（计算数学专业论文）带形状参数的曲线曲面性质的研究.pdf

带形状参数的曲线曲面性质的研究 摘要 首先我们对c a g d 中参数曲线曲面发展历史进行了回顾，并对带形状参数 的曲线曲面已有研究成果作了简要介绍。 然后我们在其后章节对带形状参数的曲线曲面作了深入研究。主要有以下 方面的研究成果： 第一，提出了一类带多形状参数的双曲b 6 z i e r 曲线( 简称h b 6 z i e r 曲线) ， 这类曲线与b 6 z i e r 曲线类似，它不仅具有b 6 z i e r 曲线许多常见的性质，而且利 用形状参数的不同取值能够整体或局部调控曲线的形状。当形状参数增大时， 曲线能连续逼近控制多边形。此外，它可以精确表示双曲线和悬链线。最后给 出了曲线在c 1 连续下的拼接及在实物造型中的应用。 第二，在深入研究h b 6 z i e r 曲线性质的基础上，给出了h b 6 z i e r 曲面在u 向和v 向两个方向的任意分割算法，并对曲面所具有的特性进行了分析；同时， 研究了两片h b 6 z i e r 曲面在不同方向g 1 连续的拼接条件，并通过合理选取控制 参数，简化了拼接条件。 第三，提出一组带两个形状参数旯，的四次多项式基函数，它是三次b a l l 曲线基函数的扩展。分析了此基函数的性质，基于该组基定义了一类带两个形 状参数的多项式曲线。它不仅具有三次b a l l 曲线的特性，并且具有更好的形状 可调性和更好的逼近性。而且利用兄，的不同取值能够局部或整体调控曲线的 形状，并且可以从两侧逼近控制多边形。讨论了两段曲线c 1 拼接条件。最后， 通过带两个参数的b a l l 曲线生成圆形和花瓶的实例说明本文方法是可行的。 关键词：计算机应用：双曲b 6 z i e r 曲线；多形状参数；整体与局部调控；双曲 b 6 z i e r 曲面；分割；拼接；广义b a l l 曲线；曲线设计；曲面造型 r e s e a r c ho nt h ep r o p e r t i e so fc u r v e sa n ds u r f a c e s w i t hs h a p ep a r a m e t e r s a b s t r a c t w er e v i e wt h ed e v e l o p m e n th i s t o r yo fp a r a m e t r i cc h i v e sa n ds u r f a c e sa n di n t r o d u c e b r i e f l yt h es t u d i e dr e s u l t so ft h ec u r v e sa n ds u r f a c e sw i t hs h a p ep a r a m e t e r s t h e nw er e s e a r c hc u r v e sa n ds u r f a c e sw i t hs h a p e p a r a m e t e r s t h em a i nc o n t r i b u t i o n s a r el i s t e da sf o l l o w s ： f i r s t l y , h y p e r b o l i cb 6 z i e rc u r v e ( b r i e f l yh b 6 z i e rc u r v e ) w i t hm u l t i p l e s h a p e p a r a m e t e r si sp r e s e n t e di nt h i st h e s i s t h ec u r v en o to n l yp o s s e s s e sm o s to ft h ep r o p e r t i e s o ft h eb 6 z i e rc u r v e ，b u ta l s oc a nb ea d j u s t e dt o t a l l yo rl o c a l l yb y t a k i n gt h ed i f f e r e n tv a l u e s o fs h a p ep a r a m e t e r s w i t hi n c r e a s i n go ft h es h a p ep a r a m e t e r st h ec u r v ec a nw e l l a p p r o x i m a t et h ec o n t r o lp o l y g o n m o r e o