（运筹学与控制论专业论文）向量均衡问题解的最优性条件.pdf

摘要 f 删脚 y 17 4 石岂 摘要 。 本文首先在局部凸的h a u s d o r f f 拓扑线性空间中，研究了带约束的类凸向量 均衡问题的弱有效解，h e n i g 有效解，全局有效解与超有效解的最优性条件，并 通过举例说明了锥类凸映射是比锥凸映射更弱的映射。作为它的应用，还给出 了向量优化问题的弱有效解，h e n i g 有效解，全局有效解与超有效解的充分必要 条件。然后，在b a n a c h 空间中引进了无约束向量均衡问题的g 一有效解，s h e n i g 有效解，占一全局有效解的概念，并给出了无约束向量均衡问题的占二有效解，占一 弱有效解，f h e n i g 有效解与s 一全局有效解的充分必要条件。作为它的应用， 还给出了向量变分不等式、向量优化问题的占一有效解，占一弱有效解，s h e n i g 有效解与占一全局有效解的充分必要条件。 关键词：弱有效解；h e n i g 有效解；全局有效解；超有效解；近似解；最优 性条件；必要与充分条件 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , f i r s to fa l l ，w es t u d yt h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rw e a ke f f i c i e n t s o l u t i o n ，h e n i ge m e i e n ts o l u t i o n ，g l o b a l l ye f i c i e n t s o l u t i o na n ds u p e r e f f i c i e n t s o l u t i o nt ot h ec o n v e x 1 i k ev e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m sw i t hc o n s t r a i n t s ，a n dp r e s e n t a ne x a m p l et oi l l u s t r a t ec o n v e x 1 i k ei sw e a k e rt h a nc o n v e x a sa p p l i c a t i o n w ep r o v i d e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rw e a ke f f i c i e n ts o l u t i o n h e n i ge 街c i e n t s o l u t i o n ，g l o b a l l ye f f i e i e n ts o l u t i o n a n d s u p e r e f ! f i c i e n t s o l u t i o nt ot h ev e c t o r o p t i m a l i z a t i o np r o b l e m s t h e n ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so ff e f f i c i e n ts o l u t i o n 占一h e n i ge f f i c i e n ts o l u t i o n 占一g l o b a l l ye m c i e n ts o l u t i o no fv e t o re q u i l i b r i u m p r o b l e m sw i t h o u tc o n s t r a i n t si nb a n a c hs p a c e s a n dp r o v i d es u 蕊c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o r 占一e f 五c i e n ts o l u t i o n ，g w e a ke m c i e n ts o l u t i o n ，s h e n i ge f j i c i e n t s o l u t i o na n ds g l o b a l l ye f f i c i e n ts o l u t i o nt ot h ev e t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m sw i t h o u t c o n s t r a i n t s a sa p p l i c a t i o n s w ep r o v i d es u 