（应用数学专业论文）软集合理论在模糊逻辑代数中的应用研究.pdf

摘要 软集合理论是由m o l o d t s o v 在1 9 9 9 年提出的，它是一种新的处理模糊和不确定性模 型的数学工具由于软集合中的参数可以取任意形式，使得该理论在数学，经济学，工程 学和物理学等领域中都得到了广泛应用 本文将软集合理论运用到模糊逻辑代数中研究并讨论了软b c i 代数的软关联理 想、软正定关联理想和软可换理想，软b l 代数的软滤子、软蕴涵滤子、软正蕴涵滤子 和软奇异滤子，并对它们的性质进行了研究得到一系列有意义的结果，丰富了软集合理 论的代数结构具体内容如下： ( 1 ) 给出软b c i 代数的软关联理想、软正定关联理想和软可换理想的概念讨论了 软理想、软关联理想、软正定关联理想和软可换理想之间的关系，并对两个软关联理想 ( 软正定关联理想，软可换理想) 的扩展交、限制交、限制并、限制差分的运算性质和软 相等关系进行了研究得到两个软关联理想( 软正定关联理想，软可换理想) 的扩展交，限 制交依然是一个软关联理想( 软正定关联理想，软可换理想) ，同时，给出实例说明两个软 关联理想( 软正定关联理想，软可换理想) 的限制并、限制差分不是软关联理想( 软正定关 联理想，软可换理想) ( 2 ) 在软b l 代数上提出了软滤子、软蕴涵滤子、软正蕴涵滤子和软奇异滤子的概 念，讨论软滤子、软蕴涵滤子、软正蕴涵滤子和软奇异滤子之间的关系，并对两个软滤子 ( 软蕴涵滤子、软正蕴涵滤子、软奇异滤子) 的软相等关系和偏序关系进行了研究 关键词：软b c i 关联理想；软b c i 正定关联理想；软b c i 可换理想；软b l 代数； 软滤子 a b s t r a e t a b s t r a c t n l es o f ts e tt h e o r yw a si n t r o d u c e db ydm o l o d t s o vi n19 9 9 i ti san e wm a t h e m a t i c a l t o o lf o rd e a l i n gw i t hv a g u e n e s sa n du n c e r t a i n t ym o d e l a st h ep a r a m e t e r so fs o f ts e t sc a nt a k e a n yf o r m ，t h et h e o r yh a sb e e nw i d e l yu s e di nm a t h e m a t i c s ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，p h y r s i c s a n do t h e rf i e l d s i nt h i sp a p e r , t h es o f ts e tt h e o r yi s a p p l i e dt of u z z yl o g i c a la l g e b r a s s o f ti m p l i c a t i v e i d e a l s ，s o f tp o s i t i v ei m p l i c a t i v ei d e a l s ，s o f tc o m m u t a t i v ei d e a l so fb c i - a l g e b r a s ，s o f tf i l t e r s ， s o f ti m p l i c a t i v ef i l t e r s ，s o f tp o s i t i v ei m p l i c a t i v ef i l t e r s ，s o f tf a n t a s t i cf i l t e r so fb l - a l g e b r a sa r e s t u d i e d m e a n w h i l e ，s o m ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so ft h e ma r ed i s c u s s e d t h er e s u l t so b t a i n e d i nt h i sp a p e r , e n r i c ht h ea l g e b r a i cs t r u c t u r eo ft h es o f ts e tt h e o r y w el i s tt h em a i nr e s u l t sa s f o l l o w s ： ( 1 ) t h ed e f i n i t i o n so fs o f ti m p l i c a t i v ei d