（计算数学专业论文）关于前向后向热方程的数值方法.pdf

摘要 本文主要研究一类特殊的热方程，前向后向热方程的数值方法，包括差分 方程的构造，误差估计，数值求解等问题，研究分别对一维问题和二维问题进行 展开。 差分方法是解偏微分方程定解问题的常用近似方法之一。文献 2 2 】给出了 一维前向后向热方程的一种差分格式，即在两个子区域分别应用前向和后向差 分格式，而在交界线应用二阶中心差分格式，本文对此差分格式进行了改进，在 交界线上应用粗网格的中心差分格式。 令让为r - j 题( 2 1 ) 的准确解，z 为差分方程组( 2 2 3 ) - ( 2 2 5 ) 的解，定义误差目= u ( i h ，歹下) 一霉，则有： 定理2 2 令q 是q 的闭包。如果云1j 酉0 2 u f ，壶j 象j 在q 上有界，且有界常数 为g ，则 l i e i i 妄g ( 7 - 4 - h 24 - h 3 ) ，( 1 ) 其中，l i z l l ，= m a , x c h j r ) “l 层| 因为本文构造的差分格式对前向后向热方程而言是隐格式，因此我们用基 于区域分解的迭代方法进行数值求解。 定理2 3 令，2 ( 1 j n l ，尼= 0 ，1 ，) 是迭代方程组( 2 3 7 ) - ( 2 3 9 ) 的 解，4 ( 1 j n 一1 ) 是差分方程组( 2 2 3 ) 一( 2 2 5 ) 的解，则有 1 臼m s a x 一1 ( 1 名一妒七+ 1 1 ) ( 1 一日) 1 9 m a x 一1 ( 1 晶一c k j 1 ) ， ( 2 ) 即当七一c o 时，矿七收敛于晶，且收敛率为1 一日 这个结果比文f 2 2 】中的结果要好。同时，我们对此方法在二维情况下进行了 推广，得到： 定理3 1 假职互1 l 丽0 2 u l 壶i 嘉| 壶i 券 在q 的闭包上有界，贝i j l i e l l 2 c o ( 7 - 4 - h 24 - h 3 ) ， ( 3 ) 其中，岛为有界常数， 2 ( 蚺m a r x e 针k 摘要 i i 定理3 2 对1 j m 一1 ，1 k n 一1 ，p = 0 ，l ，有 。鼢。器。( 嗡一啪) ( 1 一南一九) ，妪t - i t a m x ，g m a x ( 一谚, p - 1 1 ) ( 4 ) 显格式容易实现，但稳定性条件限制了时间步长的取值，而隐格式虽然无 条件稳定，但需要在每个时恻步求解代数方程组，s a u l y e v 格式则很好地弥补了 这些缺陷，它是无条件稳定的，而且对一般的热方程它是显式的。 本文详细讨论了将s a u l y e v 格式应用于前向后向热方程的数值求解，并在 此基础上，构造了前向后向热方程的分组格式。但是对于前向后向热方程，这 些格式都是隐式的，所以本文仍考虑用迭代法求解，并且证明： 定理2 4 当口( 0 ，1 ) 时，给定的区域分解算法收敛。 关键词：前向后向热方程，差分方法，区域分解，s a u l y e v 格式，分组格式，迭 代方法 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h en u m e r i c a lm e t h o d so ft h ef o r w a r d b a c k w a r dh e a t e q u a t i o ni no n ed i m e n s i o na n dt w od i m e n s i o n ，i n c l u d i n gt h ed i f f e r e n c em e t h o d s ， t h ee r r o re s t i m a t ea n dn u m e r i c a ls o l v i n g t h ed i f f e r e n c em e t h o di so n eo ft h ea p p r o x i m a t em e t h o d sf o rt h ep a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s i n 【2 2 】：t h ea u t h o rg i v ea nd i f f e r e n c es c h e m ef o rt h ef o r w a r d - b a c k w a r dh e a te q u a t i o n ，t h a ti s ，t h e yu s e dt h ef o r w a r da n db a c k w a r dd i f f e