衔c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o r g e f f i c i e n ts o l u t i o n ，s w e a ke m c i e n ts o l u t i o n ，占一h e r t i ge f f i c i e n ts o l u t i o n ， s g l o b a l l ye f f i c i e n ts o l u t i o nt o t h ev e c t o rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e sa n dv e c t o r o p t i m a l i z a t i o np r o b l e m s k e yw o r d s ：w e a ke f f i c i e n ts o l u t i o n ；h e n i ge f f i c i e n ts o l u t i o n ；g l o b a l l ye f f i c i e n t s o l u t i o n ；s u p e r e f f i c i e n ts o l u t i o n ；a p p r o x i m a t es o l u t i o n s ；o p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ； n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s 目录 目录 第1 章引言一1 第2 章预备知识一4 第3 章类凸向量均衡问题解的最优性条件7 3 1 定义“7 3 2 解的最优性条件8 3 3 应用”18 第4 章b a n a c h 空间中无约束向量均衡问题的近似解的最优性条件2 1 4 1 定义“2 l 4 2b a n a c h 空间中无约束向量均衡问题的近似解的充分条件2 3 4 - 3b a n a c h 空间中无约束向量均衡问题的近似解的必要条件一”2 6 4 4 应用3l 致谢3 5 参考文献3 6 攻读硕士学位期间主要研究成果4 0 第1 章引言 第1 章引言 向量均衡问题的理论是当今非线性分析的重要组成部分。向量变分不等 式，向量优化，向量n a s h 平衡以及向量补问题均为向量均衡问题的特例。 1 9 8 0 年，意大利著名学者g i a n n e s i t ”为给出多目标规划弱有效解的最优性条 件，在r “空间中引进了向量变分不等式的概念。1 9 8 7 年，我国著名学者c h e n t 2 1 在无限维空间中将向量变分不等式的概念用于向量优化的研究，c h e n 与y a n g f 3 】 在1 9 9 0 年提出了无穷维空间中的向量互补问题及向量变分不等式模型，1 9 9 2 年， c h e n t 4 1 又提出了带变动控制结构的向量变分不等式模型。1 9 9 3 年，y a n g 5 1 研究 了向量变分不等式的对偶问题。这些开创性的研究在国际上引起了广泛的响应。 1 9 9 4 年，德国著名学者b l u m 与o e t t l i t 6 1 在有广泛影响的论文“f r o mo p t i m i z a t i o n a n dv a d a t i o n a li n e q u a l i t i e st oe q u i l i b r i u mp r o b l e m s 中引入了数值函数的均衡问 题的模型，并指出了数学规划问题，不动点问题，博弈问题，变分不等式问题， 互补问题，鞍点问题均是均衡问题的特例。1 9 9 6 ，1 9 9 7 年，s c h a i b l e 等【7 l 以及 o e t t l e 等i s 在向量变分不等式与数值函数的均衡问题的概念基础上提出了更一 般的向量均衡问题的概念。自此向量变分不等式，向量均衡问题成了非线性分 析与运筹学领域中的一个热点问题。人们对不同的模型，在不同的条件下主要 研究了向量变分不等式，向量均衡问题解的存在性( 见 1 - 2 7 】) 。 随着对向量变分不等式，向量均衡问题的深入研究，一些新的问题渐渐被 人们关注。其中之一是研究向量变分不等式与向量均衡问题解的最优性条件。 它的重要性在于可把带约束的向量变分不等式，带约束的向量均衡问题转化成 一个无约束的向量变分不等式。无约束的向量均衡问题，或者转化成一个无约 束的数值优化问题。其重要性还在于向量变分不等式，向量均衡问题的最优性 条件不仅为向量变分不等式，向量均衡闫题的算法提供理论依据，并且它还与 第1 章引言 向量变分不等式，向量均衡问题的其他理论，如稳定性理论，灵敏性理论，对 偶理论有着密切的关系。 