（应用数学专业论文）脉冲微分方程边值问题.pdf

摘要 近几年来，边值问题是数学工作者和其他科学工作者关心的重要问 题之一，它起源于核物理、气体动力学、流体力学、边界层理论以及非线 性光学等随着对问题研究的深入，上下解方法、近似逼近方法、锥理论 和拓扑度理论逐渐成为研究边值问题的重要方法本论文利用上下解方 法，不动点理论，锥理论讨论了脉冲微分方程的边值问题解的存在性 全文共分为四章 第一章简述了脉冲微分边值问题的历史与研究现状，以及本文的主 要工作 第二章研究了一阶脉冲积分微分方程的非线性边值问题本章通过 利用脉冲微分不等式，得到了一类脉冲微分方程边值问题的一个新的比 较结果，然后利用这个比较结果结合单调迭代技巧，获得了此类问题极 值解的存在性；所得结果改进了已有的结论 第三章讨论了二阶脉冲微分方程三点边值问题多个正解的存在性 该章利用锥压缩与锥拉伸不动点定理，得到了此类问题三个正解的存在 性定理，改进和推广了已有的相应非脉冲微分方程的结果 第四章研究了二阶脉冲微分方程的初值问题该章利用一些引理，获 得了一个新的比较结果和定理，然后利用这些结果，获得了此类问题极 值解的存在性 关键词：脉冲微分方程； 边值问题； 上下解方法；单调迭代技术； 比较结果 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r 8 ，t h eb o u n d a r yv m u ep r o b l e i 璐甜em a t hw o r k e r sa n do t h e r 8 c i e n t i s t 8c o n c e r n e da b o u to n e 血p o r t a j l tq u e s t i o n ，w h i c ho r i g i n a t e di n 肌c l e 盯 p h y s i c s ，g a sd y n a m i c s ，f l l l i di n e c h 砌c s ，b o u n d a r yl r e rt h e o r y ，a n dn o n h n e a r o p t i c 8 w i t hi n d e p t h8 t u d yo ft h ep r o b l e m ，u p p e ra n dl o w r e rs o l u t i o nm e t h o d ， 印p r o 晒m a t i n gm e t h o d s ，c o n et h e o r ya n dt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o 呵h a u sg r a d u a l l y b e c o m ea ni m p o r t a n tm e t h o dt o8 t u d yb o u n d a r yv a j u ep r o b l e i i l s i nt b j sp a p e r ， t h eu 8 eo fu p p e ra n d1 0 r e rs o l u t i o nm e t h o d ，缸e dp o i n tt h e o d i s c u s s e dt h e c o n et h e o r yo fb o u n d 缸yv a l l u ep r o b l e i n sf o ri i i l p l l l s i 、，ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h e e 】( i s t e n c e8 0 l u t i o 瑚t h ef u ut e x ti sd i 啊d e di n t of o u rc h 印t e r 8 c h 印t e r1 ，0 u t l i n e st h eb o u n d a vv a l u ep r o b l e i n sf o ri m p u l s i v ed i 能r e n t m s t u d yo ft h eh i s t o r ya n ds t a t u sq u o ，a sw e u 嬲t h em 咖j o bo ft h i sa n i d e c h 印t e r2 ，b y1 1 s i n ga ni m p u l s i v ed i 融e n t 试i n e q u a l l 峨w eo b t 咖an e w c o m p a r i s o nr e s m to na ni m p l l l s i v ep e r i o d i cb o u n d a r yv 蛆u ep r o b l e i 璐，a n