（运筹学与控制论专业论文）微分系统解的生存性研究.pdf

| l l l i 川1 1 1 i i l y 18 8 8 8 0 5 v i a b i l i t yd e c i s i o nf o r as o l u t i o no fd i f f e r e n t i a ls y s t e m z h o um i n s u p e i s e db yp r o f 色s s o rg a ，oc a i x i a s c h 0 0 1o fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 m a y ，2 0 1 1 原创性声明 本人声明：所里交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：赴指导教师签名：j 邀 日 日期：翌! ! ：鱼! ! ! 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有 权将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和 磁盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编 学位论文。为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大 学。作者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间 导师的同意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：盟 日留一坐生叫南一型 名 期 签 师教 导 指 日 微分系统解的生存性研究 摘要 生存理论采用微分包含的形式描述系统的动态与约束间的联系， 利用集值分析研究系统的演变，揭示其潜在的调节反馈，为生物系 统、经济系统、社会系统等领域的宏观演化研究提供了新的方法。本 文主要研究微分系统的生存性定理。在第二章中首先给出几个确定 微分系统解的生存性定理，接下来讨论了在有控制因素作用的情况 下系统的生存性问题，并给出仿射非线性控制系统在由一类次可微 函数构成的域上的生存性判别方法。该方法将生存性判别转化为判 别线性不等式组的相容性或等价地转化为求解一个线性规划问题。 第三章首先讨论了随机微分系统解的生存性定理。然后运用l y 印u n o v 函数相关知识给出随机微分系统解的可生存的充分条件，并给出应 用举例，表明了所获得理论结果的可实现性。 关键词：生存性；法锥；生存域；微分系统；随机微分系统 v i a b i l i t yd e c i s l 0 nf o r as o l u t i o no fd i f f e r e n t i a ls y s t e m a bs t r a c t v i a b i l i t yt h e o r yd e s c r i b e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed y n a m i ca n dt h ec o n s t r a i n t o fs y s t e mv i ad i f k r e n t i a li n c l u s i o n s u s e ss e t v a l u e da n a l y s i ss t u d y i n gt h ee v 0 1 u t i o no f s y s t e ma n dr e v e a l st h ep o t e n t i a lr e g u l a t o r yf e e d b a c k v i a b i l i t yt h e o r ) ro 珏e r sm a t h e m a t i c a l m e t h o do fe v o l u t i o no fm a c r o s y s t e m sa r i s i n gi nb i o l o g y ，e c o n o m i c s ，a