（应用数学专业论文）模拟无偏差股票价格及其应用.pdf

摘要 摘要 仿射跳跃离散模型的随机微分方程不能产生直接模拟的精确结果，在这个 模型下离散的办法可用来模拟股票价格，但是离散使模拟结果产生误差，且需 要大量的时间步去减少误差到一个可以接受的水平。 本文介绍一种基于h e s t o n 随机波动模型和其他仿射跳跃离散过程的精确模 拟股价和方差的方法，这些样本可用来产生一个无偏差的衍生证券价格估计。 本文最后一节选取了一家公司作实证分析，取振华港机在一段时间内的股票价 格建立s v j 模型，多次精确模拟在r 时该公司所持股票价格，判断公司在r 时是 否存在破产风险。 关键字：s v ，s v j ，s v c j ，第一类修正贝塞尔函数，特征函数 a b s 仃a c t a b s t r a c t t h es t o c h a s t i cd i 侬i r e 血a 1e q u a t i o n sf o r 蜢n ej 啪pd i a 砸i o nm o d d sd on o ty i e l d e x a c ts o l u 吐o nt h a tc a nd i r e c t l yb es i i n l l l a t e d d i s c r e t i z a ：t i o nm e 也o dc a nb el l s e df o r s i i n u l 地gs e c 嘶t y 皿c e su n d e rm e s em o d e l s b u td i s c r e t i z a t i o ni n t r o d u c eb i a si n t o 血es i m l l l a t i o ni s u j t s t m sp 印e ri n 订o d u c eam e m o df o re x a c t l ys i m l l l 妇gs t o c kp r i c e 趾dv a r i a i l c e l l i l d e rh e s t o ns t o c h a s t i cv o l a t i l 时 m o d e la i l do t h e r 世- m ej u m pd i f f u s i o n p m c e s s e s t h ee x a c ts i m m a t i o nc a i lg e n e m t ea nl l r l b i 懿e de s t m a t o ro ft h ep r i c eo fa d 商v 撕v e s e c 谢何f i i l a i l y ，t h ep 印e r c h o o s e sa c o i p o m t i o n t od on l l m 商c a l i 1 1 u s 订a t i o n ，c b o o s e sm es t o c kp r i c e so fz p m ct oc o n s m l c ts v jm o d e l u s i n ge x a c t s i m l l l a t i o nm e 山o dt og e n e r a t em a n ys t o c kp r i c e sa tr ，e s t i m a t ei ft h ec 锄p 锄yw i l l b a n k m p ta t 丁 k e yw o r d s ：s v ，s ，s v c j ，山em o d i f i e db e s s e l 劬c t i o no f 血e 觚tk j n d ，也e c b a r a c t e r i s t i cf l l n c t i o n i l 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， t 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：强艉 功d 年s 月谮日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式觌定如下 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：弦艰 m f 年s 月2 日 第一章引言 第一章引言 目前我国金融市场蓬勃发展，势头良好，市场规模迅速扩大，一级市场和 二级市场均取得了很大的发展，金融产品的品种和结构逐渐多样化，市场监管 和法制建设逐步完善，越来越多的投资者加入到证券市场。这样就迫切地要求 证券分析师给出更加准确的未来股票价格，给投资者以合理的买入卖出建议。 