（应用数学专业论文）一类神经网络模型平衡点的定性研究.pdf

硕士学位论文 摘要 本学位论文主要论述具自反馈和时滞的环状连接四元神经网络的平衡点的存 在性、稳定性和分岔。这种网络出现在许多神经结构中，例如大脑皮层、小脑和海 马之中，甚至于出现在化学和电力设计之中。通过研究环状神经网络可以了解循 环网络的基本机理。本论文主要的内容如下： 第一，主要介绍了人工神经网络研究的背景、意义及进展情况，并简单介绍分 岔的产生及其一般的研究方法，此外，还介绍了有限维系统的中心流形方法。 第二，借助于对d 4oz 2 中的迷向子群的分析，我们获得了系统中具各种不同 模式平衡点的存在性条件，而且这些条件中的大部分还是充分且必要的。 第三，通过对平衡点处的线性化，计算平衡点处系统的特征方程，由此，得出 平衡点的稳定性态。 第四，以系统的连接权值为分岔参数( 以区别于传统的以信号传输时滞为分 岔参数1 ，并借助于中心流形约化和正规形理论，我们讨论了平凡平衡点处的等 变h 0 p f 分岔，并推导出分岔方向和分岔周期解的稳定性：而且，我们还讨论了非 平凡平衡点的分岔。 关键词：神经网络；平衡点；特征方程；稳定性；h o p f 分岔 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t t h ef o c 岫0 ft h i 8 拙勰r t a t i o ni st os t u d yi s 8 u 嬲r e l a 七e dt o 丽s t e n c e ，s t a b i l i t y a n db i f u r c 砒i o no fe q u 血b r i ai i iar i 】1 9o ff o t l ri d e n t i c 越n e u r 0 鹪证乞h8 雒d b a 威 8 丑d 越& 擎瓢呐i c hh a s8 ao l 卜e e 躐e ro 鬃8 毪爨t l l 通矗8 f a e 毛e 豳t i cf o r8 0 m es 伍t 如l e c o 如础i o nw e i g h t s s u c han e 钿o r kh 躺b e e nf 0 删di i iav a m 锣o fn e l 心s t r l l c - t 嘲，s u c h 姻n e o c o r t e x ，o e r e b 酣眦，址p p o c 锄p 瑚，嬲de v 雌迹c h 钮l i s t 黟& n d 毯e c 乇矗c 越戳塔速锶盘戚e 8 程b e 蘸嘏琢基耄og 鑫泌纽s i 彗辩嫩抛t k 强烈蛐s m 8 1 m d e r 妍n g 七h eb e h 撕o ro fr e c t l r 托n tn e t w d r k t h i 8m 8 8 e r t a 七i o ni 80 r g 鲫i z e d 蠲 f o u 刚嶝： f 巍l y t 髓b 8 堍阳强da 珏dt k 戮瞎献氯强幻r 之k8 毫u d yo f 哦疆i c i 越船凇d n e 锄o r k s 刹- ep r e 刚e d 。t h i 瞰，s o m e 】a l o w n 瑚1 1 1 馏o fn e u r 以枷加r k 邛l o d e l 8a r e i i l t r o d u o e d o c c u r r e n c eo f b i f h r c 觚i o n 妣ds o m et 砌i t i o n 雒m e t h o _ d 8u s e dt os 考u d y b 釜粼氆t 遍羽治汪毫纛t l c e d 蘸氆薹圭y b e s i d _ e 8 ，毛& c 镪蟪e 翟臣戳娃幻l d 薹嵌b 融主o n 粕鱼d n i ) r m a lf o r mc a l c m a 七i o ni na 缅匝t e - d 蛔e 鹪i o ns p ea r ei n t r o d l l c e d s e c o n d l y b 晦e do nt h ei 8 0 t r o p i cb u b g r o u po fd 4o 殇，髑c l 髑匆盛t h e p o 鹃i 税ee q 阻i 珏酗& 毛址8 酣黻8 薹翩呔。t k 毽粥。