（计算数学专业论文）关于basemeso紧的若干问题研究.pdf

摘要 关于b a s e m e s o 紧的若干问题研究 作者简介：贾永进，男，1 9 7 3 年1 1 月出生，2 0 0 5 年9 月师从于成都理工大学曹 金文教授，于2 0 0 8 年6 月获硕士学位 摘要 本文用覆盖和映射来研究b a s e m e s o 紧空间和强b a s e m e s o 紧空间，获得了 如下主要结果： 1 关于b a s e - m e s o 紧空间的结果 ( 1 ) 设彳是b a s e m e s o 紧空间，m 是x 的闭子集，并且国( x ) = 国( m ) ，则m 是b a s e m e s o 紧空间 ( 2 ) 设x ，】，是m e s o 紧空间，并且国( 彳) 缈( d ，如果x 】厂是b a s e m e s o 紧空 间，则x 是b a s e m e s o 紧空间 ( 3 ) 设x 是b a s e m e s o 紧空间，x 是x 的c 子集如果x 是正规空间，则x 相对于x 是b a s e m e s o 紧的 ( 4 ) 如果x 是正规的m e s o 紧空间，并且x 是相对于x 的闭子空间的并，则x 是b a s e m e s o 紧空间 ( 5 ) 设x 是m e s o 紧空间，并且x 是局部b a s e m e s o 紧空间，如果x 是正规的， 则x 是b a s e m e s o 紧空间 ( 6 ) 设】，是b a s e m e s o 紧空间，：x 专】，为b a s e m e s o 紧映射并且 彩似) 国( 即如果j 厂是正则空间，则x 是b a s e m e s o 紧空间 ( 7 ) 设厂：x 专】，是b a s e m e s o 紧映射，并且缈( x ) 国( n 如果】，正则的 b a s e m e s o 紧空间，则x 是b a s e m e s o 紧空间 ( 8 ) 设：z 专】，是闭三切如，矽映射，并且具有正则定义域和正则象，国( x ) 是 正则基数如果】，是b a s e m e s o 紧空间，则z 是b a s e m e s o 紧空间并且x 的正则 性不能减弱为x 是h a u s d o r f f 空间 ( 9 ) 设x ，】，都是b a s e m e s o 紧空间，如果】，是局部紧空间，则x 】，是 b a s e m e s o 紧空间 2 关于强b a s e m e s o 紧空间的结果 ( 1 ) 设x 是强b a s e m e s o 紧空间，m 是x 的闭子集，并且国( 彳) = 缈( m ) ，则 成都理工大学硕士学位论文 m 是强b a s e m e s o 紧空间 ( 2 ) 设厂：x 一】厂是完备映射，如果】，是强b a s e m e s o 紧空间，x 是强 b a s e m e s o 紧空间 ( 3 ) 设】，是强b a s e m e s o 紧空间，厂：x 专】，是强b a s e m e s o 紧映 射，国( x ) 缈( d 如果】，是正则空间，则x 是强b a s e m e s o 紧空间 ( 4 ) 设x 是强b a s e m e s o 紧空间，】厂是紧空间，则x 】，是强b a s e m e s o 紧空 ( 5 ) 设x 是局部紧空间，则x 是b a s e m e s o 紧空间当且仅当x 是强 b a s e m e s o 紧空间 ( 6 ) 设x 是正则的七一空间，则z 是强b a s e m e s o 紧空间当且仅当x 是b a s e 一 仿紧空间 ( 7 ) 设x 是，一空间，则x 是b a s e m e s o 紧空间当且仅当x 是b a s e 一仿紧空 关键词：基b a s e 一仿紧 b a s e m e s o 紧完备映射b a s e m e s o 紧映射 a b s t r i c t s o m es u r v e y so nb a s e m e s o c o m p a c t i r m 的d u c t i o no fa u 也o r ：j i ay - o n 西i n ，m a l e ，w a sb o mi nn o v e m b e r ，19 7 3w h o s e t u t o rw a sp r o f e s s o rc a oj i n 、e n h eg r a d u a t e d行o mc h e n g d uu n i v e r s i 够 o f t e c l l l l o l o g yi nc o l l e g eo fi n f o m a t i o nm a l l a g e m e n t ，c o m p 北l t i o n a lm a t h e m a t i c s a n d w a sg r a n t e dt l l em a s t e rd e 铲e ei nj 1 e ，2 0 0 8 a b s t r a c t i nt h i sp 印e rb a s e - m e s o c o m p a c ts p a c e sa i l ds t r o n g l yb a s e - m e s o c o m p a c ts p a c e s a r ei r e s t i g a t e db ym a p p i l l ga l l dc o v e r i n gm e t h o d s2 u n l dt l l ef 0 1 l o 、访n gr e s u l t sa r e m a i l d yo b t a i n e d 1 r e s u l t so nb a s e m e s o c o m p a c ts p a c e s ( 1 ) l e txb eb a s e m e s o c o r n p a c t a n dmac l o s e ds u b s e to fx 谢t 1 1 国( x ) = 缈( m ) ，也e nm i sb a s e m e s o c o m p a c t ( 2 ) l e tx ，】，b em e s o c o m p a c ts p a c e s 、) l ，i m 缈( x ) 缈( d i f x 】，i s b a s e m e s o c 伽叩a c t ，t