n ds o c i e t y i nt h e s e c o n dc h a p t e r ，、i n t r o d u c es o m ev i a b i l i t yt h e o r e mo ft h ed e t e r m i n i s t i cd i h b r e n t i a ls y s t e m a 土最r s t ，a n dt h e nw ed i s c u s st h ev i a b i l i t yo ft h ed e t e r m i n i s t i cd i h e r e n t i a li nc a s eo fc o n t r o l f a c t o r s a tl a s tw ei n t r o d u c et h e 、r i a b i l i t yc o n d i t i o nf o ra na m n en o n l i n e a rc o n t r o ls y s t e m i nak i n do fn o n s m o o t hr e g i o nd e 丘n e db ys u b d i 肠r e n t i a lf u n c t i o n s t h i s 、r e r i f i c a t i o n c a nb ei m p l e m e n t e db yd e t e r m i n i n gt h ec o n s i s t e n c yo fag r o u po fl i n e a ri n e q u a l i t i e s ，o r e q u i v a l e n t l y ，b ys o l v i n gal i n e a rp r o g r 锄m i n gp r o b l e m i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed e v o t e t ov i a b i l i 七yt h e o r e mo fs t o c h a s t i c ( 1 i 舵r e n t i a ls y s t c i l l t h t mw eg i v es u 伍c i e n tc o n ( 1 i t i ( ) i lf ( ) r v i a b i l i t yo fs t o c h a s t i cd i r e n t i a ls y s t e md e s c r i b e db yl y 印u n o vf u n c t i o n t h en e w r e s u l t w i l lb ei l l u s t r a t e db ym a n ye x 锄p l e s k e y w o r d s ： v i a b i l i t y ；c o n t i n g e n tc o n e ；v i a b i l i t yd o m a i n ； d i f - f e r e n t i a ls y s t e m ；s t o c h a i s t i cd i 乳r e n t i a ls y s t e m i i 中文摘要 英文摘要 目录 目录 i i i i i i 第一章引言1 第二章确定微分系统解的生存性 2 1 基本概念 2 2 确定微分系统解的生存性定理 2 2 1 微分系统解生存性基本定理 2 2 2 微分控制系统解生存性基本定理 2 3 仿射非线性控制系统关于一类非光滑区域的可生存性判 别 第三章随机微分系统解的生存性 3 1 预备知识 3 2 基本概念 3 3 随机微分系统解的生存性定理 3 4 例子 结束语 参考文献 致谢 i i i 2 0 2 0 2 1 2 3 2 7 3 0 3 l 3 5 5 5 7 7 8 7 内蒙古大学硕士学位论文 第一章引言 生存理论是由法国数学家j p a u b i n 提出的大系统理论，它是采用微分包 含的形式描述系统的动态与约束间的联系，利用集值分析研究系统的演变，揭 示其潜在的调节反馈，为生物系统，经济系统，社会系统纠2 s l 领域的宏观演 化研究提供了新的方法。