（课程与教学论专业论文）新课程下函数概念及其教学探讨.pdf

硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i $ 中文摘要 函数是数学课程中的一个核心概念。然而，由于函数概念的抽象性和复杂性， 它也是中学数学教学的一个难点。在新的基础教育课程改革中，函数概念的教学是 一个值得探讨的话题。本文立足函数定义的层次性，综合考虑函数概念的发展历史 和学生的认知特点，结合新课程实验教材以及a p o s 理论，从整个中学数学的全局对 函数概念的教学进行探讨。 函数概念的发展在历史上经历了两次大的飞跃，反映出人们对函数认知的不同 层次。认知心理学认为，个体认知发展的心理过程简约地遵循着人类认知发展的历 史过程。本文研究了函数概念的历史发展过程，并结合历史，对中学数学课程中函 数的两种定义进行了分析；同时，通过课程与历史的对照，得出关于函数概念教学 的若干启示。 前人已有的研究表明，函数概念的特点以及学生认知发展的阶段性对函数概念 的学习造成一定的困难。结合前人的研究，本文简要地分析了函数概念的特点及认 知，在准确把握教学难点的基础上，提出函数概念的教学应循序渐进地来开展，以 突破教与学的难点。 教材是教与学的依据。在新的教学理念的指导下，新课程实验教材中函数内容 的编排体系发生了较大的变化，这对函数概念的教学有着指导意义。本文对新课程 实验教材的函数内容体系与函数概念的学习进行了相关分析，在此基础上探讨了函 数概念教学的阶段和层次。 在前面所作努力的基础上，结合新课程理念和实验教材以及a p o s 理论，本文 重点对中学函数概念的教学进行了探讨，尝试着分层递进地来进行各阶段的教学设 计。文章最后给出关于这种层次性教学的若干建议。 关键词：函数概念；新课程；教学：a p o s 理论； 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s a b s t r a c t f u n c t i o ni sac o r ec o n c e p ti ns c h o o lm a t h e m a t i c s h o w e v e r , i t st e a c h i n gi sv e r y d i f f i c u l td u et ot h em o d e md e f i n i t i o nb a s e do n am a p p i n go fd e m e n mf r o mo n en u m b e r s e tt oa n o t h e r f o ri m p l e m e n t i n gt h ev i s i o n so fn e wc u r r i c u l u m ，w eh a v et o 北e x a m i n e t h ec o n c e p to ff u n c t i o ni ns c h o o lm a t h e m a t i c sa n di t st e a c h i n gf r o mt h eh i s t o r i c a l d e v e l o p m e n to ft h ec o n c e p to ff u n c t i o na n ds t u d e n t s c o g n i t i v es t r u c t u r e i nt h i st h e s i s ， w es h a l ld r a wu pas p i r a lp i c t u r ef o rt h ec o n c e p to ff u n c t i o ni ns c h o o lm a t h e m a t i c sa n d u s ei tt oa n a l y z et h ee x p e r i m e n t a lt e x t b o o k s t h eh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n to ft h ec o n c e p to ff u n c t i o nh a sr e v e a l e dt h a tp e o p l eh a v e g o n et h r o u g ht w ol e a p st of o r mt h em o d e mc o n c e p to ff u n c t i o n t h i sk i n do f h i s t o r i c a l a n a l y s i ss u g g e s t su s t os e tu pt w ol e v e l sf o r t h ec o n c e p to ff u n c t i o ni ns c h o o l m a t h e m a t i c s m e a n w h i l ew ea l s oo b t a i nc e r t a i ne n l i g h t e n m e n ta b o u tf u n c t i o nc o n c e p t t e a c h i n gt h o u g bt h ec o n t r a s t i n gb e t w e e nc u r r i c u