v e r ，t h ec h iv ec a l lr e p r e s e n th y p e r b o l a sa n d c a t e n a r ye x a c t l y a tl a s t ，t h ec 1c o n t i n u o u sj o i n to fc u r v ep i e c e si sd i s c u s s e da n ds o m e e x a m p l e si l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o ni ng e o m e t r i cm o d e l i n g s e c o n d l y , o nt h eb a s i so fs t u d yo ft h ep r o p e r t i e so fh b 6 z i e rc u r v e s ，t h eh b 6 z i e r s u r f a c e sa r ed e f i n e d t h ea r b i t r a r ys u b d i v i s i o na l g o r i t h ma l o n gb o t h , a n dvd i r e c t i o ni s p r e s e n t e d ，a n dt h ep r o p e r t i e so fs u b d i v i d e ds u r f a c e sa r ea n a l y z e d g 1 c o n d i t i o nf o r h b e z i e rs u r f a c e si nd i f f e r e n td i r e c t i o n si so b t a i n e d ，a n ds i m p l i f i e db yc h o o s i n gt h ec o n t r o l p a r a m e t e r sp r o p e r l y t h i r d l y , ac l a s so f4 - d e g r e ep o l y n o m i a lb a s i sf u n c t i o nw i t ht w os h a p ep a r a m e t e r s 五，i sp r e s e n t e d ，w h i c hi st h ee x t e n s i o no fb a s i sf u n c t i o no fc u b i cb a l lc u r v e p r o p e r t i e s o ft h i sn e wb a s i sa r ea n a l y z e da n dt h ec o r r e s p o n d i n gp o l y n o m i a lc u r v ew i t ht w os h a p e p a r a m e t e r si sd e f i n e d t h i sc u r v en o to n l yi n h e r i t st h eo u t s t a n d i n gp r o p e r t i e so fc u b i cb a l l c u r v e ，b u ta l s oi sa d j u s t a b l ei ns h a p ea n df i tc l o s et ot h ec o n t r o lp o l y g o n a n di t ss h a p ei s a d j u s t e dt o t a l l yo rl o c a l l yt h r o u g hc h a n g i n gt h ev a l u eo f 2 ，a n da p p r o a c ht ot h eg i v e n p o l y g o nf r o mb o t h s i d e s t h ec 1 _ c o n t i n u i t yc o n d i t i o no ft w o - p i e c eo fc u r v e s i s d i s c u s s e d f i n a l l y , t h es i m u l a t i o ne x a m p l eo ft h ec i r c l ea n dt h ev a s eg e n e r a t e db yt h e4 t h o r d