（计算数学专业论文）两类偏微分方程的最小二乘混合有限元方法.pdf

1 r 。 -1 l e a s t - s q u a r e sm i x e dt i n i t ee l e m e n tm e t h od s f o rt w ok i n d so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s r e n h u i l i n g s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rl ih o n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，010 0 21 m a y , 2 0 1 0 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行 成果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已 果，也不包含为获得内蒙古大学及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：碰蓥硷 指导教师签名： 日 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权 一将学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁 盘，允许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位 论文。为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学作 者今后使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同 意；若用于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名：幺盏硷 指导教师签名： 日 用 小 灵 数 敛 给 法具有最优收敛阶。 对于对流占优s o b o l e v 方程，利用最小二乘混合有限元和特征线方法相结 合的技巧，提出有限元离散格式，并给出误差估计的证明。 关键词：双曲型积分微分方程；s o b o l e v 方程；最小二乘混合有限元法；特 征有限元法；误差估计 l e a s t s q u a r e sm i x e d 丘i l i t ed e m e n t m e t h o di su s e dt os o l v eh y p e r b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i sa r ea l s og i v e n an e wl e a s t - s q u a r e sm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di ss t u d i e df o rt h es o b o l e ve q u a t i o n s t h ef i n i t ee l e m e n ts c h e m ei sg i v e n ，a n dt h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i ss h o w st h a tt h em e t h o dy i e l d s t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sw i t ha c c u r a c yo p t i m a l t h et e c h n i q u eo fc o m b i n i n gt h el e a s t s q u a r e sm i x e df i n i t ed e m e n tm e t h o da n dt h e c h a r a c t e r i s t i cm e t h o da r eu s e dt op r o p o s et h ef i n i t ed e m e n ts c h e m ef o rc o n v e c t i o n - d o m i n a t e d s o b o l e ve q u a t i o n t h ep r o o f so fe r r o re s t i m a t e sa r ea l s og i v e n k e y w o r d sh y p e r b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；s o b o l e ve q u a t i o n s ；l e a s t - s q u a r