生存理论主要思想是：在给定的生存域中，系统从某 一初始状态开始，在可生存区域( 生存域) 内变化，当变化到生存域的边缘， 有离开生存域的趋势时，系统处于危机状态。当系统的变化不能够通过控制 再指向生存域内时，系统将离开生存域，趋于瓦解。当系统能够以尽可能慢的 方式控制自身的变化方向和速度，向生存域内变化，则回到可生存状态。 对于一般的微分系统 iz ( 亡) f ( t ，。( 亡) ) t o iz ( o ) = z o 这里z x ，xcr n 是有限维向量空间，f ：x 一2 x 是集值映射。它不追求系统 发展的最优轨线，而是随着外界环境的不断变化为求生存而不断演化，追求 系统的可生存性。例如在计算机网络应用中，要求系统在处于损伤状态时依 然能够提供必要的服务并满足临界条件的业务要求。在理想状态下，还应该 能够在可确定的时间内自动恢复所有由于损伤而暂停的服务。这与传统的优 化原理存在着本质的差别，这也正是j p a u b i n 提出并建立生存理论的基础。 关于微分包含解的生存性研究j p a u b i n 在文献 1 】中作了详细的介绍，利用逼 近锥给出生存性判别准则，为生存性研究奠定了基础。 考虑微分控制系统 iz ( 亡) = 厂( z ( t ) ，“( 亡) ) 亡o i 札( 亡) u ( z ( ) ) 这里z x ，xc 舒是有限维向量空间，钍配uc 舻是控制域。 生存性理论起源于动力系统，后引入到控制理论，引起广泛的研究，并 取得了一系列成果。生存性近年来之所以在控制理论领域中引起人们的广泛 关注，主要是人们逐渐发现控制理论中许多问题( 例如系统的可达性，可控 性，l y a p u n o v 稳定性，微分对策等【6 9 】) 本质上都可以利用可生存性理论这一工 】 内蒙古大学硕士学位论文 具有效地刻画和解决。另一方面系统的安全域设计本身就是一个直接的生存 性问题，它在一定意义下就是设计一个生存域。 然而，要使生存理论真正能够在实际问题中应用还需解决两个问题：一 是给定一个区域，判断其是否为生存域；二是给定一个系统，计算它的一个生 存域，特别是最大生存域。 在生存域计算方面，针对线性系统，已有的计算方法主要是动态方法( 通 过求解微分方程) ；半定规划方法( 转化为求解半定规划或半定不等式) ；多面 体逼近。其中最后一种方法是高岩和其合作者共同研究发现的，用多面体逼 近任意区域【1 0 1 2 】，进而判定系统在多面体域的生存性。并给出了若干生存性 判别准则，提出了新的判定生存性的方法。即对某些特殊的控制系统，可以将 生存性条件的检验转化为判别凸不等式组的相容性( 是否有解) ，然后利用投 影方法对凸不等式组的相容性进行判别。 虽然微分控制系统的生存性研究进展较快，但是由于发展时间较短，还有 许多方面亟待研究。在一般微分控制系统的生存性定理论述方面就很少，本 文第二章即研究这方面的知识。 当我们用确定性微分方程对实际问题建模时，如果随机干扰相对较小时， 确定性模型有很好的效果，然而当随机干扰很强时，效果不尽人意。对物理的 或组织化的系统实际处理时，经常涉及环境和建模的不确定性，如通信设备 中的噪声，未知系统的参数或者是排队网络中的随机访问【2 1 | ，都会引起不确定 性，这些不确定性的因素会对事物的运动本质产生根本性的影响，在建立数 学模型时必须加以考虑，才能真实完整反应事物运动的实际状态，自然引入 随机微分方程研究系统的相关性质。 一个比较典型的例子是l o g s i t i c 人口增长模型： 掣：。( 亡) 删，( o ) ：0 ( ) 其中( 亡) 表示亡时刻的人口的数量，o ( t ) 表示亡时刻的人口的增长率，在考虑到 外部环境随机变化的影响时，增长函数往往不能确定下来，因此有n ( 亡) = r ( 亡) + “噪声”，这里r ( 亡) 为确定性函数。通过实验研究，很多模型中的噪声项可由 高斯白噪声替代，当1 9 5 1 年i t 6 首先提出并建立了i t 6 型随机积分定义后，用 b ( ) 表示一维b r o w n 运动，那么方程( ) 可表为下列随机微分方程 d ( 亡) = r ( 亡) ( 亡) 出+ 口( 亡) d b ( 亡) 2 内蒙古大学硕士学位论文 随机微分方程是介于微分方程与概率论之间的边缘分支，它是两个数学 分支互相渗透的结果。