在h e s t o n 模型中我们得到股票价格及其收益方差的过程函数，e u l e r 离散应 用于这两个方程可以得到股票的价格，但是当e u l e r 离散使用大量的模拟路径和 时间步时，就需要生成相当数量的均匀分布随机变量，计算效率比较低，并且 存在统计误差和离散误差。 本文在h e s t o n 模型的基础上引出s v 、s v j 、s v c j 模型，介绍一种适用于 这三种模型的随机模拟的办法，不仅大大的提高计算效率，而且给出股票价格 的无偏差估计。从而在模拟出来的股票价格基础上，可以计算各种衍生产品的 价格，及持股公司的破产概率等等。 第二章s v 、s w 、s v c j 模型简述 第二章s v 、s v j 、s v c j 模型简述 2 1 s v 模型简述 s v 模型，基于h e s t o n 模型依赖于下面的方程，这两个方程分别表示风险中 立测度下的随机股票价格方程和收益方差过程： 姆= 峰出+ 谲 彬m + i 盈彬 ( z ) d 巧= 七( 目一k ) 出+ o i d 彤”( 2 2 ) ( 2 1 ) 式给出随机股票价格所服从的过程：s 代表f 时股票的价格，r 表示 风险中性漂移，巧代表波动率。 ( 2 2 ) 式代表收益方差过程：口表示长期均值方差，| 为收益方差变化的速 度，舐为决定方差过程波动性的参数。 彬o 和彬2 是独立的布朗运动过程，p 表示收益过程和收益方差过程之间的 即时相关系数。 2 2 s v j 模型简述 s v j 带跳跃的随机波动模型在股票价格过程中加入跳跃因子，是s v 模型的 扩展。方程如下： 姆= ( 卜碉，出+ 屁 p d 彬+ 乒函形 吣q ) 峨 ( 2 3 ) d k = j j ( 口一k ) c 打+ o o 巧d 彬1 ( 2 4 ( 2 3 ) 式和( 2 4 ) 式中参数同( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式，其中m 是密度为常 值五的泊松过程，f 5 为股票价格过程中的跳跃因子。也就是说，当在r 时发生跳 2 第二章s v 、s v j 、s v c j 模型简述 跃时，薯+ = 薯一户，其中f 。服从均值为从，方差为一的对数正态分布，以和万 之间的关系为： 从= 1 0 9 ( 1 + 万) 一圭一 ( 2 5 ) 2 3s v c j 模型简述 s v c j 模型与s v j 模型相似，它在股票价格过程和收益方差过程郡加入跳跃 因子。方程如下： 姆= ( r 一硒) s 西+ 秀 州彬m + 盯二歹。形 + g 一1 ) 叭 ( 2 6 ) d k = 七( 曰一k ) 者+ o j 巧d 形1 + f ”d f ( 2 7 ( 2 5 ) 式和( 2 6 ) 式中参数也同( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式，其中m 是密度为 常值兄的泊松过程，f 。为股票价格过程中的跳跃因子，f ”为收益方差过程的跳 跃因子。其中股价和方差中的跳跃是同时发生的，它们之间跳跃大小的相关程 度由参数岛决定。f 。服从均值为从的指数分布。假定善5 和f 服从均值为 ( 从+ 乃) ，方差为的对数正态分布。参数肛和万之间的关系为： 肛：1 0 9 ( 1 + 刃( 1 一所一) 卜去司 ( 2 8 ) 第三章精确模拟股票价格 第三章精确模拟股票价格 3 1e u i e r 离散 e m e r 离寂岢用来近似模拟在离散时间点上的股票价格和收益方差。设。到r 上的一个时间划分f 0 2 f o “2 r 】，其中出2 玄，2 f ，扛o ，1 ，m 。 股票价格在这个时间划分上的离散为： 瓯= 量。+ 伐。f + 以。f 肚呀1 ) + 而吖2 ( 3 1 ) 其中略力= 嘭”一咄，= 1 ，2 。 收益方差在这个时间划分上的离散为： k = k 一。+ 后( 口一。) 出+ q 。彬 ( 3 2 ) 墨，k ，扛1 ，2 ，m 通过逐层代入的办法既可求得，其中呀”和町2 为布 朗运动增量，且相互独立，服从均值为。和标准差为石的正态分布。 为模拟这两个增量，首先产生一个均匀分布的随机变量u 埘j 再用f 一1 ( u ) 代 替叼”，_ ，= 1 ，2 ，其中f ( z ) 表示一个标准正态分布的累积分布函数。目前已经 有精确计算正态分布函数反函数的方法。对每个增量时都要生成一个均匀分 布的随机变量u 来模拟，则共需要2 m 个这样的随机变量来模拟股票价格和收益 方差。当e l l l c r 离散使用大量的模拟路径和时间步时，同时就需要生成大量的均 匀分布随机变量，导致计算效率比较低。 重复上面的步骤，生成大量的股票价格数据，衍生证券价格e 厂( 品) 可以 通过这些模拟数据来估计： 4 第三章精确模拟股票价格 专羹厂( 算) 台。、1 。