e sm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；c h a r a c t e r i s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；e r r o re s t i m a t e s i i 中文摘要 英文摘要 引言 目录 第一章双曲型积分微分方程的最小二乘混合有限元法 3 1 1 有限元空间及定义3 1 2 最小二乘混合有限元格式4 1 3 离散格式的误差估计6 第二章一类s o b o l e v 方程的最小二乘混合有限元法 1 1 2 1 有限元空间及定义i i 2 2 最小二乘混合有限元格式1 2 2 3 有限元格式的误差估计1 4 第三章对流占优s o b o l e v 方程的最小二乘特征混合有限元法 1 7 3 1 最小二乘特征混合有限元格式1 7 3 2 收敛性及其证明1 9 第四章结束语 2 4 参考文献 2 5 致谢 3 0 i i i 知量的导数作为补充的独立变量一起来求解。通过混合有限元方法可以将高阶方程进 行降阶处理，化为低阶方程，从而有利于数值处理。同时混合有限元解空间的光滑性要 求较标准有限元的解空间的光滑度低，从而较易构造出混合有限元空间，并提高计算的 精确度，且易于数字处理。近年来，很多计算数学工作者致力于混合有限元方法方面的 研究，并被广泛应用到固体力学，流体力学等诸多领域1 1 - - 1 7 众所周知传统混合元方法的有限元空间须满足l a d y z h e n s k a y a 1 7 1 b a b u s h i l 溯一 b r e z z i 1 9 ( l b b ) 相容性条件，这就限制了空间的选择。与传统标准的混合有限元方 法相比，最t b - - 乘混合有限元方法引进了残量最小化，使得这种方法在选择混合元空 间时不需要验证l b b 条件，可以更灵活的选择有限元空洲2 0 】。并且，最t j 、- - 乘混合有限 元方法的离散形式是对称一致正定的，可用许多有效的方法对其进行数值求解。对于 最小二乘混合有限元方法以及它在椭圆方程边值问题上的应用人们已经进行了大量的 研究，【2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 和 2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 关于方法的椭圆性以及 收敛性建立了系统的理论。近些年来，最t b - - 乘法混合有限元逐渐拓展应用到与时间 相关问题，参看文献【2 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 1 。 特征线方法在逼近对流占优的方程时能生成较准确的数值解，并且计算过程又比 较合理，对于对流的双曲性质，特征分析已经在设计数值方法上广泛应用，同时也产生 很多相关的近似技巧，包括特征线方法，特征g a l e r k i n 法，还有传统的e u l e r i a n - l a g r a n g i n 方 法，迁移扩散法，l a g r a n g i n - g a l e r k i n 方法，特征线修正方法等。在特征线方法中，控制方 程在l a g r a n g i n 坐标下通过合并对流项和时间导数重新改写方程，因此使控制方程在特征 线上能得到相应的离散，这里是代替了e u l e r i a n 方法中的沿时间方向离散，较显著的减 少了时间间断误差，同时对较大的时间步长得到精确的数值解，这相对于e u l e r i a n 方法 中的c f l 条件限制减弱了。特征线方法相比一般的方法，能够增加时间步长，从而提高 计算效率，同时避免数值振荡等优点，为大规模和大时间步长的数值计算提供了有效的 引言 途径。过去，特征线方法只限于讨论抛物型方程，将其用于抛物型方程组，近几年有所 发展，杜宁分析了抛物型方程组经济差分格式和交替方向特征有限元方法。 由于上述方法有各自不同的优点，很自然地想到可以采取巧妙的结合解决一些特殊 的方程。例如在文献 3 7 ，3 8 ，3 9 1 中主要采用特征线和混合元结合的思想。在文献【2 6 ，2 7 1 中 将最小二乘混合有限元法与特征线方法结合分别处理对流占优微分积分方程和对流占 优扩散方程，得到最优误差估计。本文主要将最j 、- 乘混合有限元方法应用到双曲型积 分微分方程和s o b o l e v 方程，同时将最小二乘混合有限元方法和特征线方法相结合应用 于s o b o l e v 方程。s o b o l e v 方程在流体穿过裂缝岩石的渗透理论，土壤中湿气迁移问题， 不同介质间的热传导问题【4 1 】等许多数学物理方面有着广泛的应用。关于s o b o l e v 问题解 的存在唯一性讨论，参见文献1 4 2 ，4 3 】。阻，4 5 ，4 6 ，4 7 | 用标准有限元法对此类问题进行了 研究。