（运筹学与控制论专业论文）求解非线性变分包含问题的迫近点算法及束方法.pdf

学位论文版权的使用授权书 lliiii ii i l r l ll lllllf 8 9 0 0 6 8 加以标注 成果对本 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：鎏扯 指导教师签名：j 幺j 丕一 签名日期：加年铲月日 问题的解的过程中，应用到了广义预解算子这一概念具体是将与4 一极大单调相关的 预解算子技巧，推广到h i l b e r t 空间上的与( 彳，q ) 一极大单调相关的广义预解算子概念之 后得到的该混合迫近点算法能逐步逼近所研究变分包含问题的解，之后又对算法的收 敛性进行了分析在这一部分的最后又采用类似的方法，解决了一类广义非线性隐的拟 变分包含问题 在第二部分中，我们给出求解广义变分包含问题的非光滑束方法，讨论的问题是寻 找在实的h i l b e r t 空间上两个极值算子和的零点具体采用的方法是非光滑最优化中的 束方法，束方法是求解非光滑优化问题的最有效和最有前景的方法之一，利用一系列凸 线性函数去逼近子问题的非光滑凸函数，使问题的处理变得简单易执行我们从理论上 逐步分析，选择适当的线性函数0 。 的实的h i l b e r t 空间，并且2 x 表 示x 的所有非空子集族首先，回忆一些相关概念 ( i ) 若存在正实数，使得( a t y ，x y ) ，0x - - yn 则映射t ：x x 称为( ，) 一强 单调的 ( i i ) 若存在正实数j ，使得l | 强一t y 临si ix - yl i ，则映射t ：x x 称为( j ) - l i p s c h i t z 连续的 ， 定义1 2 ( 令m ：xj2 并是x 上的集值映射，令1 1 ：x x x 是另一个映射， ( i ) 若存在正实数，使得徊一1 ，1 1 ( 材，坳，1 l 材一1 ，1 1 2 ，则映射m 为( ，1 1 ) 一强单调 的 ( i i ) 若存在正实数下，使得t l n ( u ，) 临t0u v l | ，则映射q 为l i c ) 一l i p s c h i t z 连续的 定义1 3 ( 【9 d 令a ：x 专x 是( ，) 一强单调的某个映射，m ：xj2 j 被称为a 一极 大单调的，如果 ( i ) m 是m 一松弛单调的： ( i i ) o + 彬) ( x ) = x ，v p 0 定义1 4 【9 】) 令a ：x x 是( ，t 1 ) 一强单调的某映射，m ：x 一2 j 被称为( 彳，t 1 ) 一 极大单调的，如果 ( i ) m 是( m ，1 1 ) 一松弛单调的； ( i i ) 似+ p m ) ( x ) = x ，v p 0 引理1 1 ( 1 1 2 1 ) 令a ：x x 是( ，) 一强单调的某个映射，并且m ：x 寸2 j 是a 一极 大单调的，则与m 有关的广义预解算子被定义为j 二朋 ) = ( 么+ p m ) - 1 ) ，甜x ，它 1 是单值的，并且是( 二一) 一l i p s c h i t z 连续的此外， ，一p m 1 ( ，知( ”) 一，知( v ) ，“一1 ，) l0 材一vl f 2 ，v 材，1 ，x 厂一p m 证明：v u ，x ，有j ( u ) = ( a + p m ) - 1 ( z f ) ，v “x 求解非线性变分包含问题的混合迫近点算法及束方法 j 三朋( ，) = ( 么+ p m ) - 1 ( v ) ，v1 ，x 从而， 二( 甜- ( a 。，二朋( z f ) ) ) ，( ，置m ( “) ) vz ，石 p 1 二( 1 ，一( 4oj 二朋( v ) ) ) m ( j 知( v ) ) v1 ，x p 由于m 是么一极大单调的，则有 p j ( u - ao ( 甜) 一( v - - a o ( 力) ，( 甜) 一( v ) ) ) i ij l , ( u ) 一o ) 1 1 2 ( u - - v ，知( “) 一，二( v ) ) - m pl ij 知( 扰) 一( 1 ，) 1 1 2 0u - vi l l ij 知( 材) 一j 知( v ) 1 1 - ，0 川( “) 一j 知( 1 ，) 1 1 2 - m pi i ，知( ”) 一，知( 1 ，) 1 1 2 i iu 一1 ， f ( ，一p 坍) f f ，置肼( 甜) 一- ，置m ( v ) l f 0j ；朋 ) - j 月p 朋( 1 ，) l i l _ 一i i “一vi | ( 1 1 ) 厂一p m 由( 1 1 ) 得， ( j ；朋( ”) 一，知( 1 ，) ，u - - v ) l0 甜一，1 1 2 ，一o m 引理1 2 1 3 d 令a ：x x 是( r , v 1 ) - 强单调的某个映射，并且m ：z 一2 x 是 似，t 1 ) 一极大单调的，令1 1 ：x x 专x 是g ) 一三枷幽汜连续的则与m 有关的广义预 解算子被定义为，。