（应用数学专业论文）schur稳定多项式的对数凹性.pdf

一一 南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位 获得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法 规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文 ( 包括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论 文并编入 南开大学博硕士学位论文全文数据库 ；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将 公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读。在校园网上提供论文目录检 索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向 教育部指定单位提交公开的学位论文；“) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和 中国学术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文 数据库通过其相关网站对外进行信息服务同时本人保留在其他媒体发表论文的权利 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t l p 2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 1 i n d e x h u n 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容致，如因不同造成不良后果由本人自负 本人同意遵守上述规定本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存 作者暨授权人签字： 围童羞 2 0 1 0 年0 5 月2 8 日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目 s c h u r 稳定多项式的对数凹性 姓名周立芳2 0 l o 年5 月2 8 日 论文类别 博士口学历硕士团硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院，系，所组合数学中心l 专业l 应用数学 联系电话 1 3 9 0 2 1 7 9 7 5 0 i e m a i l iz h o u l i f a n g i9 8 6 7 1 1 6 3 c o m 通信地址( 邮编) ：天津市南开大学西区公寓5 号楼l 单元4 0 5 室 备注：i 是否批准为非公开论文l 否 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆非公开学位论文须附 厂1 一 。擎徘皂萃孔珥孝圭f 移非戥审甭草地毒￥妊掣刷蟛革孤科奔妊移非髟 锋固辫蕈骂考露( 铆鲫毕一) 氢剪罢勘甲。革孤珥毒明干逊、千斟晕鲋明士斟群聒甘娶锋砰群卓：黧 毫 茸砚拦移0 l 啊裂研显并 ：裂撼 再s o t 7 些责i 瓣鲁s 耀影到鲋兵，y 土掣业私￥：( 嘶g 州) ： i 千研署砘 w o o e 9i 【9 8 6ls u 可! i n o l f zi ! b 叫o s l 6 l i 乙0 6 e i城研鎏鞠 兵，嫌m 纠 邓每 叼，审冻，骠号哳鲻婆黝 口+ 迹华杀，如陋i口蛳磁料掣口甜共；吓牟+ 迹囚+ 迹幽杀口+ 斟附椠茸砚 曰8 z 阿s 出0 1 0 乙f i f 目槲最v o o o l o o e i 乙 鲁杀g 可回矽研 科同骣牲叫擎皿霉晕殴a n q o s日睹覃砚 冒哥晕劬革礤珥毒千草地去￥岳掣 1 40 【日9 南o 【0 乙 。绁囝勘5 l 阁i 瞠酬甭距船甲册碰翠一岳蓊5 i 辞群宰。罩群骆丁皋瓤霉刨y 卑 。西1 3 y 章甲凿当膂业帮礤刨业幽听礁一站即脚茸砚章舀掳一狲乒即茸现珥奈脚迈鬻 ：钰岛茸砚取矸翟“背劬明疆g 勤博刨f i f 乜杀杀y g 单可普覃砚甜杀鲫y 章：密癣y 卓 9 t u l t i x o p u ! 1 0 0 8 ：1 9 i 0 乙e i i e o e h ：d u q ：鼻豳鼬5 l 网珊豆萆蕾狲乒印莓观 。茸砚拦刨暂砷岵砸警当逻堋蟛那希蕾岵革暂q 每叫业f r l 列晰毋哿茸磁斟奈妊影j l 。唑澉驯茸砚擎髯鞘灏耐嚣| ；! 禺哿y 宰轴刨。暂那茸粤n 幂q 每拯辆豳￥晔并联觋 射誓醵茸砚珥杀纠群y 劲撕狲乒印并谣笨砚甜杀驹幽露晕瞬罩瞢擗列f 1 1 乒印( 骣咪) 姓瞵半 杀国审唑蝈始抑目黔珊性国审掣讨杀斟游柒助革砚甜嘉( 哥) o 覃识珥杀驹妊髟革鬻珥责犁射 僻盟) ；辜叫击，y 妊单犁群￥曼蟑旦磁辫澉( ) ：邵旮哥箍西垃餮一、繇孵茸孑茸砚暂询蚪 茸、第磷警目覃祝裙爵丁倒心科矽帮剧再蛳f r l 科治誓蛔呀她勘5 i 冈矽僻瑶k 勘茸识甜丢驯 挂汤琳雨血料县叫日埘性唑杀，磁k ( z ) 。蜘辨酶茸弓覃刁： 斟嘉：4 - 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k a k e y a 定理，非负递增系数多项式必然是s c h u r 稳定的。保持非负递增系数多 项式的系数不变，通过适当的基变换，我们得到了一类对数凹的多项式，从而 统一地证明了a b e l 多项式和r s t i r l i n g 数的对数凹性。 最后，我们探讨了关于非负递增系数多项式的比率单调性。序列或多项 式的比率单调性是由陈永川和夏先伟在研究b o r o s - m o u 多项式时提出的，它是 一个比对数凹性更强的性质。b o r o s - m o u 多项式是e h g e o r g eb o r o s 和v i c t o rh m o l l 在研究四次积分时提出的一类重要的雅可比多项式，v i c t o rh m o u 还猜想 该多项式是对数凹的，后被m a n u e lk a u e m 和p e t e rp a n l e 利用计算机代数证实。 我们证明了非负递增系数多项式向左平移一个单位后具有比率单调性，从而得 到了b o r o s - m o l l 多项式的比率单调性。 关键字：对数凹性，s c h u r 稳定性，比率单调性，非负递增，b o r o s - m o l l 多项 式。 