堍a 通专ks u 煎c i e 越越t 主。璐 e 璐谢k 培t h e 懿i 8 t 旺o eo ft h ee q l i i l i b r i ao fd i 脑r e n tp a t t e r 璐 t 1 1 i r d 垃矾c a l c t i l a t et h ec h a r a c t e r i 8 t i ce q u a t i ( mo ft h ee q u 进赫a 碾at h e 强n - e & 比葩e 群a t i 强，丑哆糙e a 蹒蠢谯e 忐醚8 c t 酬醚i e 锶疆舔i 雠 碱出蹦瑚t k 蘸a b 嫩母 o f t h ee q l l i l i b r i 氛 f 0 u r t h l y b yr e g a r 渤gt h e 怕l ，oc 0 删i o nw e i g h t s 姻b i 融r c a t i o np 懿a m e t e 糟， w k c h 遮卤匮& l e 】谴f 幻l 牲t r 越t 量。致鑫| f 强辩a 托hl l i ；i 醒t k 蛀疆e 越8 i y 怠s 酗溉8 忠主o n p 艇黜蜘，诵t ht h eh e l po fc e n t e rm 粕i f o l dr e d u c t i o n 肌dn o r m a lf o r mt h e o r y w ei i l v 髑t i g a t et h ee q 山、，a d a ti 薹o p fb 洫m 姚i o nn e 缸t h et r i 啊de q 1 i i h b r i 啪，a i 心 o b 毛a 主硅s o m ee 纛毫e 砖鑫鑫_ 幻啭毒h e 班妇臼潞乏i 强蚴i 强蠢注ds 魄b 进乇y 文b 抵啪醴i n g p e r i o 出e8 0 b t i o 瑚 f i n 献l y w ed i s c 眦璐t h eb i h l r c a t i o np h 职n o m e n & n e a ra s y l l c _ h r o n o l l se q t i i l i b r i a 8 sw e l l k e yw 0 r 幽：n e u r 甜n 曲哟r k ；e q ：1 1 i u b r i 眦；c h a r a c t e r 斌i ce q u a t i o n ；s t a b i l i t y ； h o p fb i f u r c a t i o n 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 储签名产乜k 日期潲年嘶月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在 年解密后适用本授权书。 2 、不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“一) 作者签名：产恤父 导师签名。多；2 一 日期：如船，年午月日 日期：o 弦p 年，月仞日 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 人工神经网络研究简介 人工神经网络( 胁i 】记i a ln e u r a ln e 咖r b ，简写为a n n s ) 是在对人脑组织结构 和运行机制的认识理解基础之上模拟其结构和智能行为的一种工程系统。早在上 世纪4 0 年代初期，心理学家m c c u n o c h 和数学家p i t t s 就提出了人工神经网络的第一 个数学模型，从此开创了神经科学理论的研究时代。其后，f r d s e n b l a t t 和w i d r o w 以 及j j h o p 丘e l d 等学者又先后提出了感知模型，使得人工神经网络技术得以蓬勃发 展。神经系统的基本构造是神经元( 神经细胞) ，它是处理人体内各部分之间相互信 息传递的基本单元据神经生物学家研究的结果表明，一个人的大脑一般有1 0 1 0 - 1 0 1 1 个神经元( 参见文献【1 】) 。每个神经元都由一个细胞体，一个连接其他神经元的 轴突和一些向外伸出的其它较短分支( 树突) 组成。