搦 ) = ( 么+ p m ) - 1 ) ，甜x ，它是单值的并且是( 二一) 一l i p s c h i t z ，。一p m 连续的此外，( 川p w , 1 1 ( “) 一- 厂船( v ) ，u - - v ) 二一| lg l - - vnv “，v x ，一o 聊 证明与引理1 1 相类似 1 2 非线性变分包含问题 令m ：z 一2 j 是非线性算子，s ，t ：石一x 是任意算子则问题：对任给的 x x ，找至0a x ，使得 x s ( a ) - t ( a ) + m ( 口) ( 1 2 ) 称作一类非线性变分包含问题，( 简称n v i 问题) 当t = 0 时，得到n v i 问题：对任给的x x ，找到a x ，使得 x s ( 口) + m ( 口) ( 1 3 ) 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 引理1 3 令x 是实的h i l b e r t 空间，a ：x x 是强单调的某个映射，并且 m ：xj 2 x 是彳一极大单调的，s ，t ：x 专x 是任意算子，则下列问题等价： ( i ) 口x 是w 问题的解 ( i i ) 存在a x 使得a = ，知( a ( a ) 一p ( s ( a ) - t ( a ) ) + p x ) ，其中p 0 为任意常数 ( i i i ) 算子q ( “) = ( 1 一f + 知( a ( a ) 一p ( s ( a ) - t ( a ) ) + p x ) ，有不动点a x ，其中 r 0 为任意常数 证明：( i ) 专( i i ) 由于口x 是问题 的解，则有 彳( 口) 一p ( s ( 口) 一丁( 口) ) + p x ( 彳+ p m ) ( 口) 也就是 ，置m ( 彳( 口) 一p ( s ( a ) - t ( a ) ) + p x ) = g a p 朋( a + p m ) ( a ) = a ( i i ) 专( i ) 令口= j ( a ( a ) 一p ( s ( a ) - t ( a ) ) + p x ) ， 贝0 彳( 口) 一p ( s ( 口) - r ( a ) ) + p x ( 彳+ p m ) ( 口) ， 所以x s ( a ) - t ( a ) + m ( 口) ( i i ) 一( i i i ) 令a = ，( a ( a ) 一p ( s ( 口) 一r ( 口) ) + p x ) ， 贝0 q ( 口) = ( 1 - t ) a + t j 量m ( a ( a ) - p ( s ( a ) - t ( a ) ) + p x ) = ( 1 - t ) a + t a = 口 ( i i i ) 成立 ( i i i ) 一( i i ) 由于a x 是q 的不动点，所以有q ( 口) = a 即 口= ( 1 - t ) u + t j 知( a ( a ) 一p ( s ( a ) 一丁( 口) ) + p x ) ， a = ，；朋( 彳( 口) 一p ( s ( 口) 一丁( 口) ) + p x ) 口 若m 是彳一极大单调的，则引理1 3 退化为文献【1 0 1 中的引理2 引理1 4 令x 是实的h i l b e r t 空间，a ：x 专x 是( r 川) 一强单调的某个映射，并且 m ：x 一2 j 是( 彳，1 r 1 ) 一极大单调的，s ，t ：x - - ) x 是任意算子，则下列问题等价： ( i ) 口j 是n v l 问题的解 ( i i ) 存在a x 使得a = 川力( a ( a ) 一p ( s ( a ) - t ( a ) ) + p x ) ，其中p 0 为任意常数 ( i i i ) 算子q ) = ( 1 - t ) u + t j 船( a ( a ) - p ( s ( a ) 一丁( 口) ) + p x ) ，有不动点口x ，其中 t 0 为任意常数 证明与引理1 3 相类似 1 3 混合迫近点算法 求解非线性变分包含问题的混合迫近点算法及束方法 引理1 5 令x 是实的h i l b e r t 空间，a ：x - - x 是( 厂) 一强单调的并且是 ) 一l i p s