（理论物理专业论文）量子纠缠现象研究.pdf

中国科学技术大学博士学位论文 摘要 量子力学的产生和发展使人们对微观世界有了进一步的认识虽然我们尚不 能肯定目前已有的知识多大程度上是正确且完备的，但是也无法否认量子理论在 解释和预言微观世界的奇特现象时所取得的巨大成功更重要的是，量子理论为 我们描绘了一幅与我们容易感知的由经典力学统治的现实世界有大不同的量子世 界图象，唯因其不同，对量子理论或量子世界的理解才会因人而异且错综复杂 b o h r 和e i n s t e i n 旷日持久的争论令人激动而迷惑，而廿世纪的众多物理学家一方 面先验地应用量子力学这一目前唯一有效的认识微观世界的工具去作实验，计算 问题，另一方面也在悉心审视量子理论的思想结构以及它与人类经验世界的异同 作为一个能够显示经典力学与量子理论之间重大差别的典型现象1 9 3 5 年由 e i n s t e i n 等人提出的e p r 量子态使很多抽象的思考有了一个具体的根基因此而 来的b e l l 不等式意味着量子世界具有与人们直觉相悖的非定域性其中蕴含着与 经典关联迥然相异的量子关联或量子纠缠，而1 9 8 9 年由g r e e n b e r g e r 等人提出 的g h z 态更是将经典力学与量子力学的冲突推到极致。一些列有关e p r 态和g h z 态的实验，验证了经典的定域实在论在量子世界中是不成立的。 另一方面，在二十世纪八、九十年代迅速发展起来的量子计算和量子通信 的理论及实验研究已将量子纠缠作为一种可利用的信息资源来操作，展示出诱人 前景，这迫使人们对量子纠缠作更广泛而细致的研究但是，不论e p r 态和g h z 都是纯量子态，它们极易受环境的干扰而退化为混合态：具体的实验过程中更常 见的亦是混合态而混合态中的量子纠缠现象比纯态情形复杂甚多正是本文所 要阐述的问题 定性地说，我们要有一个判别某个混合态是否纠缠的良好判据：定量地说， 我们想知道一个量子态的纠缠测度如何在本文中我们详细讨论了多种两体量子 系统纠缠态的判据，并比较其强弱它们是：b e l l 不等式，熵不等式，部分转置变 换部分时间反演变换，纠缠区域这些判据的着眼点彼此不同，且缺乏具体的内 在联系为此我 f r i l l 入h i l b e r t s c h m i d t 空间( h - s 空间) 作用于h i l b e r t 空间中 的量子态的算子空间，它是一个实的h i l b e r t 空间，有着简明的数学结构我们把 密度矩阵描述为该空间中的向量，即给出密度矩阵的向量表示，然后将系列的 中国科学技术大学博士学位论文 纠缠判据纳入到一个清晰的几何框架中于是b e l l 不等式和熵不等式对应于h s 空间中与距离有关的不等式部分转置变换和部分时间反演变换对应于密度矩阵 的向量表示中某些几何参数的改变，而纠缠区域更是可以有直观的语言描述这 样上述判据就有了一个共同的基础，在此基础上易于展开对纠缠测度的研究 实际上，纯量子态的纠缠测度在我们的几何图像的表述甚为简明，它对应于一个 多维空间中几个特定的区域大小的改变，具体地说，随着纠缠程度的增强，用以 描述子系统的定域行为的空间区域减小，而相应于子系统间纠缠行为，即非定域 行为的空间区域变大，而变化的大小正对应于该纯态的纠缠测度为了研究非纠 缠态的区域，我们用本史中提出的几何图像计算了最大混合态附近的邻域，得到 的结果表明，在一个更大的邻域内，所有的混合态均为非纠缠态，这是一个比原 有结论更强的结果，而且我们的计算简单明了在对纠缠现象定量描述的测度之 一纠缠强度的理解上，我们的几何解释比原有阐述更为形象纠缠强度 可以简单地描述为h s 空间中某些特定的点之间距离的比值而寻找这些特定的 点也因为距离这一表述形式的直观性而变得易于想象另外，对于其它一些不甚 重要的问题，如s c h m i d t 分解与定域酉变换的联系，纯态密度矩阵的向量表示的 特点，非纠缠态区域边界上的点的某些特性等等，我们一并在现有的框架中给出 描述 中国科学技术大学博士学位论文 a b s t r a c t t h ea p p e a r a n c ea n dd e v e l o p m e n to fq u a n t u mm e c h a n i c sg r e a t l yj n c r e a s e p e o p l e sk n o w l e d g ea b o u tm i c r o c o s m a l t h o u g ha tt h em o m e n t w ec a nn o tb e c e r t a i na b o u tt h ec o m p l e t e n e s so ft h ek n o w l e d g ea n da b o u tt h ef a c tt h a th o w m u c ho ft h ep r e s e n tk n o w l e d g ei sc o r r e c t w ea l s oc a nn o td e n yt h ee n o r m o u s s u c