（应用数学专业论文）一类具有功能反应函数的捕食系统的脉冲控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 脉冲微分方程是描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速 变化或跳跃，是对自然界发展过程更真实的反映。在生物控制研究领 域中，生物种群的脉冲控制已成为一个绕有趣味并富有意义的课题。 脉冲微分方程在种群动力学研究方面显示出了很好的应用前景。 本文主要研究脉冲微分方程理论在具有功能反应函数为石的食 饵一捕食生物模型上的应用。通过引入线性脉冲微分系统零解稳定性 的概念，利用参数形式的变分及比较原理，给出了非线性脉冲微分系 统的解达到稳定所需要的充分条件。在此基础上，根据种群生态系统 的复杂性，通过对模型进行改进，分别研究了具有功能反应函数为虿 的两类食饵一捕食两种群生物模型的稳定性。利用脉冲微分系统理论 中的比较原理，通过脉冲控制得到了使其在适当条件下渐近稳定到原 先不稳定的正平衡点的充分条件，使食饵密度和捕食者密度保持在一 个定数附近并给出了生态解释。本文还在具有功能反应函数的三种群 模型的基础上，考虑功能反应函数为虿的三种群捕食链系统的稳定 性问题，利用脉冲系统的线性近似判定的方法对此生物模型进行了研 究，通过适当的控制得到了使原先不稳定的正平衡点渐近稳定的充分 条件，从而使该种群达到了一个新的适宜各物种持续共存、发展的稳 定状态，并通过数值模拟验证了其有效性。 关键词：脉冲微分系统；食饵一捕食系统；脉冲控制；收获模型；比 较原理；线性近似判定法 兰茎垄堂翌主兰堡垒查 a b s t r a c t i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o np r e s e n t st h eq u i c kc h a n g eo rj u m p o fs o m es t a t e so fm o t i o na tt h ef i x e d o rv a r i e dt i m e i tr e f l e c t st h e d e v e l o p i n gp r o c e s so fn a t u r em o r e a c t u a l l y i m p u l s i v ec o n t r o lo f b i o l o g i c a lp o p u l a t i o nb e c o m e sa ni n t e r e s t i n ga n dc h a l l e n g i n gr e s e a r c h t a s ki nt h ef i e l d so fb i o l o g i c a lc o n t r 0 1 i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ie q u a t i o nh a s s h o w na l l - r i g h ta p p l i c a t i v ep r o s p e c ti nt h es t u d y o f p o p u l a t i o nd y n a m i c s i nt h i s p a p e rw ep r i n c i p a l l ys t u d yt h a t i m p u l s i v ed i 虢r e n t i a l e q u a t i o nt h e o r ya p p l i e st o p r e d a t o r - p r e ye c o s y s t e mw i t h 如n c t i o n a l r e a c t i o nf u n c t i o n 4 i t h en o t i o n so f t h et r i v i a ls o l u t i o n ，ss t a b i l i t yf o rt h e l i n e a ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e ma r ed e f i n e d t h e nt h es u f f i c i e m c o n d i t i o n sf o rt h es o l u t i o n ss t a b i l i t