c h i t z 连续的，m ：xj 2 x 是4 一极大单调的某个映射，s ：x - - ) x 是 ( p ) 一l i p s c h i t z 连续的，t ：x x 是( s ) - l i p s c h i t z 连续的，则有， i ij 知( a ( u ) 一p ( s ( u ) 一r ( “) ) + p x ) 一，知( a ( v ) 一p ( s ( v ) 一丁( v ) ) + p x ) l i 壁兰! = - 鱼捌| | 材一1 ，0 v “，1 ，x ，一p m 此外， ( 以j 订( 么( “) 一p ( s ( “) 一丁( ”) ) + p x ) 一，置肼( a ( v ) 一p ( s ( v ) 一丁( v ) ) + p x ) ，u 一， ! l j 三业0 材一1 ，0 z v ”，x ，一p m 引理1 6 令x 是实的h i l b e r t 空间，a ：xjx 是( r , r 1 ) - 强单调的并且是 ) 一l i p s c h i t z 连续的，m ：x _ 2 x 是( 4 ，1 1 ) 一极大单调的某个映射，s ：x x 是 ( p ) 一l i p s c h i t z 连续的，t ：xjx 是( s ) - l i p s c h i t z 连续的，并且t 1 ：x xx x 是 i i c ) 一l i p s c h i t z 连续的，则有， 0j 三力( 么( “) 一p ( s ( 甜) 一丁( 甜) ) + p x ) - ，船( 彳( v ) 一p ( s ( v ) 一r ( d ) + p x ) i f 三垦兰! = _ 旦! 剑i l 甜一1 ，0 v 甜，v x ，一p m 此外， ( ，船( a ( u ) 一p ( s ( “) 一丁( ”) ) + p x ) 一- ，：力( a ( v ) 一p ( s ( v ) 一丁( 1 ，) ) + p x ) ，材一v ) 坐i 删怕一1 ，1 1 2 v “，x ，一p m 证明：v “，v x ，由引理1 2 可得， 0 ，一p , 肘t l ( a ( u ) 一o ( s ( u ) 一丁( ”) ) + p x ) 一以品( 彳( v ) 一p ( s ( v ) 一丁( v ) ) + p x ) i | l04 ( “) 一p ( s ( 材) 一丁( 材) ) + p x 一【彳( 1 ，) 一p ( s ( 1 ，) 一丁( 1 ，) ) + p x 】0 ，一p m = _ 一( 0a ( u ) 一4 ( v ) 0 + pi l ( s ( 甜) ) 一s ( v ) 0 + pl | 丁( ”) 一丁( v ) l i ) ，一p m l ( 0 【+ p ( p + s ) ) i i “一，f | 口 ，一p m 定理1 1 令x 是实的h i l b e r t 空间，a ：x x是( ，) 一强单调的并且是 ) 一l i p s c h i t z 连续的，m ：xo2 j 是a 一极大单调的某个映射，令s ：x 专x 是 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 ( p ) - l i p s c h i t z 连续的，t ：x 寸x 是( s ) - l i p s c h i t z 连续的，任取x o ，序列x 是由迭代 公式x = ( 1 一p 女) x + 1 3 k y 产生，其中k 0 ，y k 满足 i ly 。一，5 0 ( 彳( x ) 一p ( s ( x 。) 一t ( x ) ) + 肚) i i 6 i iy 一x 。i i ， 其中，丘( 彳( x ) ) = ( 彳+ p m ) ， 6 ) ， p t ， p 。) 【o ，) 是满足下列条件的数列：) 脚- f i t ，p 2 1 鳃p t ， p 个p ， 并且p t 1 ，、( 1 1 3 ) 2 + 2 1 3 0 一p ) 上 + p ( p + s ) ) + pz ( 竺出型型) 2 0 ，y 满足 i | y 一。f f 4 p j k h q ( 彳( x ) 一p ( s ( x ) 一t ( x ) ) + 肛) i i - o ，) 是满足下列条件的数列：6 t ， = ! 受p t ， 个 ， 并且 i 1 1 ( 1 - p ) 2一p ) 一 + p ( + s ) k ) _ - 邯o 、 2 ( o 坐。趔1 3) ： 三p ，则p序 x 是 ( p ) 一l i p s c h i t z 连续的，任取x o ，序列x 是由迭代公式x “1 = ( 1 一p ) x + p k y 。