c e s so b t a i n e dt h r o u g hu s i n gq u a n t u mm e c h a n i c st oe x p l a i na n dp r e d i c tt h e u n i q u ep h e n o m e n a i nm i c r o c o s mw h a ti sm o r e i m p o r t a n t ，q u a n t u mm e c h a n i c s d e s c r i b eav i s i o no fq u a n t u mw o r l dt h a ti sf a rd i f f e r e n tf r o mo u ra c c e s s i b l ea n d c o g n i z a b l ew o r l do fr e a l i t yu n d e r t h er u l i n go fc l a s s i c a im e c h a n i c s j u s tb e c a u s e o ft h i s d i f i e r e n c e ，t h ei n t e r p r e t a t i o n o fq u a n t u mt h e o r ya n dq u a n t u mw o r l d b e c o m e sc o m p l i c a t e da n dv a r i o u s t h ee v e r l a s t i n gd e b a t eb e t w e e nb o h ra n d e i n s t e i nj sb o t he x c i t i n ga n d p u z z l i n g t h ep h y s i c i s t si nt h e 2 0 “c e n t u r y , h o w e v e r , a r e a p p l y i n gq u a n t u m m e c h a n i c s t h e o n l ya v a i l a b l e t o o ii n u n d e r s t a n d i n g m i c r o c o s m ，t ot h e i re x p e r i m e n t sa n dc o m p u t a t i o n so no n eh a n d ；o nt h eo t h e r h a n d t h e y a r e c a r e f u i l yo b s e w i n g t h et h e o r e t i c a is t r u c t u r eo fq u a n t u m t h e o r ya n d t h es i m i l a r i t i e s ，d i f f e r e n c e sb e t w e e nt h et h e o r ya n do u rr e a l i t yw o r l d a sat y p i c a lp h e n o m e n o nt oi i l u s t r a t et h eh u g ed i f f e r e n c eb e t w e e nc l a s s i c a i m e c h a n i c sa n dq u a n t u m t h e o r y i n19 3 5e i n s t e i ne ta 1 p r o p o s e de p rq u a n t u m s t a t e w h i c hi e a d sm a n ya b s t r a c tr e a s o n i n gt oac o n c r e t eb a s e t h eb e l f i n e q u a l i t yr e s u l t i n gf r o mt h i s m e a n st h a tt h e r ei s n o n l o c a l i t ya g a i n s tp e o p l e s i n t u i t i o ni nq u a n t u m w o r l d ，a m o n g w h i c hp e o p l ec a nf i n dq u a n t u m c o r r e l a t i o n ( o r q u a n t u me n t a n g l e m e n t ) t h a td i f f e r se n o r m o u s l yf r o mc l a s s i c a fc o r r e l a t i o n f n 1 9 8 9 。