（应用数学专业论文）一类退化的daveystewartson方程组弱解的存在性和衰减性.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 ( d a v e y s t e w a r t s o n 方程组( 11 ) 最初是由d a v e y 和s t e w a r t s o n 在 1 】中研究浅水 波时推导出来的，其中d = 土1 ，m = 1 后来d j o r d j e v i c 和r e d e k o p p 2 】把表面张 力效应( 毛细波) 考虑进去时也推导出了( 1 1 ) ，不过此时m = 一1 c a l o g e r o 3 】从铁 磁旋链方程组( 二维l a n d a u - l i f s h i t z 方程组) 推导出了( 1 i ) 的另一种形式( 相当于 d = m = 一1 ) 在寻求非线性s c h r 6 d i n g e r 方程组的高维完全可积的推广时，a b l o w i t z 和h a b e r m a n 4 】，m o r r i s 5 ，c o r n i l l e 6 等都独立地推导出了d a v e y s t e w a r t s o n 方程 组( 1 1 ) 后来人们在等离子体物理，非线性光学中找到了它们的应用 7 一 通常d a v e y - s t e w a r t s o n 方程组按( 坑m ) 的符号分为；椭圆一椭圆，椭圆一双曲，双 曲一椭圆，双曲一双曲等四类由于其丰富的数学形式和物理内涵，d a v e y s t e w a r t s o n 方程组引起了物理学家和数学家的广泛重视关于d s 方程组的孤立波，驻波的存 在性，稳定性，解的适定性，衰减性等都有许多文献进行了研究f 8 3 0 r 7 ( 在研究长波和短波的共振中，当短波( 毛细波) 的群速度赶上长波( 重力波) 的相 速度时，就有退化的d a v e y s t e w a r t s o n 方程组( 17 ) ( 1 8 ) 此方程组可约化为一维非 线性s c h r 6 d i n g e r 方程本文研究的方程组( 1 2 ) ( 16 ) 就是( 1 d ( 1 8 ) 的推广形式，也 是非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的高维推广) 退化d a v e y 。s t e w a r t s o n 方程的一个突出的特 点就是退化性，即o w o k 2 = 0 因此在其适定性的研究中的一个明显的困难就是缺 乏y 变量的正则性，我们首先将方程组化为一个非线性s c h r 6 d i n g e r 方程组，然后再 构造该组的一个近似方程组我们证明近似方程组是适定的，并获得一些一致的先 验估计，证明非线性项和非局部项的收敛性，从而证明近似方程组的解的极限就是 原方程组的解我们还得到近似方程组的一个伪保形等式，并利用各向异性s o b o l e v 不等式，证明了解的衰减性 关于弱解的唯一性问题仍有待以后的进一步讨论 关键词：d a v e y - s t e w a r t s o n 方程组弱解存在性衰减性 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t d a v e y s t e w a r t s o ns y s t e m ( 1 1 ) ，w h e r e6 = 士1 ，m = 1 ，w d s f i r s td e r i v e db yd a v e ya n d s t e w a r t s o nf 1 1i nt h e i rw o r ko nt w o - d i m e n s i o n a ll o n gw a v e so v e rs h a l l o wl i q u i d s l a t e r d j o r d j e v i ca n dl 龟e d e k o p p 2 a l s od e r i v e de q u a t i o n s ( 1 1 ) b yt a k i n ga c c o u n to f t h ee f f e c t o fs u r f a c et e n s i o nf o rc a p i l l a r y ) i nt h i sc a s et h a tt h ec a p i l l a r ye f f e c ti si m p o r t a n ta n dm b e c o m e sn e g a t i v e c a l o g e r o 3 jd e r i v e da n o t h e rf o r mo f ( 11 ) f r o mt w o d i m e n s i o nl a n d a u - l i f s h i t zs y s t e m ( i e h e i s e n b e