轴突的功能是将本神经元的输 出信号( 兴奋) 传递给别的神经元，其末端的许多神经末梢使得兴奋可以同时传送 给多个神经元。树突的功能是接收来自其它神经元的兴奋。神经元细胞体将接受 到的所有信号进行简单地处理( 如：加权求和，即对所有的输人信号都加以考虑且 对每个信号的重视程度体现在权值上有所不同) 后由轴突输出。神经元的树突与另 外的神经元的神经末梢相连的部分称为突触。正是因为人工神经网络的结构特点 和其信息存储的分布式特点，使得它相对于其它的判断识别系统，如：专家系统 等，具有另一个显著的优点：健壮性生物神经网络不会因为个别神经元的损失而 失去对原有模式的记忆。最有力的证明是，当一个人的大脑因意外事故受轻微损 伤之后，并不会失去原有事物的全部记忆。人工神经网络也有类似的情况。因某些 原因，无论是网络的硬件实现还是软件实现中的某个或某些神经元失效，整个网 络仍然能继续工作。人工神经网络同现行的计算机不同，是一种非线性的处理单 元。只有当神经元对所有的输入信号的综合处理结果超过某一闭值后才输出一个 信号。因此神经网络是一种具有高度非线性的超大规模连续时间动力学系统。它 突破了传统的以线性处理为基础的数字电子计算机的局限，标志着人们智能信息 处理能力和模拟人脑智能行为能力的一大飞跃。 在某些人工神经网络的应用中，例如存储记忆网络模型( 参见文献陆8 】) ，信息 是作为系统的稳定平衡点而存储的，当系统在某个平衡点的吸引域内初始化时产 生回放而使记忆恢复，当然这样的网络在平衡态附近务必稳定。神经元之间的信 号传输过程往往有一个时间滞后( 例如文献f 9 】) ，它能够使这种网络的性能更加广 泛。然而不加控制的时滞可能会毁坏网络的性能，同时它们也可能导致平衡点的 不稳定而使相应的记忆不可能被恢复。实际上，时滞对网络性态的影响在许多循 环网络模型中已经进行过理论与计算上的研究( 参见文献 6 ，7 ，1 0 - 17 】) 。这些结果表 明时滞是神经系统的重要控制参数：不同范围内的时滞对应着不同的神经兴奋模 一l 一 一类神经网络模型平衡点的定性研究 式。对于具有信号传送时滞的( 生物、人工和电力) 神经网络，通常用分岔理论和 全局动力学理论来描叙它们的计算性能与信息处理能力，b 6 l a j r l l o 1 1 1 ，c a m p b e u l 8 】， p a k d 眦a n 【6 7 1 和j w u 1 1 3 1 7 ，1 9 2 1 】在这方面进行了长期的研究。c 【冽为模式识别 与分组着手设计了新的神经网络体系。c h e n 【1 9 2 3 1 着手研究了时滞微分方程的全局 吸引子。n c u b e ，w u 和h u a n g 凹】着手研究了具有时滞的对称型o n c e n t e ro 丘s u r - r o u n d 神经网络中的模式信息。上述所有工作都处于初级阶段。 近年来，人们对环状神经网络有了深入的研究，主要表现在具有环状结构的 网络的研究，这种网络中的神经元只与相距最近的神经元相连。这就得到一个 具有d n 对称性的系统，也就是说，一个有竹边相等的对称多边形的系统。大部 分的研究所关注的都是低维系统( 例如文献【2 4 _ 2 6 】) 或带有简单时滞的系统( 例如 文献f 1 7 ，2 7 1 等) 。g u 0 和h u 蛐g 借助于对称分岔理论并结合二面体群表示理论， 不仅在模式形成上调查了信号传播的突触产生时滞的效果，而且获得了多个周 期解分岔以及它们的空间模式等一些重要结果，而且分析了分岔周期解的稳定 性( 参见文献 2 8 ，2 9 】) 。另外，g u o 和h u a n g 在文献【2 7 】和【3 0 】中考虑了这些周期解 的大范围存在性，以及在文献【2 9 】中讨论了慢振动周期解的不稳定性。在文献【3 l ， 3 2 1 中，c a m p b e l l 与她的合作者们研究了有两个时滞的任意个数神经元的网络的 平凡解的稳定性和分岔( 包括标准和等变h o p f 分岔) 。此外，o r o s z 和s t 6 p 缸例用中 心流形约化和正规形方法研究了一个带有单个时滞的具有平移对称性的系统。在 这篇文章及其后续文章f 叫中，他们把他们的结果应用到一个具有周期边界条件的 汽车跟随模型，导出一个具有环状结构的单向联结的系统。