r e n c e s c l l e l n eo l ls u b d o m a i nr e s p e c t i v e l ya n ds e c o n do r d e rd i f f e r e n c es c h e m eo nt h e i n t e r f a c el i n e i no u rp a p e r ：w eu s es e c o n dd i f f e r e n c es c h e m eo nt h ei n t e r f a c e w i t hc o a r s em e s h l e t b et h ee x a c ts o l u t i o no fp r o b l e m ( 2 1 ) a n d 爿b et h es o l u t i o no f ( 2 2 3 ) 一 ( 2 2 5 ) ，t h e nt h ee r r o r 层= u ( i h j r ) 一薯s a t i s f i e s ： t h e o 黝2 2 s u p p o s et h a t 三i 警la n d 西1l 蕊0 l 盯eb 。u n d e db yc o i l s t 疵 f f e l | 互1 岛p + 龙2 + 日3 ) ， ( 5 ) w h i c hl i e i i z = m a x ( i h j ，) “ 目i b e c a u s eo u rs c h e m ei si m p l i c i tf o rt h ef o r w a r d - b a c k w a r dh e a te q u a t i o n ，t h e n w ed i s c u s st h ei t e r a t i v em e t h o db a s e do nt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o dt o t h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n s w ed e r i v et h ec o n v e r g e n tr a t ef o ro u ri t e r a t i v ea l g o - r i t h m t h e o r e m2 3 l e t 。( 1sj n l ，k = 0 ，1 ，) b et h es o l u t i o n so f e q u a t i o n s ( 2 a t ) ( 2 3 9 ) ，磊( 1 歹n 一1 ) b et h es o l u t i o no fe q u a t i o n s ( 2 2 a ) 一 ( 2 2 5 ) t h e n 。g m s a x 一。( 1 磊一扩七+ 1 1 ) ( 1 一日) 。g m a x 一。( 1 名一七i ) s o c o n v e r g et o 磊w i t ht h er a t e1 一日a sk 一 a b s t r a c t i ti sb e t t e rt h a n1 一hi n 【2 2 ：f h r t h e r m o r e ，f o rt h et w od i m e n s i o nf o r w a r d b a c k w a r dh e a te q u a t i o nw ed oi t t h e 。一3 1 s u p p o s et h a t 丢i 雾l ，西1 i 爵a 4 u ia n d 瓦1i 研0 i 盯e b 。眦- d e db y c o n s t a n tgo nq ，t h ec l o s u r eo fq t h e n w h i c h e l i 2 c 0 ( 丁+ h 2 + 日3 ) ， 硎2 ( t n m a k ，x ) “l 硗1 i na d d i t i o n ， t h e o r e m3 2f o r1 j m l ，1 忌n 一1 ，p = 0 ，1 ，w eh a v e ，0 l ，a x 。m i ，a x n一(f磕j一矽；巾f)(i一11m1l 七一 j 一 u。j 。 、 1 + m 3 ( 7 ) 一 ) l m k a x n - 1l m j 觚( i 硅j 一谚巾以i ) _ 0 ，其中仝= b 2 4 a c ，则方程( 1 1 ) 在 点( 。o ，珈) 处是双曲型的，如果在点0 0 ，y o ) 处( 。