（应用数学专业论文）leslie捕食者食饵模型的进一步研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 近年来，捕食关系是数学与生态学界研究的一个主要课题。捕食者食饵相互作用 关系的研究具有非常重要的理论意义和应用价值，它越来越受到学者们的关注。 本文在已有的l e s l i e 捕食者食饵模型的基础上，建立几个捕食者食饵模型并研究 这些模型的动力学性态。本篇论文由四章构成。 第一章概述已有的一些相关工作、本文问题的产生以及一些相关的知识。 在第二章中对离散变系数的l e s l i e 捕食者食饵系统进行研究，获得该系统持久性的 条件，当系统为周期系统时，得到周期解的存在性，附加某些条件，得到该周期解的全局 稳定性。 在第三章中考虑比率依赖具有h o l l i n gi i 功能反应的l e s l i e 捕食者食饵系统。对常 数系统，通过建构一个李雅谱诺夫函数得到正平衡点全局渐近稳定的条件，再通过变量 替换，把系统变为l i e n a r d 方程，得到极限环的存在唯一性；对离散周期系统，得到正周 期解存在的条件。 在第四章中考虑一类基于比率具有h o l l i n g1 t i 功能反应的l e s l i e 捕食者食饵系统。 对自治系统，通过d u l a c 函数得到正平衡点全局渐近稳定的条件：对时变周期系统，用 拓扑度理论中的延拓定理获得时变周期系统正周期解的存在性。 关键词：l e sl i e 捕食者一食饵系统；周期解；重合度；全局稳定；极限环 f u r t h e rs t u d yo fl e s li ep r e d a t o r p r e ym o d e l s a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h ep r e d a t o r - p r e yr e l a t i o nh a sb e c o m eav e r yi m p o r t a n tt o p i ci nm a t h e m a t i c s a n de c o l o g y t h ep r e d a t o r - p r e yt h e o r yh a sag r e a tv a l u ei nb o t ht h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，w h i c h h a sr e c e i v e dag r e a td e a lo fa t t e n t i o no fm a n ym a t h e m a t i c i a n sa n db i o l o g i s t s i nt h i st h e s i s ，b a s e do ne x i s t i n gl e s l i ep r e d a t o r p r e ym o d e l s ，w ee s t a b l i s hs e v e r a lc l a s s e so f l e s l i ep r e d a t o r p r e ys y s t e m s ，a n ds t u d yt h e i rd y n a m i c s t h et h e s i si sc o m p o s e do ff o u r c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w es u m m a r i z er e l a t e dw o r k sa b o u tl e s l i ep r e d a t o r - p r e ym o d e l sa n dt h e b a c k g r o u n df o rt h ep r o b l e m sd i s c u s s e dh e r e a n dw ea l s og i v es o m ep r e l i m i n a r i e sn e e d e di n t h es e q u e l i nc h a p t e r2 ，ad i s c r e t et i m el e s l i ep r e d a t o r - p r e ys y s t e mi sc o n s i d e r e d t h ep e r s i s t e n c eo f t h es y s t e mi so b t a i n e d t h ee x i s t e n c eo fap e r i o d i cs o l u t i o ni sp r o v e du n d e rt h ec o n d i t i o nt h a t t h ec o e f f i c i e n t