du 8 争 i n gt h em e t h o do fu p p e ra n d ：1 0 1 e rs o l u t i o n sc o u p l e d 诵t hm o n o t o n ei t e r a t i 、，e t e c h n i q u e ，w eo b t a i nt h ee ) ( i s t e n c eo fe x t r e m a ls o l u t i o na b o u tt h i 8p r o b l e n l s o u r r e s u l t si l p r o v es o m ek n mr e s u l t so ra r en e w c h 印t e r3 ，d i s c u s s e dt h et h r e ep o i n t sf o rac l a 鹃o fi m p u l 8 i v ed i 能r e n t i a l e q u a t i o n sb o u n d a 珂v 出u e 咖l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so f 七h ep r o b l e mo fe ) d s t e n c e ， t h ec h a p t e rl l s i n gt h ec o n ec o m p r e 鼯i o na n dt e 璐i l ec o n e 缸e dp o i n tt h e o r e m ， h a v eb e e nt h r e eq u e s t i o n se x i s t e n c eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o 硝；i m p r o v ea n de x t e n dt h e e 菇s t i n gn o n - i m p u l s i v ed i 舶r e n t i a le q u a t i o 璐c o r r e s p o n 出n gr e s m t s c h a p t e r4 ，s t u d i e st h es e c o n d - o r d e ri m p u l s i v ed i 腩r e n t i a le q u a t i o n so fi n i t i a l v 址u ep r o b l e m t h ec h 印t e ru s es o m el e m m at oo b t a i nan e wc o m p a r i s o nr e s u l t 8 a n dt h e o r e i 璐a n dt h eu s eo ft h e s er e s u l t 8 ，a c c e 鹃t os u c hq u e s t i o n st h e 饮i s t e n c e o fe x t r e m a ls o l u t i o i l s k e yw o r d s ：i m p u l s i v e ( 1 i 髓r e n t i a le ( 1 u a t i o n ；b o 邶【d a r yv 址u ep r o b l e i n ；u p p e r a n dl 旧rs 0 1 u t i o n ；m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ；c o m p a r i s o nr e s u l t i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：孑蓬午矽勿7 年乡月5 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“，) 作者签名：d 讯日期：力可年勿月多日 一匹 日， 导师签名：渤日期一年占月j 一日 5 7 脉冲微分方程边值问题 1 绪论 带有脉冲的微分方程是研究状态突然变化的发展过程的基本工具， 在许多科学领域的研究中都呈现出脉冲现象例如，振子的振动( 6 】， 电流中的脉冲【7 】，生态种群中物种的出生也可看作脉冲现象【3 】由于脉 冲微分方程比相应的不带脉冲的微分方程更能准确地描述某些现象， 因此近二十年来，脉冲微分方程的研究已引起了大量学者的兴趣【l ，2 】 如脉冲微分方程解的存在性和唯一性【8 】，解的有界性结果【9 ，l o 】，渐近稳 定性结果【1 1 ，1 2 ，1 3 】，解的整体存在性结果被呈现；脉冲控制混沌现象的 研究【1 4 ，脉冲微分方程极限环的存在性【1 5 】以及脉冲生态系统的定性 分析 1 6 ，1 7 