h e ns oi s x ( 3 ) l e txb eb a s e m e s o c o m p a c t 趾d b e 锄cs u b s e to fx i fx i s n o m a l ，t h e nx i sb a s e m e s o c o m p a c tr e l a t i v et ox ( 4 ) i fxi san o 眦a lm e s o c o m p a c ts p a c e狮dt h eu m o no fc l o s e d b a s e m e s o c o m p a c ts p a c e sr e l a t i v et ox ，t 1 1 e nx i sb a s e - m e s o c o i n p a c t ( 5 ) l e txb em e s o c o i n p a c t ，l o c a l l yb a s e - m e s o c o m p a c t i fxi s n o 加：l a ln l e n xi sb a s e m e s o c o n l p a c t ( 6 ) l e t】，b ea b a l s e m e s o c o m p a c ts p a c e 觚d 厂：x 寸】， b ea b a u s e m e s o c o m p a c tm a p a n d 缈( x ) 彩( 聊 i f】，i s r e g u l a rn 1 xi s b a s e - m e s o c o i n p a c t ( 7 ) l e t 厂：x 专】，b eab a s e - p a r a c o i n p a c tm 印锄d 力( x ) 国( d x i s b a s e m e s o c o m p a c ti f 】， i sr e g u l a ra n db a s e - m e s o c o m p a c t ( 8 ) l e t ：x 寸】，b cac l o s e d 三切如，矽m 印谢mr e g u l a rd o m a i n 锄dr e g u l a r r 锄g e 锄d 缈( x ) b ear e g u l a rc 莉i i l a l 卸i f 】，i sb a s e - m e s o c o m p a c t ，n l e nxi s i 成都理工大学硕士学位论文 b a s e m e s o c o m p a c t m o r e o v e rt ：h er e g u l a r i t ) ro fxc a i ln o tb er e p l a c e db yxi s h a u s d o r f ! fs p a c e ( 9 ) l e txa 1 1 d 】，b eb o mb 嬲e - m e s o c o m p a c t x 】，i sb a s e m e s o c o n l p a c ti f j ，i sl o c a l l yc o m p a c t 2 r e s u l t so ns 廿o n g l yb a s e - m e s o c o m p a c ts p a c e s ( 1 ) l e txb es t r o n g l yb a s e m e s o c o m p a c t a n dmac l o s e d s u b s e to fx 谢n l 缈( x ) = 缈( 朋) ，t l l e nmi ss 缸d n g l yb a s e 。m e s o c o m p a c t ( 2 ) l e t 厂：x 一】，b eap 耐e c tm 印x i ss 仃o n g l yb 2 l s e - m e s o c o m p a c ti f 】厂 i ss 打o n g l yb a s e - m e s o c o m p a c t ( 3 ) l e t 】，b eas 仃o n g l yb a s e m e s o c o m p a c ts p a c e 觚d 厂：x 专】厂b e as 仃o n g l y b 觞e m e s o c o m p a c tn l a p 趾d 彩( x ) 彩( 即i f 】，i sr e 叫a r 恤nx i s s 仃o n g l y b 舔e - m e s o c o m p a c t ( 4 ) l e txb eg 昀n g l yb a s e - m e s o c o m p a c t 锄d x 】厂i ss t r o n g l yb a s e m e s o c o i n p a c t ( 5 ) l e txb e1 0 c a l l yc o m p a c tt h e nxi sb a s e m e s o c o m p a c ti fa 1 1 do i l l yi fx i ss n o n g l yb a s e - m e s o c o m p a c t ( 6 ) l e txb ear e g u l 2 u r 七一s p a c e 1 1 l c n xi ss 臼o n g l yb a s e m e s o c o r n p a c ti f a i l do i d yi f彳i sb a s e p a m c o m p a c t ( 7 ) l e txb e ，一s p a c e 7 n l e nx i sb 硒e - m e s o c o m p a c ti fa n do 芏l l yi fxi s b a s e p a 成l c o i i l p a c t k e y w o r d s ：b 嬲i s b 私e p a r a c o m p a c t b 嬲e - m e s o c o i n p a c tp e 疵c tm 印b 勰e 。