（计算数学专业论文）混合型akns系统和含自容源的非等谱mkdv方程的精确解.pdf

摘要 本论文主要包含下面几个方面的内容： 1 第一章简要叙述了孤立子的历史和现状，求解孤子方程的方法以及非等谱发展 方程的由来 2 第二章为基础知识介绍了h i r o t a 双线性导数法和w r o n s k i a n 技巧，给出了 w r o n s k i 行列式的一些性质和恒等式 3 第三章从l a x 可积出发推导了a k n s 方程族的一般表达式运用h i r o t a 双线性 导数法对一类特殊的混合型a k n s 系统进行求解，运用w r o n s k i a n 技巧构造了此 系统的双w r o n s k i a n 解，最后对该系统进行了约化 4 第四章从l a x 可积出发推导了一般含自容源非等谱m k d v 方程族运用h i r o t a 双线性导数法对自容源非等谱含m k d v 方程进行求解，运用w r o n s k i a n 技巧构造 了w r o n s k i a n 解 关键词：精确解，h i r o t a 双线性导数法，w r o n s k i a n 技巧，混合型a k n s 系统 含自容源的非等谱m k d v 方程 a b s t r a c t i nt h ep a p e ram i x e da k n ss y s t e mi sd e r i v e d ，w h i c hc o n t a i n st h i r d o r d e rn o n i s o s p e c t r a lt e r m sa n ds e c o n d o r d e ri s o s p e c t r a lt e r m sb i l i n e a rf o r mo ft h em i x e d s y s t e mi sg i v e na n df u r t h e rs o l v e dt h r o u g hh i r o t am e t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e n s o l i t o ns o l u t i o n sa r eg i v e ni nt e r m so ft h eh i r o t a se x p r e s s i o na n dd o u b l e w r o n s k i a n s ，r e s p e c t i v e l y r e d u c t i o n so ft h eo b t a i n e ds y s t e ma n di t ss o l u t i o n s & r e a l s oc o n s i d e r e d b e s i d e s ：t h eh i e r a r c h yo fn o n i s o s p e c t r a lm k d ve q u a t i o n sw i t hs e l f - c o n s i s t e n t s o u r c e s & r ed e r i v e d s o l u t i o n sf o rt h en o n i s o s p e c t r a lm k d ve q u a t i o n sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa r eo b t a i n e db ym e a n so fb i l i n e a rm e t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e ，r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：e x a c ts o l u t i o n s ，h i r o t am e t h o d ，w r o n s k i a nt e c h n i q u e ：m i x e da k n s s y s t e m ，n o n i s o s p e c t r a lm k d ve q u a t i o n sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e s 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果+ 参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了说明并表示了谢 意 签名：拟日期： 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：舷带师繇一日期：碰 第一章绪论 1 1 引言 孤立子理论是数学物理领域的一个重要组成部分近几十年来已经引起了国际 上数学界和物理学界的充分关注，得到了迅速的发展有关孤立子的研究工作十分 