e a l s ，s o f tp o s i t i v ei m p l i c a t i v ei d e a l s ，s o f t c o m m u t a t i v ei d e a l so fb c i a l g e b r a sa r ei n t r o d u c e d t h e n ，t h er e l a t i o n sa m o n gt h es o ri d e a l s ， t h es o f ti m p l i c a t i v ei d e a l s ，t h es o f tp o s i t i v ei m p l i c a t i v ei d e a l sa n dt h es o rc o m m u t a t i v ei d e a l s a r ed i s c u s s e d f u r t h e r m o r e ，t h ee x t e n d e di n t e r s e c t i o no p e r a t i o n ，t h er e s t r i c t e di n t e r s e c t i o n o p e r a t i o n ，t h er e s t r i c t e du n i o no p e r a t i o n ，t h er e s t r i c t e dd i f f e r e n c eo p e r a t i o na n ds o f te q u a l i t y r e l a t i o no ft w os o f ti m p l i c a t i v ei d e a l s ( s o f tp o s i t i v ei m p l i c a t i v ei d e a l s ，s o f tc o m m u t a t i v e i d e a l s ) a r es t u d i e d a n dw eh a v eg o tt h a tt h ee x t e n d e di n t e r s e c t i o no p e r a t i o n ( t h er e s t r i c t e d i n t e r s e c t i o no p e r a t i o n ) o ft w os o f ti m p l i c a t i v ei d e a l s ( s o f tp o s i t i v ei m p l i c a t i v ei d e a l s ，s o f t c o m m u t a t i v ei d e a l s ) i ss t i l las o f ti m p l i c a t i v ei d e a l ( s o f tp o s i t i v ei m p l i c a t i v ei d e a l ，s o f t c o m m u t a t i v ei d e a l ) m o r e o v e r , w eg i v es o m ee x a m p l e st oi l l u s t r a t et h a tt h er e s t r i c t e du n i o n o p e r a t i o n ，t h er e s t r i c t e dd i f f e r e n c eo p e r a t i o no ft w os o f ti m p l i c a t i v ei d e a l s ( s o f tp o s i t i v e i m p l i c a t i v ei d e a l s ，s o f tc o m m u t a t i v ei d e a l s ) m a yn o tb eas o f ti m p l i c a t i v ei d e a l ( s o f tp o s i t i v e i m p l i c a t i v ei d e a l ，s o f tc o m m u t a t i v ei d e a l ) ( 2 ) t h en o t i o n so fs o f tf i l t e r s ，s o f ti m p l i c a t i v ef i l t e r s ，s o f tp o s i t i v ei m p l i c a t i v ef i l t e r sa n d s o f tf a n t a s t i cf i l t e r si ns o f tb l a l g e b r a sa r ep r o p o