yo fn o n l i n e a ri m p u l s i v ed i 脏r e m i a l s y s t e ma r eg i v e nb ya p p l y i n gt h er e l a t i o n so ft h ep a r a m e t e r ，sv a a t i o n a n d c o m p a r i s o np r i n c i p l e a f t e rt h a tb a s e do nt h e c o m p l e x i t yo f p o p u l a t i o ne c o s y s t e m ，t h em o d e l sa r em o d i f i e d n e x tw ei n v e s t i g a t et h e s t a b l ep r o b l e mo f b o t ha p r e d a t o r - p r e ye c o s y s t e mw i t hm n c t i o n a lr e a c t i o n f u n c t i o n 4 ir e s p e c t i v e l y t h e nw eg e tt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rm i s s y s t e m su n s t a b l ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mt o a s y m p t o t i cs t a b i l i t yi nt h e p r o p e rc o n d i t i o nb yt h ei m p u l s i v ec o n t r 0 1 a n dd e n s i t i e so fp r e d a t o ra n d p r e yi n d i v i d u a l l ye x i s ta r o u n dac o n s t a n t f u r t h e rm o r e ，t h ep a p e rg i v e s e c o l o g i c a le x p l a n m i o n t h e r e a f t e r , b a s e do nt h r e e s p e c i e s s y s t e mw i t h f u n c t i o n a lr e a c t i o nf u n c t i o n ，t h ef u n c t i o ni s s p e c i f i e da s i t h e nw e 江苏大学硕士学位论文 s t u d yap r e d a t o r - p r e ye c o s y s t e mw i t hf u n c t i o n a lr e a c t i o nf u n c t i o n 4 虿b y u s i n gt h el i n e a ra p p r o x i m a t em e t h o do fi m p u l s i v ec o n t r o ls y s t e m t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h i ss y s t e m su n s t a b l ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mt o a s y m p t o t i cs t a b i l i t yb yt h ei m p u l s i v ec o n t r o li so b t a i n e di nt h ed i s c u s s i o n a n dt h es p e c i e sa r r i v ea tan e ws t a b l es t a t ei nw h i c ht h e yc a nc o e x i s ta n d d e v e l o p m e n t f i n a l l y , t h ep a p e rg i v e se c o l o g i c a le x p l a n a t i o nb yf i g u r e s i m u