o ，y o ) 0 ，则方程( 1 1 ) 在 点( z o ，可o ) 处是椭圆型的，如果在点( z o ，珈) 处( 。o ，y o ) = 0 ，则方程( 1 1 ) 在 点( z o ，y o ) 处是抛物型的，并且如果方程( 1 1 ) 在区域的每一点处都是双曲型( 椭 圆型或者抛物型) 的，则它在此区域内是双曲型( 椭圆型或者抛物型) 的。微分 方程的类型在非奇异坐标变换下是不变的，当然，在一个区域内微分方程可以 呈现不同的类型。椭圆型方程用于描述不随时间变化的稳态物理现象，而双曲 型方程和抛物型方程同属于时i 旬发展型方程，它们通常用于描述时间变化的非 定常物理现象。椭圆型方程的适定性问题只能是边值问题，而时问发展方程的 适定性问题通常有两种：初值问题和初边值问题。 但是，绝大多数偏微分方程定解问题的解不能用明显的公式来表达， 有时即使可以用公式表示，也往往过于复杂，所以需要用各种近似方法 来计算它的解。差分方法是解偏微分方程定解问题的常用近似方法之 一。c o u r a n t ，f r i e d r i c h s ，l e w y ( m 9 2 s ) 首次对偏微分方程的差分方法做了完 整的论述。一般来说，从偏微分方程定解问题的原始形成到得到合理的数值结 果，大致有五个环节。 第一，物理处理。例如根据各种物理定律建立起各种物理量之间的关系式， 其中包括j 下确地提出各种定解条件。 第一苹绪论 2 第二，数学提法。通常对上面建立的各种关系式进行极限处理，从而表达 为一个偏微分方程的定解问题。 第三，离散逼近。采用各种方法把偏微分方程的定解问题离散化 第四，数值求解。主要是用各种直接法或迭代法求解由离散逼近所导致的 线性或非线性代数方程组。 第五，计算机求解。把数值方法编成程序运行，并分析计算结果。 以上五个环节是密切联系的，一个实际问题的完善解决常常要在这五个环 节之j 、日j 往复多次。 ， 而在自然科学的许多领域中，很多现象是用抛物型方程或方程组描述的， 如热传导以及其它扩散现象、化学反应、某些生物形态、各种粒子的输运等等。 另外在不少问题的数值处理中也经常出现抛物型方程的差分方程( 组) ，如建立 流体力学方程组的差分格式时增加的人为粘性项，在建立s c h r o d l u g e r 方程的数 值模型时增加的高阶耗散项等等。因此，抛物型偏微分方程的差分方法一直是 人们关心的一个焦点。 其中，热传导方程是抛物型方程中最常见的一类方程。设l ( t ) ，矽2 ( t ) 是连续 函数，并当0 t t 时，l ( t ) 2 ( 亡) 。记 d = ( z ，t ) i i ；6 1 ( t ) z 2 ( ) ，0 t 丁) ， r d = ( z ，t ) l t = 0 ，1 ( o ) z o ) ， q 一= ( z ，t ) ：a ( x ，t ) o ) ， “( z ，1 ) = t 1 ( z ) ， o r ba q n ( ( 。，1 ) ：口( z ，1 ) o ， ( 1 3 ) lu ( - i ，t ) = 夕一l ( t ) ， o na qn ( - 1 ，t ) ：0 t 1 ) ， i 珏( 1 ，) = 夕1 ) ， o na qf l ( 1 ，t ) ：0 t 0 的 区域，上面的方程是前向热方程，要求给定初始值和侧面边值；在口 0 的区域， 方程为后向热方程，要求给定终端值和侧面边值。 这类方程出现在很多物理应用问题中，而且还有独立的数学意义。它的其 中一个来源是椭圆型边值问题当一0 时的奇异扰动极限， 2 一u 乞一叫毳+ d “；+ 脯= m ，t ) ， 饥q ， ( 1 4 ) 【u 。= 0 ， o , n 狮 。 若o 2 a ，则通过分部积分，利用l a x - m i l g r a m 定理就可以证明( 1 4 ) 有解。在 文( 8 】中，还证明了当e o 时，旷弱收敛于( 1 3 ) 的解u 。 选择口取不同的函数表示，就可以得到各种不同的问题。例如当o ( z ，t ) = z 一妄时，我们看到在右半矩形区域它是一个前向热方程，而在左半矩形区域就 是一个后向热方程。此问题出现在很多实际应用中，比如，随机过程理论，中子 扩散模型以及一些天文学问题中 下面我们就以随机过程中的物理问题为例说明前向一后向热方程的建立。设 微粒在线段 一l ，1 间运动，初始位置为z ，初始速度为y ，现以任意加速度运动 至边界zz 一1 或z = 1 ，要求确定微粒的运动时阳j t ( x ，可) 。在文【6 】中，作者假设 微粒的加速度是由于白噪声引起的，所以微粒的速度遵守布朗运动规律。他们 认为如果微粒在位置。