产生， 其中k 0 ，y k 满足 l iy 一，| ：二( 彳( x 。) 一p s ( x ) ) + p x ) i l 6 i ly 。一工i i ， 其中 以二( 彳( 工) ) = ( 么+ p m ) ， 6 ) ，j ( p t ) ， p ) o ，) 是满足下列条件的数列：善6 t o o ，p = ! 骢p t ，p 个9 ， 并且1 3 i 【o ，) 是满足下列条件的数列：6 t ，p = ! 受p t ， 个 ， 并且p t 1 、( 1 一p ) ：+ 2 p ( 1 一p ) 上位+ p ( p + s ) ) k + - , - n p ：( 竺 0 0 迎生尘) ： ，则序p 列 9 x 0 ，使得v x ，y ，乙，z 2 h ，有 0 髟力( z 1 ) 一髟卜( z 2 ) 临驯x - - y | 1 ( 1 6 ) 任取x o ，序nx 是由迭代公式x 川= ( 1 一p 女虹+ 1 3 k y 。产生，其中k 0 ，y 满足 0j ，一x 七+ ( g 一，”) ( x ) 一，m _ 2 【( g 一朋) ( x 。) 一a ( f ( x ) 一p ( x ) ) 】i i - - - 8 l iy 一x j | 其中芒= ( 1 + a m ( ，“) ) ， 6 ) ， p t ) ， p o ，) 是满足下列条件的数列：善6 t o o ，p = ! 觋p t ，p 个p o o ， 并且p t 1 ，, 1 + p2 2 + 亏2 i 1 ，则序列缸。) 线性收敛于问题( 1 6 ) 的解 证明：假设x 是问题n v i 的解，对任给的k 0 ，令 z + 1 = ( 1 一p 女) x + p j 5 ( 彳( x 。) 一p ( s ( x ) 一r ( x ) ) + 雕) 则我们可得到下列估计： 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 i iz “一x u 2 =i i ( 1 一p t ) x + p 女i x 一( g m ) x + j ? ，( ( g 一所) ( x ) 一a ( f ( x 。) 一 p ( x ) ) ) 】一 ( 1 一p t ) x + p ti x 一( g m ) x + ，? 一( g - m ) ( x ) - a ( 厂( x ) 一p ( x 。) ) ) 1 1 2 = i i ( 1 一p ) ( x 一x ) + 1 3 k ( x 一x 。) + 1 3 k 【( g 一，卵) ( x ) - ( g - m ) ( x ) 】+ j ? 一( ( g 一，”) ( x ) 一o t ( f ( x ) 一p ( x ) ) ) 一，。( ( g 一所) ( x ) 一 a ( f ( x ) 一p ( x ) ) ) 1 1 2 i ix 一x 1 1 2 + p2 20x 一x 1 1 2 吒20 x 一x l | 2 = ( 1 + p2 2 + 亏2 ) 0 x 一x 1 1 2 贝。有 0z “1 一工i i o t0j c 。一x 0 ，其中0 t = 4 1 + 1 32 c 0 2 + 号2 由于x + i = ( 1 一p t ) x 。+ f l k y 。，即x 七+ 1 一x = d ( y 七一x ) ，贝0 有： 0 x 。+ 1 一z “10 = i i ( 1 - p i ) x + 1 3 k y 一【( 1 一p ) x + p 女i x 一( g 一聊) ( x ) 一j ? ， ( ( g - m ) ( x ) 一仅( 厂( x ) 一p ( x 。) ) ) 】0 = p ti ly 一( g 一聊) ( x ) 一，? 一( ( g 一所) ( x ) - a ( f ( x ) - p ( x ) ) ) 】0 p t 6 tj | x 一x 0 i ix “一x 0 i lz 一x 0 + i ix “一z + 1l i 1 lz + l x i l + p t 6 il iy 一x j | = 0z + 1 一x 0 + 6 t0x 。