l u ma n d h i s t o r y r e s e a r c hh a ss h o w e dt h a ts t u d e n t sh a v ee n c o u n t e r e ds i g n i f i c a n td i f f i c u l t i e si nt h e l e a r n i n go ff u n c t i o nd u e t ot h e i rc o g n i t i v ed e v e l o p m e n tl e v e l s b a s e do nt h i sr c s e a r c h w e h a v em a d es o m ea d v i c e so nh o wt oh e l ps t u d e n t sr e m o v et h ed i f f i c u l t i e s a st e a c h e r so f t e nr e f e rt ot e x t b o o k sf o rc o n t e n ts e l e c t i o na n do r g a n i z a t i o no fl e s s o n s ， w eh a v es y s t e m a t i c a l l ya n a l y z e dt h ec o n t e n ts t r u c t u r eo ff u n c t i o ni nt h ee x p e r i m e n t a l t e x t b o o k so ft h en e wc u r r i c u l u m m e a n w h i l ew ea l s oc o m eo u tw i t hs e v e r a ls t e p so ft h e t e a c h i n go f t h ec o n c e p to ff u n c t i o n f i n a l l yw ep r o p o s eas p i m lt e a c h i n gp l a nf r o mt h ep r e v i o u sa n a l y s i sa n dt h ea p o s t h e o r y w eh a v ea l s om a d es e v e r a ls u g g e s t i o n sf o rt h ee f f e c t i v et e a c h i n ga n dl e a r n i n go f t h ec o n c e p to ff u n c t i o ni ns c h o o l sa tt h ee n do ft h et h e s i s k e y w o r d s ：t h ec o n c e p to ff u n c t i o n ；n e wc u r r i c u l u m ；t e a c h i n ga n dl e a r n i n g ； t h ea p o s t h e o r y ； 硕士学位论文 m a s t er ，s t h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的 成果。除文中已经注明引用的内容外。本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作 品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律结果由本人承担。 论文作者签名：关杰日期：2 0 0 7 年斗月j 7 日 学位论文版权使用授权说明 本人完全了解华中师范大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师 范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本人已经认真阅读“c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的学位论文 提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中规定享受相关权益。 论文作者签名：翼杰 日期：2 叼年毕月刁日 导师签名： 日期：细7 啦日 、j晓矽 膨刚 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 1 问题的提出 1 概论 我们生活在一个变化的世界里。 函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型，它广泛地存在于我们身边；大 到宇宙起源、天体运转，d , n 原子、分子的运动；从物理学中的放射性衰变到化学 中的细菌增长再到社会学中的人口膨胀以及经济学中的股票走势、复利计算；还有 日常生活中的温度升降、体重增减等等。变量之间有一种相互依赖的关系，可以从 某一方面的变化信息推知另一事物的变化信息，这种认识事物的思想方法在我们周 围，在各学科中随处可见。 回溯历史，1 7 世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，人们获得了 “变量”的概念，这是数学发展史上的一个重大转折。