a b s t r a c t a b s t r a c t t h el o g - c o n c a v i t yo fp o l y n o m i a i so rs e q u e n c e si sa l li m p o r t a n tt o p i ci nc o m b i - n a t o r i c s m a n ym e a n i n g f u lp o l y n o m i a l sa n ds e q u e n c e sa r i s i n gi nc o m b i n a t o r i c s , a l g e b r a ，g e o m e t r y , a n a l y s i s ，p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c ，c o n t r o lt h e o r ya n do t h e r b r a n c h e so fm a t h e m a t i c sa r ea c t u a l l yl o g - c o n c a v e t h em a i no b j e c t i v eo ft h i s t h e s i si st os t u d yt h el o g - c o n c a v i t yr e l a t e dt ot h es t a b i l i t yo fl i n e a rs y s t e m s t h e t h e o r yo fs y s t e ms t a b i l i t yi sas u b j e c tw i t har i c hh i s t o r yi nt h ef i e l do fc o n t r o l t h e o r y , a n di ta l s op l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nm a t h e m a t i c s i nt h em i d d l eo f t h en i n e t e e n t hc e n t u r y , j a m e sc m a x w e l lf o u n dt h a tt h es t a b i l i t yo fa l i n e a r c o n t r o ls y s t e mc a nb ej u d g e dw i t ht h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a lo fi t sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o na su s e di nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g a c t u a l l y , s o m ee x i s t i n gc r i t e r i ao n t h el i n e a rs y s t e ms t a b i l i t yt u r no u tt ob er e l e v a n tt ot h el o g - c o n c a v i t yo ft h e c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l s f i r s t ，b a s e do nt h er e l a t i o n s h i p ( d u et or i c h a r dp s t a n l e y ) b e t w e e nt h er o o t l o c a t i o no fap o l y n o m i a la n di t sl o g - c o n c a v i t y , w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nt o t r a n s f o r mas c h u rs t a b l ep o l y n o m i a lw i t hr e a lc o e f f i c i e n t sa n dap o s i t i v el e a d i n g c o e f f i c i e n ti n t oal o g - c o n c a v ep o l y n o m i a lb yt h ev a r i a b l es h i f t w i t ht h eh e l p o fan e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rh u r w i t zp o l y n o m i a l s ，w ea l s oo b t a i nt h es t r i c tl o g - c o n c a v i t yo ft h et r a n s l a t e dp o l y n o m i a l sf r o mt h es c h u rs t a b l ep o l y n o m i a l s s e c o n d ，w es t u d yt h el o g - c o n c a v i t y o nt h ep o l y n o m i a l sw i t hn o n n e g a t i v ea n d n o n d e c r e a s i n gc o e f f i c i e n t s a c c o r d i n gt ot h ec l a s s i c a le n e s t r s m - k a k e y at h e o r e m ， p o l y n o m i a l sw i t hn o n n e g a t i v ea n dn o n d e c r e a s i n gc o e f f i c i e n t sa x es c h u rs t a b l e b yr e p l a c i n gt h eu s u a lb a s i so ft h e s ep o l y n o m i a l sw i t ha n o t h e rp r o p e rb a s i sa n d m e a n w h i l ef i x i n gt h e i rc o e f i c i e n t s ，w eo b t a i nac l a s so fl o g - c o n c a v ep o l y n o m i a l s a sac o n s e q u e n c e ，w ep r o v et h el o g - c o n c a v i t yo ft h ea b e lp o l y n o m i a l sa n dt h e r - s t i r l i n gn u m b e r si nau n i f i e dw a y l a s t ，w ee x p l o r et h er a t i om o n o t o n i c i t yo fp o l y n o m i a l sw i t hn o n n e g a t i v e a n d n o n d e c r e a s i n gc o e f f i c i e n t s t h er a t i om o n o t o n i c i t yo fp o l y n o m i a l so rs e q u e n c e s ， w h i c hi m p l i e sl o g - c o n c a v i t y , w a si n t r o d u c e db yw i l l i a my c c h e na n de r n e s t x w x i ai nt h e i rs t u d yo ft h eb o r o s - m o l lp o l y n o m i a l s t h eb o r o s - m o l lp o l y - n o m i a i sa r ea ni m p o r t a n tc l a s so fj a c o b ip o l y n o m i a l sa n dt h e