g r e e n b e r g e r e t a 1 p r o p o s e d g h zs t a t e w h i c h p u s h e st h e c o n f l i c t b e t w e e nc l a s s i c a im e c h a n i c sa n dq u a n t u mm e c h a n i c st oe x t r e m e ss o m e e x p e r i m e n t sr e g a r d i n ge p r s t a t ea n dg h zs t a t eh a v ea l r e a d yd e m o n s t r a t e d t h a tt h ec l a s s i c a lr e a l i t yt h e o r yw i l in o tw o r ki nt h eq u a n t u mw o r l d 1 n19 8 0 sa n d19 9 0 s t h et h e o r ya n de x p e r i m e n to fq u a n t u mc o m p u t i n ga n d q u a n t u mc o m m u n i c a t i o nh a v eb e e nd e v e l o p i n gr a p i d l y 1 nt h e s er e s e a r c h e s ， q u a n t u me n t a n g l e m e n th a sa l r e a d yb e e no p e r a t e da sau s a b l ei n f o r m a t i o n s o u r c ew i t hap r o m i s i n gf u t u r e t h e r e f o r e 。p e o p l ed e v o t em o r ea t t e n t i o na n d e f f o r tt ot h er e s e a r c ho fq u a n t u me n t a n g l e m e n t b u tb o t he p rs t a t ea n dg h z s t a t ea r e p u r eq u a n t u ms t a t e ，a n dt h e y c a nb e e a s i l y d i s t u r b e db yt h e i r s u r r o u n d i n g sa n dg e td e g e n e r a t e dt om i x e ds t a t e i ns p e c i f i ce x p e r i m e n t s ，t h e c o m m o n l y s e e ns t a t ej sa l s om i x e ds t a t e t h e q u a n t u me n t a n g l e m e n t p h e n o m e n a i nm i x e ds t a t ea r ef a rm o r e c o m p l i c a t e dt h a n t h eq u a n t u m e n t a n g l e m e n tp h e n o m e n ai np u r es t a t e t h i si st h ep r o b l e mm v t h e s i sp l a n st o e x p l a i na n ds o l v e q u a l i t a t i v e l ys p e a k i n g ，w en e e dw e l l - c h o s e nc r i t e r i at ot e l lw h e t h e ram i x e d s t a t ei se n t a n g l e d q u a n t i t a t i v e l ys p e a k i n g w ew a n tt ok n o wt h ee n t a n g l e m e n t m e a s u r eo faq u a n t u ms t a t e i nt h i st h e s i s w ed i s c u s si nd e t a i lt h ev a r i o u s 中国科学技术大学博士学位论文 e n t a n g l e m e n tc r i t e r i ao f2 - q u b i tq u a n t u ms y s t e m a n dc o m p a r et h e i rs t r e n g t ha n d w e a k n e s s t h e ya r e ：b e l li n e q u a l i t y ，e n t r o p yi n e q u a l i t y 。