e rb a l lc u r v e sw i t ht w os h a p ep a r a m e t e r ss h o wt h ep r o p o s e dm e t h o di nt h i st h e s i si s f e a s i b l ea n de 位c t i v e k e y w o r d s ：c o m p u t e ra p p l i c a t i o n ；h y p e r b o l i c b 6 z i e r c u r v e ；m u l t i p l es h a p e p a r a m e t e r s ；t o t a l l yo rl o c a l l ya d j u s t ；h - b 6 z i e rs u r f a c e ；s u b d i v i s i o n ； c o n n e c t i o n ；g e n e r a l i z e db a l lc u r v e ；c u r v ed e s i g n ；s u r f a c e sm o d e l i n g 插图清单 图2 1 疗= 2 时的基函数6 图2 2 = 3 时的基函数6 图2 3 ，口，取不同值曲线的形状7 图2 4 单参数的h b 6 z i e r 曲线8 图2 5 由4 个控制点生成的多形状参数h b 6 z i e r 曲线8 图2 6 带多形状参数的双三次h b 6 z i e r 曲面1 1 图2 7 二次h b e z i e r 曲线精确表示双曲线12 图2 8 三次h b e z i e r 曲线精确表示悬链线12 图2 9 花瓶造型1 2 图3 - 1 一簇口取不同值的h b 6 z i e r 曲线1 4 图3 2h b 6 z i e r 曲线表示双曲线( a = 1 ) 1 4 图3 3h b 6 z i e r 曲线表示悬链线( a = 1 ) 1 4 图3 - 4h b 6 z i e r 曲面的几何意义1 5 图3 5h b 6 z i e r 曲面( 口= p o = 届= 孱= 屈= 2 ) 15 图3 - 6 三次h b 6 z i e r 曲线的任意分割( f = 3 5 ) 1 7 图3 - 7 拼接曲面的控制网格19 图4 - 1 形状参数旯，对基函数的影响2 2 图4 - 2 见，取不同值时的参数曲线2 5 图4 - 3 曲线对整圆的逼近2 6 图4 - 4 闭曲线花瓣图形2 6 图4 - 5 开曲线的花瓣图形( a = = 5 ，4 ，2 ，0 ，- 2 ) 2 7 图4 - 6 花瓶旋转曲面2 7 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金蟹王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：嫦签字日期：2 q o 年牛月1 z 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金壁王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金巴兰些太 堂一可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：狠锑秀 导师签名： 携“友 签字日期：础年单月1 2 日签字日期： ，o 年月留日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 致谢 三年的时间稍纵即逝，我的研究生生活就要结束了。回首三年的研究生生 活，感慨颇多! 首先，我要衷心地感谢我的导师檀结庆教授。在研究生学习期间，无论在 学习、思想、还是生活上，导师都给予了我耐心细致的教导和无微不至的关怀。 在论文的选题、研究及撰写过程中，导师都倾注了大量的心血。檀老师诲人不 倦的高尚师德、认真严谨的治学态度和精益求精的工作作风将一直激励着我， 鞭策我在今后的学习、工作和生活道路上不畏艰难、不断奋斗。在此谨向檀老 师致以诚挚的谢意和崇高的敬意! 还要感谢朱功勤教授、苏化明教授、朱晓临教授、黄有度教授、林京教授、 邬弘毅教授、唐烁教授、郭清伟副教授、江平副教授、王寿城副教授，感谢他 们在我学习阶段的传道，授业，解惑，他们渊博的学识和高尚的师德给我留下 了深刻的印象! 衷心感谢诸位老师对我的教导和帮助。 感谢我的师兄师姐们，他们是张莉、邢燕、刘植、谢进、李声锋、李志明、 霍星、王燕、屠静、李方、方中海、张洁、汪飞等，感谢他们在这三年中给予 我的帮助! 