以速度夕开始运动时，在时刻t 到达边界，则如果微粒在位 第一章绪论4 置z y a t 以速度y + a y 开始运动，就能在时刻亡一a t 到达边界，因此他，f 门得到 了关于丁的初边值问题 ，) ，7 1 匀2 个 iy 茜+ 壹茜- 一1 ， ，卯一1 z 1 , - o o y 。， 2t ( 哪) 兰o ( 亩) ， ，d r 吲l a r g e ，一1 z 0 ， 【t ( - 1 ，y ) = 0 ，卯y 0 可以看到方程( 1 5 ) 就是一个前向后向热方程。 此外，在流体动力学的边界层问题，中子扩散问题，等离子物理和天体物理 学中关于一个电子束通过太阳光环的传播等问题中，我们同样可以建立本文所 研究的这类前向后向热方程，因此，研究其数值方法是非常有必要的。 像a ( x ，t ) 饥一= ，( z ，t ) ( 其中口取不同的符号) 这种类型的问题最早 由g e v r e y 在1 9 1 3 1 9 1 4 年提出( 1 1 1 2 1 ) ，他主要考虑了当a ( x ，t ) = 。m ，其中m 为奇 整数时的情形。1 9 6 8 年，b a o u e n d i 和g r i s v a r d 【5 更仔细地讨论了当o ( z ，t ) = z 时 的情形。1 9 6 9 年，l i o n s 在文 7 1 中考虑了把二阶导数转化为一个合适的非线性差 分算子。n 锄i n 和r o d e m i c h 6 1 同样考虑了当a ( x ，t ) = z 时的情况，但在方程 中一o 。 z o o ，0 t 0 ，当z o 时a ( x ) o 且口( o ) = 0 。另外， ) ，u 1 ) ， 9 1 ( t ) 和夕l ( t ) 都是已知的函数，并且满足u o ( 1 ) = g l ( o ) ，u 1 ( 1 ) = g - 1 ( 1 ) 。 2 1常见的有限差分格式 我们首先对区域q 进行网格剖分。为简单起见，令空白j 网格步长危= 1 m ， 时白j 网格步长丁= 1 i n ，则网格点( z t ，岛) 定义为 毛= i h ，i = 0 ，士m ， t = j t ，j = 0 ，n 。 令露为问题( 2 1 ) 在网格点( z t ，岛) 上的逼近解，则方程o ( z ) 饥一霉= o 可以 离散为 啦譬车一萨i ( 猫：二峨鹤：+ 口i 如曩1 2 一如l 2 ) - 0 ， 其中，啦= 口( z t ) ，而算子以定义为 疋矗。2 = 矗1 一习， 瓦采。，：= 窖一采z 参数巩，咣( t = 1 ，2 ) 满足强制性条件( 2 3 ) 一( 2 5 ) 0 以，6 1 ，i = 1 ，2 ， ( 2 2 ) ( 2 3 ) ，吩= 巩动“姒姒艰吨一卜 饥d 、l ， ， ， k 卜 2 ( 吼+ ) = 2 ， - - - - i 一6 1 + 6 1 2 6 i + 吒= 0 ， 和可选条件( 2 6 ) 一( 2 7 ) 一伊l + 如+ p i 一= 0 ， 一p 1 一目2 + 口i + 之0 至于条件( 2 3 ) 一( 2 7 ) 的选取，我们在后面会做解释。 即 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 在式( 2 2 ) 中令参数吼，影( t = 1 ，2 ) 取不同的值，就可以得到不同的数值格式。 ( a ) ( 5 1 - - - - 如= 伊i = 呓= 壶，此时条件( 2 3 ) ( 2 7 ) 均满足，数值格式为 吼丝t 一去 ( 材一2 z + + 甾) + ( 霹+ 1 - - 2 考+ 凄。) ) ：。， 一三搿+ ( 砚+ r ) 之+ 1 一乏甜= 三乏。+ ( 啦一r ) 考+ 三文。， 其中，r = 7 - 2 。格式( 2 9 ) 被称作c r a n k - n i c o l s o n 格式，其分子结构图如下： 佘 o o ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( b ) 彰= 0 ，巩= 1 ，i = l ，2 ，此时除条件( 2 7 ) 外其余条件均满足，数值格式 为 皿_ z ? i + 1 - - 4 一盐掣_ 0 ( 2 1 0 ) 即 一 一r 之l + ( 啦+ 2 r ) + 1 一r 考嚣之z ( 2 1 1 ) 这就是著名的古典隐格式，其分子结构图如下： 第二章一维前向一后向热方程 8 ( c ) 良= 0 ，= 1 ，i = 1 ，2 ，同样除条件( 2 7 ) 外其余条件均满足，数值格式为 仉考+ 1 = 7 _ 覆1 + ( 啦一2 r ) 名+ 7 文1 ( 2 1 2 ) 格式( 2 1 2 ) 就是古典显格式，其分子结构图如下： o ( d ) 吼= 詈，彤= 1 一詈，t = 1 ，2 ，此时满足条件( 2 3 ) - ( 2 6 ) ，而条件( 2 7 ) 变为 一p l 一如+ 9 ：+ 够= - 2 a + 2 ， _ j 。