（理论物理专业论文）双截曲率条件下kahler流形的分类问题.pdf

双截曲率条件下k a h l e r 流形的分类问题 c l a s s i f i c a t i o n so fk t i h l e rm a n i f o l d su n d e rt h e d l s e c t l o n a lc u r v a t u r e 博士后姓名 合作导师 流动站( 一级学科) 名称 专业( 二级学科) 名称 研究工作起始时间 研究工作期满时间 顾会玲 李志兵，朱熹平教授 物理学 理论物理 2 0 0 8 年7 月 2 0 1 0 年7 月 单位名称中山大学数学与计算科学学院 报告提交日期2 0 1 0 年7 月 摘要 在这篇博士后出站报告中，我们主要讨论在一定条件下k s h l e r 流形的分类 问题。 在复几何中，单值化问题一直是一个大家很关心的问题。经典的单值化定 理告诉我们：一个单连通的二维曲面全纯等价于黎曼球面c p l ，复线c 或者单 位圆盘d ，它刻画了一维复流形的标准的复结构。但是，在高维情况下，仅由 拓扑的限制条件不可能给出复结构的分类。所以，我们首先需要加上一些几何 的条件。 在双截面曲率条件下，我们可以得到流形的分类，这就是著名的f r a n k e l 猜 想：任何具有正双截面曲率的紧致c d h l e r i & 形一定全纯等价于复投影空间。 在7 0 年代末8 0 年代初，m o r i 和s i u - y a u ( 肖荫堂一丘成桐) 分别用不同的方法给 出了证明。在这之后，一个很自然的问题就是是否可以将f r a n k e l 猜想进行推 广，得到在非负的全纯双截面曲率条件下的k s h l e r 流形完全分类，一般我们称 之为广义f r a n k e l 猜想，这个猜想最终由m o k 利用代数几何的方法得到了证明。 在正交的双全纯截面曲率条件下，陈秀雄在附加一定的拓扑条件的情况 下，得到了：任何具有正的正交的全纯双截面曲率且第一陈类c 1 0 的紧致的 不可约k d h l e r ；& 形一定全纯等价于复投影空间。 在这篇报告中，我们的第一个结果是给出了广义f r a n k e l 猜想的一个完全分 析的证明，这也就回答了m o k 的在他的文章中提出的问题。我们的证明的优点 是用k s h l e r 几何中的方法证明了k i i h l e r 几何中问题。我们的第二个结果是可以 给出陈秀雄的问题猜测的一个肯定的回答：任何紧致的具有正的正交双截面 曲率的i c d h l e n & 形一定满足c 1 0 ，从而完全分类这种流形。我们的第三个结 果是可以给出在非负的正交双全纯截面曲率条件下的k s h l e r 流形的完全分类， 这个结果是广义f r a n k e l 猜想的一个推广。下面是我们的主要的结果： 定理1 假设( m n ， ) 是一紧致的娩 f e 硫形，具有正的正交的双全纯截面曲率， 那么，第一陈类c l 0 。并且，该流形全纯等价于复投影空间。 定理2 设( m n ，h ) 是- - n c f t ( n 2 ) 的紧崩九f e 硫形，具有非负的正交的全纯双截 其中y 或者是一单连通的黎曼面，高斯曲率在某点为负，或者是一单连通的非 紧i c d h l e r 流形，黝：d i m ( y ) 2 ，具有非负的正交的全纯双截曲率且全纯截 面曲率的最小值 0 。 关键词：k f i h l e r 流形，双截曲率，正交双截曲率，第一陈类 a b s t r a c t i nt h i sr e p o r t ，w es t u d yt h ec l a s s i f i c a t i o n so ft h ek t i h l e rm a n i f o l d su n d e r s o m ec o n d i t i o n s i nt h ec o m p l e xg e o m e t r y , o n ei n t e r e s t i n gp r o b l e mi st h eu n i f o r m i z a t i o n t h ec l a s s i c a lu n i f o r m i z a t i o nt h e o r e mo fr i e m a n ns u r f a c es t a t e st h a ta s i m p l y c o n n e c t e dr i e m a n ns u r f a c ei sb i h o l o m o r p h i ct oe i t h e rt h er i e m a n ns p h e r e ，t h e c o m p l e xl i n eo rt h eo p e nu n i td i s c i tg i v e st h ec h a r a c t e r i z a t i o nf o rt h es t a n d a r d c o m p l e xs t r u c t u r e so fo n e - d i m e n s i o n a lk i i h l e rm a n i f o l d s u n f o r t u n a t e l y , ad i r e c t a n a l o go ft h i sb e a u t i f u lr e s u l tt oh i g h e rd i m e n s i o nd o e sn o te x i s t t h u s ，i no r d e r t oc h a r a c t e r i z et h es t a n d a r dc o m p l e xs t r u c t u r ef o rh i g h e rd i m e n s i o n a lm a n i f o l d s ， o n en e e d st oi m p o s eg e o m e t r i cr e s t r i c t i o n so nt h em a n i f o l d s f o rt h eh i g h e rd i m e n s i o n s ，u n d e rt h eb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ec o n d i t i o n ，w e h a v et h er e s u l t ，t h i si st h ef a m o u sf r a n k e lc o n j e c t u r e ：a