m e s o c o m p a c t m a p 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛壑堡王态堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 落永进 z o o 合年占月2 2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡工杰堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛壑堡工太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：定永过 学位论文作者导师签名：9 旁磊笋及 夕仰莎年，月二弓 日 c h 印t e r li n 仃o d u c t i o n c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 1 1r e s e a r c hs t a t u sh o m ea n da b r o a d m e t r i cs p a c e sa i l dc o m p a c ts p a c e sa r et 、oo ft h em o s ti m p o r t a n tc l a s s e so f t o p o l o g i c a ls p a c e s a n dp a r a c o m p a c ts p a c e ss i m u l t a i l e o u s l yg e n e r a l i z eb o t hc o m p a c t s p a c e sa n dm e t r i z a b l es p a c e s p a r a c o i n p a c ts p a c e sa r eo n eo ft h ef o c u s e si nw h j c h t o p o l o g i s t sa n da 1 1 a l y s t sa r ei n t e r e s t e d i n1 1 i sp a p e r 1 】，t o p o l o g i s tj e p o r t e rc a l l sa s p a c exb a s e - p a r a c o m p a c ti ft l l e r ei sab a s e历 f o rxo fc a r d i n a l i t ye q u a lt ot h e 、v e i g h to f 彳 s u c ht l l a te v e r yo p e nc o v e r o fxh a sal o c a l l yf i l l i t er e f i n e m e n t b ym e m b e r so f 移 h eo b t a i n e ds o m ea n a l o g o u sr e s u l t so fb a s e p a r a c o m p a c t n e s st o p a r a c o i n p a c t n e s s a n dh eo b s e r v e dt h a tm e t r i cs p a c e sa r eb 2 l s e - p 锄c r n p a c t m o r e o v e r h es h o 、v e dt l l a tp a r a c o m p a c to r d e r e ds p a c e s o f 、v e i g h tn o t 铲e a t e rt h 趾 国l a r e b a s e - p a u r a c o m p a c t a t 吐l ee n do fl l i sp a p e rh er a i s e df o u ro p e nq u e s t i o n s 1 a r ep a r a c o m p a c tg o s p a c e sb a s e - p a r a c o m p a c t ? 2 觚s t r a t i f i a b l es p a c e sb a s e p a r a c o m p a c t ? 3 觚p r o t o m e t r i z a b l es p a c e sb a s e - p a r a c o m p a c t ? 4 a r ec o i u l e c t e dp a r a c o m p a c ts p a c e sb a s e 巾a r a c o m p a c t ? a tt h es 锄et i m eh ed e f i n e ds n o n 9 1 yb a s e - p a r a c o m p a c t n e s sa i l dp r o v e dt h a t n o n - a r c h i m e d e a i ls p a c e sa r es t r o n 9 1 yb a s e - p a r a c o m p c ti n1 1 i sp 印e r 2 】m o r e o v e rh e s h o 、v e dt h a tf o rs 仃o n 9 1 yb a s e p a m c o m p a c ts p a c ex ，恤r ee x i s t sa f 锄i l yo f 丘m c t i o n 矿谢也i 矿| _ 国( x ) s u c hn 斌e v e 巧o p e nc o v e r 髟h 弱a1 0 c a l l yf i i l i t ep a n i t i o no f u l l 蚵罗c 矿s u b o r d i i l a _ t e dt 0 髟 h la d d i t i o nh ea l s ol i s t e dt h r e eo p e nq u e s t i o n s a tm ee n do f l l i sp a p e r 2 1 心es t r o n g l yp a r a c o m p a c tm e t r i cs p a c e ss n o n g l yb a s e p a r a c o r n p a c t ? 2 觚p a r a c o m p a c tl i n e a r l yo r d e r e ds p a c e ss t r o n g l yb a s e - p a r a c o m p a c t ? 