恩格斯指出：“数学中的转 折点是笛卡尔的变量，有了变量，运动进入了数学；有了变量，辩证法进入了数学； 有了变量，微分和积分也立刻成为必要的了，而它们也立刻产生”。自此，数学开 始研究运动变化中的量和量之间的相互制约关系。函数作为研究变量之问依赖关系 的一个最基本的数学工具，它的提出，是人们对现实世界中具体数量关系的认识向 抽象数量关系的认识的一个飞跃，标志着数学发展由常量数学到变量数学的重大转 折。许多数学分支由此而派生，使得数学科学蓬勃发展，函数概念也因而成为近现 代数学的基石。 函数概念是现代数学的一个基本概念，同时它也是中学数学课程的核心概念。 在中学数学中，函数知识是代数内容的一个很庞大的构成部分，它密切联系方程 ( 组) 和不等式，并且其思想方法渗透于几何、三角、数列、排列组合等各个章节， 辐射面之大、应用之广使之成为贯穿中学数学的一根红线，把中学数学的知识内容 紧紧连成一个网络。函数概念是函数知识的起点，也是后续学习的重要基础。对函 数概念的认识和理解，从一定程度上讲，影响着整个中学数学的学习。因此，函数 概念是中学数学教学的重点。但因为函数概念的抽象性和复杂性，它也成为中学数 学教与学的难点。 鉴于函数概念在中学数学中的核心地位以及学生对其认知的困难性，各级教育 工作者针对函数概念的教与学，连续不断地开展了各项研究。笔者基于前人的研究， 并结合当前正在进行的新一轮课程改革，试图对函数概念的教学进行初步的探讨， 硕士学位论文 m a s t e r s 谊e s i s 以期自己能在研究过程中得到进步，也希望对新课程下函数概念的教学有所启示。 1 2 研究综述 到目前为止，国内外关于函数概念教与学的研究比较多，现作如下综述。 1 2 i 函数概念的认知发展研究 关于函数概念的理解和认知，许多教育工作者都做过研究，现只选取如下代表。 其一，从个体的年龄上分析，皮亚杰、朱文芳和郝妍琴等人的研究显示，个体 的认知发展存在着较为明显的年龄特征。 皮亚杰在儿童的智力发展理论中提出：学生到了9 至l o 岁，已经有能力发现数 量之闻变化的依赖关系，这就标志着他们能够归纳现象中的函数关系。但是在分析 现象时，还不会把过程中蕴含的因素分离出来，只是在类与类之间或是在系列化的 步骤中找到对应关系n ，。 朱文芳于1 9 9 9 年考查了北京市六所中学的8 0 2 名初一到初三学生的函数概念 发展水平，结果表明初中生函数概念的发展存在较为特殊的年龄特征：初中生将近 一半的人不能使用运动、变化的观点来看待问题，并且还不能脱离问题的实际内容 来理解抽象概括的数量关系；初二是学生函数概念发展的一个转折点，从初二以后， 学生无论是进行文字信息和图形信息加工的能力都有明显增强，但将文字信息和图 形信息进行转换的能力还很低”1 。 郝妍琴对高中生函数概念的理解情况进行了调查，结果表明：高中生对函数概 念的认知发展水平呈迂回上升趋势，高二最低，高三明显高于高一、高二年级。对 函数概念的认知水平，高三和高一、高三和高二年级均有显著差异，高一和高二年 级没有显著差异；另外，高中生对函数概念的理解多种多样，在判断一个对象是否 为函数时有的学生根据定义，更多学生是根据函数概念在头脑中的表象：许多学生 关于函数概念的表象是错误的，其根本原因是没有掌握函数概念的本质特征。1 。 其二，从函数建构的过程上分析，国内外已有的研究分别指出，个体函数概念 的建构是分阶段进行的。 托马斯用问卷和个别访谈的方法研究了1 1 1 4 岁学生函数概念的发展情况。通 过调查他认为学生大致是分三个阶段掌握函数概念的：最低阶段，函数被理解为指 派的程序；第二个阶段，可以按不同背景识别函数，且能在背景之间转换；最高阶 段，函数被看成一个对象。有一定的性质且可对其施加运算”1 。 2 硕士学位论文 b l a s t e r s t h e s i s 曾国光综合考察了中学生函数概念认知的发展，他指出中学生关于函数概念的 认知发展过程分为以下三个阶段：作为“算式”的函数、作为“变化过程”的函数、 作为“对应关系”的函数，学生是否真正理解函数概念，关键在于其表象的形成和 发展水平。 贾丕珠指出，对函数概念的认识不是简单的积累，需要有认识一反馈一再认识 的往复过程，根据函数概念的特点和学生的认知结构，可将函数概念的建构分为六 个层次：理解变量；突出“关系”；区别函数与算式：紧扣对应；力求形式化；当 作对象。前三个在初中完成，后三个适用于高中旧。 其三，从h p m 的研究角度分析，个体函数概念的认知发展与人类历史认知过程 具有相似性。 m 克莱因坚信，历史上大数学家所遇到的困难，正是学生也会遇到的学习障碍。 任明俊的调查研究表明：学生在学习函数概念时所出现的困惑和问题与历史上函数 概念的发展过程中出现的困惑和问题相一致；研究函数概念的发展历史可以帮助教 师更好地把握教学的难点，有助于诊断学生在学习函数概念时的认知困难，从而合 理地选择教学手段和方法，以突破函数概念理解的难点“】。 1 2 2 函数概念的课程研究 函数概念及其思想方法的广泛渗透性决定了它在课程改革中的重要位置。 我国真正意义上的函数教学起始于1 9 4 1 年初中数学课程标准的颁布。自此， 函数的课程内容历经精简和变迁。1 9 5 4 年，函数术语以及表示方法都以明显形式包 含于高中一年级的课程中，此时还没有提到函数概念。