（理论物理专业论文）paul阱中两离子量子力学问题.pdf

湖南师范大学硕士学位论文 o 1中文摘要 离子阱已被广泛应用于科学和技术研究的各个领域。尤其是近 几十年来，人们以离子阱为工具，把激光冷却技术应用于离子阱， 为制造新材料、观察新现象、获得新的知识，提供了广泛的实验基 础。同时离子阱技术也推进了量子计算和量子通信等一些具有诱人 的应用前景的理论研究。随着离子阱和激光冷却技术的发展，当人 们可以将囚禁的离子冷却到极低温度甚至达到量子力学的基态的水 平时，对该体系的处理必须采用量子力学的理论与方法。虽然已有不 少文献对多离子体系的经典与量子动力学特征进行了深入的研究， 但包含库仑关联的两离子系统是理论研究的基础，仍有进一步研究 的必要。 因此本文对p a u l 阱中囚禁两离子的量子力学问题进行了更加深 入的研究，主要内容如下： 第一章主要介绍了p a u l 阱的基本原理，囚禁少体离子系统研究 的历史和现状。 在第二章中，我们研究囚禁在线性p a u l 阱的谐振子势场中的两 离子系统。考虑两离子之间的库仑关联，在已知的s c h r 6 d i n g e r 方程 的精确解的基础上，我们设计程序计算了精确解一一包含展开系数 和系统的能谱。通过对两离子系统的量子力学问题分析，得到了精 确量子态对实验参数的要求。结果对以该系统为基础的量子逻辑操 作和量子器件设计等提供了理论参考。 在第三章中，我们把上述结果推广到赝势近似下p “l 阱中的两 离子共面系统。已知对于p a u l 阱中的两离子系统，如果阱的参数满 足一定的关系，离子可以被囚禁在z 一一目平面上。我们研究了库仑 关联的共面两离子系统s c h r 6 d i n g e r 方程的精确解，以此为基础，分 析了系统的某些量子现象，包括系统的能级和量子态等。由于除了 相互作用取赝势模型之外，该精确解不依赖其它假设或近似，因此 它可以较准确地描述p a u l 阱中囚禁离子体系的量子力学行为。 i i 湖南师范大学硕士学位论文 第四章是对本论文研究工作的总结，并对p a t ，l 阱中囚禁两个离 子的量子力学研究作了一个展望。 本文中，作者的研究工作主要集中在第二章和第三章。 关键词：p a u l 阱，囚禁离子，能带，微扰法，纠缠，量子逻辑操 作，激光边带冷却。 中图分类号：0 4 1 31 ，0 5 6 2 4 塑鱼堑兰查兰丝圭兰竺篁兰：! ! ! 0 2 a b s t r a c t i o nt r a ph a sb e e nw i d e l yu s e di nv a r i o u s 丘e l d so fs c i e n t i 6 ca n dt c c h n i c a lr e s c a r c h e s r c c e n t l y ，a st h ed e v e l o p m e n to f l a s e r - c o o l i n gt e c h n o l o 目0t h e i o nt r a ph a sb e c o m ca ne m c n s i v ee x p c r i i l l e n t a jt o o lf o rm a k i n g1 1 e wm a t e r i a l ， o b s e r v i n gn e wp h e n o m e n o na n do b t a i n i n gn c wk n o w l e d g e e s e c i l l mt h et e c h n o k g yo “o um 巾s u p p l i e de x p e r i m e n t a ls u p p o r tf o rq u a n t u i nc o m p u t i o na n d q u a n t u mc o m m u n i c a t i o nt h e o r i e s ，w h i c hi m p l yi m p o r t a n t 印p l i c a t i o n so f1 1 i g h t c c h n o l o g 矿 w h e nt h et r a p p e di o n sa r ec 0 0 1 e dt on e a rq u a n t u 卜m c d h a n i c a l g r o u n ds t a t e ，t h cs y s t e mi sg o v e r n e db yt h eq u a n t u r n _ m c c h a n i c a lp r i n c i p l e a n dt h eq u a n t u mm c t h o di sn e c e s s i t a t e df o ri n v e t s t i g a t i n gt h es y s t e mt h c r c b y a l t h o u g hs o m ec l a s s i c a l 锄dq u a n t u md y n a m