， 其中表示样本的个数，第为在【o = f 0 “时，巧服从蠢( 1 一e “。) ( 4 j ) 倍的自由度为d 非 中心z 2 分布，其中非中心参数 ( 3 7 ) 若可以从非中心z 2 分布中取样，我们就可以精确地得到k 分布的样本。 设宏表示一个自由度为d 的中心z 2 分布，我们知道当d 1 时 格( 五) = 彳2 ( 五) + z 一，。 ( 3 8 ) 其中彳2 ( a ) 为自由度为1 的非中心z 2 分布，非中心参数为a ，由模拟彳2 ( 五) 的 方法( 3 8 ) 式可以变化为： 硝( 旯) = ( z + 打) 2 + 刃一。 ( 3 9 ) 因此为给衍( 兄) ，d l 取样，需生成一个服从彳一。分布的随机变量和一个独立的 6 高 第三章精确模拟股票价格 标准正态随机变量z ，这样当d 1 时，从一个非中心z 2 分布中取样变换为从一 个中心z 2 分布和一个独立的正态分布中取样。 当d o 时，任意一个服从非中心z 2 分布的随机变量都可以表示成服从自由 度为随机数的中心z 2 分布随机变量。也就是说刃+ ：，与裙( 五) 有相同的分布， 彬q ) = 宏+ ：。，其中服从均值为去旯的泊松分布。因此，为从露( a ) 中取样， 1 可以先生成一个服从均值为圭a 的泊松分布随机变量，再从自由度为d + 2 的中心z 2 分布中取样。 在模拟k 时，当d 1 时，用( 3 9 ) 式列出的方法，其他的采用泊松方法。 3 2 2 给定k 与巧，为f k 凼取样 得到巧样本后，即在给定k 与k 下，从f k 凼的分布中来生成它的样本。使 用傅立叶逆变换可以把某个分布的特征函数改为一个具有相同分布的利率模 型，从这个利率模型中生成样本。我们采用上面的办法来生成f k 幽的样本。根 据p i 皿a n 和y o r 的推导结论给出拉普拉斯变换印 e 唧( 。舾 的导出公式。f k 出分布的特征函数中设口= 一蛔：” 第三章精确模拟股票价格 庐( 口) = e e x p ( 妇f k 凼) i 圪，k ：型生：竺：! 坠竺：尘 七( 1 一p 一7 4 o 一”) 掣掣 ) 。埘 1 一p 一，( n ) o 一” | i ( 3 1 0 ) o5 d 一1 。厕掣篓篙一 其中，( 口) = _ i 2 2 盯2 妇，d 在( 3 6 ) 式中给出，l ( z ) 为第一类修正贝塞尔函数。 这个概率函数可以用傅立叶逆变换的办法来计算啪用y ( “，f ) 表示与f k 出在 圪和k 上条件积分同分布的随机变量，则： f ( x ) ；p r y ( 甜，f ) z = 圭睾( “) 幽 ( 3 _ 1 1 ) 万一“ = 吾f 孚e ( “) 幽 万b z f l、7j 用梯形积分公式来计算这个概率分布函数， 州州) z 哮+ 焉学州1 1 ，) m 办) 其中 为网格大小，根据所要达到精度确定，( ) 为离散误差。梯形积分公式 在周期和振荡函数的积分上能达到较好的效果，误差可以被抵消。且离散误差 ( ) 可使用泊松求和公式来设置上下限： 紫学 刊 剞幂 厄b 第三章精确模拟股票价格 o s 白( 矗) = f c 丝一x l 矗 f 隆h 半一工 其中f 。( x ) = 1 一f o ) 。 若离散误差为占，则网格大小五应该如下确定 ：二生三，其中p ( “。) = s ，o x “。 ( 3 1 4 ) x + “。 直接找出“。不是很容易的事，但是通过( 3 1 0 ) 式的特征函数可以容易的找 出相应的分布函数。s 为很小的值，因此可以用均值加五倍或者更多倍的标准差 作为k 来获得小的概率值。 矿( “，r ) 的均值和标准差可以通过计算在“= o 时特征函数( ”) 的一阶导数 和二阶倒数值得到。 为实现( 3 1 2 ) 式中计算p r 矿( “，f ) z 的方法，需要确定求和的终止点。 用表示求和的最后一项，则( 3 1 2 ) 式近似为： p r f ) x = 等+ 蔫学船) h ( 矿羽) b 四 其中唧( ) 为使用有限求和引起的截断误差，特征函数的模p ( “) l 在 = o 时值为o ，并随着“的增大而减小，且i s i n 船l 1 ，因此( 3 1 1 ) 式中的积分 有上限： ( 甜) 。 ( 3 1 6 ) 且这个积分是振荡的，所以上面的约束条件给截断误差一个很好的估计， 设印( ) = 卢0 ) ，当满足下面的不等式时， 9 第三章精确模拟股票价格 掣 孚， ( 3 1 7 ) 2 。 求和以j = 作为结束点，其中为所期望的截断误差。 的特征函数中包含两个第一类修正贝塞尔函数，且分子上的参数为复数。第一 类修正贝塞尔函数形式如下掣 比啦) ”薹热 其中r ( z ) 是伽玛函数，z 为复数。对较小的h 使用这个冥级数，对较大的i z i 渐 渐近展开。这种方法对一系列的贝塞尔函数也都适用，少2 m l ( z ) 使得可以计算 较大冥级数的贝塞尔函数。 ( 3 1 8 ) 式中给出的，( z ) 表达式并不完全，因为等式右边的因子z ”是一个 复合函数，需要更具体的表达式，定义为e x p ( v l o g z ) ，其中参数z 的主值域满足： 一万 r ，贝0 置0 = 丁a 2 先忽略跳跃部分，时间间隔f = 0 一f o ，用s v 模型下的精确模拟办法模 拟方差_ 和股票价格墨。 3 如果0 = ，则品= s 。，转到第六步。否则生成一个服从均值为版的指 数分布随机变量善”，更新跳跃后的方差1 ；：，= _ + f 。 4 生成一个服从均值为( 以+ 乃f ”) ，方差为的对数正态分布随机变量 尹，更新跳跃后的股票价格为蔑= 尹。 第三章精确模拟股票价格 5 置& = 墨，= 吃，f o = o ，转到第一步。 6 使用品计算衍生证券的价格。 3 5 比较s v 、s v j 、s v c j 模型下精确模拟股价的优缺点 模拟步径的划分和大量的时间步会影响计算速度，因此s v c j 模型的模拟 速度小于s v 和s v j 模型。比如，跳跃的发生率是一年一次，则模拟一个5 年的 期权速度要比在s v 和s v j 模型下模拟慢5 倍。这样用精确模拟办法模拟到期日 长的证券价格所需时间比其他方法少的优点就不存在了，但是在提供一个无偏 差的衍生证券价格方面很有用处。 当模拟间隔很小时，在精确模拟办法中用到的傅立叶逆变换就会出现一些 问题，在s v c j 模型中当两次跳跃时间非常接近或者一次跳跃很接近到期日时都 会出现上面的问题。 但是s v 模型下的模拟忽略了股价跳跃的可能性，因此在下一节我们建立的 模型中股票价格遵循s v j 模型，不仅突出了精确模拟方法速度快的特点，而且 可以提供一个基本无偏差的股票价格。 4 第四章构造研究公司破产概率模型 第四章构造研究公司破产概率模型 佰计公司仕呆一町1 日j 。盯是宙仔仕嫩广上风啦，耿公司贾广l 甲儿个具伺代表任 的因素来建立我们的模型： 1 设公司固定资产价值尉，存在一个折旧的过程，设在f 时价值 吼= 品，其中。为折旧率，嘲为当前固定粤产价值。 2 设公司所持股票单一，股份为拧，在分析期间公司不会增持或者减持， 在f 时股票价格为s ，公司所持股票在r 时总价值为峨。 3 设公司负债为d ，在f 时公司负债口：d 0 ( 1 + r f ) ，其中d 0 为当前负债 价值，r 为利率。 划分时间【o = 岛 d o ( 1 + r r ) ，则公司不存在破产风险，否则存在风险。若 次中存在三次喝+ 等 1 ，r = 2 ，3 ，作 为一次跳跃。= 鲁，f = 1 ，m 为所有的跳跃，其中m 为总的跳跃次数，作 为f 5 服从的对数正态分布函数的样本，取这些样本的均值和方差作为对数正态 分布函数的均值以和方差，得： 从2 苛 ( 5 8 ) ( 只一以) 2 = 旦丁 ( 5 9 ) 由( 2 5 ) 中万和以、之间的关系得 乃：p “中一1( 5 1 0 ) 第五章对某个公司a 进行实证分析 具体实现过程见程序( 5 1 ) 。 程序计算结果为： 口：0 0 1 2 8 ；吒= o 2 7 ；p = - 3 2 4 8 3 ；以= o 3 5 3 ； = 0 2 4 9 2 ；面= o 6 1 2 2 ；后= 3 9 9 r = 3 1 9 ；五= 0 11 ； 、， 。 ( 5 1 1 ) 将上述参数的计算结果代入( 5 1 ) 和( 5 2 ) 式中即可建立s v j 模型。 5 2 在s v j 模型下精确模拟股票价格 上节建立s v j 方程后，利用第二覃中描述的精确模拟方法来估计股票价格。 作。到r 上的时间划分【o = f o 1 ，因此采用( 3 9 ) 式中模拟方法。首先模拟一个服从 第五章对某个公司a 进行实证分析 【0 ，l 】上均匀分布的随机变量u ，再利用m a u a b 中的n o l l l l i n v 函数模拟一个概率 为( 厂的服从标准正态分布的随机变量z 。( 3 9 ) 式中的标准正态分布的随机变量 z 与服从自由度为d 一1 的中心z 2 分布随机变量在。独立，所以在模拟z 一。时， 重新模拟一个服从 0 ，l 】上均匀分布的随机变量u ，再利用m a t l a b 中的c l l i 2 i n v 函数模拟一个概率为u 的自由度为d l 的中心z 2 分布随机变量刃- 1 ，则 _ - 8 2 6 1 1 ，n ( z + 厕) 2 + 布。 ( 5 1 2 ) 若自由度d 1 ，则采用衍( 五) = 彳+ ：。，其中为服从均值为去a 的泊松分 布随机变量。首先模拟一个服从【o ，1 上均匀分布的随机变量u ，再利用m a t l a b 中的p o i s s i n v 函数模拟个概率为u 的服从均值为喜z 的洎松分布随机变量， 再生成一个服从【0 ，l 】上均匀分布的随机变量u ，再利用m a t l a b 中的c l l i 2 i n v 函 数模拟一个概率为u 的自由度为d + 2 的中心z 2 分布随机变量z + ：。