s e d t h e n ，t h er e l a t i o n sa m o n gt h es o f t f i l t e r s ，t h es o f ti m p l i c a t i v ef i l t e r s ，t h es o f tp o s i t i v ei m p l i c a t i v ef i l t e r sa n dt h es o f tf a n t a s t i c f i l t e r sa r ei n v e s t i g a t e d b o t ht h es o f te q u a l i t yr e l a t i o na n dt h ep a r t i a lo r d e r i n gr e l a t i o no ft w o s o f ti m p l i c a t i v ef i l t e r s ( s o f tp o s i t i v ei m p l i c a t i v ef i l t e r s ，s o f tf a n t a s t i cf i l t e r s ) a r es t u d i e d k e y w o r d s ：s o f tb c i i m p l i c a t i v ei d e a l ；s o f tb c i - p o s i t i v ei m p l i c a t i v ei d e a l ；s o f tb c i c o m m u t a t i v ei d e a l ；s o f tb l a l g e b r a s ；s o f tf i l t e r 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目蜀毛i 第一章绪论1 1 1 软集合理论的研究意义与国内外的研究动态。1 1 2 本文的主要工作和创新点2 1 3 预备知识3 1 3 1b c i 代数的有关概念3 1 3 2b l 代数的有关概念3 第二章软集合理论5 第三章b c i 代数的软理想。7 3 1b c i 代数的软关联理想7 ，j 3 2b c i 代数的软正定关联理想13 3 2b c i 代数的软可换理想1 7 第四章软b l 代数21 一4 4 1 软b l 代数2 1 4 2 软b l 代数的软滤子2 1 4 3 软b l 代数的软蕴涵滤子2 2 4 4 软b l 代数的软正蕴涵滤子2 5 4 5 软b l 代数的软奇异滤子2 7 第五章总结与展望31 5 1 总结31 5 2 展望31 致谢3 2 参考文献一3 3 附录：作者在攻读硕士学位期间发表的论文3 7 第一章绪论 第一章绪论 1 1 软集合理论的研究意义与国内外的研究动态 1 9 9 9 年，m o l o d t s o vda 【1 】提出了一种新的处理不确定性模糊对象的数学工具软 集合理论它能够克服概率论、区间数学、模糊集合等传统数学的很多缺陷比如，在传 统的数学方法中，我们需要建立关于对象的数学模型，并定义其精确解但是，在软集合 理论中，我们可以任意地选择参数来对对象进行描述使得该理论在数学，经济学，工程 学和物理学等领域中都得到了广泛应用 2 - 3 0 】，引起了学者们的广泛关注 m a j ipk ，r o yar 和b i s w a sr e 6 - 9 】将软集合的参数模糊化和直觉模糊化，提出了模 糊软集合和直觉模糊软集合的概念，给出了模糊软子集和直觉模糊软子集的定义，并分 析了模糊软集合和直觉模糊软集合在问题决策上的的应用2 0 0 3 年，他们【l o j 又进一步对 该理论进行了研究和完善，并引入了软集合的运算法则同年，杨成福【l l j 举反例指出【1 0 】 中定义的并运算不成立2 0 0 8 年，甜imi ，f e n gf ，l i ux ，m i nwk 和s h a b i rm d 2 l 进一步指 出了【1 0 】中交，并运算的错误，并给出了新的运算和德摩根法则2 0 0 9 年，x uw ，m a j ，w a n gsy 和h a og z 3 j 又对两个软集合的交进行了重新定义，并将软集合理论运用到 v a g u e 集中，给出了v a g u e 软集的概念，并讨论了v a g u e 软集的性质 近年，国外不少学者将工作重心放在了对软集合理论的代数结构的研究上【1 4 。1 9 。 