i c a lc h a r a c t e r so fm u l t i i o ns y s - t e m sh a v eb e e ni n v c s t i g a t c di nt h ep r e v i o u sw o r k s ，i ti sn e c e s s a r yt of u r t h e r s t u d yt h ec o u l o m b c o r r e l 曲甜t w 廿i o ns y s t e m ，b e c a u eo fi t 8i m p o r t a n c e i nt l l i sd i s s e r t a t i o n ，t w oc o u l o m b c o r r e l a t c dp a u l t r a p p e 丑i o i l sa r et r e “e d d c c p i ya n dt h em a i nr e s u l t s ”ec o n c e n t r a t e da st h ef o l l o 而n g ： i nt h e 矗r s tc h a p t e r ，t h eb a s i cp r i n c i p l eo ft h ep a 肛lt r a pi sb r i e h yi n - t r o d u c c d ) a n dt h ch i s t o r y ，p r o g r e s sa n dd e v e l o p m e n tf o rt h er e s c a r c ho ft w o t r a p p e di o n sa r cp r e s e n t e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h eh a r m o n i c a l l yc o n 6 n e dt w oi o n si nal i n e a r t r a pa l ec o n s i d e r e dt a k i n ga c c o u n to ft h ec o u l o m bc o r r e l a t i o nb e t w e e nt h e i o n sa n db 豁e do nt h ek n o w ne x a c ts o l u t i o n so fs c h r 6 m n g e rc q u a t i o no ft h e s y s t c m 】w cc s t a b l i s han u m e r i c a lp r o 铲a mt oc a l c u l a t et h ec x p a n s i o nc o m - c i e n t sa n de n c r g ye i g e n v a l u e sc o n t a i n e di nt h ee x a c ts o l u t i o n s b ya n a l y s i n g t h eq u a n t u m m e c h a n i c a lb e h a v i o ro ft w oi o n s ，w eo b t a i nt h ee x a c tq u a n t u m s t a t e sw i t hp a r a m e t c r si nt h cc x p e r i m e n t a lr e g i o n t h er e s u l t 8s u p p l yt h e o r e t i c a ls u g g c s t i o n sf o rt h eq u a n t u ml o g i c a lo p c r o t i o n s 蛐dq u m t u ma p p a r a t u 8 d c s i g n s 1 nt h et h i r dc h a p t e r ，w cc x t e i l dt h ea b o v e _ m e i l t i o n e dr e s u l t st oap l a n a r t w o - i o ns y s t c mu n d e rt h ep s e u d o p o t e n t i a la p p r o x i m a t i o no fp a u lt r a p i t i s i v湖南师范大学硕士学位论文 w c l l k n o w nt h a tt h ct w oi o n sc a nb et r a p p c do nz yp l a n ef o rt h es u i t a b l e d a r a m c t e r s w cc o n s t r u c tt h cc x a c ts o l u t i 。n 。