以看到，当a = 1 时，满足条件( 2 7 ) ，此时即为( a ) 情形。而一般情形下，差分 格式为 一口7 考冀+ 2 ( 毗+ 理7 - ) 之+ 1 一q 7 _ 嚣= ( 2 一口) 7 乏l + 2 ( 一( 2 一o ) r ) 习十( 2 一口) r 磊1 ( 2 1 3 ) 这是一个含自由参数口的六点差分格式。我们称之为六点加权隐式差分格式，其 分子结构图如下： 第二章一维前向后向热方程9 容易看到当理= 1 时，加权格式( 2 1 3 ) 即为c r a 出n i c 出o n 格式( 2 9 ) ，当。= 2 b c ，即为古典隐格式( 2 1 1 ) ，而当口= o 时，就是古典显格式( 2 1 2 ) 。 ( e ) 6 i l = 钙= 0 ，6 p 2 = 6 i ：= 1 ，此时条件( 2 6 ) 不成立，数值格式为 一r 考篡+ ( q + 7 ) 窖+ 1 = ( 啦一r ) 霹十r 矗，( 2 1 4 ) 其分子结构图如下： o ( f ) 口1 = 咣= 1 ，日2 = 臼i = 0 ，此时条件( 2 6 ) 也不成立，数值格式为 其分子结构图如下： ( 啦+ r ) 霹+ 1 一r 矗嚣= r 覆1 + ( 毗一r ) 窖， ( 2 1 5 ) 第二章一维前向后向热方程1 0 格式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 称之为s 砌y e v 非对称格式 由此，我们构造了一般意义上的六点有限差分格式( 2 2 ) ，此六点有限差分 格式可以改写成 一r 护，矗嚣+ k + r z4 - 如) 考+ 1 一r 如霹等 = r p i 矗，+ 【啦一r ( p i + e 1 ) 4 + r 泵1 我们将上式在点( i ，歹+ 主) 处泰勒展开，可以得到 ( a ic 饥刁z 一百p l 科c 9 2 z j 州2h ( 丢是+ 鲁象+ 兰8 h 旦c o x o t 2 伊 加 ，危2 伊名t 2 伊z p l ( 2 4 0 x a + 一1 6 瓦丽，j ；+ i 2 ，。、2 t 九阮( 9 2 瓦z +生蕊a4z+_73踟0。)j+12+一94124 8 h47 生o x 2 0 t 2a 2 3 砒。口z 仉u 悖 + 互t 4 2a 碱c ) 3 ”z + 1 2 + 妻。( 丁口，胪：) = o ， 其中，q l + q 2 = 5 ， p l = p 1 + 如+ 口i + 彤， p 2 = 一6 1 1 + 如一畦- 4 - ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) p 3 = - 0 1 + 如+ 0 i 一鸥， p 4 = - 6 1 0 2 + 口i + 咣 因此，要使得差分格式( 2 1 6 ) 逼近微分方程，必须满足p 1 = 2 ，p 2 = 0 ，即满足强 制性条件( 2 3 ) 一( 2 5 ) 。特别地，若还满足p 3 = 0 ，p 4 = 0 ，则截断误差为d ( 7 2 + 舻) 。 所以，利用( 2 1 7 ) ，我们很容易得到( a ) ( f ) 情形下各格式的截断误差。 ， 下面，我们考虑格式( 2 2 ) 或( 2 1 6 ) 的稳定性条件。我们应用文【1 5 】中讨论 的f o u r i e r 方法来分析。将在( 孔，t j ) 点的误差函数 蠢：e 铘肋 代入逼近方程，有 ( 2 1 8 ) 刚 2 = 筹舞黔等静簪篇篇， 其中，5 = s i n 2 ( 3 h 2 ) 。 因此，我们剧以得到以下稳定性定理。 的。 定理2 1 假设巩，碰满足条件( 2 3 ) ( 2 5 ) 。若1 ，则差分格式( 2 1 6 ) 是稳定 容易看到，利用定理2 1 ，我们可以方便地得到当或，彰取不同值时各差分格 式的稳定性条件。 下面，我们将利用这些数值格式来构造一维前向后向热方程的数值方法。 