2 0 0 5 年，a k t a 4h 和q a 誊r n a nn t l 4 1 首先提出了软群的概念，并研究和讨论了软群的基本性 质2 0 0 8 年，a y g i l n o o l ua 和a y g q nh 【1 5 】又在软群的基础上提出了模糊软群的概念f e n g f ，j u nyb ，z h a oxz 【1 6 j 等人将软集合理论推广到半环上，给出了软半环，软子半环，软半 环的软理想等的定义s u nqm ，z h a n gzl 和l i uj 【1 7 】等人在模上讨论了软集合的性 质a c a ru ，k o y u n c uf ，t a n a yb 【1 8 】和q i nk ，h o n gzy 【1 9 1 分别给出了软环和软格的定 义，这些研究工作大大地丰富了软集合理论的代数结构 b c i b c k 代数是由i m a i 和i s e k i 3 0 】在1 9 6 6 年提出的，几十年来，对该理论的研究已 有了极为丰硕的结果p o 也】值得注意的是，i s e k i 在文 3 0 1 q b 给出了b c i 理想的概念，并用 b c i 理想对b c i 代数进行了刻画1 9 9 3 年，孟杰【3 7 l 引入了b c i 可换理想次年，刘用麟和 张d , 红t 3 8 】给出了b c i 正定关联理想的概念，并讨论了正定关联理想和理想之间的关系 在文【3 9 】中刘用麟和孟杰又提出了b c i 关联理想，并用b c i 关联理想对b c i 一关联代数进 行了刻画 2 0 0 8 年，j u nyb 2 0 将软集合理论运用到b c i b c k - 代数中，提出了软b c i b c k 一代数， 并对其性质进行了研究随后，他又和p a r kch 【捌在b c i b c k 代数上给出了软理想和理 想化的软b c i b c k 代数的概念，研究了它们的一些基本性质，并讨论了软理想和理想化 的软b c i b c k 代数的交，并，和以及或者运算次年，j t myb ，l e ekj 又与z h a njm 幽1 一起将软集合理论推广到b c i 代数的p 理想中之后，j u nyb 和s o n g sz t 2 s 又进一步将 b c i 代数的软子集和软理想推广到模糊集上，提出了一软集合和g 一软集合的概念，并用 一软集合和口一软集合对软b c i 代数进行了刻画 江南大学硕士学位论文 b l 代数是p e t e rh f j e k t 4 3 - 4 5 】为了证明b l 逻辑系统的完备性而提出的m v 代数和 g g d e l 代数都是b l 代数的特例【3 3 , 3 4 滤子是刻画模糊逻辑代数的一个重要工具【4 3 - 1 9 1 ， p e t e rh f i j e k 在文 4 3 】中首先介绍了b l 代数的滤子1 9 9 9 年，t u r u n e ne 4 6 - 4 8 】对b l 一代数进 行了系统地研究在文【4 7 】中，他用布尔演绎系统对b l 代数进行了刻画，给出了b l 代数 的蕴涵演绎系统和布尔演绎系统的定义，证明了b l 代数的演绎系统与b l 代数的滤子 等价，b l 代数的布尔演绎系统和蕴涵演绎系统等价随后，h a v e s h k im ，s a e i da b ，e s l a m ie 【4 9 ，5 0 1 和k o n d om ，d u d e kwa 【5 1 1 分别介绍了b l 代数的各种滤子，并讨论了它 们之间的关系“ulz 和l ik t 在文 5 2 ，5 3 d ? 将b l 代数的滤子，布尔滤子，正蕴涵滤子 推广到模糊集上，并指出在m v 代数中，布尔滤子、蕴涵滤子、正蕴涵滤子是等价的在 文 5 4 】中，m axl ，z h a n gjm 和x uy 一起对b l 代数的模糊滤子进行进一步推广，给出 了b l 代数的广义模糊滤子的概念2 0 0 4 年，j u nyb 和k ojm 【5 5 】对b l 代数的重理论进 行了研究，h a v e s h k im 和e s l a m ie 在文 5 6 】中讨论了b l 代数的n 重滤子至此，对b l 代数滤子理论的研究已有了极为丰硕的结果 近年来，随着软集合理论的兴起，j u nyb 教授【2 7 】将软集合理论在b l - 代数上进行推 广，给出了滤子化的b l 一代数的概念，随后，在 2 8 】中和z h a njm 一起在模糊集上讨论了 软b l 代数的性质，和文 2 5 】一样用一软集合和g 一软集合对软b l 代数进行了刻画 1 2 本文的主要工作和创新点 基于上述研究现状的分析，本文将软集合理论运用到模糊逻辑代数中主要工作如 下： 一、 将软集合理论运用到b c i 代数的关联理想，正定关联理想和可换理想中，讨论 软关联理想，软正定关联理想和软可换理想之间的关系 ( 1 ) 任一软关联理想都是一个软理想，但软理想却不一定是软关联理想； ( 2 ) 任一软正定关联理想都是一个软理想，但是软理想却不一定是软正定关联理想； ( 3 ) 