fs c h r 6 d i n g c rc q u a t i o i lf o rt h c c o p l a n a r i t yt w 伽i o ns y s t e m b a s c do nt l l cc x a c ts o l u t i o n ，w cs h o ws o m ei n t c r _ e s t i l l gq u a n t u mp h e n o m e n o n so ft h es y s t e m ：i n c l l l d i n gt h eq u a n t u m 1 e v e la n d s t 砒ea n ds oo n t h ee x a c ts o l u t i o nd o e s td e p e n do nt h eo t h e r 艄s u m p t i o n a n da p p r c ) ( i m a t i o n ，e x c e p tt h ep s e u d 。p o t e i l t i a la p p r o x i 1 a t i o n t h e r e f b r e ，i t c a nd c s c r i b ct h eq u a l l t u 卜m e c h a n i c a lb c h a v i o ro ft h cp a u l 一t r a p p e di o ns y s t c m a c c u r a t c l 矿 i nt h el a s tc h a d t e r s o m ec o n c l u s i o n so nt h cw o r ka r ed r a w c da n dt h e o l l t l o o ko nt 1 1 eq u a n t u mb c h a v i o ro ft r a p p e di o n sa r eg i v e n 1 nt h ed l s s e r t a t l o n ，t h em a i nw o r k sa r ei n c l u d e di nc h a p t e rt w oa n dt h r e e k e yw o r d s ：p a u lt r a p ，t r a pi o n e n c r g yg a p ，q u a n t u mi n 矗n i t e s i m a ld i s _ t u r b a n c e ，e n t a n g l c ，q u a n t u ml o g i co p c r a t i o n ，i k s o l v c ds i d c 。b a n dc o o l i n g 湖南师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 前言 量子力学诞生是二十世纪中人类最伟大的成就之一。量子力学 为描述自然现象提供了一个全新的框架，现在人们认识到量子力学 不仅是现代物理学的基础，而且也是化学、生物学等其他学科的基 础。此外，量子力学还导致了半导体、光通讯等新兴工业的崛起， 并为激光技术的发展、新材料的发现和研制以及新型能源的开发等 开辟了新的技术途径。半导体理论和半导体器件研究的进展为计算 机革命铺平道路，而计算机革命给人类社会和技术进步所带来的影 响是无法估计的。为了探索和研究分子、原子和离子等微观粒子的 内部结构和运动规律，物理学家希望运用量子力学的基本原理去驯 服微观粒子。把少量的离子囚禁起来，与周围的环境隔绝，使离子 的运动不受任何外来影响，并以种种手段对其各种性质进行探测， 有利于人们了解和认识客观世界，离子阱【- m 】技术的发展实现了人 们这一夙愿。故近年来，离子阱已被广泛应用于科学技术研究的各 个领域。 理论研究表明p a u l 阱囚禁离子系统3 】有复杂而多样的运动 特性，实验也揭示出它是人们借以认识客观世界的武器。由于离子 阱具有消相干较小、其量子态易于用激光场来来操纵等优良的特性 【5 9 】 6 1 刀】，被广泛地运用于许多科学研究中。在众多的离子阱中，p a u l 阱在量子逻辑操作 2 “，“、量子信息【m 。“、量子态工程【n 0 。m t - ，w 、 量子力学基本原理检验 ”。阳e 邡挪一 、量子计算【n 。娜s 1 的演示 和原子的精确谱【”_ 1 4 l 等方面已显示了不同寻常的能力，并有望得 到进一步的发展。本章中主要对p a u l 阱的原理作一介绍，并简要对 囚禁少离子的研究历史作一简单的回顾。 p a u l 阱 1 2p a u l 阱的原理 湖南师范大学硕士学位论文 p m ，1 阱【- 】是利用电荷与电磁场区的相互作用力来控制带电粒子 的运动，以使其局限在某个小的范围内。p a u l 阱构造 。i 如图11 ， 阱体主要可分为三部分：是由内表面为旋转对称的共轭双曲面所构 成的一个环电极和上下两片圆盖状电极( 帽极) 组成。 在p a u l 阱中，采用在环状电极与两个帽极间加的直流电和加 一个射频场c o s f h 交变信号的方法，则在阱中产生一个随时间快 速振荡的含时周期势。