这些只是一部分环状 网络的研究成果，由于篇幅的原因，在此不再赘述。 1 2模型的提出 人工神经网络通过电路来模仿人脑神经细胞的结构和功能，来揭示生物神经 网络系统所具有的复杂动力学性质。在数学上，我们通常采用微分方程或差分方 程来描述神经网络中各个神经元的活动状态。通过对这些网络模型分析，来了解 其相应的动力学性态。在神经网络动力系统的研究中，h o p 丘e l d 模型是研究得较 多的模型之一。连续型h o p 舶l d 模型是用一个常微分方程系统描述的。考虑到生 物神经元在进行信号传输过程中存在诸如细胞时滞，传输时滞及突触时滞等原 因，m 盯c u s 和w b t e r v e l t 在文献【9 1 及w - u 在文献 3 5 1 中对连续的h o p 丘e l c l 模型引入了 时滞，其具体的模型为 n 讥( ) = 一胁讹( t ) + i = 乃t 乃( 一) ) + 五 ( 1 1 ) j = 1 其中，表示第i 个神经元的活动状态；常数胁 0 表示衰减率，即当与网络及外 部输入断开且无自反馈时，它将以指数速度以衰减到松弛状态；常数 0 表示 第j 个神经元发出信号到第i 个神经元接受到信号的时间；实数乃i 表示第歹个神经元 一2 一 硕士学位论文 与第t 个神经元的连结权值，如果乃 0 ，则表示连接是激励的，如果乃 0 ，则 表示连接是抑制的；非线性函数：厶：r _ r 表示信号传输函数，即第j 个神经元 在网络中的输出，一般为s i g i 】i d 函数。 在h 0 p 6 e l d 神经网络模型中( 参见文献【3 6 ，3 7 】) ，每个神经元是由一个线性电阻 器和一个线性电容器构成的一个电路的模型。通过一些变量代换和重新参数化， 该神经元的模型有如下形式： 圣( 亡) = 一z ( t ) + ，( z 一下) ) ，( 1 2 ) 这里，( t ) = 舄z ( t ) ，d ( r ，r ) 。许多科研工作者曾经研究过方程( 1 2 ) 。例 如，c 锄p b e u 【1 8 】研究了信号传播函数为，( z ) = pt a n h 白) 时( 1 2 ) 的动力学特征，并 且揭示了当一l o 。 一3 一 一类神经网络模型平衡点的定性研究 口，h 厂，r l o j 垦o j 9 ，t 欺 u 、 名，f 图1 14 元环状神经网络 ( c 2 ) z ，( z ) 0 ，p 0 ，则第i 个神经元的兴奋程度依赖于正的( 即激励的) 自反馈和来自第t + l 和i 一1 个 神经元的负的( 即抑制的) 反馈作用，这样，由( 1 3 ) 表示的网络具有o n - o e n t e ro 丘 8 u r r 0 1 m d 性质。 类似于系统( 1 3 ) 的网络模型已经被大量地研究。在文献【4 8 1 中，w ，u 和他的合 作者们研究了一个包含3 个神经元的环状网络，得到下面的结论：在q p 参数平面 的适当的区域中，网络的每个解都收敛于拓扑空间中的同步状态集( t h es e to fs 陟 c h r o n o 岫s t a t 朗i i lt h ep h 够es p a c e ) ，而且这种同步不依赖于时滞的大小。b u n g a y 和c 唧p b e l l 在文献【4 9 】中研究了有两个时滞的三元环状网络的非零平衡点的存在 性和h o p f 分岔。在文献【5 0 】中，g u 0 和他的合作者们研究了带一个时滞的三元环 状网络，考虑了其非零平衡点的分岔以及分岔出的周期解。在本文中，我们考虑 了系统( 1 3 ) 的所有的平衡点，并给出了平衡点的稳定性及其产生的分岔，此外还 考虑了部分平衡点所分岔出的周期解。 本文主要开展以下几个方面的工作： 第一，通过线性变换求出系统( 1 3 ) 的所有可能的非平凡的平衡点，并证明其存 在性，给出相应的条件。 第二，通过分析相应的超越特征方程来研究模型线性的稳定性。借助于空间 分解，我们巧妙地讨论了特征方程零点的分布，并且导出保证所有的特征根具有 负实部的一些充分条件，即使得该模型是渐近稳定的。 第三，应用中心流形约化，求出平衡点处产生的分岔类型。此外，还应用分析 的方法研究了部分平衡点的分岔及其分岔的周期解。 