（计算数学专业论文）各向异性下发展方程的一些高精度分析.pdf

摘要 本文在各向异性网格下，将一类低阶非协调元应用到抛物方程，分别在半 离散和全离散格式下，通过高精度分析技巧得到了误差的超逼近结果，并通过 适当的插值后处理技术得到了整体超收敛。同时将其应用到双曲方程，在半离 散格式下展开误差估计，得到了和抛物方程类似的结果。另外，本文还应用双 二次元，讨论了抛物方程在全离散格式下的超逼近性质，同样得到了理想的结 果。 关键词：抛物方程；双曲方程；各向异性；非协调元；超收敛。 a b s t r a c t ac l a s so f1 0 wo r d e rn o n c o n f o r m i n ge l e m e n t sa r ea p p l i e dt op a r 如。王i ce q u a t l o no n a n i s o t r o d i cm e s h e s t h es e m i d i s c r e t es e h e m ea n dh m y d i 8 c r e t es h c 哪ea r ed i s c u 8 s e d 。e - s p e c t i v e l ya n dt h es u p e r c l o s er e s u l t s a r eo b t a i n e db a s e do nh i g h e ra c c u 。a c ya n m y t l c a i t e c h n i a u e a tt h es a m et i m e ，t h ed o b a ls u p e r c o n v e r g e n c er e s u l ti s 出s op r o v i d e dt h r o u g h ap r o p e rp o s t p r o c e s s i n gt e c h n i q u e m e a n w h i l e ，t h es i m i i a rr e s u l t sa r eo b t a i n e d f o rh y p e r b o l i ce q u a t i o nu n d e r8 e m i d i s c r e t e8 h c e l e 谢也a b o v ee k m e n t s o nt h eo t h e rh a n d ， 恤es u p e r c l o s ep r o p e r t yo fb i q u a d r a t i ce l e m e n tf o rp a r a b o l i ce q h a t i o nl l n d e rf u l l yd i s c 。e t e s c b e m e sa r ed i s c u s s e da n dt h ei d e 出r e s l l l t sa r eg a i n e d k e yw b r d s ：p a r a b o l i ce q u a t i o n ；h y p e r b o l i ce q u a t i o n ；a n i s o t r o i ) i cm e s h e s ；n o n c o n f o r m i n ge l e m e n t ；s u p e r c o n v e r g e n c e l l 前言 有限元方法是求微分方程数值解的一种重要的方法，它起源于1 9 4 3 年， 由g o 札r 魄首先奠定了其数学基础。在我国，冯康先生独立于西方科学家发明 了这种方法。自5 0 - 6 0 年代以来，有限元方法得到了极大的发展，并在结构力 学等众多领域取得了很大的成功。有限元方法的实质是根据变分原理用有限维 空间的离散解去逼近无穷维空间的连续解，有限维空间的构造、s 。6 0 f e ”空间 插值理论以及微分方程正则性理论都是这种方法能够实现的理论前提。 我们构造的有限元空间k 逼近真解空间矿的程度决定了有限元解札n 逼近 真解“的好坏。当坛cv 时，我们称之为协调元，当kzy 时，称之为非 协调元。非协调元一度被认为是非标准的，因为求出来的解不属于原来的空间 y ，但在实际计算中，却发现非协调元具有很好的收敛性，并且具有较少的自 由度，因此有相当好的应用价值，在近些年取得了很大的发展。 在传统的有限元方法中，对区域n 的剖分满足正则性假设或拟一致假设 【8 】的要求是必不可少的，即要求警曼a 或 一e ，其中7 啊是单元的 最大直径，眦是k 的最大内切圆直径， 。= 驶野 k ， 。= 艘i 亭妇， 是区域n 的一个剖分族。但在实际应用中对于窄边区域，如比较薄的复合材 料，模拟电机中转子和定子之间的间隙，或模拟关节和髋部之间的软组织等， 如果采用传统的正则剖分，计算量将会变得非常大而无法承受，这时若采用各 向异性剖分可以用较少的自由度而得到同样的最优估计。