在向量优化的最优性条件的研究方面，已有不少工作( 见 2 8 3 5 ) 。而研究 向量变分不等式与向量均衡问题解的最优性条件的论文并不多。 g i a n n e s s i 等1 3 6 1 在r ”空间中把带约束的向量变分不等式问题转化成无约束 的向量变分不等式问题，并给出了有效解与弱有效解的充分性条件。m o r g a n 与 r o m a n i e l l o 3 7 1 用次微分的概念，在h i l b e r t 空间中对向量广义拟变分不等式问题 的弱有效解给出了k u h n - t u c k e r 条件。y a n g 与z h e n g 3 8 1 在赋范线性空间中利用 凸分析与非光滑分析做工具，给出了向量变分不等式问题的s 一近似解的充分性 条件与必要性条件。g o n g t 3 9 1 在局部凸空间中给出了带约束的锥凸向量均衡问题 解的最优性条件。q i u t 4 0 1 给出了非锥凸向量均衡问题弱有效解的最优性条件。 锥类凸映射是比锥凸映射更弱的映射。故本文第3 章研究了带约束的类凸 向量均衡问题的弱有效解，h e n i g 有效解，全局有效解与超有效解的最优性条件。 本章改进了【3 9 的结果。作为它的应用，还给出了向量优化问的弱有效解，h e n i g 有效解，全局有效解与超有效解的充分必要条件。 向量均衡问题的近似解的最优性条件是研究向量均衡问题解的重要内容。众 所周知，数学模型一般都是实际问题的近似，对建立的数学模型利用数值算法 求解，所求得的解大多是近似解。值得注意的是，在可行集非紧的情况下，精 确解的解集往往是空集，而近似解集在很弱的条件下都可以是非空的。在绝大 多数情况下，近似解是可满足人们的要求的。因此，研究近似解不仅有理论价 值而且有实际意义。 l o r i d a n l 4 j 引进了向量优化问题的占一解的概念。r o n g ，j i a 与d u 4 2 j 引进了 向量均衡问题的s 一弱有效解的概念，并给出了集值向量均衡问题的g 一弱有效 解的存在性结果。y a n g 与z h e n g l 3 8 j 引进了向量变分不等式问题的g 一解的概念， 得到了在b a n a c h 空间中，向量变分不等式问题的占一有效解的最优性条件。 v a l y i l 4 3 1 引进了向量优化问题的近似解的概念，并得到了h u r w i t z - t y p e 鞍点定理。 r o n g 与w u j 把v a l y 的结果推广到集值向量优化问题中，给出了局部凸 第1 章引言 h a u s d o r f f 拓扑空间中，锥次类凸集值向量优化问题的g 一弱有效解的标量化结 果。之后，r e n 与r o n g 4 s l 又给出了集值向量优化问题的g 一弱有效解的存在性 定理。l i n g 4 6 j 引进了集值向量优化问题的g 一超有效解的概念，并给出了赋范线 性空间中，广义近似锥次类凸集值向量优化问题的g 一超有效解的标量化定理。 就我们所知，还没有论文涉及向量均衡问题的占一有效解，s h e n i g 有效解， g 一全局有效解的最优性条件。显然这是一个值得研究的问题。故第4 章在 b a n a c h 空间中引进了无约束向量均衡问题的g 一有效解，一h e n i g 有效解，f 一 全局有效解的概念，研究了无约束向量均衡问题的g 一有效解，f 一弱有效解， 占一h e n i g 有效解与占一全局有效解的充分与必要条件。作为它的应用，还给出了 向量变分不等式、向量优化问题的f 一弱有效解，占一h e n i g 有效解和占一全局有 效解的充分必要条件。 第2 章预备知识 第2 章预备知识 首先，让我们回顾下面的重要定义和引理。 设x ，z 为实的h a u s d o r f f 拓扑线性空间，j ，为实的局部凸的h a u s d o r f f 拓扑线 性空间，k 为x 的非空凸子集。 令，为y 的拓扑共轭空间，c 为j ，中的闭凸点锥。令 c - - y y ：y o ) o ，v y e c 为c 的共轭锥。 记c 4 为c + 的拟内部，即 c 。# y 。，：j ，( y ) o ，v y e c o 。 令d 为y 中的非空子集，d 的锥包定义为 c o n e ( d ) = 埘：，o ，d d ) 。 记d 的闭包为c i ( d ) ，d 的拓扑内部为i n t d 。 设b 为凸锥c 的非空凸子集，称b 为c 的一个基，若c = c o n e ( b ) 且 0 仨c i ( 曰) 。易知，c 8 a 当且仅当c 存在一个基。设b 为c 的一个基，令 c ( b ) = y 。c 4 ：存在f 0 ，使得少( 6 ) r ，v b b ) ， 由凸集分离定理，知c ( b ) o ，且易知c 6 ( b ) cc 。