si nt h es y s t e ma r ep e r i o d i ca n dt h ep e r i o d i cs o l u t i o ni sg l o b a l l ys t a b l eu n d e r s o m ea d d i t i o n a lc o n d i t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rar a t i o - d e p e n d e n tl e s l i ep r e d a t o r - p r e ys y s t e m sw i t hh o l l i n gi i t y p ef u n c t i o n a lr e s p o n s e f o rn a u t o n o m o u ss y s t e m ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e g l o b a ls t a b i l i t yo fp o s i t i v ee q u i l i b r i u mb yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n t h r o u g has i m p l e c h a n g eo fv a i l a b l e s w et r a n s f o t i nt h em o d e l i n t oa b e t t e rs t u d i e dl i d n a r de q u a t i o ns ot h a tt h e u n i q u e n e s so fl i m i tc y c l ec a nb es o l v e d f o rt h ed i s c r e t en o n a u t o n o m o u sr a t i o d e p e n d e n d t l e s l i es y s t e mw i t hh o l l i n gi it y p e f u n c t i o n a l r e s p o n s e ，w eo b t a i n c o n d i t i o n sf o r t h e e x t i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rar a t i o d e p e n d e n tl e s l i ep r e d a t o r - p r e ys y s t e m sw i t hh o l l i n g1 i t y p ef u n c t i o n a lr e s p o n s e f o rn a u t o n o m o u ss y s t e m ，w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h e g l o b a ls t a b i l i t y o fp o s i t i v ee q u i l i b r i u m b yc o n s t r u c t i n g d u l a cf u n c t i o n f o rt h e n o n a u t o n o m o u sr a t i o d e p e n d e n d tl e s l i es y s t e mw i t hh o l l i n g t y p ef u n c t i o n a lr e s p o n s e ，w e o b t a i nt h es u f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x t i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nb yu s i n gt h e c o n t i n u a t i o nt h e o r e mo ft o p o l o g yd e g r e et h e o r y k e yw o r d s ：l e s l i ep r e d a t o r p r e ys y s t e m ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；c o i n c i d e n c e ；p e r i o d i cs o l u t i o n ； g l o b a l l ys t a b l e ；l i m i tc y c l e i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：l 星墨! i 