（应用数学专业论文）高阶非线性时滞微分方程的非振荡解的存在性.pdf

摘要 内容摘要：这篇论文引入并研究了一类新的高阶非线性时滞微分方 程： 历d r , p + c 邢一丁) + ( 一1 ) 州+ 1 丢酢，砌m ) ) ，砌2 ) ， ，z ( 饥( 亡) ) ) + ( 一1 ) n + 1 厂( 亡，z ( ( 亡) ) ，z ( 如( 亡) ) ，z ( ( 亡) ) ) = q ( 亡) ， t t o ， 其中佗是一个正数，0 i 死一1 ，c ( t ) c ( t o ，+ ) ，r ) ，7 - 0 ，h c ( 弘o ，+ ) xr 知，r ) ，f c ( t o ，+ o o ) 乏七，r ) ，q c ( t o ，+ ) ，r ) ， h t c ( t o ，+ ) ，r ) 和五c ( t o ，+ ) ，r ) ，并且1 i m t 。+ h l ( t ) = l i m 扣+ 五( 亡) = + o o ，z 1 ，七) 本文由c ( 亡) 的不同取值范围，建 立了6 个定理研究这类新的高阶非线性时滞微分方程的非振荡解 方法之一就是利用b a n a c h 压缩映射原理，构造映射s ，并证明s 是一 个压缩映射，然后根据b a n a c h 压缩映射原理得到压缩映射s 的不动 点，此不动点就是方程( 3 1 ) 的解；另一方法就是利用k r a s n o s e l s k i i 不 动点定理，构造2 个映射s 和t ，随后证明s 为压缩映射，t 为全连续， 然后根据k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，保证存在z 满足s x + t x = z ，此 不动点z 就是方程( 3 1 ) 的解随后本文给出了这些非振荡解带误差 的m a n n 型迭代逼近序列并讨论了逼近解和非振荡解之间的误差估计 并得到解决这类新的高阶非线性时滞微分方程的不可数多个解的充 分条件文章最后引出2 个例子，用来说明本文这些结论扩展并改进了 许多文献中已知的结果 关键词：非振荡解；高阶非线性时滞微分方程；压缩映射；m a n n 型迭 代：不可数多个非振荡解 a b s t r a c t c o n t e n t ：t h i sp a p e ri n t r o d u c e sa n di n v e s t i g a t e sa n e wh i g h e ro r d e r n o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： 杀+ c ( 蝴_ r ) 】+ ( _ 1 ) 州+ 1 嘉琊一) ，m z ) ， ，z ( ( 亡) ) ) + ( 一1 ) n + l f ( t ，z ( ) ) ，z ( ，2 ) ) ，z ( ( 芒) ) ) = q ( 亡) ， t2t o ， w h e r e 佗i sap o s i t i v ei n t e g e r ，0 i t t 一1 ，c ( t ) c ( t o ，+ o 。) ，r ) ， 7 - 0 ，h c ( ，+ ) r 七，r ) ，c ( t o ，+ o o ) r 知，r ) ，q c ( 【亡o ，+ o 。) ，酞) ，h z c ( 陋o ，+ o o ) ，r ) a n d 五c ( t 0 ，+ o 。) ，r ) w i t h l i m t + h l ( t ) = l i m t 。+ 。，l ( 亡) = + 。o ，l 1 ，惫) f o rt h e d i f - f e r e n e eo fc ( 亡) ，s i xt h e o r e m sa r ee s t a b l i s h e dt os t u d ys o m ee x i s t e n c e r e s u i t so fn o n s c i l l a t o r ys o l u t i o n so fh i g h e ro r d e rn o n l i n e a rd e l a y d i f f e r - e n t i a le q u a t i o n s o n em e t h o di st oc o n s t r u c ta c o n t r a c t i o nm a p p i n g sa n dp r o o fs i sac o n t r a c t i o nm a p p i n g t h e n ，m a k eu s eo fb a n a c h c o n t r a c t i o nm a p p i n gt h e o r yt og a i nau n i q u ef i x e dp o i n tz o fm a p p i n g s t h ezi st h en o n s c i l l a t o r ys o l u t i o no fe q ( 3 1 ) ；a n o t h e r m e t h o d i st oc c 日1 s t r u c tt w om a p p i n g ssa n dt a n dp r o o fsi sac o n t r a c t i v e m a p p i n ga n dt i sc o m p l e t e l yc o n t i n u o u s t h e n ，m a k el l s eo fk r a s - n o s e l s k i i ，sf i x e dp o i n tt h e o r yt of i n dzw h i c hm a k e ss x + t x = z t h ezi sas o l u t i o no fe q ( 3 1 ) n e x t ，s o m em a n nt y p ei t e r a t i v ea p - p r o x i m a t i o ns e q u e n c e sw i t he r r o r sf o r t h e s en o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s a r ec o n s t r u c t e da n dt h ee r r o re s t i m a t e sb e t w e e nt h ea