活跃，其涉及范围日趋广泛对孤立子最直观的认识是指一种特殊的能量不耗散的 波孤立子具有一些特殊的性质 1 ：( 1 ) 能量集中在一个较狭小的区域；( 2 ) 孤 立子之间相互作用时会出现弹性散射现象，即每个孤立子在相互作用之后其波形和 波速都会恢复原状孤立子理论的不断发展表明孤立子具有粒子和波的许多性质， 在自然界中具有一定的普遍性至今从数值计算、理论分析和物理实验等方面都已 得到证实，并且初步形成比较完整的理论体系许多科学领域，如流体力学、等离 子体物理、超导物理、经典场论和量子场论等等都存在着孤立子以及与孤立子理论 密切相关的重要现象迄今为止，人们利用孤立子理论已经成功地解释了许多物理 上长期用经典理论未能得到解答的问题 回顾孤立子的发展历史，首先记录孤波现象的是英国科学家r u s s e l l 2 早在 1 8 3 4 年，他就观察到了一种奇特的水波现象，这种水波在行进的过程中波形和速度 并无明显地变化r u s s e l l 在1 8 4 4 年的英国科学促进协会第十四届会议报告 中发表论文论波动，引进了孤立波的概念并进一步提出这种孤立波是流体力学 方程的一个稳定解经过数次实验，他还认为这种孤立波的波形应该是s e t h 2 f ) 函 数形式然而限于当时的数学理论和科学条件的限制，r u s s e l l 无法从理论上给孤 立波以圆满的解释直到1 8 9 5 年，荷兰人k o r t e w e g 和d ev r i e s 提出了一个流体中 单向传播的数学模型，经过g a l i l e a n 和尺度变换后可写成为 这就是著名的k d v 方程 3 其行波解从数学上成功地解释了r u s s e l l 所观察到的 孤立波，并说明了波的振幅等与波速k 2 的正比例关系人们很自然地提出这样一 个问题：k d v 方程的孤波解经任何迭加的结果是否还是原方程的解呢? 从直观上 看，这个问题的答案是否定的这个问题也困惑了学者们多年，一直没有得到合理 的解释 i 9 5 5 年，物理学家f e r m i 、p a s t a 和u l a m 三人用数值方法计算了用线性弹簧 联结的6 4 个质点组成的弦的振动，其目的是为了从数值试验上验证统计力学中的 能量均分定理他们对一个质点进行激发，按照能量均分原理，初始的激发能量应 1 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 2 均衡地分布到每个质点上然而计算结果令人意外，长时间以后能量几乎全部回到 了这个初始质点上这个结果预示着这个非线性系统可以出现孤立波 1 9 6 5 年，美国数学家k r u s k a l 和z a b u s k y 借助于数值分析方法研究了k d v 方 程两个孤波相互作用的全过程证实了孤立波在相互作用后仍保持原来的形状和速 度而呈现出完全弹性散射的性质于是k r u s k a l 和z a b u s k y 将这种孤立波命名为 “孤立子”( s o l i t o n ) k r u s k a l 和z a b u s k y 这项工作是孤立子理论发展的一个重要 里程碑孤立子概念的引入标志着现代孤子理论的开始从此以后，在世界范围内 掀起了孤立子研究的热潮 然而人们对孤立子却没有准确的定义通常在数学物理中，将孤立子理解为非 线性发展方程局部的行波解，所谓“局部的”是指微分方程的解在空间的无穷远处 趋于零或确定的常数情形 孤立子亦出现于非线性光学、电磁学、等离子物理、凝聚态物理、生物物理等应 用物理中如由非线性s c l l r 6 d i n g e r 方程描述的光纤中的光学孤立子；s i n e g o r d o n 方程描述的晶格位错的传播；d a v y d o n 蛋白质孤立子理论描述了蛋白质链的能量 传递等等 在孤立子的发展过程中，一方面，数学家和物理学家们不断地追求揭示非线性 发展方程中孤子的本质特征和完美的数学结构，创造出各种数学方法去解释实际现 象；另一方面随着孤立子研究的不断深入，孤立子的数学理论也应运而生，并且对 无穷维代数、微分几何、代数几何、拓扑学、动力系统和计算数学等数学分支产生 了深远的影响孤立子理论的研究已经成为数学物理领域的重要课题，也是非线性 科学的前沿课题 1 2 孤子方程精确解的求解方法 在孤立子理论中，寻找孤子方程的精确解始终是一个重要课题这不但有助于 进一步了解孤子方程的本质属性和代数结构，而且在应用上可以合理地解释相关 的自然现象随着孤立子理论的发展，一些行之有效方法应运而生：反散射变换法 4 ，5 、h i r o t a 双线性导数法 6 ，7 、w r o n s k i a n 技巧 1 4 、d a r b o u x 变换 9 、 b ；i c k l u n d 变换、p a i n l e v 6 分析法等由于本论文主要运用h i r o t a 双线性导数法和 w r o n s k i a n 技巧，下面我们主要对这两种方法进行简要介绍 1 2 1 h i r o t a 双线性导数法 双线性导数法是由h i r