曼摘盒羞二盒鱼搓型鲍进二生珏究 作者签名：翻日期：全旦望笸年生月二日 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：l 曼墨! i 曼擅盒羞= 盒堡搓型鲍进二生珏究 作者签名：丝垄丛日期：2 2 篮年三月二 日 导师签名：3 霉址 日期：龇年笠月j 日 大连理工大学硕士学位论文 1 引言及预备知识 1 1 引言 由于生物现象的复杂性，生态学家根据研究对象的不同提出了许许多多描述不同物 种之间以及物种与外部环境之间关系的数学模型研究两种群互相作用最为一般的模型 是如下k o l m o g o r o v 模型【1 】： 肛堋毛y ： ( 1 1 ) l y = y f 2 ( x ，y ) 、7 在一个生态系统中，任意两个种群之间都存在着某种关系( 如捕食者一食饵、竞争、 互惠) 物种之间的关系以捕食者- 食饵( p r e d a t o r p r e y ) 关系最为基础和重要，捕食食饵 之间的动力学关系由于其广泛的存在性和重要性，长久以来一直是生态学和数学生态学 中占统治地位的课题之一【2 】，历来受到学术界的重视，是生态学和生物数学研究的热点 在( 1 1 ) 中让几( 五力和局( 葛力进行各种搭配，就可以得到一系列具体的数学模型例 如，让巧= ，i - - a ! l x - - a 1 2 j ，e = 吃- - a 2 i x - - a 2 2 y ，得如下的l o t k a v o l t e r r a 捕食者- 食饵系统： = x ( 一a l l x q 2 y ) ， ( 1 2 ) = y ( r 2 一a 2 l 工一呸2 j ，) ， l o t k a v o l t e r r a 系统最初由美国种群学家l o t k a 在1 9 2 1 年研究化学反应和意大利 数学家v o l t e v a 在1 9 2 3 年考虑鱼类竞争时分别独立提出来的，由于它广泛的应用性和 重要的理论和实际意义，一百多年来已经得到了长足的发展特别是最近十几年，国内 外发表了大量关于l o t k a v o l t e r r a 系统及其扩展模型的文章，研究成果相当丰富，许 多文献和著作总结和收录了这方面的工作n 3 1 训对于l o t k a v o l t e r r a 捕食者食饵系统的 引入和研究是从自治系统开始的，该系统的定性结构已经比较清楚了关于这方面的工 作，陈兰荪、马知恩的专著n 一一1 作了比较全面详细的介绍对于非自治情形，研究的方 法比较多，主要有通过微分不等式、微分方程解对初值和参数的连续依赖性以及构造 l i a p u n o v 函数研究系统的持久性和全局渐近稳定性特别地，如果系统是一个周期系 统，往往是先找到一个系统的正向不变域，然后利用b r o u w e r 不动点定理n 1 1 来讨论系统 l e s l i e 捕食被捕食模型的进一步研究 周期解的存在性，或者是先证明系统的解一致有界且最终一致有界，然后利用b u r t o n 定理n 2 3 证明系统周期解的存在性，或用拓扑度理论中的延拓定理h 胡证明时变周期系统 正周期解存在，至于周期解的全局渐近稳定性仍然是通过构造l i a p u n o v 函数来得到，有 关的工作可参阅文献n 3 嗡瑚叫3 1 后来的科学工作者和数学家们在最初l o t k a - v o l t e r r a 模型的基础上做了进一步的 改进和完善，使之更切合实际，得到了许多有意义的捕食者食饵模型让 互= a - k c y ，e = p h y ，得 j d r f 2 x ( 口一? 一钞) ， ( 1 3 ) d y ：妙( p 一生) 一 s tx 系统( 1 3 ) 中，x ( t ) 是食饵在时刻，的密度，畎t ) 是捕食者在时刻，的密度捕食者方程的形式 首先由l e s l i e 提出1 9 4 8 年，l e s l i e 考虑到种群内部密度制约因素，食饵种群呈l o g i s i t i c 增长，捕食种群也遵循l o g i s t i c 增长，s 0 是捕食种群的内禀增长率，考虑到食饵种群x 对 捕食者种群y 增长的影响，当y 大而x 小时，比例咖大，这使捕食种群增长减缓，反之，x 大而y 小时，比例y x 小，这削弱了捕食者增长的束缚，因此认为捕食种群的容纳量应与 食饵种群数量有关l e s l i e 假设捕食种群的容纳量为x h ( 与食饵种群的大小成比例，h 为食 饵转化成捕食者的度量) ，对l o t l o - v o l t e r r a 捕食者食饵系统改造，得有名的l e s l i e 方程l z6 。