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随机利率下的社会养老保险空帐问题研究摘要 论文题目： 专业： 硕士生： 指导教师： 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 概率论与数理统计 黄贞雯 宋世斌副教授 摘要 本文主要研究在随机利率下的广东省社会养老保险的空帐情况。首先，根据 广东省养老保险的内容和规定，建立精算模型系统，通过采集实际数据，采用定 性和定量有机结合的方法，对广东省未来人口、参保人口、统筹基金的收支进行 了测算和分析。接着，分别尝试用正态分布、移动平均模型、带漂移的w i e n e r 过程来建立利率模型，并得到不同利率模型下的空帐的精算现值，分析得出用带 漂移的w i e n e r 过程建立的模型优于其他两种模型的结论。然后，通过随机模拟， 得出长达九十年的空帐规模的预测结果。结果发现：社会统筹帐户将在五十年后 收不抵支，并在二十一世纪八十年代出现最大缺口，随后收支缺口逐步缩小。最 后，根据测算结果，本文提出解决空帐问题的一些可行方法。 关键词：养老保险空帐随机利率随机模拟 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究a b s t r a c t t i f f e ： r e s e a r c ho nt h ep b e n o m e n o no fe m p t ya c c o u n ti nt h es o c i a lp e n s i o n j n s u r a n c eu n d e rt h er a n d o mi n t e r e s tr a t e m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s n a m e ：h u a n gz h e n w e n s u p e r v i s o r ： a s s o c i a t ep r o f e s s o rs o n gs h i b i n a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ep h e n o m e n o no fe m p t ya c c o u n t si nt h es o c i a lp e n s i o n i n s u r a n c eu n d e rt h er a n d o mi n t e r e s tr a t ei nt h eg u a n g d o n gp r o v i n c e f i r s to fa l l ，a l l a c t u a r i a lm o d e ls y s t e mi se s t a b l i s h e db a s e do nt h ec o n t e n ta n dr e g u l a t i o n so ft h e p e n s i o ns y s t e mi ng u a n g d o n g b yc o l l e c t i n gt h er e a ld a t aa n dc o m b i n i n gq u a l i t a t i v e a n dq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s ，am e a s u r e ，c a l c u l a t i o na n da n a l y s i si sc a r r i e do u to nt h e f u t u r e p o p u l a t i o n ，n u m b e ro fi n s u r a n c eb u y e r s ，t h ei n c o m ea n de x p a n s e so f w h o l e p l a n n i n gf u n d s t h e n ，r a n d o mi n t e r e s tr a t em o d e l si sc o n s t r u c t e db a s e do n f o r c eo fi n t e r e s to fn o r m a ld i s t r i b u t i o n ，m o v i n ga v e r a g ea n dw i e n e rp r o c e s sw i t hd r i f t r e s p e c t i v e l y , i no r d e rt oe d u c et h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo fe m p t ya c c o u n t sb a s e do n d i 脆r e n ti n t e r e s tm o d e l s ac o n c l u s i o ni sd r a w nt h a tt h em o d e lb a s e do nf