州一x i j l lz 一x l l + 6 t0x + 1 一x l i + 6 女l iz 七一x + | i 从而，i ix t - - x * i i + ( p ( 功一平( x “1 ) 0 ( 2 2 ) 在本文中，q 为连续可微并且是强凸函数h 的梯度，其中是l i p s c h i t z 连续的 此时，问题( 2 1 ) 等价于如下形式： x + 1 = a r g m i n ，e c ( p ( x ) + ( r ( x ) ，x - - x + i - l k - 1 厅( x ) - h ( x 2 ) - 代替q ，用 0 + ( r ( x ) ，一x ) 代替0 得以实现的在准则( 2 4 ) 中如果建立这种更新，我们将获得 新的准则( 2 5 ) 所以，当停止准则成立，外部迭代x 会产生新的迭代点，同时建立了 重要步否则，对于下一个内部迭代点，x 保持不动，但可以提升e 。对叩的近似程度 这也被称为是零步在下文中，缸表示产生x 的内部迭代指标( 取i o = 0 ) 为了证明算法的收敛性，我们不得不对函数0 ，f = 1 , 2 ，加入限制条件，在给出限 制之前，我们观察到，由于y 。c ，则 丫暑p t - 1 v h ( x ) - v h ( y 。) 】- r ( x 。) a 【e 。+ 、l ，c 】( y ) ( 2 6 ) 之后我们定义集仿射函数，：l t ( y ) = 0 ( y ) + 臼，y y ) ，y c ( 2 7 ) 我们有，( j ，) = 0 。) ，由( 2 6 ) 及( 2 7 ) ，得到 ，。( 少) e 。( 少) ，v y c ( 2 8 ) 对于函数0 ，我们给出如下条件： ( c 1 ) 0 q ，对于所有的f = 1 , 2 ，在c 上成立， ( c 2 ) ，o ，对于所有的f k ，i k + l 【在c 上成立， 求解非线性变分包含问题的混合迫近点算法及束方法 ( c 3 ) 9 ( y ) + ( s ) ，一y ) o ，对于所有f k ，f 州 成立， ( c 4 ) 平( y ) + ( s ( y ) ，一y ) e 。，对于所有f k ，+ 1 】成立 其中s ( y ) 表示9 在y 点的次梯度现在我们假设在c 的每一个点上，叩的每一个 次梯度都是可求的由于c 冬i n t ( d o m t p ) ，则用q 表示c 在每一点的次梯度( 见1 2 2 】) 现在我们研究束方法的收敛性，下文中，我们将假设如下条件成立 假设条件彳 问题( 尸) 至少有一个解： f 为定义在日上的单调算子： q r o ( 日) ： c 为日上的非空闭凸集，满足c i n t ( d o m t p ) ： 却在c 的有界子集上是有界的： h ：h r 是c 上关于模p 0 连续可微并且强凸的，并且它的梯度v h 是c 上关于模 a 0 连续的： 序列 。) 塘满足条件( c 1 ) 一( c 4 ) 注1 由于q r o ( 日) ，则q 在日上是弱下半连续的正凸函数，并且在i n t ( d o m t p ) 上 是连续的( 见【1 9 】) 注2 我们知道在值域的迭代点上单调映射是局部有界的( 见【2 5 】) ，由于i n t ( d o m t p ) = i n t ( d o m & p ) ，我们给出却在i n t ( d o m t p ) 的任意点都是局部有界的( 见【2 5 】) ，因此，当 日是有限维的，却在c 的有界子集上是有界的这在广义h i l b e r t 空间中不一定成立， 因而有必要要求却在c 的有界子集上是有界的( 见f 8 l ) 命题2 1 假定假设条件彳成立在给出一些外部迭代x 已经达到后，若束方法中 的停止测试被中止了，则脚( y ) 一e ( y ) 】- - 0 ，并且y - - - z ( x 。) ，其中z ( x ) 表示问题 ( 么尸) 的唯一解，即 z ( x 。) = a r g m i n 托c 却( x ) + ( ，o 。) ，x - - x 。) + i k - 1 【i l z ( x ) 一h ( x 七) - ( v h ( x 。) ，x - - x ) 】) 束方法中，若外部迭代到达后，则零步会产生，所以，它将被用于证明如下束方 法的第一个收敛性质 定理2 1 考虑解决问题( 户) 的束方法假定假设条件彳成立如果迭代x 。到达， 则k 保持不动，即只有零步产生，则x 是问题( p ) 的解 同时，序 ) 。为有 界的 进一步的，当在集值假设下( 见2 6 d ) ，i e 序y i j x 。“要满足条件二k 佃及 乏：k = 佃对于算法的收敛性，我们将分三部分来证明首先研究序列 x 。的 有界性，之后是弱收敛性及强收敛性 给出定义在c 上的l y a p u n o v 函数序列 r ，) i 。的定义： r 。( x ，x ) = h ( x ) 一i l ( x ) - 0 求解非线性变分包含问题的混合迫近点算法及束方法 如下定理讨论确保序列缸。 。“有界的条件 定理2 2 假定引理2 1 中的条件成立，并且有二k - i - 0 0 ，则序列 r o ，x ) ) 。