n yc o m p a c ti c d h l e rm a n 帕f do fp o s i t i v eh o l o m o r p h i c6 妇e c 挽d 死越c u r v a t u r em u s tb eb i h o l o m o r p h i c 芒dt h e c o m p l e xp r o j e c t i v es p a c ec 矽t l l i si sp r o v e db ym o r ia n ds i u - y a ub yu s i n gd i f - f e r e n tm e t h o d s a f t e rt h a t ，i ti sn a t u r a lt oa s kt h eq u e s t i o n ：w h a ti st h em a n i f o l d i ft h eh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ei sn o n n e g a t i v e ? t h i si st h eg e n e r a l i z e d f r a n k e lc o n j e c t u r ea n d w a sp r o v e db ym o ku s i n gt h ea l g e b r a i cm e t h o d u n d e rt h eo r t h o g o n a lb i s e c t i o n a lc u r v a t u r e ，w h i c hi si n t r o d u c e db yc a o - h a m i l t o n ，c h e nx x o b t a i n e ds o m er e s u l tb ya d d i n gs o m et o p o l o g i c a lc o n d i t i o n ： a n yc o m p a c ti r r e d u c i b l ei c d h l e rm a n i f o l dw i t hp o s i t i v eo r t h 0 9 0 n a lh o l o m o r p h i c b i s e c t i o n a lc u r v a t u r ea n d 乒邶t 仍e r ? f tc l a s sc 1 0m u s tb eb i h o l o m o r p h i ct ot h e c o m p l e xp r o j e c t i v es p a c e i nt h i sr e p o r t ，w ef i r s tg i v ea v e r ys i m p l ea n da n a l y t i cp r o o ft ot h eg e n e r a l i z e d f r a n k e lc o n j e c t u r e ，a n dh e n c ea n s w e rm o k sq u e s t i o n t h i sh a st h ea d v a n t a g e t h a tw eu s eo n l ym e t h o d so fk a h l e rg e o m e t r yt oa n s w e raq u e s t i o ni nk 五h l e r g e o m e t r y s e c o n d ，w ec a r ld r i pt h et o p o l o g i c a la s s u m p t i o ni nc h e n sr e s u l ta n d h e n c ep r o v et h eq u e s t i o n c o n j e c t u r eo fc h e n ，i e ，w ec a np r o v et h a t ：ac o m p a c t k s h l e rm a n i f o l d 砸饶p o s i t i v eo r t h o g o n a lh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r en e e ( 1 ) ( c 七，h o ) ( a 矗，h i ) x ( m z ，h i ) ( c p 礼1 ，0 1 ) ( c p 脚，啡) ， w h e r eh od e n o t e st h ee u c l i d e a nm e t r i co nc 七，h i ( 1 i 1 ) a r ec a n o n i c a lm e t r i c s o nt h ei r r e d u c i b l ec o m p a c th e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e s 必d ，r a n k 2 ，a n d o j ( 1 歹r ) i sai c d h l e rm e t r i c o nc 砂c a r r y i n gn o n n e g a t i v eo r t h o g o n a l h o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r e ； ( 2 ) ( v g o ) ( 矗，h i ) ( m z ，h i ) ( c 矽1 ，口1 ) ( c p 嘶，醵) ， w h e r eyi sas i m p l yc o n n e c t e dr i e m a n ns u r f a c ew i t hg a u s sc u r v a t u r en e g a t i v e s o m e w h e r eo ras i m p l yc o n n e c t e dn o n c o m p a c ti c d h l e rm a n i f o l d 删耽d i m ( y ) 2 a n dh a sn o n n e g a t i v eo r t h o g o n a lh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ea n dt h em i n i m u mo t h eh o l o m o r p h i cs e c t i o n a lc u r v a t u r e 0 k e y w o r d s ： k i i h l e