】等我们也注意到脉冲微分方程边值问题和周期解的研究 也是当前热门的课题之一，引起了较多学者的关注，并取得了许多较 好的结果，见文【1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，但是脉冲微分方程的多点边值问题的研究 成果还较少因此，脉冲微分方程边值问题的研究具有十分重要的理 论意义和现实意义 下面简述与本文直接相关的几个问题的研究现状，并结合介绍本文 的主要工作 一、一阶脉冲积分微分方程的非线性边值问题 上下解方法结合单调迭代技巧 1 8 ，1 9 ，2 0 】，不动点定理 2 2 ，2 3 】等是研 究边值问题的主要方法 1 9 9 7 年，x u 和n i e t o 【2 4 讨论了下面形式的积分微分方程边值问题 iz 7 ( t ) = ，( t ，z ( t ) ，k z ( ) ) ，t j = 【o ，卅， lz ( o ) = z ( t ) ， 其中k z = 口克( z ，s ) z ( s ) d s 他们利用不动点定理和上下解方法结合单调 迭代技巧，建立了方程( 1 1 1 ) 的解的存在性结果。 硕士学位论文 1 9 9 7 年，l i u 【1 9 】考虑了如下脉冲边值问题 z 7 ( ) = ，( ，z ( ) ，k z ( ) ) ，= o ，卅，t 七， 。( t 七) = 厶( z ( ) ) ，忌= 1 ，p ( 1 1 2 ) z ( 0 ) = z ( t ) 作者首先利用微分中值定理，建立了一个比较结果，然后利用上下解 方法建立了( 1 1 2 ) 解的存在性定理 2 0 0 4 年，s o n g 和z h u 【2 5 】研究如下更一般的积分微分方程 z 俅) = 邢，碱k 碱s 删，。j = 悯，( 1 1 3 ) 【z ( o ) = z ( 丁) ， 、 。 其中s z = 后 ( ，s ) z ( s ) d s ，利用微分中值定理和上下解方法建立了( 1 1 3 ) 的极值解的存在性 2 0 0 4 年，h e 和h e 2 7 】讨论了下列脉冲微分积分方程 z 7 ( ) = ，( ，z ( t ) ，k z ( ) ，s z ( ) ) ，= 0 ，卅，七， z ( t 南) = 厶( z ( t 七) ) ，后= 1 ，p ，( 1 1 4 ) z ( 0 ) = z ( 丁) 利用脉冲微分不等式和上下解方法，得到了( 1 1 4 ) 的极值解的存在性 结果 2 0 0 7 年，l c h e n 和j s u n 【2 9 】讨论了下面形式的积分微分方程边值 问题 z 7 ( ) = 厂( t ，z ( ) ，k z ( ) ，s z ( ) ) ，如= j t l ，z p ) ， z ( 七) = 厶( z ( 七) ) ，后= l ，p ，( 1 1 5 ) 9 ( z ( o ) ，z ( 2 7 r ) ) = o ， 其中k z ( ) = 后七( ，s ) z ( 5 ) d s ，鼬( t ) = 后” ( ，s ) z ( s ) d s ，他们利用不动点定 理和上下解方法结合单调迭代技巧与微分中值定理，建立了方程( 1 1 5 ) 的解的存在性结果 2 脉冲微分方程边值问题 受文【2 9 】的启发，本文第二章继续讨论方程( 1 1 5 ) 的解的存在性 我们利用脉冲微分不等式，用不同于文【2 9 】的分析方法，得到了一个新 的比较定理，这一定理改进了文 2 9 】的相应结果通过引入新的上下 解，结合单调迭代方法，获得了( 1 1 。5 ) 极值解的存在性结果，这一结果 在计算中也是很有用的 二、脉；中微分方程的三点边值问题 目前，科学技术的许多领域中，如物理，机械，生物技术，经济， 种群动力学和流行病动力学等常常有在固定时刻或不固定时刻发生 快速变化或跳跃的发展过程，我们把描述这类现象的数学模型，称之 为脉冲微分方程因而脉冲微分方程较之不带脉冲的微分方程能更准 确地描绘自然界的发展过程随着科学技术的发展，出现了许多脉冲微 分方程的模型【1 ，2 ，2 8 ，3 0 】但是，目前对带脉冲的多点边值问题的多个正 解的存在性的研究，还是比较少见 最近，文献 3 6 研究了 ( ) + ，( 乞“( ) ，丁乱( ) ，s 牡( ) ) = o ( 0 ，1 ) ， u ( 如) = 厶( 2 2 ，鼍，= l ，p ， ( 1 2 1 ) u 他七) = 一以( ( u ( 靠) ) ，七= 1 ，p ， t ( 0 ) = o = ( 1 ) 正解的存在性，该文利用锥拉伸及锥压缩不动点定理，得到了其两个 正解的存在性定理 文献【4 1 】研究了系统 p o ) = 八厶以幻) 0 o ，叩( o ，1 ) ， 