3 d ob a s e - p a r a c o m p a c ts p a c e sh a v eaf 眦i l yo f 劬c t i o n s 矿谢t hc a r d i n a l i 哆 e q u a l t ot h ew e i g h ts u c ht l l a te v e 巧o p e nc o v e rh a sal o c a l l yf i i l i t ep a r t i t i o no fu i l i 够 s u b o r d i n a t e dt oi t 舶m 矿? m a l l ys c h o l a r ss h o w e dg r e a ti n t e r e s to nb a s e - p a r a c o i n p a c t l l e s s s g p o p v a s s i l e v i n 3 】a s k e dw h e t h e re v e 巧p a r a c o i n p a c th a u s d o r f fs p a c em u s tb eb a s e - p a r a c o i n p a c ta t t h e2 0 0 4s p r i n gt o p 0 1 0 9 ya i l dd y n 锄i c sc o n f e r e n c ea tt h eu m v e r s i t ) ，o fa 1 a b a m 如 b i m i n 曲a m a t2 0 0 5s p r i n gt o p o l o g ) ra 1 1 dd y n a m i c sc o i 疵r e n c e ，g ( h e l l l l a g e ， 成都理工大学硕士学位论文 c o - e d i t o ro ft o p o l o g yp r o c e e d i n g s ，i n 4 g a v eap o s i t i v ea n s 、v e rt oo p e nq u e s t i o n4 2 b yj o h ne p o r t e r a n dh ea l s op r o v i d e da ne x 锄p l eo fac o u n t 百b l yc o m p a c tl o t s w h i c hi sn o tb a s e - n o 珊a 1 k y a m a z a k i 锄n o u n c e dt h a ts 仃o n gb a s e - p a r a c o m p a c t n e s s i se q u i v a l e n tt op a r a c o m p a c t n e s si nt h er e a lo fl o c a l l yc o m p a c th a u s d o r f fs p a c e si 1 1 5 】k y a m a z a l 【ia l s oo b s e n ，e dt h a tap a r a c o m p a c ts p a c ei sb a s e - p a r a c o m p a c ti fa n d 0 1 1 l yi fi ti sb a s e - n o m a l i n 6 y u l ( i n o b uy 萄i m ai n v e s t i g 砷e db a s e 巾a r a c o n l p a c t l l e s s o fr e c t a i l g u l a rp r o d u c t sa n ds h o 、v e dt h a tx 】，i sb a s e - p a r a c o m p a c ti fl e txa i l d 】厂b eb a s e - p a r a c o i n p a c ts p a c e s ，a 1 1 dx 】，i sp a r 2 u c o m p a c ta i l dx r e c t a i l g u l a ri n 6 】 7 p r o f e s s o rk e d i a i ll ia i l d x i u f e n gf e n gp r o v e dt h a t ar e g u l a rs p a c ei s b a s e p a r a u c o r n p a c ti fa n d0 1 1 1 yi fm e r ei s a 1 1o p e nb a s i so fc a r d i n a l i t ye q u a lt oi t s w e i g h ts u c ht h a te v e r ) ro p e nc o v e rh a sal o c a l l yf i m t er e f i n e m e n tb yc l o s u r e so f m e m b e ro ft h eb a s i si 1 1 8 a n dh eo b t a i n e dt h a tb a s e - p a r a c o m p a c t n e s si sn o t h e r e d i t a 巧b yg i v i l l gac o u n t e r e x a l l l p l ei n 【8 a t2 0 0 5h t e m a t i o n a lg e n e r a lt o p o l o g ) r s y i l l p o s i u m ，z h a n g z h o u t e a c h e rc o l l e g ep r o f e s s o rl i s h e n gw hr a i s e dw h e t l l e r b 鹊e p a r a c o m p a c t n e s si i e r s e l yw a sp r e s e r v e du n d e rc l o s e d 三扬如，矽m 印i n 9 】h l 【1o 】p r o f e s s o r n gg ed e f i n e db a s e p a r a c o m p a c tm a p 髓dc l a i m e dt 1 1 a te v e 珂 b a s e - p 觚a c o i r l p a c tm 印i 1 1 v e r s e l yp r e s e r v e sb 