不过在这种情况下， 传统的b r n m 讹一日“拒n 引理在插值误差分析中已不再适用( 见6 ，7 ，1 7 1 ) 。而 且对于非协调元来说，其传统边界估计技巧也不再适用，因为此时对单元的长 边，其误差估计中出现的器项将会趋于无穷大。丁却e e 【e 】等人研究了各向异 性下l n 。n g e 型协调元的误差分析，并给出了判别一个单元是否具有各向异 性特征的判别定理。从而利用具有各向异性特征的单元使我们得以用较小的自 由度得到同样的最优误差估计效果。但这种方法有时难以验证。陈绍春和石东 洋 目对它进行了改进，给出了一个更为一般的各向异性判别定理，并将之应用 到实际问题中( 包括各向异性非协调元) ，取得了许多有意义和价值的成果( 见 5 】1 1 0 】， 1 1 m 2 ”3 1 j 1 6 】) 。 发展方程反映了现实世界中很多的物理现象，对它的求解也成为有限元方 法的一个重要的热门研究方向，出现了很多好的研究成果。比如丁 0 m e d 矿，x “，g 和z 九n n gm y f 。】研究了其线性元的超收敛性质，助nq f 2 】和l 他x q 1 】则分别在 半离散和全离散格式下研究了双二次矩形元的超收敛性质。但上述研究都是在 正则条件下取得的。本文在各向异性剖分下，将一类低阶非协调元应用到抛物 方程，在半离散和全离散格式下，通过高精度分析技巧得到了误差的超逼近结 果，并通过适当的插值后处理技术得到了整体超收敛。同时将其应用到双曲方 程，在半离散格式下展开误差估计，得到了和抛物方程类似的结果。另外，本 文还应用双二次元，讨论了抛物方程在全离散格式下的超逼近性质，得到了理 想的结果。 本文写作安排如下： 第一章：预备知识，介绍有限元方法所用到的一些基本定理和记号。 第二章：抛物型方程各向异性全离散g c 。f e r k 讯逼近的高精度分析。 第三章：抛物型方程的各向异性非协调有限元逼近。 第四章：双曲型方程的一类各向异性非协调有限元逼近。 2 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者： 蘑c 知 2 0 0 6 年、4 月2 6 日 第一章预备知识 1 1s o b 0 2 e u 空间及一些结论 设舒为n 维欧式空间，q 为毋中的区域。用p ( q ) 表示一切定义在f 2 上 的p 次可积函数组成的集合。l 。( q ) 表示一切q 在上本性有界的可测函数组 成的集合。则按范数 州n ) = ( n l u ( z ) 1 9 如) ；，1sp i i i i l 。( n ) = e s s 吼l pi “( z ) i ，p = 。 z s 删h n ) 为b 帆。c h 空间。而州h n ) 为日i b e r t 空间，其内积定义为( u ， ) = 届u d z 。 用g m ( q ) 表示区域n 上m 次连续可微的函数组成的集合，e 。( q ) 表示区 域q 上无穷次连续可微函数组成的集合，简记g o ( q ) 为c ( q ) 。 记区域q 上的偏微分算子d 。= d 0 h d ：“，其中d 。= 矗，a 一，n 。为非 负整数。a = ( n ，。) 称为n 重指标，记川= 。，+ a 。+ + n 。，设m 为非负 函数，1 p o 。，考虑函数空间 w ，m ，p ( q ) = 札：d 。“l 9 ( n ) ，i i 墨m ) ， 这个空间依范数 i 。= ( 岛 d 。u 1 9 出) ；，1 p 忪，。= 田努l l d “u 。，p = 。 i o l m 构成一个目一n c 空间，我们称之为s o 捌e ”空间，并定义半范数 u 。，p = ( ，n d “u p d z ) ；，1sp 。 川。= 脚a xj l d 。，p = o 。 又令w 侈。( q ) 为c 铲( n ) 按范数f 。在空间w ”，一( q ) 内的完备化空间，则 w 留“9 ( q ) 也是一个b n n 。c 空间。简记 h “( q ) = h 7 ”，2 ( q ) ，丑f ( q ) = 伊鼻( q ) ，1 1 1 | 。= 1 11 l 。f 1 。= 1 。 于是h ”( n ) ，叼( n ) 是俄f 6 e r 空间，其内积为 m ， ) 。= ( d o u ，d o ) ，u ， 丑“( 2 ) 。 l n l s m s 。6 0 f e ”嵌人定理设nc 即为有界区域，其边界a n 是局部l 枷c h i 钯连续的， m ， 为非负整数，1 墨p ，则 m + ，p ( q ) qw ，。( n ) ，m n p 日。z d e r 不等式：设1 p ，q o ，使 i n ( 札，u ) l c f 2 则对任意，日，存在唯一的“日，使 n ( u ， ) = ，( z ，) ，h 9 求解微分方程数值解的有限元方法须先将微分方程转化为与其等价的变分 形式，如d i r i c f e t 边值问题转化为：求“瑶( f 2 ) ，使 。