p p r o x i m a t es o - l u t i o i l sa n dt h en o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sa r ea l s od i s c u s s e d l a s t ，t w o e x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t e dt h a to u r w o r k sa r ep r o p e rg e n - e r a l i z a t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e k e y 、r d s ：n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s ；h i g h e ro r d e rn o n l i n e a rd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；c o n t r a c t i v em a p p i n g ；m a n nt y p ei t e r a t i v e ； m n u m b e r a b l em a n yn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做出了明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名： 石绣 ， e t 期： 印 | 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权辽宁师 范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其他复制手段保存、汇编学位论文 保密的论文在解密后使用本授权书 靴敝储签勿名 指导教师签名： 日期： 记砂 多 高阶非线性时滞微分方程的非振荡解的存在性 e x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so fh i g h e ro r d e r n o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 1i n t r o d u c t i o n o s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o no fv a r i o u sk i n d so fn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sh a v eb e e ns t u d i e di nr e c e n ty e a r s w _ er e f e rt h er e a d e rt o 1 1 1 ，1 3 - 2 7 a n dt h er e f e r e n c e sc i t e dt h e r e i n t h e r ea r es o m em e t h o d si n c l u d i n gk r a s n o s e l - s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，s c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，b a n a c hc o n t r a c t i v e f i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds oo n o n eo ft h em e t h o d so ft h i sp a p e ri st od e f i n ea c o n t r a c t i v em a p p i n gs ( x ) b yt h eh i g h e ro r d e rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sa n df i n di t sf i x e dp o i n tz t h e nt h en o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nzo ft h eh i g h e r o r d e rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n se q ( 3 1 ) i sf o u n d a n o t h e rm e t h o di s t oc o n s t r u c tt w om a p p i n g ssa n dta n dp r o o fsi sac o n t r a c t i v em a p p i n ga n dt i sc o m p l e t e l yc o n t i n u o u s t h e n ，m a k eu s eo fk r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r yt o g a i naf i x e dp o i n tz w h i c hm a k e ss z + t z = z t h ezi sas o l u t i o no fe q ( 3 1 ) t h en o n o s c i l l a t o r yb e h a v i o ro fs o l u t i o n so ff i r s ta n ds e c o i l d - o r d e rn e t u r a l f u n c t i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o f f i c i e n t s a n d 面d z ( 亡) + 凹( 亡一丁) 】+ q 1 ( 亡) z ( t - - a 1 ) 一q 2 ( t ) z ( t - - i f 2 ) = o ，亡如 嘉陋( 亡) + c z ( 亡一丁) 】+ q 。( 亡) z ( t - - 6 1 ) 一q 2 ( 亡) z ( t - - a 2 ) = 。