2 2一种新的差分格式 2 2 1 新的差分格式 将区域q 分成两个不相交的子区域q 一，q + ， q 一= ( - i ，0 ) ( 0 ，1 ) ， 一 p p 目一洫s s 一一一一一一 丝m 母而 刀一为一一 俐一删业卅 雕一兰 一一一一 州丐吲一 嚣一篓一 第- 二章一维前向后向热方程1 2 q + = ( 0 ，i ) ( 0 ，1 ) 在文【2 2 中，v v a n a j a 和r b k e l l o g g 给了问题( 2 1 ) 当u o ( x ) = 1 ( z ) = 0 ，g - 1 ( t ) = 9 1 ( t ) = 0 时的有限差分格式， 吼型i 一 7 - 霉= 0 ， 毛= 0 ， 至兰l 二掣：+ - 1 i m 一1 ，。 j l v 一2 ， 1 i m 一1 ， 1 j n l ， 且在交界线z = 0 上应用二阶中心差分格式， ( 2 2 0 ) 一m + 1 i 一1 ，1 j 一1 ， ( 2 2 1 ) 一兰掣：露，l 歹一1 ( 2 2 2 ) 由( 2 1 7 ) 式容易知道数值格式( 2 2 0 ) ( 2 2 2 ) 的截断误差为0 ( 7 - + h 2 ) 。因为此 数值格式对前向后向热方程而言是隐格式，所以文中作者用基于区域分解的迭 代方法求解，并且证明了迭代的收敛率为l h 。 我们看到在 2 2 中，作者在交界线z = o _ k 应用的是网格步长为h 的二阶中心 差分格式，不同于 2 2 】，我们在网格线上应用粗网格的二阶中，心差分格式，网格 步长为日，我们可以证明这种新的差分格式的截断误差为0 ( 7 + h 2 + 伊) 。此 外，我们考虑用一种基于区域分解的迭代方法求解出差分格式导出的代数方程 组，并证明了迭代的收敛率为1 一日，比文 2 2 】中的1 一 要好。 下面，首先给出差分格式。我们在区域q + 和q 一上分别应用后向和前向差分 格式，网格步长为 ：在z = 0 上应用二阶中心差分格式，网格步长为日= m o b ， 其中m o 是给定的正整数，则 m 华一盐学钳- ，1 螂m - l ，2 ， 哿= u 。( t 九) ，1 i m 一1 ， 嘞= 咖) l 歹_ 1 每1 ? ， ( 2 2 3 ) 只以 ，叫9 冀一 粤。葶翠 第二章一维前向后向热方程 1 3 2 霉+ 巩1= 力，一m + 1 i - 1 ，l j n 1 ， 一m4 - 1 i 一1 ， 1 歹n 一1 ， ( 2 2 4 ) 且 一刍止垒生盘：矗，1 歹n 。1 (225)-2 j u 一一j 一 一 一， 如果m o = 1 ，就是文 2 2 】中的方法。 定义为所有网格点的集合，即 = ( 危，歹7 ) i m + 1 i m 一1 ，1 j n 一1 ) 进一步，把分成三个互不相交的区域，即= 虬u 从u 肌，其中 虬 m 肌 0 ，j 7 ) l l i m l ，1s 歹一1 ) ， ( i ，歹丁) j m + 1 z - 1 ，1 j n 一1 】， 0 。 定理2 2 令q 是q 的闭包。如果三j 象l ，壶j 象l 在q 上有界，且有界常数 为c o ，则 f i e i i , v 去岛( 下+ h 2 + h 3 ) ，( 2 2 7 ) 其中，l i e f | = m a x ( 讥，j ，) “l 鹾l 。 证明：由泰勒展开式容易得到( 2 2 3 ) 一( 2 2 5 ) 自9 截断误差为 纠舶肛 篙譬端戡叭 2 8 ， 其中，l 弼f c o ，i 弼i c o 。不难看出，矩阵p 不可约对角占优，其对角元素为 正的，而非对角元素非正，所以p 是一个m 阵。 利用文 2 3 】中的技巧，我们构造函数 = 1 未，岗= 日( 1 一跏 ( 2 2 9 ) 其中，一m + 1 i m 一1 ，1 歹冬n 一1 。显然，i i 1 ，i 饼l 日。 由( 2 2 3 ) - ( 2 2 5 ) ，我们可以验证 伊q ) ；2 ， ( p p ) ；0 ，( i o ) ，。 ( 荆；：一竺j m o 罢塑r n o = 2( p p ) 6 = 一竖百r 理= 令 g = 主c o ( 丁+ 2 ) + 三国够? 髫 。髫2 主丁+ 2 ) + 壹唧够? 髫，。 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 第二章一维前向后向热方程 1 5 则 ( p ( 4 - e ) ) 0 因为p 是m 阵，所以有 l 霹j 髫去岛( 7 - + 九2 ) + 互1 岛日3 ， 一m + i 一i 一 m l ，l 歹1 定理得证。 定理2 2 中出现日3 这一项并不奇怪。在文【2 3 中，作者用区域分解方法构造 了热方程的逼近格式，他们在交界面网格点上应用粗网格的显式向前差分格式， 在子区域应用细网格的向后差分格式，得到了跟我们类似的结果。由此，他们 弱化了稳定性条件丁去九2 为下圭日2 。而在这里，我们将通过粗网格提高利用 迭代方法求解时的收敛速度。 