l a t i o n k e y w o r d s ：i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l s y s t e m ；p r e d a t o r - p r e ys y s t e m ； i m p u l s i v ec o n t r o l ；h a r v e s tm o d e l ；c o m p a r i s o np r i n c i p l e ；m e t h o do fl i n e a r a p p r o x i m a t ee s t i m a t i o n 1 1 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 学位论文作者签名：胡彩霞指导教师签名： 如6 年1 3 _ j 号哼日抑6 年江其 疆 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：翻彩霞 日期：如缉j 2 月店日 江苏大学硕士学位论丈 第一章绪论 本章概述了种群脉冲微分系统及具有功能反应的生态模型的研究背景和研 究现状，阐述了本课题的研究内容，介绍了本课题的构思起点及研究意义。 1 1 本课题的研究背景和现状 生物数学的研究始于二十世纪二十年代，美国种群学家l o t k a 在1 9 2 1 年研 究化学反应和意大利数学家v o l t e r r a 在1 9 2 3 年考虑鱼类竞争时分别独立提出了 现在已经成为生物数学研究中的经典模型之一的l o t k a - - v o l t e r r a 系统，即由捕食 者和食饵所构成的两种群相互作用的数学模型【1 】： 其中x 为t 时刻的食饵规模，y 为t 时刻捕食者的种群规模，且a ，b ，c ，d 是均为具 有生态意义的正常数，b x y 表示单位时间内被j ，个捕食者所吃掉的食饵的数量， 从而如表示单位时间内每一个捕食者所吃掉的数量。1 9 5 9 年，h o l l i n g 在试验的 基础上，对著名的l o t k a - - v o l t e r r a 模型加以改进，对不同类型的物种提出了三种 不同的功能性反应函数矽( x ) 分别是： 。州功：偿工 l 6 i i 矿( 力= j l + 生b x 鼬) = 品 o z 口适用于藻类、细胞等低等生物 xa 适用于无脊椎动物 适用于脊椎动物 它们都是不减的有界函数。几何上，功能性反应数在从h o u i n g 所提出的从 原点出发的有界不减函数连续地变化到v o l t e r r a 系统的工的过程中，有一类功能 m 反应函数为真分数万的系统，其上、下确界分别为x 和l 。人们对此类系统作了 一 一 出一西砂一斫 江苏大学硕士学位论文 大量定性分析。 文 2 ，3 1 研究了功能反应函数为x 的食饵一捕食系统： 卜工嘲l 西( 1 1 2 ) b = 一s y + p 而一z y 2 运用l y a p u n o v 第二方法，论证了此系统唯一正平衡点的稳定性，并将该系统化 为二次微分系统类方程的标准形式，进而研究了极限环的存在唯一性问题。其 次研究了该模型的渐近性，通过构造该系统的最终有界域和利用l y a p u n o v 函数 方法，证明了在适当的条件下，该系统是持续生存的，并且若该系统为周期系统， 则存在唯一渐近稳定的正周期解。 程荣福等吲研究了具功能反应的食饵一捕食者两种群模型： f三三 p “卜研i ( 1 1 3 ) l 夕= y ( 一d + 蹦2 ) 在食饵种群的相对增长率和捕食者的捕食率都是非线性情形下，讨论了该系统的 平衡点的性态，并证明了极限环的存在性与唯一性及其全局稳定性。 考虑到模型的复杂性，司成斌【5 】在文 1 】的基础上研究了如下模型： p 筇霉叫r ， ( 1 1 4 ) 【夕= 一砂+ 而一8 y 2 ”7 给出了该系统的全局相图，得到了两种群持续共存和捕食者种群必将灭绝的条 件。讨论了此系统唯一正平衡点的h o p f 分支，并证明了该点可以成为二阶不稳 定细焦点，从而得到该系统有出现至少三个极限环的可能。 考虑到功能反应函数的多样性，司成斌掣6 1 将系统( 1 1 2 ) 的功能性反应函数 2 江苏大学硕士学位论文 谭欣欣等川将h o l l i n g 功能性反应函数加以改进，考虑以真分数兰为指数的 幂函数x n 为功能反应函数的食饵一捕食系统： i 办f3 i 害t = ：a x 砂- + o x “ y 詈y - 一c x 。