o t a 6 ，7 于1 9 7 1 年创造性地提出并成功应用于求解孤子 方程精确解的有效方法这是一种获得孤子方程精确解的直接方法在这种方法 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 3 中，首先通过引入位势u 的适当变换，将孤子方程化为双线性导数方程然后将扰 动展开式代入到双线性导数方程中，在一定条件下该展开式可以截断至有限项，得 到线性指数函数形式的单孤子解，双孤子解和三孤子解等具体表达式，并由此推测 出孤子解的一般表达式对于一般表达式可利用数学归纳法验证其成立，但过 程比较复杂值得一提的是h i r o t a 双线性导数法以双线性导数为工具，仅与求解方 程有关而不依赖于方程的谱问题或l a x 对，具有简捷、直观的鲜明特点 1 2 2w r o n s k i a n 技巧 孤子解可以通过w r o n s k i 行列式来表示f 1 0 ，1 1 1 ，这一点已通过d a r b o u x 变换 9 、s a t o 理论 1 2 ，1 3 、w r m t s k i a n 技巧 1 4 ，1 5 - 【1 9 】等多种途径得以体现其 中，w r o n s k i a n 技巧利用了w r o n s k i 行列式的特殊结构( 导致其各阶导数具有比较 简单的形式) ，可以实现解的直接验证h i r o t a 方法和w r o n s k i a n 技巧被认为是非 常有效寻找非线性发展方程孤子解的直接方法 除孤子解之外，许多其它类型的解也可以表示成w r o n s k i a n 的形式，例如有理 解、p o s i t o n 解、n e g a t o n 解、c o m p l e x i t o n 解以及混合解等1 9 8 3 年，n i m m o 和f r e e m a n 给出了k d v 方程w r o n s k i a n 形式的r a t i o n a l 解2 0 11 9 8 8 年， s i r i - a n u n p i b o o n 、h o w a r d 和r o y ( s h r ) f 2 1 利用标准w r o n s k i a n 求解过程推广了 w r o n s k i a n 解，得到了k d v 方程包括p o s i t o n 、n e g a t o n 、有理解和混合解的更 多的解的w r o n s k i a n 表示而p o s i t o n 解( 对应的有n e g a t o n 解) 的命名是在1 9 9 2 年由m a t v e e v 给出的 2 2 ，2 3 1 c o m p l e x i t o n 解由马文秀于2 0 0 2 年提出f 2 4 ，5 7 ，就 k d v 方程而言，实际上它对应于静态零位势s e h r s d i n g e r 方程具有成对共轭复特征 值的情形，也可称为呼吸子f 25 1 近年来关于w r o n s k i a n 技巧有很多深入推广的工作例如，张大军利用n i m m o 和f r e e m a n 的方法得到了t o d a 链的c a s o r a t i a n 形式的有理解 2 6 ( 注：参考文 献f 2 0 1 中提到：“尽管人们希望利用相同的方法得到该类型的其它方程的r a t i o n a l 解，然而这是不可能的”) 另外，利用一个新的w r o n s k i a n 等式，获得了一些含 自容源孤子方程w r o n s k i a n 解 2 7 1 一 3 1 马文秀等人基于他们前期工作从w r o n s k i 行列式的角度重新讨论了k d v 方程的孤子解他们考虑了w r o n s k i a n 元素的条件 方程组中系数矩阵的标准形式，即对角阵和j o r d a n 块；利用常数变易法求解所谓 的代表方程组，得到了一组获得w r o n s k i a n 元素的递归公式f 3 2 ，3 3 1 最近，张大军 利用已知的特解以及与j o r d a n 块可交换的矩阵的代数性质，构造w r o n s k i a n 元素 的条件方程组的显式通解，并讨论了不同解之间的关系3 4 1 另外，许多非等谱方 程也被证明存在w r o n s k i a n 解3 5 一3 9 1 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 4 1 3 非等谱发展方程 非等谱发展方程可以用于描述非均匀介质中的孤立波运动 4 0 - 4 8 ，并已在 实验室中得到观察；同时，它又与对称等可积性代数特征紧密联系，从而具有重要 的物理意义从数学角度而言，这类方程对应于谱参数随时间变化一些经典处理 方法常会引出不同于等谱情况的结果，如b ；i c k l u n d 变换的非自对应性 4 9 等因 此，对非等谱方程的研究，既是对经典方法的补充与推广，也是对可积理论的进一 步丰富最近，张大军等从反散射变换、双线性方法等角度对非等谱方程进行了研 