2 0 世纪4 0 年代兴起以来，在国际上有许多著名的数学 家投入到这一领域的研究并获得了辉煌的成果。 l 随机微分系统解的存在唯一性1 2 3 2 4 】 随机微分方程解在i t 6 意义下的存在唯一性已取得了一些结果。得出存在 唯一解得充分条件。经过深入研究x m a o 还研究了随机偏微分方程，随机时 滞微分方程解的存在唯一性，并给出解存在唯一的条件。 2 随机微分系统解的有界性【2 4 】 随机微分系统解的有界性问题在诸多应用领域研究中至关重要。x m a o 给 出了随机l o t l ( a v o l t e w a 模型【2 5 】解的有界性结果，并给出利用多个l y a p u n o v 函 数判别有界性准则。胡宣达在文献 2 6 】中，给出了随机有界性的定义，并给出 定理建立了有界性的比较原则。高海音在文献 2 4 】中建立了随机微分方程解 的增长阶估计定理，将随机微分方程解的有界性问题统一为随机微分方程解 的增长阶估计问题。 3 随机微分系统稳定性研究【2 6 2 9 ，3 3 ，叫 1 9 5 9 年b e r t r a m 等人，首先提出用l y 印u n o v 稳定性的概念来研究随机微 分方程的稳定性；随后，主要由美国的b u c y ，k u s h n e r ，k o z i n 等人的努力，随机 l y a p u n o v 稳定性理论得到了较为迅速的发展。许多学者利用l y a p u n o v 方法处 理了随机微分方程稳定性，从7 0 年代后，l y a p u n o v 方法又被发展到研究随机 泛函微分方程稳定性。对于随机微分方程解的随机稳定性，指数稳定性，渐进 稳定性，吸引性及方程解的p 阶矩的稳定性研究，获得了有意义的成果。 尽管对于随机微分方程理论的研究取得了一定的成果，但随机微分方程 的发展历史较短，其理论不够完善。如关于随机微分方程解的生存性研究，随 机微分方程有控制因子作用情况下的生存性条件等问题有待于进一步研究。 本文第三章第三节在确定微分系统生存性研究的基础上，进一步研究随机微 分系统给定域的生存性问题。 本文主要工作是在第二章中首先给出几个确定微分系统解的生存性定理， 接下来讨论了在有控制因素作用的情况下系统的生存性问题，并给出仿射非线 性控制系统在由一类次可微函数构成的域上的生存性判别方法。该方法将生 存性判别转化为判别线性不等式组的相容性或等价地转化为求解一个线性规 划问题。第三章首先讨论了随机微分系统解的生存性定理。然后运用l y a p u n o v 3 内蒙古大学硕士学位论文 函数相关知识给出随机微分系统解的可生存的充分条件，并给出应用举例，表 明了所获得理论结果的可实现性。 4 内蒙古大学硕士学位论文 第二章确定微分系统解的生存性 本章主要讨论一般的确定微分系统解的生存性，介绍几个基本的确定系 统生存性定理，给出证明。然后给出一类特殊的微分系统仿射非线性控制系 统的生存性判别方法。 2 1基本概念 考虑微分系统 三：三：z ”v 【0 ，刁 c 2 1 1 ， 其中z x ，xc 肜是有限维向量空间，集值映射f ：x 一2 x 。 定义2 1 1 设非空子集kcx ，如果对任意初始点z o k ，存在t 0 ，使 得微分包含( 2 1 1 ) 在 o ，刀上存在解z ( 亡) ，满足z ( 亡) k ， o ，卅，则称集合k 在f 下局部可生存。如果丁= ，则称集合k 在f 下全局可生存。函数z ( 亡) 称为生存函数。 定义2 1 2 假设kcx 非空，集合k 在点z k 的切锥定义为 碌( z ) = u 彤i 罂主九( z + 幻) = o ) 其中d k ( y ) 为秒r n 至4k 的墨巨离，即d k ( 剪) = i n f 。ki | y s l i 。 定义2 1 3 设非平凡集值映射f ：x _ 2 x ，如果子集kcd o m ( f ) 是生存 域当且仅当 v z k ，f ( z ) n 丁k ( z ) 谚 若切锥由单点集构成，显然该点退化为o 。即如果 孟) 是生存域的话，当 且仅当 牙) 是f 的平衡点。