一定条件下，这样的势场可以束缚住离子( 阱 的基本结构如图1 1 ) 。在两个帽电极与环形电极间是+ c o s n ， 其中v 。代表射频振动的交流成分。如此，则随时间变化的电势为1 1 - ，垆鬻( r 2 其中r 2 = 。2 + 9 2 ，n 为交流电压角频率，凰是p a u l 阱环极最小半 径，2 是p a u l 阱两帽极间最短距离，离子在空间的坐标( x ，y ， z ) 。假没离子带电荷+ q ，质量m 。离子在囚禁势场即方程( 11 ) 中的运动方程【a t l 为 引进无量纲参数 q v = 一q z q 糍产z 4 q 糍产z 7 = i 。 4 q 一”。2 忑可丽 2 q c o s ( q ) q = 啦= 的= = 而爵研 ( 12 ) ( 13 1 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 湖南师范大学硕士学位论文 3 心 图1 1p a u l 阱外观与结构图。( a ) 外观图； ( b ) p a u l 阱结构；( c ) p a u l 阱阱体构造剖面图 4湖南师范大学硕士学位论文 由方程( 1 1 ) ，( 12 ) 得到一个标准的、i a t h i c u 方程6 1 7 - 2 9 j ；i i + c 。+ 2 q c 。s2 r ， 2 。 = 。 根椐f 1 0 q u e t 定理，方程( 16 ) 具有如下形式的解【2 ”2 q 饥( r ) = q e ，7 ( q 。一2 ”) + b ：e 一1 7 ( q 。e 掣”) p 一。 f 1 6 1 ( 1 7 ) 其中”。分别代表z ，。，7 = n + j 3 ，1 由参数n 与q 决定。 式( 16 ) 是三个非耦合的m a t h i e u 方程。从数学中关于微分方程的 讨论我们知道这样的运动有稳定区和不稳定区【”1 。7 的取值将决 定m a t h i e u 方程( 17 ) 的解是否稳定，只有当参数a 和q 处于稳定 区时，粒子才可被囚禁于阱中。1 取值与稳定性的关系f ”】如下： 1 ，是实数，且不为零。1 将随时间无限增加，解是不稳定的； 27 是一般复数( 其实部不为零) ，解不稳定的； 3 1 = j m ，m 为整数。，y 具有周期性，但不稳定； 47 = j 卢，卢是不为整数的实数。解具有周期性，且稳定。对 于稳定解7 = ，卢，式( 1 7 ) 可表示为 。 地( r ) = a ： 岛。c 。s ( 2 n 十卢) r 。一”( 1 8 ) + b ：【( 乃。s j n ( 2 n + 卢) t 2 = 1 ，2 ，3 ， n 一 其中4 。= 州+ 倒，玩= 州一耳，尻= 岛= 成。( 18 ) 式描述了 带电离子的运动轨迹，用原来的量纲单位表示( 1 8 ) 式，则 q ( 丁) = 1 。 q 。c o s ( n 凡+ u ) 一 + 强 国。s 州n n + u ) ，i = 1 ，2 ，3 t 一。 ( 19 ) 湖南师范大学硕士学位论文 5 n 口 u2 下 u 是离子运动的久期频率( s e c u l a rf r e q u e n c y ) 。卢 1 ，l 鲁l 1 1 ，离子的运动可以看作频率为n 的快微运动和频率为u 的慢久期 运动( s c c u l a rm o t i 。n ) 组成，微运动频率f 2 是囚禁场固有的，久期 频率u 反映了离子运动主要特征。在研究离子运动时，常用赝势阱 方法。赝势模型的基本思想就是将离子的微运动“平均捧，用一个 三维轴对称的谐振势作为含时周期囚禁场的近似。在赝势模型下， p l 阱的囚禁场赝势 毋：罢( u ：r z + u 这就是p a u l 阱囚禁离子的原理。 由于p a u l 阱易于产生较深的势阱，并且可以采用冷气体进行“缓 冲冷却”，第一个离子囚禁实验就是在这样的阱中完成的【“。但由 于采用射频场来束缚离子，除了中心点处外，离子处于其它位置时， 都会和射频场发生作用，使得粒子的微运动动能增加，也就是所谓 的“射频加热”。这种情况限制了p a u l 阱中可同时囚禁的粒子数。 线形p a u l 阱鲫q 图1 1 结构的p a u l 阱中，当离子因运动而偏离中心点时，就会经 历“射频加热”。另外，如果阱中同时有多个离子，由于相互间的库仑 排斥作用，使得离子无法处于阱中心的位置，并且由于越是偏离中 心，射频加热越是明显，这样就限制了p a u l 阱中一次可同时囚禁的 离子数目。线形阱的模型就是在一条线上没有射频加热。最初人们 是把直线形的质谱仪弯成环形，中间形成一条闭合的路径，粒子在 这条线上不会受到射频加热的影响。美国n i s t ( t h en a t i o n l i n s t i t u t eo f s t a n d ”d sa n dt e c h n o l o g y ) 的离子阱小组则设计了一个直线形的p a u l 阱【“，不仅在径向上对离子形成束缚，而且在轴向上也有一个可以 调节的束缚势。直线形阱的结构如图【4 5 】1 2 b 所示，四个截面为双曲 线的柱形电极构成。