（光学专业论文）量子信息过程的光学实现.pdf

2 0 0 5 年4 月中圉科学技术大学储 。学位论文 摘要 信息科学在改善人类的生活质量和推动社会文明发展中发挥着无可比拟和 令人惊叹的作用。但是随着人们对信息需求的日益增加，现有的信息系统越来越 不能满足人们的需求。这时候一门新兴的信息科学量子信息学便应运而生。 它是量子力学和信息理论相结合的产物，包括：量子密码术，量子通信，量子计 算和量子测量等。量子信息的载体是量子态。量子态的制备、加工、传输以及存 储的过程叫做量子信息过程。目前，人们主要在以下的量子系统中来研究量子信 息过程：光学系统，离子阱，腔q e d ，核磁共振( n m r ) 等。这些系统中光学 系统的研究相对全面，而且光子的偏振由于其消相干时间长和受环境影响不大等 特性，在将来的量子通信中将有广泛的应用前景。由于现在还没有很好的单光子 光源，人们在光子学系统中研究量子信息过程时主要采用自发参量下转换过程产 生的双光子对作为光源。自发参量下转换过程产生的双光子纠缠态在实验上实现 了量子隐形传态，量子密集编码和量子密码等许多重要的实验，充分展示了量子 信息科学的独特魅力。尤其是超短脉冲泵浦的自发参量下转换技术成为了人们关 注的热点它是很多量子信息实验的研究基础。以上就是本人把量子信息过程在 光学系统中的实现作为博士学位论文来研究的主要原因。本文主要实验上取得以 下的研究成果： 用线性光学器件制备w 态 量子信息过程的第一步就是要实现量子态的制备。单比特量子特的制备在实 验上已经比较成熟。两比特( 或者两体) 纠缠态的制备在光子学系统中已经得到 较为系统的研究尤其是用连续光泵浦的自发参量下转换过程已经制各出了相当 好的两光子偏振纠缠念。由于用连续光泵浦的自发参量下转换过程研究多光子纠 缠比较困难，但是自从超短脉冲泵浦的自发参量下转换过程发现，使得人们制各 多光子纠缠态成为可能。b o u w m e e s t e r 等人首先制各出了三光子的偏振g h z 态。 我们利用超短脉冲自发参量下转换所产生的四光子和线性光学器件提出了 一个三光子偏振w 态的制备方案( 第二章第三节) ，并且讨论了非理想光学器件 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学博七学位论文 的影响。该方案的成功概率为1 3 6 ，而且利用现有的技术完全可以实现。 i l 、远程态制备及远程操控 信息学的一个重要过程就是信息的传递。量子态作为量子信息的载体，量子 态的传递和远程操作就成了研究量子信息必不可少的一个环节。量子隐形传态完 成了一个完全未知量子态的远程传送，同时也展现了量子信息学神奇的一面。隐 形传态过程中要求进行b e l l 基测量，并且传送一个单比特量子态需要一个纠缠 比特( 即一对处于最大纠缠态上的粒子) 和两个经典比特信息的通讯。现在实现 四个b e l l 基的完全测量还比较困难，而且很多时候人们知道被传递量子态的部 分信息，后来人们提出了远程态制备( r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o n ) 方法。它可以 用更少的经典信息并且不需要进行b e l l 基测量。我们首次在光学系统中完成了 任意单比特量子态的远程传送( 第五章第二节) ，并且分析了消偏振信道和消位 相信道的影响。我们得到的实验结果和理论分析相一致。 完成态的远程传递以后，但是如何完成量子操作的远程实现呢? 我们在实验 上完成了与仃，对易的操作( 即旋转操作) 的远程实现( 第五章第三节) 。我们得 到的保真度达到9 6 。在我们方案的基础上加一个4 5 。的半波片就可以完成与盯+ 反对易操作的远程实现。 在以上两个实验中，我们采用i i 型自发参量下转换过程( s p d c ) 产生的纠 缠双光子对作为光源。 i i i 、混态几何位相的测量 在上世纪三十年代末就有人在光学实验中注意到了几何位相，此后不断有 人在实验中观测到它的存在。但是一直没有受到人们的重视。直到1 9 8 4 年b e r r y 从量子力学中具有相当普遍意义的绝热定理出发，成功的将几何位相的几何性质 显示出来。接下来，在大量的实验中重新观测到了几何位相，其中有大量的光学 实验。由于几何位相的演化和量子门操作的具体过程没有关系，只和量子态所经 过路径的区域有关，人们发现可以用它来实现容错量子计算。此后人们把几何位 相的研究推广到了混态，发现了一些有趣的性质。比如在干涉实验中，在某一干 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学悄l ：学位论文 涉臂施加产生几何位相的操作不仅产生干涉条纹的移动，而且还影响到干涉条纹 的可见度。 我们在光学系统中测量得到了混态几何位相( 第四章第三节) 。实验上我们 把i 型自发参量下转换过程产生的光子对中的一个制备到所需要的混态上，并且 利用其中一臂有加入几何位相操作的m - z 干涉仪来测量这个混态的几何位相。 i v 、用信道干涉提取量子信息 量子信息过程的最后一步就是对信息的提取。由于量子态的特殊性质，在信 息提取上经典信息的提取要困难。现有的信息提取方式有：量子测量和量子层析 技术。