也就是说集值映射的平衡点提供了一个生存域的 例子，事实上这就是最小的生存域。 定义2 1 4 设厂( z ) 为毋上的方向可微函数，如果存在凸紧集a 厂( z ) c 即， 使其方向导数可表示为 ，k ；d ) 2 。绦考( m + d ) 一m ) ) 2e 戮) 凡v d 彤 内蒙古大学硕士学位论文 则称，( z ) 是次可微的，称a 厂( z ) 为厂( z ) 的次微分。 定义2 1 5 设x ，y 是向量空间。集值映射f ：xhy 称为是上半连续的如 果存在z x ，f ( z ) 的邻域纠满足 了7 7 0 ，使得v z b x ( z ，7 7 ) ，f ( z 7 ) c “ 集值映射f ：xhy 称为是下半连续的如果在z d o m ( f ) ，对f ( z ) ，存 在一列z n d o m ( f ) 收敛到z ，那么存在一列f ( z n ) 收敛到可。集值映射 f ：xhy 既满足上半连续又满足下半连续，则称f 是连续的。 定义2 1 6 设x ，y 是向量空间。集值映射f ：x y 满足线增长条件是指 存在正常数c ，使得 比d o m ( f ) ，i i f ( z ) i i c ( i | z | i + 1 ) 定义2 1 7 设x ，y 是向量空间。集值映射f ：x y 可由内积空间x y 的图g r a p h ( f ) 表示，定艾为 g r a p h ( f ) ：= ( z ，可) x y | 可f ( z ) ) 定义2 1 8 若映射f 非平凡，是上半连续的。f 的值满足线增长条件且是 紧凸集，那么称f 是m a r c h a u d 映射。 考虑微分控制系统 卜) _ ，( 烈d 一 ”挺 0 罔 ( 2 1 2 ) 【牡( 亡) u ( z ( 亡) ) 其中z x ，xc 形是有限维向量空间。u ：x _ z 是反馈集值映射，zc 舻是 有限维的向量空间。映射，可表示为，：g r a p h ( u ) hx 。用( 以，) 代表控制系 统。 定义2 1 9 在系统( 阢，) 中，对任意子集kcd o m ( u ) ，定义冗k ：kh z 为 v z k ，兄k ( z ) ：= 让u ( z ) i ，( z ，u ) 7 k ( z ) ) 当控制u r k ( z ) ，k 称之为关于系统( 配厂) 是可生存的。也就是说k 是生存 域当且仅当映射冗k 非空。 内蒙古大学硕士学位论文 令f ( z ) ：= 厂( z ，乱) ) u u ( z ) 。 定义2 1 1 0 如果 成立，则称系统( 配f ) 是m a r c h a u d 控制系统。 如果 ( 2 1 3 ) v ( z ，乱) g r 印h ( u ) ，f ( z ，u ) ：一c ( z ) + 夕( z ) 饥 g r a p h ( 矿) 是闭的，映射u 是凸的。 c ：d o m ( u ) hx 是连续的。( 2 1 4 ) 9 ：d o m ( u ) hc ( z ，x ) 是连续的且有界。 c ，u 满足线增长条件 成立，这里c ( z ，x ) 表示由z 到x 的全体连续线性运算的集合，则称系统( 配f ) 是m a r c h a u d 仿射控制系统。 2 2确定微分系统解的生存性定理 2 2 1 微分系统解生存性基本定理 首先介绍几个基本的微分系统的生存性定理。其中n a g u m o 定理是n a 目l m o 于1 9 4 2 年证明的首个微分系统生存性定理。 定理2 2 1 ( n a g u m o ) 【1 】在系统( 2 1 1 ) 下，假设k 局部紧，f ：khx 连续。 那么k 在f 下局部可生存当且仅当k 是f 下的生存域。 定理2 2 2 【1 】设x 是有限维向量空间，闭集kcd o m ( f ) ，f ：x _ x 是 m a r c h a u d 映射，如果k 是系统( 2 1 1 ) 的生存域，那么对任意的初值z o k ，在 o ，。o ) 上有系统( 2 1 1 ) 的生存解。 7 件 。 务 的 长 闭 。 增 是 的 。 