r gf e r r o m a g n e t i cs p i ne q u a t i o n ) ，w h i c ha r ec o m m e n s u r a t e w i t ht h ec a s eo fd = m = 一1 b ys e a r c h i n gc o m p l e t e l yi n t e g r a b l es y s t e m st h a tg e n e r a l i z e t h e1 dn o n l i n e a rs c b x s d i n g e re q u a t i o ni nt w oh i g h e rd i m e n s i o n s ，a h l o w i t za n dh a h l e r m a n 【4 ，m o r r i s 【5 1c o r n i l l ef 6 e t c a l s od e r i v e di n d e p e n d e n t l y t h ed a v e y s t e w a r t s o ne q u a t i o n s ( 1 1 ) i tf i n d sa p p l i c a t i o ni np l a s m ap h y s i c sa n dn o n l i n e a ro p t i c s 【7 u s u a l l yt h ed a v e y - s t e w a r t s o ne q u a t i o n s a r e c l a s s i f i e d e l l i p t i c e l l i p t i c e l l i p t i c h y p e r b o l i c ，h y p e r b o l i c e l l i p t i ca n dh y p e r b o l i c h y p e r b o l i ct y p e sa c c o r d i n gt o t h er e s p e c t i r es i g n so f ( d ，f r t ) ：( + ，+ ) ，( + ，一) ，( 一，+ ) ，( 一，一) d u et ot h e i ra b u n d a n tp h y s i c a la n d m a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e s ，i nr e c e n ty e a r sd a v e y - s t e w a r t s o ne q u a t i o n sh a v ed r a w nm u c h a t t e n t i o no fm a n y p h y s i c i s t sa n dm a t h e m a t i c i a n s t h es o l i t o n s ，l u m ps o l u t i o n s ，t h el o c a l a n dg l o b a le x i s t e n c e ，b l o w u pa n dd e c a yo fs o l u t i o n s ，e x i s t e n c eo fs o l i t a r ya n ds t a n d i n g w a v e sa n dt h e i rs t a b i l i t y , e t c ，h a v eb e e nq u i t ee x t e n s i v e l ys t u d i e db ym a n ya u t h o r s 8 - 3 0 i nl o n g - w a v e - s h o r t w a v er e s o n a n c e ，w h e nt h eg r o u pv e l o c i t yo ft h es h o r tw a v e ( c a p i l l a r y ) m a t c h e st h ep h a s ev e l o c i t yo ft h el o n gw a v e ( g r a v i t y ) ，o n el e a d st o ad e g e n e r a t e d a v e y s t e w a r t s o ne q u a t i o n s ( 1 7 ) ( 1 8 ) ，w h i c hm a y r e d u c et ot h en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n t h es y s t e m ( 1 2 ) q 1 6 ) d i s c u s s e di nt h i sp a p e ri sa ne x t e n d e df o r mo f ( 1 7 ) ( 1 8 ) a n dah i g h e rd i m e n s