当然利用对b e l l 不等式的违背以及最近有人提出来的纠缠目击者( e n t a n g l e w i t n e s s ) 技术也可以得到部分信息。最近人们发现只知道单个信道的知识不足以 了解两个信道同时作用时的情况。利用它们之间的干涉可以提取出对单个信道测 量所无法得到的信息。更为有趣的是，在利用量子层析技术得到的两个信道所反 映的映射完全相同时，干涉可见度仍然会随着信道的不同而在0 和一之间变化。 我们在实验上通过不同量子信到之间的干涉得到了和理论预期相同的结果 ( 第五章第三节) 。这罩我们也是把i 型白发参量下转换过程产生的光子对中的 一个制备到所需要的量子态上作为输入态。 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学博1 学位论文 a b s t r a c t i n f o r m a t i o ns c i e n c ea c t st h eg r e a ti m p o r t a n tp a r ti ni m p r o v i n gt h eq u a l i t yo f p e o p l ea n dp r o m o t i n gt h ed e v e l o p m e n to ft h ec i v i l i z a t i o no ft h es o c i e t y b u t ，w i t ht h e p e o p l ei n c r e a s i n gd e s i r ef o ri n f o r m a t i o n ，t h ee x i s t i n gi n f o r m a t i o ns y s t e mc a nn o t r e a c ht h er e q u i r e m e n to fp e o p l en o w a n dan e ws u b j e c t ，q u a n t u mi n f o r m a t i o n t h e o r y ，h a sb e e nd e v e l o p e da st h ec o m b i n a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c sa n d i n f o r m a t i o nt h e o r yq u a n t u ms t a t ei st h ec a r r i e ro fq u a n t u mi n f o r m a t i o n t h ep r o c e s s o fp r e p a r a t i o n 、o p e r a t i o n 、t r a n s m i s s i o na n ds t o r a g eo ft h eq u a n t u ms t a t ea r ec a l l e d q u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s t h e r ea r es e v e r a lq u a n t u ms y s t e m su s e dt os t u d yt h e q u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s ，s u c ha s ：p h o t o n 、y a p p e di o n s 、c a v i t y q e da n dn m r t h et e c h n o l o g yo fp h o t o ni sm o r ep e r f e c t ，a n dt h ep o l a r i z a t i o no fp h o t o n sc a nb ea e x c e l l e n tq u b i tf o ri t sl e s si n t e r a c t i o nw i t he n v i r o n m e n ta n dl o n gd e c o h e r e n c et i m e p r e s e r v a t i o n s p o n t a n e o u sp a r a m e t r i cd o w n - c o n v e r s i o ni sag o o ds o u r c et op r o d u c e p a i r so fv i s i b l ep h o t o n sw h i c ha r ee n t a n g l e di np o l a r i z a t i o n i th a sb e e nu s e dt o d e m o n s t r a t eq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n 、q u a n t u md e n s ec o d i n ga n ds oo n e s p e c i a l l y ，t h e s p d cp r o c e s sw i t hu l t r a s h