加上图示的电压曲。后，电极间的电势分布为 灿：沪鑫( 护一2 ) 6湖南师范大学硕士学位论文 卜j 蠢i 一 ( o y ， l _ x 一靠j 2 图12 直线形阱示意图中间为中心线上囚禁的离子，它们的 射频加热很小。由于轴向束缚势的存在，离子在中心线上的位置 相对电极是固定的。可以准确定位( 取白s t c a na ，1 9 9 0 ，a p p l p h y 8b6 4 ：6 2 7 ) ( a ) 与( b ) 为示意图；( c ) 图( b ) 的场等势线图。 湖南师范大学硕士学位论文 7 如果象p a u l 阱中一样，在电极间除了直流外，也加上射频振动 的交流成分，即令= + c o ss w 。在这样的势场作用下，带电 十q 的离子在其中的运动方程为 i 砉 ： + 。+ z a 。s z r 】 ：。 = 。 ( 1 1 3 ) 其中n = 杂，q = i 警糯。这里离子的运动方程仍然是m a t h i “方 程。对于一个特定的阱，确定了合适的参数后，a 与q 仅与q m 有 关，也就是说荷质比将完全决定离子在径向方向的运动是否稳定。 沿着轴向注入离子后，离子在轴向方向将作自由运动，径向运动则 受该四极电场的影响，从而只有质量在一定范围的离子可以通过， 其它的离子则由于a ，q 处于m a t h i e u 方程的非稳定区而最终撞上 电极。这样的基本原理可应用于对不同质量的离子的检测，例：可 以用于同位素的精确检测。 将这种直线形结构的阱弯成环形并首尾相连，则在中心线上没 有射频加热，可以较稳定地束缚住离子。由于轴向上没有束缚力， 离子可自由地沿轴向运动，不利于对离子的精确定位及操纵，因此 人们又设计了可以在轴向加上束缚势的直线形p a u l 阱，其结构如图 12 a 所示口1 _ “。四个柱形电极被分别割成长短两截，并分别加上 一个静电势。这样，在中心附近可以形成一个附加的四极势。在图 中所示的势场作用下，可以对带正电荷的离子形成轴向的束缚力。 该电场会对径向射频场形成的束缚势有一定削弱，但只要调节参数 合适，该结构可以用于从三个方向上来束缚离子。这个附加的四极 电势在中心附近可近似表示为： 虻等妒；( 舻w ) 】= 老一；( 扩硝) 】 ( 1 1 4 ) 其中u 。= ( 等) ，而k 则是与阱的几何结构有关的一个常数。 径向的射频场+ c 。s m 记为咖，则离子在阱中受力为 f = 一q v ( 妒l 十咖) 8 湖南师范大学硕士学位论文 q 是离子所带电量，由于钆是含时的，因而这样的体系求解并不容 易。事实上关_ i 二 i a t h i c u 方程的研究表明，在n q 2 z 。) ，谐振频率为”，则系统的h a m i l t o n i a n 为： ，= 熹( n 瑚+ ；( n 固+ 丽盂 ( 2 1 ) 在质心坐标和相对坐标下，令 z 。= 半，p c = m 。也，m 。= 2 m m 7 = z 2 一z 1 ，p r ：m r 7 ，嘶= i 取分离变肇形式的波函数和能量 妒= 仇( 甄) 妒，( r ) ，e 一玩+ b 则质心运动和相对运动的s c h 而d j n g c r 方程分别为 脚= 一差篆专珈。= 础。 m = 一芸箬+ 吼，+ 蒜协= 聃 ( 22 ) ( 2 3 ) f 24 1 f 25 1 f 2 6 1 式( 25 ) 为质心运动的s c h r i d i n g c r 方程，它描述一个标准的一维谐 振运动，令 = ( ”等) v 2 f 2 7 1 湖南师范大学硕士学位论文1 3 代入( 2 5 ) ，可得质心波函数和能量表达式为：。】 咖。= 妒。= b 。( z 。) e x pf & = = ( n + ；) 帆n = o ，1 ，2 ( 28 ) ( 29 ) ( 2 8 ) 式中的晶是一个常量，风( a 。z 。) 是i i e n i t i a n 多项式。将 ( 2 8 ) 与( 2 9 ) 两式代入( 24 ) 式，考虑波函数的归一化条件 ，：妒：。蚓。z 。= l 可得 耻( 尚) v 2 ( 26 ) 是描述相对运动的s c h r j d i n g e r 方程，已知它有截断级数解 并且阱频与截断常数f 有关。令v 一及常量 嘲= ( 等) v 2 = 扛 巩= 彘( 嚣) v 2巩2 瓦i 两j 则( 26 ) 式的精确解为【。3 】 山妻嗣唧( 一2 ) ；，。