混合有限元方法也逐渐应用到此类问题中，参看【4 8 】。 本文的组织结构安排如下，第一章主要采用最小二乘混合有限元方法对双曲型积 分微分方程进行离散，并且给出误差估计。第二章用最小二乘混合有限元方法处理一 类s o b o l e v 方程，通过适当选取最小二乘能量泛函，数值方法可以分裂成两个独立的子格 式，并且数值方法可以同时逼近解及其梯度，收敛性分析表明在一定范数意义下，这种 方法具有最优收敛阶。第三章对对流占优s o b o l e v 方程应用最小二乘特征混合有限元方 法，通过引入梯度变量得到有限元格式，并做出误差估计。 2 内蒙古大学硕士学位论文 第一章双曲型积分微分方程的最小二乘 本章考虑如下双曲型积分微分方程 fu 站川- ( n 孔+ 6 f o t v 腑) = ，蚝q 舴正 ( a v u + b f o t v 砌) 叫( 加0 ，蚝r 托正 ( 1 o 1 ) i t ( z ，t ) = 0 ，z f d ，te 正 【 u ( z ，0 ) = t l o ( z ) ，魄( z ，0 ) = t 1 ( z ) ， z q 其中j = ( o ，w l 是时间区间，q 是铲上的有界多边形区域，且它的边界rl i p s c h i t z 连续。 r = f d u r j v ，是垂直于r 的法向量。存在正常数七1 ，k 2 ，a 1 ，a 2 ，使得a l n ( z ) a 2 ，k l b ( x ) 乜 本章首先将方程进行时间离散，然后利用最小二乘有限元方法原理得到最小二乘 有限元格式，并且格式中的双线性形式在所定义的有限元空间中满足对称性，连续性， 正定性，根据l a x i m i l g r a m 定理可知格式是存在唯一解的。最后对所建立的格式进行误 差估计。 1 1有限元空间及定义 l 2 ( q ) 内积用( ，) 表示，传统的s o b o l e v 空间记作w m p ，1sp 0 0 相应的范数为i 仇p ， 特别当p = 2 时，把w i n , 2 记作日m ，其范数简记为”i i m 我们定义内积与空间如下： ( u ，勘) = u v d x ，v u ，口l 2 ( q ) ， ，l 2 ( 仃，伽) = ( 以，毗) ，v a = ( 盯1 ，c r 2 ) ，v w = ( 叫1 ，w 2 ) ( l 2 ( q ) ) 2 i = 1 日= 叫( l 2 ( q ) ) 2 ；d i v w l 2 ( q ) ，加= o ，z r n ， s = t ，h 1 ( q ) ， = 0 ，z r d 给定时间步长a t = 纠，这里n 是正整数，我们将在时间t n = n a t ，礼= 0 ，1 ，n 处逼近 解方程( 1 0 1 ) 可化为如下一阶系统， 饥t + d i v a = ，z q ，t z 盯+ 口v 仳+ 6 z o t v u 打= 。，z q ，t 正 矿王，( z ) = 0 ， z r ，t 正 u ( x ，t ) = 0 ， z f d ，t j t 正( z ，0 ) = t o ( z ) ，u t ( x ，0 ) = t 1 ( z ) ， z q 3 双曲型积分微分方程的最小二乘混合有限元法 1 2 最小二乘混合有限元格式 对于一个给定的光滑函数，( 丁) ，我们有 仁，( 丁) 打= 譬( ，( 哟圳产1 ) ) 托- 1 ( ，) o 擎“川i - d ( 卿 对上式进行时间离散，变为 u n _ 2 u n 忑- 1 广q - 一u n - 2 + 击口f r n f 1 - a n - 2 ；尸一1 + 研， z q ， j 五r 一十m 口广= ，十“i ， z t a n - t - a n - 2 瑚t u nq _ u n - 2 + 6 喜譬v ( u i _ i _ u i - 1 ) = 磁，z 以( 1 2 2 ) 仃n l ，( z ) = 0 ，ze r n ；扩( z ) = 0 ， z i d ， i t 0 ( z ) = 伽( z ) ， z q 其中， 砰：( 霹矿一订1 ) + ( 盯n - i - z f i n - 2 一扩一1 ) ， 砑舶z t r l - - 1v 砌一墨譬v c u i u i - 1 m v 竿棚矿- l + d i v 竿一扩1 - 进一步得到， t n + 全箬出优，n ：2 u n l 一矿一2 一 a 9 t d i v f f n - 2a t - t 2 ，n - 1q _ 2 田， z q ， n 一1 扩+ n v 矿= 一扩一一n v 矿一一b za t v ( u i + u i 一1 ) + 2 嬲， z q ， ( 1 2 3 ) u n ( x ) = 0 ， z f d ； 盯n - l ，( z ) = 0 ， z r ， 护( z ) = t 上o ( z ) ， z q 对( 口，t ) ，( 妒，u ) h s 我们定义双线性彤式如卜： 。