o r tp u m pp u l s e si se x p e c t e dt ob ec r u c i a lf o rc a r r y i n go u t m a n yi m p o r t a n te x p e r i m e n t si nt h ef i e l do fq u a n t u mi n f o r m a t i o n t h i st h e s i sm a k e s s o m er e s e a r c ho nt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s sb yu s i n gt h es p d cp r o c e s sw i t l l u l t r a s h o r tp u m pp u l s e s t h em a i nr e s u l t so ft h ed i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w ： 1 p r e p a r a t i o no fw s t a t eb yu s i n gl i n e a ro p t i c a le l e m e n t s t h ef i r s ts t e po fq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s si st h ep r e p a r a t i o no fq u a n t u ms t a t e s i n g l eq u b i ts t a t ec a nb ep r e p a r e dp e r f e c t l yi nm a n yq u a n t u ms y s t e m s e n t a n g l e d s t a t eo ft w op a r t i c l e s ( o rt w oq u b i t s ) h a sb e e ns t u d i e ds y s t e m i c a l l yi n p h o t o n i c s e s p e c i a l l y , w e l lt w o p h o t o np o l a r i z a t i o ne n t a n g l e ds t a t eh a sb e e ng e n e r a t e db yu s i n g t h es p d cp r o c e s sw i t hc o n t i n u o u sw a v ep u m p f o rt h el i m i t a t i o no ft h es p d c p r o c e s sw i t hc o n t i n u o u sw a v ep u m p ，i tc a n n o tb eu s e dt og e n e r a t em u l t i - p h o t o n e n t a n g l e ds t a t e s w i t ht h ea p p e a r a n c eo ft h es p d cp r o c e s sw i t hu l t r a s h o r lp u m p p u l s e s ，i t c o m e st ob er e a l i z a t i o no fp r e p a r i n g m u l t i p h o t o ne n t a n g l e m e n t 2 0 0 5 年4 月 中因科学技术入学博i 学位论义 b o u w m e e s t e ra n dh i s c o o p e r a t o r s h a v e p r o d u c e dt h r e e p h o t o n g h zs t a t e e x p e r i m e n t a l l y w ep r e s e n tas c h e m et op r e p a r et h r e e p h o t o nws t a t eb yu s i n gt h es p d cp r o c e s s w i t hu l t r a s h o r tp u m pp u l s e sa n dl i n e a ro p t i c a le l e m e n t s ( s e c t i o n3 i nc h a p t e ri i ) w e c a ns u c c e s s f u l l yg e tws t a t ew i t hp r o b a b i l i t y1 3 6 ，a n dt h i ss c h e m ei sr e a l i z a b l eb y u s i n gt h ee x i s t i n gt e c h n o l o g y 2 r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o na n dr e m o t ec o