（概率论与数理统计专业论文）一类亚式期权的定价.pdf

摘要 期权是一种有效的风险管理工具随着金融理论的发展和市场的需 求，人们在标准期权的基础上设计出新型期权，称为奇异期权( e x o t i co p - t i o n ) 常见的有亚式期权、障碍期权、再装期权、经理人员股票期权、 回望期权、重置期权奇异期权大多具备路径依赖特征比如亚式期权 的收益就不仅取决于到期日的标的资产价格还与标的资产在有效期内的 平均价格有关从而使得奇异期权的定价比标准期权复杂 本文讨论亚式几何连续平均期权的定价根据奇异期权各自的特点， 将亚式期权与其它一些奇异期权组合，设计并得到了新型亚式几何连续 期权，以满足市场和公司金融政策的具体需要在标的资产服从指数o u 过程模型的假设下，利用g i r s a n o v 定理，构造了风险中性概率测度，应用 随机分析的理论和工具，给出了一类亚式期权价格的显示表达式 本文主要工作如下： l 、简化了亚式几何连续平均形式的表达式，用鞅方法推出了一般亚 式期权定价公式，并讨论了看涨与看跌的平价关系 2 、将亚式期权与障碍期权的特点联系起来，创造出一种新型亚式障 碍期权，并给出期权定价的显式表达式 3 、考虑到再装期权的特征，将亚式几何连续平均形式融入其中，并 且进行了适当的变化，得到一种新型亚式再装期权，并推导出这种新型 期权的定价公式 4 、根据市场的需求和普通经理人员股票的不足，设计了一种新型亚 式经理股票期权，并给出相应期权的显示表达式 关键词：g i r s a n o v 定理亚式期权鞅方法 指数0 u 过程障碍 期权再装期权经理人员股票期权 a b s t r a c t o p t i o ni sa ne f f e c t i v et o o lo fr i s km a n a g e m e n t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fe c o n o m ya n dd e m a n do fr e s e tm a r k e t ，s o m en e wt y p eo fo p t i o n sw a sd e s i g n e df r o m s t a n d a r do p t i o n ，c a l li te x o t i co p t i o n s w ea r ef a m i l i a rw i t hs o m ee x o t i co p t i o n s ，s u c h 蹈a s i a no p t i o n s ，b a r r i e ro p t i o n s ，r e s e to p t i o n s ，e x e c u t i v es t o c ko p t i o n f e s o ) ，l o o k - b a c ko p t i o n ：r e l o a do p t i o n s m o s to fa l le x o t i co p t i o n sh a v ec h a r a c t e r i s t i c so fp a t h - d e p e n d e n c e f o re x a m p l e t h ep a y o f fo fa s i a no p t i o n sd e p e n d sn o t o n l yo nt h em a t u r i t yo ft h eu n d e r l y i n ga s s e tp r i c e ，b u ta l s os o m et y p ea v e r a g ev a l u e o ft h eu n d e r l y i n ga s s e t sp r i c e s s oi ti sm o r ec o m p l e xt o p r i c et h ee x o t i co p t i o n s t h a ns t a n d a r do p t i o n s i nt h i sd i s s e r t a t i o nw ed i s c u s st h ep r i c i n g p r o b l e mo fg e o m e t r i cc o n t i n u ea v e r a g e - r a t ea s i a no p t i o n w ec r e a t e ds o m en e wf o r m so fa s i a no p t i o nw h i c ha s s o c i a t e d w i t hs o m eo t h e re x o t i co p t i o na n da s i a no p t i