i o ng e n e r a l i z a t i o no fn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ap r o m i n e n t f e a t u r eo f ( 12 ) - ( 1 6 ) i si t sd e g e n e r a c y ( o w o k 2 = o ) t h u si ns e e k i n gf o rt h es o l u t i o n s d i f f i c u l t i e sa r i s e ，a ne x p l i c i to n ei st h el a c k i n gt h er e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n si nt h ey c o o r d i n a t ew ef i r s tt r a n f o r mt h eo r i g i n a le q u a t i o n st oan o n l i n e a rn o n l o c a ls c h r 6 d i n g e r e q u a t i o n s t h e nc o n s t r u c ta s u i t a b l ea p p r o x i m a t es y s t e m w es h o wt h ea p p r o x i m a t es y s t e r ni ss t a b l ea n dd e r i v es o m eap r i o r ie s t i m a t e s ，o b t a i nt h e c o n v e r g e n c eo f n o n l i n e a rt e r m s a n dn o n l o c a it e r m s ，a n df i n a l l yp r o v et h a tt h el i m i t a t i o no ft h es o l u t i o n so ft h ea p p r o x i m a t es y s t e mi st h es o l u t i o no ft h eo r i g i n a le q u a t i o n s w ea l s oo b t a i nap s e u d o - c o n f u r m a l e q u a l i t yo ft h ea p p r o x i m a t es y s t e mc o m b i n i n gt h i se q u a l i t ya n d a na n i s o t r o p i cs o b o l e v i n e q u a l i t y , w ep r o v et h ed e c a yo fw e a ks o l u t i o n sf o ra p p r o p r i a t ei n i t i a ld a t a w er e m a r kt h a tt h eu n i q u e n e s so fw e a ks o l u t i o n si ss t i l lo p e n k e yw o r d s ：d a v e y - s t e w a r t s o ns y s t e m w e a ks o l u t i o n se x i s t e n c e d e c a y i i “女撼艇 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 经典的d a v e y s t e w a r t s o n 方程组 最初是由d a v e y 和s t e w a r t s o n 在【1 1 中研究浅水波时推导出来的，其中d l ，口2 和d 3 是r 2 上二阶线性常系数偏微分算子，d l = d 锾+ 锑是椭圆型或者双曲型( d = 士1 ) ， d 2 = + m 瑶( m 0 ) 是椭圆型的当表面张力效应( 毛细波) 考虑进去的时候，d 2 也可以是双曲型的，即m 0 ，未知函数妒，是复值的，) ( 是实值的，常数d 0 且o 1 ( 12 ) 一( 1 4 ) 的一个特殊情形是= 0 ， i 妒+ 彰妒= x 妒，( 1 7 ) 勋= 如2 ，( 1 8 ) 这也是( 11 ) 在a = 0 ，d - = 磋，d 2 = 如，时的情形此时它描述的是在长波和短波 的共振中短波( 毛细波) 的群速度赶上长波( 重力波) 的相速度时的模型( 见【2 】) ，【3 1 和z a k h a r o v 7 1 指出其在激光等离子体物理中有很多的应用( 1 2 ) 一( 1 4 ) 和( 1 1 ) 一 样也是一维非线性s c h r s d i n g e r 方程的完全可积的高维推广 8 ，9 ，l o j 且是反演散射 型的 8 ，9 j 如果o o y = c o o z ，方程组退化成一维非线性s c h r s d i n g e r 方程 经典的d a v e y s t e w a r t s o n 方程组( 1 1 ) ，d 1 是椭圆或双曲型算子，是非退化的 对于非退化的s c h r s d i n g e r 方程 j u t + d 1 t 上= 0 ， z 对 工p f 衰减估计，s t r i c h a r t z 型不等式和局部光滑效应总是成立的( 见【3 2 4 4 】) ，特 别是当d 1 = 磋。