从1 9 6 3 年到2 0 0 2 年，函数 概念均在初三下学期的课程中第一次出现，其初次出现时的教学目标经历了以下变 化：“理解函数的初步概念”( 1 9 6 3 ) 一“了解函数概念”( 1 9 8 0 ) 一“了解函数的 意义，求几类具体函数的自变量的取值范围但不提出定义域、值域的概念”( 1 9 8 6 、 1 9 9 0 ) 一“了解变量、常量、函数的意义，会举出函数的实例，理解自变量的取 值范围和函数值的意义”( 1 9 9 2 ) 一“了解变量、常量、函数的意义，会发现、提 出函数的实例，理解自变量的取值范围和函数值的意义”( 2 0 0 0 ) 一“探索具体问 题中的数量关系和变化规律，通过实例了解变量常量的意义，能结合实例理解函数 概念”( 2 0 0 2 ) 。 在新一轮数学课程改革的背景下，以义务教育阶段数学课程标准为依据编出的 多套教材目前正在全国各地普遍使用；按高中数学课程标准编写的教材，也在部分 地区试用。在正在实施的新课程中，函数概念的第一次出现是在义务教育八年级的 3 硕士学位论文 m a s t e r 8 t h e s i s 课程中，然后又在高中必修1 的课程中加深。在新的教学理念的指导下，教材中函 数内容的编排体系发生了很大变化，教材编写者在函数概念的教学处理上也费尽心 思。人民教育出版社中学数学编辑室的王嵘老师指出，新课程实验教材中的函数知 识“在内容和处理方式上都发生了较大的变化。如何在传承传统教材优势的基 础上，在展现函数概念的概括过程、解释函数概念的本质、加强函数的应用以及适 当应用信息技术帮助学生理解函数概念等问题上锐意创新，以突破函数概念这个难 点，是本次函数内容编写中考虑的主要问题”肼 1 2 3 函数概念的教学研究 陈蓓通过观察函数课堂教学的现状和分析教师课堂教学的过程，得到影响函数 概念学习的教学因素如下：教师相对稳定的教学环节、情景问题的使用、以提问为 主的师生互动方式、计算机软件的辅助教学，都可以促进学生的理解；量多或难度 大的习题、提问和反馈策略的缺乏、教师包办学生思维等因素，都会制约学生认知 水平的发展”1 。 钟志敏在调查高一学生对应关系的理解情况时，通过对比研究发现，教师的教 学是影响学生函数概念理解水平的关键。为了促进学生对函数概念的理解，教师首 先要树立重视理解的教学观念，并采用合理有效的手段以循序渐进地发展学生的数 学理解。 李吉宝思考了有关函数概念教学的若干问题，值指出：为了帮助学生掌握函数 这一重要概念，可按“早、实、清”3 个字进行导学。所谓“早”，就是在初一、 初二的教学中，抓住相关的内容，及早地向学生渗透函数的思想方法，让学生产生 艨胧的变化意识：所谓“实”，是指由实例引入函数概念；所谓“清”，是指一定 要向学生讲清函数定义的语言叙述特点1 。 曾峥指出：函数概念的教学应借鉴于函数概念的历史发展过程，从教材的逻辑 结构和学生的心理结构着手，确定其在整个中学阶段的教学结构“”。 上述研究涉及到了学习论，课程论和教学论，其中关于学生函数概念的认知的 实证调查研究较多。这些实证研究为函数概念的教学奠定了基础，为教师合理地选 择教学手段和策略提供了帮助。由于我国新一轮的课程改革于2 0 0 4 年秋季才刚刚开 始在第一批实验区进行，正在协助实施新课程的中学数学教师也对新课程下的函数 概念教学缺少足量的经验，因此关于新课程下函数概念教学的研究相对缺乏。 4 硕士学位论文 m a 吼r st h e s i s 1 3 本文的研究工作 在新一轮的基础教育课程改革中，函数概念的教学正在成为新的探讨话题。在 此背景下，本文拟将对整个中学阶段函数概念的认知层次进行分析，然后对各层次 函数概念的教学进行探讨。 认知心理学认为，个体认知发展的心理过程是人类社会认知发展的简约反映。 在此观点下，学生学习函数概念的过程应简约地遵循人类的历史认识过程。因此， 函数概念的发展历史在一定程度上对函数概念的教与学有借鉴意义。本文将从研究 人类的认识过程入手，分析函数概念历史认知发展的阶段和层次；在此基础上，结 合历史对中学课程中的函数定义进行分析，并希望得出函数的发展历史对函数概念 教学的一些启示。这些将在文章的第二部分进行。 前人已有的研究表明，函数概念的特点以及学生认知发展的阶段性对学生的学 习造成困难。本文第三部分将在前人研究的基础上简要分析函数概念的特点及认 知，以期能准确地把握教学的难点，从而优化教学设计，为后文探讨函数概念的教 学服务。 教材是教与学的依据。在新的教学理念的指导下，函数内容的编排体系发生了 较大的变化，这对函数概念的教学有着指导意义。文章的第四部分对新课程实验教 材的函数内容体系与函数概念进行相关分析，希望分析出教材编写者为突破函数理 解的难点而在逻辑编排上所费的苦心，在此基础上试着分析教学发展函数概念教学 的阶段和层次。本文参照的教材分别是人民教育出版社2 0 0 4 年7 月出版的普通高 中课程标准实验教科书数学( b ) 和2 0 0 4 年1 2 月出版的义务教育课程标准 实验教科书数学( 以下分别简称初、高中新课程实验教材) 。 在前面工作的基础上，文章将在第五部分尝试对函数概念的教学进行初步探 讨，试图着眼于整个中学数学课程，综合考虑函数概念教学的全局性和层次性，循 环深入，逐层递进地来安排教学。文章最后将提出几点建议，希望能帮助教师从整 体上思考和把握新课程下的函数概念的教学，从而为下一阶段的教学准备好“先 行组织材料”，使各学段的教学能持续发展。 