锻e p 锄c o m p a c 缸1 e s si f 国( 工) 彩( y ) ， 、) i ，：i l i c hi m p r o v e dn l es 锄er e s u ho fj o l l i le p o r t e ra b o u tp e r f e c tm a p a t t b es 锄et i m e b e p r o v e d t h a t e v e r y c l o s e d f 以出z 矽m a pi n v e r s e l yp r e s e r v e s b a s e - p 觚i c o m p a c t i l e s si fa n do i l l yi fx 弛d 】，a r eb o 也r e g u l a r 锄d 国( x ) i sa r e g u l a rc a r d i n a l i 饥w l l i c hg a v es o m ea n s w e r sf o r l eq u e s t i o no ni n v e r s ei m a g e so f b a s e - p a r a c o r n p a c ts p a c e s s u l i n gk a n g i n 仃o d u c e d b a s e - m e t a c o m p a c 协e s s a r l d i n v e s t i g a t e dh e r e d i 够 o fi ti n 【1 1 】 x i a o b i nd e n gg a v ec h a u r a c t e r i z a t i o n so n b a s e - m e t a c o m p a c t n e s s i n 【l2 】 c b l 擒i 】x i uf ua n dj i a n x i nz h o ui 1 1 仃o d u c e d b a s e - c o u n t a b l e _ p a r a c o m p a c t n e s sa 1 1 di n v e s t i g a t e di t sp r o p e n i e si n 1 3 】a n dm e yg a v e ac h a r a c t e r i z a t i o no fb a s e c o 吼t a b l y p a r a c o m p a c ts p a c e si n 14 】h a i f e n gp e n g ， y o 坷i nj i aa n dj i n w e nc a 0i n t r o d u c e db a s e - o n l l o c o m p a c ts p a c e sa 1 1 do b t a i n e ds o m e a 1 1 a l o g o u sr c s u l t so fb a s e o r m o c o m p a c t i l e s st oo r t h o c o m p a c t n e s si n 15 】y - 0 n 萄i nj 氓 h a i f e n gp e n ga n dl i w e is o n gi n t r o d u c e db a s e - c o u n t a b l y m e s o c o m p a c t n e s s a 1 1 d s h o w e ds o m ep r o p e r t i e so fi ti n 【16 】y - o n 自i n j i ap r o v e dt 1 1 a te v e r ) ，c l o s e d 三切如，矽m a pi i l v e r s e l yp r e s e r v e sb a s e - c o u i l a b l e m e s o c o m p a c t r l e s s i fxa i l d 】， 2 a r e b o t l l r e 刚a r 砒1 d 缈( z ) 国( 即i 1 1 17 】 1 2t h eb a s i so f t 0 p i cs e l e c t i o n b a s e - p 蹦犯o m p a c ts p a c e sa r ep a r a c o m p a c t h o 、w v e rw h e t h e rp 撇c o m p a c t s p a c e sa r eb a s e p 觚a c o m p a c ti sa no p e n p r o b l e mw 1 1 i c hi sn o ts o l v e db yn o w i “s 、e u k n o w nt h a tp a r a c o m p a c t n e s si m p i i e s m e s o c o m p a c t m e s s ，a tt h es 锄et i m ei n v e r s e m l p j l c a t l o n1 sn o t 伽】e i nt l l i s d i s s e r t a t i o n ，b a s e - m e s o c o m p a c t n e s sw 场c hi sm o r e c o 。1 1 p j i c a t e ds t n l c t u r et h a i lb a s e p a r a c o m p a c t n e s si si n v e s t i g a t e d s p a c e xi sc a l l e d t 0b e b a s e m e s o c 伽叩a c t i ft h e r ei sa c o l n p a c t f i l l i t eb a s i s留 f o rx嘶t i l i 。