rm a n i f o l d ，b i s e c t i o n a lc u r v a t u r e ，o r t h o g o n a lb i s e c t i o n a l c u r v a t u r e ，f i r s tc h e r nc l a s s c h a p t e r3a na n a l y t i cp r o o f o ft h eg e n e r a l i z e df r a n k e lc o n j e c t u r e1 5 c h a p t e r 4c l a s s i f i c a t i o n so fk f i h l e rm a n i f o l d su n d e rn o n n e g a t i v e 2 1 2 1 g e n e r a l i z e df r a n k e lc o n 一 3 4 3 9 4 7 4 9 5 1 5 5 5 7 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i nt h i sr e p o r t ，w em a i n l yt a l ka b o u tt h ec l a s s i f i c a t i o n so fk 五h l e rm a n i f o l d s u n d e rs o m ec o n d i t i o n s 1 1k s h l e rm a n i f o l d sw i t hn o n n e g a t i v eb i s e c t i o n a l c u r v a t u r e 。i h ec l a s s i c a lu n i f o r m i z a t i o nt h e o r e mo fr i e m a n ns u r f a c es t a t e st h a ta s i m p l y c o n n e c t e dr i e m a n ns u r f a c ei sb i h o l o m o r p h i ct oe i t h e rt h er i e m a n ns p h e r e ，t h e c o m p l e xl i n eo rt h eo p e nu n i td i s c i tg i v e st h ec h a r a c t e r i z a t i o nf o rt h es t a n d a r d c o m p l e xs t r u c t u r e so fo n e - d i m e n s i o n a lk s h l e rm a n i f o l d s u n f o r t u n a t e l y , ad i r e c t a n a l o go ft h i sb e a u t i f u lr e s u l tt oh i g h e rd i m e n s i o nd o e sn o te x i s t f o re x a m p l e ， i t i sw e l l - k n o w nt h a tt h e r ei sav a s tv a r i e t yo fb i h o l o m o r p h i c a l l yd i s t i n c tc o m - p l e xs t r u c t u r e so nr 2 nf o rn 1 t h i ss a y st h a tt h et o p o l o g i c a lr e s t r i c t i o n sa r e n ol o n g e rd i s t i n g u i s h i n gt h es t a n d a r dc o m p l e xs t r u c t u r e si nh i g h e rd i m e n s i o n s t h u s ，i no r d e rt oc h a r a c t e r i z et h es t a n d a r dc o m p l e xs t r u c t u r ef o rh i g h e rd i m e n - s i o n a lm a n i f o l d s ，o n en e e d st oi m p o s eg e o m e t r i cr e s t r i c t i o n so nt h em a n i f o l d s c o r r e s p o n d i n gt ot h es e c t i o n a lc u r v a t u r ec o n d i t i o ni nr i e m a n n i a ng e o m e t r y , o n eu s u a l l yc o n s i d e r st h eh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ei nc o m p l e xd i f f e r e n - t i a lg e o m e t r yt oc h a r a c t e r i z ec o m p l e t ek i h l e rm a n i f o l d s s u c hac h a r a c t e r i z a t i o ni nt h ec a s eo fn o n c o m p a c tk t i h l e rm a n i f o l d si st h e c o n j e c t u r eo w et og r e e n e - w u 3 7 a n dy a u 8 1 】： c o n j e c t u r e1 ( g r e e n e - w u 【3 7 】，y a u 【8 1 ) ac o m p l e t en o n c o m p a c ti c d h l e rm a n 一 咖l do fp o s i t i v eh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ei sb i h o l o m o r p h i ct oac o m p l e x e u c l i d e a ns p a c e aw e a k e rv e r s i o no ft h i sc o n j e c t u r ei st h e