o r c eo f i n t e r e s tw i e n e rp r o c e s sw i t hd r i f ti sb e t t e rt h a nt h eo t h e rt w o n e x t ，af o r e c a s tr e s u l t t h a te m p t ya c c o u n t sw o u l ds p a nu pt o9 0y e a r si sp r o d u c e d ，b yt h em e t h o do fr a n d o m s t i m u l a t i o n t h er e s u l ts h o w st h a te x p a n s e sw o u l de x c e e di n c o m ei nt h es o c i a l w h o l e - p l a n n i n ga c c o u n t si nf i f t yy e a r sa n dt h eg a pb e t w e e nt h e mw o u l db et h ew i d e s t i nt h e2 0 8 0 sa n dt h e nd i m i n i s hg r a d u a l l y f i n a l l y , s o m ef e a s i b l es o l u t i o n st ot h ee m p t y a c c o u n tp r o b l e ma r ea l s op r o v i d e db a s e do nt h ef o r e c a s tr e s u l t k e yw o r d s ：s o c i a lp e n s i o ni n s u r a n c e 、e m p t ya c c o u n t 、r a n d o mi n t e r e s tr a t e 、 r a n d o ms t i m u l a t i o n i i 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究第1 章绪论 1 1 研究背景乜1 第1 章绪论 我国于二十世纪五十年代初建立了与计划经济体制相适应的现收现付制的 城镇社会养老保险制度。这是一个以企业为风险分散单位的代际转移制度。这 种制度模式是建立在国家具有充分理性和完全信息，个人是非理性和短视的这 一假设前提之上的。因此，在理论和机制的构建上，排斥个人承担风险，完全 由国家独自承受，形成了国有经济范围内就业福利保障三位一体的制 度结构，从而形成了计划经济体制下的特有的隐性契约：职工承诺以长期低工 资的方式将一部分劳动收入上交国家，由国家集中管理和使用这笔风险资金( 包 括职工的养老保险金) ；国家则相应地对职工的收益预期做出承诺，即永久性就 业和退休养老保障。在这一隐性契约的制度安排下，职工养老金保障外部化为 国家所有和占有，并将其投资于国家重点支持的行业和部门，形成国家资产的 一部分。 “隐| 生债务”这一概念来源于现收现付制。在现收现付制下，当期退休者领 取的养老金来自同期在职职工的缴费。这些在职职工在缴费的同时为自己积累 了退休后领取养老金的权利。而他们的这一未来的权利将由下一代职工的 缴费来满足被看作是养老保险制度对他们的负债。由于不存在任何可见的 借贷行为，而仅由管理机构的规定和信用来保证，故称之为隐性债务。 自1 9 9 7 年以来，我国的城镇养老保险制度已经从一个以企业为基本养老保 险单位的现收现付制走向了统筹面广、层次多、部分积累式的养老保险体制。 这就意味着在现阶段的转换过程中，存在着一代人必须养活两代人的难题，即 当代劳动者在为自己积累、充实个人养老金帐户之外，还必须缴纳足够的基金 去填补旧体制下国家所欠下的中老年职工的养老负债。实践证明，依靠企业长 期负担高费率来消化隐性债务已难以为继，既不利于搞活国企，又不利于扩大 养老保险的覆盖面，更严重的是潜伏着巨大的养老金支付危机。近年来，各地 为了减轻企业负担，借助统筹帐户与个人帐户的“混帐”管理，不断透支个人帐 户，使个人帐户空帐规模迅速扩大。据劳动和社会保障部的统计，到1 9 9 7 年底， 第1 章绪论 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 全国基本养老保险基金历年积累为6 8 2 8 5 亿元，1 9 9 8 年底减少到5 8 7 4 1 亿元； 空帐规模由1 9 9 7 年底的1 4 0 多亿元上升到4 4 8 8 5 亿元：1 9 9 8 年全国基本养老 保险基金出现当年收不抵支，1 9 9 9 年仍是收不抵支，且个人帐户空i | l 长已超过 1 0 0 0 亿元。值得注意的是，我国老龄化程度在最近一二十年会日趋严重。也就 是说，今后二十年的养老金支付压力将更为严峻。如果我们现在不重视养老保 险隐眭债务问题，不提前制定对策措旌，那么，长此以往，统帐结合制将蜕变 为一种计发办法，部分积累制将名存实亡，改革的初衷将会落空。且在个人帐 户和统筹基金“混帐”管理的情况下，基金总量的结余又掩盖了个人帐户空帐的 严重性。