o nb a s e do nt h ec h a r a c t e ro ft h e i i 卜 s e l v e s u n d e rt h eh y p o t h e s i so ft h eu n d e r l y i n ga s s e t sa x ed r i v e nb ve x p o n e n t i a lo - u p r o c e s sm o d e l ，w ec o n s t r u c t e dr i s k - n e u t r a lp r o b a b i l i t ym e a s u r cb yu s i n gg i r s a n o v t h e o r e ma n do b t a i n e dt h ep r i c i n gf o r m u l a so fn e w t y p eo p t i o nw h i c ht a l k e da b o v e b ya p p l i c a t i o no ft h et h e o r ya n dt o o l so fs t o c h a s t i ca n a l y s i s i nd e t a i lw eh a v em a d ew o r k sa sf o l l o w s 1 、b y s k i l l f u lh a n d l e dt h ef o r mo fg e o m e t r i cc o n t i n u ea v e r a g e - 1 a t ea s i a n o p t i o n ， t h ep r i c i n gf o r m u l ao ft h ea s i a no p t i o nw a sd r i v e nb yu s i n gm a r t i n g a l em e t h o da n d p u t c a l lp a n t yr e l a t i o ni sd e d u c e d 2 、 c o n f i e c t e dc h a r a c t e r i s t i co fa s i a no p t i o nt ob a r r i e ro p t i o n ，w ec r e a t e dan e w t y p eo fa s i a n - b a x r i e ro p t i o na n do b t a i n e dp r i c i n gf o r m u l ao ft h eo p t i o n 3 、t h i n k i n ga b o u tt h et r a i to fr e l o a do p t i o n ，w es y n c r e t i z e df o r mo fg e o m - e t r yc o n t i n u ea v e r a g e - r a t ei n t or e l o a do p t i o na n dg e tan e w 钳p ce x o t i co p t i o n ，a n d i i i c h a n g e dp r o p e r l y t h ep r i c i n gf o r m u l ai sd e d u c e d 4 、b a s e do nd e m a n do fm a r k e ta n dd e f i c i e n c yo fe x e c u t i v es t o c ko p t i o n w e c o n t r i v e dan e wt y p ee s ow h i c hw i t ha s i a no p t i o na n do b t a i n e de x p l i c i te x p r e s s i o n o ft h en e wo p t i o n k e y w o r d s ：g i r s a n o vt h e o r e m a s i a no p t i o n m a r t i n g a l em e t h o de x p o - n e n t i a lo up r o c e s s b a r r i e ro p t i o n r e l o a do p t i o ne x e c u t i v es t o c ko p t i o n i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 ， 学位论文作者潞傅莎净 矽脚苫心1 l 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打。