( 札，”) = ，( w ) ，b o 日0 ( f 2 ) 设y 为日i 舭r 空间，对下面一般的抽象变分问题，求u 瑶( q ) ，使 n ( u ，口) = ，( ) ，v b 月：( n ) 给定区域n 的一个剖分厶，一般为三角形或者四边形单元，v k ，记 k 为单元的直径，腑为k 的最大内接球直径， = 磁坛，如果存在常数 a 使剖分族 ( o 愚s1 ) 满足 堕sg ，v ， 则称剖分族是正则的。 如果剖分族不仅是正则的，而且存在常数7 ，使得 _ 1 是有限元插值算子，满足 瓤( 知) = 成( o ) ，江1 ，2 ，m 户 ，n 。) 是一个多重指标，则d 。p 也是霞上的多项式空间。设d m 伊p ： 1 ，2 ，r ) 是伊户的一组基，则d n ( 而) 加p 可表示为 mr d “( 局) = 臧( 。) d “扇= 岛( 。) 当 t - 1 j = 1 显然，当是 d 。扇) r 的线性组合，而岛( 。) 是 庶( o ) ) r 的线性组合。设 岛( o ) = 庶( o ) z = 1 则由上面两式我们有 岛( o ) = a 。臧( o )o 。庶( 而) = 岛( 知) 各向异性基本定理【5 】：在上述表达下，如果岛( i ) 能表成 岛( o ) = 弓( 西“o ) ，1 曼，sm ， 其中乃( 日8 ( 露) ) ， 1 i ，j m ，同时日( 露) cd n 户，f ( 。一1 ) ，则存在常数 g ( 霞) 满足： d 。( 矗一j 乱) 忆膏se ( 霞) f d 。缸f + 1 矗，o 茎f + 1 ，抛h i n i + z + l ，膏 4 第二章抛物型方程各向异性全离散g o 衙尼溉逼近的高精度分析 2 1引言 有很多文章研究了抛物问题的超收敛性质，比如： t h o m e v ，x uj g ， z h n 扎9 y 【3 和l 概q f “，l ux q 1 分别研究了线性元和双二次矩形元的超收 敛性质。但到目前为止，这些研究都是基于对剖分网格的传统假设，即正则性 假设k 阻e 或者拟一致假设，t 。se ，其中，培，触分别代表单元k 的 直径和最大内切圆直径。h = m a x 坛， 。= m i n k ，c 是一个与 无关的正 常数。但是随着有限元方法的发展和在其他领域中越来越广泛的应用，上述假 设使得有限元方法在实际应用中受到了一定的限制。 近几年来，出现了关于在各向异性网格下的理论分析和数值计算的研究。 丁4 p “和d o 打d w d f s 兢m 【6 】首先给出了各向异性网格下的插值误差分析，并给 出了各向异性判别定理，但在实际问题中很难验证。随后陈绍春和石东洋i 目给 出了一个更一般和更易于验证的判别定理。除此之外，还出现了很多关于拉格 朗日型协调元 6 ，7 ，1 0 和非协调元 5 ，1 2 1 4 的研究。各向异性单元可用于很多 问题，如变分不等式 ”j ，平面线弹性问题【”】等等，并得到了一些超收敛结果 1 0 ，1 1 】。但这些研究主要集中于椭圆边值问题，关于抛物方程，特别是全离散 格式，还有待进一步的研究。 2 2双二次元的构造及各向异性特征 设露是_ 平面上的参考单元，其四个顶点分别为a 1 ( 一l ，一1 ) ，a 。( 1 ，一1 ) ， 叭1 ) 和计1 ，1 ) ，四条边为 。= 丽，f 2 = 丽，i 3 = 丽和f 4 ：丽。 下面构造膏上的双二次拉格朗日型插值。令宝：低，i ：l ，2 ，9 ，户： s p 。n 1 ，f ，_ ，2 ，叩2 ，f q ，2 7 7 ，q 2 ，2 _ 2 ，其中 识= o ( 鼠) ， 吨+ 4 = 击屯。峨 j ! = 1 ，2 ，3 ，4 ( 2 1 ) 讥2 志j r t 蜓嘲- 5 容易验证上述插值算子是适定的并可表示如下 知= 风+ 历+ 口2 叩+ 风轫+ 风f 2 + 风q 2 + 风f 2 町+ 侍叩2 f + 风2 q 2( 22 ) 其中 阮= 去( 0 1 + i 2 + 砘+ 。4 ) 一i ( 魄+ 0 6 + 0 7 + 0 8 ) + ；硒， 卢- = ；( o ，一o 。一仍+ 也) + i ( 砘i s ) ， 卢2 = ；( 0 1 + 诧一0 3 一籼) + ；( 一0 5 + 西) ， 岛= ：( 0 1 一o 。+ 仍0 4 ) ， 风= 一蠢( 0 1 + 0 2 + 0 3 + 讥) + ；( 心5 + 3 心6 + 0 7 + 3 魄) 一；0 9 ， 口5 = 一杀( 。