线 续的 足 m 连 凸满 州胜 船嘴 g ，f 六 内蒙古大学硕士学位论文 2 2 2 微分控制系统解生存性基本定理 在第一小节介绍了一般微分系统解的生存定理，它是下面将要介绍的控 制系统的基础。概括地说若对系统( 2 1 1 ) 增加初值约束那么就可转换为系统 ( 2 1 2 ) 的情况。 本小节考虑的控制系统为( 2 1 2 ) 。记f ( z ) ：= ，( z ，“) ) u u ( 。) 。 定理2 2 0 在系统( 2 1 2 ) 下，假设kcd o m ( u ) 闭，g r a p h ( u ) 是闭的，： g r 印h ( u ) 一x 连续，u 连续。那么k 在厂下局部可生存当且仅当k 是厂下的 生存域。 证明专) 由于k 在，下局部可生存，那么存在t o ，当t 0 ，刁使得对 任意的初始条件z o = z ( 亡o ) ，咖= 札( z ( o ) ) ，有z ( ) k 。也就是说存在乱( z ( ) ) ， 使得z 币) = ，( z ，u ) 。显然当跏= z ( o ) ，| 钆o u ( z ( o ) ) 满足z 7 ( o ) = ，( z o ，u o ) 。取 危( 0 ，丁) ，那么z ( ) k 。 考虑不等式 d k ( z o + 厂( z o ，u o ) ) | j z ( o ) + z 7 ( o ) 一z ( 九) j l 1 一一二一一矿一一一一 当 _ 0 + ，有 型型掣亟趔幽坚芝盟型剑一o n凡 也就是说 】i m 型兰壁塑兰q ! 剑：o n m 。二o 一二= u 因此，( z o ，咖) 玖( z o ) ，即k 是，下的生存域。 仁) 这部分的证明可以分为三部分。第一步运用改进的e u l e r 法找满足生存 约束的控制系统的近似解，第二步是用第一步得到的所有解估计，找出解子 列使得该列在某种意义下是收敛于一个极限值的，最后一步是检验得到的极 限值是否为微分控制系统( 2 1 2 ) 的生存解。 一构建近似解 由于k 是，下的生存域，那么对于初值知，j u o 欺( 黝) ，使得z 7 = ，( 黝，u o ) 。 由g r a p h ( u ) 是闭的，j r o ，使得球民，a p h ( u ) ( ( 跏，呦) ，r ) ：= g r a p h ( u ) n ( ( z o ，咖) + r b ) 是紧的。子集c 满足 忪l i ：= s u p i 8 内蒙古大学硕士学位论文 且 g o = b g ，a p h ( u ) ( ( z o ，仳o ) ，r ) ，c ：= j e 7 ( 厂( g o ) ，1 ) ，t ：= r c 由于g o 是紧的，那么可知c 是有界的。 引理2 2 1 对任意的整数m ，存在( o ，击) ，使得对所有的z ，钆r k ( z ) ，( z ，乱) g r a p h ( u ) ，有 ，豪】和 x 满足 ( ( 训) ， ) b ( g r a p h ( ，) 去) ( 2 2 1 ) 证明由于k 是，的生存域，所以对所有的可k ，了u 掣r k ( ) ，即 厂( 可，掣) 戥( 可) 。由切锥的定义，存在b ( o ，击) ，使得 如( 可+ b m ) ) 篆 定义子集 ( 灿掣) ：= z k 恢( z + b m ，乱可) ) oj 2 l ，g 取任意的z ，牡欺( z ) ，有( z ，u ) g o ，它一定属于有限覆盖中的一个b ( ( 协，) ，仍) c ( 协，u 蛳) ，存在乃k ，使得 ! 壁垒丝! 丝! 塾2 二垒 垡竺! 兰垒丝! 丝! 兰丝1 2 + 土 三 ，l 耽一，。协 2 m m 令：= 学， 由于i | z 一协| l 仍击，i i u 一l l 仍击，z + 的吻2 乃 ，i i 一，( 协，) i l 去。因此 ( ( z ，钆) ，) b ( ( ( 协，钆鲫) ，( 协，钆鲫) ) ，去) cb ( g r a p h ( ，) ，熹) 且有b ( ，( g o ) ，去) cc ，引理得证。口 由数学归纳法，给定一列正数列 ) ，有b ( ，击) ，( 巧，哟) g o ，嘶 内蒙古大学硕士学位论文 r k ( 巧) ，c ，使得 巧“：2 巧+ 如又巧“，“：g o c ( 2 2 2 ) 1 ( ( z j ，) ，) b ( g r a p h ( 厂) ，熹) 。 