该文利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理，得到了七= o 时的齐 次边界条件下单调正解存在的充分条件，以及在惫o 的非齐次边界条 件下单调下凸正解存在的充分条件 在第三章，我们将利用算子关于范数的压缩或拉伸换成某个泛函的 一3 硕士学位论文 “压缩”或“拉伸”的三个不动点存在定理，研究如下边值问题 ( t ) = ，( ，珏( t ) ) ，季( 0 ，1 ) ， u ( k ) = 如 亨) j ，2 l ，p ， ( 1 2 3 ) 让7 ( 知) = ( ( u ( i ) ) ，七= 1 ，p ， 缸( o ) = p u ( 1 ) ，u 7 ( 叼) = 0 通过应用l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理，得到系统( 1 2 3 ) 的三个正解 的存在性定理，改进和推广了已有的相应非脉冲微分方程的结果 三、二阶脉冲微分方程的初值问题 a g a r w a l 和o r e g a n 2 3 】研究了下面的二阶奇异初值问题 p 2 州邢m 可，) ( o ，卅， ( 1 3 1 ) 【y ( o ) = 3 ，( 0 ) = o 作者利用修正方程的方法和l 鲫l y s c h a u d e r 择一原理，获得了( 1 3 1 ) 解 的存在性结果 文献 4 3 】研究了一阶脉冲微分方程的非齐次边值问题 z 7 ( ) = ，( ，z ( ) ) ，如= j 1 ，知) ， z ( 蠡) = 厶( z ( 南) ) ，后= 1 ，p ， ( 1 3 2 ) z ( 0 ) 一z ( t ) = a 该文利用上下解方法和单调迭代技术，获得了其极值解的存在性 在本章，我们利用上下解方法和单调迭技术，讨论了二阶脉冲微分 方程的边值问题， z ( ) = ，( ，z ( ) ) ，山= ， l ，如) ， z ! j j 2 厶( z ( 。七) ) ，七= 1 ，p ， ( 1 3 3 ) z 7 ( 知) = 露( z 7 ( k ) ) ，七= 1 ，p ， z ( 0 ) = c 血，一( 0 ) = 如 我们利用一些引理，得到了一个新的比较定理，然后利用这些结果，获 得了此类问题极值解的存在性，这一定理推广了文【4 3 】的相应结果 4 一 脉冲微分方程边值问题 2 一阶脉冲积分微分方程的非线性边值问题 2 1 引言 因为脉冲微分方程较之不带脉冲的微分方程能更准确地描绘自然 界的发展过程所以随着科学技术的发展，出现了许多脉冲微分方程 的模型【l ，2 1 ，进而对脉冲微分方程的研究显得越来越重要因而脉冲微 分方程理论的研究得到了众多数学工作者的关注【3 ，4 ，6 ，1 2 ，1 3 1 我们也注 意到，最近几年上下解方法和单调迭代法作为解决非线性问题的重要 方法之一得到了迅速的发展和广泛的应用，尤其是边值问题( 5 ，1 1 】 最近文献【2 9 】研究了系统 一( ) = ，( ，z ( ) ，k z ( ) ，s z ( ) ) ，如= j 【l ，知 ， z ( “) = 厶 ( ) ) ，七= 1 ，p ， ( 2 1 ，1 ) 夕( z ( 0 ) ，z ( 2 7 r ) ) = 0 ， 其中j = 0 ，2 7 r 1 ，o = o l 2 知 t p + 1 = 2 丌，：j 舻 兄在 如舻上连续，( j ，z ，y ，t 1 ) ，( z ，y ，札) 存在且厂( z ，y ，札) = ，( ，z ，箩，钆) ， 厶，c ( r ，兄) ，七= l ，p ，z ( 知) = z ( 者) 一z ( i ) ，z ( 坛) ，z ( 者) 分另i j 表示z ( ) 在= 坟处的左右极限，且z ( 坛) = z ( “) ； ，2 亓 k z ( t ) 2 上七( ，s ) z ( s ) d s ，s z ( ) 2z ( t ，s ) z ( s ) d s ， ，o，0 七( ，s ) c ( d ，r + ) ，九( ，s ) c ( j zr + ) ，d = ( ( ，s ) j j ：s ) ，r + = 【o ，+ 。) ，k + = m a x 七( ，s ) ：( ，s ) d ) ，日+ = m a x ( ，s ) ：( ，s ) j ，) 文 2 9 】利用微分中值定理结合单调迭代技巧，得到了上述边值问题 极大值解与极小值解的存在性定理 本章我们也将研究上述边值问题( 2 1 1 ) ，首先利用脉冲微分不等式， 得到一个新的比较定理，利用该比较结果，我们获得了其极值解的存 在性定理 一5 一 硕士学位论文 为了方便，我们给出以下的函数空间 p c ( j ) = z ：j + r ，在t 七处连续，z ( o + ) ，z ( 2 丌一) ，z ( 砉) ，z ( t i ) = ! 