感谢3 5 班的全体同学，大家共同学习、共同成长，一起度过了难忘的两年多的 时光! 感谢我的家人对我在生活上的帮助和精神上的支持，让我顺利地完成了学 业! 最后，感谢审阅、评议硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者， 感谢他们在百忙之中给予的批评指正和宝贵意见! 作者：张锦秀 2 0 10 年3 月 第一章绪论 计算机辅助几何设计( c a g d ) 是随着航空、汽车等现代工业的发展和计 算机的出现而产生并发展起来的一门新兴学科。它主要研究在计算机图形系统 下对几何外形信息( 点、线、面和体) 的表示、设计、绘制、显示、分析和处 理。因此，曲线曲面造型技术的研究成为计算机辅助几何设计( c a g d ) 和计 算机图形学的基础内容。 1 1 研究背景及现状 随着人们生产技术水平的提高，曲线曲面造型理论也得到了发展和提高， 主要经历了以下几个重要的发展阶段：f e r g u s o n 曲线曲面面一b 6 z i e r 曲线曲面 一b 样条曲线曲面一n u r b s ( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 曲线曲面。国内 外的学者对此做了深入的研究 1 - 2 7 1 。 法国工程师b 6 z i e r 在1 9 6 2 年提出了用控制网格定义曲线曲面的b 6 z i e r 方 法1 5 | 。随后，f o r r e s t ，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 等人对b 6 z i e r 方法做了进一步研究 s - 1 2 1 ，找出了b 6 z i e r 曲线曲面与控制顶点，b e r n s t e i n 基的表示关系。b 6 z i e r 曲 线曲面具有一系列优良的性质，如几何与仿射不变性、凸包性、对称性、端点 插值性等；且具有如求值、离散、升阶、插值、包络生成等d ec a s t e o a u 计算方 法，很好地解决了整体形状控制问题 1 1 , 1 2 。但它仍然存在拼接和局部修改的问 题，并且对于工业设计中常见的圆锥曲线如圆弧等，b 6 z i e r 曲线只能近似地表 示。有理化方法的引入弥补了这个缺陷，在1 9 9 1 年国际标准化组织i s o 正式 颁布的工业产品数据交换的s t e p 标准中，把n u r b s 作为自由曲线曲面的唯 一定义1 2 7 1 ，而国际著名的c a d 软件公司也把造型系统首先建立在n u r b s 的 数学基础上。但是，有理形式也不可避免地带来了一些负面影响，如： ( 1 ) 有理形式的曲线在微分、积分运算上遇到了麻烦甚至是不可克服的 困难，而微分是求曲线的边界导矢曲率等几何量、积分是求物体的重心、惯性 矩等物理量所必须的计算； ( 2 ) 有理形式的曲线需要更多的计算时间和存储空间； ( 3 ) 关于有理曲线曲面的一些基本算法如反求曲线曲面上点的参数等， 会有一定的计算稳定性问题。 ( 4 ) 有理形式的曲线并不能精确表示一些具有重要应用的超越曲线，如 螺旋线和摆线等。 为了克服这一局限，很多文献提出了许多新的模型。用于定义b 6 z i e r 曲线 和有理b 6 z i e r 曲线的b e r n s t e i n 基函数与定义b 样条曲线和n u r b s 曲线的b 样条基函数都是多项式空间印a n 1 ，f ，f 肛1 ，f ” 上的函数。为此，人们试图在非多 项式函数空间寻求解决问题的方法，如p o t t m a n n t 2 8 1 提出了螺旋样条的理论和方 法，张纪文1 2 9 _ 3 3j 将代数和三角多项式混合构造了三次c b 6 z i e r 、三次曲线c b 样条曲线等c 曲线，三次c 一曲线和通常的三次曲线具有十分相似的性质，由于 具有形状参数口，可以根据需要调整曲线的形状，使之能够满足工程上的各种 要求，而且能表示一些超越曲线( 诸如工程中的螺旋线、摆线、正弦函数曲线 等) ，避免了有理化形式，便于计算机表示和实现。文献【3 4 】和【3 5 分别基于三 角多项式空间s p a n 1 ，c o s t ，c o s m t 和空间s p a n 1 ，c o s t ，s i n t ，c o s m t ，s i n m t 构造了 三角样条； 2 0 0 1 年，m a i n a r 等 3 6 1 在空间s p a n 1 ，f ，c o s t ，s i n t ，c o s 2 t ，s i n 2 t 、 s p a n 1 ，t ，c o s t ，s i n t ，t c o s t ，t s i n t 给出了正规b 基，但这些基都不包含高阶自由型多 项式曲线。