究 3 5 卜 3 9 s o j f 5 2 1 4 本文主要工作 本文主要运用h i r o t a 双线性导数法和w r o n s k i a n 技巧，在前人工作的基础上 对混合型a k n s 系统和含自容源的非等谱m k d v 方程进行求解 第二章介绍双线性导数的定义与性质以及孤子解的w r o n s k i m t 表示，这些是 h i r o t a 方法和w r o n s k i a n 技巧的基础 第三章推导a k n s 方程族的一般表达式，分别运用h i r o t a 双线性导数法和 w r o n s k i a n 技巧对a k n s 系统进行求解，并对该系统进行约化 第四章推导含自容源m k d v 方程族的一般表达式，同样运用h i r o t a 双线性导 数法和w r o n s k i a n 技巧对含自容源非等谱m k d v 方程进行求解，在证明w r o n s k i a n 解的过程中 第二章基础知识 2 1 双线性导数的定义与性质 双线性导数由日本数学物理学家h i r o t a 引入 6 ，7 ，并成功地应用于求各种孤 子方程的多孤子解下面我们简要叙述双线性导数的定义与性质 2 1 1 双线性导数的定义 设f ( t ，z ) 与g ( t ，z ) 是变量t 与x 的可微函数，引进微分算子d ；9 。与d 。，使对 任意的非负整数m 和凡成立 d ? d 2 f g = ( o t 一哦，) ( 文一良，) “f ( t ，茁) 9 ( t ，z 引。，：。，：。，( 21 1 ) 式( 2 1 1 ) 称为函数- 厂与9 对t 施行m 次d t ，对z 掩行t t , 次d 。的双线性导数 2 1 2 双线性导数的性质 为以后的计算简明起见，这里给出一些双线性导数的性质 性质1 函数f ( t ，z ) 与自身的奇数次双线性导数为零就是m + n 为奇数时 d t d ：f f = 0 f 2 1 2 1 性质2 交换函数f ( t ，x ) 与g ( t ，x ) 的双线性导数的顺序，当导数是偶次时其 值不变，而导数是奇次时要改变符号 _ d p 域，9 = ( 一1 ) m + n d td x 9 f( 2 1 3 ) 事实上，从定义可得 d t d 。* f g = ( a b ，) “( 岛一吃，) ”，( t ，。) 9 ( t ，z7 ) i 。，：。，：。 = ( 一1 ) + ”( 包，一o d ( 吃，一晚) ”9 ( t 7 ，z 7 ) ，( t ，z ) i 。：。， = ( 一1 ) m + n q f i g “。t t 9 f 特别当m + 礼为奇数且g ( t ，茁) = f ( t ，z ) 时，公式( 21 3 ) 化为( 2 1 2 ) 性质3 函数f ( t ，z ) 与数1 的双线性导数就是通常的导数 d d ：，1 = 0 2 霹，( 2 1 4 ) 若指数函数的指数是t 与。的线性函数，则称它为线性指数函数于是有 5 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 6 性质4 两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的适当 倍数即设 6 = 屿t + 如z + ；o ( j = 1 ，2 ) ， ( 2 1 5 ) 则有 _ d d ：e f l e 如= ( u 1 一u 2 ) m ( 七1 一七2 ) “e f + 缸( 2 16 ) 由此推得相同线性指数函数的双线性导数为零 d 尹d ：e 6 e f l = 0 ( 2 1 7 ) 2 2w r o n s k i 行列式 2 2 1w r o n s k i 行列式与双w r o n s k i 行列式 一组可微函数( 1 ，曲2 ，一，c n ) r 的n 阶w r o n s k i 行列式定义为 w 7 ( 咖l ，2 ，- 一，毋 r ) ，l 。 v 一1 ) 如嘏拶。1 ) ( 2 2 8 ) 其中硝= c j o x2 它常可写为一种紧凑格式 w ：l ，妒( ”，：( n - 1 l = 1 0 ，1 ，n 1 1 ：i y - f i l ( 2 ，29 ) 更一般地，我们用i ，f 。，k i 表示i 庐，妒( “，( 2 “，妒( f 。) ，( 叫，用l 后，h 2 ，：h 。 表示l ( ”，曲( “，咖( 7 。) ，咖“a ) 1 w r o n s k i 行列式具有这样的特点：后一列是前一列的导数这使行列式在按列 求导( 包括求高阶导数) 时，无论是过程还是结果都很方便简洁。依照行列式按列求 导法则以及行列式的基本性质可知，一个w r o n s k i 行列式的导数所包含的项数与行 列式的阶数无关，而只依赖于导数的阶数 双w r o n s k i 行列式的定义如下 w “，”( 妒；妒) 妒，妒i 1 妒r 。