yw e r ed i s c o v e r e d i i a b s t r a c t b yg e o r g eb o r o sa n dv i c t o rh m o l li nt h e i ri n v e s t i g a t i o no faq u a r t i ci n t e g r a l v i c t o rh m o l la l s oc o n j e c t u r e dt h a tt h eb o r o s - m o l lp o l y n o m i a l sa r el o g - c o n c a v e ， a n dt h e nm a n u e lk a u e r sa n dp e t e rp a t t i ep r o v e dt h i sc o n j e c t u r eb yac o m p u t e r a l g e b r aa p p r o a c h b ys h i f t i n gp o l y n o m i a l sw i t hn o n n e g a t i v ea n dn o n d e c r e a s i n g 0 0 e 伍c i e n t so n eu n i tt ot h el e f t ，w es h o wt h a tt h eo b t a i n e dp o l y n o m i a l sa r er a e r i om o n o t o n e a sad i r e c ta p p l i c a t i o n ，w eo b t a i nt h er a t i om o n o t o n i c i t yo ft h e b o r o s - m o l lp o l y n o m i a l s k e yw o r d s ：l o g - c o n c a v e ，s c h u rs t a b l e ，r a t i om o n o t o n e ，n o n n e g a t i v ea n d n o n d e - c r e a s i n g ，t h eb o r o s - m o l lp o l y n o m i a l i l l a b s t r a c t ( i nc h i n e s e ) a b s t r a c t c b “t e n t s 1i n t r o d u c t i o n 2l o g - c o n c a v i t yo ns c h u rs t a b l ep o l y n o m i a l s 2 1 z i e ml o c 砒i o no fp o l y n o m i a l sa n dl o g - c o n c a v es e q u e n c e s i i 1 5 2 2 l o g - c 。n c a 丽锣。ns c h u rs t a b l ep o l y n o m i a l s 7 3l o g - c o n c a v i 坶o np o l y n o m i a l s w i t hn o n n e g a t i v ea n dn o n d e c r e 挣 i n gc o e m c i e n t s 上j 1 口 3 1 l o g - c o n c a v ep r o p e r t y 。 工u 3 2 a p p l i c a t i o n so ft h e o r e m3 2 。 二 4r a t i om o n o t o n i c i t yo np o l y n o m i a l s w i t hn o n n e g a t i v ea n dn o n - d e c r e a s i n gc o e f f i c i e n t s 4 1r a t i om o n o t o n ep r o p e r t y 2 4 4 2 a p p l i c a t i o 璐。ft h e o r e m4 1 2 9 i v 旦2 坐! 些! 一 一 b i b l i o g r a p h y a c k n o w l e d g e m e n t 舭s u i l l e v 3 2 3 7 3 8 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h em a i no b j e c t i v eo ft h i st h e s i si st op r o v i d eag e n e r a lf r a m e w o r kf o rp r o v - i n gt h el o g - c o n c a v i t yo rr a t i om o n o t o n i c i t yo fc e r t a i ns e q u e n c e sa n dp o l y n o m i a l s d e r i v e df r o ms c h u rs t a b l ep o l y n o m i a l s m o r e o v e r ，w ec o n s i d e rt h el o g - c o n c a v i t y o rr a t i om o n o t o n i c i t yg e n e r a t e df r o mp o l y n o m i a l sw i t hn o n n e g a t i v ea n dn o n d e - c r e a s i n gc o e f f i c i e n t sw h i c h i sas p e c i a lc l a s so fs c h u rs t a b l ep o l y n o m i a l s s u c hs e - q u e n c e so rp o l y n o m i a l sa r i s ef r e q u e n t l yi nc o m b i n a t o r i c s ，a n a l y s i sa n dg e o m e t r y , i n c l u d i n gt h ea b e lp o l y n o m i a l s 【2 6 ，t h er - s t i f l i n gn u m b e r s 【2 2 】，t h eb o r o s - m o l l p o l y n o m i a l s 【4 j ，a n dt h ea - v e c t o r so fl o w - d i m e n s i o n a ls i m p l i c e s 【1 3 】 l e tu sg i v eab r i e fr e v i e wo ft h eb a c k g r o u n da n dt e r m i n o l o g y l e t a k 0 s k m b eas e q u e n c eo fn o n n e g a t i v er e a ln u m b e r s w es a yt h a tt h es e q u e n c ei su n i m o d a l i ft h e r ee x i s t sa ni n t e g e rr 0s u c ht h a t n 0 a r 一1 a t a r + l a m t h es e q u e n c ei ss a i dt ob et o g - c o n c a v ei f f o ra n y1 k 仇一1 ， ，一 口2 口七+ l 口七一1 i ft h ea b o v ei n e q u a l i t yi ss t r i c tf o ra n yk ，t h e nw es a yt h a ti ti sas t r i c t l yl o g 。 