一4 一 丌一4一， wo、 ， _ 以厂窿 硕士学位论文 第2 章基本知识 2 1分岔的产生及一般研究方法 分岔是动力系统理论研究中十分重要的一个问题。其研究对象是结构不稳定 的系统。所谓分岔现象，是指依赖于参数的某一个研究对象在一个特定值附近作微 小变化时，研究对象的某些属性发生了质的变化。在自然界中，分岔现象是普遍存 在的，因此，不论在数学理论上，还是在实际应用中，分岔理论研究都有较大的意 义。所以，一直以来受到数学家们的的关注，在某些方面甚至可以追溯到p 0 i i 瑚庙 时代。近年来，分岔理论研究已经取得了很大的发展，但主要是针对于常微分方 程，特别是平面上退化程度不高的分岔上。相对来说，对于泛函微分方程的分岔 研究，起步较晚，结果也相对较少。 许多数学工作者对形如( 1 2 ) 的纯量时滞微分方程的动力学特征( 例如：周期解 的局部分岔与全局持续性) 已经进行十分深入的研究。一个很自然的想法是这些关 于纯量时滞微分方程的结论与方法是否能够推广到时滞微分方程组的研究。对于 不具自反馈的二元神经网络模型，已经取得了一定的进展，例如文献f 1 2 ，1 5 ，1 9 1 。 文献【1 2 ，1 9 】取得进展的重要因素在于系统能够被改变成为所谓的单向性循环的 时滞微分方程系统，以便于利用m “晦p a 陀t 和s e u 建立的理论以及在文献【5 1 】中使 用的几何方法。 在非线性动力系统的研究中，中心流形和正规型具有十分重要的作用。中心 流形主要起着降维的作用，而正规型理论则是将所研究的问题尽可能在等价意义 下从形式上予以简化。对于泛函微分方程的中心流形理论，在7 0 年代人们就进行了 深入的研究。另外，关于抽象微分方程的中心流形理论也适用于泛函微分方程。自 从p 0 i n c 盯6 和b i r l 【h o 以后，正规型就被用来解决有限维常微分方程的有关问题。 对于泛函微分方程，就需要考虑无穷维相空间中的流在奇点处的中心流形上的限 制所对应的常微分方程的正规型( 参见文献【1 5 ，1 6 】) 。这样，在得到中心流形上的 常微分方程的正规型之前，就需要计算中心流形。通常情况下，由于计算的问题， 正规型中的系数与原来泛函微分方程中的系数的明显关系却失去了。一方面，研 究确切的泛函微分方程产生的流并不容易，另一方面，获得的正规型也不能够简 单地由所考虑的泛函微分方程的一般表达式和系数所决定，因此，我们需要研究 在正规型上的限制。 在具体的操作中，一般采取两种方案。一种是先计算出中心流形，再计算中 心流形上的常微分方程的正规型：另外一种方法是直接计算泛函微分方程的正规 型，而不事先计算出中心流形，这样，可以看到正规型中的系数与原来泛函微分 方程中的系数具有明显的关系。为此，我们将泛函微分方程看作适当的无穷维相 空间中的抽象常微分方程，该相空间的选取是建立在c h o w 和m a l l e t - p 盯e t 对无穷 一5 一 一类神经网络模型平衡点的定性研究 维空间考虑平均化和分岔的基础之上的( 参见文献 1 6 】) 。 所谓一个系统产生h o p 盼岔，即当该系统的奇点的稳定性发生改变时，在奇点 的附近出现周期解的现象。对于有限时滞的泛函微分方程，与常微分方程的h o p f 分岔定理相平行的结果最先由c h d w 和m a l l 啦p a r e t 于1 9 7 4 年在b r 明r i l 大学的一本 教程中给出。后来，h 甜e 对该定理用不同的方法给予了证明，并写进了他的专著( 参 见文献【5 2 】) 。泛函微分方程产生h o p 盼岔的条件主要有三个：首先，该系统应当是 足够光滑的；其次，它在常数解处的线性化方程的特征方程在特定的参数值咖处有 一对单重的纯虚根；最后，得到的单重纯虚根满足横截性条件，并且，其他的特征根 与它是非共振的。那么，根据隐函数定理以及空间分解理论，可以得到在参数q o 的 某邻域内所考虑的系统有小振幅周期解的存在性。在确定一个系统存在h o p 盼岔 之后，还要确定分岔方向、分岔周期解的稳定性、振幅和周期。通常的做法是将泛 函微分方程表示成为一个抽象的常微分方程，系统在常数解附近必定有一个相切 于中心子空间的2 维中心流形。这样，我们只要考虑原来的系统在中心流形上的限 制，实际上变成一个2 维常微分方程。