随时间推移将引起更大的养老保险基金支付风险。 1 2 现行广东省养老保险制度基本内容 根据1 9 9 8 年广东省社会养老保险条例和广东省社会养老保险实施细 则，现行广东省养老保险制度的基本内容包括： 1 规定“老人”、“中人”、“新人”的划分。“老人”是指1 9 9 8 年7 月1 日 前退休的人，“中人”是指1 9 9 8 年7 月1 目前参加工作但在1 9 9 8 年7 月1 日后 退休的人，“新人”是指1 9 9 8 年7 月1 日后参加工作的人。 2 在缴费方面，全省统一按被保险人月缴费工资的1 1 建立个人帐户，个 人承担8 ，企业承担3 ，除此以外，企业还要缴费形成社会统筹部分的基本 养老金。企业的缴费总额，一般不得超过企业工资总额的2 0 。 3 在发放方面，则采取“老人老办法，新人新办法，中人过渡办法”。“老 人”仍按原先规定发放养老余，同时执行养老金调整办法。“新人”退休后按月 发放基本养老金，基本养老金包括基f i f i 养老金和个人帐户养老金两部分。基础 养老金月标准为省、白治区、直辖市或地( 市) 上年度职工月平均工资的2 0 ， 并且每年7 月按所在市上年度职工月平均工资的增长率同步调整。个人帐户养 老金月标准为本人退休时帐户储存额除以1 2 0 。个人缴费年限累计不满1 5 年的， 退休后不享受基础养老金待遇，其个人帐户储存额一次支付给本人。“中人”除 发放基础养老金和个人帐户养老金外，还发放过渡性养老金，过渡性养老金从 社会统筹基金中解决。2 0 0 2 年，广东省改革了“中人”过渡性养老金的计发方 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究第1 章绪论 法。调整后如下：2 0 0 1 年7 月1 日以后退休的被保险人，过渡性养老金按以下 办法计算：以2 0 0 1 年6 月3 0 日为截止日期，按指数化平均缴费工资办法计算 出计发基数，以后与被保险人所在地企业过渡性养老金调整比例同步调整，计 算出当年实际应发过渡性养老金数额。过渡性养老金的计算公式为： 过渡性养老金一过渡性养老金计发基数+ ( 1 + 口。) + ( 1 + a o z ) + + ( 1 + 口。) + 调 节金 其中：过渡性养老金计发基数= 指数化月平均缴费工资 1 9 9 8 年6 月底前 的缴费年限( 含视同缴费年限) 计发比例 指数化月平均缴费工资= 缴费工资指数 1 9 9 9 年所在市的社平工资，调节 金为所在市1 9 9 7 年社平工资的1 0 。 缴费工资指数= ，2 0 0 0 年缴费工资1 9 9 4 年缴费工资1 9 9 3 年标准工资 。面萌顽j 两面 r + 两萌丽i 两豇丽+ 面萌顽手两添砑 调整系数x 1 9 9 3 年底前视同缴费年限) ( 7 5 + 1 9 9 3 年底前视同缴费年限) 缴费年限，固定职工在1 9 9 3 年底以前的连续工龄视同为其该时期的缴费年 限；1 9 9 4 年1 月以后，则是指职工按规定缴纳养老保险费的年限。计发比例， 如果职工的全部缴费年限满1 5 年以上，则取值1 2 ，满1 0 年不满1 5 年的， 取值1 。4 0 1 、4 0 2 、a x 为2 0 0 1 年社保年度至职工退休时社保年度所在地过渡 性养老金调整比例。0 1 为2 0 0 1 年，0 2 为2 0 0 2 年如此类推。 另外，退休年龄为男性6 0 岁，女干部为5 5 岁，女职工为5 0 岁。 1 3 隐性债务及空帐的概念分析 前面1 1 节提出了隐性债务和空帐，这里具体分析其概念。隐性债务指在 现收现付制下，当期劳动者承担同期退休者的养老金，并以此形成自己以后享 受养老金的权利，这就被看作养老保险制度对他们的负债。由于不存在任何可 见的借贷行为，而仅由管理机构的规定和信用来保证，故称之为隐性债务。在 现收现付制向部分积累制转轨过程中，以前遗留下的隐性债务变得显性化。由 第1 章绪论 随机利率下的十h 会养老保险空帐问题研究 于“老人”完全没有积累，“中人”改革后才有积累，所以显性化了的隐性债务包 括：“老人”养老金+ “中人”的过渡性养老金+ “中人”的部分基础养老金( 因为改 革后“中人”的社会统筹帐户还有部分积累，所以只是部分基础养老金) 。 “空帐”这一概念不等同于隐性债务，但却是由隐性债务导致的。在制度转 轨过程中，国家想利用社会统筹帐户来解决历史遗留下来的隐性债务问题。但 是，随着领退休金的人逐渐增多，社会统筹帐户收不抵支。由于目前社会统筹 帐广t 与个人帐户未实行分账管理，所以主管部门就动用个人帐户的资金来弥补 社会统筹帐户的收支缺口，造成个人帐户有名无实，形成空帐。如果不考虑用 财政补助和其它资金来源解决社会统筹帐户的收支缺_ | ，也就是说只有挪用个 人帐户资金这一种办法来解决，那么社会统筹帐户的收支缺口在数值上等于个 人帐户空帐规模。本课题所研究的“空帐”指的就是不考虑其它解决方法，由于 社会统筹帐户收不抵支而挪用个人帐户资金所导致的个人帐户空帐。【2 】 1 4 研究回顾 已有的研究，大部分把重点放在对隐性债务的测算上，没有测算空帐规模： 还有一些是从隐性债务的测算结果推导出空帐的规模；只有极少数完整地测算 出空帐规模。对本文有较大启发作用的文章包括以下几篇。 