只要薹j - 1 玩t 则上式成立。 因为 一z i i 0 ，存在7 7 ( o ，) 使得 | l ，( z ，u ) 一，( 秒，u ) i i ，i i z 一秒l l 叩& i i 乱一乱可l f 叩 由式( 2 2 4 ) 的条件i i ) ，及z m ( ) 一致收敛到z ( ) ，可知对足够大的m ，对所有的 【o ，卅，存在嚷x 使得 i i z ，m ( 亡) 一，( z ( 亡) ，“( t ) ) l l | | z 二( 亡) 一厂( 秽毛，u ( u 袅) ) i l + i i ，( 可袅，u ( u 袅) ) 一，( z m ( t ) ，u m ( 亡) ) | | + l l ，( z m ( ) ，u m ( 亡) ) 一，( z ( t ) ，u ( ) ) | | 所以有 ，t，c l i z m ( 亡) 一z o 一厂( z ( s ) ，乱( s ) ) d s | l i i z 二( s ) 一厂( z ( s ) ，钆( s ) ) i l d s 3 e 亡 ，0 ，0 令m _ o 。，由上述不等式有 0 j 刀，z ( 亡) = z 。+ z ，( z ( s ) “( s ) ) 如 所以极限z ( ) 是系统( 2 1 2 ) 的解，且k 满足生存约束，即k 可生存。口 引理2 2 2 【1 】设x 是拓扑向量空间，y 是h i l b e r t 空间，f ：x y 是非 平凡集值映射。若f 是上半连续的且是闭凸映射。设区间，cr ，可测函数 z m ( ) ：j _ x ，( ) ：，一y 满足： 对几乎所有的芒j ，x y 内积空间里所有。的邻域“，存在m ：= m ( t ，“) ， 使得 v m m ，( z m ( t ) ，奶竹( ) ) g r a p h ( f ) + “ 如果假设 i 。m ( ) 几乎处处收敛到z ( ) i ( ) l 1 ( ，y ；口) 弱收敛到( ) 三1 ( j ，y ；o ) 这里o ( ) ：j 一研( jcr ) 是可测的严格正实值函数。l 1 ( ，y ；n ) 表示一类由j 到 y 的可测函数，测度为n ( ) 班。那么几乎所有的亡，秒( 亡) f ( z ( 亡) ) 。 内蒙古大学硕士学位论文 定理2 2 4 考虑控制系统( 2 1 2 ) ，闭集kcd o m ( u ) ，g r 印h ( u ) 是闭的，厂是连 续的，f 是凸的。如果k 是，的生存域，那么对任意的初值z o k ，u o 冗k ( z o ) ， 存在正数t ，系统( 2 1 2 ) 的生存解z ( t ) ，其中z ( 亡) ，亡【o ，即是以( z o ，u o ) 为初值。 且满足 i 或者t = 。 l 或者丁 o ，使 得b g ，a p h ( u ) ( ( z o ，咖) ，r ) ：= g r a p h ( u ) n ( ( z o ，札o ) + r b ) 属于球g o ，定义 c ：= ，( ，r k ( 凰) ) + b ，t ：2 赢 显然c 是有界的。 引理2 2 3 若定理2 2 4 的条件成立。对任意的整数m ，存在( o ，去) ，使 得对所有的z 梳，u 欺( ) ，有九【，击】和钉x 满足 可c z + 移 ( ( z ，钆) ， u ) j e 7 ( g r a p h ( ，) ， 证明由于k 是，的生存域，所以对所有的可甄，存在u ( 凰) ，使得 ，( 可，“掣) f ( y ) n 政( 可) 由切锥的定义，存在b ( o ，击) ，使得 奴( 可+ b 砌，u 掣) ) 象 定义子集 ( 可，) ：= z i 奴( z + v ( 舭拼 oj 5 l ，g 取任意的z 凰，u r k ( z ) ，它一定属于有限覆盖中的一个b ( ( 协，乱鲫) ，仍) c ( 协，乱协) ，存在勺，使得 令 兰垒丝! 丝：兰丝! 二垒! 垡竺! 兰垒丝! 丝：兰丝1 2 + 土 0 ，存在t j r ，使得 t 句一1 坼t 一鼢忪 = 0 勉| l c i i t i | c 0 = r 危1 + + 危t ，一l t l + + ， 定义结点嚅：= o + + 一1 ，歹= 1 ，j + 1 。