是双曲型时，局部光滑效应是精确的( 见 1 5 1 ) ，当dl 是椭圆算子 时，一般说能够获得有用的守恒律，当d z 是椭圆型时，咖具有较好的正则性，这 些性质给( 1 1 ) 的研究带来了便利 ( 12 ) 一( 1 4 ) 的一个明显特点就是退化性，其主算子为d 1 = 磋，色散关系为”= 圮群速度的第二个分量是退化的，即o w o = 0 ，因此( 1 2 ) 一( 1 4 ) 不具备( 1 1 ) 的 前述较好的性质在研究( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的适定性时，一个明显的困难就是缺乏关于y 变量的正则性这也许是近几年来鲜有文献对其进行研究的缘故m a c c a r i 4 5 1 研 究了此类方程组s 一可积的性质，但关于此方程组弱解的存在性和衰减性的性质并 未得到证明，本文将就此间题进行讨论 2 华中科技大学硕士学位论文 1 2 本文的安排 定义i1 函数妒，x 称为( 12 ) 一( 1 6 ) 的弱解，如果 母，母，机，$ z l 。( n + o 。) 础r 2 ) ) ， o ) ( l 。( o ，+ 。) ；l 己。( r 2 ) ) ，x ”三。( o ，) ；l 1 ( r 2 ) ) 且它们在。( o ，o o ) ；h _ 1 ( r 2 ) ) 意义下满足( 1 2 ) ( 1 3 ) ，在l o o ( o ，o 。) ；ll ( r 2 ) ) 意义下 满足( 1 4 ) 注从定义1 1 知，若妒，以x 是( 1 2 ) 一( 16 ) 的弱解，则讥，咖l 。( o ，。c ) ； 日_ 1 ( r 2 ) ) ，所以妒，妒g ( 【o ，。) ；h _ 1 ( r 2 ) ) ，因而初始条件( 1 5 ) 有意义 本文的主要结果： 定理1 2 设初值满足妒o ，o ，z 母o ，z 咖o ，妒o 。，o 。l 2 ( r 2 ) ，如果有j l 妒。限+ 1 i + 0 1 1 ：。 2 ，存在一正常数c 使 母 | l ，q r ：，) 垒帅妒 l p ( r 。) l l 。( r 。) 墨g 一；一； j | | l 一。( r ，) 垒| | | i f | l ，( r 。) | | l 。( r 。) c t 一5 一； ( 1 1 1 ) f ll 2 1 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 11 5 1 f 1 1 6 1 本文的主要安排如下： 首先，在第二章中通过一个变换，把方程转化成非线性非局部退化型s c h r s d i n g e r 方程组，把它部分正则化，得到一正则化方程组我们证明解的局部存在唯一眭， 并要得到三个守恒律，由此得到正则化方程解的全局存在性 其次，在第三章中，证明初值在一定条件下正则化方程组解在适当空间中的一 致有界性，因而存在收敛子列，通过推导证明非线性项和非局部项的收敛性，从而 证明正则化方程组解的极限就是( 1 2 ) 一( 1 4 ) 的弱解 最后，在第四章中，进一步得到关于正则化方程组的伪保形等式，结合这个等 式和各向异性s o b o l e v 不等式，证明了( 1 2 ) 一( 14 ) 的弱解在各向异性空间中的衰减 一睦 3 媛：。；i 华中科技大学硕士学位论文 1 3 记号 本文采用以下记号： m 。( q ) 表示区域n 上通常的s o b o l e v 空间，h ”( n ) = w m , 2 ( n ) l p ，q ( r 2 ) = l q ( r v ；l 9 ( r z ) ) ； e = u l 2 ( r 2 ) l 。 l 2 ( r 2 ) ； ”f ”j w 分别表示l p ( r 2 ) 和”，9 ( r 2 ) 的范数； ”i b 。表示l p ，q ( r 2 ) 的范数； g 是通用常数 1 4 预备知识 在这里，我们不加证明地引用以下的一些定义和结果 定理1 3 ( g r o n w a l l 不等式) 4 6 若圣= 西( t ) 满足不等式 西( t ) 由o + 。a ( r ) 西( ，) 打， a ( ，) o ，a l 1 ( o ，丁) ， 西( t ) 由。+ 0 a ( r ) 西( 7 ) 打， a ( 7 ) o ， a ( o ，丁) ， 则 西c 。，西。印( f o ta ( t ) d t ) ，v t 。 