n t r o l t h et r a n s m i s s i o no fi n f o r m a t i o ni soneo fi m p o r t a n tp r o c e s s e si ni n f o r m a t i o n s c i e n c e q u a n t u ms t a t ei st h ec a r t i e ro fq u a n t u mi n f o r m a t i o n ，s ot h et r a n s m i s s i o na n d o p e r a t i o no fq u a n t u ms t a t ei sc r u c i a lw h e nw es t u d yt h eq u a n t u mi n f o r m a t i o n q u a n t u mt e l e p o r t a t i o ng i v e su sam e t h o dt ot r a n s m i ta nu n k n o w nq u a n t u ms t a t e b u t b e c a u s ei tr e q u i r e sb e l ls t a t em e a s u r e m e n tw h i c hi sd i f f i c u l tt or e a l i z ea n dp e o p l e k n o w ns o m ei n f o r m a t i o no f t h es t a t et ob et r a n s m i t t e d ，r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o n ( r s p ) i sd e v e l o p e d r s pu s e sl e s sc l a s s i c a li n f o r m a t i o nt h a nq u a n t u mt e l e p o r t a t i o na n dd o e s n o tr e q u i r eb e l ls t a t em e a s u r e m e n t w eh a v ep e r f o r m e dt h ef i r s te x p e r i m e n tt or e a l i z e t h ep r e p a r a t i o no fa n ys i n g l eq u b i ts t a t ew i t hp o l a r i z e dp h o t o n sf r o ms p d c ( s e c t i o n2 c h a p t e ri n ) w ea l s od i s c u s s e dt h ee f f e c t so fq u a n t u mn o i s yc h a n n e l t h e e x p e r i m e n t a lr e s u l t sm a t c ho u rt h e o r e t i c a lp r e d i c t i o nw e l l r e m o t es t a t ep r e p a r a t i o ni st h es p e c i a lc a s eo fq u a n t u mr e m o t ec o n t r 0 1 w eh a v e i m p l e m e n t e dt h eo p e r a t i o nc o m m u t e dw i t h 口：r e m o t e l y ( s e c t i o n3c h a p t e ri i i ) a n d w eg e tt h ef i d e l i t yo f9 6 o u rs c h e m ec a na l s ob eu s e dt or e m o t e l yi m p l e m e n tt h e o p e r a t i o na n t i c o m m u t e dw i t ho ： i nt h i st w oe x p e r i m e n t s ，t h ee n t a n g l e dp o l a r i z e dp h o t o np a i r sf r o ms p d c p r o c e s sa r eu s e dt ob et h el i g h ts o u r c e 3 m e a s u r e m e n to f g e o m e t r i cp h a s ef o rm i x e ds t a t e i n19 3 0 s ，s c i e n t i s t sh a v et a k e nn o t i c eo ft h ee x i s t e n c eg e o m e t r i cp h a s ei no p t i c e x p e r i m e n t s i nt h ef o l l o w i n gd e c a d