( ( 盯，u ) ，( 妒，u ) ) ：( t + t a t 2 d _ t 口口，口+ a r t 2 d t u 妒) + a z t 2 ，- 1 ( 盯+ 。v 也) ，妒+ 。v 口) 设，t h 。是区域q 上的有限剖分族网格，网格参数分别为b ，h u ，我们建立有限元空 间ch ，鼠。cs ，具有以下逼近性质【4 】： 存在七l 七0 ，l 1 ，满足 i n 巩f 。一u l l 岫( q 庐k 钞恼+ - ( n ) ) ： 眯i n h f 。0d i v ( w 一螂) i l l 2 ( 锄k 引( 日”1 ( n ) ) 2 。醵。( ot ，一o l ：( n ) + k i iv ( t ，一v h ) i i ( l 2 ( n ) ) ：) k 1i i i i z i + 1 ( n 内蒙古大学硕士学位论文 其中，当玩。为胁i 舭t h o m 船混合元空间1 4 9 】或者舸e k 有限元 当日 。为伊有限元空间【5 1 】时，k 1 = k 由有限元空间性质知对给定的盯hn h k + 2 c a ) 存在向量函数q 口 0 盯一q 盯0 ( l 2 ( n ) ) 2 k ：+ 10 口i i ( 日k 1 ( n ) ) 2 0d i v ( a q 盯) i i l 2 ( n ) o 使得， lo ( ( 吼t ) ，( 妒，t ，) ) i m ( i it ii 曙+ 0 盯i i 备( 狮) ) ( 0ui | ；+ 0 妒1 1 2 日( d 如) ，j 1 且存在常数o l o 使得， 口( ( 盯，t ) ，( 仃，牡) ) 口( 0 仳暇+ 0 口0 备( 旃 ) ) 根据l a x - m i l g r a m 定理可以得到该有限元方法在每一时间层上存在唯一解。 1 3 离散格式的误差估计 。百冗给出上述硌瓦阴误爱佰计缩呆， 定理2 假设( 口，让) 是方程的解，( 盯譬，“嚣) 是格式的解，则有误差估计， 瓣( i i 坩一碾) 1 1 2 + i iv ( n 训2 ) + 2 篆a t i if i n - - a r 孙( 矿一嚣。2 ) 1 1 2 - 、- 。2 k 1 + 九罾+ a t 4 ) 证明：由( 1 2 4 ) 可知， 口( ( 仃n ，铲) ，( 妣，) ) = ( 矿+ t a t 2 u 。v 口n ，锄+ 譬出t ，讥) + 譬( a - i ( a j l 十n v u 饥+ n v ) ：( 2 铲一l 一矿一2 一百a t 2d i r a n - 2 + t 2 ，n l + a t 2 r ，+ 竺譬d i 秒妒7 i ) + 譬( 。1 ( - a - 2 - a v 矿“董艄( + 一) + 2 蹴妒h + a v v h ) 口( ( 礤u z ) j ( 慨训：( 醒+ t a t 2 m 艰+ 譬栊毗) + 譬( n 。( 盯嚣+ n v 吼讥+ n v v h ) ：( 2 u 2 一嚷一2 一全呈威u 盯嚣一2 + 2 ，n - i , v h + 会箬出 讥) + 等( n _ 1 ( 一仃z - 2 _ a v u 嚣_ 6 董艄( 以+ 右，) ) ，讥+ a v v h ) 6 内蒙古大学硕士学位论文 两式相减得到， n ( ( ( 盯n 一盯嚣) ，( 矿一嵋) ) ，( c h ，v h ) ) _ ( ( 矿一醒) + 譬出uf i n _ o 鼽+ 譬驯 ) + 竽 一1 ( ( 盯n 一靠) + v ( t n 一峨) ) ，饥+ n v ) ：( 2 ( 矿一嚷一1 ) 一( 矿一嵋一2 ) 一a - - 乒d i t ，0 n - 2 - - ( 7 z 一2 ) + 2 研，+ 譬d 细讥) ( 1 a 5 ) + 全呈( o t ( 一( 矿一2 一一2 ) 一n v ( u n 一2 一嵋一2 ) 一6 t v ( ( 一t 磊) + ( 一1 一靠1 ) ) + 2 魈) ，讥+ a v v d 取俨= r 矿一吆，矿= 铲一r u ”，矿= q 矿一盯嚣，扩= 矿一q 扩 n ( ( 矿，俨) ，( 讥，) ) ：( 铲+ 竽d 细矿，+ 譬d t u 机) + 譬( 口_ 1 ( 矿+ 。v 矿) ，饥+ 。v v h ) ：( 2 俨一旷2a 。，t - - 兰d i v t r n - 2 + 舻研，+ 譬磁u c h ) + 今竽 一1 ( 一矿一2 一口v p 仃一2 6 n - 1 t v ( + 矿一1 ) + 2 磁) ，妒h + a v v n ) l = 1 ( 1 3 6 ) 所以有， ( ( 矿+ 扩) + 譬出口( ，+ 矿) ，+ 竽出口讥) + 譬( 口- 1 ( ( + 矿) + n v ( 矿+ 俨) ) ，咖+ 口v v h ) = ( 2 ( p n 一1 + 0 n - 1 ) 一( 矿一2 + 口n 一2 ) 一三菩以t ，( 竹一2 + 7 n - 2 ) + a t 2 研，v h a+ 竺争出口妒 ) z + + 会呈( a 一1 ( 一( ，一2 + 7 1 - n - 2 ) 一。