，p 为百分比，我们就可以得到离散模型 模型2 在文章( 3 7 1 ) 中作者利用s h a r p e 的因素模型建立了个带有依赖关系和多种约 束的可分离的二次整数规划模型： 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 6 m i n ：x r d x - p r x s t p l j x i b ，j = 1 ，m ， l = l l i y 翰u i y i ，x i 是整数，i = 1 ，2 ，n ， 鲫y k ，j n l ，k n 2 ， 协y k ，j k n 4 ， 协s 1 一y k ，j n 5 ，k 6 ， 雏 o ，1 ) ， 其中d 是个对角矩阵，1 ，2 ，6 的定义与1 4 节股票间的依赖关系中的定 义一致 2 5 带有交易费的模型 交易费用是经济理论的本质特征，如果建立模型时不考虑交易费，得到的就不 是有效的投资组合模型下面介绍两个带有交易费函数的投资模型( 详见 1 6 】和【2 1 】) 模型1 设n 是表示证券i 未扣除交易费的随机收益率，假设随机向量( r l ，r 2 ，) 分布在有限多个点( r l t ，r 2 t i 一，) ，t = 1 ，2 ，r 上，而且概率 a = 耳( 1 ，f n ) = ( r l t ，一，) ，t = 1 ，t 是已知的则期望收益率 设g 慨) 是投资于股票i 相应的凹的交易费函数，则投资组合x = ( x l ，) 的实 际期望收益率为 n p ( x ) = 【他一q ( ) 】 i = l 用绝对偏差来表示风险t t lni ( x ) = e i r t x e ( r t x ) i = al 一t a ) x i i 心巩 r | i p 2 0