e s ，p e o p l eh a v eo b s e r v e di ti nm a n ye x p e r i m e n t s b u ti td i dn o ta t t r a c tt h ei n t e r e s to ft h em o s t o fp e o p l eu n t i lb e r r yi n t e r p r e t e dt h e 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学博士学位论文 g e o m e t r i cc h a r a c t e ro fg e o m e t r i cp h a s ei n a d i a b a t i cq u a n t u ms y s t e m a f t e rt h a t ， s c i e n t i s t sh a v er e o b s e r v e dg e o m e t r i cp h a s ei nm a n ye x p e r i m e n t si n c l u d i n go p t i co n e s g e o m e t r i cp h a s ec a nb eu s e di nf a u l t t o l e r a n tq u a n t u mc o m p u t a t i o nf o ri t se v o l u t i o n i si n d e p e n d e n to ft h es p e e do fq u a n t u mg a t ea n dd e p e n do n l yo nt h ea r e ao ft h ep a t h t h eq u a n t u ms t a t et a k e si nh i l b e ns p a c e r e c e n t l y ，t h er e s e a r c ho fg e o m e t r i cp h a s eh a sb e e ne x t e n d e dt om i x e ds t a t e s u s i n gi u t e r f e r o m e t r y i tw a sf o u n dt h a tg e o m e t r i cp h a s ec o n t r i b u t en o to n l yt ot h e p h a s eo fs t r i p eb u ta l s ot ov i s i b i l i t y w eh a v ef i n i s h e d a ne x p e r i m e n t ( s e c t i o n4 c h a p t e ri i i ) t os t u d yt h eg e o m e t r i cp h a s ew i t hs i n g l ep h o t o n sw h i c hc o m ef r o mo n eo f t h ep h o t o np a i ro fs p d c ( t y p e1 ) ，t h eo t h e ronei st h e t r i g g e r 4 e x t r a c tq u a n t u mi n f o r m a t i o nb yu s i n gi n t e r f e r e n c eo fq u a n t u m c h a n n e l t h el a s ts t e po fq u a n t u mi n f o r m a t i o ni st or e a dt h ei n f o r m a t i o nw eh a v eo p e r a t e d b u ti ti sm o r ed i f f i c u l tt or e a dq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h a nc l a s s i c a lo n eb e c a u s eo f c h a r a c t e ro fq u a n t u mm e a s u r e m e n t q u a n t u mm e a s u r e m e n ti n c l u d i n gt h et e c h n o l o g y q u a n t u ms t a t e p r o c e s st o m o g r a p h yi st h em e t h o du s u a l l yu s e dt oe x t r a c tt h eq u a n t u m i n f o r m a t i o n b e l l si n e q u a l i t ya n de n t a n g l ew i t n e s sc a na l s oh e l pu sr e a ds o m e i n f o r m a t i o n r e c e n t l y , i ti sf o u n dt