c d n es e q u e n c e i ti so b v i o u st h a tt h ep o s i t i v es e q u e n c e o 七) o 七s r n i sl o g - c o n c a v ei fa n do n l yi fi t sf a c t o rs e q u e n c e 号 0 蜒m li sd e c r e a s i n g t h es 争 q u e n c ei ss a i dt oh a v en oi n t e r n a lz e r 0 8i ft h e r ea r en ot h r e ei n d i c e si j f 七 s u c ht h a t 吼纵0a n d 口j20 i ti so b v i o u st h a t8n o n n e g a t i v el o g - c o n c a v e s e q u e n c ew i t hn oi n t e r n a l z e r o si su n i m o d a l w ec a ne a s i l ye x t e n dt h en o t i o n l e r i a nn u m b e r sa ( n ，k ) a l ea l ll o g - c o n c a v e 【3 0 ，3 3 i nc o n t r a s tw i t ht h e i rs i m p l e d e f i n i t i o n sa n d f r e q u e n ta p p e a r a n c e s ，t op r o v et h eu n i m o d a l i t y o rl o g - c o n c a v i t yo f a s e q u e n c eo rp o l y n o m i a li so f t e nac h a l l e n g i n gp r o b l e m i n 【2 9 s t a n l e ys u r v e y e d a v e t yo fm a t h e m a t i c a lt o o l sf o rp r o v i n gt h eu n i m o d a l i t yo rl o g - c o n c a v i t y , i n - c l u d i n gc o m b i n a t o r i a lb i j e c t i o n s ，c l a s s i c a la n a l y s i s ，l i n e a ra l g e b r a ，r e p r e s e n t a t i o n t h e o r ya n da l g e b r a i cg e o m e t r y i nf 8 jb r e n t iu s e dt h et h e o r yo ft o t a lp o s i t i v i t y t oa t t a c ks u c hp r o b l e m s f u r t h e rd e v e l o p m e n t sw e r ed i s c u s s e db yb r e n t i 【z 0 o nt h eo t h e rh a n d ，t h es t u d yo fu n i l n o d a n t yo rl o g - c o n c a v i t yo fs e q u e n c e si s h e l p f u lf o rs o l v i n go t h e rm a t h e m a t i c a lp r o b l e m s f o re x a m p l e ，t h es t u d yo ft h e l o g - c o n c a v i t yo fc e r t a i ns e q u e n c e sr e l e v a n tt ot h ec h r o m a t i cp o l y n o m i a l sp r o v i d e s an e ww a yt ou n d e r s t a n ds o m et h e o r e m so ng r a p hc o l o r i n g s 【9 】 i nr e c e n ty e a r s ，m a t h e m a t i c i a n sf o u n ds o m ei n t e r e s t i n gp r o p e r t i e so fs 争 q u e n c e sa n dp o l y n o m i a l s ，w h i c ha r ec l o s e l yr e l a t e d t 0t h e i ru n i m o d a l i t ya n dl o g - c o n c a v i t y r e c a l lt h a tg i v e nas e q u e n c e 口七) o 墨七mo fp o s i t i v er e a ln u m b e r s ，i ti s s a i dt 0b es p i t s i f a m a o a m 一1 a l a - 弩l ， w h e r e 嘲s t a n d sf o rt h el a r g e s ti n t e g e rl e s s t h a no re q u a lt o 罟as t r o n g e r p r o p e r t y , w h i c hi m p l i e sb o t hl o g - c o n c a v i t ya n ds p i r a l i t y , w a si n t r o d u c e db yc h e n a n dx i a 【i s la n dc a l l e dr a t i om o n o t o n i c i t y as e q u e n c eo fp o s i t i v er e a ln u m b e r s ( d 七 o s 七mi ss a i dt ob er a t i om o n o t o n ei f 堕 ! 