享 在，且z ( i ) = z ( 七) 七= 1 ，p ，) p c l ( j ) = z p c ( j ) ：在“处连续可微，z 7 ( o + ) ，z ，( 2 7 r 一) ，z 印吉) ，z 他i ) 存在，且z 7 ( t i ) = 一( 知) ，克= 1 ，p ，) 我们定义以下范数： 叫i 彤= 8 u p 1 z ( t ) 1 t j ，蚓l 阳，= m a x i l z l p c ，咿l l 粥) 显然，p c ( j ) 与尸c 1 ( j ) 是b a i l a c h 空间 设q = p c l ( j ) ，我们说z ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的解，意味着z p c l ( j ) 且满足方程( 2 1 1 ) 的各等式 为了方便起见，我们首先给出如下定义： 定义2 1 1 称q ( ) ，( ) p g l ( j ) 分别是方程( 2 1 1 ) 的下解和上 解，如果 以及 定义区间： q 讹) ，( ，q ( ) ，q ( ) ，s 口( ) ) ，如， q ( 岛) 厶( q ( 靠) ) ，尼= 1 ，p ， 夕( a ( 0 ) ，口( 2 7 r ) ) 0 p 7 ( t ) ，( ，p ( ) ，k p ( t ) ，s p ( t ) ) ，t 矗， p ( 如) 厶( p ( 如) ) ，后= l ，p ， 夕( p ( 0 ) ，卢( 2 7 r ) ) 0 【q ，p 】= z p c l ( j ) ：理( ) z ( ) ( ) ，j ) 2 2 比较结果和引理 在本节，我们将利用一些引理，得到一个新的比较结果，这个比较 结果在本节以后的部分将扮演一个重要角色 6 脉冲微分方程边值问题 引理2 2 1 1 1 j议s 【o ，t ) ，o ，q 七，尼= 1 ，p 是常数，议 p ，g p c ( 正r ) ，z 尸c 1 ( zr ) ，如果 l ( ) p ( ) z ( ) + 口( ) ，【s ，t ) ，t 如， lz ( 毒) c 奄z ( “) + q 七， “【5 ，t ) ， 那么【s ，卅有 荆如+ ) ( 。旦。c 七) e x p ( 肛u ) d ) 5 札 t ”47 + 。( 。器。c ) 唧( 胁) 打) 咖) 砒 + 。( k 觋。q ) 唧( 附胁) q 詹8 “ t k t o ，o ，l o ，o 以 1 ，满足 一( ) 一m z ( ) 一j g 七( ，s ) z ( s ) d s lj 予” ( ，s ) z ( s ) d s ，如， z ( k ) 一l k z ( “) ，七= 1 ，p ， ( 2 2 1 ) z ( 0 ) s ) 旺( 2 7 r ) ，o 入s1 且有以下条件成立 ( k 。+ 日) ( e 2 霄m 一1 ) e 2 ”肘厶 ( 1 一l k ) d s 入m ( 1 一l 女) 2 ，( 2 2 2 ) 。u 鼻 “ o ，且u ( t ) o ，j 情形2 存在矿，k j 使得u ( t + ) o ，u ( 以) o ，乱( o ) u ( 2 7 r ) 但是u ( o ) = z ( o ) a z ( 2 7 r ) o ，不妨设z ( ) o ，令 丢= 仍8 z j ，翳z ( s ) = 茹( ) = 一7 ，7 o ) 不妨设f ( k ，t 。+ 。】，l m p ，使得z ( d = 一7 ( 若z ( t ：) = 一，y ，其证明类 似) 情形( o ) 他( 2 7 r ) o ，札( ) 一，y ，贝i j 有 礼7 ( ) ，v 7z 。七( ，s ) e m 。一8 ) d s + l ，yz 2 ”九( ，s ) e m ( t 一5 ) d s 7 k + z e m 。一5 ) d s + l ，y 日+ z 2 ”e m ( t 一砖d s，0j 0 = 7 k e 肘。m 一1 ( 1 一e m 。) + ，y l h + e m 。m 一1 ( 1 一e 一2 ”m ) 一y m 一1 ( k + l 日) ( e 2 ” f 一1 ) 我们考虑如下不等式组 幻g 护1 ( 胍斗埘1 ( e 2 埘。) ，挺氐 ( 2 2 3 ) l 让( 毒) ( 1 一l 七) u ( t 七) ，七= 1 ，p 由引理2 2 1 我们可以得到 u ( ) u ( dn ( 1 一l ) k 坟 + n ( 1 一l 知) 7 m - 1 ( k + + 日+ ) ( e 2 ”m 一1 ) d s j 8 “ t 8 一 脉冲微分方程边值问题 令t = 2 7 r ，司得 u ( 2 7 r ) 乱( 刁一兀 ( 1 一l 詹) t k 2 丌 + 詹：。 