h a tk n o w l e d g eo ft h ei n d i v i d u a lq u a n t u mc h a n n e l s a l o n ei si n s u f f i c i e n tt os p e c i f yt h ea c t i o no fs i m u l t a n e o u so p e r a t i o no fb o t hm a p s ( o n e q u a n t u mc h a n n e lc o r r e s p o n d st oo n ec pm a p s ) a n dd e t e r m i n a t i o no f t h ei n t e r f e r e n c e o ft h et w om a p sr e v e a l sa d d i t i o n a li n f o r m a t i o nn o tp r e s e n ti nt h e i rc o h e r e n t p r o p e r t i e s w eh a v ee x t r a c t e di n f o r m a t i o ni n a c c e s s i b l et oc o n v e n t i o n a lp r o c e s st o m o 瞽a p h y e x p e r i m e n t a l l y v i ai n t e r f e r e n c eo fq u a n t u mc h a n n e l ( s e c t i o n5c h a p t e ri i i 、o n e p h o t o nf r o mt y p eis p d ci su s e dt op r e p a r et h ei n p u ts t a t e 2 0 0 5 年4 月中国科学技术人学博l 学位论文 致谢 在论文完成之际，作者由衷的感谢导师郭光灿教授五年来对我悉心指导， 使我得以顺剥完成这篇论文。导师渊博的学识、敏锐的物理直觉、富有创新的科 研思想以及善于抓住问题的物理本质的做法无不给我留下了深刻的印象，使我终 身受益。此外，导师善于引导学生择研究课题，却从不强制，在学术讨论中常常 鼓励学生的创新想法，这种作风也使我受益非浅。在生活方面，导师也给予我极 大的关心和帮助，在此再一次向导师表示我衷心的感谢。 我特别感谢李剑博士，李博士指导并帮助我完成了一系列实验s - 作，他富于 开拓创新精神，扎实的数理基础，并具有锲而不舍的钻研精神，这些都给我以巨 大的帮助和启发。李剑博士从课题的讨论到论文的写作和修改都给了我许多具体 的指导。五年来，我们一直共同分享实验工作中的艰辛与快乐。李剑博士是我工 作学习中的良师，日常生活中的益友。在此向李剑博士表示衷心的感谢， 我对实验室的史保森博士、江云坤博士和黄运锋博士也表示衷心的感谢，他 们一直在实验工作上给我以无私的帮助。 在此我还要感谢实验室的叶淮老师和王涛老师，几位老师在实验室的后勤、 行政工作方面提供了热情、周到的工作保障，实验工作能够顺利进行是与他们的 努力分不开的。而且在生活方面，几位老师也给予我极大的关心和帮助，在此再 次表示感谢。 五年来，我得到了实验室全体成员的许多帮助，这是一个充满良好学术氛围 的，互助友爱的集体，在此谨向他们表示感谢，他们是：韩正甫老师、段路明博 士、周正成博士、张永生博士、刘金明博士和研究生：郭国平，韩永建，孙方稳， 任希锋，喻擘，柳必恒，林青，张沛，陆小松，张辉等，以及实验室其他的博士 生和硕士生同学。 最后，我要感谢家人和女友对我学业上的大力支持、鼓励和关怀，使我得以 顺利完成学业。 项国勇 二零零五年四月 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学博t j 学位论文 第一章量子通信的基本理论 人类在生产和生活中都要有信息的交流。信息学是一门研究信息的处理、 传输和存储的科学。信息科学在改善人类的生活品质以及推动社会的文明发展中 发挥着令人惊叹的作用，这是其他学科所无法比拟的。随着2 0 世纪下半叶电子 计算机的出现和性能的不断提高，人们对于信息的存储、处理能力也得到大大地 提高：在信息的传输方面，光电通信技术的日益成熟使得人们终于可以在信息交 流的意义上将地球当作一个“地球村”。但是同时人们对信息处理、传输和存储 的需求也日益增加，这种需求是没有止境的。虽然人们也在不断地致力于信息技 术的进一步发展，但同时也有人开始讨论和研究是否存在新的原理和方法可以解 决现在的窘境，以满足人类社会需求。于是一门新兴的交叉科学量子信息学 便应运而生。二十世纪初发展起来的量子力学具有一些奇妙的特性，是继相对论 之后人们对客观物质世界的本质认识的一大进步。量子特性在信息领域中有着独 特的功能，在提高运算速度、确保信息安全等方面可能突破现有的经典信息系统 的极限。量子信息学将信息学和量子力学有效地结合起来，并且将信息科学的发 展带入了一个新天地。 量子信息学包括：量子密码术、量子通信、量子计算和量子测量等。随着进 几年量子信息学在理论和实验上取得的一个个重要突破，各国政府、科技界和信 息产业界也越来越重视量子信息学的研究。