1 + 0 2 + 0 3 + 钒) + i ( 3 魄+ 0 6 + 3 0 7 + 0 8 ) 一；吗， 风= 一i ( 0 1 + 0 2 一0 3 一i 4 ) + i ( 0 5 一0 7 ) ， 岛= 一 ( 0 1 一赴一0 3 + i a ) 一；( 魄一o s ) ， 风= 最( 0 1 + i 2 + 0 3 + 0 4 ) 一：( 。5 + 0 6 + 0 7 + 0 8 ) 十：0 9 引理1 ：上述定义的插值算子，具有各向异性特征，即对多重指标 当l a l = 1 时有 l d 。( o 一知) 恬i a l d 。0 1 2 膏，v i 日3 ( 足) 这里及以后，正常数c 都与k 及舞无关。 证明：当n = ( 1 ，o ) 时，我们有 d “而= 繁= 卢l + 屈q + 2 屈+ 2 口6 勃+ 岛叩2 + 2 风q 2 注意到d 。p = s p 1 ， ，2 ，2 钒q 2 ，2 q 2 ，所以 卢l = ；( 仉一i 2 一0 3 + 砒) + ；( i 6 一0 8 ) = j ( 一仁、甓( ，一1 ) 蜓。霎( ，1 ) 武) + i ( 1i ( 1 ，”) d q 一正li ( 一1 ，7 ) 咖) = ；( 一坛赛嗽一尼赛必) + ；屈赛蟛d 叩， 类似地 风= ：( 一止。赛必+ 见赛蟛) = j 屈蒜武咖， 反= 一矗( i t + 0 2 + 魄+ 砒) + ；( 瑰+ 3 。6 + 0 7 + 3 雷8 ) 一：氇 = 一素( 0 1 + 0 2 2 0 5 ) 一杀( 0 3 + 砒一2 0 7 ) + ：( 蕊一2 i 9 + 0 8 ) f ； f 2 3 ) = 一素( 见f 赛必+ 坛鲁i d ) + 杀& f 赛必咖， 风= 一i ( o ，+ 。一如一砒) + ；( 魄一西) = 一i ( 丘赛武一尼赛) = i 屈鑫d d 叩， 岛= 一；( o - 一o 。一i a + o a ) 一：( 魄一o s ) = ；( 丘赛+ 尼震) 一 j 震d 咖， 风= 景( 0 1 + 0 2 + 0 3 + 0 4 ) 一：( 0 5 + 0 6 + 0 7 + 0 8 ) + ；玛 = 盖( 丘f 赛必+ 尼赛埏) 一素居f 赛必咖 令位= 震，则 岛= 日( 西) = j ( 一丘西蜓一见面武) + ；屉曲d 咖 风= 岛( 西) = ；屉蒜嗽咖， 角= 局( 曲) = 杀( 屯而d f + 屯仍蜓) + 杀k d d 叩， 阮= 扇( 西) = 一i 屉箍武d 卵， 岛= 既( 西) = i ( 见西嗽+ 尼曲) 一；屉西咖， 风= r ( 曲) = 盖( 屯西蟛+ 见f 西嘶) 一告f 西嫩咖 由迹定理可得i 或( 西) ls 刚酬2 膏，即戽( h 。( 霞) ) ，扛1 ，6 当= ( 1 ，o ) 时可得相似结论，由 5 】中的各向异性判别定理知引理得证。 2 3抛物问题及其逼近 设n 是r 2 中一个有界矩形区域，其边界分别平行于两个坐标轴，考虑如 下初边值问题【q ： v ( z ，；) q o ，。) ， v ( z ，f ；f ) a n o ，) ， ( 3 1 ) v ( z ，) q ， 其中“严善 ( 3 1 ) 的等价变分形式为： 对任意的o ，求“( ) 硪( q ) 使得对v ”明( n ) f 囊( _ ：j 三? ! 薹：i z u l c 。， 其中( ，) 代表驴( q ) 中的内积，o ( 钍，可) _ ( v 扎，吼) 设厶是n 的一个矩形剖分，对v k 靠我们假设 k = 。， ，= 口， 但不要求以满足上述的正则性假设或拟一致假设。 对任意的k 矗，用( 。k ，船) 代表的重心，2 k ，2 b 分别代表平行于x 轴和y 轴的两边的边长。于是存在仿射变换r ：膏一 注：意 s ， 有限元空间定义如下 坛= i 诹= l o 毋( p ，v k l 插值算子厶：片2 ( q ) 一u 可定义为 i “k = i k ，i k ：h t k l + pof 0 。i k ”= l i ( 3 1 ) 的半离散g 血z e r 讯逼近格式为： 对任意的t 三o ，求u h ( t ) 使得 慨i 篡洲) - ( n 嘎邕 a ， 其中厶“o 是“。在k 中的插值。 下面我们介绍一些重要引理。 引理2 ：如果u 坛则有 1 t k f o ，ksg ：1 l l 甜f l o ，1 甜” o ， ，sa h i l l l 1 吐k ， 。- sg 删啪k ， m 。，茎e 7 硎训。 ) z k o ，c 丸；1 n i l 甜f l o ，k ，i o ，k g 忍i 1 i 2 0 钉1 1 0 ，_ f ， 地删h g ；2 i l f7 ij o ，n ，j 。f o ，g ；2 i 2 l i i o k 证明：我们只证明( 3 5 ) ，其余式子可类似得证。由于在参考单元上有限维空间 上所有模等价，所以 此即 w 。，艮= & ( 磊) 2 如劫 = & ( 怒) 2 k 2 蛞2 。