t = 0 、 日：磷? ：( f + ；) 胁，b 1 ，2 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 其中整数f 十1 为截断后( 2 1 3 ) 中级数的项数，展开系数满足方程 2 6 】 g = g j ，巩= g 一2 ，一巩a + 2 q1 = o ， ( f = 1 ，2 3 ，)( 2 1 5 ) 湖南师范大学硕士学位论文 1 c tc tc zc 2c i 01 o 1 0 2 7 2 19 9 4 1 0 o 4 23 0 5 1 0 56 32 8 7 1 0 1 7 8 473 6 1 0 3 l 5 5 5 1 0 2 52 22 0 4 1 0 44 31 4 0 1 0 06 4 43 9 1 0 1 88 5 81 3 1 0 耻 210 3 1 0 2 2 2 33 8 2 1 0 “ 4 4 60 5 1 0 一o6 5 64 l 1 0 一1 98 6 87 8 1 0 一：； 39 d 9 1 0 2 1 2 46 5 4 1 0 44 524 7 1 0 一66 68 9 5 1 0 一2 08 710 0 1 0 4 ( 4 52 6 1 0 一1 92 510 3 1 0 4 4 695 8 1 0 7 6 71 1 9 1 0 2 18 81 0 6 1 0 4 519 4 1 0 一1 72 614 8 1 0 3 4 73 5 1 1 0 一6 81 5 3 1 0 一2 18 911 2 1 0 4 ： 65 1 0 1 0 一1 62 71 ，9 7 1 0 3 4 81 2 2 1 0 6 9 1 8 9 x l o 2 2 9 0l ，1 9 1 0 4 ： 71 0 0 x 1 0 一1 42 824 3 1 0 o 4 94 0 0 1 0 叫7 02 2 4 1 0 2 39 l1 3 9 1 0 4 ： 8 1 5 4 1 0 一1 32 92 7 7 1 0 3 5 012 4 1 0 一87 1 25 8 1 0 2 4 9 21 7 5 1 0 4 91 8 7 1 0 1 23 02 9 3 1 0 3 5 l3 6 6 l o 一97 228 9 1 0 2 59 31 6 8 1 0 “ 1 0167 l u ! 13 l2 岛8 x i u o a z l0 2 i u o 乃 3 l f 上【j u9 4ld 0 1 0 4 ： 1 1 1 5 4 1 0 l o3 22 6 4 1 0 35 32 7 2 1 0 一1 7 4 34 2 1 0 2 7 9 514 2 1 0 一4 j 1 210 8 1 0 9 3 32 2 6 1 0 3 5 46 8 5 1 0 1 7 53 6 6 1 0 一2 89 62 ，6 7 l o 一4 1 364 1 1 0 93 41 8 0 1 0 35 51 6 4 1 0 一1 17 639 0 1 0 一舶9 725 8 x 1 0 4 1 433 0 1 0 8 3 513 5 1 0 45 63 7 3 1 0 一1 ：7 74 1 7 1 0 3 00 874 7 1 0 一5 f 1 514 8 1 0 73 6 94 5 1 0 45 78 0 6 1 0 1 ： 7 844 7 x 1 0 一3 19 9 23 1 1 0 一5 1 658 3 1 0 一73 762 2 1 0 4 5 8l6 6 1 0 1 ： 7 94 8 2 1 0 一3 21 0) 37 6 1 0 一5 ： 1 720 3 1 0 6 3 838 d 1 0 一45 932 3 1 0 _ 1 8 05 2 2 1 0 一3 3 1 86 3 1 1 0 6 3 922 3 1 0 “ 6 060 1 1 0 1 ： 8 l5 6 7 1 0 3 4 1 91 7 6 1 0 _ 54 01 2 2 1 0 4 6 11 0 6 1 0 1 8 26 2 0 1 0 2 04 3 9 1 0 54 16 2 8 1 0 一。6 217 9 1 0 1 8 36 7 6 1 0 3 6 湖南师范大学硕士学位论文 1 5 ( f j ) ( f 一，+ 1 ) q j 一们q 1 1 + 2 0 + 2 ) a j 一2 = o ( f = 1 ，2 ，3 ，；j = o ，1 ：2 ，f 一1 ) 式中f 为相对运动量子数。由式( 21 6 ) 出发，利用m a t h c m a t i c a 程 序 i h b l e ( f 一) ( f j + 1 ) g 【j 一卅g 一2 g 口一j1 + 2 ( ，+ 2 ) c t 口一j 一2 = = o ，u 一1 ，f 一1 ) 1 可得f 个方程。将它们与方程g 1 】= e 【2 上1 】= o 和 ( 2 1 5 ) 联立，使用m a t h e m a 缸c a 的s 0 1 v e 命令，可解出对于任意2 的所有展开系数g = g m 和常数吼= e - 2 。当相对运动量子数取 f _ 1 0 0 时，可求得多组不同的展开系数和巩值，其中与一。的最大 值口l o o ，1 = 1 1 1 0 1 3 对应的一组1 0 1 个展开系数见表2 1 。由( 2 1 2 ) 可 见，最大咖。值对应于最小的阱频o 将表2 1 中的系数g 代入相 对波函数的归一化条件 7 a 圳2 l 娄g c “一”le x - ( 一；a ：产) 1 2 a r = 数值计算得相对运动归一化常数a 啦0 0 = 39 6 5 1 0 、西面 2 3精确的离散谱 当相对量子数2 一1 0 0 时，由( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) 两式出发，数值 计算可得一系列离散的咖。