， 其中h y x 项被称为l e s l i e g o w e r 项 近年来，l e s l i e 捕食者食饵系统及其周期系统引起了学术界的广泛兴趣l e s l i e ， g o w e r 2 z l 、p i e l o u 2 s 】对系统( 1 3 ) 进行了研究1 9 7 4 年，m a y t 2 9 采j - l e s l i e 模型进行了改进， 他把系统( 1 3 ) 中的线性功能反应函数c x 替换为h o l l i n gi i 功能性反应函数1 2 9 。，得到了如 下具有h o l l i n gi i 功能反应的l e s l i e 捕食者食饵系统( 也被称为h o l l i n g t a n n e r 系统) 乙d xr x ( 1 _ k ) 一石m x 弘 ( 1 4 ) a y ：j ，p ( 1 一h - y ) d tx 1 9 7 5 年，t 锄e r 【2 8 1 应用该模型研究有关哺乳动物捕食系统的动力学行为；1 9 9 1 年，h a r s k i e ta 1 【2 8 1 又应用该模型研究了一类田鼠黄鼠狼捕食系统；1 9 9 5 年，s b h s u 及t w h w a n g 【3 0 】应用d u l a c 判据及l y a p u n o v 函数对常系数的( 1 3 ) ( 1 4 ) 进行了研究，得到了正平 衡点局部渐近稳定的充分条件，得到局部稳定的正平衡点全局渐近稳定的条件；e s a e z 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 及e g o n z a l e z o l i v a r e s 3 t 1 也对( 1 4 ) 进行了研究，描绘了极限环的分支图，并给出局部 稳定与全局稳定是不等价的；a g a s u l l ，r e k o o i j 及j t o r r e g r o s a 【3 2 】也给出y ( 1 4 ) 正平 衡点的渐近稳定性不隐含全局渐近稳定的结论，作者采用的主要工具是计算 p o i n c a r 6 - l y a p u n o v 常数，用这方法得到了有两个极限环的例 一般来说，l e s l i e 捕食者食饵系统具有以下形式【1 】： 式中，顶力表示食饵种群在时刻，的密度，火力表示捕食者种群在时刻t 的密度，酚) 表示捕 食者缺省时工的变化率，雕) 是功能性反应函数，即在单位时间内每一个捕食者捕猎到食 饵的多少，它反映了捕食者的捕获能力，皿曲为当食饵密度为x 时捕食者的容纳量 近年来，在涉及捕食者搜寻食物的场合，许多生态学者采用具有功能反应比率依赖 的捕食者食饵系统描述捕食与被捕食的相互作用在生物学和生理学中越来越多的证 据表明：在许多情形下，特别是当捕食者不得不搜寻食物( 因此不得不分享或竞争食物) 时，一个更切合实际且更一般的捕食者食饵模型应基于“比率依赖理论【3 3 3 5 1 这一理 论已被大量的野外观察结果或实验室数据所证实【3 6 如 从传统的食饵依赖型模型出发，a r d i t i 和g i n z b u r g 第一次提出了比率依赖型捕食者 食饵模型，随后，许多学者对这类基于比率的捕食者食饵种群模型开展了广泛的研究 3 8 - 4 3 】如徐瑞和陈兰荪啪一们研究了具有时滞和基于比率的二种群、三种群捕食系统的持 久性与全局渐近稳定性；h s u , h w a n g 和k t l a r l g 4 0 , 4 1 l 对具有m i c h a e l i s m e n t e n 型功能性反 应的比率依赖型捕食者食饵系统的解的渐近性态作了详细完整的分析；f a n ，w a n g 4 2 】应 用重合度理论中的延拓定理研究了一类离散的非自治的比率依赖型捕食者食饵模型的 非平凡正周期解的存在性，得到了充分性判据 然而对基于比率的l e s l i e 捕食食饵模型的研究还较少见基于比率的l e s l i e 捕食者一 食饵系统具有以下形式 弘 n 、， 一、， x 一、x ， ( y i p ：一豳 删素 卜 一 哪 珊 咖 出一衍砂一出 y 玎 、， 、-， 兰y ，一功 l t，一l p i k 田靠 、， 0 l ， 项 咖 出一出咖一衍 l e s l i e 捕食一被捕食模型的进一步研究 让g ( x ) = 柙一言) ，k ( x ) 2 云，功能反应函数p ( ；) 2 万m i x ，由( 1 6 ) 得到如- f 基7 ： 比率具有h o l l i n gi i 功能反应的l e s l i e 捕食者- 食饵模型： 其中，r 、j 、m 、k 、h 、a 均为正整数。 让g ( x ) = ，( 1 一素) ，k ( x ) = i x ，功能反应函数尸( ；) = i 芦m x 了2 ，由( 1 6 ) 得到得到如 下基于比率具有h o l l i n g1 t l 功能反应的l e s l i e 捕食者- 食饵模型： 其中，r 、j 、m 、k 、h 、a 均为正整数。 