、”) 4 1 ，日期：矽仔幻，日 日期：砂杵月，日 一类亚式期权的定价 1导 论 1 1 关于金融数学与金融工程 现代金融理论始于2 0 世纪5 0 年代1 9 5 2 年马柯维茨( h m a r k o w i t z ) 提 出的投资组合理论，引发了第一次华尔街革命，同时这个理论也被看作 是分析金融学的发端此前的金融学研究只是描述性的，没有精确的数 量分析在5 0 年代后期，莫迪格里亚尼( f m o d i g l i a i n ) 和米勒( m m i l l e r ) 在 研究企业资本结构和企业价值的关系( 即所谓的m m 理论) 时提出了“无 套利”( n o - a r b i t r a g e ) 分析方法现代金融理论研究取得的一系列突破性 成果，如资本资产定价模型，套利定价理论，以及期权定价公式，都是灵 活的利用盔无套利”的分析技术而得到的 随着数量方法在金融中的大量应用，数学与金融的联系变得密不可 分，由此产生了金融数学这门交叉学科金融数学是指采用数学和概率 统计的方法，研究金融资产及其衍生资产定价、复杂投资技术与公司金 融政策的一门学科其中资产分为基本资产( 股票，债券，或一种货币) 和与基本资产的价格相关联的衍生资产，如期货，期权，互换等 1 9 7 3 年，布莱克( f i s h e r b l a c k ) 和修斯( m y r o n s c h o l e s ) 发表了关于期权 定价的经典论文期权定价和公司债务【文中利用套利推理和随机 分析的理论，导出了著名的b l a c k - s c h o l e s 公式，建立了期权定价理论，是 金融理论的一次革命性成果，引发了第二次华尔街革命 期权( o p t i o n ) 也称为“选择权”，是一种金融衍生工具期权给予了期 权合约的持有者按指定条款买进或卖出某种金融资产的权利，但却没有 必须买进或卖出的责任看涨期权( c a l lo p t i o n ) 给予期权持有者买入的权 利，看跌期权( p u to p t i o n ) 给予期权持有者卖出的权利这样的设计就可 以用来避险甚至用来投机谋利既然是一种这么好的权利，从经济学角 1 硕士学位论文 度说，当然就有价值，“免费的午餐 是不存在的期权定价理论正是用 来研究期权费的确定及相关问题的 金融工程是2 0 世纪8 0 年代末出现的一门新的交叉学科它的定义有 广义和狭义之分金融工程学的创始人之一：约翰芬尼迪( j o h n f i n n e t r y ) 认为金融工程学广义的定义是指：将工程思维引入金融领域，综合的运 用各种工程技术方法，设计、开发和实施新型的金融产品，创造性的解 ，决各种金融问题 金融产品广义的含义是：包括金融商品( 所有在金融市场交易的金融 工具，如股票，债券，期货，期权，互换等) ，又包括金融服务( 如结算， 清算，发行，承销等) 设计、开发和实施新型金融产品的目的是为了创 造性的解决金融问题这些创造性的解决方案，也可以产品化，成为金 融产品在这个定义中，“新型”和“创造性”最值得重视它们有多重 含义：1 、金融思想的跃进，如创造出第一份期权合约、第一份互换合 约；2 、对现有的观点作出新的理解和应用，如将期货推广从而得到金 融期货；3 、对已有的金融产品和手段加以重新分解和组合，进而创造 出新的金融工具，如期货期权等层出不穷的复合金融工具 从上面的论述中不难发现，金融数学与金融工程既有重叠的地方，也 有各自的特点两者都是运用现代理论和工具，如高等数学，概率论，微 分方程，统计学，计量经济学，时间序列分析和计算技术，借助计算机对 金融原理进行推导证明和假设检验，从而得到理论成果指导实践工作， 并且部分的转化为实际应用 金融数学偏重于理论研究，模型检验金融工程则着重于运用工程中 的方法，如数学建模，数值计算，网络图解，仿真模拟等技术手段立足 于解决实际的问题，不拘泥于死板的理论教条现在西方发达国家的金 融工程活动已经发展到了根据具体的客户，具体的要求，量体裁衣的提 供金融产品，以满足客户需要 2 一 一类亚式期权的定价 1 2 关于本文 本文讨论了一类亚式期权的定价问题，并创造性的提出三种新型亚 式期权，运用期权定价的风险中性定价原理，得到了相应期权的显式定 价公式 亚式期权( a s i a no p t i o n ) 是几种最常见的新型期权之一由于亚式期 权首先由日本金融市场创造并使用，故被称之为“亚式期权”亚式期权 主要在场外交易，在股票、商品、利率、外汇及能源，尤其是电力工业上 有广泛应用因为其收益取决于标的资产在期权有效期内全部或部分时 间内的平均价格，故又被称之为平均期权亚式期权的种类很多，按平 均的类型，可分为几何平均和算术平均亚式期权，按交割日的不同，可 以分为欧式和美式，按股价的抽样类型，可以分为离散型和连续型 