王晓军f 2 0 0 0 1 【5 1 研究了养老金成本与债务的精算评估方法和现收现付模式 及部分积累模式下养老金制度长期精算甲衡估计的方法；运用精算评估方法对 巾国养老金制度改革的方案选择进行了短期和长期内的精算评价分析。但是， 对转轨形成的空帐没有分析。 周渭兵f 2 0 0 4 ) 【4 l 正确指m 社会养老保险与商业保险的差别，并对隐性债务、 通货膨胀、利率风险进行了测算、描述和分析，从精算角度对我国基本养老保 险政策进行多方而的较为系统的分析。可是，该书仍然没有刈空帐进行分析。 广东省养老保险隐性负债情况研究报告【2 j 分析了新】r 养老保险制度并 探讨了隐性债务及空帐形成的原因和机理；运用精算模型分多个情形计算出隐 性债务和空帐的规模，并进行了敏感分析。但是，该报告的参数设置多采用固 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 第1 章绪论 定值，与实际情况有一定差别 广东省养老保险改革课题精算报告【1 】通过建立广东省养老金制度长期 精算评估模型，包括人口预测模型、参保人口预测模型、制度债务评估模型、 制度长期财务收支模型、个人养老金收支模拟模型等，对广东省基本养老保险 的债务、基金收支、财务状况进行了测算和分析，采用定性和定量有机结合的 方法，得出一系列有用的结果。然而，测算的时间只有三十年，时间较短。 1 5 研究内容、意义、创新点及结构安排 由于目前的研究集中在隐性债务的测算，少有对空帐的研究，所以本文重 点分析空帐产生机理，提出测算方法，并根据实际情况视利率为随机，推算出 广东省长达九十年的养老基金状况，并得到空帐规模。 以下简要说明求空帐规模的基本结构，先看下图： 图i 一1 前面已经提出个人帐户空帐规模在数值上等于社会统筹帐户的收支缺口， 所以本文对空帐规模的测算，不仅要预测未来各期社会统筹的各项发放的水平， 而且还要预测未来各期社会统筹的缴费水平。对未来缴费水平的预测，包含对 未来缴费人群规模的预测和缴费工资水平的预测。未来社会统筹养老金的发放， 包括对“老人”的养老金的发放、现在以及扩面之后的叫，人”和“新人”的基础 第1 章绪论随机利率下的社会养老保险审帐问题研究 养老金发放、“中人”的过渡性养老金发放、个人帐户用尽后的补偿发放。那么， 未来社会统筹的发放预测，包含了未来退休人口预测、“老人”的养老金预测、“中 人”和“新人”的基础养老金预测、“中人”的过渡性养老金预测、个人帐户用尽后 的补偿的预测。利 = | j 估算出来的每年的缴费总额减去每年的支付额，可以得到 每年的收支缺口。最后，应用随机利率，把每年的收支缺口贴现回2 0 0 0 年末。 广东省的养老保险改革走在全国的前列。广东省城镇职工基本养老保险制 度的改革及以后的实施中也存在着空帐问题。因此研究空帐规模，并针对广东 省实际情况提前制定解决办法对广东省养老保险制度的改革与发展具有重要的 现实意义，也可以为其它省市解决养老保险空帐问题提供借鉴。所以，本文的 研究不仅具有很强的针对性，也具有非常重要和普遍的实际意义。能否解决好 制度转轨期间隐性债务带来的空帐问题是新制度能否顺利建立并在良好的基础 上运行的关键环节。换言之，如果我们能够成功地解决隐性债务带来的空帐问 题，不但可以实现养老保险制度改革的预期目标，而且还会对经济体制改革的 其它方面起剑极大的推动作用。1 2 l 本文主要创新点包括以下几方面： ( 1 ) 结合养老保险制度，研究了计算过渡性养老金支出的规模，个入帐户用 尽后补偿支山的规模等理论 ( 2 ) 建立了长达9 0 年的空帐测算为国内所不多见。 ( 3 ) 采用随机利率来计算空帐规模。 本文结构如下： 第章介绍现行广东省社会养老保险制度内容，分析空帐成因及概念，总 结已有文献并讲述本文研究内容、意义、创新点及结构安排。 第二章分析末来人口及养老保险制度内人口。 第三章通过研究统筹基金收入、支出，得出计算统筹基金结余的方法，并 利用三个随机利率模型，分别得到累积结余的精算现值。 第叫章结合当酊实际给出预测空帐所需的参数假设，从而计算广东省未来 九十年人l 及养老保险制度内人口，然后预测未来统筹基金收支状况，并通过 随机模拟，测算山随机利率下的空帐规模，最后，根据测算的结果，提出一些 解决卒帐问题的可行办法。 6 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 第1 章绪论 第五章总结全文。 7 第2 章朱_ 米人e l 及参保人口分析 随机利率下的社会养老 ! i 险空帐问题研究 第2 章未来人口及参保人口分析i 1 】 2 1 预测未来人口 人口和参保人口预测是养老保险制度财务收支预测的前提和基础。假设预 测初年为t 。年，预测第f 年x 岁男、女人数分别为c ：、呓，男、女分年龄死亡 概率分别为吒、q 丘，男、女性0 岁婴儿存活率为此、p , s b ，男、女性分年龄 净迁入人数分别为咒、吃，出生人数为b ，男、女性出生人数分别为筇、彰， 男性出生比例为m ，。= 筇且，分年龄生育率为f 。这时，t 年出生人数为 e 2 磊只：+ 工一 此处假设育龄妇女是1 5 岁到4 9 岁。 