v ( 矿一2 + 口n 一2 ) 一b y ：a t v ( ( p + 矿) + ( 一1 + 0 i 一1 ) ) + 2 魈) ，妒_ l + a v v h ) 移项得： ( o n - - 2 0 n - 1 4 _ 扩- 2v h - 4 - t a t 2 比毗) + 竽( 咖( 矿7 1 n - 2 ) ，+ 譬出口c h ) + 等( 口一1 ( 矿- - 7 1 - n - 2 ) ，c h + a v ) + 等( v ( p n + 旷2 ) ，c hh - a v 口_ 1 ) + t a t 2 【石bn 鲁- 1 v ( 0 t + 0 i - 1 ) ，饥 4 - a v v h ) ：( 2 p n - 1 - 4 - 矿一p n ，+ 譬出毗) 一下a t 2 ( 酬矿2 + 州m + 譬出”饥) 一全呈( 。一1 ( n 一2 + e n ) ，饥+ 。v ) 一全箬( v ( ，一2 + 矿) ，饥+ n v u ) 一譬( 尝葚艄( 矿，) , ，b h - t - a v v h ) + 玖砰, v ha - t a t 2 d i v c h ) _ 反a - ll 喂2 , o h + a v v h ) 一 f 1 3 7 1 7 双曲型积分微分方程的最小二乘混合有限元 取= 扩一0 - - 2 讥= o ，对( 1 3 7 ) 两边同时除以t 2 ，则， ( 磊扩一磊口n ，磊矿+ o t o n 一1 ) + 警( 出u ( 1 r n + 1 1 n 一2 ) ，磊俨+ 覆俨一l + 譬( 丌n + 丌n 一，v ( 磊俨+ 磊口n 一1 ) ) + 三( v c o n + 俨一2 ) ，口v ( 俨一俨一2 ) ) + 壶( b , t v ( o + 0 i 。1 ) ，v ( 俨一o - - 2 ) ) = 一( 露矿，氛伊+ a o 住一1 ) 一- 等( d i ( 矿+ 眇一2 ) ，玩口n + a o n 一1 ) 一百a t ( 扩+ ，- 2 , v ( 石, o - + 反俨一1 ) ) + t a a t k p n + 矿- 2 , a ( 5 t o + a 俨一1 ) ) + 垒笋( 6 塞t ( + 一1 ) ，磊铲+ 反俨一1 ) + t ( 研，磊口n + 磊俨一1 ) 一t ( 嬲，v ( 俨一扩一2 ) ) ( 1 3 8 ) 将( 1 3 8 ) 的左端使用分部积分法后变为， ( 反俨，氛俨) 一( 磊口n - 1 磊旷1 ) + 三( n v o n ，v 俨) 一互1 ( n v 扩，v 矿一2 ) + 去( b z a t v ( o + 矿- 1 ) ，v ( o - 一俨_ 2 ) ) 故( 1 3 8 ) 式变为， ( 磊铲，磊俨) + 互1 ( n v o 竹，v o n ) = ( 石t o n - l , 玩) + l ( a v o - 2 , v o - 2 ) 一互1 ( b 董艄( 姆() ) 一 ，反口n + 氛口n 一1 ) + 百l p + 矿一2 ，n ( i 磊= 1 铲+ 磊0 俨i + 一1 0 ) i ) - 1on_0n-2at(霹pn a a t , n 。 + 垒笋( 6 董t ( + 一1 ) ，磊铲+ 磊铲一1 ) + ( 研，磊目n + 磊p n 一1 ) 一( 硝，v ( 俨一矿一2 ) ) 利用y o u n g 不等式对上式进行估计， ( 玩 a 0 住) + 互1 ( n v 俨，v o n ) ( 磊俨，磊酽。) + 丢( n v o - 2 , v o n _ 2 ) + k c a t ( i iv 0 n1 1 2 + i iv 0 n 一21 1 2 + i i 霹矿1 1 2 + i i 矿1 1 2 + o 矿一20 2 ) + a t 2 i i 1 1 2 + a t ( 1 l 研0 2 + i i 嬲1 1 2 ) ) + a a t ( 1 l 玩目n 一11 1 2 + i i 磊矿1 1 2 + ov 0 1 1 2 ) 其中， a t i i 1 1 2 a t ( n 一1 ) h i t + 2i it 峨( 肿。) t h 2 。