1 4 理论基础 1 4 1 数学概念的二重性 t h o m p s o n ，g r e e n o ，h i e b e r t 等人在8 0 年代指出，数学内容可以区分为过程和对 5 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 象两个侧面。所谓过程，就是具备可操作性的法则、公式、原理等。两对象则是数 学中定义的结构关系。在近几年的研究中，s f a r d 等人进一步认为，数学中，特别 是在代数中，许多概念既表现为一种过程操作，又表现为过程、操作。概念往往兼 有这样的二重性。这样的实例在数学中比比皆是： ： 数：既代表数数的过程，又代表数数的结果。 加法：a + 6 ，既代表两个集合中的元素合并或添加起来的过程，又代表合并 或添加后的结果。 多项式： + 口) 2 + 6 ，既代表x 与口相加后作平方运算，再添上b ，也代表x 、 a 、2 、b 按特定运算组成的一个关系结构，或是运算结果。 函数：既代表定义域中的元素按对应法则作对应的过程，又代表特定对应的 关系结构。 概括地讲同一个数学概念常常具有如下的二重性： 过程对象；算法一结果；操作性为结构关系。 相应地，他们可以分别具有以下特性： 动态一静态；细节整体；历时( 继时) 共时( 同时) 。 s f a r d 等人的研究进一步指出，概念的过程和对象这两个侧面有着紧密的依赖 关系。形成一个概念，往往要经历由过程开始，然后转交成对象的认知过程，而最 终结果是两者在认知结构中共存，在适当的时机分别发挥作用“”。 1 4 2 数学概念学习的建构理论a p o s 理论 a p o s 理论是由杜宾斯基等人提出的一种建构主义学习理论，它集中于对数学概 念学习过程的研究。杜宾斯基等人认为，学生学习数学概念要进行心理建构，这一 建构过程要经历a c t i o n ( 活动) 、p r o c e s s ( 过程) 、o b j e c t ( 对象) 、s c h e m e ( 图 式) 四个阶段。a p o s 分别是由这四个阶段英文单词的第一个字母所组成的。 这种理论认为，数学学习始于数学“活动”，个体在已有知识经验的基础上， 经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，一般就能在建构、反思的基础上把它 们组成图式，从而理清问题情景、顺利解决问题，达到建构数学概念的目的“? 。a p o s 理论的具体模式如下： 第一阶段活动( 或操作) 阶段 数学概念的形成大都需要个体进行反省抽象，而被反省的基础就是操作活动。 所谓操作，是指个体对感知到的对象进行转换，这个对象实质上是一种外部刺激。 例如，学生在构建函数概念时要进行活动或操作。这时，学生面对现实背景中蕴含 6 硕士学位论文 m a s t er ，s t h e s i s 函数关系的问题情境，利用原有的代数式和方程等相关知识经验将之转化为数学问 题，计算出该函数关系在一个个给定点处的函数值，这就是操作。个体通过完成活 动或操作，在教师提供的直观背景中获得对概念的初步认识，从而为概念的形成作 准备。， 第二阶段过程阶段 不断重复这种操作，以强化刺激。学生从中得到反思，于是就会在大脑中进行 一种内部的心理建构，即形成一种过程模式。这种过程模式使得操作呈现出自动化 的表现形式，而不再借助于外部的不断刺激。比如一旦学生认识到所谓函数只不过 是给定一个不同的数就会得出相应的不同值，而不必再进行具体的运算时，他就已 经完成了这种过程模式的建构。 在这一建构阶段，“操作”内化为“过程”，主要依赖于个体对“操作”进行 思考，在头脑中不断地进行描述和反思，找出活动或操作的共同属性，然后将这一 共同属性推广到一般情形，抽象出新概念所特有的本质。这一阶段学生主要是对活 动和操作进行分析比较、概括和反思，是概念的形成阶段。 第三阶段对象阶段 当学生意识到可以把这个过程看作是一个整体，并意识到可以对这个整体进行 转换和操作的时候，其实已经把这个过程作为一个一般的数学对象。对于函数概念 来讲，这时个体把注意力的集中由相应的计算过程转移到函数本身，把函数看成一 个单一的对象，使之成为更高层次思维运算中被操作的“实体”，可以去研究它所 具有的各种性质，如单调性、奇偶性、周期性等，也可以此为对象具体地去实施各 种特定的数学演算，如微分运算、积分运算等。 思维的运算性使得数学总要以某些层次上的概念作为对象进行运算，以产生新 的高层次的结论来。从数学的角度看，由“过程”向“对象”的转移其基本意义就 是为更高层次的研究开拓了现实的可能性。 当概念进入对象状态时，便呈现出一种静态的结构关系，成为一个可操作的具 体实体。作为对象的概念，在某一层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：它 既操作别的对象，又被高层次的运算来操作。研究指出，概念的学习，往往要经历 从过程转变成对象的认知过程，最终的结果是二者在认知结构中共存j 在适当的时 机分别发挥作用。这时，一个完整的理解才算真正成型。 第四阶段图式阶段 个体对操作、过程、对象以及原有认知结构中的相关知识经验进行高度整合、 精致，就会产生出新的问题图式，这种图式的作用和特点就是可以决定某些问题或 7 硕士学位论文 m a s t e r s t h f , s i s 某类问题是否属于这个图式，从而相应地作出适当反应。