其中，男性出生人数是出生人数与男性出生比例之积，即 群= b14 1 7 z t b 女性出生人数是出生人数与女性出生比例之积，即 耳= e + ( 1 一竹。) 男性0 岁人数是男性出生人数与男性婴儿存活率之积，即 蹋= 彤8 p 五 同理，女性为 或= a , r + 以 在0 岁以上的其他年龄上，男女性人数分别为 卑m i ，+ ，= 只：+ ( 1 一：) + 职。+ 。z _ 0 只：，+ 。= 卑：+ ( 1 一q 0 ) + 口，。+ 。 x 1 0 2 2 预测参保人数 参保人数决定于劳动适龄人口的劳动参与率、失业率、养老金制度覆盖率 和养老保险费征缴率。由t 年分性别年龄劳动人口数与t 年分性别年龄劳动参与 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 第2 章未来人口及参保人口分析 率、失业率可以计算出t 年分性别年龄从业人数。由分性别年龄从业人数与分性 别年龄制度实际覆盖率、养老保险费征缴率可以计算出分性别年龄实际缴费的 参保人数。 _ , p m 、( e e ) l 表示第f 年x 岁的男女从业人口数，( r l e p ) l 、( e x e e ) l 表示第t 年x 岁男女的劳动参与率，( r u e ) l 、( r u e ) l 表示第f 年x 岁男女的失 业率，( c l ) 5 、( c l 兄表示第f 年x 岁参加养老金计划的实际缴费男女职工人数， ( r c 兄、( r c l 表示第f 年x 岁男女的养老金制度覆盖率，( r p ) 5 、( p e ) 5 表示 第t 年x 岁男女的养老保险费征缴率，那么对于男职工有 ( e e l = 异：+ ( r l e e ) l + ( 1 - 怛u e 圪) ( 2 - - 1 ) ( c l ) l = ( e l ) l + ( r c l + ( r p ) ： 同理，女职工为 ( 2 2 ) ( e e l = p ：+ ( r l 0 ( 1 一( ru _ e ) 0 ) ( 2 3 ) ( c l ) l = ( e p ) l8 ( r c ) l 。( r p ) 0 ( 2 4 ) 制度内退休人数的预测采用年龄移算法。由退休前一年参保职工人数与分 性别年龄参保人口死亡率计算出当年分性别年龄新退休职工数。由上年分性别 年龄退休职工人数与上年分性别年龄参保人口死亡率计算出当年分性别年龄退 休职工数。 设( r p n ) l 、( r p n ) l 表示第t 年x 岁的男女退休人数，、r z 分别为男 女退休年龄，q 5 、吐表示第t 年内制度覆盖男女在x 岁的死亡概率，那么男 职工退休人数计算公式如下 ( 艘囊= ( 以) 磊一。+ ( 1 一略一。) ( 2 5 ) ( t p ) 嚣。，。= ( r p n ) l + 0 一q 2 ) z 2 ，l ( 2 6 ) 同理，女职工退休人数计算公式为 ( r p n ) i 。，。= ( 皿) & 一，4 ( 1 一以一，) ( 2 7 ) ( j 配) l 。+ 。= ( r 尸) 0 + ( 1 一豇7 ) z 苫，2 ( 2 8 ) 9 第3 章养老金卒帐的精算分析随机利率下的杜会养老保险空帐问题研究 第3 章养老金空帐的精算分析 3 1 预测养老金的积累1 1 理论上，统筹基金年度收入包括单位缴费、国家财政补贴、地方财政补贴 和其他收入。实际上，统筹基金主要来源于各单位的养老保险缴费。统筹基金 单位缴费年度收入的计算公式为， ( a i ) 。= 厶+ f + c t4 d t 其中，t 年单位缴费收入为( a i ) ，t 年参保人数为l ，t 年参保者平均缴费 【资为s ? ，t 年单位缴费率为c t ，t 年养老保险费征缴率d 。 由于“窄帐”的规模与统筹基金有关，与个人帐户没有联系，所以本文不 赘叙个人帐户的收入计算方法。 3 , 2 预测养老金的支出 统筹基金的支出包括“老人”养老金、“中人”过渡性养老金和基础养老金、 “新人”基础养老金以及“巾人”、“新人”个人帐户用尽后的补偿。 3 2 1 预测“老人”养老金 “老人”是1 9 9 8 年6 月底已退休的人口，处于封闭状态，只受死亡因素影 响。“老人”养老金支山是分年龄“老人”人数与分年龄“老人”养老会之积【”。 t o 年为改革年，t 年x 岁男性“老人”的退休平均给付为b 善，t 年x 岁 女性“老人”的退休平均给付为日0 ，第i 年养老会以社会平均工资增长率 的 t j 比例，消费价格增k 指数c f 的h 。比例调整，此时男性不同年份彳i 同年龄退 休给付为b 苫= ：_ ( ，山) 丌( 1 + t + c i ) ，女性不同年份不同年龄退休给付为 艟机利率下的社会养老保险空帐问题研究第3 章莠老金空帐的精算分析 彤。磁o 。，兀( 1 + 讹+ 晌) a r 。+ 1 令( a o c ) ，为t 年“老人”养老金总给付额，e f 为t 年x 岁男性“老人” 人数，础为t 年x 岁女性“老人”人数，w 为人口年龄上限，为男性退休 年龄，一为女性退休年龄，“老人”养老金总给付额是各年龄男女性“老人”养 老金的总和，即 ( a o c ) ，= 硭叼+ 础+ 彤 ( 3 1 ) 3 2 2 预测“中人”基础养老金 根据规定，基础养老金月标准为省、自治区、直辖市或地( 市) 上年度职 q - b 平均工资的2 0 ，并且每年7 月按所在市上年度职工月平均工资的增长率 同步调整。 