本文的工作主要如下： 在第二章中，在l e s l i e 捕食者食饵模型的基础上建立离散变系数的l e s l i e 捕食者 食饵系统通过数学分析的技巧，获得该系统持久性的条件，当系统为周期系统时，由 b r o w s e 不动点定理得到周期解的存在性，附加某些条件，该周期解是全局吸引的 在第三章中，对基于比率具有h o l l i n gi i 反应功能函数的l e s l i e 捕食者食饵模型 ( 1 7 ) ( 即基于比率的h o l l i n g t a n n e r 系统) 的动力学行为进行较深入的研究首先，考虑自 治系统，通过建构一个李雅谱诺夫函数得到正平衡点全局渐近稳定的条件，再通过变量 替换把系统变为l i 6 n a r d 方程，得到极限环的存在唯一性；其次，建立与( 1 ，7 ) 相应的离 散周期系统，研究该系统正周期解的存在性 在第四章中，对基于比率具有h o l l i n g l e s l i e 捕食者食饵系统( 1 8 ) 的动力学行 为进行研究对自治系统，用定性稳定性方法研究正平衡点的全局渐近稳定性对基于 比率具有h o l l i n g 功能反应的时变周期l e s l i e 捕食者食饵系统，用拓扑度理论中的延 拓定理证明其正周期解的存在性 一4 一 刀 儿 焘l 一 ，： 卜 y z 三k 嘞 一 卜 l ， 似 咖 出一出砂一出 寿儿 、， ，2旁“ 膳 秒 引 一 出一衍砂一衍 大连理工大学硕士学位论文 1 2 预备知识 为了后面研究的需要，我们先介绍一些相关知识及有关结论 考虑自治系统 i d x = 厂( 功 ( 1 2 - 1 ) 其中函数f c ( d c r ”，r ”) ，满足局部利普希茨条件，f ( o ) = 0 记方程( 1 2 1 ) 具初值( 幻芦o ) 的解为z = x ( f ，t o ，x o ) 定义1 2 1 哗1 若对任意s 0 和t o o ，存在艿= 6 ( g ，t o ) ，使当0 0 艿时 陬f ，x o ) l i o ，使当i l 而i i 升f d 时，过初值( ，x o ) 的解工= x 0 ，t o ，x o ) 满足i ix ( t ，t o ，x o ) i l s ，则称零 解是吸引的，称区域d 为零解的吸引域 定义1 2 4 t 4 4 1 若方程( 1 2 1 ) l 懈x = z ( r ，t o ，x o ) 是稳定的，而且吸引域是全空间的，则 称此解x = z ( ，t o ，x o ) 是全局渐近稳定的或全局稳定的 定义1 2 5 1 4 5 】设qcd 是一开集，v c 1 ( q ，尺) 若( 1 2 1 ) 的轨线有全导数 i d v = g r a d v ( x ) 厂( z ) o ，x q 则称v 是系统( 1 2 1 ) 的l i a p u n o v 函数 引理1 2 1 ( l a u s a l l e 不变集原理) 蛔设v 是系统( 1 2 1 ) 的定义在开子集q c d 内的一个 l i a p u n o v 函数，v 在西上连续令： s = 艇孬l d v 讲( x ) = o ) ， l e s l i e 捕食被捕食模型的进一步研究 m 是( 1 2 1 ) 在s 中的最大不变子集，从q 内出发的任一正半轨线f + ( x o ) ( x o q ) 恒在q 中 并且有界，则轨线r + ( ) 的极限集c o ( r + ( ) ) cm ，且有 l i m d i s t ( x ( t ，矗) ，m ) = 0 根据引理( 1 2 1 ) ，有如下推论【4 7 | 推论1 2 1 在引理( 1 2 1 ) 的条件下，若胙妒，这里他木) ：0 ，则系统( 1 2 1 ) 的平衡点x 木 在q 内是全局吸引的 推论1 2 2 设瞰) 是系统( 1 2 1 ) 在r ”上的l i a p u n o v 函数且有下界，当恻i 一+ 时， 有嗽) 一+ ，则系统( 1 2 1 ) 的任一正半轨r + ( ) 是有界的，且当t 一+ 时该轨线趋向于 s ： x 五i _ d r ( x ) ：0 ) 中的最大不变集m 特别的，若m = x 搬) = 0 ，则平衡点矿全局渐 a t 近稳定 引理1 2 2 ( b r o u w e 不动点定理) 【1 1 】设d 是r n 中的有界闭凸集，连续算子t 将d 映 到自身，则t 在d 中必有一个不动点矿，使h 木写 为了证明系统的正周期解存在，我们引入m a w h i n 重合度理论中的延拓定理闱： 设x ，y 是实赋范线性空间，l ：d o m l c x y 为线性映射，n ：x y 为连续映射，如果 d i mk e r l = c o d i mi m l o 是一个崮定的数，表不离散化的步长 注意到 例= 七，因而( 2 2 ) 可写为 f 口o ) 一6 0 ) x o ) 一c o ) y o ) 口( 砌) 一b ( k h ) x ( k h ) 一c ( k h ) y ( h k ) ， 1 h 嚣驯一似) 器， q 3 由式( 2 3 ) ，我们用下面的微分系统来近似于式( 