值，包括复值解、零解和负值解。在以下 的表述中，我们用。表示对于同一个f 的第个m 值。椐( 21 2 ) 式所表示的咖呲的物理意义，嘶雌应为实数，故应舍去复值解。 又因两个电子的相互作用为非零斥力，故零解和叽。为负的解应舍 去。椐公式( 2 1 2 ) 和( 21 4 ) ，有 = 熹( 淼) 。2 ，硪= ( z + i ) ， ( 2 1 8 ) 湖南师范大学硕士学位论文 表2 2f _ 1 0 0 时的频率和能量值 盎 盯1 0 0 *o o ，k ( i i z )霹。( e v ) 七 盯1 0 0 1 0 n ，k ( h z ) 碟；】0 。 ( c v ) 11 1 1 0 16 6 8 1 0 1 04 4 7 x 1 0 3 1 4 1 8 862 3 l 1 0 1 215 5 1 0 0 21 0 9 0 369 2 1 d 1 04 6 3 1 0 31 51 7 0 ，228 4 1 0 1 21 9 0 1 0 1 37 7 491 3 7 1 0 1 191 7 1 d 一31 61 5 2235 5 1 0 1 22 3 8 1 0 1 44 6 0 03 8 9 1 0 1 126 0 1 0 一21 7 1 3 4645 d 1 0 1 23 0 4 1 0 “ 53 4 3 76 9 6 1 0 1 l 46 6 1 0 一2 1 81 1 7 459 7 x 1 0 1 23 9 9 1 0 1 63 4 2 87 0 0 1 0 1 l46 8 1 0 2 1 91 0 0 781 l 1 0 1 25 4 3 1 0 一1 73 4 1 370 6 1 0 儿4 7 3 1 0 2 2 08 d 511 5 1 0 1 377 2 1 0 0 83 0 4588 8 1 0 1 15 9 4 1 0 22 1 6 881 7 4 1 0 1 31 1 6 9 2 8 63 10 0 1 0 1 2 6 7 2 l o 一2 2 25 3 72 8 6 1 0 1 319 1 1 02 6 5711 7 1 0 1 27 8 0 l o 一22 33 9 253 6 1 0 1 33 5 9 i 一1 1 2 4 6 013 6 1 0 1 29 1 0 1 0 一22 42 5 41 2 7 1 0 1 48 5 2 | 1 22 2 651 6 0 1 0 1 2 1 0 7 1 0 12 51 2 45 3 3 1 0 1 4 3 57 1 32 0 7 41 9 l 1 0 1 21 2 8 1 0 _ 1 表2 3b 8 0 时的频率和能昔值 序盯8 0k o ，k ( h z )碟j 。( e v ) 序 盯8 0 地o ，k ( i z )耳氛( c v ) 号号 17 9 7 512 9 x 1 0 1 169 5 x 1 0 31 72 3 1 51 5 3 1 0 1 282 5 x 1 0 2 27 6 7 41 3 9 1 0 1 1o 7 5 1 0 21 82 1 3o 1 8 1 1 0 1 2 9 7 5 1 0 2 36 1 5 22 1 7 1 0 1 l1 1 6 1 0 一2 1 91 9 d 821 7 1 0 1 2 1 1 6 1 0 1 45 8 3l24 1 1 0 1 l1 3 0 1 0 一22 01 7 7 o26 3 1 0 1 21 4 1 1 0 一l 55 7 8024 6 1 0 1 l13 2 1 0 2 2 11 5 9 63 2 3 1 0 1 217 1 1 0 “ 65 5 652 6 6 1 0 1 1 14 3 1 0 2 2 2 1 4 26 40 5 1 0 1 221 7 1 n 一1 75 2 0 83 0 3 1 0 1 1 1 6 3 1 0 2 2 3 1 2 6051 8 1 0 1 22 7 9 1 0 1 83 9 0254 0 1 0 1 129 0 1 0 2 2 4 1 0 986 8 3 1 0 1 236 7 1 0 1 93 8 7 o5 1 9 1 0 2 9 5 x 1 0 2 2 59 4 09 3 0 l ( ) 1 25 o o 1 0 一1 1 03 8 2 256 3 1 0 儿3 0 2 1 0 2 2 67 8 81 3 2 1 0 1 3 7 1 2 1 0 1 1 13 4 6 268 6 1 0 1 l3 6 9 x 1 0 一22 7 6 4120 1 x 1 0 1 31 】8 1 23 3 0 27 5 5 1 0 1 l4 0 6 1 0 2 2 84 9 933 d 1 0 1 31 7 8 1 33 0 8586 4 x 1 0 1 l 46 5 1 0 2 2 9 3 6462 2 1 0 1 333 4 1 42 8 9l9 8 4 1 0 1 1 52 9 l o 一23 02 36 1 4 8 1 0 1 479 7 1 52 6 9 51 1 3 1 0 1 2 6 0 9 1 0 2 3 11 1 56 2 4 1 0 1 43 3 5 1 g： 313 l 、：l 小r 1 5 i j 一2 湖南师范大学硕士学位论文 1 7 e ( 1 0 e v ) 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 、，( 1 0 1 0 h z 图2 1 ：细虚线表示f = 1 0 0 时频率一能量图，实线表示f = 8 0 时频率一能量图，粗虚线表示f = 5 0 时频率一能量图，图像近似为 三条直线，表明对r 同一2 ，频率与能量成线性变化。 