图式的形成是一个渐进的 积累过程，通常要经历三个阶段：单个图式( 只注意到前三个阶段积累下来的离散 的知识经验) 、多个图式( 初步注意到知识经验间的联系和衔接) 和图式的迁移( 彻 底地建构起所有相关知识点之间的内部网络结构) ，最后概念将以一种综合的心理 图式存在于建构者的脑海里，在数学知识体系中占有特定的地位。这一心理图式含 有概念的具体实例、抽象的过程、完整的定义，甚至与其它概念的区别与联系等。 a p o s 理论可以看作是数学概念的二重性在建构主义背景下的深化。并且，该理 论的观点与新的课程标准中的一些理念相吻合( 这从文章的第五部分可以看出) ， 因此它也为新课程下函数概念的教学提供了新的理论支持。 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 函数概念的历史发展与中学数学课程中函数的定义 波利亚认为：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人 类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断”“”。认知心理学指出，对于 数学认识或数学学习来讲，数学的发展史及其分析，从知识发展的角度为它提供了 认识论依据“”。因此，函数概念的发展历史对教学来说是一种有效的、不可或缺的 工具。 2 1 函数概念的历史发展及分析 2 1 1 函数概念的发展历史 函数经历了漫长的发展历史。 早期函数的雏形产生于人们对运动的研究。在整理实验数据时，伽利略发现运 动变化的物理量之间存在着某一客观规律，他在两门新科学中叙述道： 从静止开始以定加速度下降的物体其经过的距离与时间的平方成正比；沿着同 高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体，其下滑的时间与平板的长度成正比 这些用文字语言描述的数学关系其实就是函数关系，它隐含并依赖于具体的情境。 此时人们对函数的认识仅限于这些依赖于现实情景的具体函数。 1 6 6 7 年，英国数学家格列哥里在论圆与双曲线的求积一文中将函数描述为： 从一些量经过一系列的代数运算或任何其它可以想象的运算而得到的一个量 这可以看成是函数定义的解析起源。此时人们已经开始注意到一类情景中量与量之 间的关系，相比伽利略时期的认识来说，前进了一步。 1 6 7 3 年，函数一词出现在德国数学家莱布尼兹的手稿中，用来表示： 任何一个随着曲线上的点而变动的量，例如切线法线，次切线的长度以及点 的纵坐标等 莱布尼兹用函数来统称一类几何量，这被视作函数定义的几何起源。此时，函数的 含义是极其模糊和泛指的，但它的意义在于：人们注意到一类运动变化情境中共有 的属性，并用概括的方法形成了一个新概念，为数学提供了新的研究对象，也为函 数概念自身的发展奠定了基础。 1 7 1 6 年，约翰伯努利在与莱布尼兹的通信中使用了莱布尼兹的“函数”一词。 1 7 1 8 年，约翰伯努利将函数的定义初步明确化： 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由变量和常量用任何方式构成的量都可以叫做这个变量的函数。 这是历史上第一个正式发表的函数定义，这里第一次出现变量一词。 1 7 4 8 年，约翰伯努利的学生欧拉将他老师的定义更加明确化。由于当时连接 变数与常数的运算主要是算术、三角、指数、对数运算，所以欧拉就把用这些运算 连接变量和常量而成的式子，取名为解析表达式。在无穷小分析引论一文的开 头，欧拉写道： 变量的函数是一个解析表达式，是由这个变量和一些常量以任何方式组成的解 析表达式；称“常量是固定不变的量”，“变量是不确定的，可以取不同的数值的量” 十八世纪在将函数看作解析表达式的同时，人们注意到函数的几何表征，函数 被定义为曲线( 因为解析表达式在几何上表示为曲线) 。但当时的数学家都认为， 只有单一的解析表达式表示的曲线才称为函数。 1 7 4 7 年左右，欧拉在研究弦震动问题时发现，偏微分方程的解不一定是由单个 解析表达式给出的曲线，而可以是任意的一条曲线。因此，欧拉给出： 函数是在捌平面上随手画出的曲线所表示的y 与工间的关系 1 7 7 5 年，在欧拉口述的微积分的序言中，他又给出了函数新的定义： 如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，印当后面的这些变量变化 时，前面的这些变量也随之变化，则前面的变量称为后面变量的函数 该定义直观且强烈地反映了“运动”和“变化”的观点，是函数发展史上的一次大 的进步。但在定义中，“随之变化”的含义极不明确，甚至是错误的。例如，当自 变量由一2 变为2 时，y - 工2 的函数值并不发生改变。 1 8 2 1 年和1 8 2 3 年，柯西在解析教程和微积分纲要中将函数定义如下： 在某些变数问存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其它变数的 值也可以随之而确定时，则将最初的变数称为自变量，其它各变数称为函数 该定义避免了意义欠严密的“变化”一词，但它的局限在于对函数的本质对应 关系强调不够。 1 8 3 4 年罗巴切夫斯基也给出函数的一个定义： 这个一般的概念，要求把那个对于每个z 而给予的并随着石而逐渐变动的数， 称为x 的函数。