f o l l o w i n gf o r m ： c o n j e c t u r e1 ( g r e e n e - w u 【3 7 ，y a u 8 1 ) ac o m p l e t en o n c o m p a c ti c d h l e rm a n i 一 | o 堪o lp o s i t i v es e c t i o n a lc u r v a t u r ei sb i h o l o m o r p h i ct oac o m p l e xe u c l i d e a ns p a c e p r o j e c t i v es p a c ec p ” t h ec o n j e c t u r ew a sp r o v e db ya n d r e o t t i - f r a n k e l 3 5 】i nt h ec a s eo fd i m e n - s i o nt w o ，i nt h ec a s eo fd i m e n s i o nt h r e e ，t h i sc o n j e c t u r ew a sp r o v e db ym a b u c h i 6 2 】u s i n gt h er e s u l to fk o b a y a s h i - o c h i a i 5 9 f o rt h eg e n e r a lc a s e ，t h i sc o n j e c - t u r ew a ss e t t l e da f f i r m a t i v e l yi ne a r l y1 9 8 0 sb yt w og r o u p so fm a t h e m a t i c i a n s i n d e p e n d e n t l y ：s i u - y a u 【7 s v i ad i f f e r e n t i a lg e o m e t r ym e t h o da n dm o r if 6 8 】b y a l g e b r a i cm e t h o d a c t u a l l y , m o r i 6 8 o b t a i n e da m o r eg e n e r a lr e s u l t ，t h a ti s ，h e p r o v e dt h eh a r t s h o r n e sc o n j e c t u r e 51 】： h a r t s h o r n ec o n j e c t u r e ( h a r t s h o r n e 5 1 ) e v e r yi r r e d u c i b l en - d i m e n s i o n a l n o n s i n g u l a rp r 0 3 e c t i v ev a r i e t yx nw i t ha m p l et a n g e n tb u n d l ed e f i n e do v e ra n a l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dk 吖c h a r a c t e r i s t i c 0 诂i s o m o r p h i ct o 琥ep r o j e c t i v e s p a c e 磁 i nt h ec a s ek = c ( t h ef i e l do fc o m p l e xn u m b e r ) ，i ti sk n o w nt h a tt h e p o s i t i v i t yo fs e c t i o n a lc u r v a t u r ei m p l i e st h ea m p l e n e s so ft a n g e n tb u n d l e t h u s h a r t s h o r n ec o n j e c t u r ei m p l i e sf r a n k e lc o n j e c t u r ei nt h ec o m p l e xg e o m e t r y m o r i sm e t h o dt op r o v eh a r t s h o r n ec o n j e c t u r ew a st os t u d yt h ed e f o r m a t i o n o fam o r p h i s mf r o mc p li n t ot h ep r o j e c t i v em a n i f o l dx n m o r ep r e c i s e l y ，f o ra p r o j e c t i v em a n i f o l dx nw i t ha m p l et a n g e n tb u n d l e ，h es h o w e dt h a tx n c o n t a i n s ar a t i o n a lc u r v ea n dt h e ns t u d yt h er a t i o n a lc u r v e sw i t hm i n i m a ld e g r e e l e t c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n 3 pb ea p o i n ti nx “as l i g h tm o d i f i c a t i o nzo fam a x i m a lc o n n e c t e df a m i l yo f r a t i o n a lc u r v e sw i t hm i n i m a ld e g r e ep a s s i n gt h r o u g h 尸i sp a r a m e t r i z e di na1 一1 w a yb yp n ，t h ef a m i l yzw h i c hi st h u sap l _ b u n d l eo v e rp d o m i n a t e sx ， a n dt h em o r p h i s mz 手xi ss t u d i e d t h e nb ye a s ya r g u m e n th ec a ns h o wt h a t x 竺贸 a l m o s ta tt h es a m et i m e ，s i ua n dy a u 7 8 】g a v eap r o o fo