通过z m ( 亡) 在结点嚅处用插 值法表示。这里z m ( 亡) 是定义在区间 岛，臂1 ) 上的分段线性函数，有 z m ( 芒) ：= + ( 亡一吃) ，、以【砭，材1 ) 1 3 1 一m 、乃 c 曲 m g ，f、 c q b + 曲 研n = h 珀m d 娩 ，ij、l 因为 可推 这里 是有 紧子 的对 空间 身到 相对 表明 也就 亡 o 用反 是 由 由 对 由 k 和 这 为 以 下 则 以 内蒙古大学硕士学位论文 这里恻i ：= s u 如x 锦。从。到k 对上面的不等式求积分，令：= 芈，如 为节点，对小于n 的正整数p ，有 坳x ，v 佗，仞，) t 丁( f ( z o ) ，p ) + e i i p | f 因此，是属于有限维向量空间的有界集，所以有是收敛到某个口x ， 满足 印x + ，仞，秒) 仃( f ( z o ) ，p ) + e l j p | j 令e 一0 ，可推出u f ( 铷) 。 另一方面，因为对任意的n ，z ( 如) = 黝+ t n k ，有 1 镪。黔盟譬型墨1 翌垃垫掣= l i m 慨一u = o n _ o 。 仃 n _ o 。 艺nn _ o 。” ” 成立，那么钞玖( 黝) 。说明f ( z o ) n 致( z o ) 非空，表明存在，( 跏，咖) ， ，( 跏，u o ) 甄( z o ) ，由初值的任意性，所以对任意的z ( ) k 上式都成立， 是系统( 2 1 2 ) 生存域。 使得 故k 仁) 由定理2 2 4 可知，当k 是生存域时，存在生存解对几乎所有的亡 0 ，卅， 有z 币) 厂( z ( 亡) ， ( 舌) ) ) 。已知，满足线增长条件，则f 也是满足线增长的， j c o ，s 亡比d o m ( u ) ，i l f ( z ) l l c ( 1 i z i | + 1 ) 因此微分控制系统( 2 1 2 ) 的解应满足 z 7 ( 亡) c ( 忙( 圳+ 1 ) 函数亡h 忙| i 是局部l i p s c h i t z 的，且几乎处处可微。因此，对任意的亡，z ( 亡) o ， 有 扣圳i - ( 揣枷) ) 0 ，有 l i m s u p l i z ( 圳 + o o 2 由定理2 2 4 可知，可以把解延拓到 o ，o o ) 的情形。那么也就是说z ( ) 是系统 ( 2 1 2 ) 的解，且k 满足生存约束，即k 可生存。口 1 6 内蒙古大学硕士学位论文 2 3 仿射非线性控制系统关于一类非光滑区域的可生存性判别 近年来，关于多面体生存域的研究取得了一系列成果，这些工作主要集 中在利用凸分析理论判断一个给定多面体的生存性，得到了若干生存性判别 准则。对于非线性系统，目前只有利用逼近切锥或逼近法锥表示的生存性判 别准则，然而对于一般的非线性控制系统，这些判别准则很难具体使用。本节 基于非光滑分析理论，将给出仿射非线性控制系统关于次可微函数构成的非 光滑区域的可生存性判别。 考虑如下仿射非线性控制系统 圣( 亡) = 厂( z ) + 9 ( z ) u ( 2 3 1 ) 其中z r n ，u u 厂( z ) 和夕( z ) 分别为彤到j r 竹和冗竹m 上的l i p s c h i t z 函数，uc 胛是凸集，表示为 u = 钆月：仇l 九t ( 乱) o ，z = 1 ，p ) 其中吃( z ) ，i = 1 p 是形上的凸函数( 不一定是可微的) 。考虑如下区域： d = z 形i ( z ) o ，歹= 1 ，g )( 2 3 2 ) 其中仍( z ) 0 ，歹= 1 ，口是册上的次可微函数，且次微分为有限点集的凸包。 在式( 2 3 2 ) 中伤( z ) ，j = 1 ，g 是次可微的，给定点z d ，定义指标集 ，( z ) = 1 歹口1 ( z ) = o ，歹= 1 ，q ) 如果j ( z ) 为空集，则。为d 的内点。 由定理2 2 5 对于系统( 2 3 1 ) ，集合k 生存的充要条件是对任意z k ，有 下式成立 ( u u 【，( z ，乱) ) n 政( z ) ( 2 3 3 ) 对于k 的