p a r t i a lt r a n s p o s i t i o n ， p a r t i a it i m e r e v e r s a lt r a n s f o r m a t i o n a n de n t a n g l e m e n tr e g i o nt h eb a s i so f t h e s ec r i t e r i aa r ed i f f e r e n t t h e r e f o r e ，i tl a c k sa no b v i o u si n t r i n s i cc o n n e c t i o n s o w ej n t r o d u c eh i i b e r t s c h m i d ts p a c e t h eq u a n t u ms t a t eo p e r a t o rs p a c et h a t f u n c t i o n si nh i l b e r ts p a c e i ti sar e a ih i l b e ds p a c ew i t hc o n c i s em a t h e m a t i c a i s t r u c t u r e w ed e s c r i b ed e n s i t ym a t r i xa sam e c t o ri nt h i ss p a c e t h a ti s ，t od r a w o u tt h em e c t o re x p r e s s i o ni nt h i ss p a c e t h e nw ep u tas e r i e so fe n t a n g l e m e n t c r i t e r i ai n t oac l e a rg e o m e t r i c a if r a m e s ob e l | | n e q u a l i t ya n de n t r o p yl n e q u a l i t y c o r r e s p o n dt o d i s t a n c e r e l a t e d i n e q u a l i t y ：w h i l ep a r t i a ie n e r g yt r a n s p o s i t i o n t r a n s f o r m a t i o na n d p a r t i a i t i m e r e v e r s a it r a n s f o r m a t i o n c o r r e s p o n d t ot h e c h a n g e s o fc e r t a i ng e o m e t r i c a lp a r a m e t e ri nv e c t o r e x p r e s s i o no fd e n s i t ym a t r i x ； a n d d i r e c t l yp e r c e i v a b l el a n g u a g ed e s c r i p t i o n i sa v a i l a b l ei ne n t a n g l e m e n t r e g i o n t h e nt h ea b o v e m e n t i o n e dc r i t e r i aw i l is h a r et h es a m eb a s i s a n di ti se a s i e rt o c a r r yo u t t h er e s e a r c ho fe n t a n g l e m e n tm e a s u r e o nt h i sb a s i s j nf a c t t h e e x p r e s s i o no fp u r eq u a n t u ms t a t ee n t a n g l e m e n tj ng e o m e t r i c p i c t u r ei sq u i t ec o n c i s e 1 tc o r r e s p o n d s t ot h ec h a n g e so fs e v e r a l s p e c i f i cr e g i o n s i nam u l t i d i m e n s i o n a is p a c e l e tu ss t a t et h i se x a c t l y a l o n gw i t ht h ei n c r e a s eo f e n t a n g l e m e n t t h es p a c er e g i o nu s e dt od e s c r i b et h el o c a ib e h a v i o ro fs u b s v s t e mw i l i d e c r e a s e ； w h i l et h e s p a c er e g i o n o fn o n i o c a ib e h a v i o r ( e n t a n g l e m e n tb e h a v i o ra m o n gs u b - s y s t e m s ) w i l li n c r e