o ，卅 定理l4 ( y o u n g 不等式) 设k l p ( r “) ，妒l p ( r “) ，而1 p p 7 ，其中p 7 表 示p 的共轭数。 ：+ ；：。， pp 则 k 4 妒l 4 ( r “) ， 且 il k 训州”) f 1 k il l 一( 孙) ll p r - ) ， ( 1 1 7 ) 其中q 满足 ， 111 ppq 定理1 5 ( g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式) 47 设，扩( r “) ，d ，l 9 ( r “) ，l 茎 pq 茎+ 。，则对任何j ( 0 j m ) ，有 d ：i l l r ( r ，) sg | | 川占盏。) l i d ”川各( r n ) ， ( 11 8 ) 4 华中科技大学硕士学位论文 其中 一1 一羔： f ! rn q a 一旦asl p m 当m j 一：是非负整数时，不等式对去s 2 ，则有下列不 等式 。 删肼z ( r 。) sg 慨嵫删：。9 定理1 7 ( 嵌入定理) 4 9 】设ls p o 。 w “，9 ( 1 扩) l l q ( r ”) ， l q ( r “) ， g o , a ( 1 f ) ， g o ，1 ( 1 f ) ， p q p + = i 兰，lsm p n ， p q + o 。，m p = n ， 0 o t = m 一： n ， 0 a n 定理1 8 ( 紧嵌入定理) 4 9 设n 是r “中具有锥性质的有界区域，1 茎ps 。，1 ”妒n 下列嵌入是紧的： ”p ( q ) q ql 9 ( n ) “9 ( n ) q l 口( n ) p q p + ，m p n ， p q + ，m p = n 定义1 9 称t ( t ) b ) ( t 芝o ) 为b a n a c h 空间x 上的强连续线性算子半群( 简称 半群) ，如果： t ( 0 ) = ，t ( t + s ) = t ( t ) t ( s ) ，v t ，8 r ； l i mt ( t ) 。= 。，v z x 则其生成元a 可定义如下： d ( a ) 垒( 。e x ；溉阶) z 叫。 o 。 ， a x 垒翱【t ( t ) z z 批 注当t ( t ) + = t ( ) ，饥r 时，称t ( t ) 为x 上的酉群 定理1 1 0 ( s t o n e ) a 在h i l b e r t 空间日中生成一个酉群t ( t ) 的充要条件是i a 是自伴的 5 华中科技大学硕士学位论文 定理1 n 对于下列初值问题： ，掣仙吼叫n 川( 1 1 9 ) 、1 o ， 【“( o ) = u 。 f ：【0 ，。) x - x 关于 在t 0 上连续且在b a n a c h 空间x 上一致l i p s c h i t z 连续如果一a 是岛半群t ( t ) 的生成元，则对任意u o x ，存在t m 。使初值 问题( 11 9 ) 有唯一的温和解“e ( 0 、丁1 m 。1 ；x ) 如果z m 。 0 ，考虑如下的正则化方程组 。妒。+ 妒。一妒。【1 一) 一1 “毛。= o ， 咖。t + 咖。一妒。( 1 一磋) 一1 u 。= 0 ， 啦( 0 ，z ，y ) = 咖s ( z ，) ，九( o ，。，y ) = b o a - ( z ，) ， 其中u 。= 巩耳( 吼“仇j 2 + o i 晚1 2 ) ) 算子( 1 一e 磋) 。可以定义为； ( i - c a ! ) 。，= p 筒出) = 砺1e e 一紫胀) 世 关于上面定义的算子( 1 理) ，有以下的性质 引理2 2 设，ep ( r 2 ) ，l p 曼o o ，则 ( i ) 1 1 ( 1 一e 磋) 。f i l l sm b ， ( i i ) m e 霹) 。厶i l l 一 ij i i f l ， 、专 ( i i i ) i i ( 1 一锾) 。厶。怯；l i f l l l 一， ( i v ) i i ( 1 一篚) 一f i l l ，( r ；。( 。，b ) ) i i f l l l 一( r 。( 。，6 ) ) ，v ，b ) cr ， 证明：( i ) 运用y o u n g 不等式得 ( 21 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 。1 4 ) 舭l 卅) 1 刘胪怕忆一去忖忆，e e 一甓虹 ( i i ) 由( 2 1 4 ) 式，得到 ( i - s o b 。1 厶= 一1 + o o 一紫禹侬心 9 华中科技大学硕士学位论文 则有 1 1 ( 1 一e 磋) _ 1 厶j f p 钏川一去ee - - - - 墨c 面x 如 - e i i f l l l p ( i i i ) 令g = ( 1 一e 磋) 。厶。，则有 ( 1 一s 磋) b + ；) ：= f ， 由此得到 缸舢h 所以 ( i v ) 由( 2 1 4 ) 式，得到 1 1 ( 1 一磋) f i l l ，( r t 。