任一软关联理想都是一个软正定关联理想，但是软正定理想却不一定是软关联 理想： ( 4 ) 任一软可换理想都是一个软理想，但是软理想却不一定是软可换理想； ( 5 ) 任一软关联理想都是一个软可换理想，但是软可换理想却不一定是软关联理想； 同时，讨论了两个软关联理想( 软正定关联理想，软可换理想) 的扩展交、限制交、 限制并、限制差分的运算性质和软相等关系得到两个软关联理想( 软正定关联理想，软 可换理想) 的扩展交，限制交依然是一个软关联理想( 软正定关联理想，软可换理想) ，同 时，给出实例说明两个软关联理想( 软正定关联理想，软可换理想) 的限制并、限制差分不 是软关联理想( 软正定关联理想，软可换理想) 二、 将软集合理论运用到b l 代数和b l 代数的各种滤子中，研究各软滤子之间的 关系 ( 1 ) 任一软蕴涵滤子都是软滤子，但是反过来不成立； ( 2 ) 任一软正蕴涵滤子都是软蕴涵滤子，但是反过来不成立； 2 第一章绪论 ( 3 ) 任一软正蕴涵滤子都是软蕴涵滤子，但是反过来不成立； ( 4 ) 任一软奇异滤子都是软滤子，但是反过来不成立； ( 5 ) 任一软正蕴涵滤子都是软奇异滤子，但是反过来不成立； 同时，对两个软滤子( 软蕴涵滤子，软正蕴涵滤子，软奇异滤子) 的软相等关系，偏序 关系进行研究 1 3 预备知识 ， 1 3 1b c i 代数的有关概念 定义1p 川一个( 2 ，o ) 型代数( z ；半，o ) 叫做b c i 代数，如果它满足： ( 1 ) ( ( x 搴y ) 幸( x 木z ) ) 宰( z 宰j ，) = o ； ( 2 ) ( x 拳( x 幸y ) ) 宰y = o ； ( 3 ) x * x = o ； ( 4 ) x * y = 0 ，y * x = 0 x = y 设( x ；术，o ) 是一个b c i 一代数，在x 上定义一个偏序关系：x y x * y = 0 ，则下列性 质成立： ( 5 ) ( x 宰z ) 幸( j ，木z ) z 木y ； ( 6 ) x 宰( x 宰x 水y ) ) = x 枣y ； ( 7 ) o 木( x 木j ，) - - ( o , x ) 木( o 书) ，) ； ( 8 ) x * o = x ； ( 9 ) ( x 枣y ) 毒z = ( z 幸z ) 少 设x 是b c i 一代数，囝ssx 称s 为x 的子代数，若v x ，y s ，x * y s 1 3 2b l 代数的有关概念 定义1 p 3 1 一个( 2 ，2 ，2 ，2 ，0 ，o ) 型代数结构三= ( 厶 ，v ，宰，专，0 ，1 ) 叫做b l 一代数，若它满 足以下条件： ( 1 ) ( ，a ，v ，0 ，1 ) 是有界格； ( 2 ) ( 厶 ，1 ) 是一个可换幺半群； ( 3 ) v x ，y ，z 工，x * z y e z y ) j ( z 专x ) ； ( 8 ) x - - q y ( y z ) 专( x 。z ) ； ( 9 ) x vy = ( x 专y ) 专y 人 ( y 石) 斗x 第二章软集合理论 第二章软集合理论 软集合理论是一种新的处理不确定模糊对象的工具，f l 了m o l o d t s o vda 在文 1 】中提 出 定义2 1 n 1 设u 是一个论域，e 是参数集，ac e ，e ( u ) 是u 的幂集若f 是彳到 e ( v ) 映射，则称( f ，彳) 为u 上的一个软集合 换句话说，u 上的一个软集合是u 的子集的参数族v e a ，f ( e ) 可以看作一个由 软集合( f ，a ) 的p 一的近似元素构成的集合显然，软集合不是一个集合 为了更好地阐明软集合的定义，m o l o d t s o vda 1 】举例进行了说明 例2 2 1 1 一个软集合( f ，彳) 描述了王先生将要购买的房子的吸引力u 表示正在考 虑的6 所房子所构成的集合，其中u = j j l ，吃，呜，啊，魄，) ；e = q ，吃，岛，气，) 表示一个参 数集，其中岛( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 分别表示房子的特征： “昂贵的”，“漂亮的”，“木制的 ， “便宜的 和“绿化的 映射f 将房子映射到具有某某特征的房子如，f ( e 1 ) 表示“昂 贵的房子 ，且f ( q ) = h eu 陋是昂贵的房子 假设f ( 巳) = 呜，啊) ，f ( 乞) = 啊，缟) ，f ( 岛) = a ，f ( e 4 ) = 啊，吃，魄) ，f ( 巳) = 7 l i ) ， 则我们可以将软集合( f ，e ) 看作是包含所有f ( 巳) ( 扛1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 的集合，即： ( f ，e ) = ( 昂贵的房子， 吃，) ) ，( 漂亮的房子， 红，呜) ) ，( 木制的房子，囝) ， ( 便宜的房子， 啊，呜，魄) ) ，( 绿化的房子， 啊) ) 下面，我们介绍软集合理论的运算性质 定义2 3 1 2 1 设( f ，么) 和( g ，b ) 是u 上的两个软集合，定义它们的扩展交为一个软集 f ，( p ) 口么慨 合( ，c ) ，其中c = 彳u b ，v e e c ，且日( 8 ) = g ( p ) 口b a ； 【f ( e ) n g ( e ) e e 彳n 召 记( f ，4 ) n ( g ，b ) = ( h ，c ) 定义2 4 1 2 1 设( f ，么) 和( g ，b ) 是u 上的两个软集合，且4 n b g ， ( 1 ) 定义它们的限制交为一个软集合( 日，c ) ，其中c = a n b ，v e c ， ( 8 ) = f ( e ) n g ( e ) - i p _ - ( f ，a ) n ( g ，b ) = ( h ，c ) ( 2 ) 定义它们的限制并为一个软集合( 日，c ) ，其中c = a n b ，v e c ， 日( p ) = f ( e ) u g ( e ) 记( f ，彳) u r ( g ，b ) = ( h ，c ) ( 3 ) 定义它们的限制差分为一个软集合( 日，c ) ，其中c = a n b ，v e c ， 日( e ) = f ( p ) g ( e ) 记( f ，a ) u ；( g ，b ) = ( 日，c ) 5 江南大学硕士学位论文 在文 1 9 中，q i nk 和h o n gzy 给出了两个软集合的软相等关系和偏序关系为了加 以区分，我们将软相等关系重新命名为软下相等和软上相等 定义2 5 1 明设( f ，4 ) 和( g ，b ) 是u 上的两个软集合，则( f ，彳) 和( g ，b ) 软下相等，若 v e a u b ，8 a nb ，f ( e ) = g ( p ) ；p a b ，f ( e ) = g ；eeb a ，g ( e ) = f 2 j 记作： ( f ，彳) ( g ，b ) 定义2 6 1 明设( f ，么) 和( g ，召) 是u 上的两个软集合，则( f ，彳) 和( g ，b ) 软上相等，若- v e a u b ，e a f i b ，f ( e ) = g ( e ) ；p 么b ，f ( e ) = u ；e e b a ，g ( e ) = u 记作： ( f ，a ) ( g ，b ) 定义2 7 1 9 1 设( f ，彳) 和( g ，b ) 是u 上的两个软集合，在u 上定义一个偏序关系： ( f ，么) ( g ，召) 当且仅当a b ，且v f a ，有f ( 占) g ( 占) 6 第三章b c i - 代数的软理想 第三章b c i 代数的软理想 本章将软集合理论运用到b c i 代数的关联理想，正定关联理想和可换理想中，提出 了软关联理想，软正定关联理想和软可换理想的概念讨论了软理想，软关联理想，软正 定关联理想和软可换理想之间的关系，并对两个软理想( 软关联理想，软正定关联理想， 软可换理想) 的扩展交、限制交、限制并、限制差分的运算性质、软相等关系进行了研 究 为了方便起见，在本章中，我们令x 是一个b c i 代数，彳是一个非空集合 3 1b c i 代数的软关联理想 我们首先介绍b c i 代数的理想和关联理想的定义 定义3 1 1 1 3 0 设x 是b c i 代数，1 2 j ，x 称，是x 的理想，若满足下列条件： ( b 1 ) 0 i ， ( b 2 ) v x ，y e x ，x * y ，y i = ，z i 定义3 1 2 【3 川设彳是一个b c i 代数，彩i x 称，是彳的一个关联理想，若，满 足( b 1 ) 和 ( b 3 ) ( ( ( x 宰y ) 宰y ) 宰( o 木y ) ) 宰z ，z ，jx 宰( ( y 宰( y 幸x ) ) 木0 奉( o 书( x y ) ) ) ) i 在文 2 0 和 2 2 中，j u nyb 和p a r kch 提出了软b c i 代数和软b c i 代数的软理想 定义3 1 3 口们设( 只彳) 是x 上的一个软集合，若v x e a ，f ( x ) 是x 的一个b c i 一子代 数，则称( ，a ) 为x 上的软b c i 一代数 定义3 1 4 2 2 1 设s 是x 的子代数，i x ，称，为x 关于s 的理想( 简称x 的s 理想) ， 若，满足以下条件： ( 1 ) o i ， ( 2 ) v x ，y s ，x * y ，y i = x i 定义3 1 5 口2 1 设( f ，彳) 是x 上的软b c i 一代数，( g ，) 