对此，文献【3 7 和【3 8 分别研究了基于空间s p a n 1 ，f ，f 2 ，t n - 2 , c o s t ，s i n t 的n 次c b d z i e r 及c b 样条曲线曲面的构造，提出了多项式和三角函数混合的 曲线曲面模型，将文献 2 9 3 3 】的结果推广到了高维空间，这类曲线继承了b 6 z i e r 曲线、b 样条曲线的许多良好的性质，更重要的是它们实现了用统一方式来表 示自由曲线与圆锥曲线、超越曲线，这极大的方便了工程设计，引起了广大学 者的普遍关注。 在最近短短几年里，不少学者对于c 曲线曲面做了大量的研究 3 9 - 6 0 1 ，在 研究的过程中，发现c 曲线曲面理论也存在缺陷，比如，c 曲线不能精确表示 双曲线和抛物线，而这些曲线在工程设计中是经常用到的。鉴于此，许多学者 开始研究代数双曲混合空间的曲线曲面，其中具有代表性的有：文献f 6 1 。6 2 提 出了基于空间s p a n 1 ，f ，t 2 ，t n - 2c o s h t ，s i n h t ) 的代数双曲样条曲线曲面模型，使用 该曲线模型可精确表示双曲线和悬链线，它的导数和积分均易于计算；文献 6 3 】 进一步分析了h b 6 z i e r 曲线的形状；文献【6 4 】讨论了低次h b 6 z i e r 曲线的简单 性质；文献 6 5 6 7 中讨论了h b 6 z i e r 曲线的中点离散公式以及拼接等性质；文 献f 6 8 1 则进一步讨论了三次h b 6 z i e r 曲线的任意分割算法；钱江【6 9 】给出了 h 。b 6 z i e r 曲线的第二种表达形式，并讨论了h b 6 z i e r 曲线的工程应用价值；吴 荣军 7 0 1 对平面三次h b d z i e r 曲线进行了形状分析。 上述方法构造的h b 6 z i e r l 抽线只有一个形状参数并不能对曲线形状进行局 部调整；自由曲面的分割和拼接技术是工业造型中的难点，以往工业上常用的 是b 样条和b 6 z i e r 曲面，前面提到这两种方法并不能精确描述工程中常见的二次 曲面。n u r b s 方法虽然能够以统一形式表示二次曲面和自由曲面，但n u r b s 方法的权因子、参数化、曲线曲面连续性等问题，至今没有完全解决，而且由 于其描述方法和计算上的复杂性，使得n u r b s 方法在目前工程曲线曲面中的应 用优势难以得到充分地发挥，c b 6 z i e r 方法研究过c b d z i e r 曲面分割、拼接及其 应用1 4 4 , 4 6 1 。与c b 6 z i e r 曲线的理论相比较，h b 6 z i e r 曲线曲面的理论还有待进一 步研究。 1 2 本文研究内容和结构安排 2 本文在分析、研究相关文献资料的基础上，主要针对双曲代数空间的曲线 曲面以及b a l l 曲线的扩展作了以下几方面的工作： 1 、给出了多形状参数的h b 6 z i e r 曲线的扩展，这类曲线与b 6 z i e r 曲线类 似，它不仅具有b 6 z i e r 曲线许多常见的性质，而且利用形状参数的不同取值能 够整体或局部调控曲线的形状。当形状参数增大时，曲线能连续逼近控制多边 形。此外，它可以精确表示双曲线和悬链线。最后给出了曲线在c 1 连续下的拼 接及在实物造型中的应用。 2 、首先在研究h b 6 z i e r 曲线性质的基础上，提出了h 。b 6 z i e r 曲面的定义， 给出了h b 6 z i e r 曲面在“向和v 向两个方向的任意分割算法，并对曲面所具有 的特性进行了分析：同时，研究了两片h b 6 z i e r 曲面在不同方向g 1 连续的拼接 条件，并通过合理选取控制参数，简化了拼接条件。 3 、提出一组带两个形状参数名，的四次多项式基函数，它是三次b a l l 曲线 基函数的扩展。分析了此基函数的性质，基于该组基定义了一类带两个形状参 数的多项式曲线。它不仅具有三次b a l l 曲线的特性，并且具有更好的形状可调 性和更好的逼近性。而且利用以的不同取值能够局部或整体调控曲线的形状， 并且可以从两侧逼近控制多边形。讨论了两段曲线c 。拼接条件。最后，通过带 两个参数的b a l l 曲线生成圆形和花瓶的实例说明本文方法是可行的。 全文共分五章。