t + 8 2 i it 峨( 肿- ) 内蒙古大学硕士学位论文 做进一步估计，上式变为： ( 磊俨，磊矿) + 去( 口v o n ，v o n ) ( 玩俨一l ，磊p n 一1 ) 4 - 去( o v o n - 2 , v o n 一2 ) + k t ( 1 lv 0 n1 1 2 + ov 铲一21 1 2 + + 2 + a t n 一1 十6 a t ( 1 l 磊口”1 1 2 + o 磊口n 一11 1 2 + ov 1 1 2 ) i = 1 对( 1 3 9 ) 式两端从2 到n 求和， n 一1n 一1 i i 磊矿0 2 + ov o n0 2 k ( h i t + 2 + a t 4 + a t o 玩0 2 + a t i lv 0 2 ) ( 1 3 1 0 ) 譬( 口n 一2 口n _ 1 + 俨，出口( 1 r n4 - 7 r n - 2 ) ) + a r t 4 ( 成t ，( 7 r 住+ 丌 2 ) ，出口( ，r t l4 - f i n - 2 ) ) + 等( n 一1 ( 矿4 - 7 r n - - 2 ) ，矿+ 矿一2 ) + 等( v ( 口n + 酽一2 ) ，订n + 矿一2 ) + t a t 2 【二bn 茎- 1 t v ( + ，矿+ 矿一2 ) = 譬( 2 矿一矿一矿，出口( 丌n + 矿以) ) 一丁a t 4 ( 出口( e n - 2 4 - ，) ，d 州矿+ 矿2 ) ) 一a t ，2 ( a - l ( e n 一2 + e n ) ，7 r n + 7 r n 一2 ) 一会呈( v ( 矿一2 + ) ，7 r n + 矿一2 ) 一t a t 2 【五bn 二- 1 t v ( + 一- ) ，矿+ 矿一2 ) + - 譬( r 7 ，出口( 7 r n4 - 7 1 - n - 2 ) ) 一艄口一1 r , , f i n , 4 - 7 r n - - 2 ) 5 1 ( 1 3 1 1 ) 将上式的左端分部积分， a t 2 ( o n 一1 ，d i ( 7 r n + 7 r t i 一2 ) ) ：一a t 2 ( v o n 一1 ，7 r n + 丌n 一2 ) 估计得， a 4 t _ _ _ 4 4 i id i t ，( 7 1 nj r - 7 r n - 2 ) 1 1 2 + t a t 21 1 儡 + 1 r - 21 1 2 k a t 2 ( iv 0 一10 2 + i i 毋矿1 1 2 + a ti i d i v e n1 1 2 + a ti id i v e n 一21 1 24 - 0e n1 1 2 + 0 n 一21 1 2 + i i _ i d n 幛+ i i 矿一2i i ；+ a t n 危掣+ a t 2 ov 矿1 1 2 + a t 2i i 研1 1 2 + i i 硝1 1 2 ) 州竽怕妒 4 - 7 1 - 2 ) 1 1 2 + 譬n i i ) 进一步得， a t0 矿+ 扩一21 1 2 k a t ( i iv 0 n 一11 1 2 + i i 露矿1 1 2 + a ti id i v e ”1 1 2 + a ti i d i v e n 一21 1 2 + 0 n1 1 2 + 0 n 一2l | 2 + i i 矿i i ；+ i ip n 一2i i ；+ 警+ a t 2 ov 0 1 1 2 + a t 2i i 研1 1 2 + i i 憨1 1 2 ) 9 所以有， 嘞m a s x ( 1 1 引1 2 + i iv 川1 2 ) + 2 荟a ti i 矿- 2 1 1 2 驯 梦1 + 警拙4 ) ( 1 3 1 3 ) 又由已知的矿，的误差估计便可得到定理结论。 1 0 内蒙古大学硕士学位论文 第二章一类s o b o l e v 方程的最小二乘混 本章考虑如下方程 v ( a ( x ) v u + b ( x ) v m ) u ( x ，t ) = 0 ， t 扛，0 ) = t o ( z ) ， z q z f ，t z q 其中j - ( o ，t 】是时间区间，q 是舻上的有界多边形区域，且它的边界rl i p s c h i t z ： 奁续。，= ，( z ，) 是已知函数，存在正常数a l ，a 2 ，k l ，k 2 使得a l o ( z ) a 2 ，k l b ( 2 7 ) k s 。 本章首先将方程化为一阶线性系统，然后通过选取最小二乘能量泛函，数值方法可 以分裂为两个子格式。最后对格式进行误差估计，得到空间上最优收敛和时间上一阶收 敛。 2 1 有限元空间及定义 内积定义见第一章，现定义空间如下： s = u h 1 ( q ) ，口= 0 r z r ) h = 叫( l 2 ( q ) ) 2 ；d i v w l 2 ( q ) ) ， 对应模定义如下， 暗= 忡i i g + l iv 口帻协s i i 妒i i 备( 饿口) = 0 砂1 1 3 + i id i v bi 曙，w 日 给定时间步长t = 驯，这里n 是正整数，我们将在时间k = n a t ，n = 0 ，1 ，处逼近解方 程( 2 0 1 ) 可化为如下一阶线性系统， u + d i v a = ，z q ，t 以 口+ a ( x ) v u + b ( x ) v u t u ( x ，t ) = 0 ， t l ( z ，0 ) = 咖( z ) ， 1 1 z q 2 正 ( 2 1 2 ) z f ，t z z q ， 0 其中， 且 化简上式变为 2 2 最小二乘混合有限元格式 进行离散 u n _ 瓦u n 一- 1 + 出t ，矿n = ，n + 砑，z q ，t z n n ( 加矿+ 6 ( 坍( 与# ) = 璎， z 叫正 u n ( x ) = 0 ， z r ，z t i ( z ，0 ) = t 正0 ( z ) ， z n 研：u n - - 酉u n 一- 1 一醒 霹= o ( a t ) 铲+ a t d i v a n = 矿一1 + a t f n + a t 研， z q ，t z a t a n + ( n ( z ) t + 6 ( z ) ) v 矿= b ( x ) v u n 一1 + t 磺， 令a = a ( x ) a t + 6 ( z ) 我们定义双线性形式， n ( ( 盯，让) ，( 妒，t ，) ) = ( 仳+ a t d i v a ， + a t d i v 妒) + ( a 一1 ( a t a + a v u ) ，a t e + a v v ) 得到弱形式：寻求仳n s 扩h ，使满足， n ( ( 仃n ，t l n ) ，( 妒，t ，) ) = ( u n 一1 + a t f n + a t 研，口+ a t d i v 妒) + ( a 一1 ( b ( x ) v u n 一1 + a t 魈) ，t 妒+ a v v ) ( 2 2 4 ) v v s ，w 日 设a ，t h 。是区域q 上的有限剖分族网格，网格参数分别为h 一，k ，我们建立有限元空 间鼠cs ，峨。c 日，有限元空间的逼近性质，初始值满足条件，椭圆投影r 让的定义见 第一章。 根据方程的离散形式( 2 2 3 ) ，省略时间截断误差，我们定义最小二乘混合有限元格 式：给定一个近似的初值u 2 鼠，对于n = 1 ，2 ，n ，求( 盯嚣，嵋) 玩。瓯。，使得， o ( ( 盯嚣，醒) ，( 妒，l ，v h ) ) = ( 札嚣一1 + a t 尸。，v h + a t d i v c h ) + ( a 一1 6 ( z ) v 乱：一1 ，a t c h + a v v h ) ( 2 2 5 ) v ( 讥， o h ) h h 。x 鼠 定理1 问题( 2 2 5 ) 存在唯一解( 盯嚣，吆) h h ，鼠。 1 2 叭叫，。，、。【 l 题 问对 、lj 322 ，i z z 正 正 c ： r q z z z 内蒙古大学硕士学位论文 证明：显然n ( ，) 在h s 上对称，对1 ，q l r 有， n ( q l ( 盯1 ，u 1 ) + a 2 ( u 2 ，u 2 ) ，似，t ，) ) = n ( ( 口1 口1 十a 2 f f 2 ，q l t 1 + a 2 u 2 ) ，( 妒，u ) ) = ( q 1 t 上1 + q 2 t 1 2 + a t d i v ( a l a l + a 2 a 2 ) ，t ，+ a t d i v 妒) + ( a 一1 ( a t ( a l a l + q 2 眈) + a v ( a l u l + q 2 t 2 ) ) ，a t e + a v v ) = o l i ( “i + a t d i v a l ，t j + a t d i v 妒) + a l ( a 一1 ( a t a l + a v u l ) ，a t e 十a v v ) + q 2 ( 地+ a t d i v a 2 ，u + a t d i v 妒) + c t 2 ( a 一1 ( a t a 2 + a v u 2 ) ，a t e + a v v ) = o r l a ( ( 0 1 ，u 1 ) ，( 妒， ) ) + 口2 a ( ( u 2 ，u 2 ) ，( 妒，t ，) ) 因为存在正常数a l ，n 2 ，k l , k 2 使得0 1 n ( z ) n 2 ，k 1 b ( x ) 勉，由第一章引理1 可得，存在常 数 m o ，s t ，i 口( ( 盯，u ) ，( 砂，u ) ) i m ( i it tl 谨+ 仃0 备( 出口) ) ( i it ，0 ；+ 0 妒i i 备( d 伽) ) 且存在常数o t o 使得， 口( ( 盯，t ) ，( 矿，u ) ) q ( i it n ；+ 0 盯0 备( 硪 ) ) 根据l a x - m i l g r a m 定理可以得到该有限元方法在每一时间层上存在唯一解。 