现在，对亚式期权的研究正在成为热点在实际应用中，多以算术平 均法计算标的资产的平均值，但很难求得其精确的表达式对于采用几 何平均法计算标的资产价格平均值的情况，已经有学者开始了这方面的 研究，如文【6 1 1 7 8 】等等正是因为对亚式期权中的平均值处理起来比较 复杂，所以相应的研究工作没有象标准期权那样深入 本文对亚式几何连续平均形式作了一个巧妙的变形，得到了一个相 对比较简单易用的形式，用概率方法推出了相应亚式期权的定价公式 联系已有的其它奇异期权的研究，如文【9 f - 1 5 ，本文提出了三种新的期 权，由于这些期权都与亚式几何连续平均值有关，故在本文中称其为新 型亚式期权应用风险中性定价原理，得到相应期权价格的显式表达式 本文考虑的是广义亚式几何连续平均形式的期权，即亚式平均形式 为： 邢，丁) ：p 击l ；r i n s ( u ) d u 3 硕士学位论文 其中s ( u ) 表示t t 时刻标的资产的价格当t = 0 时，上式变为普通情形 ，( 0 ，丁) ：e 口i i l s ( u ) 乱 1 3 预备知识 下面给出与本论文相关的定理和推论 定理1 1 概率空间( q ， ) 。o ，p ) 上的b r o w n 运动，记为b = ( 且；t o ) 是满足下列条件的随机过程： ( 1 ) 对0 s t ，b t b 。与兀独立； ( 2 ) 对鼠一日。服从正态分布n ( 0 ，t s ) ( s ) ( 3 ) 对于固定u q ，b 。( 叫) 对t 连续， 定理1 2( g i r s a n o v 定理) 设( q ，( 五) 。o ，p ) 是一个概率空间， 叫( t ) ；0 t 丁 是该空间上的b r o w n 运动，且五= 盯 叫( t ) ；0 s t 0 t z0 = 慨t ) ；0 t z0 五) 令 w o ( t ) = w ( t ) 一o ( u ) d u ，0 t t 引= e 唰，” 一三厂(umduo(u)dw(t)1 0 2 ，0tt0 j o z ( ) = e 印一i ( u ) ) ，t ， 么 q ( a ) = z ( t ) d p , v a 户 若e p 【e 印( 譬0 2 ( u ) d u ) o ，q ) 上的一个标准b r o w n 运动，且 d w q ( t ) = d w ( t ) + o ( t ) d t e p z ( t ) i a 】- e q a 1 以上e p 【】艘【】分别表示在概率测度p 和q 下的数学期望，厶是a 的示 性函数 一类亚式期权的定价 定理1 3 【3 1 1 设m n ( 0 ，1 ) ，一n ( o ，1 ) ，c o v ( w , ，) = p ，则对任意的 实数口，b ，c ，d ，k ，有下式成立 球棚“嘶d 菇p 脚+ 2 删( 鼍篝掣 其中n ( x ) 表示标准正态分布的累积分布函数 推论1 4 设m t v ( o ，1 ) ，w 2 一n ( o ，1 ) ，c 伽( 眠，w 2 ) = p ，则对任意的实 数a ，b ，c ，d m l ，r n 2 ，有下式成立 e e 。肌+ d 厶m l 0 当股票价格满足上述指数0 u 过程模型时，令 ) = 垃铲，叫印脚印) + 小s ) d s 若 e p ( e z p ( 丢z 口2 ( s ) d s ) ) _ k ) i f t 】 = e q r j t ( j 之k ) i r , l e q r k i ( ， _ k i i r , l = 巧一巧 下面分别求h ， = 伊【r j t 砭x ) l 同 ：e q r e j ( r o ) 山& e 印 jf a ( s ) ( t s ) d 5 + 南r 盯( s ) ( 丁一s ) d w q ( s ) m 聊i 列 = 互弦【r & e y + f 厶s i + ，之k ) l = 1 ：i s , e v e o , e y i c y h k l l l & 一y ) 】 = 飚e f 朋【e 吖亩，( 专世号笋卫) 】 = r s t e f 嚣去e 一手出 ：r & 矿f 5 7 去e 一掣d ( t + 州e 去砖 ：r & e pc 不吖赤e 一譬m e 辞 ：r s t e ( d l + f l y ) = r 咖( 如) ， = e q r k f ( j k ) i ：f , j 一1 = e q 【r k k 唧 击fa ( ，) ( r 一一) d l 十南fj ( 1 ) f f 一。灿口( 。) k ) = e q r k i ( s , 。