蹦卜7 扩1 删斗朋坩_ 1 灿( 2 2 4 ) 一7l i ( 1 一l 奄) 尚= ：m + ，y m 一1 ( k + + 日+ ) ( e 打肘一1 ) 舻” 丌 ( 1 一厶) 如， s “ 2 ” 所以有 礼( 2 7 r ) 一，y ( 1 一“) + ，y m 一1 ( k + 日+ ) ( e 2 ” f 一1 ) 厶 ( 1 一l 知) d s 。u 暑 “ 2 丌 因为u ( 2 丌) o ，从而可得 鱼( 1 吨) 矿( 脚+ 删) ( e 2 - 1 ) 广 婴2 。( 1 也) d s n ( 1 一l 知) m - 1 ( k 。+ l h + ) ( e 2 ” f 一1 ) 厶( 1 一l 七) d s 七= l ” 5 t 知 2 丌 这与( 2 2 2 ) 式相矛盾! 情形( 6 ) 就( 2 丌) o 如果手 矿，且矿( 口，q + 1 】，o 口m 一1 ，则由( 2 2 3 ) 式和引理2 2 1 有 ( t ) u ( o ) ( 1 一l 蠡) + ，y ( 脚+ 御) ( e 2 - 1 ) r 。罪。( 1 也) 缸 令= 矿，可得 “( ) 札( o ) ( 1 一以) + 7 m 一1 ( 脚+ 删) ( p m 一1 ) f 必1 一厶) 如， 而u ( o ) a e 一2 丌m t t ( 2 7 r ) ，则有 仳( t ) a e 一2 ”m u ( 2 7 r ) ( 1 一l ) + 7 m 一1 ( 肼+ 脚) ( 声肘一1 ) o 可知 o 入e 一2 ”m u ( 2 7 f ) n ( 1 一l 是) + ，y m 一1 ( k + l h + ) ( e 2 霄m 一1 ) 片+ 兀 ( 1 一l 七) d 5 、。 因而从( 2 2 4 ) 式和( 2 2 5 ) 式我们可以得到 一7 m - 1 ( k + + 删) ( p m 1 ) z 。 必1 一饥) d s 扩2 州县( 1 一工奄) 卜直c 1 也m c 脚+ 御2 叫 黝1 也 一7 ( 1 一三七) + 7 m - 1 ( 耳+ + l 日) ( e 2 ”m 一1 ) “( 1 一三七) d s i知= m 。 s “ 一m 。( m + 脚) ( 矽m 一1 ) p m z 。 蹦1 一k ) 妇 所以有 a ( 1 一l 知) n ( 1 一岛) m 一1 ( k + + l h 4 ) ( e 2 ”肘一1 ) a 直c 一l 七) z 孙。 理：。( 1 一如+ m 。 理t ( 一k 冲 ( 2 2 6 ) a 旦( 1 一氐) z 。 理：。( 1 一以皿s + 矿删z 。 理。( 1 一k ) d s ( 2 2 6 ) 把( 2 2 6 ) 式两边同时乘以责( 1 一k ) ，那么我们可以得到 a ( 1 一k ) ( 1 一岛) m - 1 ( k + 十l h + ) ( e 2 一1 ) i p ，2 丌 p ，rl a 尽( 1 一厶) z 。 理。( 1 一厶) d s + e 2 七县。( 1 一如) 上。 理p ( 1 一k 灿 i 膏= l 。 s o k 2 霄七：2 口+ l 。u s t 士 t i m 一1 ( k + + l h + ) ( e 2 。m 一1 ) e 2 7 r m z r 。 疆：霄( 1 一l 知) d s + a z 2 霄。 疆。霄( 1 一l t ) d s m - 1 ( k + + l 日+ ) ( e 2 ”m 一1 ) e 2 7 r m ” ( 1 一厶七) 出， 一1 0 脉冲微分方程边值问题 从而得到 m 一1 ( 脚+ 胛) ( 沙m 一1 ) 矿m f a n ( 1 一“) ( 1 一易) a ( 1 一“) 2 ， = 1 j = m 七= l 同样与( 2 2 2 ) 式矛盾! 所以我们有，当j 时，札( ) o 从而一定有 对v t ，z ( t ) 0 注解1 很显然，当入= l 时，条件( 2 2 2 ) 比文献【7 】中的条件( 5 ) 要好1 2 3 边值问题 在这一节，我们研究边值问题( 2 1 1 ) 的解的存在性考虑如下边值 问题 z 他) = 吼( t ) 一m z ( t ) 一片七( t ，s ) z ( s ) d s l 后” ( t ，s ) z ( s ) d s ，t 而， z ( “) = 厶( u ( “) ) 一三七( z ( 如) 一u ( ) ) ，七= 1 ，p ， 9 ( u ( o ) ，t ( 2 丌) ) = 一舰( z ( 0 ) 一t ( o ) ) + 如( z ( 2 丌) 一让( 2 7 r ) ) ， ( 2 3 1 ) 其中吼( ) = ，( ，让( t ) ，k t ( ) ，s 让( ) ) + m 牡( ) + 后七( ，s ) u ( s ) d s + l 詹” ( ，s ) u ( s ) d s 引理2 3 1 设z ( ) q 是( 2 3 1 ) 的解当且仅当z p c ( j ) 是下面 带脉冲积分方程的解 z ( ) = c e m 。