1 ；妒l砂i m 一1 ) 妒+ m妒嚣l m ， 妒( n + - m 1 ) ； 妒十m妙霉! r m ( 2 2 t 0 ) 可以简记为 w n , m ( 妒；妒) = d 酣( 妒，如妒，一，础1 妒；妒，以砂，一，a 2 y 一1 妒) ：i n - l ；m - 1 1 ， ( 2 2 1 1 ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 7 其中妒= ( 舻l ( z ) ，妒2 ( z ) ，- ，p n + ，( 。) ) t ，妒= ( 妒1 ( z ) ，砂2 ( z ) ，c n + m ( z ) ) t 2 2 2w r o n s k i 行列式的性质 由行列式的性质及一些恒等式，可以得到w r o n s k i a n 技巧中常用的一些恒等关 系 性质1 1 1 4 】设矩阵a = ( a i j ) n 。n = a l ，a 2 ，n _ 】1a j 为a 的列向量，向量 b = ( b 1 ，b 2 ：，b ) 7 ，则成立 o l = 川b j ， ( 2 2 1 2 ) j = 1 其中6 呵表示( b l a l j ，b 2 a 2 j ，- ，b n a n j ) t 由l a p l a c e 定理，可以得到下述几个常用等式 性质2 1 1 4 j 若记m 为n ( n 一2 ) 矩阵，a ，b ，c 和d 都是维列向量，则 成立 m ，a ，br i m ，c ，d 卜l m ，a ，c | | m ，b ，d i + l m ：a ，d | | m ，b ，c i = 0 ( 2 21 3 ) 性质3 3 4 若记a = ( a i j ) n 是n n 矩阵，a j ( j = 1 ，2 ：，) 是其列向 量，9 j ( j = 1 ，2 ：，) 是萁行向量，则有 nn l d t ，一o ，哟+ t ，d l = j = l s = 1 岛 8 s 一1 r s 8 s 8 s “ ： 8 n ( 2 2 ，1 4 ) 这里0 哟= ( 1 p l y a u ，p b “巧，p n j a n j ) t ：r 。风= ( p s l a 礼只2 0 。2 ，只n s r ) 在求解含自容源的非等谱m k d v 方程的w r o n s b a n 解时，还会用到下面几个 重要性质 2 7 ：53 性质4 使用性质1 中的记号，我们可以将其扩充到更一般的情形 血 。芦 4 5 1弛 0 一 勺 _ | ： 勺g ( 1 = 血 町 b 船 b 叫 ( 一 勺 厅 勺 琏 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 8 其中i a l = l 口，a l ：由行列式的定义不难证明此性质 性质5 假设w r o n s k i 行列式l 稿i 满足条件咖，。= 碍咖，并且记 p ( n m ) = ( e l 兰j 1 ，2 i n = e i o ，1 ， 0 掣l 1 2 一一2 引入矩阵记号 磕磕硗一) i k - - j t n 墨一1 七2 。 k 2 f 一。 n 一2 l ， ( 2 2 1 6 ) m ( h ，j ) = 0 ，1 ，一，h 一1 ，h + l ，h + 2 ，j l ，j + 1 ，一， ( 一1 ) 。( 一1 ) ，( 2 2 1 7 ) 例如 m ( 0 ，) = 【1 ，2 ，一，j 一1 ，j + 1 ， ， m ( h ，n ) = o ，1 ，一，h 一1 ，h + 1 ，h + 2 ，一，n 一2 ，n 一1 m ( h ，h + 1 ) = o ，1 ，- ，h 一1 ，h + 2 ，一，】 ( 2 2 1 8 a ) ( 2 2 1 8 b ) ( 2 2 1 8 c ) 那么，可得 尸( 一m ) = ( _ 1 ) 一1 芝( 1 ) 怛( j , 2 m - j - 1 儿( 2 m 【铷( 2 2 1 9 ) = ) 和 n t f t - 1 p ( n r n ) = ( 一1 ) 一”一1 e ( 一1 ) i m ( 2 m - n + 7 ，一7 1 ) 1 j = - 1 叫驯 互 一 m 一 l+ 一2 第三章混合型a k n s 系统的精确解 a k n s 系统考查了一般特征值问题，具有重要的物理意义此外，对于这类具 有多孤子解的非线性发展方程族，求解其精确解也具有重要的数学价值 这一章，我们将分别利用h i r o t a 双线性导数法和w r o n s k i a n 技巧对混合型 a k n s 系统进行求解 5 5 ，5 6 3 1 混合型a k n s 系统及其l a x 对 1 9 7 4 年，a b l o w i t z ，k a u p ，n e w e l la n ds e g u r ( a k n s ) 5 8 考察了如下谱问题及 其时间发展式 咖z = m ，m 2 ( _ 叩。q ) ， ( s a ) 庐t = n o b , = a ，b a ) ，= ( ：) c 。，b ， 其中q = q ( t z ) ，r = r ( t ，。) 