r + v 之) 】 = r k e 吧专2 学) 1 = r k e q i d l 】= r k n ( d 1 ) 1 1 一 塑圭m 学位i 笙i 茎一 _ _ - - _ 一一 即得 v ( t ，c ) = r c n ( d 2 ) 一r k n ( d 1 ) 定理2 3 得证 定理2 4 在模型( ，) 下，亚式平均价格看跌期权在t 时刻的价格为 v ( t ，p ) = r k n ( - d 1 ) 一h e n ( 一d 2 ) ， 其中，( ) 表示标准正态分布的累积分布函数，而 d l = i ns ( t ) 一i nk + 丧a ( s ) ( 墨坐 ，d 2 = d l + 叮y ， r e 一肌油，砖= 南z r ( 丁_ 5 ) 2 d 5 咖：s 酬击ra ( s ) ( t 5 ) d s + 丢甜 证由风险定价原理可以知 v ( t ，p ) = e q r f ( t ，p ) l 五】 = e q i r ( k j ) l ( k ) l t t 】 = e c 2 r k i ( r ，) l 五1 - e q n d t ( k j ) l d w t 】 = 巧一巧 下面分别求，k = e q 【r k 丘k ，) l 歹t l ：e q k e f ：s ) 血k 卿 南a ( 。) ( t 一。) 山+ 击伊( 。) ( r 一。灿口( 。) s k ) l 五l ；e q r k t ( s , + 。k ) 1 = r k e q r f 上 ! ! 坠! 唑= 卫) 】 、口v 矿y = r k e 口( ，( 专呐) 1 = r k n ( 一而) _ 1 2 一类亚式期权的定价 k = e qi r j h j _ k ) 1 月t 】 = e q r e f ( r ( 。灿s t e x p 南a ( s ) ( t s ) d s + 南r 口( 5 ) ( t s ) d w q ( s ) i ( 1 j ) 1 万t 】 = y s k 下面分别求蚝， y s = 萨【r 岛厶s r j ) i 五1 = e q r s t e x + x ，( s t e ；+ x e ，+ y ) 】 = r & 矿职【e x - - 1i ( 啊者一竹专洳一) 】 = r s t e z e 口曼( d 3 ) = r c l n ( d a ) ， v 6 = e q r j i ( g _ j ) i t t 】 = 2 羿 鼢e v + y ，( 最矿+ x & 叫+ y ) 】 = 鼢e y 庐【e a v v v - 匕7 矿：舞一卵专净司】 = p t d ，gl ? 一 ( 也) = r 2 n ( d 4 ) 由上即证明了定理2 8 硕士学位论文 推论2 9 ( 亚式平均价执行格看涨期权和看跌期权的平价关系) 在模型( j ) 下，亚式平均执行价格看涨期权和看跌期权在t 时刻的价 值有如下的平价关系 v ( t ，4 p ) = v ( t ，zc ) + e - j r ( s ) “s ( t ) e 印【专fa ( s ) ( 丁一s ) d s + j l u y 2 一 e - f r ( 4 灿& e x p f t ra ( s ) d s + ；露) 证由等式m a x s t j , 0 + j 一曲= m a x j 一岛，o ， 有p ( zzc ) + j s r = f ( 互4 p ) ， 进而有v ( t ，j , p ) = v ( t ，z c ) + e q r ( j 一曲) i 五】 = v ( t ，zc ) + e q r j y t 】一e q r s t i 万t 1 = v ( t ，zc ) + r & e 什西一r & e z + i 1 v x 2 证毕 推论2 1 0 在模型( ，) 下，亚式平均执行价格看跌期权在t 时刻的价 值是 v ( t ，j , p ) = r 2 ( 一也) 一r i n ( - d s ) 证由推论2 9 有 v ( t ，z p ) = r 痧i n ( d s ) 一n 枕n ( d 4 ) + r 仍一r e l = r 咖2 ( 1 一n ( d 4 ) ) 一聊l ( 1 一n ( d s ) ) = r 晚( 一d 4 ) 一r 1 ( 一d 3 ) 证毕 1 6 - 一类亚式期权的定价 3 新型亚式障碍期权的定价 障碍期权是一种收益结构依赖股票价格路径的奇异期权普通设置 的价格障碍只与有效时段的最值有关，本文根据市场特点，将价格关卡 与亚式平均联系，即只有在期权有效期内，标的资产的连续几何亚式平 均价格超过一个事先确定的值，该权益才生效将这样的期权应用于上 市公司的各级经理的激励措施中，必然能促进上市公司的更好的表现 本章讨论的障碍类型是上敲入的我们可以用类似的方法得到下敲入型 亚式期权的定价 3 1 市场模型及方法介绍 假定金融市场为一个带俨流的概率空间( q ，f ) 。