我们只要研究该常微分方程的分岔方向以及 周期解的稳定性便可以得到原来系统的相关性质。值得一提的是，“m a 【5 3 】把关于 有限时滞泛函微分方程的h o p f 分岔定理推广到了具有无穷时滞的泛函微分方程上 去了。时滞微分方程等变h o p f 分岔定理的第一个结果可以追溯到w u 在1 9 9 8 年的工 作( 参见文献【1 7 】) ，而且l ( r 删c e 丽忽，m a 和w h 阻l 运用g r e b a 等人( 参见文献 5 5 】) 所 建立的等变拓扑度理论讨论具二面体群对称性的中立型时滞微分方程的对称周期 解的存在性，个数以及全局持续存在性。g u 0 和l 唧b 酬建立了中立型时滞微分 方程的等变h o p 盼岔定理，并且给出了分岔方向与分岔周期解的周期等重要判别 依据，大大改进了w 小1 7 】的结论 2 2中心流形方法 中心流形方法是动力系统理论的一个重要内容，它也是一种主要的降维方法。 这里只介绍有限维空间舯的向量场的中心流形方法。考虑由伊( 其中f 1 ) 向量 场，：r n 一p 给出的动力系统 文= ，( x ) ，x 舯( 2 1 ) 其中u 是包含原点d 的开集。设点d 是( 2 1 ) 的一个非双曲平衡点，即导算子d ，( o ) 有 实部为0 的特征值。记d ，( o ) 的特征值集盯= 矿u 矿uc r c ，矿、矿和a r c 分别为 实部小于0 、大于0 和等于0 的特征值子集，它们在r n 中对应的特征子空间分别 为占，占u 和占c 。 引理2 2 1 ( 中心流形定理) 设点d 是系统( 2 1 ) 的非双曲奇点，( z ) 是伊向量场( 1 f l ，则系统( 1 3 ) 至少存在两个非平凡同步平衡点：( 矿，矿，矿，矿) 和( 一矿，一z ，一矿，一矿) ，其中z + 满足方程( 3 6 ) 。如果q + 2 p 1 ，则系统( 1 3 ) 没有 非平凡同步平衡点。 证明： 令f ( z ) = 一z + 陋+ 2 卢) ，( z ) ，则f ( z ) 是奇函数，而且可以得出f ( o ) = 0 ， ( z ) = 一1 + + 2 p ) 尸( z ) ，p ) = ( q + 2 p ) ，p ) 。下面，分两种情况讨论。 首先，若口+ 2 p 1 ，此时( o ) = 一1 + 口+ 2 p o 有， ) o 成立，我们可以得出，( z ) o 成立。同样地，我 一1 2 一 硕士学位论文 们可以得出厂( z ) 1 对所有的z o 成立。因此，对所有z r 都有o o 时，有 ( z ) = 一1 + ( 口+ 2 p ) ，( z ) 一1 + ( q + 2 p ) 0 ，且 坚罂f ( z ) = 1 i 1 翌( 一z + ( 口+ 2 ) ，( z ) ) 王- 十_ + 十 由于，0 ) 有界，则霉皇f ( z ) o 使得f ( 矿) = o 成 立。由对称性可知f ( 一矿) = 0 。所以系统( 1 3 ) 至少存在两个非平凡同步平衡点： ( z ，z ，z ，z ) 和( 一z ，一z ，一z ，一z ) 。证毕。 口 定理3 3 2 如果口 1 ，则系统( 1 3 ) 至少存在四个具有如下形式的平衡点： ( 士z l ，土z 2 ，士z 2 ，士z 1 ) 或( 士z 1 ，士z l ，士现，士z 2 ) ，其中z l ，勋满足方程( 3 7 ) 且z 1 z 2 。 证明：方程( 3 7 ) 可以写为： 一z l + ( q + p ) ，( 。1 ) + p ，( z 2 ) = o ， 一勋+ ( 口+ 卢) ，( z 2 ) + p ，( z 1 ) = o 可以得出： 现= 字 学他1 ) 现2 丁z l 一万二八z 1 ) 把z 2 代入第一个方程可以得到一个只含有z l 的方程如下： m 。) 一计( q 州m 。) 州( 字 弓竽他1 ) ) = o 令 如) = 字z 一学他) ， 贝i j f ( z ) = 一z + ( 口+ ) ，( z ) + p ，0 ( z ) ) ，而且 ，( z ) = 一1 + ( a + p ) ，( z ) + ( q + p ) ，7 0 ( z ) ) 一( q 2 + 2 口p ) ，( z ) ，0 ( 。) ) 事实上，我们知道f ( 0 ) = o ，l i mf ( z ) 0 。