是一对光滑的位势，q 是谱参数，而a ，b 与c 是变量 t ，z ，位势q ，r 和谱参数”的待定函数 意大利数学家c a l o g e r o ，d e g a s p e r i s 4 3 与李翊神教授 4 6 在假设参数q 随t 按 某种规律变化的条件下，相继导出了a k n s 系统的非等谱发展方程族 借助零曲率方程 舰= 风一 m ， ， ( 3 1 2 ) 可以得到 一仇一a 。+ q c r b = 0 ，( 3 13 a ) 啦一屁一2 t i b 一2 q a = 0 ， ( 3 1 3 b ) n 一( 乙+ 2 ”g + 2 r a = 0 ( 3 1 3 c ) 由上述方程组可知 ，、 - 1 ( “苫) - v t x + a o , “， 其中a o = a o ( t ，”) 是与x 无关的积分常数将( 3 1 4 ) 代入( 3 1 3 b ，c ) 有 ( 。r1 t = l ( 1 罗) 一。”( i 罗) 一z a 。a ( ：) + z 讯盯( ：i ) 9 ( 3 1 5 ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 其中l 称为微分积分算子 工圳+ z ( 二) 一。， 假设b ，c 是”的仲一1 次多项式 ( b c ) = 喜( 沙1 1o 1 ( 3 1 6 ) 0 1 当q 与t 无关且a o = 一i ( 2 q ) “时，可以得到等谱a k n s 方程族此时 ( q ) t = l ( 苫) 咄- b ) 邶咿盯q ) ( 小l ( 甜 z ( 毫1 ) ：工( ) c h ，三，圳 ( 分。“( ：) ( - 帅b j + 1 ) = 2 “- j - i l j ( - q ) r ， 特别地 将其代入( 3 1 9 a ) 即有 ( ：。) l ”一1( 了) f g 1 = l 。r ，一q1 ，( n = 。，2 ，) 、r 。 r ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) f 3 1 9 a 1 ( 3 1 9 b ) ( 3 1 9 c ) ( 3 11 2 ) 方程( 3 1 1 2 ) 的右端是具有两个分量的向量，称为n 阶a k n s 等谱流，记为 划( - 。) 相邻等谱流存在递推关系 + 1 = l 髓。，( n = 0 ，1 ，2 ，) f 3 1 1 3 1 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 1 一一 联系各阶等谱流的微分积分算子c 称为a k n s 递推算子 若叩随时间的变化规律为硫= ；( 2 日) ”且a o = 0 ，则可以得到非等谱a k n s 方 程族 ( 玢l ( 苫) 嘞( 苫) 坤咿- - x q ) a ， 仍设b ，c 是 的多项式( 31 7 ) ) 将其代入( 3 1 1 4 ) 并令叩的同次幂系数相等 可见( 3 1 9 a ) 与( 3 1 9 b ) 也成立，而( 3 19 c ) 成为 ( ：? 1 ) = z “( 焉9 ) ( 3 1 1 5 ) 田( 5l9 b ) 与【311 5 j 递推算得 ( - 啪b j + 1 ) = 2 1 - d - l l d - - x 9 ) c s 。， 这样一来，我们就导出了非等谱a k n s 方程族 fq ) t = l n - x q ) ，= 。，c 。， 同样定义方程( 3 1 1 7 ) 的右端为甩阶a k n s 非等谱流，这是具有两个分量 的向量场，相邻非等谱流也存在锑摊姜秦 o n + 12l o - n ( 3 1 1 8 ) 在这里我们还必须指出，无论等谱或非等谱的方程族，它们都对应于统的谱问题 ( 3l1 a ) ，而族中不同的方程却对应于特征函数的不同的时间发展式( 3 11 b ) ，即对 应不同的矩阵， 一般的a k n s 方程族的右端是各阶等谱流与非等谱流毋的线性组合，我 们有下述定理 5 9 定理3 17 ( 7 7 ) 与u ( 口) 是与z 无关的他次多项式，如果q 随t 的变化规律为 仉= ；u ( 2 叩) ： 而待定矩阵 r 满足边值条件 lc 。，r ，= c 。，。，= ( i 5 7 2 叩+ u ( 2 q ) z ；。7 。，+ u 。，z ，) ( 3 ，1 1 9 ) ( 3 12 0 ) 翌型塑塑坠 ! ! 1 2 刖从( 3 , m 4 ) 与( 3l1 5 ) 可唯一确定矩阵，且一般a k n s 方程族为 ( ；) 。= 7 c 三，( ：9 ) 十uc 二，( ：。) 式中l 是a k n s 递推算子 作为待例，我们考察三阶混合型 如下方程 其中o ，声为任意的实常数 经简单计算可知 ( 3 12 1 ) a k n s 系统取1 ) _ c 2 ，u ) = n l 3 可得 ( ? ) 堆2 ( 了) ， 江地。， l 是微分积分算子( 3 1 6 ) 吼= 。