b 乱+ j 孑”g ( ，s ) p ( s ) 一k z ( s ) 一l s z ( s ) 】d s， + g ( t ，“) 【厶( u ( 如) ) 一l 七( z ( 如) 一u ( 如) ) 】， 、7 ( 2 3 2 ) 其中b u = 一夕( u ( o ) ，乱( 2 丌) ) + 尬u ( o ) 一尥“( 2 7 r ) ，c = ( 尬一e 2 棚) ，m ， 厶舰，必是常数，且m o ，o ，l o ，舰e 嘲m = 憾竺：二：；，翟兰“g 硕士学位论文 证明 假设z ( ) 是( 2 3 1 ) 的解，则 ，( t ) + 订z ( t ) = 盯( ) 一k z ( t ) 一l s z ( t ) ，矗， z ( ) = 厶( 缸( “) ) 一l 詹( z ( 如) 一钆( t k ) ) ，七= 1 ，p ， 我们可以得到 z ( t ) = e m t z ( o ) + z 。e m ( t 一8 p ( s ) 一k z ( s ) 一l s z ( s ) 】d s + e m o 一“【厶m ( t ) ) 一l 七 ( 如) 一u ( ) ) 】 令t = 2 7 r ，那么有 因为 其中 0 “ t z ( 2 霄) = 一2 r m z ( o ) + z 2 霄e m ( 2 ，r j p ( s ) 一k z ( s ) 一s z ( s ) 】d s + e m 2 ”q t 【厶( u ( 如) ) 一l 詹( z ( “) 一u ( 如) ) 】 o “ 2 ，r 舰z ( o ) 一z ( 2 丌) = b u ，所以 z ( o ) = 因而我们有 其中 c b “+ c f ”e 埘( 2 ”5 ) 【巾) 一k 小) 一l s 小) d s + cf z ( t ) = o “ 2 ”e 一 彳( 2 r t | ，k ( 牡( 七) ) 一上佬( z ( 七) 一札( 七) ) 】) c = ( 舰一e 一撕m ) 一 c b u e m 。+ z 2 丌g ( t ，s ) p ( s ) 一k z ( s ) 一l ( s ) 】d s + g ( ，如) 【厶( u ( ) ) 一l 七( z ( 如) 一札( 七) ) 】 g ( ，s ) = o t k 2 r 1 2 2 7 r 一 一 打 0 一 曲 s 卜 o ，m 尬e 嘞m ，r = m 凹 i c m l ，i c m 且 rp1 r1 4 7 r 2 k + 4 丌2 三日+ + j l 知il 1 ，c = ( 尬一m 2 e 一2 霄m ) 一1 ， ( 2 3 3 ) 那么系统( 2 3 1 ) 有唯一的解z 尸c ( j ) 证明假设z p c ( j ) ，定义算子 ，2 丌 n ( ) = c j e 7 u e m 。+ 正 g ( t ，s ) p ( s ) 一k 0 ( s ) 一三& ( s ) 】如 + g q ，t k ) 【厶u ( 如) ) 一l 靶( z ( 如) 一u q k ) ) 1 ， 其中g ( t ，s ) 如前式所定义，直接计算有 m n z i g ( t ，s ) i = m 们 i c i ，i c e - 2 删+ 1 i ) = m o z l c m l i ，l c b = r ， i l f u 一，训i 2 蜉g ( 和) - ( k 一k 口) 一l ( s 一s ) 】如+ 。 篆2 霄g ( “池圳一“州】l srp k + 4 祝日+ + 砉叫叫1 令r ( 4 7 r 2 k + 4 7 r 2 l h + 萎j l 拓1 ) o ， ，l o ( h s )函数厶满足 厶( z ) 一厶( ) 一l 七( z 一3 ，) ， 其中q ( ) 3 ，( “) z ( 如) p ( 如) ，o l o ( h 5 ) 条件( 2 2 2 ) 式，( 2 3 3 ) 式成立且入= 麓。 定理2 4 1 假设条件( h ，) ( h 2 )( h 。)