2 1 ) 卜( f ) = x ( r ) 口( 砌) 一b ( k h ) x ( k h ) 一c ( h k ) y ( h k ) ， 叫咣叫刎躲) ， q 4 这里t e k h ，( k + 1 ) h ) ，k 为非零正整数我们在区间【l 【1 1 ，t 】上积分系统( 2 4 ) ，其中l d a o 从o ) o 的解为正解，因此为系统的正不变集 考虑系统的生态意义，本文限在霹上考虑，并总假定“o ) o ，畎o ) o 大连理工大学硕士学位论文 定义2 1 1 一个序列 x ( n ) z o 称为周期的，若对玎n ，x ( n + c o ) = x ( 玎) ，且对 力( 1 ，- 1 ) ，x ( 挖) x ( o ) 定义2 1 2 我们称 刀) ，灭甩) 为系统( 2 7 ) 的解，是指 x ( 刀) ，畎，2 ) ) 满足系统( 2 7 ) 定义2 1 3 方程( 2 7 ) 的一个解称为周期解，若此解为周期的 为了行文方便，采用如下记号：对实数列 甙刀) ) ：g = s u p g ( n ) ，函= i n f g ( n ) 2 2 持久性 定义2 2 1 系统( 2 7 ) 被称为是持久的，如果存在正常数m ，和b l ，岛使得系统( 2 7 ) 的任何一组正解 文刀) ，畎玎) 最终都满足 召l 鱼) 鲥l ，b m i ) ，则荔n o + 2 j ；t x ( o ) m p o - i ) 按前面同样的推导方法得x ( 厩) m ，矛盾这说明对所有，z n o ，x ( n ) m 从而， l i m s u p x ( n ) m l e s l i e 捕食被捕食模型的进一步研究 情况2 ：对所有力n 均有x ( n + 1 ) 告，在( 2 7 ) 的第一个方程两边让，z 一得 坚巴【口( 功一6 ( 功x ( 功一c ( 功y ( ，2 ) 】= 0 ( 2 2 1 ) 疗- 而口( 疗) 一6 ( 胛) x ( 挖) 一c ( ，2 ) 少( ，z ) 口一b x ( n ) a 一b x ，于是， l i m a ( n ) 一b ( n ) x ( n ) 一c ( 玎) y ( 胛) a + 一b x n i 对x ( n ) 0 ，有y ( 疗+ 1 ) c ( m 2 + s ) 的正数占，由引理2 2 2 ，存在t l n ，使当甩甩时， x ( n ) m l + s ，y ( n ) m 2 + s 先证l 。i + m 。i n fx ( n ) x ( n o ) e x p a - b x ( n o ) - c ( m 2 + s ) ) 于是珥一6 x ( ) - c ( m 2 + s ) o 因此，x ( ) 竺二掣 x ( n o + 1 ) = x ( n o ) e x p a ( n o ) 一6 ( ) 石( ) 一c ( ) y ( 嘞) ) a - c ( 。m z + 6 ) e x p 儡一6 x ( ) - c ( m 2 + g ) ) 塑秀掣e x p a , - b ( m 。删。( 鸩删) 记= 坚毫掣e x p 0 4 一b * ( m 删- c ( 鸠删 往下证明：对所有刀n o ，x 仰) t 若存在p o n o 使x ( p o ) ，则p o n o + 2 记磊= m i n p op o n o + 2 血( 风) 争，所以i 塑掣珥由的任意性，有 l i m i n f x ( n ) = l i m x ( n ) 置 打- - - a o- - - a o 综合两种情况，得! 觋i i l f x ( ，z ) e 再证l i m i n f y ( n ) 垦 月- - - - o d 由l i m i n f x ( n ) 且及l i m s u p y ( n ) m 2 知，对任意正数，存在刀n ，使当疗疗 时，x ( ，z ) 蜀一g ，少( ”) 乞+ s 此时， 砌+ 1 ) 叫帅刚叫聆) 舞脚e x p ”p 器) 分两种情况进行： 情况l ：存在n o 栉使y ( + 1 ) y ( ，2 ；d ) 由系统( 2 7 ) 的第二个方程，得 少( n o + 1 脚( 咖x p ”p 器) 于是y ( ) 掣 毗y ( n o + 1 ) 掣ee x p 渺p 器) 掣ee 蚍。