( 矿6 慨) + ( 3 一卢) ( 一2 q 2 r ) 一2 a q 。o 一1 妒+ 4 q 徊- l q r z , ( 31 2 3 a ) 7 1 。= 。( 船6 9 r ) + ( 3 a + 卢) ( r 船一2 9 r 2 ) 一2 n a 一1 妒+ 4 q r a 一】r f 3 ，1 2 3 b 1 其l a x 对中以，b ，c 分别为 爿= 一4 q 7 1 3 5 c - - 驴印2 + 2 d 印( 。口+ a 一1 叮，) + 。z ( g - r q 。) + ( 一d + 卢) g r 一2 a o 一1 q z r b = 4 z 口矿一2 ( 3 a ) 一2 a z 7 7 + ( 4 一p ) + z 。 2 a x q 2 r 一2 a q o i g r ， c = 4 删叩2 + 2 ( a + ) 叼+ 2 蝴。叩+ 卢+ q z 。一2 口。口r 2 2 r p 一1 眇 3 2 双线性导数形式和n 孤子解 为了求得( 3 i2 3 ) 孤子解，这里引入变量变换 g = ；= 了h 混合型a k n s 系统( 3 1 ，2 3 ) 可以改写成如下的双线性导数形式 d 幽。f = a x d 3 z g 。j + ( 3 a 一d ：g f + 2 c e d 。9 k + 2 口g s 甄h jj = a z d 3 z h + 咚o _ + 8 ) d ：h f + 2 口d 。h f 。2 叠s 磋7 i = 一2 执 d x h 9 = d 。s f ( 3 1 2 4 a ) ( 3 12 4 b ) ( 3 1 2 4 c ) ( 3 22 5 ) ( 3 ，2 ，2 6 a ) ( 3 2 2 6 b ) ( 3 2 2 6 c ) ( 3 2 2 6 d ) t 罴兰竺堕 ! ! 卜蒜雾蒙笔8 黧2 孳辅助溅d 是硪r o t 。双线性算子( 2 i 为了得到多孤子解，我们假设，9 ， ，：。翼有赢委“肚域任再于弘l 1 ) ，2 ：，担：t ，“k 4 + + ，( 旬) e 巧+ ， f 3 2 2 7 8 ) ，舻曼：) 针黑。咖协删印，_蒜蒜 拈譬：、 ，0 ，+ h ( 2 y + 1 ) s 2 y + - h蔷裂 憧。+ 。 8 = 1 + 2 k 2 + 邻e 4 + + “巧，e 玎+ 苫i 丢：； 将展式( 3 _ 2 2 7 ) 代入双线性导数方程( 3 ，2 2 6 ) ，并比较e 同次幂系数可得p “。， 。( 。) 9 5 之- d 。奠臻+ ( 3 三一，伪，f i 。t ) + 2 a 夕( i ) ，( 3 2 2 8 。) 巅”讪照一( 3 0 r - - 矽) 趔嘞严) ：二二i j 舻) n 2 2 8 ” + 蚴明扩卜+ ( 3 0 = 一例理萨) ，产) + 2 。见9 ( 1 ) j 羹。02 叼( 1 ) 毋，( 3 2 瑚b 1 皿。f ( 1 ) 若假设 门) - 缓邶：+ 炒) 磁孙( 3 胭a ) 卜蛳勉一( 3 凸= + 卢) 拯忆水) ：- d 知叫2 ) u 兰趵刘 十。理枷，( 2 + ( 3 a + 用噬删- 产+ 2 n 域危( 1 ) 2 ) - - 。2 a 删s ( 2 1 ，f 3 2 2 9 b 1 艘= 一妒啦 。2 崩= 一磁) 产) 2 ( 批( 3 十批( 1 ) ) - 艘= 一磁，f 2 ) 产) 一。( 1 ) 胪) + 9 ( 5 ) 坍0 9 ( 3 ) 赫 u 3 蚤蜊一。矧啦+ 0 2 3 0 a ) ( 3 2 3 0 b ) ( 32 3 0 c ) ( 3 ，23 2 a ) 彬”2 善晰，嗨划啦+ 矿( 3 23 2 b ) 叫 2 z 三 船慨 q 妙 虬 玩 ，+刁， 矗巩 执也 k = ” 部 u 0 协伊 + 印 砷 g + 取删 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 那么由方程组( 3 2 2 8 ) 一( 323 1 ) 出发可以得到a k n s 系统的多孤子解 作为特例我们来求解单孤子解和双孤子解当n = l 9 ( 1 ) = u ，0 ) 亭、，6 = 1 ( ) z + 。 h ( 1 ) = 口1 0 ) e l l ，卵l = l l ( t ) z + q i o 将其依次代入( 32 2 8 ) 一( 323 1 ) ，可以解得 ，( 2 = 一赢辫貅毋相1 ， ，( “) = 0 ，m = 4 ，6 ，8 ， s ( 2 ) = 一扁黼 1 + ( t ) 一f ( t ) e e l + ”】 s ( ) = 0 ，m = 4 ，6 ，8 ，- - - g ( ”) = 0 ， ( ”) = 0 ，儿= 3 ，5 ，7 ， ( 3 a 一卢) u ，0 ) ；( ) + 2 a w ( t ) ，k l , t ) = 。i 0 ) ( 3 a + p ) 一1 0 ) f ；( ) 一2 a a ，( t ) ，l l , t ( t ) = 日( ) 由( 3 2 3 5 ) 可以解得 k ( t ) = 2 q ( t o t ) 一j 1 ，u 1 0 ) = ( 如一t ) 一i ；竽e 2 。 