( 。，6 ) ) = i l a l l l p ( r t 。( 。，6 ) ) = 三高怔e f ( ) d p d x 如 = 肌去e 一长) 州叫忆。r 。，白 删去e 一榄i m 川幢帆，匆 = l t f l p ( r 。( n ，6 ) ) 引理证毕 把( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 化为抽象c a u c h y 问题形式 仉= a 妒e i e ( 妒。) ， 机= a r i g 。( 。) ， 讪。( 0 ，z ，) = 砂畦，机( 0 ，z ，”) = 曲o 。 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 1 0 p p 川 ，一1一 一 + ，一驴 p + 川川 怕刍。刍。 = 一 i | 驴 jk 华中科技大学硕士学位论文 其中 a = t 磋， d ( a ) = eh ”( r 2 ) k h ”( r 2 ) ， 最( 妒) = 妒( 1 一e ) 。如k ( 如( 1 妒1 2 + a l 九1 2 ) ) ， g 。( 毋) = 毋( 1 一磋) - 1 以k ( 如( 1 叽1 2 + a 2 ) ) ， 其中m 为非负整数 下面介绍a ，最( 纠，g 。( ) 的一些性质： 引理2 3 ( 1 ) a 在日“( r 2 ) 中生成一个酉群； ( 2 ) 足，g 。是h “( r 2 ) x 日”( r 2 ) 中的局部l i p s c h i t z 映射 证明： ( 1 ) 由定理( 1 1 0 ) 知，只要证明算子i a 是自伴的即可 似自伴台= i a 是对称的且d ( i a ) = d ( ( z a ) + ) 由a = i 磋，得到i a = 一磋 对任意 g d ( 4 ) ，算子i a 都成立( i a f ，9 ) = ( ，i a g ) 即得结论 ( 2 ) 设妒l ，妒2 ，九h ”( r ”) ，并有 所以 妒1 i i h m m ，1 1 妒2 1 1 h m m ，i i 。i i h m m 令岣= k ( 如( 1 奶1 2 + o 1 2 ) ) 注意到如( 1 奶1 2 + n f 2 ) l 1 ( r “) ，且有 i i o = ( 1 o j l 2 + o f 毋。1 2 ) 1 1 l - ( 2 + 2 a ) m 2 j j 忆。( 2 + 2 a ) m 2 ， i 。l 一“2 lj l 。sc m l l 曲1 一妒2 1 1 圩m 1 l 上s ( 妒1 ) 一j ：( 妒2 ) l i m = i i c t ( i 一箧) 一1 u l 。一妒2 ( 1 一e 礞) 1 u 2 。i i h 。 = i i 妒1 ( 1 一箧) 一1 u l 。一妒l ( 1 一磋) 一1 u 2 。 + 妒1 ( 1 磋) 一1 u 2 。一妒2 ( 1 一磋) 一1 u 2 。1 1 日。 = i i 妒l ( 1 一e ) 一1 ( u 1 。一“也。) j | 日。 + l ( 妒l 妒2 ) ( 1 一e 磋) 一1 u 2 。1 1 日。 华中科技大学硕士学位论文 j i 妒1 | | 日m l i ( 1 一磋) 一1 ( u 1 。一c d 2 。) i l l 。o 十l j 妒l 一妒2 i l h 。l i ( 1 一e 箧) 一1 u 2 。i i l 。 s m i i “j l u 2 i l l 十l l 妒l 一中2 l l h m l l “j 2 l i l s c m 2 l l 妒1 一妒2 l i h m ， 由此得到疋是日”( r 2 ) ”( r 2 ) 中的局部l i p s c h i t z 映射 同样可得g 。也是日”( r 2 ) h “( r 2 ) 中的局部l i p s c h i t z 映射 引理得证 因而有以下局部存在性定理 定理2 4 对任何非负整数m ，当妒o 。，畦h ”( r 2 ) 满足妒o ，毋o h m ( r 2 ) 时，初值问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 有唯一局部解仇( ) ，机( t ) ： 妒。，庐。c 1 ( o ，正) ；h ”( r 2 ) ) ，妒，。e ( o ，正) ；h ”( r 2 ) ) ， 而且，正曼+ o o 与m 无关，因而要么正= + 。，要么 正 l 时用类似方法可以归纳地证明 定理证毕 同时( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 满足以下的守恒律 定理2 5 设以( t ) ，九( ) 是( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的解，则对于t 0 ， 仉( 圳l z = 1 1 妒o 。