y b 为c 的基，则0 正e l ( b ) 。 由凸集分离定理，知存在y y 0 ，使得 ，- = i n f y 。( 6 ) ：6 b ) y ( o ) = 0 。 令 = y l ，：p ( y ) l cc ( b ) 。 ( i i ) 对任意的f c ( b ) ，存在】，中的一个开凸均衡的零元邻域uc ，使 得厂( o ( b ) ) 。、 o ) 。 ( i i i ) 若闭凸锥c 存在一个有界闭基b ，则i n t c = c ( b ) 。其中i n t c 。为c 的 关于( ，y ) 的拓扑内部。 引理2 2 t 3 4 1 设y 为b a n a c h 空间，点凸锥ccy 存在一个基b 。 ( i ) 对任意的0 s 万，有( e ( b ) ) o ) cc 6 ( b ) 。 第2 章预备知识 ( i i ) 对任意的厂c ( b ) ，存在0 g 万，使得厂( e ( b ) ) ( o ) 。 引理2 3 3 8 1 令d = y 】，：( y + u ) c - i n t c ) ，且= d ( o ，d ) ，则d 是一个内 部非空的凸集且l 。 6 第3 章类凸向量均衡问题解的最优性条件 3 1定义 第3 章类凸向量均衡问题解的最优性条件 本章在不加说明时，设x ，z 为实的h a u s d o r f f 拓扑线性空间，y 为实的局 部凸的h a u s d o r 符拓扑线性空间。k 为x 的非空凸子集，g ：k z 为一映射， f ：x o 墨专y 也为一映射。k 为z 中的闭凸点锥，1 5 1i n tk 彩，其中i n tk 表 示集合k 的拓扑内部。定义约束集合 a = 石五：g ( z ) k ) 。 考虑带约束的向量均衡问题( 记为v e p c ) ：找出x a ，使得 f ( x ，y ) 萑- p 0 ，v y a ， 其中p 为，中的凸锥。 定义3 1 1 设i n t c f 2 j ，向量x a 称为v e p c 的弱有效解，若 f ( x ，y ) 萑一i n t c ，v y a 。 记f ( x ，彳) = l jf ( x ，y ) ，v x x o 。 y e a 定义3 1 2 向量x 彳称为v e p c 的h e n i g 有效解，若存在零元邻域( 厂c ， 使得 c o n e ( f ( x ，么) ) 厂、( - i n t c 0 ( b ) ) = 囝。 g j 知n lx 彳称为v e p c 的h e n i g 有效解当且仅当存在零元邻域uc ，使得 f ( x ，a ) c 、( - i n t o ( b ) ) = 囝。 定义3 1 3 向量x a 称为v e p c 的全局有效解，若存在点凸锥hcy ，使 得c o ) c i n th ，且 f ( x ，么) n ( ( 一) o ) = 囝。 定义3 1 4 向量x a 称为v e p c 的超有效解，若对任意的零元邻域矿，存 在零元邻域u ，使得 7 第3 章类凸向量均衡问题解的最优性条件 c o n e ( f ( x ，彳) ) r 、( u c ) c 矿。 向量优化问题是向量均衡问题的特殊情况。 定义3 1 5 设厂：彳_ y 是映射，又设 f ( x ，y ) = s ( y ) - f ( x ) ，x ，j ，a 。 如果x a 是向量均衡问题的弱有效解，或是向量均衡问题的h e n i g 有效解， 或是向量均衡问题的全局有效解，或是向量均衡问题的超有效解，则x a 称 为是向量优化问题( 简记为v o p c ) 的弱有效解，或是向量优化问题的h e m g 有效解，或是向量优化问题的全局有效解，或是向量优化问题的超有效解。 3 2 解的最优性条件 本节我们讨论带约束的类凸向量均衡问题的解的最优性条件。 定理3 2 1 若i m c a ，v x k ，有f ( x ，x ) = 0 ，又设对任意的x ；c o ， 厂( ) ，) = ( f ( x ，y ) ，g ( y ) ) 在五上是c x ( - k ) 一类凸的。若存在x k ，使得 g ( ；) i n tk ，则x a 为v e p c 的弱有效解当且仅当存在y c o ，z 一k ， 使得z 。( g ( x ) ) = 0 ，且 y ( f ( x ，x ) ) + z ( g ( x ) ) = m i n ( j ，( f ( x ，y ) ) + z ( g ( y ) ) 。 j ，e - y o 证明设x a 为v e p c 的弱有效解。已知f ( y ) 在上是c x ( - k ) 一类凸的， ：i ：1 1 4 8 ，定理2 1 l 】，知( ，( x ，) ，g ( ) ) ( ；c o ) + c ( 一k ) 是一个凸集。