够j - 缈( x ) 1 3m a i nr e s u l t si nt h i s p a p e r i n 廿1 i sd i s s e r t a t i o n b a s e - m e s o c o m p a c ts p a c e s a r es t u d i e da t f i r s t n e n 西咖g m o r er e s t n c t l v e c o n d i t i o n ， s t r o n gb a s e - m e s o c o h l p a 咖e s sa r ed i s c u s s e d s o m e p r o p e r t i e so fm e s es p a c e sa r ei i e s t i g a t e db ym 印p i n g a n d c o v e r i n gm e t h o d s ，s u c h 嬲 p r o d u c tp r o p e n y ，m a p p i n gp r o p e n ya n dh e r e d i t a r ) ，p r o p e 啊1 1 1 e f o l l o w i n gr e s u l t sa r c m a j l l l yo b t a i n e d 1 i 沁s u l t so nb a s e - m e s o c o m p a c t s p a c e s ( 1 ) l e tzb e b a s e 。m e s o c o i n p a c ta l l dmac l o s e ds u b s e t o fxw i t l l 国( ) = 国( m ) ，t h e n ，i sb a u s e m e s o c o m p a c t ( 2 ) l e tz ，】，b em e s o c o m p a c t s p a c e s 伽l 国) 国( 的i fx 】厂i s b a s e - m e s o c o m p a c t ，t h e ns oi sx ( 3 ) l e txb eb a s e 。m e s o c o n l p a c ta 1 1 d x 7b ea i lcs u b s e t0 f 彳i fx i s n o n n a l ，t 1 1 e nx 7i sb a s e m e s o c o m p a c tr e l “v e t ox ( 4 ) i fzi san o m a l m e s o c o i n p a c ts p a u c ea n dt l l e证o no fc l o s e d b a l s e m e s o c o l l l p a c ts p a c e sr e l a t i v et oj ，t h e n i sb a s e m e s o c o m p a c t ( 5 ) l e txb em e s o c o m p a c t ，l o c a l l yb a l s e - m e s o c o m p a c t i fx i sn o 姗甜舭n 彳i sb a s e - m e s o c o i n p a c t ( 6 ) l e tj ， b ea b 硒e - m e s o c o m p a c ts p a c ea n d 厂：x _ 】，b ea 3 一盛塑望三奎堂堕主兰垡笙塞 一一 b 嬲e m e s o c o i 珥，a c tm 印a n d 国( x ) 缈( y ) i f】，i s r e g u l a r t h e nxi s b a s e 瑚l e s 0 c o i n p a m ( 7 ) l e t ：x 一】厂b eab a s e - p a r a c o n l p a c tm a pa n d 国( x ) 缈( y ) x i s b 嬲e m e s o c o r n p a c ti f 】厂 i sr e g u l a ra n db a s e m e s o c o n l p a c t ( 8 ) l e t 厂：x _ yb eac l o s e d 三加如，妒m a pw i mr e 则a rd o m 咖趾d r e g u l a r 啪g ea 1 1 d 缈( x ) b e ar e 则a rc 矾i i l a l 埘i fyi sb a s e m e s o c o m p a c t ，l e n xi s b a s e m e s o c o m p a c t m o r e o v e r t 1 1 er e 则础yo fxc a nn o tb er 印1 a c e db yxi s h a u s d o 册s p a c e f 9 、) l c txa i l d 】厂b eb o t hb a s e - 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m e s o c o i i l p a c t 1 f 缸d0 1 1 l yi fxi sb a s e - p 2 u r a c o m p a c t ( 7 ) l e txb er s p a c e t h e nxi sb a s e m e s o c o m p a mi fa n do i l l yi f xi s b 弱e 巾a r a c o l n p a c t 4 c h 印t e r2p r e l i m i n 撕e s c h a p t e r2p r e l i m i n a r i e s 2 1b a s i cn o t i o na n dt b r m s a s p a c em e a n sat o p o l o g i c a ls p a c e t h es 弘曲o l d e n o t e st h es e to fa 1 1n a ：t u r a i n u m b e r s 1 1 1 ec a r d i i l a l 毋o f 彳i sd e n o t e db yi 么i d e n o t e st h ef i r s ti 1 1 f i i l i t e c a r d i n a l i t ) ra n dqd e n o t e st 1 1 es m a l l e s tu n c o u n t a b l ec a r d i n a l i 何f o ras p a c ex ， 缈( z ) s t 锄d sf o r t h ew e i g h to fx 彳。a n d 如“s t a l l d 矗wt h ec o m p l e m e n to f