夕- ：( 。 0 且j 0 时，则包含了文 1 3 】的结果。 3 乃0 “ ：王 训 咖 叩 峨 卿 肭 出一出砂一西 霉 江苏大学硕士学位论文 f 鲁= 甜一6 西 睁y ( - a + c 4 - ；x ) “ 其中对捕食者种群具有 ( 1 1 9 ) 运用微分方程定性理论分析证明，当系统具有常数收获率时，系统全局不稳定， 捕食者将灭绝。 在常数收获率以外，一些文献也研究了具有线性收获率的功能性反应系统。 李建民n 习考虑了食饵种群为线性密度制约且对两种群同时迸行捕获的生物模 型，研究了模型的奇点、极限环，得出了极限环不存在性、存在性和唯一性的条 件，并提出了最优捕获策略。王竞波等f 1 6 】应用控制理论的思想研究了食饵种群 第二类功能性反应具有可控投放率的捕食一食饵模型的分支问题。证明了对该系 统添加状态反馈后可控制系统正平衡点的存在性和惟一性，给出了系统在平衡点 渐近稳定的条件。张剑【l n 则研究了一般性h o l l i n g 型功能性反应的捕食与被捕 食种群模型在具有收获率的条件下的稳定性问题，将已有结论和模型推广至一般 化，使其适用范围更广，现实意义更为突出。 从这些已有的定性分析来看，非线性动态的数学理论的发展已将种群生态学 实验和理论研究带到了一个新的阶段。随着对生态系统的广泛研究，人们发现自 然界广泛存在着( 一些快速变化、跳跃和突变现象) 脉冲现象。如某些动物的季 节性出生、渔业养殖与森林管理中的投放、收获、种植，对癌细胞的化疗，环境 污染中毒素的定期排放等都不是连续的，都可以用脉冲微分方程来刻画。研究表 明这些现象都会影响种群的动态特征，影响生态环境的管理和经济发展，影响种 群规模的预测和生态环境的合理利用与控制。因此有效抑制种群的突变和生态系 统的有害脉冲现象的产生显得非常重要。 传统的生物系统的控制方法多采用生物防治。在两种生物防治剂存在的条件 下，生物防治有时不能取得好的结果。因此人们不得不寻求传统生物防治以外的 控制技术来实现对种群的管理和保护。1 9 8 7 年c o h e n 2 0 】把b l a q u i e r e 等人的最优 脉冲控制原理应用到种群对食物的最优搜寻中，然而在用最优脉冲控制原理解决 实际问题时，必须要解出系统的解，这一点使最优脉冲控制原理的应用受到了限 4 江苏大学硕士学位论丈 制。目前为止，赵立纯、张庆灵、杨启昌等人利用脉冲微分方程中的脉冲控制策 略实现了对具有功能性反应的l o t k a v o l t e r r a 捕食一被捕食模型的控制。该控制 策略可使系统中各正平衡点快速达到稳定，对生物种群资源的开发和利用具有实 际应用和参考价值。 1 2 本课题的研究内容 本文主要研究脉冲控制在具有功能反应函数为x 的食饵一捕食生物模型 上的应用问题。利用脉冲微分系统的理论对捕食率受食饵密度和本身密度同时影 响且具有功能性反应函数为x 的二维捕食系统和具有功能反应的三种群捕食链 系统进行脉冲控制，并将该控制方法应用于具有功能性反应函数为工的两种群 收获模型中，保证了各系统不稳定正平衡点的稳定性，实现了生态系统中各物种 的可持续生存。主要工作如下： ( 1 ) 在已有的功能性反应的生态系统的基础上，应用数学生态学理论建立了 一个具功能性反应的微分生态系统，考虑捕食者的捕食效率既受食饵密度影响， 又受捕食者本身密度影响且具有功能反应函数为石的食饵一捕食模型 毫= 而一斫一佩( 1 2 i ) k = 一肼2 + 瓜一暖 讨论了此模型的正平衡点性态；利用咏冲微分方程的比较原理，通过脉冲控制得 到了正平衡点的稳定性条件；并进行了数值举例，支持了理论分析。 ( 2 ) 考虑功能反应函数为x 且捕食者具有常数收获率的二维捕食系统 j 扣旺旬如= ( 1 2 2 ) i 岛= 恐( 一d + c 而) 一h 研究了该系统正平衡点的稳定性，利用脉冲微分系统的上述理论对该系统进行脉 冲控制，得到了使其原先不稳定的正平衡点渐近稳定的充分条件，并给出了生态 解释。 ( 3 ) 考虑具有功能反应函数为工的食饵一捕食三种群生物模型 江苏大学硕士学位论丈 i 。= _ ( 1 6 再) 一不： 岛= ( 一，+ c 再) 一瓜 ( 1 2 3 ) 南= 气( 一j + d i ) 利用脉冲微分系统的线性近似判定的方法对此模型进行研究，通过脉冲控制理论 讨论其不稳定的正平衡点达到渐近稳定所需的充分条件，最后给出了数值仿真。 