则有 ( f ( x ，) ，g ( ) ) ( 五) n ( ( - i n t c ) x i n t k ) = o 。 ( 3 2 1 ) 假若不然，存在x o k ，使得( f ( x ，x o ) ，g ( ) ) ( - i n t c ) x i n tk ，则有 f ( x ，x o ) - i n t c ，g ( x o ) i n tk 。而而a ，这与x 为v e p c 的弱有效解矛盾。 第3 章类凸向量均衡问题解的最优性条件 由c x ( - k ) 是点凸锥，据( 3 2 1 ) 有 ( f c x ，) ，g ( ) ) ( x o ) + c ( 一k ) 】厂、“一i n t c ) xi n t k ) = a 。 由凸集分离定理，存在，- r ，( 0 ，0 ) ( y + ，z ) ( y xz ) 。= ，xz ，使得 y ( y ) + z 。( z ) ，v ( y ，z ) ( f ( x ，) ，g ( ) ) ( x o ) + c x ( - k ) ， ( 2 2 ) 少( y ) + z ( z ) 0 ，c - i n t c ，有y + t c 一i n t c ， 由( 3 2 3 ) 知 j ，( y + ，c ) + z ( z ) ， 则 y ( c ) ( r - z ( z ) 一y 。( y ) ) f 。 令，寸o o ，有y ( c ) 0 。 由c 为闭凸集，有c = e l ( i n t c ) 。再由y 的连续性，有y ( c ) 0 ，v c c 。于是 有y c 。同理可证z 一k 。我们断言y 0 。假若不然，则有y = 0 。由( 3 2 2 ) ， ( 3 2 3 ) 可得 z ( z ) ，v ( y ，z ) ( f ( 戈，) ，g ( ) ) ( 讫) ， ( 3 2 4 ) z ( z ) ，v ( y ，z ) ( 一i n t c ) x i n tk 。 ( 3 2 5 ) 由条件存在x x o ，使得g ( x ) i n tk 。任取c - i n tc ，则有 ( f ( x ，x ) ，g ( x ) ) ( f ( x ，) ，g ( ) ) ( j ，0 ) ，( c ，g ( x ) ) ( - i n tc ) i n tk 。 由( 3 2 4 ) ，( 3 2 。5 ) 有 z ( g ( ；) ) ， z ( g ( x ) ) 0 ，有( y t ，z t ) ( 一i n t c ) x i n t k ，由( 3 2 3 ) 知 y ( y ，) + z ( z l t ) ，又y ， z 。z ，令t 专o o ，有，- 0 。 由( 3 2 6 ) 有 y + ( f ( x ，y ) ) + ( g ( y ) ) 0 ，v y j ，0 。 ( 3 2 8 ) 由( 3 2 7 ) 有 z 。( g ( x ) ) 0 。 由x 为v e p c 的弱有效解，知g ( x ) k 。再由z 一k ，有z ( g ( x ) ) 0 。 因此， z ( g ( x ) ) = 0 。 ( 3 2 9 ) 由( 3 2 8 ) ，( 3 2 9 ) ，且f ( x ，x ) = 0 ，有 y ( f ( z ，x ) ) + z + ( g ( x ) ) = m i n y ( ，( x ，y ) ) + z 。( g ( y ) ) 。 y e 【o 反之，v xea j 若存在y c + o ，z 一k ，使得= + ( g ( x ) ) = o ，且 y ( f ( z ，x ) ) + z ( g ( 石) ) = m i n y ( f ( x ，y ) ) + z ( g ( y ) ) ) ， ( 3 2 1 0 ) y e i 要证x 为v e p c 的弱有效解。 假若不然，则存在a ，使f ( x ，y o ) e - i n tc 。由y ec + o ，有y ( f ( x ，蜘) ) o 。 又g ( y o ) k ，则z ( g ( ) ) 0 。由( 3 2 1 0 ) 有 1 0 第3 章类凸向量均衡问题解的最优性条件 0 = y ( f ( 五x ) ) + z ( g ( x ) ) = m i n y ( f ( x ，y ) ) + z ( g ( y ) ) 隹i “ y ( f ( x ，) ) + z ( g ( 儿) ) 0 。 矛盾。因此，x 为v e p c 的弱有效解。 定理3 2 2 设c 存在一个基b 。v xe 五，有f ( x ，x ) = o ，又设对任意的 x e 五，厂( y ) = ( f ( x ，y ) ，g ( y ) ) 在k 上是c ( 一k ) 类凸的。