( h 4 )( h 5 )成立，则存 在单调序列n n ，风使得舰q n ( ) = p ( ) ，溉风( ) = ，y ( z ) ，在t ，上一 致成立，且在j 上单调一致收敛进一步，这里的p ( t ) ，7 ( ) 分别是方程 ( 2 1 1 ) 在区间【q ，翻上的最小解与最大解也就是说，如果叫( ) 是( 2 1 1 ) 的任意一解，且( ) 叫( ) p ( ) ，t j 那么 q ( t ) q 1 ( ) q n ( ) p ( t ) ( t ) 一y ( t ) 风( t ) 历( t ) p ( ) ，t z 证明对地【q ，纠，由引理2 3 2 可知，系统( 2 3 1 ) 存在唯一的解 可q 定义算子a 使得y = a u ，且 4 t 暑( ) ：c b u e 一肼t + ( 新g ( ，s ) p ( s ) 一k z ( s ) 一l s z ( s ) 】d s j 0 。 + g ( ，如) 厶u ( 岛) ) 一l k ( z ( 坛) 一扎( ) ) 】， 0 七 2 ，r 1 4 脉冲微分方程边值问题 那么算子a 必有以下性质 ( 1 ) q o a q d ，a 岛岛 令仇= q o 一虬其中q l = a a o m ( ) = a ：( t ) 一a ：( t ) ，( ，a o ，k a o ，s a o ) 一 - 订0 1 一口l l s a l + 厂( ，a o ，咖，s a o ) + m q o + q o ，+ 己s a o j = 一 彳m 一k m l s m ，t 矗， m ( 如)= o o ( k ) 一口l ( 如) 厶( q o ( “) ) 一【厶( q o ( 如) ) 一l 知( q 1 ( “) 一q o ( ) ) 】 = 一l 七m ( 如) ，七= 1 ，p ， m ( o ) = 伽( o ) 一口l ( o ) = 州。) 一f - 击如。( 0 ) “2 丌) ) + q 。( 。) + 甏( 州2 丌) 一q 。( 2 丌) ) 】 甏m ( 2 n 由引理2 2 2 ，我们可得m ( t ) o ，t j ，即咖a a o 令n = 岛一儡，其中历= a 岛，则有 仡，( ) = 斜( ) 一脱( ) 曼f q ，8 0 ，k 氏，s 一m 8 l n k 8 l l s 队 一，( t ，阮，k 风，s 廓) 十m 岛+ k 肪，+ l s 肺 = m ( 岛一岛) + k ( 岛一侥) + 三s ( 岛一历) = 一订n 一k n l s 几，如， n ( 坟) = 历( “) 一扁( “) 厶( 岛( 氏) ) 一几( 阮( “) ) 一如( 所( ) 一阮( “) ) = 一l 七n ( “) ，七= 1 ，p ， n ( o ) = 角( 0 ) 一岛( o ) = 一击9 ( 岛( 。) ，岛( 2 丌) ) + 扁( o ) + 甏( 岛( 2 丌) 一风( 2 丌) ) 一岛( 。) 1 5 硕士学位论文 甏雌丌) 由引理2 2 2 ，我们可得n ( ) o ，t j ，从而有a 岛肺 ( 2 ) a 7 7 1 a 7 7 2 ，对q 叼1 7 7 2 p 成立 令u 1 = a 叼1 ，u 2 = a 啦，m = u 1 一u 2 ，则 m ，( t ) = 乱：( ) 一u ：( ) = ，( t ，叼1 ，k 叼1 ，s 叩1 ) + ，叼1 + k 叼l + l s 叼l a ，u 1 一j r t 正l l s u l - 【，( ，啦，k ? 7 2 ，s 7 7 2 ) + m 啦+ k 啦+ l s 7 7 2 一m t 正2 一k u 2 一l s 札2 ， 啦一7 7 l 】+ 【七7 7 2 一k 7 7 1 1 + l s 吁2 一s 叩l 】+ 订 叩1 7 7 2 1 + 陋7 7 l k ? 7 2 】+ l 【j s 7 7 1 一s 啦】一j 订i u l 一t 正2 】一【k 仳1 一k t 正2 】一l 【s t 正l s u 2 】 = 一m m 一仇一l s m ，而， m ( ) = u l ( 七) 一乱2 ( “) = 屯田l ( 如) 一l 知m l ( t 七) 一7 7 l ( t 知) ) 一【奴 7 2 ( 如) 一l 七( u 2 ( 七) 一啦( t ) ) 】 七 啦( 如) 一叼1 ( 如) 】一l 【u 1 ( “) 一叼1 ( 如) 】+ l 知【u 2 ( 如) 一啦( “) 】 = 一k m ( 詹) ，尼= 1 ，p ， 仇( 0 ) = 一壶夕( 叩t ( 0 ) 枞2 丌) ) ( 。) + 甏( 让t ( 2 丌) 一似2 丌) ) 一 一击夕( 7 7 2 ( o ) ，7 7 2 ( 2 丌) ) + 啦( o ) + 等( u ：( 2 霄) 一7 7 2 ( 2 丌) ) 一【- 壶夕( 7 7 2 ( o ) ，7 7 2 ( 2 7 r ) ) + 啦( o ) + 兹( u 2 ( 2 7 r ) 一7 7 2 ( 2 丌) ) j 瓮m ( 2 n 同样由引理2 2 2 可知m ( t ) o ，j ，即a 叩lsa 啦 又令风= a