通常我们可以得到测算初年气年的社会平均工资s ，在未来一定的社会平 均工资增长率假设下，可咀估计出不同年份的社会平均工资，假设第i 年的社 会平均工资增长率为上，那么 s 。& + i 职) 设k 年为最长工作年限，( a m c ) 。为t 年“中人”基础养老金总给付额，嚣 为t 年x 岁男性“中人”人数，为t 年x 岁女性“中人”人数，瞄、贮 分别为t 年x 岁退休男女性“中人”基础养老金人均给付，第t 年替代率为& ， 则第t 年新退休男性“中人”基础养老金为 耽“= g ，+ s 一。 同理，第t 年新退休女性“中人”基础养老金为 蹦= 岛+ s t 一。 第3 章养老金空帐的精算分析 随机利謇下的社会养老保险空帐问题研究 在t 年已经退休的“中人”基础养老金和新退休的“中人”是一样的，即 b 譬；b 苌，x - r 1 ，b 0 f = b 麓f , x - r 2 从而，t 年“中人”基础养老会总给付额为 ( a m c ) ，= + m t 0 1 冒+ 盯+ 础4 吆7 ， 川。+ 。1(3-2) 1 t + m t o1 一。锚+ 瞄+ ，蠢一。础+ 贮7 肚” 其中，t t 。+ 是表示当“中人”全部都退休的时候。 3 2 3 预测“中人”过渡性养老金 “中人”过渡性养老金是“中人”在过去制度积累的、将在退休后得到的 养老金权益。对比“新人”的发放标准，可以知道“中人”个人帐户很少，过 渡性养老金相当于补偿改革后的“个人帐户”。个a , l 长p 的资金主要与个人缴费 工资、缴费年限相关。然而，“中人”过去并没有缴费，所以，理论上，采用缴 费工资平均指数来衡量缴费水平。缴费工资平均指数等于在新制度下，从缴费 起到退休l e 的年缴费工资与相应上年度社会平均工资比值的平均数。其公式如 下： 缴费i 资平均指数= 退休前各年缴费工资在社会平均工资中的比值之和 缴费年限 那么，过渡性养老金计算公式如下： 过渡性养老金= “中人”退休时当地上年度职l 平均工资+ 缴费工资平均指 数4 “中人”9 8 年前的本人视同缴费年限+ 计发系数 假设改革年0 年时“中人”年龄为y 岁，加入旧制度的年龄为b 岁，计发 系数为一，t 年x 岁男性“中人”平均缴费工资为s 卫。，t 年x 岁女性“中人” 平均缴费工资为s 。i , 4 ，f 。年y 岁男性“中人”缴费工资平均指数为k 0 ，t 。年y 岁女性“中人”缴费工资平均指数为k 。i ，那么 三一 r 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 第3 章养老金空帐的精算分析 轷c 等+ 鲁+ + 静忙y ， 硌= 筹+ 等f , a + + 警训 由于同龄人参加工作的年龄基本一致，所以此处同龄人的视同缴费年限是 一样的，从而，t 年x 岁“中人”9 8 年前的视同缴费年限为( x - - t + t o - - b ) 年a 5 3 ，1 - ，t 年x 岁男性“中人”退休时是t + r a x 年，t 年x 岁女性“中人”退休时 是t + 一工年。设t 年x 岁男性退休“中人”过渡性养老金人均给付为b ? ，t 年x 岁女性退休“中人”过渡性养老金人均给付为b 2 7 ，则 置箩= 墨”x ”m “一t + f o 一扫) 肛 b 裂= s t q _ x _ 1 x g f ；一n x b t + t o b ) x 。 其中，s t + q - 。- 1 ，s t + r 2 - x - 1 分别为，1 一x 一1 i f - ，t + r z 一石一1 年的职工平均工 资。 综上，得到t 年“中人”过渡性养老金总给付额 m c ) ：= 锚+ 赡”+ 础+ 赡7 ，川。+ k j nj 。q r t + p t n lb + - f n 一1 锚站4 + 曙+ 赡7 n 气+ 。 然而，由于近几年职工平均工资增长幅度过大，使由退休前职工平均工资 水平决定的过渡性养老金水平过高，同时，也使改革前同等条件( 过去工龄、 过去工资水平等相同) 的职工因退休时间上和缴费水平的不同，在体现过去养 老金权益的过渡性养老金待遇上产生了差异，所以，广东省采取截止计算年份 的方法，即1 1 节中的过渡性养老金计算方法。1 1 1 假设1 9 9 8 年y 岁男性“中人”缴费工资指数为睇，。，1 9 9 8 年y 岁女性“中 人”缴费工资指数为k 矗帅，那么1 9 9 3 年底前的视同缴费年限均为( y 一5 一b ) 一， 年，调整系数为m ，2 0 0 0 年( y + 2 ) 岁男女性“中人”月缴费工资分别为s 籀。：、 第3 章养老盒空帐的精算分析 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 一， 一， s 妊，：，1 9 9 3 年( y 一5 ) 岁男女性“中人”月标准工资分别为s 品。，；、s 二，轴一；， t 年x 岁男女性退休“中人”月过渡性养老金分别为破“、雅厂，1 9 9 9 年职工 月平均工资为s 。，。