0 ，p ) ，其中五表 示到t 为止市场所包含的信息，( 五) 伽满足通常条件，p 表示市场概率， 并假设该金融市场是连续的无摩擦的市场r ( s ) 是无风险利率，利息按 连续复利计算由第二章第一节的讨论可以知道，存在一个风险中性概 率测度q ，使得风险资产( 股票) 的价格过程满足下列随机微分方程 ( s ) 一三c r 2 ( s ) ) d 5 + t 仃( 5 ) d 叫( s ) ) ) = ( t ) e 印 ( r ( 5 )( s ) 一击c r 2 ( s ) ) d 5 + 仃( 5 ) d 叫( s ) ) ，t 面 ，t 其中t t ，是有效期内任意两个时刻点 叫( t ) ；t 0 ) 是概率q 下的标准 b r o w m 运动q ( s ) 是支付的连续红利率，口( 5 ) 表示股票的波动率，满足 条件 z r r ( t ) d r ，z t 弘( t ) d r k ，( o ，t 日) 】一e q e 一仃，( ) 山k i ( s r k ，( o ， 汀) 】 = 一 下面分别求和 k = e q 【e 一眉( 8 ) 凼s t i ( s t k ，( o ， 日) 1 = e q e j 丁r ( 8 ) d a 岛e 印 譬( r ( s ) 一g ( s ) 一 a 2 ( s ) ) d s + j a ( s ) d w ( s ) ) 丘s r k ，s ( o ，t ) 日) 】 = s o e - j 丁口。) 山e q e 印 管( 一 a r 2 ( s ) ) d s + fa ( s ) d w ( s ) ) 厶s r k ，( o ，t ) 日) 】 = 岛e 一石9 ( 。) 山e r s 拳 k ，弘( o ，? ) 日) = 岛e 一眉口( 5 ) c u p r ( 筇 k ，产( o ，t ) h ) = s o e i iq ( s 灿尸r ( 岛e 口a ( s 灿+ x 1 k ，岛e l l lj 。ta 1 ( s ) d 卧m 日) = s o e 一仃如) 山p 兄( 墨 l n 簧一j a 。( s ) d s ，m l n 蚤一孛鼻a 。( s ) d s ) = 岛e 一岳q ( s ) d s m ( d r ，谚，p r ) ， = e q e 一眉7 ( 。) 山k & s r x ，( o 胃) 】 = e 一詹( 5 ) 山k e q ( s r k ，j ( o 珍) = k e 一启7 ( 。) d s p q ( s t k ，( o ，r ) 日) = k e 一口r ( j ) 山尸q ( 墨 1 n 簧一j o t a ( s ) d 5 ，k l n 岛一亭舒a ( s ) d s ) = k e 一居( 5 ) d 8 m ( d l ，d 2 ，p ) 命题得证。 2 0 一类亚式期权的定价 推论3 4 ( 亚式上升敲入期权的平价关系) 亚式上升敲入看涨期权与看跌期权在0 时刻的平价关系是 v ( o ，h ；p ) ：v ( o ，h ；c ) + k e 一仃r ( s ) 如( c f 2 ) 一$ o e 一口口( 8 ) 如( d 参) 其中的d 2 ，露见定理3 3 证由等式m a x s t 一，o ) + k 一曲= m a x k 一曲，0 ) 可得 伊【e 一譬r ( s 灿( k 一昂) + 厶- ，( o ，r ) 日) 】 ：e o e 。r ( 。灿( s 一k ) + j ( o ， 日) 】一e q e - 口r ( s ) d 5 ( k 一曲) ，( ，( o ，t ) i t ) 即得v ( o ，h ；p ) ：v ( o ，日；c ) + e q e j 丁r o ) d 。( k 一昂) ，( ，( o ， 日) 】 ：y ( t ，h ，c ) + e 四【e j 丁r ( s ) 如k 厶，( o ，r ) 日) 】一e q e 一f 丁r ( s ) d 5 s t i ( j ( o ，t ) 日) 】 = v ( t ，h ，c ) + 一k ， v 3 ：k e 一口r ( s ) d s e q i ( j ( o ，t ) 日) = k e 一岳r ( 。灿p q ( j ( o ，t ) 日) ：k e 一口r ( 。( 如) ， k ：e q e j 丁r o ) d , s o e f o t a ( s ) d a + x 1 ，( j ( o ，t ) 日) 】 ：岛e f f q ( s ) d p r ( j a ( 0 ，t ) ) = 岛e 一口q ( s ) d 。( 谚) 证毕 推论3 5 亚式上升敲入看跌期权在开始时刻的价值是 v ( o ，日；p ) ：& e - 仃如山【 f ( d r ，d ，力一( d 参) 卜k e - 乒r ( 。