， ( 2 2 0 ) lj 九( t ) l l l 。= i i o 。j | l z ， ( 2 2 1 ) 毋( t ) 垒i | 妒s 。怯+ 1 1 s z 嵫一；厶u 叫( 1 5 磋) _ 1 此z d x d y 2 最( o ) ( 2 2 2 ) 证明：( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 式的两边分别乘以诓，瓦，再对两等式积分，取各自的虚部 即得到( 22 0 ) ( 2 2 1 ) 下面证明( 2 2 2 ) 式 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 式两边分别乘以瓦，瓦。，积分，取实部得 ；丢渺d 1 ：z = 一厶。；1 饥1 ( 1 一s 磋) _ 1 吡z d z 曲 ；墨渺一 ：。；一厶。；i ；( 1 一s 磋) - 1 雌。如咖 ( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 相加得 差厶( | 划2 恻1 2 ) d z d y = 一厶。( 坩刊蚓2 ) 。( 1 一2 - t 如曲 = 一爰厶( 2 + 。1 2 ) ( 1 一s 磋) _ 1 峨。出曲 + 厶：( 1 2 + 。1 2 ) ( 1 一e 2 ，- 1 u 硪出却， f 2 2 3 1 ( 22 4 ) 1 3 华中科技大学硕士学位论文 其中 所以 ( 1 讪。| 2 + o i 。1 2 ) ( 1 一e 磋) 一1 u 。耐d x d y j r 2 = 一加一嘲。1 岫汇( 蚶刊蚓2 ) d r d x d y = 一厶。( 1 一嘲( 1 i e 。1 2 + a 肼) 。) 。( 伫( 坩刊蚓2 ) d r 0 d x 由 = 厶。( 1 一s 磋) - 1 ( i 化2 + a 忱1 2 ) 。峨。出咖， 一丢厶。( 例2 刊f 2 ) d x d y = 爰厶。( 1 2 + a 坩) ( 1 一。1 捌” 再从0 到积分，即得( 2 2 2 ) 引理证毕 由局部存在性定理和引理2 5 立即得到解的整体存在性 定理2 6 对任何非负整数m ，当妒o 。，o 。h “( r 2 ) ，妒o ，o h m ( r 2 ) 时 解满足 币。，欢c 1 ( 0 ，+ 。) ；h “( r 2 ) ) ， 饥。，九。g ( o ，+ o o ) ；日”( r 2 ) ) 1 4 华中科技大学硕士学位论文 3 弱解的整体存在性 3 1 引言 在第二章中构造了关于饥，机，u 。的正则化方程，证明了其解的全局存在性本章 将在此基础上证明u 。在工m ( o ，。) ；l ( r 2 ) ) 中和妒。，机在工2 ( 【o ，卅；l 2 ( r 2 ) ) 中的 强收敛，以确保非线性项的收敛，从而证明原方程组( 1 2 ) 一( 1 6 ) 的弱解的整体存在 性 3 2 先验估计 以下假设( 2 8 ) 一( 2 t o ) 的初值满足主要定理的条件，即 母o ，币o ，母o ，z $ o ，妒o 。，币o 。l 2 ( 1 妒) j = i i 妒o h 2 。+ a 惮训2 。 0 ，有 咖。，。，妒。，。l 。( 1 0 ，t 】；l 2 ( r ? ) ) ， 且存在与无关的常数e ( t ) 0 使得 s u pl l z 母。( t ) l msg ( t ) ， s u pi i z 咖e ( t ) i i l z g ( t ) ， o 0 ，有 | j 妒。( 1 一e 磋) 一1 u 。i i h 一- c ，l i 妒“1 1 日一t c ， l l 。( 1 一e ) 一1 u 。l l h 一- c ，i i “l l h 一c ( 3 2 ) ( 3 3 ) 1 7 华中科技大学硕士学位论文 证明：对任意”h 1 ，有 他( 1 一s 磋) 一1 ，”) l 机i ( 一e 磋) 。雌。出咖l = 1 ( 伽) 挪一e 碰2 ，- 0 d s 出由l sl l u 。l l l ( | i 币。i i l 。| | l l l z + i i 妒。i 。l u z i i l 。) 所以 i i 妒。( 1 一e 磋) 一1 u w l l 一t i i u 。l l l 一( 1 1 妒e z i i l z + l i 妒e i l l z ) sc 同理 i i 。( 1 一e 磋) 一1 “七zjj 日一- | | u 。lj l 。( 1 1 。ij l 。+ i s i i l 。) g ， 因而由( 21 1 ) 一( 2 1 3 ) 可得其他的结论 引理得证 至此已经证明了饥，机，饥。饥。在三。( o ，。) ；l 2 ( r 2 ) ) 中有界对任何t 0 ， 有z 妒。，z 毋。在o 。( 【o ，t 】；l 2 ( r 2 ) ) 中有界，中n ，币。t ，中。( 1 一钙) 一1 ( j 。，币e ( 1 一e a ；) 一1 u 。 在l 。