h ，d 咖 ；2 k 2 虬训硼膏 ( 3 6 ) c k 2 k 2 k 训堋膏 = g k 2 刊”抵， 故引理得证。 引理3 ：如果札h 6 ( q ) ，则 z k 目l o ksg ：1 i 1 i j l o ，k f n ( “一h u ，甜) l a 4 l “1 6 l l 叫o ，v ” 证明：如同 4 中一样，我们引入下述误差函数 e ( z ) = j ( ( z z k ) 2 一 ：) ，f ( 掣) = j ( ( 可) 2 一 ；) 令训= 札一厶“，对u 坛用丁n z o r 公式展开得 ( z ，) = ( z ，k ) 十( 一船) ，( z ，) + 掣如”，( z ，f ) 由插值算子的定义可得 ：”d s = o ，”( 盔) = o ，江1 ，2 ，3 ，4 ，上w d z 妇= o ， 其中盔是k 的顶点。 下面我们利用高精度分析方法分别估计( 3 8 ) 右端三项。 注意到( z ，) kf 4 和。( z ，抓) i k 是常数，由( 3 9 ) 可得 厶”z t k ( z ，鼽) 出劫= ( 厶一五) w ( z ，驮) 匆一厶甜”。( z 斯) d z 咖 9 f 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) k 国一弘) ”( z ，f k ) 如咖= ；k 毗( f 2 ( ) ) ( 3 ( 觚) 如咖 = j ( 。一上。) ( f 2 ( 可) ) ”t ，( z ，) d 。一& ”。，( f 2 ( ) ) ”z k ，( z ，可k ) d z 匆 = 等( 上，一丘) 伽如。( z ，船) 出一；& 札。，f 2 ( ) ，( z ，胀) 如咖 = o 一孚( 上，j ；。) 训。，( 。，船) 出一：k 。f 2 ( 可) ”。，( z ，强) 如白 = o 一；( 见一丘) f 2 匆) 扎。 ”扛，斯) 匆+ ：& 乱。，。”f 2 ( ) 扛，斯) d z d 可 = 一j ( 正。一上。) f 2 ) “。，。( 茹，姚) d 可+ jk “。，。( 熹( f 3 ( ) ) ” 一慧( f 2 ( ) ) ”+ 警) ( z ，g k ) d z 妇 = 一；( 正。一上。) f 2 ( 9 ) 。g 码( z ，g k ) d + o 一击& “。9 9 9 ( f 3 ( ”) ) ( z ，k ) d z d 9 + o + 嚣j k 扎。p ，。，( f 2 ( ) ) 7 扛，口k ) d z d + 襞j ku 。w ”( 扛，) 一( g 一) u 。扛，) ) d z d 可 = 一j ( ；。一凡) f 2 ( 可) u 一- ( z ，瓤) 如一南& 。，。( f 3 ( p ) ) ( z ，船) d z 匆 + 誓& 。，( f 2 ( ) ) ( z ，躲) 如西+ 磐( j ；。一尼) u 。，( 。，) 如 一纂& 札。 ， ( 。，) d z 匆+ 鬟k f ( ) ，( z ，f ) d z 咖， ( 3 1 1 ) ；k 虬( 一船) 2 ”d z 匆 = & w 。( 击( f 3 ( y ) ) 4 ) + 等) ，”d z d 2 由( 正。一屯) ( f 3 ( 目) ) 3 ) ，9 妇一嘉k 。，( f 3 ( ) ) 3 ) 9 ，d z 由 + 鲁( 。几) 埘，咖一等& 。，d 。咖( 3 1 2 ) 2 一嘉( 正，一正。) ( f 3 ( f ) ) 3 t k z 9 9 ( f z + o 一由& 。( f 3 ( g ) ) 3 ) 。9 d z 匆+ o 2o + 矗戌“目p ( 9 ) ”如西 2 击( ；。一 。) u z ，”w ”f 3 ( ) ，匆一矗& 札。，f 3 ( ) ，d z 由 注意到f ( ) ，“一。，u 。，。和”，“。，分别在平行于y 轴和。轴的单 元边界连续，当”k 时= ，= o 和”= o 分别在平行于y 轴和x 轴区域n 边界成立，由( 31 0 ) ，( 3 1 1 ) ，( 31 2 ) 和引理2 得 矗”。( z ) d z 劫sg 4 j u 训”f j 。+ 丢嘉( i ；。一厄) z ”。，f 3 ( ) ，咖 一丢 ( 。一正a ) f 2 ( 可) “z ”v ”( z ，) d p + 丢筹( i ；一正。) “。，。t ，( z ，) d z ( 3 1 3 ) 墨c 7 产6 l o 类似地 1 0 因此对任意的”k 厶”，( z ，口) 如幻茎c 州u ”j o f n 心一 乱，口) i = l 如似z d z 咖+ 止 d z d g l g 4 i 札 0 故引理得证。 引理4 ：若仇日4 ( q ) 则 l ( u 一( 厶u ) ，u ) l g 4 札4 | | l | o ，、9 0 1 ，z f 3 1 4 1 证明：令垂= 毗一“) 。