第一章是本文的绪论，介绍了本文的研究背景和现状，以 及本文的研究内容和结构安排；第二章提出多形状参数的h b 6 z i e r 曲线的扩展； 第三章给出了h b 6 z i e r 曲面的任意分割算法，研究了h b 6 z i e r 曲面的拼接条件； 第四章给出了扩展的三次b a l l 曲线并且研究了其性质；第五章对本文工作做了 总结，同时对今后的工作提出了一些想法。 3 第二章代数双曲b 6 z i e r 曲线的扩展 邬弘毅等在多项式空间提出带多个形状参数的b 6 z i e r 曲线与曲面 7 1 1 ，它既 能整体又能局部地调控曲线与曲面的形状，显然在多项式空间中，即使增加参 数仍无法精确地表示圆锥曲线、双曲线或其他超越曲线，这只能在三角多项式 空间、双曲多项式空间或混合空间中去解决，因此在这些空间中引入多个形状 参数是件有意义的工作。本文在多项式与双曲多项式混合空间中构造了带多个 形状参数的h b 6 z i e r 型曲线，既可以作整体又可以作局部调整，且当所有形状 参数取值同为口时，即为h 。b 6 z i e r 曲线，故称之为h b 6 z i e r 曲线的扩展。并以 2 次，3 次等低次情况为例进行了详细讨论。 2 1 带多形状参数的h b 6 z i e r 基及其性质 定义1 ：令初始函数： 6 0 他口) = _ s i n h 面c r ( _ 1 - t ) 川= 鬻 其中口( 0 ，+ ) ，【0 ，1 】 b o , 2 p ，q ) = 1 一f 磊，。6 b ，( x ；口t ) 出= ! 竺等， b l , 2 ( t ，口。，口：) = f ( a o ，。a o ，。( x ；口。) a x 一4 ，。6 1 ，。( x ；口：) ) 出 = l 一9 0 , 2 ( r ，口，) 一6 2 ，：o ，) = ! 旦墅l 置妻群一号筹， b 2 , 2 0 ，= f 巧，。包，。c x ；口z ，出= 芝詈：鲁秀手三 ， 其中4 ，。= ( 以。( x ；口，) 出) ，汪0 ，1 ，( o ，+ o 。) ，f 【o ，1 】 递归定义各阶带多形状参数的h - b 6 z i e r 基如f ： ，。( f ，口。) = 1 一c 磊加l 矿。( x ；口，) a x ， 6 ，。o ，口，口川) = f ( 4 - l 。一。6 f - l ，一。( x ；) ( 一4 ，。一6 f ，。一( x ；口) ) & ， 饥，。( f ，口。) = f 瓯- l 。一。玩 川 ；) 出， 其中岛，。一( x ；口川) = 岛，。一。( z ；口，+ 1 ) ，4 ，。一= ( f6 f ，。一。o ；d t ) 1 f = 0 ，1 ，2 ，疗一1 ， 口( 0 ，佃) ，t 【o ，1 】 4 带多形状参数的h - b 6 z i e r 基函数的性质； 性质1 ：b o ，。( o ) = 吃，。( 1 ) ， = 1 ，2 ) 。 性质2 ：、b ( j 。1 ( o ) = 磁( 1 ) ，( = o ，1 ，i - 1 ；k = o 1 ，甩一i 一1 ) 。 性质3 ：础( o ) = 谚- l 巧- 2 帕8 0 扩疋= l ，2 ，z ) ， 础一( 1 ) = 4 ，。一。4 尹：巧 f ，( f = o ，n - 1 ) 。 结合定义1 ，运用数学归纳法可证明性质1 ，2 ，3 。 性质4 ：当所有形状参数都取相同值口时，式( 1 ) ，( 2 ) 为h - b 6 z i e r 基函数。 性质5 ：规范性：b o ，。( f ；呸) + z b , ，。( f ；口，口，+ 1 ) + “，。( f ；口。) 兰1 ，( ”2 ) 。 性质6 ：线性无关性 证明：假设存在常数a ，r ，i = o 1 ，h 使得 厂( f ) = a o b o ，。( f ；) + 口l 岛，。( f ；，嘭+ 1 ) + a n b n ，。( ，；) = 0 由基函数的端点性质，求厂( f ) 在t = o 和f = 1 处的各阶导数，并令其为0 ，得 厂( 0 ) = 厂，( 1 ) = 0ja o = a n = 0 ， f ”( 0 ) = f ”( 1 ) = 0jq = 一l = 0 。 依次类推，可得矾= 0 ，i = o ，1 ，以，因此基函数线性无关。 性质7 ：非负性： 当吼( 0 ，+ 。) ，【o ，l 】时b o 。o ；口1 ) ，岛，。o ，a ，+ 1 ) ，。0 ，口。) o ，i = l ，挖一1 。 