若存在；k ，使得 g ( x ) i n t k ，则x a 为v e p c 的h e n i g 有效解当且仅当存在y c ( b ) ， z 一足，使得z ( g ( x ) ) = 0 ：且 ) ，( f ( x ，x ) ) + z 。( g ( x ) ) = m i n y ( f ( x ，j ，) ) + z 。( g ( y ) ) 。 j ，e y o 证明 设x 彳为v e p c 的h e n i g 有效解。由定义，存在零元邻域uc ， 使得 f ( x ，彳) r 、( 一i n t c 0 ( b ) ) = o 。 ( 3 2 1 1 ) 己知厂( y ) 在k 上是c x ( - k ) - 类凸的，由 4 8 ，定理2 1 1 ，知 ( f ( z ，) ，g ( ) ) ( k ) + c x ( - k ) 是一个凸集。则有 ( f ( x ，) ，g ( ) ) ( 鼠) 厂、( ( 一i n t c 0 ( b ) ) i n t k ) = a 。 ( 3 2 1 2 ) 假若不然，存在x o 丘，使得( f ( x ，x o ) ，g ( 确) ) ( 一i n t 巴( b ) ) x i n tk ，则有 f ( x ，x o ) 一i n t g ( b ) ，g ( x o ) i n tk 。而x o a ，这与( 3 2 11 ) 矛盾。 由c ( 一k ) 是点凸锥，以及c 、 o c i n t o ( b ) ，据( 3 2 1 2 ) 有 【( f ( 工，) ，g ( ) ) ( ) + c ( 一k ) n ( ( - i n t 巴( b ) ) x i n t k ) = a 。 由凸集分离定理，存在，- r ，( 0 ，o ) ( y ，z ) ( y xz ) = ，z ，使得 y ( y ) + z ( z ) ，v ( y ，z ) ( 尸( x ，) ，g ( ) ) ( k ) + c ( 一k ) ， ( 3 2 1 3 ) y ( j ，) + z 。( z ) 0 ，c - i n t ( b ) i 有y + t c - i n t o ( b ) ，由 ( 3 2 1 4 ) 知 则 令，一0 0 ，有y 。 ) 0 。 少( y + 纪) + z ( z ) ， y 。( c ) ( ，一z ( z ) 一y ( j ，) ) f 。 由o ( b ) 为凸锥，且c o c i n t c v ( b ) ，有c l ( c v ( b ) ) = c l ( i n t c v ( b ) ) 。则有 y ( c 7 ) 0 ，v c o ( b ) 。于是有y ( o ( b ) ) 。同理可证z 一k + 。我们断言 y + 0 。假若不然，则有y = 0 。由( 3 2 1 3 ) ，( 3 2 1 4 ) 可得 z ( z ) ，v ( y ，z ) ( f ( x ，) ，g ( ) ) ( k ) ， ( 3 2 1 5 ) z ( z ) ，v ( y ，z ) ( 一i n t o ( b ) ) x i n t k 。( 3 2 1 6 ) 由条件存在；托，使得g ( ；) i n t k 。任取c 一i n t g ( b ) ，则有 ( f ( x ，x ) ，g ( x ) ) ( f ( x ，) ，g ( ) ) ( j ，o ) ，( c ，g ( x ) ) ( - i n t c 0 ( b ) ) x i n t k 。 由( 3 2 1 5 ) ，( 3 2 1 6 ) 有 z ( g ( x ) ) ， z ( g ( - ) ) o ，有( y t ，z t ) ( 一i n t c c ，( 跏n k ， 由 ：3 2 1 4 ) 知y ( y f ) + z ( z t ) ，y y 。，z z 。，令卜，有，o 。 由( 3 2 1 7 ) 有 y ( y ) ) o ( g ( y ) ) o ，v y x o 。 ( 3 2 1 9 ) 由( 3 2 1 8 ) 有 。 z ( g ( x ) ) o 。 由x 为v e p c 的h e f l i g 有效解，知g ( x ) k 。再由z 一k + ，有z 。( g ( x ) ) o 。 因此， z ( g ( x ) ) ：0 。 ( 3 2 2 0 ) 由( 3 2 1 9 ) ，( 3 2 2 0 ) ，_ r f ( x ，x ) = 0 ，有 y ( f ( x ，x ) ) + 二( g ( x ”= m i n y ( f ( x ，y ) ) + z ( g ( y ) ) 。 反之，v xe4 ，若存在y + ec 厶( b ) ，z 。