注意到u mf ( z ) = 一o o 而 且f ( o ) = 0 ，我们可以得到结论：至少存在一个正数使得f ( f ) = o ，即z 1 = f ， z 2 = 9 ( ) 。下面我们证明9 ( ) 。假如f = 9 ( f ) ，则= ( q + 2 p ) ，( ) ，所以，( ) 。要使这个不等式成立，当且仅当= 0 ，这与 o 矛盾。所以，夕( f ) 。 如果q + 2 p = 1 且q 1 ，则p o 又因为l i mf ) = 一，则存在一点z = 知使得f ( 黝) = o 且知9 ( 跏) 成立。 如果q + 2 p 1 且q l ，那么，( o ) 0 使得f 0 ) = 0 。由 对称性可知f ( 一z ) = o 。 假若q 1 ，又当z o 时有o ，7 ( z ) 1 ，则系统( 1 3 ) 至少存在四个具有如下形式的平衡点： ( 士z 1 ，士z 2 ，千z 2 ，千z 1 ) 或( 士z l ，千z 1 ，千z 2 ，士z 2 ) ，其中z l ，z 2 满足方程( 3 9 ) ，且z 1 现 一1 4 一 硕士学位论文 证明：方程( 3 9 ) 可以变为： 一z 1 + ( 口一p ) ， 1 ) + p ，( z 2 ) = 0 ， 一z 2 + ( q p ) ，( z 2 ) + p ， 1 ) = o 可以解得z 2 为 一字 学他1 ) z 2 。丁z l 一万一八z 1 j 把z 2 代入到第一个方程，可以解得只含有z 1 的方程如下： m ) = 咱+ ( q 胡他- ) 州( 字 学m 1 ) ) - 0 出) = 字z 一学他) ， 则f ( z ) = 一z + ( q p ) ，( z ) + p ，( 夕( z ) ) ，而且 p ( z ) = 一1 + ( 口一p ) ，7 ( z ) + ( q p ) 厂( 夕( z ) ) 一( q 2 2 q p ) 尸( z ) 厂( g ( z ) ) 事实上，f ( o ) = o ，l i mf 0 ) 0 。又l i mf ) = 一且f ( 0 ) = 0 ， 因此，至少存在一个正数使得f ( f ) = o ，即z l = f 且z 2 = 9 ( f ) 。下面我们证 明z 1 勋，即夕( ) 。假若= 夕( ) ，则= ( q 一2 p ) ，( ) ，因此，( ) ，这个不 等式当且仅当= 0 时成立，与 o 矛盾。所以9 ( f ) 。 如果q 一2 p = 1 且q 1 ，则g ( o ) = o u 9 ( z ) = 一，因此存在一个正数1 使得9 ( 1 ) = 0 ，即( q p ) 6 = q ，( 专1 ) 显然， f ( 1 ) = ( ( q p ) 2 一口) 1 q = 卢2 6 q o 又因为l i mf ( z ) = 一o o ，则存在一点z = 跏 o 使得f ( 跏) = o 和跏9 ( 跏) 成 霉- + 立。 如果口一2 p 1 且q 1 ，则p ( 0 ) 1 ，则系统( 1 3 ) 至少存在两个具有如下形式的平衡 点：( 士z 1 ，士z 2 ，士z l ，士z 2 ) ，其中z 1 ，现满足方程( 3 1 1 ) ，而血1 勋。 证明：由方程( 3 1 1 ) 司解得 铲品一等m 1 ) 。22 西z l 一互矿，【z 1 j 把上式代入方程( 3 1 1 ) 的第一个方程，我们可以得到一个只含有z 1 的方程： 即- ) = 咱+ 州训铷，( 易 等m 1 ) ) - 0 令 出) = 易z 一等他) ， 则f ( z ) = 一z + a ，( z ) + 2 p ，0 ) ) ，且 ( z ) = 一1 + q ，( z ) + 口厂( g ( z ) ) 一( q 2 4 俨) 厂( 动，( g ( z ) ) 事实上，f ( o ) = o ，l i mf ( z ) o 。又因为l i mf ( z ) = 一且f ( o ) = z + 十 o ，则存在一个正数使得f ( ) = o ，即z l = 和z 2 = 9 ( ) 成立。下面我们证 明z 1 z 2 ，即夕( ) 。