引理l 对v ( 叽t ) ，( 妒，t ，) h s 成立， o ( ( 盯，t ) ，( 妒，t ，) ) = ( u ，u ) - i - ( v u ，a v v ) + a t 2 ( a 一1 仃，妒) + a t 2 ( d i v a ，d i v e ) 证明：由口( ( 盯，u ) ，( 妒， ) ) 的定义可得， n ( ( 盯，t ) ，( 妒，口) ) = ( t i ， ) + a t ( d i v a ，t ，) + a t ( d i v e ，t ) + a t 2 ( d i v a ，d i v e ) + t 2 ( a 一1 矿，妒) + a t ( a ，v v ) + t ( 砂，v u ) - t - ( v u ，a v v ) 由g r e e n 公式， a t ( d i v a ，t ，) + a t ( a ，v v ) = 0 a t ( d i v e ，u ) + t ，v u ) = 0 所以有， o ( ( 盯，让) ，( 妒，t ，) ) = ( u ，口) + ( v t ，a v v ) + a t 2 ( a 一1 盯，妒) + a t 2 ( d i v a ，d i v e ) 在格式中分别取饥= 0 ，v h = o 利用引理1 ，得到格式的等价形式： 给定一个近似的初值醒甄。，对于n = 1 ，2 ，n ，求u 嚣鼠。，口嚣札使得满足， ( 醒v h ) + ( v u ；：, a v v h ) = ( t l z 。1 + t f n , v h ) + ( 6 ( z ) v t z 一v h ) ( 2 晶 w h 既。 ( a - l a 嚣，饥) + 州毗删7 1 ) = ( 札z 一1 + f n , d i v c h ) + ( 衲( z ) v 嵋- 1 , 饥) ( 2 2 7 ) w _ l i - l h ， 1 3 这样 于盯嚣 在上 取俨= r 矿一峨，矿= u n r 矿，矿= q 盯n 一仃嚣，矿= 盯n q 扩代入上式得， ( 铲+ 矿， o h ) + ( v ( o n + 矿) ，a v v h ) = ( 矿一1 + 矿一1 + a t 研， o h ) + ( 6 ) v ( 矿一1 + 矿一1 ) + a t 磁，v v h ) 取v h = 俨，则有， ( 矿+ p - ，0 n ) + ( v ( e n + 矿) ，a v o n ) = ( o n 一1 + 矿一1 + a t 矸，o n ) + ( 6 ( z ) v ( 铲一1 + p n 一1 ) + 璎，v o n ) 上式可变为， 笫0 0 篡a t r ，0 * 似一脾a v p n + a t 嬲期v o 协3 聊 = ( n 一1 + 矿一1 一矿+，n ) + ( 6 ( z ) v ( p ”一1 + 矿一1 ) 一 十 嬲， 住) 下面对上式进行估计， ( 0 n o n 一1 ，o n ) = i ln 口n ，0 n ) 一( o n - 1 0 n 一1 ) + ( 0 n 一0 n - 1 , 0 n o n 一1 ) 】 ( b c z ) v o n b c x ) v o n 一1 ，v o n ) = 去【( 6 ( z ) v 口n ，v o n ) 一( 6 ( z ) v p n 一1 ，v 扫一一1 ) + ( b ( z ) v o n b ( z ) v 口n 一1 ，v o n v o n 一1 ) 】 ( b c x ) v c p n 一矿- 1 ) ，v 矿) = - a a t ( b ( x ) o t p n ，0 n ) ( a ( x ) a t v p n ，v o n ) = 一a t ( o ( z ) 矿，o n ) ( 矿一矿一，0 n ) = a t ( o t d ，0 n ) 对( 2 3 9 做进一 对上式 由离散 在( 2 2 4 ) 式中取口= o ，利用引理l 得， ：篡a t z f a t 嚣d i v e 轧a 一。b ( x ) v u n a 一。a t 驯， 仁3 m ， = ( t n 一1 + n + 砑，) + ( 一1 1 + 一1 魈，妒) 在上式中取妒= 讥，并与( 2 2 7 ) 式相减得到， a t ( a 一1 ( 盯住一盯嚣) ，妒_ 1 ) + a t ( d i v ( a 1 一口嚣) ，d i v c h ) = ( ”n 一1 一罐一1 + 研，d i v c h ) + ( a 一1 6 ( z ) v ( 矿一1 一嵋一1 ) + a 一1a t 璎，o h ) w h h h ， 取讥= 矿，则有， a t ( a 一1 ( 7 r n + n ) ，7 r n ) + a t ( d i v ( 7 r n + n ) ，出口7 r n ) = ( p n 一1 + 矿一1 + t r ? ，击t ，丌n ) + ( a 一1 6 ( z ) v ( 扩一1 + 矿一1 ) + a 一1a t 磁，7 r n ) 上式可变为， a t ( a 一1 丌n ，7 r n ) + a t ( d i v e r t ，d i 7 r n ) = ( 铲一1 + 矿一1 一a t d i v e n + a t n ，出口7 r n ) ( 2 3 1 2 ) + ( a 一1 6 ( z ) v ( 口n 一1 + p n 一1 ) 一a t a 一1 e n + a 一1 a t p q ，7 r n ) 其中， ( a 一1 6 ( z ) v ( 矿一1 + p n 一1 ) ，7 r n ) = ( a 一1 (