ff r a n k e lc o n j e c t u r e b yu s i n ga na n a l y t i cm e t h o d t o u g ht h er e s u l ti sw e a k e rt h a nm o r i s ，t h ep r o o f h a dt h ea d v a n t a g et h a ti tu s e so n l ym e t h o d so fk t i h l e rg e o m e t r yt oa n s w e ra q u e s t i o ni nk i i h l e rg e o m e t r y s i u - y a u sm e t h o do ft h ep r o o fu s e dh a r m o n i cm a p sa n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o n o ft h ec o m p l e xp r o j e c t i v es p a c eo b t a i n e db yk o b a y a s h i o c h i a i 6 0 】a c c o r d i n g t ot h er e s u l t o fk o b a y a s h i - o c h i a it h ec o m p l e xp r o j e c t i v es p a c eo fd i m e n s i o n ni sc h a r a c t e r i z e db yt h ef a c tt h a ti t sf i r s tc h e r nc l a s se q u a l sa c l ( f ) f o rs o m e a n + la n ds o m ep o s i t i v eh o l o m o r p h i cl i n eb u n d l efo v e ri t s i n c eb yt h er e s u l t o fb i s h o p - g o l d b e r g 1 0 】t h es e c o n db e t t in u m b e ro fa c o m p a c tk t i h l e rm a n i f o l d mo fp o s i t i v eb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ei s1 f o rt h ef r a n k e lc o n j e c t u r ei ts u f f i c e st o s h o wt h a tc x ( m ) i s 入t i m e sag e n e r a t o ro fh 2 ( m ，z ) f o rs o m ea 1 + d i m m t h i sc a nb ed o n eb yp r o v i n gt h a ta g e n e r a t o ro ft h ef r e ep a r to fh 2 ( m ，z ) c a n b er e p r e s e n t e db yar a t i o n a lc u r v e ，b e c a u s et h et a n g e n tb u n d l eo fmr e s t r i c t e d t ot h er a t i o n a lc u r v es p u t si n t oad i r e c ts u mo fh o l o m o r p h i cl i n eb u n d l eo v e rt h e r a t i o n a lc u r v ea c c o r d i n gt ot h er e s u l to fg r o t h e n d i e c k 【4 0 t h ee x i s t e n c eo fa r a t i o n a lc u r v ei sv e r yi m p o r t a n td u r i n gt h e i rp r o o f a f t e rt h ew o r ko fm o r ia n ds i u y a u ，i ti sn a t u r a lt oa s kt h eq u e s t i o nf o rt h e s e m i p o s i t i v ec a s e ：w h a ti st h em a n i f o l di ft h eh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r e i sn o n n e g a t i v e ? t h i si so f t e nc a l l e dt h eg e n e r a l i z e df r a n k e lc o n j e c t u r ea n d w a s p r o v e db ym o k 6 7 t h ee x a c ts t a t e m e n ti sa sf o l l o w s ： g e n e r a l i z e df r a n k e lc o n j e c t u r e l e t ( m ，h ) b ea nn d i m e n s i o n a lc o m p a c t k s h l e rm a n i f o l do f n o n n e g a t i v eh o l o m o r p h i cb i s e c t i o n a lc u r v a t u r ea n dl e t ( 舫，元) 6 ei 绐u n i v e r s a lc o v e r i n gs p a c e t h e nt h e r ee x i s tn o n n e g a t i v ei n t e g e r sk ，n 1 ，m a n di r r e d u c i b l ec o m p a c th e r m i t i a ns y m m e t r i cs p a c e sm 1 ，鸠o fr a n k 2 b yu s i n gt h es p l i t t i n gt h e o r e mo fh o w a r d s m y t h - 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