是x 上的软集合称( g ，) 为 ( f ，彳) 的软理想，若，满足以下条件： ( i ) ic a ， ( 2 ) v x ，g ( x ) 是彳的f ( x ) 理想 类似的，我们给出软关联理想的定义 定义3 1 6 设s 是x 的子代数，i x 称，为x 关于s 的关联理想( 简称x 的s 关 联理想) ，若，满足以下条件： ( 1 ) o i ， ( 2 ) 若觇，y ，z e s ，( ( ( x 宰y ) 木y ) 幸( o 宰y ) ) 木z i ，z ，则 7 江南大学硕士学位论文 x 掌( ( y 木( j ，宰x ) ) 宰0 宰( o 木( x 宰y ) ) ) ) ， 定义3 1 7 设( f ，a ) 是x 上的软b c i - 代数，( g ，j ) 是z 上的软集合称( g ，) 为 ( f ，a ) 的软关联理想，若门蔫足以下条件： ( 1 ) i c a ， ( 2 ) v x ，g ( x ) 是x 的v ( x ) 关联理想 下述例子说明软关联理想是存在的 例3 1 8 令x = o ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，在x 上定义幸运算如下： 则( x ；，l ：，o ) 是一个b c i 代数【3 0 1 令a = o ，l ，2 ，i 等 l ，2 ， y ( x ) = y x iy 奉( y 木x ) = o ，v xe 么 ， g ( x ) = y x l y 宰x o ，1 ，2 ) ，v x e i ) 显然，( f ，彳) 和( g ，) 都是x 上的软集合 由计算可得，f ( o ) = x ，f ( 1 ) = o ，2 ，3 ) ，f ( 2 ) = o ，1 ，3 ，4 ，5 ) 都是x 的子代数，所以 ( f ，彳) 是x 上的软b c i 一代数同时，容易证明g ( 1 ) = o ，1 ，2 ) 是f ( 1 ) 关联理想，g ( 2 ) = o ，1 ，2 是f ( 2 ) 关联理想所以，根据定义3 1 7 可知( g ，) 是( f ，a ) 的软关联理想 命题3 1 9 任一软关联理想都是一个软理想 证明：设( f ，彳) 是x 上的软b c i 一代数，( g ，) 是( f ，a ) 的任一软关联理想由定义 3 i 7 ，v x i ，g ( x ) 是x 的f ( x ) 关联理想由于任一关联理想都是理想( 3 0 】中定理3 5 ) ， 所以g ( x ) 是z 的v ( x ) 理想因此，由定义3 1 5 可得( g ，) 是( f ，a ) 的软理想 下述例子说明命题3 1 9 的逆命题是不成立的 例3 1 1 0 令x = o ，1 ，2 ，3 ，4 j ，在x 上定义幸运算如下： 8 第三章b c i 代数的软理想 则( x ；木，o ) 是b c i 一代数3 0 1 令彳= o ，1 ，2 ，3 ) ，= o ，1 ，2 ) ， f ( x ) - - y x l x 事( y 奉z ) = o ，v x e a ， g ( x ) = y x i y 宰x = o ，v x e i ) 显然，( f ，彳) 和( g ，) 都是x 上的软集合 容易验证f ( o ) = x ，f ( 1 ) = o ，2 ，3 ，4 ，( 2 ) = f ( 3 ) = o ，4 ) 都是x 的子代数，所以 ( f ，a ) 是x 上的软b c i - 代数y g ( o ) = o ) 是x 的f ( o ) 理想，g o ) = o ，1 ) 是x 的f ( 1 ) 理想，g ( 2 ) = 0 , 1 ，2 ) 是j 的f ( 2 ) 理想由定义3 1 5 得( g ，0 是- ( r ，a ) 的软理想 但( g ，) 不是( f ，a ) 的软关联理想因为 ( ( ( 3 ，c 2 ) 木2 ) 木( o 毒2 ) ) 0 = 0g o ) ，o g ( 1 ) ， 而 3 宰( ( 2 宰( 2 宰3 ) ) 宰0 木( o 木( 3 宰2 ) ) ) ) = 2 甓g ( 1 ) ， 这就说明g ( 1 ) - - - o ，1 ) 不是z 的f ( 1 ) 关联理想 命题3 1 1 1 设( f ，a ) 是x 上的软b c i 一代数，( g ，j ) 是( f ，a ) 的软理想若 v s j ，x ，y ef ( 占) ， ( ( 石宰y ) 宰y ) 木( o 木j ，) g ( f ) j x 木( ( y 毒( y 掌x ) ) 宰0 木( o 牛( x 宰y ) ) ) ) g ( 占) ， 贝j j ( g ，) 是( f ，a ) 的软关联理想 证明：由定义3 1 5 及文 3 9 1 中定理3 4 易得 下面我们讨论两个软关联理想之间的运算性质 定理3 1 1 2 设( ，彳) 是z 上的软b c i 一代数，如果( g l ，五) 和( g 2 ，厶) 都是( f ，彳) 的软关 联理想，则( g l ，1 。) f 1 。