证明和h b 6 z i e r 基函数非负性证明相同，参见文献 6 2 】 下面给出，? = 3 时的基函数： b o , 3 ( f 啪= 业学 6 i 3 ：) = 些掣 + 去【( 1 一鸩) s i n h a 2 t + 如m ee o s h o t 2 t 一( 1 一m 2 ) f 一心m 2 】 瓯一6 ， 6 2 ，( 巧口z ，) = 一云圭爵【( 1 一m 2 ) s 1 n h f + k 2 m 2 c o s h a 2 t - ( 1 - m 2 ) a 2 t - k 2 m 2 】 ( 3 ) 一瓦i 卜8 i n h d 岛“以) 2 瓦圭酉吗t - s i n h d 其中 口。( 0 ，佃) ，f o ，l 】，墨= s i n h t z i ，q = c o s h a , ，o = 1 ，2 ，3 ) 耻可口2 - - $ 2 鸬= 壶22 燕心( 0 删) 2 l c 7 。 口，一丘2 s 一一g “2 一 “ 图2 1 和图2 - 2 给出了胛= 2 和玎= 3 时形状参数取不同值时的基函数图。 2 时的基函数 ( e ) i - - 0 2 ，钆0 - 2 ( f ) 工i - - 0 2 ，1 0 ，0 2 图2 - 2 胛= 3 时的基函数 6 2 2 带多形状参数的h b 6 z i e r 曲线 定义2 ：称 n - i r ( t ；c q ，) = b o ，。( f ；) 昂+ 包。o ；q ，口f + 1 ) c + 吮，。( f ；) e ( 4 ) i = 1 为由控制顶点 1 只r 2 或r 3 ( f = o ，1 ，z ) 生成的带多形状参数的h b d z i e r 曲线。 性质 8 ：凸包性。 由式( 4 ) 定义的曲线位于控制顶点 尸l r 2 或r 3 ) ( i = o ，1 ，力生成的凸包内。 由基函数的正性和权性以及定义2 可得。 性质9 ：端点插值性与边界相切性 r ( 0 ) = e o ，r 0 ) = ，( o ) = 磊加。( 墨一忍) ，( 1 ) = 瓯一。，一，( 只一只一。) 。 性质1 0 ：几何不变性与仿射不变性：曲线仅依赖于控制顶点而与坐标系的 选择无关；曲线作仿射变换只需其控制多边形作此仿射变换。 2 3 形状参数对曲线的影响 2 3 1 形状参数对二次h b 6 z i e r 曲线的影响 图2 - 3 ，口2 取不同值曲线的形状 p 2 ，口2j0 曲线，( ，q ，口2 ) 无限接近二次b 6 z i e r 曲线，并且h - b 6 z i e r 曲线都在二次 b d z i e r 曲线的上方，q 增大时曲线段r ( f ，q ，口：) 靠近控制边异最，口：增大时曲线段 r ( t ，口：) 靠近控制边昂鼻，专佃曲线段，( f ，q ，口：) 的极限是控制多边形昂暑最。 2 3 2 形状参数对三次h b 6 z i e r 曲线的影响 图2 - 4 给出了由四个控制顶点生成的单参数h b d z i e r 曲线由下到上o f 取之 分别为o 1 ，2 ，4 ，8 此图表明随着口的增大曲线靠近控制多边形。但是曲线的 7 局部调控能力不强，不能做局部调整。 p p p 图2 - 4 单参数的h b 6 z i e r 曲线 p 2 p p 2 p p 2 p 2 图2 5 由4 个控制点生成的多形状参数h b 6 z i e r 曲线 图2 5 给出了由4 个控制点生成的多形状参数h b 6 z i e r 曲线。其中各子图 中实线表示单形状参数的h b 6 z i e r 曲线，取形状参数为口，= o 1 ，0 1 ，0 1 ) 。 图2 5 ( a ) 虚线曲线参数为口，= 8 ，8 ，8 ，表明参数同时增大时曲线靠近控 制多边形。 图2 5 ( b ) 虚线曲线参数为口，= o 1 ，8 ，0 1 ，点划线曲线参数为= 8 ，0 1 ，8 ) ， 表明仅中间参数增大时曲线向内收缩，两侧参数增大时曲线靠近控制多边形。 图2 5 ( c ) 虚线曲线参数为= o 1 ，0 1 ，8 ) ，点划线曲线参数为口，= 8 ，0 1 ，0 1 ) ， 表明仅一侧参数或啦增大时曲线分别靠近# 或只。 图2 5 ( d ) 虚线曲线参数为= o 1 ，8 ，8 ) ，点划线曲线参数为q = 8 ，8 ，0 1 ， 表明仅两个参数，口：或口：，同时增大时，曲线分别靠近控制点日或b 。 2 4 带多形状参数的h b 6 z i e r 曲线的拼接 与b 6 z i e r 曲线类似，在设计复杂的自由曲线时，应采用分段技术，可以将 带多形状参数的h b 6 z i e r 曲线段拼接成整条曲线。