这罩我们着重介绍量子信息学的重要 分支之一量子通信。量子通信是量子信息学中研究较早也是发展较为充分的 领域。广义上讲，它包括量子密码术、密集编码、远程量子通信，以及量子通信 复杂度等。 第一节量子比特 在经典信息论中，信息量的基本单位是比特( b i t ) 。一个比特就是一个拥有 两个可能取值( 0 和1 ) 的系统。从物理实现的角度来说，就是要设计一个拥有 两个可以区的状态的物理系统，这两种状态之问有巨大的能量壁垒以致于它们之 间不能进行自发的相互转换。在数字计算机中电容器平板之间的电压可表示信息 中国科学技术大学博士学位论文 比特，有电荷代表1 ，无电荷代表0 。一个比特的信息还可以用光子的两个不同 偏振状态或原子的两个不同能级来编码。 在量子信息学中量子信息的基本单位是量子比特( q u b i t ) 。它也是一个两 态系统，这两种状态常记为f 0 ) 和f 1 ) 。任何有两个量子态的量子系统都可以作为 量子比特。量子态区别于经典态的最重要的性质在于它的相干叠加性。同样一个 量子比特也可以表示为上面两种状态的叠加 i y ) = 口l o ) + 卢1 1 ) ，p 1 2 + i p l 2 = l 。 ( 1 一1 1 ) 当我们测量这个量子比特时，我们发现有h 2n ) i - 率n n “0 ”并且有例2 的几率 得到“】”， p ( 0 ) = l 口1 2 ，p ( ”1 ”) = l p l2(1-12) 经典比特可以看成量子比特的特例( 口= 0 或卢= 0 ) 。 从上面我们可以看出，量子比特实际上可以说是一个二维h i l b e r t 空间。一 般地，n 个量子比特的态张起个2 ”维h i l b e r t 空间，存在2 ”个互相正交的态， 即有2 ”个基态为f f ) ，f 是一个n 位二进制数。 个量子比特的一般态可以表示成 为这2 ”个基态的线性叠加。例如3 个量子比特有8 个相互正交的态，它的基态 可以取作 j o o o ) ，1 0 0 1 ) ，j o l1 ) ，j l l l ) 。 ( 1 - 1 3 ) 它的一般态为 妒) = c 1 ( 1 1 4 ) f f ) 就是式( 1 2 ) 中的8 个态之一，c i 是叠加系数。 在实验中任何两态的量子系统都可以用来制备量子比特，常见的有：光子 的正交偏振态、电子或原子核的自旋、原子或量子点的能级、任何量子系统的空 间模式等。 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学博卜学位论立 第二节量子不可克隆定理 2 。1 量子不可克隆定理 在经典力字中，糸统的状态是口j 以精确地得剑夏制的，称作“兄瞳”。1 旦是 在量子力学中，量子态是不是也和经典比特一样可以得到精确的克隆呢? 1 9 8 2 年，、k w o o t t e r s 和w h z u r e k 1 】和d d i e k s 2 各自独立发现了著名的量子态 不可克隆定理。他们的文章证明了由于量子力学的线性特性，未知的量子态是不 可以得到精确的克隆的。 量子不可克隆定理的证明其实非常简单。以两态量子系统为例，其矢量选 择为i o ) 和1 1 ) ，设1 j ) 代表此二维h e l b e r t 空间任意量予态，量子克隆过程可以表 示如下： 1 4 1 0 ) 。寸怫) 巨) ，( 1 - 2 - 5 ) 式中右端i s ) i s ) 表示初始模和复制模均处于l s ) 态， q ) 。和l 画。) ，分别为装置在复 制前后的量子态，复制后装置的量子态i 互，) ，可能依赖于输入态l s ) 。假如存在 ( 1 2 5 ) 式的变化，那么基矢j o ) 和1 1 ) 应该分别有以下变换： i o l o 。- 1 0 1 0 1 0 。) ，( 1 - 2 - 6 ) i i i q ，寸| 1 ) | 1 ) ，。( 1 - 2 7 ) 现假设i s ) 是一个任意的叠加态，即： j s ) = 口l o ) + 1 1 ) ，p 1 2 + i 卢1 2 = 1 。( 1 - 2 8 ) 由式( 1 - 2 6 ) 和( 1 - 2 7 ) 及量子操作的线性特征，不难得到在操作后，| s ) 的演化 为i s ) i o ，2 ( - l o + 卢1 1 ) ) i q ) ，斗口i o ) l o ) 恒。) ，+ 卢l , 1 1 l o 。) ，。如果复制基的态 l 亘。) ，和i 互。) ，不恒等，那么上式给出的初始模和复制模均处于f o ) 和l 】) 的混合态； 如果态i 画。) ，和亘) ，恒等，则初始模和复制模将处于纠缠态口i o o ) + 剧1 1 ) 。无论 哪种情况，初始模和复制模都不可能处于直积态i s ) 。因此，如果一个量子复 2 0 0 5 年4 月中国科学技术 学博士学位论文 制机能精确复制态l o ) 和1 1 ) ，则它不可能复制两态的叠加态l s ) ，此即量子不可克 隆定理的内容。 上面的证明是基于量子叠加原理的，它的行之有效至少需要3 个量子态， 因此他没有排除克隆两个量子的可能性。