冲【m ( d l ? d 2 ，p ) 一n ( d 2 ) 】 证由定理3 3 和推论3 4 易得 由上面的单限亚式障碍期权的推导过程，我们可以很容易地得到双 限亚式障碍看涨期权与看跌期权的定价公式下面以推论的形式给出双 限亚式障碍看涨期权的定价公式，看跌期权的定价类似 2 1 - 硕士学位论文 推论3 6设双限亚式障碍看涨期权在到期时刻t 的收益是( 勋一 ) + ，( g j ( o ，? ) 日) ，其中g k ， 一7 【m a x ( s r k ，o ) ，鼽k 4 2 新型亚式再装期权的定价 假设本节中所讨论的期权有效期为【o ，t 】，设乃( os7 1 t ) 是再装日， 现在用【0 ，丑】时间段上的亚式几何连续平均s ( o ，丑) 来代替上文收益中的 前两项的“最初的敲定价格”而当踬j ( o ，正) 时，重新设定收益为 仇昭 j ( 五，t ) 一鼽 这样的设定可以视为一种对比激励假设某些原因造 成在再装日表现不如这一段时间的平均表现，那么就用后一段时间的平 均表现与再装日的表现做一个比较，可以认为这么做是有实际意义的 通过这样的组合、派生，就得到一种新型亚式再装期权新的期权的到 期收益表示如下： 在正时刻的收益为：m a x 鬼一s ( o ，正) ，o 在t 时刻的收益为： f c l 加，= 篓五芸等二未，嚣未三裟象 上述期权在开始时刻0 的价值记为v ( o ，s ( o ，五) ；r ) 一类亚式期权的定价 是 定理4 1 在上述市场模型下，该新型亚式再装期权在0 时刻的价值 v ( o ：j ( o ，乃) ；r ) = 一k + k k + k k ， 其中，( ) 表示标准正态分布的累积分布函数，而 v l = 1 f i l n ( d l ( 0 ，乃) ) ，k = 妒2 n ( d 2 ( 0 ，t 1 ) ) = l z n ( d 2 ( o ，t 1 ) ) n ( d a ( t 1 ，t ) ) ， u = 矽4 n ( d 2 ( 0 ，t i ) ) n ( d 4 ( t 1 ，t ) ) ， k = o s n ( d s ( 0 ，t 1 ) ) n ( d e ( t l ，t ) ) ， k = q b 6 n ( d r ( o ，t 1 ) ) n ( d s ( t 1 ，丁) ) ， 饥= s ( o ) e 印 一铲( q ( s ) + o 2 ( s ) ) d s + 破，) ， 也= s ( o ) e 印 一口r ( s ) d s + 可l + 矗 ， 仍= s ( o ) e 印 层( r ( s ) 一口( s ) 一矿( s ) ) d s 一- j r ( s ) d s + i l u 噩2 + ；嚷) ， 饥= s ( o ) e 印 一f7 ( s ) d s + y x + 嚏】- ， 魄= s ( o ) e 印 - f r ( s ) d 5 + z l + 抛+ 畦。+ 吃) ， 讥= s ( o ) e 印 一j r ( s ) d s + z 。+ ；政。 ， d 1 ( o ，五) = d 3 ( 五，t ) = 警， d s ( 0 ，五) = - d l ， d 7 ( 0 ，噩) = - d l ， x 。= f o r ! a ( s ) d 叫( s ) ， 咒= r 小肌) ， m = 去a 矿( s ) ( 正一s ) d 伽( s ) ， ，d 2 ( 0 ，t 1 ) = d 4 ( 五，t ) = d 6 ( 正，丁) = 警， d 8 ( t 1 ，丁) = 互1 学t ， 2 5 - = j 1 ? 矿( s ) d s ， 口2 ( s ) d s 乃 ( 7 2 ( 5 ) ( 互一5 ) 2 d w ( s ) ， “ 一l正土川 = 一0 ：2 = 矗 噍 硕士学位论文 k = 南r 删t - s ) 州s ) ，吒= 而b ( t - 5 ) 2 州s ) ， 击铲0 - 2 ( s ) ( 丑一s ) d s p 。二。1 。一 仃x l 盯m z t = 口a ( s ) d ( s ) ，z 2 = 层a ( 5 ) d ( s ) ，a ( s ) = r ( 5 ) 一g ( s ) 一1 0 2 ( s ) ， y = 击铲口( s ) ( a s ) d ( s )，抛= 矗层伊( s ) ( t 一5 ) d ( s ) 证由风险中性定价原理可以知 v ( 0 ，j ( 0 ，噩) ；r ) = e q e 一岳1 ( j ) 由m a x 一j ( o ，t x ) ，o ) 】 + e q e - 聃油墨挚m a x s t s t , ，o ，( 吣j ( 0 训 + e q 【e 一詹( 。) d 。7 n 口z ( ，( 矸，t ) 一甄) ) s j ( 0 ，乃) ) 】 = 酽【e 一爿1r ( 5 ) d 。