a s e ，a n dt h ec h a n g i n g s c o p ec o r r e s p o n d st ot h ee n t a n g l e m e n tm e a s u r eo ft h i sp u r es t a t e 1 1o r d e rt o s t u d yt h er e g i o no fd i s e n t a n g l e ds t a t e s ，w ec a l c u l a t et h en e i g h b o r h o o do ft h e b i g g e s tm i x e ds t a t eb yu s i n gg e o m e t r i c a lp i c t u r ep r e s e n t e di n t h i st h e s i s t h e r e s u l t ss h o wt h a ti nab i g g e rn e i g h b o r h o o d a l it h em i x e ds t a t ei sd i s e n t a n g l e d s t a t e s t h i sr e s u l th a sas t r o n g e ri m p a c tt h a nt h eo r i g i n a ic o n c l u s i o n a n do u r c a l c u l a t i o nj s s i m p l ea n dc l e a r i nu n d e r s t a n d i n ge n t a n g l e m e n tr o b u s t n e s s w h i c hi so n eo ft h em e a s u r e si n q u a n t i t a t i v e l y d e s c r i b e e n t a n g l e m e n t p h e n o m e n a o u rg e o m e t r i ce x p l a n a t i o ni sm o r e v i v i dt h a nt h e o r i g i n a li i l u s t r a t i o n e n t a n g l e m e n tr o b u s t n e s sc a nb es i m p l yd e s c r i b e da sd i s t a n c e r a t i o a m o n g s o m es p e c i f i cp o i n t si nh ss p a c e a n dl o o k i n gf o rt h e s es p e c i f i cp o i n t sa l s o b e c o m e se a s i e rt oi m a g i n e f o rt h i s “d i s t a n c e ”e x p r e s s i o nf o r mi so fd i r e c t p e r c e i v a b i l i t y b e s i d e s ，w ea l s od r a wa n dd e s c r i b es o m eo t h e rp r o b l e m si nt h e e x i s t i n gf r a m e ：s u c ha st h er e l a t i o nb e t w e e ns c h m i d td e c o m p o s i t i o na n di o c a i u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n ，t h ev e c t o re x p r e s s i o no fp u r es t a t ed e n s i t ym a t r i x t r a i t s o fc e r t a i np o i n t si o c a t i n gn e a rt h eb o u n d a r yo fd i s e n t a n g l e dr e g i o n 中国科学技术大学博士学位论文 0 引言 由量子力学描述的微观物质世界表现出诸多令人惊奇的现象，它们与人们的 直觉不相吻合，这促使人们从另一个角度以另一种眼光看待微观世界，也提醒人 们更精确而全面地审视量子理论，探究其基本概念和逻辑结构的自洽与完备”4 j 自量子力学诞生之日起有关争论从未停息e i n s t e i n 和b o h r 关于e p r 问题f 5 】 的讨论延续多年，大量的物理学家关注于此并参与其中。