后来h py u e n 和gm d a r i a n o 3 ，4 推广了量子不可克隆定理，使之适用于两态的情况，指出如果克隆过程可以表示 为一幺正演化，则幺正性要求两个态可以被相同的物理过程克隆，当且仅当它们 相互正交，亦即非正交念不可克隆。该结果的证明很简单，设两个态i 。) 和i p ，) 同时被一幺f 过程u 所克隆，即 叫。) 1 ) l 功，= i 。) l 缈。 1 0 0 ，( 1 - 2 9 ) u i | 】f ，) i ) l q ) ，= l y ，) i i 】f ，) i 百。) ， ( 1 2 一z o ) 其中i q ) ，、io ) ，和i 豆。) ，均为归一化的量子态，态1 ) 表示复制模的初态。式 ( 1 2 - 9 ) 和( 1 21 0 ) 的内积给出 | ( y 。i p ) i = | ( y 。l y ，) 1 2 i ， m ) 的普适克隆机，即有m 个输入态，n 个输出态，其最大的保真度由d b r u s s 等【6 ，7 人证明为 ( 删) = 然 ( 1 - 2 - 1 4 ) 显然当m = i ，n = 2 时，最佳保真度为5 6 。这说明b u z e k h i l l e r y 设计的普 适克隆机已经达到了最大的保真度。 普适量子克隆机对每个输入态都是以同样的保真度得到输出的复制态，也 就是说，输出态不是输入态的精确复制。1 9 9 8 年，段路明和郭光灿把幺正演化 和测量过程结合起来从而构造了概率量子克隆机。它以确定大于零的概率产生输 出，而且输出态一定是输入态的精确复制态。在构造概率克隆机的过程中，测量 和合适的幺正演化都是不可或缺的。如果只有幺f 演化，非币交态不可克睦定理 告诉我们非f 交态不可精确克隆：另一方面，如果只有测量，当输入态为非诈交 2 0 0 5 年4 月中国科学技术犬学博士学位论文 6 态时，机器不可能对其中任意一个输入念都以大于零的概率产生输出，且输出态 还应该是输入态的精确复制态。因此，构造概率量子克隆机的关键是要根据测量 过程设计出合适的幺正演化以达到最大成功克隆的概率。例如，要把模a 的输 入态l 帆) ( s o 或l ，且l 。) 和l ) 非正交) 复制到模b 上。事先模b 和一个辅 助模p 被制各在初态 o ) 上。我们可以设计出一个作用在体系a b p 上的幺正演化 使得 u ( 1 甲，) 。i o ) 。i o ，) = 叩l 甲，) 。l y ，) 。i o ，+ l 一叩l 甲。) 1 1 ) ，( 卜2 一1 5 ) 其中，i o ) ，和f 1 ) ，为模p 的两个相互正交的态，不论输入态为l 。) 或f ) ，演化 末态都是上式右边的形式，而且玎不依赖于输入态。上式右边第一项表示体系 a b 处于输入态的精确复制态，而后一项表示体系a b 的态与输入态有偏差，为 非复制态。我们设f o ) ，和f 1 ) ，为模p 的某个力学量的本征态，这样通过测量耳， 以玎的概率我们可以克隆输出输入态的精确复制态，以1 一玎的概率发现克隆失 败。段和郭在他们的文章中证明，如果输入态集合 i 妒。) ，i 伊。) ) ，则概率量子克 隆机的最高效率为： 玎 1 币歹币砑。 ( 卜2 一1 7 ) 显然，只有对正交输入态，该效率| 能达到1 ，也就是说，只有输入态为正 交态时，克隆成功的概率彳为1 0 0 。 3 1 纠缠态的定义 第三节量子纠缠态 考虑量子力学体系a 和b 组成的二体体系。设体系a 的一组完备力学量集 的共同本征态 彬) 。) ，体系b 的一组完备力学量集的共同本征态f l ) 。 。这里 f 和，分别代表体系a 和b 的一组完备量子数。 i ) 。) 和 i ，) 。) 的直积形式 l ) 。i l f f ，) 。) 构成了复合体系a + b 的一组完备基，这样复合体系的任意量子 2 0 0 5 年4 月中国科学技术大学博士学位论文 态i 妒) 。可以表示成它们的线性叠加形式 l ) 。= c 。l 妒，) 。| ，) 。 ( 1 3 1 8 ) ， 当上式右边至少有两项，即| ) 。不能表示成直积形式的态时，我们称态i p ) 。为 纠缠态。这时a 和b 两个体系被称作是相互纠缠的。以上的讨论可以推广到多 体系或多自由度体系：若整个体系的量子态不能表示为各个子系统的直积形式， 则称为纠缠态。 上面描述的只是体系的量子态为纯态时的情况，若体处于混合态( 用密度矩 阵p 表示) 则纠缠的定义要复杂一些。以两子系统为例：若体系的量子态密度矩 阵可以表示成 p 口= 0 p 。，p 毋 ( 1 3 一1 9 ) ， 则a 、b 体系间不存在纠缠，反之则称体系a 和b 处在纠缠态上。 当两个子体系共处于纯态i ) 时，若各子系均处于密度矩阵为单位矩阵或其 倍数所描述的态时，称态l ) 为这两子系的最大纠缠态。 3 2e p r 佯谬和b e l l 不等式 一、e p r 佯谬 a e i n s t e i n ，b p o d o l s k y 和n r o s e n 在1 9 3 5 年发表了一片简短的论文 1 0 ， 对量子力学的基本原理和概念的诠释( c o p e n h a g e n 诠释) 提出了尖锐的批评 在该文中，他们假定了两个粒子( 粒子l 和粒子2 ) 处于如下的量子态中： w ( x 】，x 2 ) 2 e x p