，亡亡。， ( 1 1 ) ( 1 2 ) h a v eb e e ni n v e s t i g a t e db yk u l e n o v i da n dh a d 乏i o m e r s p a h i d 9 ，1 0 u n d e rc 士1 ， a q l ( t ) q 2 ( t ) a n do t h e r sc o n d i t i o n s ，t h e ye s t a b l i s h e da s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so fe q ( 1 1 ) a n de q ( 1 2 ) t h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no fh i g h e ro r d e rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sr e c e i v e dm u c hl e s sa t t e n t i o n ，w h i c hi sd u em a i n l yt ot h et e c h n i c a l d i f f i c u l t i e sa r i s i n gi ni t sa n a l y s i s i n2 0 0 4 ，c h e n ga n da n n i ec o n t i n u e dt os t u d yt h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n sf o re x t e n d e dt h er e s u l t si n 5 】f r o mt h es e c o n d o r d e rn e t u r a le q u a t i o n t of o l l o w i n gn t h - o r d e rn e t u r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp o s i t i v ea n d n e g a t i v ec o e f f i c i e n t s ： 翱料h ) + ( 一1 ) 州 删z h 1 蝴一训= 。一( 1 3 ) t o b yo m i t t i n gt h ec o n d i t i o n sc 1a n da q l ( t ) q 2 ( 亡) ，w h i c hw e r eu s e db yk u l e n - o v i da n dh a d 芝i o m e r s p a h i d 1 0 t h i sp a p e rw a sm o t i v a t e db yr e c e n tp a p e r 4 】，w h e r et h ea u t h o r sg i v eac r i t e - r i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i u a t o r ys o l u t i o no fn t h o r d e rl i n e a rd e l a ye q u a t i o n 杀+ 呻叫 + ( 1 ) 州+ 1 面d im ，m m ) ) m 2 ) m 础) ) ) ( 1 4 ) + ( 一1 ) n + 1 f ( t ，z ( ( t ) ) ，z ( 厶( t ) ) ，z ( a ( t ) ) ) = 9 ( 0 ，t t o l i na n dk a n g 【4 】p r o v e dt h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n yn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s f o re q ( 1 4 ) u n d e rc 一1 h o w e v e r ，t ot h ea u t h o r sk n o w l e d g e ，f e wl i t e r a t u r ec a nb e 。f o u n dd e a l i n gw i t h t h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n su n d e rc = 4 - 1 a l t h o u g ha l lt h er e - s e a r c h e r s 1 2 3 ，2 6 】e s t a b l i s h e dt h ee x i s t e n c ea n da s y m p o t o t i co fn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n so fe q s ( 1 1 ) 一( 1 4 ) a n dd i dn o tg i v et h ee x i s t e n c eo fi n n u m b e r a b l em a n y n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o re q s ( 1 1 ) 一( 1 4 ) t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st of i ui nt h eg a pi nt h i sa r e a i nt h i sp a p e r ，s o m e e x i s t e n c er e s u l t so fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o re q ( 3 1 ) w i l lb ee s t a b l i s h e da n d s o m em a n n - t y p ea p p r o x i m a t i o ns c h e m e sf o rt h e s en o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sw i l lb e c o n s t r u c