，则 k = 8 2 6 1 1 1 0 。4 五2 ( 5 1 3 ) 生成k 一和k ，再模拟rk 出。 建立( 3 1 0 ) 式中的特征方程 第五章对某个公司a 进行实证分析 妒( 口) = e e x p ( 缸k 凼 j _ 。，_ 一，( 口) e 如蝴r ( 1 可忻“) 。1 f 硒r 唧降紫一哗掣 其中一一。= f ，y ( 口) = 酽一2 盯2 妇，代入( 4 1 1 ) 中的参数值和生成的和 k 值，其中l ( z ) 用m a t l a b 中的第一类修正贝塞尔函数b e s s e l i 计算。 由特征函数的性质得rk 出在_ 。和_ 下的条件积分( 3 1 1 ) 式，利用梯形 法则离散化( 3 1 1 ) 式中的积分( 3 1 2 ) 式和( 3 1 5 ) 式。梯形法则中要确定的 参数有积分步长 和截断点的大小。 利用( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 式由特征函数- ) 得到分布函数的均值加标准差 五倍或者更多倍得到，其中均值可以通过庐 ) 。计算，标准差通过 ”( “) 一( “) 2 。得到，我们取= 矿( “) 。+ 1 0 0 0 0 0 办”( “) 一( “) 2 。 一次模拟的结果中 ( “) 。：。= o _ 0 0 3 2 ，妒”( 材) 一妒( “) 2 脚= o 0 0 1 7 ， ( 5 1 3 ) “，：1 7 3 3 7 0 8 ，则由( 3 1 4 ) 式积分步长 ：三：0 0 1 8 1 。 第五章对某个公司a 进行实证分析 设s 为所期望的截断误差。根据( 3 1 7 ) 式，在模拟中，取掣：等， 解关于的方程，作为求和的结束点。 一次模拟中取截断误差s = o o o 0 0 1 ，解方程得= 4 3 3 。 梯形法则计算积分( 3 1 5 ) 式代入计算出的参数后为： 州“，f ：f ) 石) = 业竽+ 昙霎些芋坠喇o o 明- o p r 矿( 一) x 为。k 出的条件分布函数，因此先模拟一个服从【o ，1 】上均匀 分布的随机变量u ，p r 矿( 一) z - u ，解这个方程得到z 即位k 凼的模 拟值。m a u a b 中求解一个非线性方程用f s 0 1 v e ，需要设定一个初值。 由于k 西的条件分布近似为正态函数，由特征函数得到( 5 1 3 ) 式中分 布的均值和标准差，所以模拟初值为一个服从均值为( “) 。= o 0 0 3 2 ，标准 差为”( ”) 一( “) 2 。= o 0 0 1 7 的正态分布随机变量。先模拟一个服从【o ，1 上 均匀分布的随机变量u ，在生成一个概率为u 的标准正态随机变量z ，则 = 妒( “) 。+ 庐。( “) 一( “) 2 。：。z = 0 0 0 3 2 + 0 0 0 17 z 若 o ，则置初值为o 0 1 倍的均值，即= o 0 1 矿7 ( “) 。 代入初值解方程p r 矿( _ ，) 工) _ u 得到k 凼的模拟值。 得到k 西，和k 后代入( 3 2 0 ) 式： 动昭= ( 古 ( _ 一一七她一“，+ 七k 凼 最后模拟s 的值，s 服从均值为 第五章对某个公司a 进行实证分析 m 啦一) ：l o 哦+ r ( f i 训一托k 出邮而咿 ， 方差为 盯2 g + ) = ( 1 一p 2 ) 屹凼 的对数正态分布。 因此先模拟一个服从 o ，1 上均匀分布的随机变量u ，在生成一个概率为u 的标准正态随机变量z ，则 墨= e ”+ + 4 “4 。 一次模拟的结果为7 4 1 7 7 元，与当日股票的收盘价7 4 2 误差很小，证明精 确模拟办法的精度很高，误差小。 重复上面的过程肘次，得到振华港机在r 时股票价格品。 最后模拟( 5 1 ) 式s 方程中的跳跃部分。 s 的在0 到丁时间内的跳跃次数j 服从一个均值为五r 的洎松过程，代入参 数( 5 1 1 ) 式中的参数值，五，= o 1 l 5 = 0 5 5 ，则跳跃次数，服从均值为o 5 5 的泊松过程。先生成一个 0 ，1 】上的均匀分布随机变量u ，在利用p o i s s i n v 函数 模拟一个均值为o 5 5 ，概率为u 的泊松分布随机变量j 。则在0 到r 时间内有， 次跳跃，设每次跳跃的幅度为等，f - 1 ，2 ，t ，服从均值为雎，方差为z 的对数 正态分布。代入参数( 5 1 1 ) 式中的参数值， 从= o 3 5 3 ，z = 0 2 4 9 2 。 先生成一个 0 ，1 上的均匀分布随机变量u ，在生成一个标准正态分布随机变量 z ，则 篁= e ”“， 第五章对某个公司a 进行实证分析 重复生成，个等，f - 1 ，2 ，j 。 