清北学堂 2014年暑假高中数学竞赛班型入学测试

2014 年 暑假 高中 数学 竞赛 班型 入学测试 试卷说明 本测试与 2014 年 全国高中数学联赛 难度相当。 希望学员经由本试卷了解数学联赛题型及难度，对 14 年 9 月 全国高中数学联赛 举办之前的学习进度给出合理安排。 本测试用于学生对水平进行提前自我评估，测试答案将于 6 月 20 日中午 12:00，在清北学堂官方网站进行发布。如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案）以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。 （ 2014 年 暑假 集中培训课程使用） QBXT/JY/RXCS2014/6-1 2014-6-15 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂集中培训课程 入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年 暑假 高中 数学 竞赛 班 型 入学测试 一试难度 一、 填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64分 1、 正整数 500n ，具有如下性质：从集合 1,2, ,500 中任取一个元素 m，则 m 整除 n的概率是 1100 ，则 n 的最大值是 . 2、 数列 0 1 2,a a a ， ， 满足：01 13 , nn na a a a （ na与 na 分别表示 na 的整数部分和小数部分），则 2014a . 3、 将棱 长为 1的正方体 的八个顶点按红、蓝间隔染色，使得每条棱上的两顶点不同色；那么，由红色顶点连成的四面体与由蓝色顶点连成的四面体的公共部分的体积是 4、 设偶函数 fx满足： 12f ，且当 0xy 时， 22 f x f yf x yf x f y ，则 5f 5、 zyx , 是 不 同 的 正 整 数 ， 若 )2(,)1(, 222 nnnxzzyyx ，则222 zyx 的最小值是 _ 6、 如果 2 12|c o ss in| qp 对于任意的 2,0 恒成立，则 qp = . 7、 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是顶角为 060 的菱形，侧面与底面的夹角都为 060 ，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为 1，则棱锥的体积为 8、 椭圆 22 1 0xy abab 的中心，右焦点，右顶点，右准线与 x 轴的交点依次为, , ,OFGH ，则 FGOH 的最大值为 . 清北学堂集中培训课程 入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 二、 解答题：本大题共 3 个小题，共 56 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 9、（ 16 分 ） 给定圆 P： 222x y x及抛物线 S： 2 4yx ，过圆心 P 作直线 l ，此直线与上述两曲线的四个交点，自上而下顺次记为 , , ,ABCD ，如果线段 ,ABBCCD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线 l 的方程 . 10、（ 20 分 ） 已知函数 )(nf 是定义在 N 上的严格增函数，其值域也在 N 之中，且满足nnff 3)( .求 (2014)f 11、 （ 20 分 ） 各项均为正数的数列 na ， 12,a a a b，且对满足 m n p q 的正整数, , ,mnpq 都有 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )pqmnm n p qaaaaa a a a （ 1）当 14,25ab时，求通项 ；na （ 2）证明：对任意 a ，存在与 a 有关的常数 ，使得对于每个正整数对于每个正整数 n ，都有 1 .na 清北学堂集中培训课程 入学测试 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 加试难度 一、（本题满分 40 分） P 为锐角 ABC 内一点，直线 al 和 PA 关于 A 的角平分线对称，直线 bl 和 PB 关于 B 的角平分线对称， 直线 cl 和 PC 关于 C 的角平分线对称， 1 证明,a b cl l l 三线交于一点 Q ； 2 若 P 在三条边 ,BCCAAB 上的投影分别为 ,DEF ，证明 P为 DEF 的重心的充分必要条件是 Q 为 ABC 的重心。 二、（ 本题满分 40 分）已知 ,xyz 是正实数， 证明2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2 4x y y z zxx y z x y z x y z 。 三、（ 本题满分 50 分） 求不定方程 n14 +n24 +n134 = 2014的所有非负整数解。 四、（ 本题满分 50 分） 设正八边形 P 的所有顶点和对角线的交点的集合为 M ，所有边和对角线上两个端点属于