讨论范围已从量子力学 这一局部领域扩大到对整个世界的认识 1 4 , 6 1 这其间众多的物理学家为人们描绘多 种不同的世界图象，例如，b o h r 的并协性原理，d eb r o g l i e 的p i l o tw a v e ，b e l l 的” 六种可能的时界图象”1 7 e v e r e t t 的平行宇宙理论f 8 】，g o l d s t e i n 的无观测者的量子 理论【9 】等等其中涉及到的两个最重要的问题是非定域性和量子测量当然，有人 认为，不存在独立的量子测量理论，即测量应只是量子力学的一部分m 】，但是，对 微观世界的测量结果终要在宏观中体现，如何在两个跨度如此之大的尺度之间建 立联系是一个令人费解的问题而非定域性最早也是最集中地体现在1 9 3 5 年由 e i n s t e i n 等人发表的论文中【” 在经典世界中，我们无法否定一个物理对象( 比如质点，刚体等) 的实在性，它 是一个真实的存在其能量，动量这类物理量具有确定的数值我们也无法想象两 个类空间隔的客体有任何联系，这就是我们习以为常的定域性上述两个性质我 们统称为定域实在论，它在经典情形中是显然的 d b o h m 3 将e p r 论文中有关两粒子位置和动量的形式特殊的量子态形象 化为由一个自旋为零的静止粒子衰变而成的两个自旋1 2 粒子的自旋波函数js b e l l 1 1 , 1 2 研究了这两个粒子问的自旋指向的关联行为，发现从定域实在论得到的关 于完全关联现象的计算结果与量子力学的理论预言一致，但是在解释统计关联现 象时，两者结果明显矛盾，这说明定域实在论与量子力学是不相容的b e l l 在他的 研究中提出了著名的b e l l 不等式，指出违反b e l l 不等式的量子系统是不能用定域 实在论解释的，对其子系统也难以定义确定的实在性八十年代以来一些列实验 验证量子力学预言的结果 1 3 , 1 4 】，于是，人们得到这样的结论：量子世界具有非定域 性”_ 1 9 8 9 年，d m g r e e n b e r g e r , m a h o m e ，a z e i l i n g e r 对于三体或多体 量子系统的分析表明 1 7 , 1 q ，在该种情形下。定域实在论甚至不能解释量子力学对于 1 中国科学技术大学博士学位论文 完全关联给出的理论预言，这在更强的的程度上肯定了上述结论最近有实验证 实了量子力学的正确性9 】所以非定域性已成为量子世界的一个基本要素 非定域性使子系统间存在一种奇特的关联行为，这是- r e 不能用经典理论解 释的量子关联，或称之为量子纠缠，其实际意义体现在迅速发展起来的量子计算 和量子通讯上【2 0 - 2 6 量：严密集编码| 2 7 1 和量子隐形传态【2 5 ) 便是将量子纠缠作为信息 资源或载体加以利用的，于是对量子纠缠的研究在理论和实验上均具有重要意义 对量子纠缠现象的理论研究主要有以下三个方面：纠缠态的判别，纠缠程度 的计算，对纠缠态的操作所谓纠缠态的判别，指的是利用有效的判据验证某一给 定的量子态是否具有纠缠现象，这属于对纠缠态的定性研究而纠缠程度的计算 则是对纠缠态的定量考虑就是说对量子纠缠提出纠缠测度即纠缠度的概念，可 以说非纠缠态的纠缠度为零，而纠缠态的纠缠度总是大于零对纠缠现象的操作 实际应用中具有重要意义，这包括纠缠提纯 2 8 , 2 9 】，纠缠形式的变换【3 0 1 等等 两体系统的e p r 态或三体系统的g h z 态都是纯态，在纯态情形，纠缠现象 比较简单，其纠缠度也易于计算对于由两个自旋1 2 粒子组成的量子系统的量 子态( e p r 态即是其中一个特例) ，若它违反b e l l 不等式，则是纠缠态，其子系统 之间具有量子关联：否则就是非纠缠态，子系统间的关联属于经典关联，其纠缠度 为零，这时，b e l l 不等式是关于纠缠态的精确判据【3 1j 但是，在混合态情形，上述 结论不再成立存在一族这样的混合态，它们满足b e l l 不等式，但是包含量子纠 缠现象 3 2 , 3 3 1 于是人们需要重新寻找关于纠缠态的充要性判据针对一些特定的情 况已有关于纠缠态的充要条件，这由密度矩阵的部分转置来描述，而部分转置 与部分时间反演变换只相差一酉变换但是在更广泛的情况中，尚没有行之有效 的方法 在纠缠现象的定量考虑方面，有以下几种测度：构造纠缠度f 2 9 】，纠缠提纯度1 2 9 ， 相对熵测度 3 5 , 3 6 】，纠缠强度 3 7 l ，辅助纠缠度【3 8 1 等这几种测度并没有明显的共同的 基础或出发点，对同一纠缠现象的计算结果也有差异，这些概念间的异同也有待 于进一步研究 本文的第一章明确叙述了e p r 态和g h z 态蕴涵的奇特的量子关联现象，指 出非定域性是量子世界一个基本属性在第二章中就简单的纯态情形初步讨论了 量子纠缠行为第三章引入了我们的工作基础：密度矩阵在h i l b e r t - s c h m i d t 空间 ( h s 空间) 中的向量表示，f h 此在具体的几何空间中讨论量子态的纠缠行为，将纠 2 中国科学技术大学博士学位论文 缠态的定性判据纳入其中并针对纯态纠缠现象给出了形象的几何图象9 q 我们在 第四章中从信息熵的角度考虑了经典的和量子的关联行为，叙述了纠缠的相对熵 测度的具体意义第五章中讨论了纠缠强度这一概念，我们从本文中描述的几何 观点出发赋之以形象的解释，然后重新讨论了最大可分离态附近的邻域，得到了 较有意义的结果 4 0 , 4 1 1 我们主要讨论由两个粒子a ，b 组成两体吼的量子系统，这里z 。