2 1 0 ) = 2 。( t ：一t ) 一，i ，盯。 ) = ( t ：一t ) 一i ；笋e 一2 。 其中t o ：t ：是两个任意的实常数取e = i 即得单孤子解 g = 面尚簪而 ( f 0 一”一i 铲e m 酬铀一 ) 1 一 + 1 + ( t o - t ) 一2 竽( ：一”一! ；竽e z m 岫一 圹女+ z 州t 扣i 一 f r c 一币高蒜 ( t ：，t ) 一2 掣e m m 阻( t h 】一 + 晶 1 + ( t 。一t ) 一i ( t ：一t ) 一2 ；学e 。酬铀一t ) 一 + z m ；一) 一 + 。1 1 + c 其中e = 一丽瓣1 ，晶，玩及c 是任意的实常数 当然亦可设n = 2 ，很容易得到 ( 1 ) 盯l e 们+ 观e 啦 白= 向。+ ( 0 1 ，j = 1 ，2 仍= 弓。+ q ( 叭，j = 1 ，2 f 3 23 3 a 1 ( 3 2 3 3 b ) ( 3 2 3 4 a ) ( 3 2 3 4 b ) ( 3 2 3 5 a ) ( 3 2 3 5 b ) ( 3 2 3 6 a ) ( 3 2 3 6 b ) ( 3 2 3 7 a ) ( 3 23 7 b ) ( 3 2 3 8 a ) ( 3 23 8 b ) 0 l u 吼 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 其中u ，a 满足条件 由上式可以解得 # = ( 3 一卢) 屿碍+ 2 a w j ，码，t = n 砖 ，= ( 3 血+ p ) 勺学一2 a a j ，= 口磋 如= 2 ( t j ，o t ) - i 如= 2 ( ，。一) 】- i 1 ，乃 屿= 志咖e 孔 屿2 i 忑 o = 志t ) 2 咿2 t一( 弓0 - q p 。 ( 3 2 3 9 a ) ( 3 23 9 b ) ( 3 , 24 0 a ) ( 3 2 4 0 b ) 其中k l ，k 2 ，1 1 ，1 2 ，u 1 ，u 2 ，o - 1 及0 2 是关于t 的函数，t j , o ，t 知，o ，q ，o 都是实常数 类似单孤子解的求解过程，由( 3 2 2 s ) 一( 323 1 ) 依次可以算得 ，( 2 = 咄e 针珊枷 ，s 2 = 咄o j ( 1 + ；一g ) e 针啦柏， o ，= 1 ，2。，j = 1 , 2 目( 3 j = “l u 2 盯】e 1 + 如+ q 1 + 0 1 1 + 如1 十吼3 + u l u 2 盯2 e l + + 目2 + 0 1 2 + 0 2 2 + 0 1 3 ， ( 3 ) = u l o - 1 0 - 2 e 1 + 1 1 + t 7 2 + 日1 1 + 目1 2 + 0 2 3 + u 2 盯1 0 - 2 e 2 十1 l + q 2 + 日2 1 + 0 2 2 + 0 2 3 ， ，( 4 ) = u l u 2 0 - 1 0 - 2 e f l + 2 + 叩1 + 1 2 + 0 1 1 + 0 1 2 + 。2 1 + 0 2 2 + 0 1 8 + 。2 3 ： s ( 4 j = u l u 2 盯1 盯2 ( 1 + 研+ k ；一f ；一磋) e 1 + 2 + ”1 + 竹2 + 9 1 1 + 。1 2 + 如1 + 。2 2 + 吼3 + 。2 3 ( 3 2 4 1 a ) ( 3 24 1 b ) ( 3 2 4 1 c ) ( 3 2 4 1 d ) ( 3 24 1 e ) 其中 e 以3 = 一( 七l 一如) 2 ，e o ：a = 一( 。1 2 2 ) 2 ，e = 一丽i 而，i ，j = 1 ，2 ( 3 2 4 2 ) 经计算，可以知道 建引一c z x a ( 5 ) 。一( 3 口一) 建拳一2 c 5 ) = 0 ( 3 ，2 。4 3 ) 类似地 h l 鼬一。茁危璺一( 30 = + ，1 3 、| h ( 5 ) + 2 a h ( 5 ) = 0( 3 2 4 4 ) 因此，我们可以假设9 ( 5 ) = o f f ( 5 ) = 0 由此可知，( 6 ) 和s ( 6 ) 也回到初始方程，因此 可假设，( 6 ) = o ，s ( 6 ) = 0 至此级数被截断取e = 1 ，我们就得到了双孤子解 局= l + ，( 2 ) + ，( 驯，9 2 = 1 + 9 ( 2 ) + 9 ( 舢，h 2 = ( 1 ) + ( 4 ) 丝，：丝 氏j f 2 ( 3 24 5 ) ( 3 24 6 ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 6 一般地，混合型a k n s 系统的n 孤子解所对应的分母与分子可表示为 其中 ，祀= a 1 ( ) e x p i 助( 白+ 1 n 岣( t ) ) + 吻咖0 j p p =