箐 岛一5d 1 6 记儿= 笔掣唧”嗤挚 往下证明：对所有7 1 n o ，y ( n ) 儿 若存在风n o 使y ( 风) 儿，则p o n o + 2 记p o = m i n p oi 岛n o + 2 r y ( p o ) y ( n ) 序列 y ( ，z ) ) ；的极限存在，记为歹下证：歹堕掣 若歹 o ， 与( 2 2 3 ) 矛盾这说明歹鱼掣由s 的任意性，有 l i m i n f y ( ，z ) ：l i m y ( 甩) 兰童晏垦 综合两种情况，得l i m i n f y ( n ) 垦引理2 2 3 证明完毕 由引理2 2 2 ，引理2 2 3 有 定理2 1 假定儡 c m 2 ，则系统( 2 7 ) 是持久的 2 3 周期解的存在性及稳定性 在这部分考虑系数具有共同周期的离散时变系统( 2 7 ) 周期解的存在性及稳定性 假定系统系数均为周期序列，即 口( 七+ ) = 口( 助，6 ( 七+ ) = 6 ( p ，c ( 七+ ) = c ( 助，吠七+ ) = 吠助，e ( k + a o = e ( k ) 定义2 2 2 设 i ( 力) ，歹( ，z ) ) 为( 2 7 ) 的一个解，若( 2 7 ) 的任何解 x ( ，z ) ，灭咒) ) 均满足 l i m x ( n ) = i ( 刀) ，l i m y ( n ) = y ( n ) ， 则称( 2 7 ) 的解 i ( 甩) ，歹( 船) ) 为全局吸引的 定理2 3 1 如果识 c * m 2 ，则周期系统( 2 7 ) 至少存在一个周期的周期解 ( i ( 行) ，歹( ，2 ) ) 孑 证明由引理2 2 2 、引理2 2 3 知，k = b i ，m 1 x b 2 ，m 2 # 3 系统( 2 7 ) 的正不变集 l e s l i e 捕食被捕食模型的进一步研究 在k 上定义映射f ： f ( o ( o ) 从0 ) ) = ( ) ( ( o ) ) ， ( 0 ) 从o ) ) k 从( 2 8 ) 知，f 连续依赖于( x ( 0 ) ，y ( 0 ) ) ，因此，f 在k 上连续且映k 到k ，由不动点定 理( 引理1 2 2 ) ，f 在k 至少有一个不动点何，刃 让( i ( 0 ) ，歹( 0 ) ) = ( i ，歹) ，则过( i ，歹) 的解( i ( ，z ) ，歹( 挖) ) 为( 2 7 ) 的一个周期解证明完毕 定理2 3 2 如果皿 c m 2 且 = m a x 1 1 - b mi , r 1 一良蜀f _ 卜c 鸩 1 ， 九= 一。争1 卺i ) + p 鲁 0 使 = m a x j 1 - b ( m i + 占) f ，1 1 一及( 墨一s ) i + f ( 如+ 占) 1 ， z ；= m a x i l 繁1 。嚣| + p 箐 1 由引理2 2 2 及引理2 2 3 ，对上述，存在n o n ，使当r l n o 时，有 0 蜀一s i ( 挖) ( + s ) ，0 骂一s x ( n ) ( m l + g ) ， 0 卢，其中五= ( 1 一善) ，y o = f i x a t ；+ l 系统( 3 1 1 ) 具有正初始条件( ，y o ) 的解存在且总是正的 下面给出系统( 3 1 1 ) 的有界性，持久性及边界平衡点e o ( 1 ，0 ) 的稳定性 从系统( 3 1 1 ) f n 第一个方程，得一x 0 一x ) 由比较原理得l i m s u p x ( t ) 1 ，因此，存在 t 0 ，当t t 时，有缸f ) 司么其中m i 从系统( 3 1 1 ) 的第二个方程，当p 丁时，有y 0 使得当pt 时，有 0 x ( t ) m 3 这也表明系统( 3 1 1 ) 是扩散的 另一方面，对系统( 3 1 1 ) ，如果a l 成立，则， x ( 1 一x 一三) ，这说明l i m i n f x ( t ) 1 一一1 ， 记= l 一1 口，对充分大的f ，工( f ) _ x o ， 6 y ( 卢一2 y ) e h l i l n l ，一i m i n f 2 y o ) 肇2 = y 。口】厶 f 定理3 1 1 如果条件( u 2 ) ：口 l 成立，则系统( 3 1 1 ) 是持久的 系统( 3 1 1 ) 在e o ( 1 , 0 ) nj a c o b i a n 矩阵j ( e o ) 枷驴( 1 1 斟 显然，系统( 3 1 1 ) 的边界平衡点e o ( 1 ，o ) 是不稳定的 定理3 1 2 系统( 3 1 1 ) 的边界平衡点e o ( 1 ，0 ) 是以x 轴为稳定流形的鞍点 3 1 2 全局渐近稳定性 在这部分，研究系统( 3 1 1 ) i e 平衡点的全局稳定性 作变换x ：石，“：羔，尸( 甜) ：，得 6 一 k 邶 砂 尸 吖 一 甲 卜 + x 1 一 一 1 z x 甜 = = 出一比如一出 显然，系统( 3 1 2 ) 的正平衡点e ( 五，碥) 与系统( 3 1 1 ) 的正平衡点e ( 矗，弘) 相对应，其 中五= ( 1 一者) ，地= 卢，弘= 胁 下面给出系统( 3 1 2 ) 的有界性 从系统( 3 1 2 ) 的第一个方程，得x x ( 1 一x ) 由比较原理得：i + m 。s u p x ( t ) 0 ，当t t 时，有x ( 0 i 从系统( 3 1 2 ) 的第二个方程，当p t 时，有甜7 甜( m 一1 + 印+ 吉) 一艿“2 ，由比较原理得 m