表2 4c = 5 0 时的频率和能量值 序 口j 0 坞o ，k ( h z )磅盟。( e v ) 序 口b 0k 坫o ，k ( h z )霹( e v ) 号 号 七七 13 9 2 25 3 5 1 0 1 l 18 2 1 0 2 1 3 1 7 26 2 7 6 x 1 0 1 29 3 8 x 1 0 2 23 7 2 259 4 1 0 1 120 2 1 0 一21 41 5 6 43 3 6 1 0 啦1 1 4 1 0 一1 33 5 256 6 2 1 0 1 12 2 5 1 0 2 1 51 1 0567 3 1 0 1 32 2 9 1 0 1 43 3 3174 2 1 0 1 l 25 2 1 0 2 1 69 61 89 1 1 0 1 23 0 3 1 0 1 53 1 3983 5 1 0 1 l 2 8 3 1 0 21 78 2 ，1 1 2 2 1 0 1 34 1 5 1 0 1 62 9 519 4 5 1 0 1 13 2 1 1 0 21 8 6 8517 5 1 0 1 359 5 1 0 一l 72 7 661 0 8 x 1 0 1 23 6 5 l o 2 1 9 5 5526 7 1 0 1 390 6 1 0 一l 82 5 841 2 3 1 0 1 241 8 1 0 一22 04 3 14 4 3 1 0 1 31 5 0 92 4 0 61 4 2 1 0 1 24 8 3 1 0 一2 2 14 07 4 9 6 1 0 1 31 6 8 1 02 2 3 01 6 5 1 0 1 256 2 1 0 2 2 23 1 3 8 4 1 1 0 1 328 6 1 12 0 5 819 4 1 0 1 26 5 9 1 0 一22 32 0 120 2 1 0 1 4 6 8 7 1 2 1 8 9o23 0 1 0 1 27 8 2 1 0 一22 49 7 98 5 9 1 0 1 42 9 2 1 8 湖南师范大学硕士学位论文 由b1 0 0 时计算所得弧的值，代入上述公式可求出对应的频率 。和相对能量磅是当上式中质量取自由电子质量时，所得结果见 表22 ，其中频率按大小顺序排列。与最大值嘶0 1 = 1 1 1 0 1 3 对应的阱 频为66 8 l o m 赫兹，接近实验中能实现量级。如果取囚禁粒子为两 b e 离子，则表22 中所有的阱频将增加两个数量级，达到太赫兹量 级。表2 2 中不同频率对应于不同的能量，如图2 1 中细虚线所示，它 们近似成线性关系。为了进行比较，同理计算出k8 0 和2 _ 5 0 时囚 禁电子的频率和相对能量( 见表23 和表24 ) ，相应的能量一频率关 系分别如图21 中的实线和粗虚线所示，它们也近似成线性关系。显 然，表2 3 和表2 4 中的阱频值太大，目前实验难以实现。若以b e 离 子质量取代电子质量，对下表2 3 和表24 中的a 值，( 2 1 2 ) 式给 出的阱频将比表2 3 和表2 4 中的数值还要大两个数量级。表22 、 表2 3 与表2 4 列出了由精确公式求出的阱频和能量，这是一系列离 散的值。而在实际的实验中，对外场频率的的调节是可以连续进行 的。对于这些离散值以外的阱频值，应该可以连续变化。下节我们 将以精确解为基础，考虑阱频偏离这些离散值时对精确解的一级微 扰修正，从而得到相对运动的能带结构。 2 4近似的连续谱及能级结构 我们已经得到系统的一系列精确解，它们对应于阱频值的一个 无穷可数的点集。考虑在该点集内两相邻点蜥。和，州之间连续变 化阱频，即取频率为”= + v ，州，代入( 26 ) ，略去二二阶小 量( ”) 2 项，得： 羔笔竽+ ( b 一；m ，嚷，一一石枭) 协= 硪叽 ( z 。) 麓：”b k 蚱。 ( 2 2 0 ) 由于o v ，可把h 2 看作一级微扰，由量子微扰法可 以得到以精确分立谱为标记的能带结构。为此，先对波函数和能量 作r a y l c i g h s 曲r j d i n g c r 微扰展开 如一妒m = 砂黜_ - 妒跳，辟= bz t = 耳是+ 磅越 ( 2 2 1 ) 湖南师范大学硕士学位论文1 9 式中妒蹴和耳裟是相对运动零级s c h r 6 d i n g e r 方程的解，满足不 考虑一级微扰( 磁= o ) 的齐次方程( 21 9 ) ( 即( 2 6 ) 式) 。因 此，它的精确解就