1 3 本课题的构思起点及研究意义 现实世界中存在的一些生物资源是可再生的，如何科学地开发利用这些资 源，直接关系到环境资源的可持续发展。从最基本的l o t k a - - v o l t e r r a 模型，到具 有各种功能性反应的生态系统，揭示了生物发展的多样性。而不同的功能性反应 函数，所代表的生物模型是不同的，反映了捕食者种群与食饵种群间的相互影响， 能更好地表示大自然中生物的生存状况。利用具有收获率或存放率的微分生态模 型可模拟出对这些资源的开发利用，所得的一些结果可帮助人们合理开发、有效 利用这些资源，实现与大自然的和谐相处。所以研究一些具有功能性反应且具有 开发的生态模型，对于人们了解和认识现实世界有着重要的指导意义，可以使我 们认清自然中的一些规律，并利用这些规律使周围的环境资源得到可持续发展。 脉冲微分方程是描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳 跃，它是对自然界发展过程更真实的反映。生物种群系统的许多现象都可以用脉 冲微分方程来刻画，如某些动物的季节性出生，种群生态系统中对种群的瞬时捕 获等。对生物种群的控制也可采取脉冲控制。近年来，脉冲控制在生物模型上的 应用引起了人们的极大兴趣。利用脉冲微分方程控制种群动态系统平衡点的稳定 性，对于种群资源的开发与合理利用具有重要的生态意义。当常微分种群系统平 衡点不稳定时，对某一种群采取适当的脉冲控制，使平衡点达到渐近稳定，使得 食饵与捕食者种群最终能够持续生存，并稳定在这一平衡点上，从而保持生态平 衡，实现种群资源的可持续发展。许斌等【2 1 j 就是运用脉冲微分方程研究了具有 功能反应函数为x 的简单两种群的脉冲控制问题，得到了其渐近稳定的充分条 件。今后，利用脉冲控制策略来研究具有类似功能反应函数的多种群系统的稳定 性、持续性仍然是一项非常有意义的工作。 6 江苏大学硕士学位论文 第二章脉冲微分系统理论介绍 本章对脉冲微分系统理论中零解的稳定性内容作了简单介绍，同时阐述了系 统零解的稳定性的判定准则。 2 1 脉冲微分系统的定义和分类 脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在现代科技各领域的实际问题中是普遍存 在的，其数学模型往往可归结为脉冲微分系统。鉴于这类新型非线性微分系统在 现代诸多科技领域日益广泛的应用，逐渐引起微分系统学者专家的关注与重视。 许多实际问题的发展过程往往有这样的特征：在发展的某些阶段，会出现快 速的变化。为方便起见，在这些过程的数学模拟中，常常会忽略这个快速变化的 持续期间而假设这个过程是通过瞬时突变来完成的。这种瞬时突变现象通常称之 为脉冲现象。脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态 的影响，能够更深刻、更精确地反映事物的变化规律。近年最新科技成果表明， 这类系统在航天技术、信息科学、控制系统、通讯、生命科学、医学、经济领域 均得到重要应用。譬如，可应用于大型空间航天器的减振装置、卫星轨道的转换 技术；可应用于机器人的研制；还可应用于神经网络、混沌控制、机密通讯的研 究。 首先给出带脉冲的微分系统的一般定义。 定义2 1 1 ( 脉冲微分系统) ( i ) 考虑微分系统 鲁锁协 ( 2 1 1 ) 这里，：r + q 斗r ”，q r “是开集，掣是甩维欧几里德空间，r + = o ，4 - o o ) ； ( i i ) 集合m ( f ) ，n ( t ) q ，v t r + ； ( i i i ) 算子a ( t ) ：m ( t ) 寸n ( t ) ，v t r + 。 设x ( f ) = x ( t ，t o ，x o ) 是系统( 2 1 1 ) e 满g x ( t o ) = x o 的解，它具有下列特点： 点只= ( f ，x ( f ) ) 开始于阮，) ，沿弧线 ( f ，功：r t o , 工= x ( f ) ) 运动一直到点f l t o ， 江苏大学硕士学位论文 在f l 处鼻碰到集合m ( ，) 。在f = 处，4 ( f ) 将只= ( ，x ( t 3 ) 变成0 = ( ，) ( ) ， 这里i = a ( h ) x ( t o 。而e 沿着系统( 2 1 1 ) f f t j 解x ( t ) = x ( t ， ，芹) 所代表的弧继续运 动直到在f 2 t z 遇到m ( f ) 。从而最= ( r 2 ，互( 乞) ) 被变成名= 心，) ( ，2 ) ，这里 = a ( q ) x ( t z ) 。