“是收敛的，序y i j x ) 。“是有界的，脚+ o o | ix 一x 。旷 0 ，使得v x b 及r ( x ) f ( x ) 有 i l ，o ) 临0 【 引理2 4 如果v z c ，z 。弱收敛于z ，并且v r f ( z ) ，弱收敛于，则 ，f ( z ) ，则集值映射f 称为定义在c 上是弱闭的 引理2 5 如果f 在c 上是单调的，并且垤，y c ，r ( x ) f ( x ) ，r ( y ) f ( y ) ，有 ( ，( x ) 一，( y ) ，x y = 0jr ( y ) f ( x ) ，r ( x ) f ( y ) 从而，集值映射f 在c 上称为参数 单调的 接下来，我们给出关于间隙函数在c 上是弱下半连续正凸函数，及在c 的有界子 集上为l i p s c h i t z 连续的三个相关结论 命题2 3 令x 是问题( 尸) 的解 ( 1 ) 若，在c 上为参数单调的，并且对任给的x c ，f ( x ) 为日上的有界弱闭子集，则 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 l ( x ) = i n f r ( ，) 矿( ，) ( ， ) ，x - - x ) + q ( x ) 一叩 + ) 为间隙函数 ( 2 ) 如果( 1 ) 中条件满足，并且在c 的有界子集上，和q 是l i p s c h i t z 连续的，则，在c 的 有界子集上是l i p s c h i t z 连续的 ( 3 ) 如果( 1 ) ( 2 ) 条件满足，并且，在c 上是弱闭的，则，为c 上弱下半连续正凸函数 命题2 4 令x 是问题( 尸) 的解 ( 1 ) 若f = a f ，f r o ( 日) 并且c i n t ( d o m f ) 成立，则 l ( x ) = f ( x ) + 叩( x ) 一f ( x ) 一q ) 为间隙函数，即v x c ，和r ( x ) f ( x ) ， ( ，( x ) ，x - - x ) + ( p ( 功- q o ( x ) ，( x ) 同时函数，是c 上弱下半连续正凸函数 ( 2 ) 如果( 1 ) 中条件满足，并且在c 的有界子集上，和9 是l i p s c h i t z 连续的，则，在c 的 有界子集上是l i p s c h i t z 连续的 命题2 5 如果f 是c 上关于模仅 o 强单调的，则，( x ) 刊| x - - x 1 1 2 为间隙函数，即 v x c ，和r ( x ) f ( x ) ，有( ，( x 。) ，x - - x + p ( x ) 一q ( x ) a l ( x ) ， 其中x 是问题( p ) 的唯一解进一步的，是日上弱下半连续强凸函数，并且在c 的有 界子集上是l i p s c h i t z 连续的 为了得到更一般的收敛性结果，我们把间隙函数要满足的性质放在一起 假设条件， ( 1 ) 了0 【 0 ，3 l ：c ru 佃) 使得 v x c ，和r ( x ) f ( x ) ，有( ，( x ) ，x x ) + q ( x ) 一q ( x ) a t ( x ) ； ( 2 ) v x c ，有l ( x ) o c f 且l ( x ) = 0 当且仅当x 是问题( 尸) 的解； ( 3 ) ，是日上弱下半连续凸函数， 并且在c 的有界子集上是l i p s c h i t z 连续的 定理2 3 假设如下条件成立： 假设条件彳和假设条件，成立 f 在c 的有界子集上是有界的 h 。为非增序列，并且有三k 佃及二k = 佃 则序列 x 。“是有界的，o 。) _ 0 ，并k x 。) 。“得每一个弱极限点是问题( 尸) 的解 除此以外，若v 乃在c 上是弱连续的，则 x ) 。“弱收敛于问题( 尸) 的解：若，在包含c 的开集上是强凸的，有缸。) 。“强收敛于x ，其中x 为( p ) 的唯一解 求解非线性交分包含问题的混合迫近点算法及束方法 通过命题2 3 ，2 4 ，2 5 ，我们给出了确保假设条件，成立的充分条件，现在通过 运用给出的主要结论( 定理6 2 ) ，我们给出两个更精确的收敛性定理 定理2 4 假定假设条件彳成立，v 厅在c 上是弱连续的， k ) 。为非增序列，并 且有二k 。e 弱收敛于x ，其中x 为问题( p ) 的唯一解 定理2 5 假定假设条件4 成立，v 乃在日上是弱连续的， k ) i “为非增序列，并 且有三k 0 ，w en ： 序列 x k ) i “有界，并且序列 | | x 柏一x i i k “收敛于0 则序列扛 。