2 2 2 迭代方法 在上一小节，我们构造了问题( 2 1 ) 的差分格式，但在己知的初始条件和边 界条件下，此格式是隐格式，所以在下面，我们将讨论一种基于区域分解的迭代 方法。 为了表述迭代思想的方便，我们借助于它的矩阵形式( 2 2 6 ) 。首先，给出在 交界线z = o 上的网格点的初始猜测值雹= ( 磊”，z ；，一，- 1 , 0 ) t ，然后在区 域q 一和q + 上分别求解下面的两个子问题 a 仉，乏= r 一露， 也。玩，= 兄一a 叫忍， 再利用 a 伽现= 马一钿历一琵 更新琵。重复上面的过程，我们就可以得到如下的迭代算法。 ( 1 ) 给定初始值妒o ( 1 j n 1 ) ，令七= l ； ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 第一：章 一维前向后向热方程1 6 ( 2 ) 求解下面的两个线性方程组 啦茎! 二l 二坐 丁 z = 扩“j f ， 考= u o ( 沈) ， o i一0 joj z 留= g l ( 歹丁) ， 一签! 霉! ：! 燮：肛1 i m 一1 , 0 2 j 一 o l 一一，一 1 j n 一1 ， 1 i m 一1 ， 1 j n 一1 ， ( 2 3 7 ) 啦垒k。d+lk j 一苎垒羔二掣：一，一m + 1 t 一1 ，1 j 一1 ， z o = k - z i ，1 歹n 一1 ， z ? = u 1 ( i ) ，一m + 1 i 一1 ， z - t m l = 夕一l ( 歹7 _ ) ， 1 歹n 一1 ( 2 3 8 ) ( 3 ) 更新 知t = 去( 石“一k d m 。+ z 麓+ 日2 靠) ， 1 j n 一1 ( 2 3 9 ) ( 4 ) 令k ：= 七+ 1 ，回到第( 2 ) 步。 线性方程组( 2 3 7 ) f f l ( 2 3 8 ) 是容易求得的，只需分别求解一1 个三对角方程 组即可。不同的是，( 2 3 7 ) 的求解是从z k , 1 到名，而( 2 3 8 ) 的求解顺序则刚好 相反。 下面，我们估计迭代算法的收敛率。 定理2 3 令扩d ( 1 j n 一1 ，= 0 ，l ，) 是迭代方程组( 2 3 7 ) - ( 2 3 9 ) 的 解，g ( 1 j n 1 ) 是差分方程组( 2 2 3 ) 一( 2 2 5 ) 的解，则有 1 9 i n s f i x 一1 ( 1 磊一扩+ 1 i ) ( 1 一日) 1 9 m a x 一1 ( 1 4 一扩j 1 ) ( 2 4 0 ) 即当七一o 。时，毋七j 收敛于磊，且收敛率为1 一日 证明：令 e ：j = 考一名：j ，一m i m ，i 0 ，1 j n 一1 ， ，、，l，、 则误差e ：。满足 蔓兰! 二= _ 垄掣：。，l e m 一1 ，。歹一2 ， ，1 j n 一1 ， 1 i m 一1 ， l j n 一1 ， f 皿世e k , j + l _ k d 一生兰l 二攀：o ，一m + 1 i ? e ：j 一晶一七一1 j ， 1 j n 一1 ， i 毛k ，= 0 ， 一m + 1 i 一1 ， le = 0 ， 1 歹n 一1 ， 并且 ( 2 4 1 ) - 1 ，1 j n 一1 ， 磊一咖幻= 圭( 苎+ e 黑) ， l 歹一1 我们可以将误差方程组( 2 4 1 ) 写成矩阵形式g t 。= 冗，其中 t = ( ”e 咒，y ，镜1 1 ，k m , n j 1 ) t ， 冗= c 与竽 名分一1 一一1 一1 2 同样可以证明矩阵9 是m 阵。 定义 2 ，垡m a - 1 x ( i 磊一c k , j 构造函数 ，0 ) t ， ，t k i j = 鼠一1 ( 1 一等) ，1 t m l ，1 歹二1 ， 则有 ( 乡仞4 - e ) ) ：j 0 ， 1si m l ，1 j n l 因为9 是m 阵，所以 e 期， 1si m l ；l j 。n 一1 ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 一觚搿 第二章一维前向一后向热方程1 8 同理，由误差方程组( 2 4 2 ) 有 l e ：j l 前”， 一m + 1 i 一1 ，1 j n 一1 ( 2 4 5 ) 所以由关系式( 2 4 3 ) ，对1 j n 一1 ，有 1 4 一曲七 。i 寺 f e 苎l + i 麓1 ) 1 - 。 s 南一1 ( 1 一i m 0 1 m ) + 乳一l ( 1 一l t o o l m ) & 一1 ( 1 一日) ( 2 4 6 ) 定理得证。 