像前面一样，z 沿着系统( 2 1 1 ) 的解x ( f ) = 工( f ，t 2 ，工；) 所代表的弧 继续运动。如果系统( 2 1 1 ) 的解存在则只一直运动下去。具有上述运动过程的 ( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 综合起来就称为脉冲微分系统，由只所描述的弧称为积分弧，而 积分弧所代表的函数称为脉冲微分系统的解。 一个脉冲微分系统的解有三种情况：( a ) 是连续函数，这时积分弧不遇到m ( t ) 或在么( f ) 的不动点遇到m ( f ) ；( b ) 具有有曝个不连续点的逐段连续函数，这时在 a ( t ) 的有限个非不动点上遇到m ( t ) ；( c ) 具有可数个不连续点的逐段连续函数， 这时在a ( t ) 的可数个非不动点上遇到m ( t ) 。 只碰到膨( ，) 时所在的时刻t 称为脉冲时刻。假设脉冲微分系统的解在所有 脉冲时刻气都是左连续的，七= 】，2 ，即x ( t d = 量噪x 纯- h ) = 了纯) 。 n u 下面就( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 的不同来描述不同的系统。 i 不依赖于状态的脉冲微分系统 设膨( r ) 表示一列面 帆f = 以，功，z g 函，这里 乞 ， 且舰2 + o oa 设算子爿( r ) 仅在处有定义，满足 4 ( ) ：q 专q ，x a ( t d x = x + ( 工) ， 这里厶：q 专q 。因此，集合n ( t ) 仅与有关且( ) = 4 ( ) m ( ) 。对于上面所 选择的膨( ) ，n g )a ( t d ，不依赖于状态的脉冲微分系统的数学模型如下： 贾= 厂( f z ：，七2 ：，2 ， ( 2 1 2 ) 【工= 厶( 曲，t = t k ，k = l ，2 ， 、7 系统( 2 1 2 ) 也可称为固定时刻脉冲微分系统。 i i 依赖于状态的脉冲微分系统 8 江苏大学硕士学住论文 设m ( f ) 表示一列面 最l & = ( 7 ，t ( 工) ) i t = t a x ) ，x 研) 函，这里 f i ( x ) 2 ( x ) ( 工) 0 ，v f o r ，存在正常数占= 8 ( t o ，s ，7 ) 0 ，满足 当l ：c o y o l 刁 其中x ( f ) = x ( t ，t o ，x o ) ， t o 是系统( 2 2 1 ) 的任一解； ( i i ) 一致稳定：如果( i ) 中万与f o 无关； ( i i i ) 吸引：如果对v f o ，刁 0 ，v f o 墨，存在正常数磊= g ( t o ) o ， t = ，( f o ，占，j 7 ) 0 ，满足当k - y oj 磊时，有 f x ( t ) - x o ( t ) l v ； ( i v ) 一致吸引：如果( m ) 中磊，tt o 无关； ( v ) 渐近稳定：如果( i ) ，( i i i ) 同时成立； ( v i ) 一致渐近稳定：如果( i i ) ，( i v ) 同时成立； ( v j i ) 不稳定：如果( i ) 不成立。 研究系统( 2 2 1 ) 的一般情况的稳定性通常很复杂。因此，首先讨论具有固定 时刻的脉冲微分系统的平凡解的稳定性。 2 2 2 脉冲微分系统中的比较原理 在判断一个系统的零解的稳定性时，比较方法是一种十分有效的途径。比较 方法的基本思路是从原系统出发，构造一个满足某种大小关系的比较系统，在一 定的条件下，比较系统解的稳定性可以决定原系统解的稳定性。 考虑具有固定时刻的脉冲微分系统 i 孟= f ( t ，x ) ，气， x = i a x ) ，t = ，( 2 2 2 ) 【x ( 牙) = x o ，t o o ，k = 1 ，2 ， l o 江苏大学硕士学位论文 进行以下假设： ( a o ) ( i ) o 乞 _ t o ； ( c ) g ( r ，“) = 一口“，口 0 ，对所有的k 有吼( 甜) = 吨“，破0 ，则 即州嘞卜而，思，喀卜训”狲 l b 。