t e da n ds o m ee r r o re s t i m a t e sb e t w e e nt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sa n dt h e n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sw i l lb eg i v e n a n ds i xe x i s t e n c er e s u l t so fi n n u m b e r a b l e m a n yn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o re q ( 3 1 ) w i l lb eo b t a i n e d t h e s er e s u l t sp r e - s e n t e di nt h i sp a p e re x t e n d ，i m p r o v ea n du n i f ym a n yk n o w nr e s u l t sd u et o 4 ， 7 ，9 ，1 0 ，1 7 ，2 3 ，2 6 】a n do t h e r s o u rr e s u l t si m p r o v el i u 8m a i nr e s u l t s 4 】i nt h e f o l l o w i n ga s p e c t s ：( 1 ) t h i sp a p e r sp r o b l e me q ( 3 1 ) i sm o r eg e n e r a lt h a nl i u s o n ee q ( 1 4 ) ；( 2 ) i n n u m b e r a b l em a n yn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sf o re q ( 3 1 ) i sf i r s t c o n s t r u c t e di nt h i sp a p e r f u r t h e r ，t w on o n t r i v i a le x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t e t h ea d v a n t a g e so fo u rr e s u l t s t h er e s u l t si nt h i sp a p e ra r eo r g a n i z e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2 ，s o m el e m - m a sa r ei n t r o d u c e d af e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n sf o re q ( 3 1 ) a r ed i s c u s s e di ns e c t i o n3 f u r t h e r ，a sa p p l i c a t i o n so fo u r r e s u l t s ，t w oe x a m p l e sa r eg i v e ni ns e c t i o n3 2 高阶非线性时滞微分方程的非振荡解的存在性 2p r e l i m i n a r i e s b yas o l u t i o no fe q ( 3 1 ) ，t h i sp a p e rm e a n sa f u n c t i o nz c ( t l 一7 ，+ o 。) ，r ) f o rs o m et l t o ，s u c ht h a tx ( t ) + c ( 亡) z - - t ) i s 佗t i m e sc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e o n t l ，+ o o ) a n ds u c ht h a te q ( 3 1 ) i ss a t i s f i e df o rt t 1 a si sc u s t o m a r y , a s o l u t i o no fe q ( 3 1 ) i ss a i dt ob eo s c i l l a t o r yi fi th a sa r b i t r a r i l yl a r g ez e r o sa n d n o n o s c i u a t o r yo t h e r w i s e i ti sa s s u m e dt h r o u g h o u tt h i sp a p e rt h a t ( h 1 ) t h e r ee x i s tc o n s t a n t sm n 0 a n df u n c t i o n sp ，q ，r ，w c ( t o ，+ o o ) ，r + ) s a t i s f y i n g l f ( t ，u l ，u 2 ，让詹) 一f ( t ，f t l ，雹2 ，f t k ) i p ( t ) m a x i 让l 一面i ：1 z 七) ， i h ( t ，u l ，u 2 ，让七) 二h ( t ，u l ，u 一2 ，面七) i r ( t ) m a x l u , 一面l ：1 l 詹) 。 f o rt t o ，+ o o ) ，让l ，霞z n ，m 】a n d1 f 后； i f ( t ，u l ，u 2 ，u k ) i 口( 亡) ， i h ( t ，u l ，u 2 ，钆七) i w ( t ) f o rt t o ，+ o o ) ，钆f n ，m a n d1 1 尼； ( 凰) 口0 0 s 铲1m a x p ( s ) ，口( s ) ，i q ( s ) l d s + o o ； ( 凰) 舒0 。