由定理2 2 ，我们希望取7 - h 2 日3 。若这样取值，例如取h 2 = 日3 ，则迭代 方法的收敛率为l 一 2 3 。这个结果比文【2 2 中的1 一 要好。 当然，我们也町以矾和虬中应用不同的网格步长，只要满足对某些正整 数m 1 和化，使得日= m l h l = m 2 h 2 即可。 2 2 3 数值例子 在本小节我们给出当o ) = z 时，迭代方法( 2 3 7 ) 一( 2 3 9 ) 的收敛率结果。 由( 2 4 1 ) 一( 2 4 3 ) ，我们考虑如下极限 。 2 ：l i r a 翌竺! 皇兰生= 鲴墨= 翌三：堕 七一o 。m a x l j _ n i ( 1 4 一护，七i ) 取n = i 0 ，表2 i 中给出了当m 取不同值时的迭代速度。而在表2 2 中，我们固 定h = 1 1 0 ，给出了伽，m 取不同值时的数值结果，这与我们的理论结果是一 致的，即z 1 一日。 2 3 s a u l y e v 格式 我们知道，古典显格式适合于并行计算，但它是条件稳定的，特别是在多维 问题中，计算的时间步长受到非常苛刻的限制：古典隐格式和c r a n k - n i c o l s o n 格 式是绝对稳定的，但需要求解三对角方程组，计算量比较大。而s a u l y e v 非对称 格式虽然同样是隐格式，但它很好地克服了这些缺点，首先对于一般的热方程 第二章一维前向后向热方程 1 9 表2 1 ：n = 1 0 时的迭代收敛率 l m o21m o = 2m o = 3m o = 4m o = 5 表2 2 ：日= i l o 时的迭代收敛率 而言它是显式的，并且无条件稳定，而且不同 拘s a u l y e v 格式的截断误差中某些 项绝对值相等，符号相反，在同一时间层及不同时间层上连续交替使用不同的 非对称格式，可带来截断误差的部分相消，从而提高方法的计算精度。下面，我 们将考虑用s a u l y e v 格式求解前向后向热方程。 2 3 1 第一类s a u l y e v 格式 我们在区域q + 和q 一分别应用s a u l y e v 非对称格式( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) ，而在交界 线z = 0 上应用二阶中心差分格式可以得到4 个不同的离散格式。 1 在q + 和q 一上分别应用( 2 1 5 ) ，有 f ( 啦+ r ) 习+ 1 一r 霹嚣= ( 锄一r ) 考+ r 乏l + 1 - ， 2江m 一1 ， 1 ，j = 0 ，肛2 ，( 2 4 7 ) 1 磊0 = u o ( i h ) ， i = 0 ，一，m 一1 ， 7 【嘞= 9 1 ( 歹丁) ， j = 1 ，一i ， 第二章一维前向一后向热方程 2 0 和 和 = ( 啦+ r ) 毒+ 1 一r 嚣r ， i = 一m + 1 ，一1 ，j = n 一1 ， i = 一m + 1 ，0 ， j = i ，一l ， z 1 2 名+ 雹 露，j = 1 ，一1 2 在q + 和q 一上分别应用( 2 1 4 ) ，有 z 1 2 磊+ 才 ，一2 ， = 一1 ，1 ， 摇，j = l ，一1 3 在q + 上应用( 2 1 5 ) ，在q 一上应用( 2 1 4 ) ，有 ，一2 ， ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) f ( 啦一r ) 窖+ r 丢1 = ( 砚+ r ) 习+ 1 一r d 。一+ 1 7 ， ：u 1 ( 沈) ， =一i=，-1，,一1-i m ， 一m + 1 歹= 一1 1 ( 2 5 4 )l = u 1 ( 沈) ，= 一，一1 ， r 7 【z m = 夕一l ( 歹7 ) ，j = l ，n 一1 ， ，曩 l + 肜 愈扎嘶嘻 、叫 ? r 舣 。j 厶 哆俨 h 1 咯m + 一 磁”旭拳譬 啦 ， 。 o 1 l 料 1 i， + e 卜 伊 、， ) n 咄 姒仇f 翟毛 嵋“ 一 m o 一 j ， ， ， 似 一l l 一 ， 一 一一”一，一 一 一，叫 川扛m 斗 一k 毗 = 一一 l i l | 一一 ；j 矗 九 眩 力 + 咄舡心扎嘶艰 、吖， ：r 匠 ；j 一 己 哆舻矗一， + 一 一 1m 盥篇 仉 嚣 1 i，j + q - 卜 旬 、j ) n彬掣 扣 乱 = 砚 d i ，j m 印矗 第二章一维前向后向热方程 2 1 和 7 一兰尘= 髭，j f = l ，一1 ( 2 5 5 ) f ( 砚+ r )