一k ，使得z ( g ( x ) ) = 0 且 y ( f ( x ，j c ) ) + z ( g ( x ) ) = m i n y + ( f ( x ，y ) ) + z ( g ( y ) ) ， 3 2 2 1 要证x 为v e p c 的h e n i g 有效解，即要证存在零元邻域u c ，使得 f ( x ，a ) n ( - i n t o ( b ) ) = g 。 假若不然，则对任意的零元邻域u c ，有f ( x ，爿) n ( 一i n t c u ( b ) ) 彩。因此， 对任意的零元邻域uc ，存在蜥ea ，使得 f ( x ，儿) 一i n t q 胭) 。 ( 3 2 2 2 ) 由y c ( b ) ，据引理2 1 ，知存在零元邻域矿c ，使得y ( g ( b ) ) 。 o ) ，由 ( 3 2 2 2 ) 有，存在y ，4 ，使得f ( x ，”) 一i n t c 。( b ) 。又y ( c - ( b ) ) o ， 第3 章类凸向量均衡问题解的最优性条件 有y ( f ( x ，y 矿) ) 0 。而以a ，知g ( y 矿) k 。由z - k ，有z ( g ( 肌) ) 0 。 由( 3 2 2 1 ) 有 0 = y ( f ( z ，x ) ) + z ( g ( x ) ) = m i n y ( f ( x ，y ) ) + z + ( g ( j ，) ) ) j ，t o y ( ，( x ，y ，) ) + z + ( g ( m ) ) 0 。 矛盾。因此，x 为v e p c 的h e n i g 有效解。 若c 存在一个有界闭基b ，由引理2 1 有i n t c + = c ( b ) 。由 4 7 】中命题2 ， x a 为v e p c 的超有效解当且仅当工a 为v e p c 的h e n i g 有效解。因此，由 定理3 2 1 ，我们有如下推论。 推论3 2 1 设c 存在一个有界闭基。v x 托，有f ( x ，x ) = 0 ，又设对任意的 x 五，厂( y ) = ( f ( z ，y ) ，g ( y ) ) 在ki - ；是cx ( - k ) - 类凸的。若存在x ，使得 g ( - ) i n tk ，贝1 jx a 为v e p c 的超有效解当且仅当存在y i n t c ，z 一k + ， 使得z ( g ( 功) = 0 ，且 少( f ( 石，x ) ) + z + ( g ( x ) ) = m i n y ( ，( z ，y ) ) + z ( g ( y ) ) ) 。 y e ，i o 其中i n t c 为c 的关于( ，聊的拓扑内部。 定理3 2 3 设c 存在一个基b 。坛x o ，有f ( x ，x ) = 0 ，又设对任意的 x x o ，厂( j ，) = ( f ( 石，y ) ，g ( j ，) ) 在k 上是c ( 一k ) 一类凸的。若存在石k ，使得 g ( ；) i n t k ，则x a 为v e p c 的全局有效解当且仅当存在y c 4 ，z + 一足， 使得z ( g ( x ) ) = 0 ，且 y ( f ( x ，x ) ) + z + ( g ( x ) ) = m i n y ( f ( x ，y ) ) + z ( g ( y ) ) ) 。 胙i a 证明设x a 为v e p c 的全局有效解。由定义，存在点凸锥hcy ，使得 c o ci mh ，且 f ( x ，彳) r 、( ( 一日) o ) = 彩。( 3 2 2 3 ) 1 4 第3 章类凸向量均衡问题解的最优性条件 已知( y ) 在k 上是c ( 一k ) 一类凸的，由【4 8 】有( f ( x ，) ，g ( ) ) ( ) + c ( 一k ) 是一 个凸集。则有 ( f ( x ，) ，g ( ) ) ( 托) n ( ( - i n t h ) x i n t k ) = a ( 3 2 2 4 ) 假若不然，存在蜀，使得( f ( x ，x o ) ，g ( 秭) ) ( - i n t h ) x i n t k ，则有 f ( x ，x o ) e - i n t h ，g ( x o ) i n t k 。 由h 为点凸锥，知f ( x ，x o ) 0 。而彳，这与( 3 2 2 3 ) 矛盾a 由c ( 一k ) 是 点凸锥，以及c 0 c i n t h ，据( 3 2 2 4 ) 有 【( f ( 毛) ，g ( ) ) ( k ) + c ( 一k ) 】n ( ( 一i n t h ) x i n t k ) = o 。 由凸集分离定理，存在，r ，( 0 ，o ) ( j ，+ ，z + ) ( r x z ) 。