“ j ( d ) g ( f ，“) = 2 ( f ，对所有的k 有纯( “) = 以“，砍0 ，其中五c l 置，皿】，则 惭，卜砧t o 骢 t k 或 唧叫似孙l | j 江苏大学硕士学位论文 接着考虑一般脉冲微分系统 f 量= 厂o ，工) ，f 气( x ) ，七= l ，2 ， 工2z k ( x ) ，f2 t a x ) ， ( 2 2 6 ) 【x ( t d = 知， 假设下列条件： ( b o ) ( i ) “c 1 【r 4 ，( o ，) 】，t a x ) t o ，( 2 2 6 ) 的解x 存在且唯一； ( i i i ) c 掣，r ”】，( 2 2 6 ) 的任一解与每个曲面瓯：，= 气( 工) 都只碰一次。 设( f ) 是( 2 2 6 ) 在 f o ，。o ) 上的任一解，满足( g ) = ，设它在时刻碰到曲 面s ，k = 1 ，2 ，。 ( b o 在墨s ( 嘞，p ) 上j ( 工，r ) l c ，其中s ( ，p ) = x e r “：k x o ( t ) i 0 ； ( b 2 ) 对t - ( t , x ) 墨s ( x o , 力和所有的_ | ，有丝擎堕( ，工) s o 和 麝 l 吒( x ) 一气( j ，) f 以i x - y ，m o ； ( b 3 ) v c r 十x r nr 】，v ( t ，x ) 关于x 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件，对 o ，x ) e r x s ( x o ，p ) ，有 d + 矿p ，工一( ，) ) - g ( t ，矿( f ，x - x o ( t ) ) ) ，t ，t r k ( x ) ，( 2 2 7 ) v ( t ，x y + f i ( x ) 一x a y ) ) y k ( v ( t ，x y ) ) ，t = t a x ) ，t = r a y ) ，( 2 2 8 ) 其中“k ，g c 【足r ，刚； ( b 4 ) v ( t ，力关于，是非增的，b ( n ) s v ( t ，z ) 且妙( ，力一v u , y ) l 0 ，纯 ) = 以“，或0 ，则 ( 2 2 1 0 ) v ( t ，工( f ) 一秭( f ) ) 矿瞄，x o y o ) 兀d k e x p _ + a ( t t o ) 一( 瓦五) 】，r 厂。 t o 甜 特别地，如果假设对所有的k 有f ( t ，o ) ；0 ，l ( o ) ；0 ，那么在定理2 2 2 中 选择x o ( t ) ；0 ，可以得到( 2 2 6 ) 的平凡解。显然，定理2 2 2 的结论与定理2 2 1 的相应结论类似。 2 2 3 脉冲微分系统的稳定准则 接着考虑满足条件( ) 的脉冲微分系统( 2 2 2 ) ，假设对所有的后，f ( t ，o ) - - - 0 ， 厶( o ) = 0 ，那么可以得到( 2 2 2 ) 的平凡解。下面证明的这个结论用统一的方法给 出了各种稳定性准则的充分条件。 设s ( p ) = 旺r ”：i x l 0 使得x s ( p o ) 满足x + i a x ) s ( p ) ，v 七，且 v ( t ，x + t a x ) ) q o a v ( t ，x ”，t = ，x s ( p o ) ， 其中纯：r 斗足是非减的； o f f ) 在丘s ( 力上，6 ( 1 x i ) v ( t ，x ) 口( i x l ) ，其中口，b e k 。 则系统( 2 2 4 ) 平凡解的稳定性对应于系统( 2 2 2 ) 平凡解的稳定性。 证明设0 o 使得 0 “o 磊 满足 ( f ，0 ，) 6 ( f ) ，r 岛， 其中u ( t ，f o ，u o ) 是( 2 2 4 ) 的任一解。u o = o i x 0 1 ) ，选择最= 盈( s ) 使得口( 疋) 6 ( f ) 。 定义j = i i l i n ( 磊，岛) 。对于此j 可知，如果k l 万，那么l x ( f ) f - t o ，其中 x ( ，) = x ( t ，t o ，x o ) 是( 2 2 2 ) 的任一解。反之，贝f j ( 2 2 2 ) 存在一个解z ( r ) = x ( t ，t o ，x o ) ， f ：c o f t o 使得j j j ， f + i 满足 f i x ( f ) j 且i 工o ) i 占，o f 气。 x o 占 p o ，条件( i i ) 表明k | = i + 厶( 气) l p ，其中= x ( ) ，i 耳i s 。 因此，可以找到一个f 。使得气 r 。 - t 满足s f x ( ，) i p 。