将跳跃部分加入以生成的股票价格品中，则修正振华港机在丁时股票价格 s t 为s t昌兀等。 重复上面的过程，经过1 0 0 0 0 次模拟后得到在丁= 5 的股票价格，表( 5 2 ) 中列出模拟出来的部分股票价格，如下： 表5 2 模拟出来的r = 5 振华港机的部分股票价格( 元) 7 1 77 1 3 5 56 8 9 0 5 6 8 8 8 l6 9 1 2 37 0 5 “6 5 4 3 2 6 1 6 4 26 _ 3 4 4 36 3 1 4 7 5 9 7 3 l 6 2 7 7 66 5 0 7 86 7 8 7 3 6 6 1 8 8 6 6 1 2 46 6 7 5 56 3 2 7 56 3 2 5 26 2 1 5 16 1 4 6 8 6 5 4 0 66 3 4 1 16 6 0 1 96 6 7 0 86 7 7 6 46 5 2 2 76 2 1 9 3 6 3 3 6 16 - 3 8 7 46 6 4 2 6 6 6 8 9 77 0 5 7 77 1 5 5 37 1 7 0 8 7 3 2 8 1 7 3 3 87 4 4 3 47 4 8 7 27 5 7 77 6 3 97 6 2 2 8 7 1 1 77 1 1 1 16 9 8 1 65 2 7 8 85 0 8 5 25 5 9 3 65 6 4 4 5 4 8 1 1 44 7 3 9 34 5 1 8 44 6 2 2 55 0 0 6 75 0 9 0 35 2 8 4 2 5 2 0 3 5 4 9 9 0 45 4 1 85 5 7 5 7 5 3 公司a 在丁时的破产概率 对a 公司来说，公司资产总值为负，即哟+ ，4 = 1 0 4 s d s d ( j ) = s d s ( i ) ： j = j + l ： e n d e n d f o ri = 1 ：m u s 2 u s + s d s d ( i ) ： e n d u s = u s m ：跳跃过程服从对数正态分布的均值 f o ri = 1 ：m v 0 1 a s = v 0 1 a s + ( s d s d ( i ) 一u s ) 2 ： e n d v o l a s = s q r t ( v o l a s m ) ：跳跃过程服从对数正态分布的方差 1 m u 2 e x p ( u s + v o l a s 2 ) 一1 ： 程序5 2 ( 代码为精确模拟股票价格程序的主要模块部分) 程序5 2 ( 代码为精确模拟股票价格程序的主要模块部分) 为所有的参数赋初值 x c o e = v 0 1 a 2 ( 1 一e x p ( 一1 木k 丰h ) ) 4 k ： d = 4 t h e t a 咄v o l a “2 ：不足整数昵? l i d = 4 k e x p ( 一l 丰k 柚) v o v o l a 2 ( 卜e x p ( 一1 k 柚) ) ： i fd l f o rn = 1 ：n f o r = 2 ：m x x = ra i l d ( 1 ，1 ) ：嘣| 拟1 个均匀分布的随机变量 z = n o r m i n v ( “，0 ，1 ) ：模拟1 个正态随机变量 x x = ra i l d ( 1 ，1 ) ：模拟1 个均匀分布的随机变量 x d = c h i 2 i n v ( x x ，d 1 ) ：嗣奠拟1 个) c 2 随机变量 v t ( m ) = x c o e 半( ( z + s q r t ( 1 锄i d ) ) 2 + x d 2 ) ：计算v t 的值 1 i d = 4 咄4 e x p ( 一1 k 卓h ) v t ( ) v 0 1 a 2 ( 卜e x p ( 一1 幸k 妯) ) ：变换 值 r u = 国( u ) s q r t “2 2 年c o r r 2 丰u i ) ： e 1 = e x p ( - k 木h ) ： e 0 5 = e x p ( 一0 5 k h ) ： e r l - u 两( u ) e x p ( 一r _ u ( u ) 丰h ) ： e r 0 5 - u = ( u ) e x p ( 一0 5 一u ( u ) 木h ) ： b e s l = ( u ) b e s s e l i ( 0 5 d l ，s q r t ( v t ( m ) v t ( m - 1 ) ) $ 船f _ u ( u ) e r 0 5 _ u ( u ) c o r r 2 ( 卜 e “- u ( u ) ) ) ： b e s 2 = ( u ) b e s s e l i ( 0 5 d 一1 ，s q r t ( v t ( m ) v t ( m _ 1 ) ) 4 k e 0 5 c o r r 2 ( 卜e 1 ) ) ： p h i l = e ( u ) r u ( u ) 4 e x p ( 一0 弘( r u ( u ) 一k ) 柚) ( 卜e 1 ) k ( 卜e 一u ( u ) ) ： 曲i 2 = ( u ) e x p ( ( v t ( m ) + v t ( 一1 ) ) ( ”( 1 + e 1 ) ( 卜e 1 ) 一u ( u ) ( 1 + e n u ( u ) ) ( 卜e r l - u ( u ) ) ) c o r r 2 ) ： p h i 3 卸( u ) b e s l ( u ) b e s 2 ( u ) ： p h i u = 睁“) d h i l ( u ) p h i 2 ( u ) 却h i 3 ( u ) ：特征函数 s y m su ： e a n v i n t 2 s u b s ( d i f f ( p h i u ( u ) 。u ) ，u ，0 ) i ： v 8 r v i n t = s u b s ( d i f f ( p h i - u ( u ) ，u ，2 ) ，u ，0 ) i 2 一e a n v i n t 2 ： h f - p i ( m e a n v i n t + 1 0 0 0 0 0 丰s q r t ( v a r v i n t ) ) ： e r r = 0 0 0 0 0 1 ：n 代替无剪的误差 f _ ( u ) a b s ( p h i - u ( u ) ) 丰h f u - p i e r r 4 ： y y = f s 0 1 v e ( f ，h f 1 0 ，o p t i s e t ( d i s p l a y ，o f f ) ) ： n n = y y h f ： n n = r o u n d ( n n ) ： f x ： ( x ) h 抖x 口i ： f o rj = 1 ：n n 3 l 程序5 2 ( 代码为精确模拟股票价格程序的主要模块部分) f x = ( x ) f x ( x ) + s i n ( h 件j x ) r e a l ( p h i - u ( h 件j ) ) 2 j p i ： e n d f x = e ( x ) f x ( x ) 一r a n d ( 1 ，1 ) ： x o = e 锄v i n t + s q r t ( v a r v i n t ) n o 珈i n v ( r a l l d ( 1 ，1 ) ，0 ，1 ) ： i fx o o j s = z e r o s ( 1 ，z ) ：j s c = l ： f o rn = 1 ：z j s ( n ) = e x p ( u s + v o l a s n o r m i n v ( r a n d ( 1 ，1 ) ，0 ，1 ) ) ： j s c = j s c j s ( n ) ： e n d f o rn = 1 ：n s t ( n ) = s t ( n ) 巧s c ： e n d e n d 跳跃部分，修正股票价格 3 2 致谢 致谢 本文是在我的导师陈典发教授精心指导和大力支持下完成的。陈老师以其 严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大 胆创新的进取精神对我产生重要影响，一直是我工作、学习中的榜样。他渊博 的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪。 能顺利完成学业，还要感谢数学科学学院给了我到这里学习的机会，为我 们提供了良好的学习氛围和学术交流环境，以及丰富多彩的研究生生活。更为 我们提供了亲身参与院里的各项工作的机会，在实践中锻炼、提高了自己。 在数学院，我还结识了一些朋友，特别感谢大师姐冯建芬，师兄王广峰、 候居跃、孙磊，和我一样马上要毕业的谢清华、阎俊芳、任金芳、艾青、王继 宗、赵明理、来永超等同学，都是我随时学习的师友，快乐时我们共同分享， 困难时有人与我一同分担，他们是我学习生活之外的一份收获，他们对我的无 私帮助，使我得以顺利完成论文。 感谢我的父母和家人，他们始终如一的鼓励和关爱是我不断前进的动力。 最后感谢我所引用、参考的所有文献、资源的作者、创建者和维护者、感 谢他们的辛勤劳动和无私奉献，他们的工作是我论文完成的基础。 纸短情长，还有许许多多的人、许许多多的感谢放在心里。就请让我带着 对你们的感激在这里深深的俯首，是你们的关爱鼓励我在论文的写作过程中遇 到困难时能够坚强地走下去，是你们的关爱陪伴着我走过一程又一程。 