函数可能由解析式给出，也可能由一个条件给出，这个条件提供检 验全部数并从其中选出一个数的方法最后，函数的依赖关系可以存在但仍然未知。 这个定义( 被称作列表定义) 建立了变量与函数之间的对应关系，是函数概念的 个重大发展：定义强调函数是“那个对于每个x 而给予的数”，同时也指出函数间的 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 依赖关系不一定用解析表达式给出。 1 8 3 7 年，德国数学家黎曼和狄利克雷分别给出他们对函数的定义，使函数概念 避免了有关依赖关系的描述。黎曼将函数定义为： 对于茗的每一个值，y 总有完全确定的值- 9 之对应，而不拘于x 和y 之间的对 应关系如何，均称y 是x 的函数 狄利克雷扩大函数的内涵，得到拓广了的函数概念： 设a b 是两个确定的值，对于口s 工b 之间的x 的每一个值，y 总有一个 或多个完全确定的值- 9 之对应，不论这一对应是用什么方式建立的，可以总把y 称 作x 的函数 黎曼和狄利克雷两人给出的函数定义强调函数对应的本质，称得上是科学的定义。 但函数概念发展到此时还存在一个重大缺陷，函数与函数值的概念还未得到区别。 1 8 8 7 年，德国数学家戴德金开始采用“映射”定义函数： 函数就是系统s 的一个映射妒，对于s 中的每一个确定的元素s ，按照对应法则 妒，都有一个确定的对象- 9 之相关联，这个对象称为s 的象，以妒o ) 表示；也可以 说妒( s ) 是由s 通过映射妒变换成妒o ) 十九世纪末二十世纪初，在康托尔创立的集合论的基础上，人们开始用集合语 言描述函数，函数便明确定义为集合之间的对应关系，函数与函数值的概念也得以 区分。 1 9 0 4 年，法国数学家坦纳里( j t a n n e r y ) 给出如下定义： 考虑数集旺) ，将它看成是x 的取值，于是x 就是一个变量假设工的每一个值， 即( x ) 的每一个元素，对z 2 j ：- 个数，这个数可以看成是字母y 的取值范围；我们说 ) ，是由该集合( z ) 所确定的x 函数：如果定义了对应关系，就定义了该集合上的一 个函数y 所取的不同值的集合( y ) 是由同一个对应关系确定的：我们说6 是) 的 一个元素，即( x ) 中存在一个元素a - 9 b 对应( x ) 的每一个元素都对应于( y ) 的一 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e $ i s 个元素；反之) 的每一个元素一定能找到( x ) 的一个元素与之对应。但在前面的 定义中，并没有排除( x ) 的多个元素对应于o ，) 的同一个元素换言之，( x ) 和( y ) 之 问的对应不一定是完全的 后来，美国数学家维布伦将研究对象拓广到一般集合上，用“集合”和“对 应”定义了函数： 给定两个集合a 和口，如果按照某种对应关系，对于a 的每一个元素，在集合 b 中都有唯一的元素与之对应，则这种对应关系称为从集合a 到集合b 的函数 这个定义克服了以前函数定义的各种局限。但定义中，“对应”一词含义模糊，无 法用数学语言表达清楚，这与数学逻辑的高度严密性还有距离。 1 9 1 4 年，在集合论纲要中，德国数学家豪斯道夫用“序偶”来定义函数， 避免了意义不明确的“变量”、“对应”等概念，但又引入不明概念“序偶”。1 9 2 1 年，波兰数学家库拉托夫斯基用集合概念定义了“序偶”，使得豪斯道夫的定义完 全建立在集合论的基础之上。这个新定义被认为是最严谨的函数定义： 设【，是所讨论的全集，对于z y e u ，定义序偶o ，y ) 为集合 仁，o ，) ，) 。设 ，是一个序偶的集合，如果当0 ，y ) 【，且o ，z ) c ，时，y ，z ，则称f 为一个函数。 函数概念的现代解释还有其他几种，它们都完全建立在集合论的基础之上。目 前，在现代数学课程中经常使用的是“关系说”的定义： 设a 、b 是非空集合，称集合 o ，y ) l x e a ，y e b ) 为爿与b 的笛卡尔集( 其中 y ) 为序偶) ，记作a b 1 0 ，y ) i x e a ，y e b ；称彳x b 的子集，为从彳到口的 关系；若从4 到口的关系，满足：魄月，存在y e b ，使得o ，y ) e f ；若 o ，y ) e f ，o ，z ) e ，则y - z ，则称，为从a 到口的函数 2 1 2 对函数概念发展历史的分析 函数概念历经漫长的发展过程，日渐完善。从上述历史可以看出，函数概念的 发展经历了“对具体情境中变量之间依赖关系的模糊认识一注意一类情境中共有的 函数关系一具有运算性质的解析定义一几何定义( 曲线) 一对应关系( 先是有具体 明显的关系，后到未知但存在的抽象关系) 一序偶集合”等变迁。整个函数概念的 发展历史大致可分为三个阶段：一是“变量观点”的定义阶段；二是“对应观点( 集 硕士学位论文 m a $ t e r s t h e s i s 合对应) ”的定义阶段；三是“序偶观点”的定义阶段。 从1 7 世纪开始采用变量来定义函数一直到1 9 世纪末，这是函数“变量观点” 的定义阶段。在这两百余年间，函数都被描述为变量之间的依赖关系：函数定义的 明确提出，最初使用的是带有运算性质的“变量观点”的定义，“从一些变量和一 些常量经过一系列的运算而得到的量”、“变量的函数是一个解析表达式”。