，由插值算子的定义得 。姚_ 0 ，m ( 五) = 叭- l 2 ，3 ，4 ，上垂如西= o ( 3 1 5 ) 对 在( z k ，船) 点t n 可f o r 展开 ”( 。，) 2 ”( 。，k ) + ( z 一。) z ( z k ，k ) + ( g 一k ) u ，( z k ，9 k ) + ；( z z ) 2 。( 。，g k ) + j ( 可一) 2 v v ( z ，可) + ( z z ) ( g 一船) ，( z ，f k ) + j ( z z ) 2 ( 可k ) 。，( z ，掣k ) + j ( z z k ) ( f 一k ) 2 ，。( z n ，) 十；( z z ”) 2 ( ”一巧) z ”。，( z ，g ) f 3 1 6 1 下面分别估计( 3 1 6 ) 右端的九项。 由引理2 得 & 圣口( 。k ，k ) d z d 可= o f 3 1 7 1 j k 圣( z z k ) 甜。( z k ，可k ) d z 匆：= ；k 圣( e 2 ( z ) ) ( 3 ) 。( z k ，可k ) d z d 可 = ( 。一山。) 中( e 2 ( z ) ) ”( z ，拶) 曲一jj k 西。( e 2 ( z ) ) ”( z ，) d z d f = 譬( 。一止。) 圣( z k ，可k ) d 可+ o 一：j u t 鄹：。e 2 ( z ) t k ( z ，! ，k ) d z d 掣 = o 一；& u 。( 矗( e 3 扛) ) ”一慧( e 2 ) ) ”+ 警) 扛k ，g 。) d 茁d g = 一矗ku 一。( 层3 ( 。) ) ”( z ，船) d z 咖+ 警厶“c 。( 驴( z ) ) ”( z * ，f k ) 如妇 一筹厶t 正t t k ( z ，掣k ) d z d 可 = o + 矗& 札一。( 日3 ( 茹) ) 7 ( z k ，弧) 出咖+ o 一蒜ku 。( e 2 ( z ) ) 。 ，g k ) 如由 一襞j k “。( 2 k ( z ，f k ) 一( z z ) t k 。( 。，k ) ) d z d f = 矗& u 一。( e 3 ( 。) ) ( 。，姚) 如幻一嚣& “一。( e 2 ( 。) ) ( 。k ，弘) d 。匆 一鬟( j ；：一j ；。) “t 。 ( 。，) d f + 譬ku 。”( z ，g k ) d 。d 9 十。 一筹& “t 。e ( z ) 。( z ，耳) d 茁d f e 4 “t i n i i 叫i o 一襞( 上。一正。) u t 。”( z ，可“) d g ， ( 3 1 8 ) 类似地 厶西( 一船) ( z k ，船) 出咖茎e 叫“小忪帖一纂( z 一上) u 咖( z ，可) 出 ( 3 1 9 ) 另一方面 ；& 垂( z z x ) 2 ”z 。( z ，可) ( f z d = k 圣( 嘉( e 3 ( z ) ) 4 ) + 等) t k 。( z k ，k ) d 匈 = 嘉k 圣( e 3 ( z ) ) 4 。( z k ，g 盯) d z 匆+ 譬丘垂t k 。( 。k ，) d z d = 矗( 止。 。) 中( e 3 ( z ) ) 3 t 。( z ，) c f 一矗& 壬。( e 3 ( z ) ) 3 。( z ，可 ，) ( f z d + ( ) = o + 矗& “。e 3 ( z ) t o 。( z k ，可k ) d z 曲 a 4 d k f 3 ，2 0 1 用和上面同样的方法还可以得到 i 厶币( 9 一k ) 2 w ( z 、g k ) 出d 口sg 4 l “t 1 4 i | u i | 。 ( 3 2 1 ) 1 2 & 西( z z ) 2 扫一船) ( z ，船) 如咖 = 击k 西( z z ) 2 ( f 2 ( 可) ) ( 3 ) t k 。”( z k ，! ，k ) d z d 可 = 壶( j ；，一正。) 垂( z z ) 2 ( f 2 ( 可) ) ”列( z ，掣) d 茁 一击& 圣( z z ) 2 ( f 2 ( 掣) ) ” 。( z ，可) d z d 可 = 譬( ，一j ；。) 垂( 茁一z k ) 2 。_ ( z ，可耳) d z + o 一丧j k u t ( 茁一z k ) 2 f 2 妇) f ( z k ，可k ) d d 弘 = 譬( _ ；，一i ；。) 垂( 击( e 3 ( z ) ) 4 ) + 譬) 。( z ，可。) d z 一击j ku t ( z z k ) 2 f 2 ( 可) 。( 。k ，可) 如d f = 嘉( 正。一正。) 圣( e 。( z ) ) ( a ) 。，( z k ，f k ) d z + 笔竽( ，一i ；。) 垂。，( 。