张妮 2 0 0 6 年4 月 参考文献 参考文献 1 a b a t e ，j ， a 1 1 dw h i t t ，w ，t h ef o u r i e r s e r i e sm e t h o df o ri n v e r t i n gt r a n s f o 珊s o fp r o b 曲i l i t yd i s t r i b u t i o n ，q l l e u e i n gs y s t e m s ，1 9 9 2 ，v 0 1 1 0 ( 1 ) ，5 8 8 2 a b r a m o w i t z ，m ， a n ds t e g u n ， i a ， h a n d b 0 0 ko fm a t h e m a t i c a lf u n c t i o n sw i t h f d r u l a s ，g r a p h s ， a n dm a t h e a t i c a lt a b l e s ，t i o n a lb u r e a uo fs t a n d a r d s w a s h i n g t o n ，1 9 7 2 ，8 2 0 3 a m o s ，d e ，a 1 9 0 r i t h l n6 “，ap o r t a b l ep a c k a g ef o rb e s s e lf u n c t i o n so fac o p l e x a r g i l m e n ta n dn 0 n n e g a t i v eo r d e r ，a 删t r a n s m a t h s o f t w ，1 9 8 6 ，v 0 1 1 2 ，2 6 5 2 7 2 4 c o x ，j c ，i n g e r s o l l ，j e ，a n dr o s s ，s a ，a t h e o r yo f t h et e 珈 s t n l c t u r eo f i n t e r e s tr a t e s ，e c o n o e t r i c a l ，1 9 8 5 ，v 0 1 5 3 ( 2 ) ，3 8 5 4 0 7 5 f e l l e r ，w ，a 1 1 i t r o d u c t i o nt o p r o b a b i l i t yt h e o r y a n di t s a p p l i c a t i o n ，1 9 7 1 ，v 0 1 2 ，5 一1 0 6 f i s h m a i l ，g s ，n t ec a r l o ：c o n c e p t s ，a 1 9 0 r i t | l m s ，a r 】d a p p l i c a t i o n ，n e w y 0 r k ，s p r i n g e r 叫e r l a g ，1 9 9 6 7 h e s t o n ，s ，ac 1 0 s e d f o 珈s o l u t i o no f0 p t i o nw i t hs t o c h a s t i cv 0 1 a t 订i t yw i t h a p p l i c a t i o n t o b o n da n dc u r r e n c y o p t i o n ，t h e r e v i e wo ff i n a n c i a l s t u d i e s ，1 9 9 3 ，v 0 1 6 ，3 2 7 3 4 3 8 p i t m a n ，j ，a n dy o r ，ad e c o m p o s i t i o n o fb e s s e l b r i d g e s ，z w a 1 r s c h e i n l i c l l l 【e i t s t h e o r i e v e r w ，1 9 8 2 ，v 0 1 _ 5 9 ，4 2 5 4 5 7 9 s c o t t ，l o ，s i m u l a t i n ga m u l t i - f a c t o rt e 珈s t r u c t u r em o d e lo v e rr e l a t i v e l yl o n g d i s c r e t et i m ep e r i o d ，s t a n f o r du n i v e r s i t y ，1 9 9 6 ，5 1 0 1 0 m a r kb r o a d i e ，0 z g u rk a y a ，e x a c ts i 叫1 a t i o no fs t o c kv 0 1 i t i t ya n do t h e ra f f i n e j u l l l pd i f f u s i o np r o c e s s e s ，n e wy o r k ，2 0 0 4 1 1 d u f f i e ，d ，s i n 9 1 e t o n ，k a n dp a n ，j ，t r a n s f o 珊a n a l y s i sa n