下面给出将带多形状参数的 二次h b 6 z i e r 曲线段拼接成g 1 或c 1 连续曲线以及三次h b 6 z i e r 曲线段拼接成 8 g 1 、c 1 或g 2 连续曲线的条件。 ( 1 ) 带多形状参数的二次h b 6 z i e r 曲线段拼接 给定带参数向量a = 嘭l ，1 ) ( f _ 0 ，1 ，z ) ， l 1 0 及2 n + 1 个控制点 p ( f - o ，l ，n ) 。由三点只，最，罡m ( f = 0 ，l ，n - 1 ) 可构造一带多形状参数的二次 h b 6 z i e r 曲线： i ( ，；l ，2 ) = 昱，b o ，2 ( f ；，1 ) + 昱f + l6 l ，2 ( f ；口f 1 ，2 ) + 最+ 2 ( f ；口啦) ( 0 t 1 ，扛0 ，1 ，n - 1 ) 有： r j ( 0 ；a , 1 ，口，2 ) = 忍，( 1 ，i ，q ，2 ) = 最f + 2 ； i ( o ；1 ，口f 2 ) = 鸬，l ( 最f + l b f ) ，l ( 1 ， l ，2 ) = 鸬，2 ( 县f + 2 一f + 1 ) ； 这里鸬。= 虿a , d 了s i , s ，其中墨a = s i l l l l ( ，) ，c j , j = c o s h ( q ，从f = 。，1 ，z 一1 ；= 1 ，2 ) 由于l ( f ； l ，0 r i , 2 ) 与r i + l ( f ；“l ，q “2 ) 首尾相连，将n 条曲线段l ( f ；口f l ，口啦) 组合起 来，可得曲线 n - 1 厂( f ) = u l ( f f ； l ，2 ) ，【o ，胛】 ( 7 ) i = 0 定理1 ：( 7 ) 式定义的曲线r ( f ) 在【o ，坨】上，若b ，= ( 1 一丑) 最f - l + 以最j + l ( f = 1 ，2 ，n 一1 ) ， 0 见 1 则曲线g 连续，若丑：j l ( 净1 ，2 ，z 一1 ) 则曲线c 1 连续。 p i itp i 一1 ，2 证明：由罡一，墨，昱( 扛0 ，l ，玎一1 ) 三点共线，据式( 6 ) 可知，曲线在【o ，刀 上g 1 连 续。 由于j = ( 1 - 丑) 最f _ 1 + 罡m ( f = l ，2 ，n 一1 ) ，0 以 1 ， 且见：! 生一，o ：1 ，2 ，玎一1 ) 则 p ；1 + p i - 、，2 _ r 心十o ) = 鸬1 ( 最，+ l 一最，) = f 1 ( 1 一乃) ( 最+ l 一f _ 1 ) r ( f o ) = p ，- t 2 ( ；一罡h ) = “- i ，：丑( 最一h ) = “，。( 1 一乃) ( 曼m 一最) 故曲线c 1 连续。 ( 2 ) 带多形状参数的三次h b 6 z i e r 曲线段拼接 给定参数向量b = q 1 ，2 ，3 ) ( f _ 0 ，1 ，n - 1 ) ，0 1 ， 2 q 。3 佃及3 n + 1 个控 制点p ( f _ 0 ，l ，3 玎) 。由四点b ，e ，只m ，e ( k0 ，1 ，z 一1 ) 可构造一类带多形状参数 的三次h b 6 z i e r 曲线段： 9 r , ( t ；c t f l ，q 2 ，3 ) = e ，b o ，3 ( f ；，1 ) + b 6 1 3 0 ；q ”，2 ) + b m b 2 ，3 ( t ；c t j ，2 ，3 ) + 忍，+ 3 岛。3 ( f ；哆，3 ) ( 0 o ，互( ”，d ) ，互( v ，只) ，( f ，j = o ，1 ，2 ，3 ) 为h b d 五c r 基函 数。 h b 6 删i曲面有明确的几何意义，如图3 4 所示。假设有。条运动的曲线 足以h 为参数，井以g 为控制参数的h b d z i e r 曲线： q ( u ，a ) = 磊( “，c o b o + 互( 1 4 , 口) 乜+ 乏( “，“) 岛+ 乙( “，口) 也 3 ( 4 、 = 互( ) 自，0 m - l 一 定义它的4 个控制顶点分别沿着在空间的4 条曲线扛( f = 0 ，1 ，2 ，3 ) 运动。我们假设 这四条醢线又都是以v 为参数，分别咀疏，反，照，岛为控制参数的h - b 6 z e e r 曲线t 即： q = z 0 ( v 属) 毋。+ 五( v ，属) 吼，+ z 2 ( v ，f l , ) q | 2 + 乙( v ，属) ：圭z j v , 矗) q 。，0 ，1 5 j = 0 组合式( 4 )