，那么， 一， o m pf m ，c m k 昌跏= ( 兰墼争1 2 + + 三! 塑尘 1 8 + 兰竺争( y 一5 6 ) 1 2 m ) ( 1 2 ( y + 2 5 6 ) ) s 1 9 9 9s 墨9 9 3 l ，oc 4j 硌眠，= ( 兰! 唑坠 1 2 + + ! 墼争1 8 + ! 竺争( y 一5 - b ) x 1 2 m ) ( 1 2 x ( y + 2 5 6 ) ) s 1 9 9 9s l s 9 9 3 b 0 ”= s 1 9 9 9 。k 品9 8 ，一“1 9 9 8 ( 工一t + 1 9 9 8 一b ) x j ( 1 + 口。1 ) ( 1 + 口，) + s 1 9 9 7 x 0 1 i 彰：7 = s 1 9 9 q k 二。一，“9 9 8x 0 一f + 1 9 9 8 一b ) x 肛( 1 + 。1 ) x ( 1 + a ，) + s 1 9 9 7 x o 1 所以，t 年x 岁男女性退休“中人”过渡性养老金分别为 b ? ? = b , 2 “x 1 2 耽7 = 耽7 1 2 因此，t 年“中人”过渡性养老金总给付额计算公式如下 ( a m c ) ：= 谨+ 暇”+ 掣+ 赡7 - 0 ) ，除数因子为f ( b 1 ，即养老金不是 一次支付给退休职工，而是采取分期支付的形式) 。【”l 命题1 设个人帐户的缴费率为舻( 包括单位缴费和个人缴费) ，投资收益 率为i ，除数因子为f ( f 卜1 ，即养老金不是一次支付给退休职工，而是采取分 期支付的形式) ，t 年x 岁参加养老金计划的实际缴费男女性职工分别为( c l ) l 、 ( c l ) 0 ，t 年x 岁男女性职工若在x 岁加入养老保险制度，则个人帐户养老金分 别为露、c 乏7 ，个人帐户将在。堕掣年后用尽，个人帐户补偿在t mp 年时为 即c ) ，= w r 1 - 1 4x ( c l z ) - 一。p t - x 。一 wb 一1 + ；荟。磊k ( 伽f x - - f 州肚斛乇 。 0 ，t _ n + t o 第3 章养老金空帐的精算分析随机利率下的社会养| 保险守帐问题研究 袁寺。c ：= 毯： lc ：= 或：1 聍2 妒x 暇蛐( 1 + i ) ”“ 磁75 伊s ( 1 + f ) ” 7 c t z ) l = ( c t ) - ( c l 2 1 ，。1 “球1 ，一1 ，工卜6 ( c l z ) 一( 以) o 一( 皿) o 以一，渺6 l ( c t ) g ，z = b v = ( 1 + f ) 1 证明：由于缴费人群会扩面，扩面后新增加的“中人”、“新人”缴费年限 与原先已参加保险的人不同，所以当t 年x 岁男女性职工在x 岁缴费，则缴费 在退休年龄时的积累值分别为 磷”= 艺妒配( 1 + f ) ”6 磁7 = 妒s 一( 1 十妒“ 其中，i 耍= 、i 夏i 分别为t - - x + h 年h 岁男女性平均缴费工资。 由于除数因子为f ，所以男女性职工个人帐户养老金为 c ：? = b ；2 7 c ；：f = b ：? l 如果个人帐户养老金可以支付1 1 年，那么男性职工在+ n 岁之前的养老会 折现回岁时是磊”( 1 + f ) - ，它等于所有缴赀在退休时的积累值，即 啦”( 1 + 旷6 叫：” = o 解方程可得。：尘坐；盟，其中，：( 1 + i ) 。 i n v 同理，可以知道女性职工个人帐户也是在，l ：尘坐二业年后用尽的。 i n v 当t + t o 时，最早退休的“中人”个人帐户余额大于零，因此个人帐户 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 第3 章养老金空帐的精算分析 补偿为零，即似c ) | = o 。 当f 苫n + t o 时，先考虑男性职工。在起始参加工作的岁数b 就加入养老金计 划的男职工为( c l ) 矗；对扩面增加的人，设t - 1 年x 1 岁参加养老金计划的实际 缴费男性职工为( c l ) 2 。，那么t 年扩面增加的x 岁男职工为 ( 血) 0 一( 也) 2 。以，。， 因此，t 年新增加的x 岁男职工为 z ) ：( 血) o 一( 皿汪雕t 一p 6 l ( c t ) s ，x = b 其中，p 0 为第t 年内制度覆盖男性人口在x 岁的生存概率。 在f z + z7 年x7 岁加入养老保险制度的男性职工活到t 年x 岁的概率为 一，茚一。一，那么t x + x 年r 岁的新增加的男职工忸z z 。，人，在t 年将存 活( c l z ) ：，。x x - x p r - _ 人。 t 年x 岁男职工的个人帐户补偿总额为c 0 “( c l z ) z - ，一一一尼- ，一， 那么，t 年男职工个人帐户补偿总额为c ? ( 以z ) 2 z * x , x xx - x p - ，r 7 。 同理，t年女职工个人帐户补偿总额为 7 ( 皿z ) o ，- n “以。一。 综上，个人帐户补偿在t 年时为 口c = w 一1 ，荟。磊锈”( c l z ) z 一一一一虻 凫一1 - 荟。荟嚷7 ( c 船z 。