现在设 所( ，) = v ( t ，石( f ) ) ，t o r f o ，利用( i ) 和( n ) 通过定理2 2 i 可以得到 v ( t ，工( f ) ) ，( f ，t o ，d q 嘞i ) ) ，t o ，t o ， ( 2 2 1 1 ) 其中r ( t ，t o ，u o ) 是( 2 2 4 ) 的最大解。则由于( i i i ) ，可以推出矛盾， 6 ( f ) 6 ( 卜( f 。) i ) 矿o 。，工o 。) ) ，p 。，岛，口( 1 6 ( s ) ， 这就证明了系统( 2 2 2 ) 的解x ；0 是稳定的。 如果假设( 2 2 4 ) 的u ；0 是一致稳定的，显然，万将与o 无关。从而得到( 2 2 2 ) 的解x ；0 是一致稳定的。 江苏大学硕士学位论丈 再假设( 2 2 4 ) 的“= 0 是渐近稳定的，贝1 j ( 2 2 2 ) 的解x ；0 是稳定的。因此，取 f = p ，并令= 6 ( t o ，p ) ，则有 l x o l a o i 吏j ：导l x ( t ) l _ t o 。 ( 2 2 1 2 ) 为了证明吸引，令0 0 和t = t ( t o ，占) 0 使得 0 u o 1 ， ( 2 2 1 3 ) 贝j j ( 2 2 2 ) 的解x ；0 是渐近稳定的。 证明( a ) 中的假定直接来自于推论2 2 1 。为了证明( b 和( c ) ，考虑由 1 6 江苏大学硕士学位论文 “( r ，t o ，u o ) = u o 兀d k e x p a ( t ) - 2 ( t o ) ，f 0 给出的下面系统 t o t k f f 西= 五( r ) 材，f 气， “( c ) = 吨“纯) ， 【“( 瞄) = “。o 的任一解( f ，t o ，u o ) 。又五是非减的，若o - t o f l ，由( 2 2 1 3 ) 可得 u ( t ，t o ，u o ) u o e x p 五( ) 一a ( f o ) ，t t o 。 ( 2 2 1 4 ) 因此，取万= 主e x p 五( ，0 ) 一五“) 】，可得( 2 2 1 4 ) 的平凡解“；o 是稳定的a 另外， 如果( 2 2 1 3 ) 成立，那么，可得 们，枷o ) e x p 五“) 一a 古，- t t ， 从而魄u ( t ，t o ，u o ) = o 成立因此，定理2 2 3 证明了推论的假设。 江苏大学硕士学位论丈 第三章脉冲控制理论在非二次微分食饵一捕食两种群生物 模型上的应用 平衡点的稳定性分析是动力学系统中研究的最多、最基本的问题，而平衡点 的稳定性控制也是非线性理论的一个重要研究内容。本章首先给出两类捕食一被 捕食系统的正平衡点的稳定性，然后利用脉冲微分系统理论控制平衡点，得到其 稳定所需要的条件。 3 1 非二次微分食饵一捕食生物模型介绍 在生态学研究中，l o t k a - v o l t e r r a 模型通常被用来模拟捕食与被捕食物种问 的相互作用关系。根据不同生态现象，人们在模型中选择了各种功能反应函数， 如食饵一捕食系统中以指数为真分数的幂函数为功能性反应函数，它的形式为： 妒( 工) = x n( o 竺 1 ) 。 研究表明，m - - 肼, o 到l 的变化过程中，功能反应函数对食饵一捕食系统具有不同的 开 影响用。文 2 5 】对具有功能反应函数为；的捕食与被捕食模型进行了大量定性 分析。随着具功能性反应生态系统研究的不断深入，对一些具有收获率或投放率 的生态系统的研究也随之展开，即在种群相互作用自然发展的模型基础上加上人 为的因素。如在农业中，人们可以通过控制投放天敌的数量来达到消灭害虫而又 不伤害庄稼的目的。文献f 8 1 9 具体讨论了食饵种群具有常数投放率或常数收获 率的捕食一食饵模型的稳定性问题。文 1 4 1 考虑了捕食者种群具有常数收获率且 功能反应函数为x 的生物模型，对这一非密度制约的捕食与被捕食系统进行了 定性分析，得出了当捕食者种群具有常数收获率时，捕食者种群终将灭绝。 近年来种群资源的管理开发与利用已经引起了国内外许多学者的注意口9 j 们。 他们在建立开发性数学模型的基础上，研究了种群的持续发展和对种群的最优捕 获等一些问题。其中的控制一般都是连续的，但从所建立的模型看，这些控制应 该都是脉冲的。由于在实际过程中，很多系统的参数在特定的时间往往会发生突 变，出现某些特殊现象。脉冲微分方程则是描述这种现象的较好的数学工具。到 1 8 江苏大学