，分 别为两个子系统a ，b 所在的h i l b e r t 空间的维数尤其着重于2 2 的量子系统，在 每一节中，如果有必要，我们都对2 2 系统作了专门讨论 3 中国科学技术大学博士学位论文 一e p r 和g h z 为揭示多体系统在经典情形和量子情形下的巨大差异，我们首先叙述两个对 量子力学基本概念的理解起着重要影响的理论模型它们相距五十多年，而且均 已在实验中得到证实这就是1 9 3 5 年由e i n s t e i n ，p o d o l s k y ，r o s e n 提出 5 】随后 又由d b o h m 进一步给出形象描述的e p r 粒子对以及1 9 8 9 年由g r e e n b e r g e r h o r n ，z e i l i n g e r 提出的二三体或多体量子系统【1 7 1 下面我们对之作简明叙述，从中足 以让人感受到量子世界的奇异之处1 1 1 e p r 粒子对 e i n s t e i n 认为一个合理的物理理论应具有完备性，对此他作了下面的规定， 我们不妨称之为条件c ( c o m p l e t e n e s s ) 条件c ( c o m p l e t e n e s s ) ：每一个物理的实在性要素都应在个完备的物理理 论中有其对应物 在考察量子理论是否具有完备性时，e i n s t e i n 引入了下面两个看似相当合理的预 设 命题l ( l o c a l i t y ) ：若两个系统问没有任何相互作用则对第一个系统的测量 不会对第二个系统产生任何影响 命题r ( r e a l i t y ) ：如果我 ”1 “j r 。e 够绝不干扰一个物理系统却又可以完全确定地预 言某个物理量的值，那么对应于该物理量必然存在一个具有实在性的物理要素 命题l 和命题r 的合理性在经典力学中是不言而喻的e i n s t e i n 又引入了一个 来自量子力学自身的结论不妨称为事实q 事实q ：不能同时精确地确定一对不对易的力学量的值 e p r 考虑了两个在过去某个时间间隔内有过相互作用的量子系统，构造出关 于它们的位置和动量的一个形式特殊的量子态( 实际上就是我们要讨论的纠缠 态) ，指出第一个系统的位置和动量可以通过对第二个系统的测量而精确地确定 由于这两个系统相距甚远且没有任何联系，故对第二个系统的任何操作或测量都 不会对第一个系统产生任何影响，即满足命题l 所陈述的定域性要求根据命题 r ，第一个系统应同时具有位置和动量两种实在性要素，而源于量子力学的事实 、也许正如n d m e r m i n 所说的那样，也许这个世界是奇异的丽不是量子力学是奇异的 d 中国科学技术大学博士学位论文 q 不能允许这一对彼此不对易的物理量同时具有实在性于是，e i n s t e i n 认为量 子力学不满足条件c ，敞它是不完备的 与其把ep r 提出的观点视作一个佯谬，毋宁说是一种对量子力学的理解方 案，其中用到的命题l 和命题r 与我们的直觉及经验常识是吻合的，但由此得到 了量子力学是不完备的这一结论也就是说，波函数不足以提供对于物理实在的 充分而完全的描述虽然如此，在ep r 论文的结尾处提到：能够完全描述物理 实在的理论是可能存在的 db o h m 为e p r 的观点设计了一个更为直观的模型考虑一个静止的自旋 为0 的粒子经由某种内在的物理过程( 比如衰变) 分解为两个自旋为1 2 的粒子 a 和b 由于动量守恒，它们沿相反的方向运动：由于角动量守恒，它们的自旋方 向应该相反于是，关于a ，b 两粒子的自旋波函数可以表示为： r ) = 去0 厅十) 。 再一) 。一e 亓一) ，l 疗+ ) 。) ， ( 11 ) 其中自为三维实空间中的单位向量 ( 11 ) 式表明，如果我们在空间的某个方向 疗上测量粒子a 的自旋指向，有一半的可能性得到其自旋沿开方向的结果，此叫 不论我们是否对b 粒子作测量，其自旋一定沿一自方向；另外有一半的可能性得 到a 粒子的自旋沿一疗j 了向，此时不论是否对b 粒子作测量，其自旋一定沿i 方 向注意这里亓的方向选择是任意的，于是a ，b 两粒子间存在一种完全关联 完全关联( p e r f e c tc o r r e j a t i o n )对于由形如( 1 1 ) 式的波函数的两体量 子系统，在空间任一方向上对其子系统a ，b 作自旋指向的测量，所得结果必然 相反 另一方面，考虑对a ，b 两粒子在空间的不同方向上作自旋测量为简单起 见，可以考虑在三个彼此正交的方向一一例如x ，y , z 方向中某两个方向上分 别对a ，b 作测量若对a 粒子在z 方向上测量，考虑到( 1 1 ) 式可以改写为： p ) = 去0 ：+ ) 。f ：一) 。一i ：) 。i z + 。) ( 12 ) 那么我们有一半的可能性得到l ：+ ) 。i z - ) 。的结果，这时a 的自旋为+ z 方向再 对b 粒子在x 方向上作测量，由于 5 中国科学技术大学博上学位论文 ( 13 ) 故有一半的可能性得到i z 一) 。