一一7 彪7 7 7 ，f 月+ 气 o ，t n + f o 7 第3 章养老金宁帐的精算分析 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 3 2 6 预测统筹基金总支出 由于统筹基金的支山包括“老人”养老金、“中人”基础养老余、“中人” 过渡性养老金、“新人”基础养老金、“中人”与“新人”个人帐户用尽后的补 偿，所以总支出在t 年的计算公式为 ( 爿p ) f = ( 4 d c ) 。+ ( a m c ) 。+ ( a m c ) ：+ ( a n c ) 。+ ( 爿c x 其中，( a e ) ，为t 年统筹基金总支出。 3 1 3 预测统筹基金的结余 设统筹基金的年度收入和年度支出都发生在年初，那么每年年初结余为 ( 一曰) ：= ( 彳，) ，一( 爿p ) ，( 3 - - 6 ) 其巾，q b ) ，为t 年统筹基金结余。 3 4 随机利率下的空帐期望现值 3 4 1 利息力与折现因子【3 1 j 考虑投资一单位本金，我们定义该投资在时刻t 的积累值为积累函数a ( f ) 由此可见口( 0 ) = 1 。一般情况下，本金金额不是一个单位，而是k 个单位，这时 定义一个总量函数爿( r ) ，它是本金为k 的投资在时刻t 时的积累值。积累函数口( f ) 的倒数v ( f ) 为t 时刻折现因子或折现函数。篇t 时刻折现因了v ( f ) 是为了使在t 时刻的积累值为1 ，而在开始时投资的本金金额。 某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时 投资的木金金额之比。通常，实际利率用字母i 表示。若投资期为多个或非整 数个度量期，那么，就有不同的度量方式，通常采用复利。下面简单介绍复利。 考虑投资一单位本金，直u 果其在t 时的积累值为： 口( f ) = ( 1 + f ) 1 r 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究第3 章养老金字帐的精算分析 那么，我们就说该笔投资以每期复利i 计恩，并将这样产生的利息称为复 利。 由上述定义可以发现，若以每期复利i 计息，那么，在投资期间，不同时 期将产生不同量的利息。但是，对于每期的实际利率，有： 卜a ( n ) - a ( n - 1 ) 。皇望二磐坚：f “ 口m 一1 )( 1 + f ) ”1 上式表明，常数的复利意味着常数的实际利率，而且两者是相等的。 现在，我们知道实际利率可以度量某个时间区间内的利息，但在很多情形 下，我们还希望能度量在每一时间点上的利息，也就是在无穷小时间区间上的 利息，这种对利息在各个时间点上的度量叫做利息力。 考虑投资一笔资金，设在时刻t 的资金金额由总量函数爿( f ) 给出，这笔资 金的变化完全是由于利息的原因，即本金既不加入也不撤回。 定义： 6 “1 ；盟：盟 、7 口o )爿o ) 称6 ( f ) 为该投资在t 时的利息力，即6 ( f ) 为利息在时刻t 的一种度量，由6 ( t ) 的定义可知，d ( f ) 为t 时每一单位资金的变化率。 将上式变形，有 d o ) = 五dl n 爿o ) = 面dl n 口o ) 用r 代替t ，然后将上式两端在0 到t 上积分，得 伽炒= 上导h 肿肌h 驯：乩器 从而 呻砂：a 3 a ；盟：口“1 爿( 0 )口( 0 ) 由此易知 v ( f ) ：p 嘶渺 理论上，利息力可以随时变化，即6 0 ) 随t 而任意变化。但是，实际上它 第3 章养老金空帐的精算分析随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 经常保持为常数或者在各个度量期上保持为常数。 假设d 。为从投资日算起的第n 个时期上的常数利息力。 即6 ( f ) ；瓯，月一1 s ts n 那么，。( f ) ：m 砂：4 缈j 耻。协。一 于是， f ：a ( n ) - a ( n - 1 ) ：盟一1 ：p n 一1 “ a ( n 一1 )a ( n 一1 ) 即为第n 个时期上的实际利率。 所以，利息力可以表示为 6 = l n ( 1 + i 、 3 4 2 利息力为正态分布 定义6 雎 - i n ( 1 + i k ) 表示第( k ，k + 1 ) 年的利息力，上式中的方括号表示利 息力适用于从k 一1 到k 的区间。 设统筹罐金从2 0 0 0 年开始算起，第t 年内的结余现值为： = 亦t e - 5 i k l = 脚e 铲 其中，( a b c ) ，为第t 年内统筹基金结余的现值。 由此，销t 年的累积结余现值1 为 ( 邶c ) t i ：| ；( a s c 卜妻( t x e 一种 r - 1 由文献【2 0 】，可以知道，若随机变量d 服从均值为，方差为口2 的_ f 态分 布，, l je e 的叩= e ( b , u + b 2 r t 2 1 2 ) 。 特别地，b 一1 时，研e 。1 1 】= e “”2 7 2 命题2 若随机变量岛。】服从均值为p ，方差为盯2 的正态分布，且6 昨】相互 统筹基金累积结余的现值小1 零时，就代表出现空帐 2 0 随机利率下的社会养老保险空帐问题研究 第3 章养老金空帐的精