k ，k ) d z 一击k “。( 。一z k ) 2 ( 击( f 3 ( ) ) ”一譬( f 2 ( ) ) ”+ 警) t k 。，( z 耳，9 ) d z d = o 一蔫( 正，正。) 中。( e 3 ( z ) ) ( 3 ) 。，( z k ，可k ) d z + o 一击& 札幼，( z z k ) 2 ( p ( ”) ) ”。，( z k ，斯) 出勘+ 篙& “咖。( z z k ) 2 ( f 2 ( 可) ) “ 。( z ，f k ) d z d 可一器& “t 啪( z z ) 2 t k 。口( k ，可k ) d z d 可 = o + o + 志& “p g 鲫( z z ) 2 ( f 3 ( 剪) ) + 蔫( 上。一 。) 中。( e 3 ( z ) ) ”t k 。( z 耳，掣盯) d z + 甜。g ( z k ，盯) d z d 可+ o 一丧ij k “鲫( z z k ) 2 ( f 2 ( 可) ) 7 。9 ( z ，可k ) d z d 可 一器k “岵v v ( z 。k ) 2 ( 。( z ，可) 一( 可一可k ) 。w w ( 。，掣) ) d z d 掣 a ，。4 l “t a i l | | o + o 一蔫( 。一正。) u 。船。( e 3 ( z ) ) 。( z ，可盯) d z 一嚣( 正。一j | 3 ) u 。，。( z z ”) 2z k 。( z ，) d z + 嚣km 。，。( 。一z ) 。( z ，可) d z d + o 一等k 札t 口( z z k ) 2 f ( ) 。螂( z ，可) d z d 掣 a 4 i 地 0 + 嘉札t 。( e 3 ) ) 。，( z k ，可) d z 匆 一器( i ；。一止。) “9 口g ( z z k ) 2 t k 。( z ，) d z g 4 i “f 4 i i | | o 一嚣( 上，一见) u 。，( z z ) 2 w 。( z ，可) d z ， f 3 2 2 1 类似地 j 厶中( 可一可n ) 2 ( z z ) u 。( z k ，可) d z d 可 g 4 f “t 4 l l ”l f o 一嚣( j ；。止。) “t ( 一k ) 2 ，( 。，可) d 、7 。( 3 2 3 ) 1 3 & 圣( z z k ) ( 掣一可) t k ”( z k ，可耳) d 。d y = & 垂( e 2 ( z ) ) 3 ( f ( 可) ) z k ”( z ，可) d z d 掣 = ；( 以，一j ；。) 西( e 2 ( z ) ) 3 ) f ( 可) t k 9 ( z k ，可) d z 一；j k 垂”( e 2 ( ) ) 3 f ( 可) t k p ( z ，可) d z d y = o 一：( j ；。一止。) 垂。( e 2 ( ) ) ”f ( 可) t k 可( z ，可k ) 妇+ ；j 垂。”( e 2 ( z ) ) ”f ( 可) ，( z k ，可) d z 咖 = 一譬( 山：一正。) 垂f ( 可) ，( z k ，k ) d 可+ o 一：k 垂。，( e 2 ( z ) ) f ( 可) 。k ”( z ，掣) d z d 掣 = 一譬& 垂。f ( g ) 口。( z k ，躲) 如咖+ o + ；k 札一。e 2 ( z ) f ( 掣) 。( z k ，躲) 出由 g 4 i 地i uj | o + 等& 垂。( f ( 可) ) 可( z k ，k ) d z d 可 = g h 4 1 地1 4 1 i 口| l o + 訾j k 壬。( f 2 ( 可) ) 3 ) p ( z k ，可k ) d z d 可 = e 4 i u t l 4 | j u i o + 譬( i ；。一正。) 垂。( f 2 ( 可) ) ”t k 9 ( z k ，可k ) d z 一譬k 西鲫( f 2 ( ) ) ”t k ”( z k ，可) d z d 可 = g 4 l “。l 。i i ”i i o + 警( j ；，一_ ；。) 中。如，( z 。，f k ) d z + o 一慧屉札。，f 2 ( ) t k 。( 茁，k ) d z 匆 = g 4 i 饥圳训l o + o 等ku # g f 2 国) 叱9 ( z k ，妣) d z 旬 g 4 i “t i a l i ”| | o ， f 3 2 4 1 由( 3 御) 可得 i & 西( z z k ) 2 ( 可一可k ) 2 。( z ，可耳) d 茁d = 矗k 币( ( e 2 ( z ) ) ”+ h ：) ( 可一可) 2 t k 。( z k ，可耳) d z d = 壶& 圣( e 2 ( z ) ) ”( 掣一可k ) 2 z k 。( 。【f ，可) d z 咖+ 譬k 币( 可一可k ) 2 t ，。