= y z ，使得 y ( j ，) + z ( z ) ，v ( y ，z ) ( f ( x ，) ，g ( ) ) ( ；c o ) + c x ( - k ) ， ( 3 2 2 5 ) y ( y ) + z ( z ) 0 ，c 一i n t 日，有y + t c - i n t h ， 由( 3 2 2 6 ) 知 y ( y + f c ) + z ( z ) ， 则 y ( c ) ( ，一z 。( z ) 一y + ( y ) ) f 。 令，_ 。o ，有y ( c ) 0 。 由h 为凸锥，且c 、 o ci n th ，q 自- c l ( h ) = c l ( i n th ) 。则有y ( 办) o ，v h h 。 于是有y 日。同理可证z 一k 。我们断言y 0 。假若不然，则有y = 0 。 由( 3 2 。2 5 ) ，( 3 2 2 6 ) 可得 z ( z ) ，v ( y ，z ) ( ，( x ，) ，g ( ) ) ( 墨) ( 3 2 2 7 ) z ( z ) ，v ( y ，z ) ( 一i n tt - t ) x t a t k 。 ( 3 2 2 8 ) 1 5 第3 章类凸向量均衡问题解的最优性条件 一二_ 二一 由条件存在；k ，使得g ( - ) i n t k 。任取j i l 一i n t 日，则有 ( ，( x ，；) ，g c x ) ) e ( f ( x ，) ，g ( ) ) ( _ ，o ) ，( j l z ，g ( 一x ) ) ( - i n th ) i n t k 。 由( 3 2 2 7 ) ，( 3 2 2 8 ) 有 z ( g ( ；) ) ， z ( g ( ；) ) 0 ，有( y t ，z t ) ( 一i n th ) x i n t k ，由( 3 2 2 6 ) 知j ，( y t ) + z ( z t ) o u o ) ，则有凰为点凸锥，且c o ) c i n th o 。 由( 3 2 3 4 ) ，存在y a ，使得 f ( x , y h o ) e f ( x , a ) n “也) o ) 。 由的定义有 y ( f ( 工，y h , ) ) o 。 而y a ，知g 魄) k 。由z 一k ，有z ( g ( ) ) o 。 由( 3 2 3 3 ) 有 o = y ( f ( 毛x ) ) + z ( g ( x ) ) = m i n y 。( f ( x ，y ) ) + z 。( g ( j ，) ) y ( ，( x ，y h , ，) ) + z ( g ( y 啊，) ) o 。 矛盾。因此，x 为v e p c 的全局有效解。 注3 2 1 设托是凸集。若f ( x ，y ) 关于y 是c 一凸的，g 在托上是k 凹的， 则有厂( y ) = ( ，( r ，j ，) ，g ( y ) ) 在托上是c ( 一k ) 类凸的。 事实上，由f ( x ，y ) 关于少是c 一凸的，g 在k 上是k 一凹的，少：，【o ，l 】， 有 第3 章类凸向量均衡问题解的最优性条件 t f ( y i ) + ( 1 一f ) 厂( 儿) = r ( f ( x ，y t ) ，g ( y i ) ) + ( 1 一，) ( f ( x ，y 2 ) ，g ( 奶) ) 一 = ( t f ( x ，m ) + ( 1 一f ) ( f ( z ，y 2 ) ，t g ( y i ) + ( 1 一t ) g ( y 2 ) ) ( f ( x ，t y i + ( 1 一f ) 儿) ，g ( t y i + ( 1 一t ) y 2 ) ) + c ( 一k ) = 厂( t y l + ( 1 一t ) y 2 ) + c x ( 一k ) 。 即有t f ( y 1 ) + ( 1 一t ) f ( y 2 ) 一f ( t y t + ( 1 - t ) y 2 ) ( c ，- k ) ，由x o 为凸集， 有 纵+ ( 1 一f ) 耽五，因此厂( y ) = ( f ( x ，y ) ，g ( y ) ) 在蜀上是c ( 一k ) 类凸的。 反之不然。 例3 2 1 令x = y = r ，r = ( x e r ：x 0 ，x o = 0 ，万】， v x x o ， ( y ) = ( y x ，c o s y ) 。显然c o sj ，在 o ，刀】上不是皿一凹的。 但是厂在【o ，刀】上是r ( 一r ) 类凸的。事实上，v y 。，儿【o ，刀】，f 【o ，l 】，不妨 设y l 0 。万在下文中将被 用到。取0 g 艿，令 e ( b ) - c o n e ( b + 6 u ) ， 其中u 为】，中闭单位球。则e ( b ) 为点凸锥，rc o ) ci m e ( b ) 。 记f ( 口，彳) = uf ( a , x ) 。d ( o a ) ：i n f l l x l 。 定义4 1 1 向量a a 称为v e p 的有效解，若 f ( a ，彳) r 、“一c