昂丘 s ( o ，孔) ) 】 一胡【e 一爿1r ( 5 ) d 3 j ( o ，噩) & - ，( o ，正) ) 】 + e q e 一层r ( 。) d 5 ，( o ，乃) 羞 ，( s n ，( o ，n ) ，s r s r l ) 】 一e q e 一眉7 ( 5 ) 出，( o ，丑) & 吼 j ( o ，n ) ，野 ) 】 + e q e 一层( 5 ) 如 ，( 死，t ) i ( s r ，s j ( o m ) ，( t l ，t 茹鼠) l e q e 一石7 ( 8 ) 出s n 丑s i 、s j ( o ，n ) ，j ( a ，t ) 岛) 】 三纡一巧+ 巧一巧手一t 下面分别计算k ，k ，k = e q e 一庐r ( s ) d a ，( 札 ，( 。，圳 = e 一俨r ( 。) 山岛e 俨 ( 珊，明【e x li 庐a ( 。灿+ x 。 击庐a ( 。) ( 丑一曲由+ 圳 = 岛e 一庐q ( t 帅2 ( 8 ) d 8e q e x tk m 一击驴a ( 恻】 由于x 。，m 是伊藤积分形式，可知 黄一( o ，1 ) 等一( o ，1 ) ，它们的相关系数为p 由第一章引理则有 = 妒1 ( d l ( 0 ，丑) ) k = e q e - 庐r 。) d s j ( o ：乃) 厶 ，( 。t 1 ) ) 】 一2 6 一类亚式期权的定价 = e f o t lr ( a 岛俨【e 寿层1 j 死一灿+ h x 。一n 一击驴 ( 。) 以。) 】 = 岛e 者俨炳- | ? 一庐r ( 1 灿e 口【e m 一h 一击泰) s d a ) 】 = , 2 n ( d 2 ( 0 ，n ) ) ， k = 职【e 一譬巾j ( o ，正) 砉丘 坤，n ) ，卸 ) 】 = 岛e 一层r ( ) 出e q 【印 击妒a ( s ) ( 噩一s ) d s + m ) e 印 e ta ( s ) d s + 拖 i ( x 。一h 一击庐a ( 。) 5 d l ，压a ( 。) 山+ 尥 。) 】 = 岛e 印 击铲a ( s ) ( 乃一s ) d s f r ( s ) d s + 层月( s ) d s e q 【e m + 拖k 。一m 一六庐a ( 。) 础，瑶a ( 。d s + 恐 。) 】， 由于恐与簟，k 是相互独立的，且老一n ( 0 ，1 ) ，故 k = 砂3 e q e m ，( x 。一h 一击驴a ( 。) 。出) e q 【e 尥，( 赝a ( 。) d a + x 2 0 ) = 妒3 e x 2 + 女咆n ( d 3 ) ( d 4 ) ， k = e q e - 詹r ( 。冲j ( o ，丑) ，( 吼 ，( 。，t x ) ，岛 ) 】 = 岛e 一口r ( j ) 由萨【e 印_ 【去铲a ( s ) ( 五一s ) d s + y 1 ，( x 。一 一击庐a ( s ) l d l ，盔a 扣) a s + x 2 o ) 】 = s o e 印谤铲a ( s ) ( 丑一s ) d s f r ( s ) d s e q e y l i ( x 。一h 一击j 川。) n 司e q x c f 磊 = 讥( c f 2 ( 0 ，冗) ) ( d 4 ( 正，丁) ) a 抽) 山+ 尥 o ) 】 k = 互叼【e 一口r ( 神如正n ，r ) ，( 。，死) 。 t 1 s ) 】 = 庐【e 一口巾) d 3 鼠e 印 矗层盯( s ) ( t s ) d ( s ) + k ) 溉一m s 一击妒a ( 。) 由，溉唧 南焉，( s ) 留一。) d ( 。) + 毪) 】 = s o e 一仃r ( 8 ) 山e q 【矿1 + x 1e 搬+ 屹丘m 一置 霉l n ，搬+ 屹 o ) 】 = 岛e 一口r 。灿托l + 帆e q e x , ，( m 一托寿庐 ( 。) 。由) 】e ? e 硷，( b 一搬) 】 = 讥n ( d s ( o ，五) ) ( c f 6 ( a ，7 1 ) ) 最后计算k k = e q e - f r ( 。) d 5 黾& j ( n ，乃) ，j ( n ，t ) ) 】 2 7 硕士学位论文 = e - l gr 5 汕s o e f r la ( s ) d s 职妒，( x 。一m s 一击俨a ( 。耽+ y 2 1 ) 1 = 岛e 层r 曲融恫e 口 e x t x 。一k s 一击伊 ( 。川l z 口 一抛) = 讥n ( d 7 ( 0 ，7 1 ) ) n ( d s ( t 1 ，t ) ) 定理得证 2 8 一类亚式期权的定价 5 新型亚式经理期权的定价 本文针对公司经营可能出现的情况，设计了一种新型亚式经理期权， 利用风险中性定价方法给出了此期权价