( g 2 ，厶) 是( f ，a ) 的软关联理想 证明：令( g l ，厶) n 。( g 2 ，厶) = ( g ，j ) ，由定义2 3 知，= 厶u 厶，且 lg l ( x ) x 厶厶 v x e ，g ( x ) = g 2 ( x ) x 厶 【g 1 ( x ) n s ：( x ) - x n 厶 因为( g 1 ，) 和( g 2 ，厶) 都是( f ，a ) 的软关联理想，那么五，厶ca ，_ rv x ( i = l ，2 ) ， g f ( x ) 是z 的，( z ) 关联理想，所以厶u 厶= ic a ，_ e 1 v x ei ，g ( z ) 是x 的，( 石) 关联理想 因此( g l ，) n 。( g 2 ，厶) 是( f ，a ) 的软关联理想 定理3 1 1 3 设( f ，彳) 是x _ k i 拘y r b c i 一代数，如果( g 1 ，) 和( g 2 ，厶) 都是( f ，a ) 的软 关联理想，且厶n 厶a ，则( g l ，i 。) f 1 ( g 2 ，厶) 是( f ，a ) 的软关联理想 证明：令( g l ，厶) n ( g 2 ，i s ) = ( g ，) ，由定义2 4 ( 1 ) 知： 9 江南大学硕士学位论文 ，= 五n 厶且慨i ，g ( x ) = g l ( z ) ng 2 ( x ) 因为( g l ，五) 和( g 2 ，厶) 都是( f ，a ) 的软关联理想，则，l ，厶ca ，且坛( i = l ，2 ) ， q ( x ) 是彳的r ( x ) 关联理想，所以厶n 厶= ，ca ，且协，g ( x ) 是x 的f ( x ) 关联理想， 因此( g l ，五) n ( g 2 ，厶) 是( f ，a ) 的软关联理想 由命题3 1 9 和定理3 1 1 2 ，3 1 1 3 ，我们容易得到两个软理想的扩展交和限制交仍然 是一个软理想 注3 1 1 4 设( f ，彳) 是x 上的软b c i 一代数，( g l ，1 ) 和( g 2 ，厶) 都是( f ，a ) 的软关联理想， 且n 厶彩，则( g l ，五) u r ( g 2 ，厶) 可能不是( f ，a ) 的软关联理想 例3 1 1 5 令x = o ，1 ，2 ，3 ，在x 上定义木运算如下： 则( x ；：i c ，o ) 是一个b c i - 代数3 9 1 令么= o ，1 ，2 ) ，五= 1 ，2 ) ，厶= 2 ) 且 r ( x ) = y x i ( 石书y ) 木x = o ，v x a ) ， g l ( x ) = y ex ix 木( x 串) ，) = o ，觇 ， g 2 ( x ) = y x i x * y = 2 ，v x e l 2 显然，( f ，彳) ，( g l ，五) 和( g 2 ，j 1 2 ) 都是z 上的软集合 容易验证，( o ) = f ( 1 ) = f ( 2 ) = o ，1 ，2 ) 都是x 的子代数，所以( f ，a ) 是x 上的软 b c i - 代数又因为g l ( 1 ) = 0 , 1 ) 是x 的f ( 1 ) 关联理想，g l ( 2 ) = o ，1 是x 的f ( 2 ) 关联理 想，g 2 ( 2 ) = 0 , 1 ) 是x 的关联f ( 2 ) 理想，所以( g l ，) ，( g 2 ，厶) 是( f ，a ) 的软关联理想同 时，我们容易得到( g l ，) u 旯( g 2 ，厶) 也是( ，a ) 的软关联理想 例3 1 1 6 令x = o ，1 ，2 ，3 ，在x 上定义拳运算如下： 则( z ；术，o ) 是一个b c i 一代数令么= o ，1 ，2 ，3 ) ，厶= 1 ，2 ) ，厶= 2 ) 且 僻牌岛嚣 1 0 第三章b c i 一代数的软理想 g l ( x ) = ) ，x lj ，木x e o ，1 ) ，五) ， g 2 ( x ) = y x i x * y = o ，v x e 厶 显然，( f ，彳) 是x 上的软b c i 一代数，( g l ，) 和( g 2 ，厶) 都是x 上的软集合 又g l ( 1 ) = o ，1 ) 是x 的f o ) 关联理想，g 1 ( 2 ) = o ，1 ) 是x 的f ( 2 ) 关联理想，所以 ( g l ，) 是( ，a ) 的软关联理想且g 2 ( 2 ) = o ，2 是x 的f ( 2 ) 关联理想，所以( g 2 ，厶) 也是 ( f ，a ) 的软关联理想 但是g l ( 2 ) u