“的每一个弱收敛点是问题( 尸) 的解 定理2 7 假定假设条件a 成立，除此以外，假设如下条件是成立的： 存在p 和“，使得v k n ，有0 i 与满足c _ p s e u d o - d u n n 性质，即 ：z b 脚 v x ，y c ，如果 ，( x ) ，y - x ) + t p ( y ) - t p ( x ) 0 成立，则 ( ，( 少) ，y x ) + p ( j ，) 一q ( x ) y0f ( y ) 一f ( x ) 1 1 2 那么，序列 x “有界，并乍tl i m t + 佃l fx m x 2i l _ 0 ，l i m t 一佃0f ( x ) 一f ( x ) i l = 0 我们给出主要的收敛性结果 定理2 8 假设定理2 7 中的所有条件成立，保证序列缸 。“有界，从而有如下结 论成立： 1 若f 在c 上是弱连续的，贝, u n n x ) 。的每一个弱极限点是问题( p ) 的解 2 若v 乃在c 上是弱连续的，则整个序列缸) 。“弱收敛于问题( p ) 的某些解 3 若f 在c j ：是强单调的，则序列扛，。“强收敛于问题( 尸) 的唯一解x 求解非线性变分包含问题的混合迫近点算法及束方法 结论 在本文中，分别应用混合迫近点算法和束方法来研究非线性变分包含问题的求解 主要分为两大部分 在第一大部分中，针对这一问题引入了( 彳，1 1 ) 一极大单调的概念，并利用这一概 念构造了一种混合迫近点算法，该算法能逐步逼近所研究变分包含问题的解在第一 部分的最后又运用该混合迫近点算法，解决了一类广义非线性隐的拟变分包含问题 在第二大部分中，我们给出求解广义变分包含问题的非光滑束方法，问题的求解 是要在实的h i l b e r t 空间上找两个极值算子和的零点方法就是运用非光滑最优化中的 束方法，通过- n 凸线性函数去逼近非光滑凸函数的子问题我们给出如何一步步的通 过束方法建立线性近似0 p ，以及停止准则的使用，之后从步长趋于零和远离零两 种情况分别研究算法的收敛性 辽宁师范人学硕士研究生学位论文 参考文献 1 r g l o w i n s k i ，j l l i o n s ，a n dr t r e m o l i e r e s n u m e r i c a la n a l y s i so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s n o r t h h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，1 9 8 1 2 m a n o o r g e n e r a ln o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s j m a t h ，a n a l a p p l 1 9 8 7 ，1 2 6 ：7 8 8 4 3 r u v e r m a p r o j e c ti o nm e t h o d s ，a l g o r i t h m sa n dan e ws y s t e mo fn o n li n e a rv a r i a ti o n a l i n e q u l i t i e s 。c o m p u t e r sm a t h a p p l i c 2 0 0 1 ，4 1 ( 7 8 ) ：1 0 2 5 1 0 3 1 4 k r k a z m ia n dm i b h a t i t e r a t i v ea l g o r i t h mf o ras y s t e mo fn o n li n e a rv a r i a t i o n a l l i k ei n c l u s i o n s ，c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s 2 0 0 4 ，4 8 ：1 9 2 9 1 9 3 5 5 m a n o o r s o m ea l g o r i t h m sf o rg e n e r a lm o n o t o n em i x e dv a r i a t i o n a li n e q u a li t i e s ，m a t h l c o m p u t m o d e l l i n g1 9 9 9 ，2 9 ( 7 ) ：2 8 4 1 6 d h p e a c e m a na n dh h r a c h f o r d t h en u m e r