事实上，若= 9 ( ) ，则= ( 口+ 2 p ) ，( ) ，因此，( ) ，这 个不等式成立当且仅当= 0 ，这与 o 矛盾。因此9 ( ) 。 一1 6 硕士学位论文 如果q + 2 p = 1 且q 一2 p 1 ，则p o 又因为n mf ( z ) = 一，则存在一点z = 知使得f ( 知) = o 和跏g ( z o ) 成立。 如果q + 2 p l 且q 一2 p 1 ，则p ( o ) 1 时存在 一1 9 一类神经网络模型平衡点的定性研究 第4 章平衡点的稳定性 4 1系统的特征方程 要研究系统( 1 3 ) 的平衡点的稳定性，我们首先要求出系统在这一点处的特征 方程。系统( 1 3 ) 在原点处的线性化方程为： 血( t ) = 一甄 ) + q ，7 ( o ) 戤( t 一7 ) + p ，( o ) p 一l 一7 ) + 戤+ l ( t 一7 ) 】 由前面的假设可知，( o ) = 1 ，则上式写出向量形式为： 童0 ) = 一，z ( t ) + q 儿( 一r ) + p m z ( t 一7 ) ， 其中，是4 4 的单位矩阵，而且 m = 则在此平衡点处的线性化特征矩阵为 令 由于 则 因此， 朋4 ( o ，入) = ( 入+ 1 一q e 一灯) ，一p e 一 f 胍 x = 詈，= ( 1 ，x 材，x 跗) t ，d = o ，1 ，2 ，3 ) = e 刎= l ， = e ；巧t = e 一譬i = x 。， 妒= e 可= e ( 2 霄一霄肼= x 一巧， m 一= + x 巧 1 + 妒 炙+ 妒 1 + 戈2 j = ( + x 叫) 朋4 ( o ，入) = ( 入+ 1 一口e h 一伽一a r ( + x j ) ) = ( 入+ 1 一q e h 一2 p e 一打c o s 呈孚) 吻 一2 0 一 、liii_、 l 0 l o 0 1 0 l 1 o 1 0 o l o l ，f-ii。_。-一 硕士学位论文 = = = = ：= = = = = = ：= = = = = = = = = = = = = = = ! ! ! ! = ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! _ - - - - - 一一 且系统( 1 3 ) 在原点处的特征方程为： d e t 朋4 ( o ，a ) = ( 入+ 1 一q e 一 r ) 2 ( 入+ 1 一q e h 一2 p e a 7 ) ( 入+ l q e 一 r + 2 肚一 r ) a = ( 墓霉毒薹) ， i ( 一l + 七i q e 。r a ) t l + 岛胁一打t 2 + 缸风一h 舰= o ， j 七l p e 一 r 让l + ( 一1 + 如q e h a ) t 1 2 + 乜肛一打t 1 3 ：o ， l p e 一加t 2 + ( 一1 + 口e h a ) u 3 + e h = o ， 【后1 e 一打u l + 乜肛一灯让3 + ( 一1 + k q e 一灯一a ) t 1 4 = o 一l + 概口e 一打一a 七l 肛一打 0 七1 p e h 如p e a r l + 乜q e 一打一入 如伽一h 0 0 触一灯 一1 + b q e h 一入 风一灯 ( 4 2 ) 缸p e 一打 0 缸p e 一打 一1 + q e 一打一a 在平衡点( 矿，矿，矿，矿) 处，有岛= 七= 厂( 矿) ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ，因此在这个平衡 点处的特征方程为： ( 一l 一入+ 口七e h ) 2 ( 一1 一入+ 口七e 一打一2 p 七e 一打) ( 一l a + q 七e 一打+ 2 p 七e h ) = ；：1 ( a + l 一七q e 一打一2 七肛一hc o s 孚) = 0 令： j ( 入) = 入+ 1 一后q e h 一2 后风一打c 0 s 等， 则方程( 4 3 ) 可写成： 赡1 今( 入) = o 一2 1 一 ( 4 3 ) ( 4 4 ) = 0 一类神经网络模型平衡点的定性研究 对于平衡点仕l ，z 2 ，z 2 ，z 1 ) 和( z l ，z 2 ，一z