堕 坚 a m - - 巫t # 1 1 a o a l 一 一口一 一a i - 专- t 一 2 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n a n d 生 l 堕 a - 詈 - i 1 a m 一1 6 l ，n 一2 一 一6 l t n 一一a l t n 一【詈】 c h e na n dx i a 【1 t h a v ep r o v e dt h a tt h eb o r o s - m o l lp o l y n o m i a l sa r er a t i om o n o - t o n e i nt h i st h e s i sw ew i l lg i v ean e wp r o o fo ft h er a t i om o n o t o n i c i t yo ft h e b o r o s - m o l lp o l y n o m i a l sw i t h o u tr e s o r t i n gt ot h er e c u r r e n c er e l a t i o n so ft h e i rc o - e f f i c i e n t s a n o t h e rc l u eo ft h i st h e s i si so nt h es t a b i l i t yo fl i n e a rc o n t r o ls y s t e m s r e c a l l t h a tap o l y n o m i a li ss a i dt ob eh u r w i t zs t a b l ei fa l li t sz e r o sa r el o c a t e di nt h e l e f th a l f - p l a n eo ft h ec o m p l e xp l a n e ，a n di t i ss c h u rs t a b l ei fa l li t sr o o t sl i ei n t h eo p e nu n i td i s k i ti sk n o w nt h a tt h es c h u rs t a b i l i t yo fap o l y n o m i a lp ( z ) i s e q u i v a l e n tt ot h eh u r w i t zs t a b i l i t yo ft h et r a n s f o r m e dp o l y n o m i a l ) 却- 1 ) d p ( 蓦) s t a b i l i t yi st h eb a s er e q u i r e m e n tf o rt h ed e s i g no fal i n e a rc o n t r o ls y s t e m t h em o s ti m p o r t a n ts t a b i l i t yc r i t e r i o nw a sg i v e nb yr o u t h 【2 7 a n dh u r w i t z 【1 9 1 ， w h i c hi san e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rd e t e r m i n i n gap o l y n o m i a lw i t h r e a lc o e f f i c i e n t si sh u r w i t zs t a b l eo rn o t h o w e v e r ，t h er o u t h - h u r w i t zc r i t e r i o n i 8n o tp r a c t i c a lt ou s es i n c et h ec o m p u t a t i o ni n v o l v e di n c r e a s e sd r a m a t i c a l l y 鹪 t h ed e g r e eo ft h ep o l y n o m i a li n c r e a s e s i nc o n t r a s t ，t h e r ea r es o m en e c e s s a r y c o n d i t i o n sw h i c h 咖b ee a s i l yu s e dt oj u d g ew h e t h e rt h ep o l y n o m i a li su n s t a b l e aw e l lk n o w nr e s u l ts t a t e st h a tah u r w i t zs t a b l ep o l y n o m i a lw i t hr e a lc o e f f i c i e n t s h a sc o e f f i c i e n t so ft h es a m es i g n ，e i t h e ra l lp o s i t i v eo ra l ln e g a t i v e ，s e e 【3 7 1 i t i 8i n t e r e s t i n gt on o t et h a ts o m es t a b i l i t yc r i t e r i aa r ec l o s e l yr e l a t e dt ot h el o g - c o n c a v i t yo fp o l y n o m i a lc o e f f i c i e n t s t h er e a d e ri 8r e f e r r e dt ox i e 【3 4 】a n dy a n g f 3 6 】f o r 咖er e l e v a n tr e s u l t s t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，w ef i r s tr e v i e ws o m er e s u l t so nt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h el o g - c o n c a v i t yo fap o l y n o m i a la n di t sz e r ol o c a t i o n s ，s u c h 鹪t h en e w t o ni n e q u a l i t i e s a n dt h ea i s s e n s c h o e n b e r g - w h i t n e yt h e o r e m t h e nw ep r o v i d et w oc r i t e r i ao n t h el o g - c o n c a v i t yo ft h et r a n s l a t i o no f8s c h u rs t a b l ep o l y n o m i a l ，w h i c hp r o v i d e e o m en e c e s s a r yc o n d i t i o n st oj u d g et h es c h u rs t a b i l i t y o n ec r i t e r i o ns t a t e st h a t 3 i fp ( x ) b eas c h u rs t a b l ep o l y n o m i a lw i t hr e a lc o e f f i c i e n t sa n dap o s i t i v el e a d i n g c o e f f i c i e n t ，t h e n 妇ec o e f f i c i e n t so fp ( z + t ) f o r mal o g - c o n c a v es e q u e n c ew h e n t 2 锈w ea l s os h o wt h a tp + t ) i s n o tl o g - c o n c a v ei ng e n e r a li ft 2 瓶 a n o