口( z k ，掣k ) d z d 可 c f z 4 1 u 1 4 1 i u l l o + o + 击k 垂。e 2 ( z ) ( 鲈一妒) 2 t k 。( z ，可 ，) d 。d 可 = a 4 j 嘶 4 | | ij o + 击詹中。e 2 ( z ) ( ( f 2 ( 可) ) ”+ ；) 。”v ( z ，) d z 匆 = c 酽 u 1 4 l i f | o + o + 击& 乱t 。口e 2 江) f 2 ( ) 。w ( 。k g k ) d z 咖 + 纂k 西。e 2 ( z ) 。，( z ，f ) 出由 e 4 “t f a | | l o + 纂k 中( e 2 ( 。) ) ”。，( z k ，船) d z d = a f t 4 1 卜l i o + 錾k 中( 矗( e 3 ( z ) ) 4 ) 一! 譬) ”。，扛k ，9 k ) d z 咖 = e 酽l u c l 4 l j | o + 募( 丘一上。) 中( e 3 ( z ) ) 3 ) 甜。，。( za ，) 白 一募k 中。( e 3 ( z ) ) ( 3 ) 。，( z ，耳) d z d 一笔孕& 中t k 。，( z k ，g k ) d z 匆 = e 4 f u t l 4 ij 口f | o + o + 蒜k “t 。e 3 扛) 珊( 茁k ，可) d z d + o g 叫饥圳t 川o f 3 2 5 1 注意到f ( ) ，e ( z ) ，“劬，”，t 切分别在平行于y 轴和x 轴的单元边界 1 4 连续，当”k 时”= ，= o ，”= 。= o 分别在平行子y 轴和x 轴的区域q 的 边界上成立。由引理2 并结合( 3 1 7 ) 一( 3 2 5 ) 可得 l ( “t 一( 厶u ) t ，口) isc 4 l t “l 。i i 口i i o ( 3 2 6 ) 2 4向后e 谢e r g z e 7 七讥法的高精度分析 本节我们讨论抛物方程的全离散格式。对向后日“f e r g 。f e r m 格式，令r 代表时间步长，驴代表当扛。= 礼r 时“( t ) 在中的逼近。用向后差商代替 ( 2 8 ) 中的时间导数得 磊u “= 丁一1 ( 矿”一，“一1 )( 4 1 ) 并将( 2 8 ) 改写为 f 箸1 2 ：v u “v ) = ( ，( k ) ) i 二乏 c a z ， 或 f ! ：“，”：+ 7 一( v u ”，v ”) = ( v ”一1 + r ，( t 。) t ，) ，v ”， ( 。) 1u 。： u 。，：o ，n ：1 ，2 ，3 ， 。3 定理4 1 ：设u 和泸分别是问题( 2 6 ) 和( 42 ) 的解。若真解u ，砜h e ( q ) 则 j u “一厶u ( t n ) | f 。a 4 z h ( 1 “t ( s ) l a + rj “t ( s ) i s + l u ( s ) i e ) d s + g r 上k | | u 。( s ) i f 。d s ( 4 4 ) 证明：令卵= 泸一厶u ( t 。) ，于是 ( 岛目“，u ) 十( v 自“，v 口) = ( q ? ，口) + ( q ；，t ，) + ( v ( u ( 。) 一厶u ( t 。) ) ，v ) ，( 4 5 ) 其中 q p = 岛( t n ) 一侥厶u ( t 。) ，q ；= m ( t 。) 一画“( 。) 由引理3 和引理4 可得如下估计 i ( q ? ，”) l = r 一1j ( “( t 。) 一“( “一- ) 一h ( “( t 。) 一u ( t 。一1 ) ) ，”) ， sg 酽r 。1 j u ( t 。) 一u ( t 一) 口 、7 f 4 6 1 以及 l ( v ( u ( k ) 一 u ( t 。) ) ，v ”) i c h 4 i u ( t 。) 1 6 i i 叫i o ( 4 7 ) 因为卵k ，我们在( 4 5 ) 中取口= 俨。利用( 46 ) ，( 4 7 ) 并注意到( v 眠v 铲) o 可得 i 馥俨，俨) i l 憾l l o + a 4 r 一1 l 札( t 。) 一“( t 。一，) i a + i 乱( k ) i s ) ) l i 口“0 ， ( 4 8 ) 即 | i 目”惦s | l 口“一1 | | o + r i i ”；l i o + e 4 ( 1 札( 。) 一“( 。一，) i t + 7 - i u ( t 。) 1 6 ) ) 1 1 日“i i o ( 4 9 ) 两端消去共同因子可得 | | 口“i i o | | 口”一1 0 十r | | 镌0 + c 4 ( i u ( t 。) 一让( t 。，) i a + 丁j u ( k ) i e ) ( 4