( o ，o 。) ；h 一1 ( r 2 ) ) 中有界因而存在收敛子列( 仍记为叽，以) 且可找到函数 妒，形皿，西使 仇一妒，九一在工。( o ，。) 江2 ( r 2 ) ) 中弱+ 收敛， z 仉一z 妒，z 九一。在三象( o ，。o ) ；l 2 ( r 2 ) ) 中弱+ 收敛， u 。一w在l o 。( o ，o o ) r 2 ) 中弱+ 收敛， ，。、 妒“一也，机一九在l 。( o ，o 。) ；日一1 ( r 2 ) ) 中弱+ 收敛， 仇( 1 一e 磋) 一1 u 。一皿，在工。( o ，。) ；h 一( r 2 ) ) 中弱+ 收敛， 妣( 1 一e 磋) _ 1 u 。一西在o 。( o ，。) ；h - 1 ( r 2 ) ) 中弱+ 收敛， 为说明函数组( 妒，庐，w ) 是( 2 8 ) 一( 2 1 0 ) 的一组解，还需证明 t i , = 妒u z ，虫= u z ， w = k ( ( j 妒 2 + a f 4 2 ) 。) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 由于方程组的退化性，我们得不到关于仇和机在日1 ( r 2 ) 中的有界性，为此 我们需要作出特别的努力以获得饥，九在适当空间中的强收敛性，以确保非线性项 和非局部项的收敛性 1 8 华中科技大学硕士学位论文 3 3 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 的证明 引理3 4 ( 1 一e 磋) 。u 。l o 。( o ，+ ) ；l 乙。( r 2 ”关于e 0 一致有界 证明：对a e 。r ，t 0 ， _ ”( t ，。，) + n i i ? 5 d t ，。，) 1 2 ) d y y1 2y ) d y( i 妒。( t ，z ，) + 血 ，。， j o 。 ：”。( m t ，1 2 + 。雠，n f d 白 2 ee ( 1 1 妒一刊枞1 1 币。 ) d x d y 2 ( 1 i 妒。 l 口i l 妒。| il 2 + o l l 咖。i l l 。ij 。il l 2 ) ， 取圆心在原点，半径为r 的圆b rc r 2 令以= j ( 1 一磋) - 1 咄。f 2 d x d y ，则 j b r 钏叫| l 2 ( b r ) = 婚坩刊蚓2 蚓l 2 ( a 厶。( ( s 。i + a 一) 咖) 2 如旬 s 厶。f ( 仁剖咖) 2 “( e 慨忡剖a ”) 2 i d x d y s r f ( f 5 坩a ”) ( e 蚴2 却) + a 2 ( o o 划2 咖) ( e 坪咖) 卜 s s h q - 0 0 8 rs u p 坩咖( 广e 2 d r l d x jr j ) s i 妒。1 2 d 叩f l 妒。1 2 ) z rj 一。 一o 。 ， 2 b 蜡曲ub 蛐z d r l + 8 r as u p x e rrd 文 2 2 却( 协。i 如l j 一。 j j o o， 1 6 r ( 1 l c d l 2 1 1 妒。l l i z 十0 2 l i 。| | l 2 1 1 。i l i 。) 0 ，则( 1 一e 磷) 。u 。在l p ( b r ) 中是相对紧 的 证明：因u 。= k ( ( i 妒：1 2 + a i 。| 2 ) 。) = 。( 1 妒。1 2 + a l 咖。1 2 ) d q ，贝0 由弓i 理2 2 得 1 1 ( 1 一磋) 一1 u 印i l ，l i “七，i i l - c ， i i ( 1 一e 磋) 一1 u 。| | l m | | “毛l l l 。c 1 9 华中科技大学硕士学位论文 由上面的估计和引理3 3 得到 ( 1 一e 磋) 一1 u 。工。( 【o ，o 。) ；1 。, 以i 一2 ) ) nl 。( 【o ，o 。) r 2 ) 由嵌入定理知。1 , 。1 ( r 2 ) l l t ( b r ) 是紧致的，可抽取子列( 仍记为( 1 一e 磋) 。u e ) 使 【1 一e ) 一1 u 。在l t ( b r ) 中收敛，因而对任意1s p 0 ，r = j 二i 2 ，当| 十0 时，仉( 1 一e 磋) “u 一九( 1 e 磷) 一l u 。在l 。( o ，卅；w “( r 2 ) ) 中弱+ 收敛于妒u z ，u z 即非线性项收敛 证明：对任意 l l ( o ，t ) ，四。( r 2 ) ，有 f ( 卿一0 。2 ，、- t w _ 慨，咄，出 = 一z t 百厶2 ( ( 仇西) 。( 1 一s 磋) 。1 咄一u ( 妒西) 。) d 。幻出 口厶。州讥一卵) 加幻班 西厶。( ( 1 一碰x 。 1 s - - u e 砒d x d y d t 其中( ，) 表示w - - l , r ( r 2 ) ) 和1 ，7 ( r 2 ) ) 的对偶积 由于仇一妒，母。一札一0 在l 。( c o ，? 1 ；l 2 ( r 2 ) ) 中弱+ 收敛，砌西，黝磁 l 1