s 铲卜1m a x r ( s ) ，w ( s ) d s + ； ( 凰) c s nm a x p ( s ) ，口( s ) ，l q ( s ) l d s - t - c 0 i t i se a s yt os e et h a ta ( n ，m ) i sab o u n d e dc l o s e da n dc o n v e xs u b s e to fx t h ef o l l o w i n gl e m m ap l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h i sp a p e r l e m m a2 1 ( 2 8 】) l e t a n ) n o ， 风) n o ， ) n oa n d 如) 竹ob ef o u r n o n n e g a t i v er e a ls e q u e n c e ss a t i s f y i n gt h ei n e q u a l i t y o n + 1 ( 1 一如) q n + k 风+ ，v n 0 ， w h e r e k ) 竹oc 0 ，1 】，甚o t n = + c o ，l i m n 。o o 风= 0a n d 甚o + o 。t h e n 1 i m n 。o o o l n = 0 l e m m a 2 2 ( k r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i n tt h e o r e m ) l e txb eab a n a c h s p a c e ，l e tq b eab o u n d e dc l o s e dc o n v e xs u b s e to fxa n dl e tq ，s ：q xs a t i s f y 3 t h a tq x + s y qf o re v e r yp a i rz ，y q i fq i sc o n t r a c t i v ea n ds i sc o m p l e t e l y c o n t i n u o u s ，t h e nt h ee q u a t i o nq x + s x = zh a sa8 0 1 u t i o ni nq l e m m a2 3 l e t a 竺p i n gq c ( t o ，+ o o ) ，r + ) t h e n 跺。上嚣rq ( t ) d t 0g e n e r a t e db yt h ef o l l o w i n gs c h e m e ： z m - i - l ( t ) = ( 1 一口m 一6 m ) z m ( 亡) + o m l + 南凳。：_ # 片0 。s u ) n 一一2 h ( 8 ，z m ( 允1 ( s ) ) ，z m ( 九2 ( s ) ) ，x r n ( h k ( s ) ) ) d s d u + 面与器。t ：_ 嚣r s u ) n 一2 f ( s ，z m ( ( s ) ) ，z m ( 如( s ) ) ，z m ( ( s ) ) ) d s d u + 专三聂器。j ：# r s u ) n 一2 q ( s ) d s d u + 6 m 口m ( 亡) ，亡t ，m 0 ， ( 1 一a m 一6 m ) z m ( t ) + o m l q 、，1 ) - - ，o o ：，麝口0 0 ( s 一钆) 舻扣2 h ( s ，z m ( 1 ( s ) ) ，x m ( 危2 ( s ) ) ，z m ( h k ( s ) ) ) d s d u + 面南器。正芝r s 一钆) n 一2 f ( s ，z m ( ( s ) ) ，z m ( 尼( s ) ) ，z m ( ( s ) ) ) d s d u + 若墨啬朵。层- - + j 0 0 rr 。( s 一“) n 一2 q ( s ) d s d u + 6 m q m ( t ) ，t o t l 一 j = l o o j = l ( n i 一1 ) ! ( 礼1 ) ! o o ez 佃c ，n - - i - - 2 w 如砒 ，十 8 一乱) 加2 g ( s ) + i q ( s ) d s ，u t + 一 。8 n - - i - - 1 w ( s ) d s 霎e 扩1 口( s ) 懒刈幽 三一m i n m l ，l 一) ， w h i c hy i e l dt h a ts ( a ( n ，m ) ) a ( n ，m ) t h u s 既i sac o n t r a c t i o nm a p p i n g i na ( n ，m ) a n di th a sau n i q u ef i x e dp o i n tz a ( n ，m ) t h e nw ec a ng e t x ( t ) 己+ 而厕1 瀑。正# r o o8 一乱) n 一一2 h ( 8 ，z ( 1 ( s ) ) ，z ( 九2 ( s ) ) ，x ( h k ( s ) ) ) d s d u + 面与墨，辟雾r 0 。8 一u ) 竹一2 f ( s ，z ( ( s ) ) ，z ( ，2 ( s ) ) ，z ( ( s ) ) ) d s d u + 茜三聂墨1 仁嘉r 0 。( s u ) 竹一2 q ( s ) d s d u ，t t ，z a ( n ，m ) ， 既z ( t ) ，t o t t o + 7 - a n dt w o n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n sz 1 ，易a ( n ，m ) o fe q ( 3 1 ) s a t i s f y i n g 引d 乩一f 岛善协上8 - - u 0 0 r 牛2 1 w ，十，十 ( s ，z r m ( 危1 ( s ) ) ，z m ( 允2 ( s ) ) ，z r m ( h k ( s ) ) ) d s d u + 南薹e 小叫删 m ，( ，1 ( s ) ) ，( ( s ) ) ，( ( s ) ) ) d s d u + 痢( - 1 ) n 喜ez 佃( s 廿2 删s 砒，亡狐 高阶非线性时滞微分方程的非振荡解的存在性 a n d = ( 佗一i 一1 ) ! + ( n 一1 ) ! ( n i 一1 ) ! + ( 佗一1 ) ! 薹”引矿一j 巾) d s 壹j - - - 1j r t m 佃+ j ，( s 一刊p ( s ) d s m i n m l m ，l m 一) ， w h e r em 1 ，2 ) p u tt = 7 1 + t 2a n d0 = m i n 0 1 ，秽2 】t h e nw