实际上， 能用解析表达的函数它所包含的两个变量间的依赖关系相对具体、直观，这种关系 其实是一系列的数学运算，带有操作性质，故在概念形成之初更易于人们发现进而 抽象概括形成数学概念；随着实践的深入，函数被定义为依赖某一变量而变化的量； 后来，黎曼用对应来描述变量之间的依赖关系从而给出函数新的定义，克服了意义 复杂的“变化”一词，从运动变化的角度较准确地刻画了函数。 1 9 世纪末，集合论的创立使得人们开始考虑从集合的角度来研究函数概念。 1 9 0 4 年，坦纳里尝试用集合来定义变量：“考虑数集伍) ，将它看成是工的取值， 于是x 就是一个变量”，对黎曼的定义进行了调整。坦纳里的定义是函数概念由 “变量观点”的定义时期向“对应观点”的定义时期的过渡；随后，维布伦彻底避 开了意义不明确的“变量”一词，用“集合”和“对应”定义了函数。函数被描述 为集合之间的对应关系，函数进入“对应观点”的定义阶段。这是函数概念发展史 上的一次飞跃，标志着函数开始从过程性质的定义向结构关系性质的定义的过渡， 同时函数值与函数得以区分。 1 9 1 4 年豪斯道夫用“序偶”来定义函数，克服了“对应”概念的不明确性。 1 9 2 1 年库拉托夫斯基用集合概念定义了“序偶”，这是函数发展史上的又一次飞跃， 函数进入“序偶观点”的定义阶段。此阶段的特点是函数概念完全建立在集合论之 上，真正实现了逻辑上的严谨。并且。用“序偶”来定义函数，这使得函数关系被 拓展到一般集合上，并成为一个完全脱离了运算的结构性对象。此后，关于函数概 念的另外几种现代解释相继出现。 函数概念经过上述三个阶段的发展，逐级抽象，反映出人们对函数先过程后对 象的认知发展顺序以及认知的不同层次：“变量观点”的定义具有较强的操作过程 性质，而“序偶观点”的定义反映的是一种完全看不出对应操作的静态关系结构； “对应观点”的定义处于“变量观点”和“序偶观点”两种定义之间，兼有“过程” 和“对象”的二重性。 硕士学位论文 m a s t er s t h e s i s 2 2 中学数学课程中的函数定义及分析 2 2 1 中学数学函数概念的定义 在我国的数学课程中，函数概念的教学顺序与其发展历史的抽象层次相符。中 学数学中的函数概念，分初中和高中两个循环引入。 初中新课程实验教材“”中，函数定义如下： 一般地，设在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于z 的每一个 确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量( i n d e p e n d e n t v a r i a b l e ) ，y 是石的函数( f u n c t i o n ) 如果当石i a 时，y t b ，那么b 叫做当自 交量的值为a 时的函数值以。， 这一定义与德国数学家黎曼给出的定义很类似，从运动变化的观点出发，把函数理 解为两个变量之间的依赖关系，常被称作“变量说”。 随着学生学习的深入，数学课程中函数的定义也在不断发展变化着。在对初中 课程中函数的描述性定义进行复习的基础上，高中新课程实验教材“”通过实例，深 入地分析了一个函数关系所包含的要素，用集合语言更准确地刻画了函数： 定义设集合a 是一个非空实数集，对a 内的任意实数x ，按照确定的对应法 则，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合a 上的一个函 数，记作 y i f c x ) ，工e a ， 其中x 叫做自变量，自变量取值的范围( 数集a ) 叫做这个函数的定义域 如果白变量取值a ，由对应法则，确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作 ) ，- 厂0 ) 或y f 。 所有函数值构成的集合 y i y - ，o ) ，x 彳) 叫做这个函数的值域。一m 这个定义指出，函数是两个集合之间的一种对应关系，与维布伦的用“集合” 和“对应”概念来叙述的近代定义很类似，可以看作是由它演变而来，常被称作“对 1 4 硕士学位论文 m a s t er ，s t h e s i s 应说”。“对应说”的定义抓住了函数概念的本质属性两个集合之问的某种确 定的对应关系：集合a 中的元素随处定义且单值定义的，值域集合中的元素依赖于 a 中的元素且由对应关系所确定；至于对应关系如何给出，方法多种多样，可用公 式、图形、表格或其他形式。无论对应关系用什么样的形式表示，只要具备函数的 本质特征，它就是函数。 教材在引入函数概念之后引入了映射的概念，并用它来定义函数，将函数看作 一种特殊的映射数集到数集的映射。在此观点下，函数成为映射这一更高层概 念的一类具体实例，深化了对函数的认识。历史上，法国数学家戴德金曾给出相似 的定义 2 2 2 对中学两种函数定义的分析 ” 上述中学课程中函数的两种定义本质上是相同的。但高中的定义比初中定义更 深刻地刻画了函数的本质，并且在叙述的语言上用语更精确、更严谨。 从本质上来看，中学数学课程中的两种函数定义均强调函数对应的本质，只是 侧重点不同。初中的“变量说”是从运动变化的观点出发，强调对应的过程：定义 指出，函数是两个变量( x 、y ) 在运动变化过程中的相互依赖关系( 一种对应) 对于x 的每一个确定的值都得到唯一确定的一个y 值。取“每一个”表示了取 值的任意性，“一个确定的