的结果整体看来，得到 z + ) 。 x 一) 。的几率是 l 2l 2 = 1 4 进一步的分析可以将这一结果而推广得到所谓的a ，b 两粒子问的 统计关联， 统计关联( s t a t i s t i c a lc o r r e l a t i o n )在彼此垂直的方向上对a ，b 两粒子作自 旋指向的测量2 ，得到相反结果的几率是1 4 完全关联和统计关联是由量子力学的基本原理之一一叠加原理得到的结 论，它们是关于形如( 1 1 ) 式的量子态的两个约束条件 让我们回到e p r 关于量子力学的理解上来e i n s t e i n 认为量子力学的波函数 不能充分而完备地体现物理对象的实在性例如，对于a 粒子，由于其自旋分量 s x , s 。不对易则当s ，具有实在性，即a 粒子的自旋在方向上具有确定的性质 和确定的数值时，s 、不能同时具有实在性，即不能同时具有确定的性质和确定的 数值但是，正如在e p r 论文的结尾处所暗示的那样，e i n s t e i n 认为有可能找到 这样一种理论，该理论能使这些不对易的物理量同时具有确定的实在性而且， 该理论应该和量子力学的理论预言相符，即满足完全关联和统计关联这两个重要 的约束条件 1 2b e l i 理论 j s b e l l ”1 从隐变量理论出发讨论了d b o h m 的e p r 粒子对b e l l 设想在 波函数j 妒一) 的基础上引入一组参变量姐。 ，在f r 一) 和协， 的共同描述下，不对易 的物理量就可以同时具有实在性具体地说，粒子a 的自旋分量s ，和s 。可以同时 具有实在性进一步地，粒子a 或粒子b 在任意方向上的自旋分量都具有同等程 度的实在性，因而就都具有确定的性质和确定的数值而且，b e l l 假设对a ( b ) 的测量不会对b ( a ) 造成任何影响这样，定域性和实在性均被满足，我们把 这一理论模型称为定域实在论( l o c a lr e a l i s m ) 其正确与否就在于它能否解释完 全关联和统计关联 ：统计关联亦可表现在非垂直方向的测量上当然相应的几率不再是1 4 6 中国科学技术大学博士学位论文 为此，我们考虑一个简单的情形；在z 方向或x 方向对a ，b 两粒子作自旋 指向的测量我们构造一个由n 个e p r 粒子对组成的系综占假设组成每一e p r 对的两粒子a ，b 在z 方向和x 方向都具有确定的数值例如，对于某一e p r 对 中的粒子a ，可以同时有m ：a = l 和r n 。a = 一1 ，m ? 和m ? 分别用来表示与a 粒子的 自旋分量j ：和对应的实在性的数值这时a 的性质可以用( z + ，x 一) 。这一表示确 定该e p r 对中b 粒子的性质可以构造性地确定为( z - - , x + ) 。以使之满足完全关 联的要求假设具有这样性质的粒子对在系综中占有定的比例迸一步考虑 其它形式的完全关联后我们可以构造如表1 1 所示的系综结构 表1 1为解释完全关联而构造的系综结构 分布粒子a 的性质粒子b 的性质 | v 1( z + ，x 一)( z - - , x + ) 20 + ，z + )g + ，z 一) | v 3( z + ，x 一)( z + ，x 一) d0 + ，x 一)( z + ，x 一) 其中，l + _ v 2 + 3 + n 4 = n 该分类穷尽了在我们所设定的情形下即对a ，b 在x 或z 方向作测量一 一的每一种可能，它显然满足完全关联的要求为了解释统计关联，我们只需令 1 n i = n 2 = n 3 = n 4 = 叶 至此，定域实在论与量子力学的理论预言尚无冲突但是，若我们再往前多走一 步，引入第三个测量方向，比如y 方向，则情况迥异 引入y 方向的测量后，类似于上述考虑，中每一e p r 对中的粒子a ，b 的 自旋在x ，y z 方向上的分量都有确定的数值例如某一e p r 对中的a 粒子可以 用b + ，y ，z 一) 描述，即珊，a = 1 ，m ，a = 一1 ，聊：a = 一l ，而同一对中的1 3 粒子则由 ( x - ，y + ，z + ) 。描述，即m ；= - 1 ，m ，b = 1 ，聊? = 1 对芑作如下构造： 7 中国科学技术大学博士学位论文 表1 2在考察统计关联所构造的系综结构 。分布a 粒子的性质b 粒子的性质 v l( x + ，y + ，z + ) ( x 一，y 一，z 一) 0 + ，y + ，z 一)g 一，y 一，z + ) p 3g 十，y 一，z + )g 一，y + ，z 一) 。g + ，y 一，z 一)( x - , y + ，z + ) 50 ，y + ，z + )如+ ，y 一，z 一) n 6g + ，y + ，z + )g + ，y 一，z + ) n ， 0 + ，+ ，z 十)o f + ，y + ，z 一) j v bg + ，y + ，z + )g + ，y + ，z + ) 其中n 。= 构造过程表明完全关联已是一个平庸的结果为考察其统计关联，我们对上 述八种组成成分作进一步地归纳，